Goniometrické funkce, rovnice a nerovnice; trigonometrie • Goniometrické funkce sinus a kosinus s reálným argumentem definujeme jako souřadnice bodů na jednotkové kružnici se středem v počátku kartézské soustavy souřadnic (pomocí x-ové, resp. y-ové souřadnice příslušného bodu jednotkové kružnice definujeme hodnotu funkce kosinus, resp. sinus). Funkce tangens a kotangens definujeme předpisy: U {§ + **} sin x tgx = - pro x G cos x fcez cos x a cotg x =- pro x G sin x U (M • fcez Výše uvedený přístup zobecňuje zavedení goniometrických funkcí pomocí pravoúhlého trojúhelníku (učivo ZŠ). Přímo z definic jednotlivých goniometrických funkcí plynou jejich základní vlastnosti. Všechny výše uvedené goniometrické funkce jsou periodické, základní perioda funkcí sinus a kosinus je 27r, funkcí tangens a kotangens 7r, tzn., že pro libovolné k E Z platí sin (x + 2/c7r) = sin x, cos (x + 2kn) = cos x, tg (x + kn) = tg x, cotg (x + kn) = cotg x. Funkce sinus, tangens i kotangens jsou liché (tzn. graf každé z těchto funkcí je středově souměrný podle počátku kartézské soustavy souřadnic), funkce kosinus je sudá (tzn. její graf je osově souměrný podle osy y), tedy platí sin(—x) = — sinx, cos(—x) = cosx, tg(—x) = —tgx, cotg(—x) = — cotgx. Při řešení goniometrických rovnic a nerovnic se zpravidla snažíme pomocí algebraických úprav za užití vztahů mezi goniometrickými funkcemi dostat rovnici či nerovnici, ve které se neznámá nachází ve stejném násobku v argumentu jediné goniometrické funkce. Někdy je rovněž výhodné řešenou rovnici či nerovnici převést do součinového tvaru, kdy na jedné její straně je nula. Tabulka znamének goniometrických funkcí v jednotlivých kvadrantech: x G (0;tt/2) x G (7r/2;7r) x G (7r;37r/2) x G (37r/2;27r) sinx + + - - cosx + - - + tg X + - + - cotgx + - + - Tabulka monotonie goniometrických funkcí v jednotlivých kvadrantech: x G (0;tt/2) x G (7r/2;7r) x G (7r;37r/2) x G (37r/2;27r) sinx rostoucí klesající klesající rostoucí cosx klesající klesající rostoucí rostoucí tg X rostoucí rostoucí rostoucí rostoucí cotgx klesající klesající klesající klesající V libovolném trojúhelníku platí tzv. sinová věta, kterou lze při obvyklém značení matematicky zapsat ve tvaru a b c -- = —-R = — = 2í"' srn a srn p sin 7 kde r značí poloměr kružnice opsané uvažovanému trojúhelníku. 1 V každém trojúhelníku při obvyklém značení platí a? = b2 + c2 — 2bc cos a, b2 = a2 + c2 — 2accos c2 = a2 + fo2 — 2ab cos 7. Toto tvrzení se nazývá kosinová věta. Speciálním případem kosinové věty v pravoúhlém trojúhelníku je pak věta Pythagorova (je-li úhel 7 pravý, pak cos 7 = 0). Užitím goniometrických funkcí lze odvodit různé vzorce pro výpočet obsahu S trojúhelníku o stranách délek a, b, c, vnitřních úhlech o velikostech a, 7 a poloměru kružnice opsané r, např. S = -afosin7 = -bcsina = —acsmB, 2 ' 2 2 Hl s=abc 4r a tzv. Heronův vzorec S = \Js [s — a) (s — b) (s — c), kde s = I (a + b + c). Úlohy: 1. S využitím definice (tj. pomoci jednotkové kružnice, nikoliv kalkulačky) vypočtěte 41tt / 17tt\ sin--cotg--. 6 H 4; 2. Určete obor hodnot funkce 3 — 2 cos x f ■ y =-• cos x 3. S využitím goniometrických vzorců, tj. aniž určíte x, vypočtěte sin x, cos | a cotg2x, víte-li, že 4 /7t \ tgx =--a x G —; 7t . 5 3 V2' / 4. Bez užití kalkulaček vypočtěte sin 11, 25°. 5. Vyjádřete sin 3x jako funkci sinx (tj. pomocí mocnin a násobků sinx). 