Exponenciální a logaritmické funkce, rovnice a nerovnice
• Mocnina ax
je definována v těchto případech:
(i) a ∈ R, x ∈ N,
(ii) a ∈ R − {0}, x ∈ Z,
(iii) a ∈ R+
∪ {0}, x ∈ R+
,
(iv) a ∈ R+
, x ∈ R.
• Základní vlastnosti mocnin:
a0
= 1; a1
= a; ax
· ay
= ax+y
;
a−x
=
1
ax
;
ax
ay
= ax−y
; (ax
)y
= axy
;
a > 0 =⇒ (ax
= ay
⇐⇒ (a = 1 ∨ x = y)) .
• Číslo x = loga b definujeme vztahem ax
= b pro všechna a ∈ R+
− {1} a b ∈ R+
. Místo log10 a píšeme
pouze log a a místo loge a píšeme ln a.
• Základní vlastnosti logaritmů:
loga 1 = 0; loga a = 1; loga
1
a
= −1;
loga (xy) = loga x + loga y; loga
x
y
= loga x − loga y; loga (xy
) = y · loga x;
loga
1
x
= − loga x; loga x =
logb x
logb a
; loga b =
1
logb a
; bloga c
= cloga b
.
• Exponenciální funkcí rozumíme libovolnou funkci f tvaru f(x) = ax
, kde a ∈ R+
− {1}. Platí D(f) =
R, H(f) = R+
. Exponenciální funkce je pro a ∈ (0; 1) klesající, pro a > 1 rostoucí. To znamená, že
každá exponenciální funkce je prostá, a proto k ní existuje funkce inverzní. Exponenciální funkce není
sudá, lichá ani periodická.
• Logaritmickou funkcí rozumíme libovolnou funkci g tvaru g(x) = loga x, kde a ∈ R+
− {1}. Logaritmická
funkce je inverzní funkcí k funkci exponenciální (tj. g(x) = f−1
(x)), to znamená, že pro stejné
a jsou grafy funkcí f a g souměrné podle přímky y = x. Z uvedené skutečnosti vyplývají i další vlastnosti
logaritmické funkce, tedy D(g) = R+
, H(g) = R, pro a ∈ (0; 1) je logaritmická funkce klesající,
pro a > 1 rostoucí, logaritmická funkce není sudá, lichá ani periodická. Inverzní funkcí k logaritmické
funkci je opět funkce exponenciální, tj. f(x) = g−1
(x).
• Při řešení exponenciálních a logaritmických rovnic a nerovnic lze v mnoha případech užít vhodné
substituce a převést je na základní rovnici ax
= b, resp. loga x = b, nebo na základní nerovnici ax
> b,
resp. loga x > b. U takových nerovnic využíváme následující pravidla:
– je-li a > 1, pak
ax
< ay
⇐⇒ x < y; loga x < loga y ⇐⇒ x < y;
– je-li 0 < a < 1, pak
ax
< ay
⇐⇒ x > y; loga x < loga y ⇐⇒ x > y.
1
Úlohy:
1. Porovnejte čísla
−
49
16
160
a
3
5
−320
.
2. Určete definiční obory následujících funkcí
f(x) = log1
2
x2
− 2x + 1
x + 2
a g(x) =
2x
1 − log8(x − 1)3
.
3. Najděte všechny hodnoty parametru a ∈ R, pro které je funkce f definovaná předpisem
f(x) =
1 − a2
2 + a
x
klesající exponenciální funkcí.
4. Určete všechna x ∈ R, pro která nabývá funkce
f(x) = log1
7
5
x − 3
nezáporných hodnot.
5. Nechť jsou dány funkce
f1 : y = log1
3
(x − 1) a f2 : y = 2x−2
− 5.
Do jednoho obrázku načrtněte věrně jejich grafy (vyznačte v nich důležité body, případné prvky
souměrnosti, průsečíky se souřadnicovými osami) a určete jejich definiční obory a obory hodnot. Na
základě těchto grafů najděte všechna řešení rovnice
log1
3
(x − 1) = 2x−2
− 5.
Zdůvodněte přitom, proč má tato rovnice Vámi uváděný počet řešení.
6. V R vyřešte rovnice
3−5x−1
= 81,
1
2y−3
= 1, 101−3z
= 5, 2u+1
+ 2u+2
= 96.
7. V R vyřešte rovnice
2(x−4)·
√
x2+x−6
= 1, 3y
− 2y
= 2y+1
+ 3y−2
, 4 · 9
1
z − 9 · 4
1
z = 5 · 6
1
z .
8. V R vyřešte rovnice
log5(6x + 1) = 2, log1
2
log3(1 + 20 log2 y) = −2,
2 log 3z
log(2 − 7z)
= 1
9. V R vyřešte rovnice
3 log 2x2
+ 2 log 3x3
= 5 log x + 2 log 6x3
, log2
2 y + 2 log2 y = 3, log2 z − log4 z + log16 z =
3
4
.
2
10. V R2
vyřešte soustavy rovnic
log x + log y = 2,
2log x
· 3log y
=
√
54,
3
√
5u ·
√
3v = 45,
uv = 12.
11. V R vyřešte nerovnice
2x
· 4x
≤ 64, 25y
− 9 · 5y
+ 20 < 0, 2
√
z−6
≤ 8 ·
1
8
4− z
3
.
12. V R vyřešte nerovnice
log1
2
(2x + 4) ≥ −3, logy 2 > 1, log z · log(z + 1) ≤ 0, log2
1
3
u + log1
3
u ≥ 2.
Výsledky úloh:
1. −49
16
160
> 3
5
−320
,
2. D(f) = (−2; ∞) − {1}, D(g) = 2; ∞) − {3} (návod: 0 ≤ log8(x − 1)3
= 1),
3. a ∈ (−1; 1) (návod: 0 < 1−a2
2+a
< 1),
4. x ∈ 8; ∞).
5. Protože f1 je klesající funkce a f2 naopak rostoucí funkce v celém svém definičním oboru, mohou
se jejich grafy protnout nejvýše v jednom bodě. Na základě vlastností obou funkcí snadno najdeme
x-ovou souřadnici jejich průsečíku, což je kořen řešené rovnice: x = 4.
6. x = −1, y = 3, z = 1−log 5
3
, u = 4,
7. x1 = −3, x2 = 2, x3 = 4, y = 3, z = 1
2
,
8. x = 4, y = 16, z = 2
9
,
9. x = 1
2
, y1 = 2, y2 = 1
8
, z = 2,
10. x =
√
10, y = 10
√
10, u1 = 3, v1 = 4, u2 = 6 log5 3, v2 = 2 log3 5,
11. x ∈ (−∞; 2 , y ∈ (log5 4; 1), z ∈ {6} ∪ 10; ∞),
12. x ∈ (−2; 2 , y ∈ (1; 2), z ∈ (0; 1 , u ∈ 0; 1
3
∪ 9; ∞).
3