Goniometrické vzorce a rovnice - návody
2. Ze vzorce pro rozdíl sinů je sin(α+2β)−sin α = 2 sin β cos(α+β),
ze zadané rovnosti cotg(α + β) = 0 plyne cos(α + β) = 0.
3. K levé straně uplatnit vzorce pro kosinus součtu a sinus rozdílu,
na pravé straně roznásobit a porovnat obě upravené strany.
4. Danou rovnost sin α = k sin(α+β) upravit na sin α(1−k cos β) =
= k cos α sin β. Protože podle zadání je 1 − k cos β > 0, plyne
z upravené rovnosti cos α = 0, a tak existuje hodnota
tg α =
k sin β
1 − k cos β
.
Podle zadání existuje i hodnota tg β a výpočtem se přesvědčíme,
že 1 − tg α tg β = 0. Proto je možné k určení hodnoty tg(α + β)
použít vzorec pro tangens součtu.
5. Substituce y = sin x.
6. Využít identitu sin x+sin 3x = 2 sin 2x cos x a pak upravit rovnici
na součinový tvar.
7. Využít identitu 1 − cos 2x = 2 sin2
x a pak upravit rovnici na
součinový tvar.
8. Užitím vzorce pro sinus rozdílu upravit na
√
3(sin x−cos x) = 0.
9. Upravit na sin 2x−tg x = 1−cos 2x, kde pravá strana je 2 sin2
x,
a levá strana je rovna
2 sin x cos x −
sin x
cos x
=
sin x
cos x
· (2 cos2
x − 1) =
sin x
cos x
cos 2x.
Dále rozlišit případy, kdy sin x = 0 a kdy sin x = 0, ve druhém
z nich z upravené rovnice plyne cos 2x = sin 2x neboli tg 2x = 1.
10. Levá strana je 1 − sin 2x, takže rovnici lze upravit do tvaru 1 +
+ tg x = 2 sin x(sin x + cos x), po záměně tg x za sin x/ cos x
dostaneme na obou stranách stejný činitel sin x + cos x.
11. Levou stranu upravit na součin 2 cos x(5 sin x − 3) a rozlišit, zda
je společný činitel (5 sin x − 3) obou stran roven nule, či nikoli.
12. Levou stranu upravit na podíl cos 5x/ sin 3x.
13. Využít identitu
(cotg x − 1)(1 + tg x) =
cos 2x
sin x cos x
.
14. Využít identitu 2 cos2
3x − 1 = cos 6x.
15. Rovnici upravíme do tvaru sin 3x = sin π
2 −5x a pak použijeme
vzorec pro rozdíl dvou sinů.
16. t = sin x + cos x ⇒ sin 2x = t2
− 1.
17. Při substituci y = cos x + π
10 je cos 2x + π
5 = 2y2
− 1.