6. Najděte všechna x G IR, pro něž platí cos x sin 2x x = t£ 1 + cos x 1 + cos 2x 2 2 7. Dokažte, že v libovolném trojúhelníku ABC, kde a, b, c značí délky jeho stran, a, /3, 7 velikosti jeho vnitřních úhlů a S jeho obsah, platí c2 sin a sin /3 ~~ 2sin (01 + (3)' 8. Určete velikosti všech ostatních stran a úhlů trojúhelníku ABC, v němž platí a) fo = 2\/2cm, c = (\/2 + \/ěf) cm, a = 30°, b) a - c = 12, 86 cm, f3 = 47°39', r = 32, 84 cm, kde a, b, c značí délky stran, a, /3, 7 velikosti vnitřních úhlů a r poloměr kružnice opsané trojúhelníku ABC. 9. Určete vzdálenost dvou nepřístupných míst M, N, jestliže byly zaměřeny z bodů A, B, které leží v téže polorovině vytaté přímkou MN, a jsou od sebe vzdálené 435 m, úhly \ 1, sin z + sin2 z > cos2 z. \/3 / 7t —, cotg 2y H— 2 ' 5 V y 6 12. Určete definiční obory funkcí f(x) = \/l — 2 cos x a (/(x) = \/3 — cotg 2x. 13. Necht je dána funkce /:» = 2dn(5 + í)+2. Rozhodněte, zda je funkce / sudá nebo lichá, načrtněte věrně její graf (vyznačte v něm důležité body a případné prvky souměrnosti), vypočtěte všechny její průsečíky se souřadnicovými osami, stanovte její obor hodnot a rozhodněte, zda je funkce / periodická (pokud ano, najděte i její nejmenší periodu). 3 Výsledky úloh: 1. sin šil _ cotg (_m) = gin & + CQtg (1Z-) = I + cotg f = f. 2. Předpis funkce / upravíme do tvaru y = —--2. Vzhledem ke skutečnosti, že cos x G (—1; 1), platí ^ G (-oo; -3) U (3; oo). Proto H(f) = (-oo; -5) U (1; oo). 3. Pro všechna x G (?■; ir) platí sin x > 0, cos x < 0 a cos f > 0. Řešením rovnice tgx = —fmx = — f za uvedených podmínek dostáváme sin x = |, proto cos x = —\J\ — sin2 x = — |. Dále platí cos | = / 1+cos x _ 1 „ or\+ cr 9 t* _ cos 2:r _ cos2 x —sin2 3ľ _ _7_ Y 2 ~~ VŠ CUL5ZX — sin2x ~~ 2sinxcosx ~~ 24" 4. Platí sin 11, 25° = sin ^f- = ^J1-^22^. Ale cos 22, 5° = ^/1+c°2s45° = y^±^ = jV^+V^, takže sin 11, 25° = y/*=&£ = íy/2-y/2Tj2. 5. sin 3x = sin(2x + x) = sin 2x cos x + cos 2x sin x = 2 sin x cos2 x + (cos2 x — sin2 x) sin x = 2 sin x(l — sin2 x) + (1 — 2 sin2 x) sin x =—4 sin3 x + 3 sin x. 6. Algebraickými úpravami lze levou stranu rovnice upravit do tvaru tg |, tzn. rovnice je splněna pro všechna x G R, pro něž je definována, tj. x ^ tt + 2kn a z 7^ | + /c7r, kde k G Z je libovolné. 7. Podle sinové věty platí a = ■ V libovolném trojúhelníku navíc platí sin 7 = sin [180° — (a + /?)] = sin (a + /?). Uvážíme-li, že S = \ac sin /3 a dosadíme-li a = sin(™_^), dostaneme dokazovaný vztah. 8. a) Podle kosinové věty vypočteme a = 2 cm. Pomocí sinové věty určíme úhel /3, o kterém vzhledem k tomu, že nyní již známe délky všech stran trojúhelníku, víme, že je ostrý. Zjistíme, že [3 = 45° a dopočteme 7 = 105°. b) Pomocí sinové věty snadno vypočteme b = 2rsin/3 = 48,54 cm. Na straně BC pak uvažme pomocný bod P takový, aby \AB\ = \BP\. Vzhledem k tomu, že trojúhelník ABP je rovnora-menný se zadaným úhlem [3 při hlavním vrcholu, můžeme určit velikost tupého úhlu k G Hj. 11. x G (f + 2kir- + 2A;tt), y G (-^ + k\; £ + k\>, z G (f + 2A;7r; f + 2kir) U {f + 2A;tt}, /c G Z. 12. = (f + 2A;7r; f + 2Ä;7r), D(^) = + Ä;f; f + Ä;f), k G Z. 13. -D(/) = K, = (0;4), periodická s hlavní periodou po = 4ir, není ani sudá ani lichá, průsečík s osou y v bodě [0;3], průsečíky s osou x ve všech bodech, jejichž x-ovou souřadnici lze zapsat ve tvaru x = y- + 4kir, kde k e Z. 4