Kvadratické rovnice 1 1
Definice. Kvadratickou rovnicí rozumíme rovnici tvaru
ax2
+ bx + c = 0 , kde a = 0, a, b, c ∈ R.
Čísla a, b , c nazýváme koeficienty kvadratické rovnice, výrazy ax2
, bx a c nazýváme členy této rovnice, a
to po řadě kvadratický, lineární a absolutní.
Odvození vzorce pro řešení kvadratické rovnice. Po vydělení rovnice nenulovým číslem a dostaneme
x2
+
b
a
x +
c
a
= 0 .
Její levou stranu upravíme pomocí doplnění na čtverec
x2
+ 2 ·
b
2a
· x +
b
2a
2
−
b2
4a2
+
c
a
= x +
b
2a
2
−
b2
− 4ac
4a2
.
Označíme-li D = b2
− 4ac, můžeme psát
x +
b
2a
2
=
D
(2a)2 .
Vzhledem k tomu, že levá strana této rovnice je nezáporná a jmenovatel pravé strany kladný, bude mít
řešená kvadratická rovnice v R řešení právě tehdy, když D ≥ 0. Dostáváme tedy tři případy:
1. Jestliže D < 0, rovnice v R nemá žádné řešení.
2. Pokud D = 0, platí
x +
b
2a
2
= 0 ⇔ x = −
b
2a
, (1)
rovnice tedy má 1 (tzv. dvojnásobný) kořen.
3. Pro D > 0 po odmocnění, které je v této situaci ekvivalentní úpravou, obdržíme
x +
b
2a
=
√
D
2a
⇔ x +
b
2a
= ±
√
D
2a
⇔ x1,2 =
−b ±
√
D
2a
, (2)
což znamená, že řešením rovnice jsou dva různé kořeny.
Všimněte si, že odvozený vzorec (2) lze použít i v situaci, kdy D = 0, neboť vyjádření (1) je vlastně jeho
speciálním případem.
Výraz D = b2
− 4ac nazýváme diskriminant kvadratické rovnice.
Pomocí odvozených vzorců lze vyřešit jakoukoliv kvadratickou rovnici. Má-li však řešená rovnice nějaký
speciální tvar (např. b = 0 nebo c = 0) bývá rychlejší se užití těchto vzorců vyhnout a použít přímý
výpočet. Ilustrujeme to na následujících příkladech.
1
Případné náměty k tomuto textu prosím adresujte na e-mail akob@jaroska.cz. Děkuji Aleš Kobza (autor materiálu).
1
Řešené příklady. V R vyřešte rovnice
1.
√
3x2
− 5x − 2
√
3 = 0 ,
2.
4x4
− x2
− 18 = 0 ,
3.
25x2
− 30x + 9 = 0 ,
4.
9x2
+ 42x + 50 = 0 ,
5.
√
2x2
+
√
8x = 0 .
Řešení.
1. Dle námi používaného značení je a =
√
3, b = −5 a c = −2
√
3. Výpočtem diskriminantu zjistíme,
že D = b2
− 4ac = 25 − 4 ·
√
3 · −2
√
3 = 49 > 0, takže řešená rovnice má dva reálné různé kořeny.
Ty najdeme užitím vztahu (2). Platí
x1 =
−b +
√
D
2a
=
5 + 7
2
√
3
=
6
√
3
=
6
√
3
·
√
3
√
3
= 2
√
3 a x2 =
−b −
√
D
2a
=
5 − 7
2
√
3
=
−1
√
3
= −
√
3
3
.
Veškeré úpravy byly ekvivalentní, žádné podmínky stanovovat není třeba, zkoušku provádět nemusíme.
Dostáváme tak závěr, že K = 2
√
3; −
√
3
3
.
2. Všimneme-li si, že všechny mocniny neznámé x jsou sudé, nabízí se provést substituci y = x2
. Po jejím
zavedení je našim úkolem řešit rovnici 4y2
−y−18 = 0. Její diskriminant je D = (−1)2
−4·4·(−18) =
289 = 172
> 0. Proto má pomocná rovnice s neznámou y dva reálné různé kořeny, a to
y1 =
1 + 17
2 · 4
=
18
8
=
9
4
a y2 =
1 − 17
2 · 4
= −
16
8
= −2 .
Zbývá se vrátit k původní neznámé. Platí
x2
1 =
9
4
⇔ x1a,1b = ±
3
2
a x2
2 = −2 , což v R nelze.
Dostáváme tak závěr K = ±3
2
.
3. Když si uvědomíme, že 25x2
−30x+9 = (5x − 3)2
, ihned uvidíme, že jediným kořenem řešené rovnice
je x = 3
5
. Samozřejmě lze tuto rovnici řešit „otrocky“ užitím vzorce podobně jako v předchozích
úlohách. Není to však výhodné. Při tomto postupu vychází D = (−30)2
− 4 · 25 · 9 = 0, takže podle
(1) obdržíme x = 30
2·25
= 3
5
, takže K = 3
5
.
4. Tentokrát není levá strana uvažované rovnice přímo čtvercem, přesto lze postupovat podobně jako
v předchozí úloze. Platí 9x2
+ 42x + 50 = (9x2
+ 42x + 49) + 1 = (3x + 7)2
+ 1 > 0, proto rovnice
9x2
+42x+50 = 0 v R nemá žádné řešení, K = ∅. Samozřejmě bychom toto zjistili i pomocí výpočtu
diskriminantu, který vychází záporný: D = 422
− 4 · 9 · 50 = −36.
5. Uvedenou rovnici je výhodné řešit rozkladem na součin. Platí
√
2x2
+
√
8x = 0 ⇔
√
2x x +
√
4 = 0 ⇔ x (x + 2) = 0 ⇒ K = {0; −2} .
2
Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice (tzv. (Newton)-Viètovy vztahy).
Označme x1 a x2 kořeny uvažované kvadratické rovnice ax2
+ bx + c = 0. Tu můžeme vyřešit rovněž tak,
že její levou stranu rozložíme na součin, tj.
a (x − x1) (x − x2) = ax2
+ bx + c = 0 .
Po roznásobení tedy máme
ax2
− a (x1 + x2) x + ax1x2 = ax2
+ bx + c .
Porovnáním koeficientů u lineárního a absolutního členu dostaneme
−a (x1 + x2) = b ⇔ x1 + x2 = −
b
a
a
ax1x2 = c ⇔ x1x2 =
c
a
.
Uvedené vzorce sice nenahrazují vzorec (2), ale zato platí i v situaci, kdy D < 0. Můžeme s nimi tedy
počítat i v případě, že kořeny kvadratické rovnice nechceme či neumíme najít.
Řešené příklady.
1. Výraz V = 1
x2
1
+ 1
x2
2
vyjádřete ve tvaru, který obsahuje jen součty či součiny hodnot x1 a x2.
2. Aniž řešíte rovnici x2
− x + 16 = 0, najděte alespoň jednu kvadratickou rovnici, jejíž kořeny jsou
(druhými) odmocninami kořenů zadané rovnice.
Řešení.
1. Platí
V =
1
x2
1
+
1
x2
2
=
x2
2 + x2
1
(x1x2)2 =
(x1 + x2)2
− 2x1x2
(x1x2)2 .
2. Označme x1 a x2 kořeny rovnice x2
−x+16 = 0. Platí tedy pro ně x1 +x2 = 1 a x1x2 = 16. Hledejme
vyhovující rovnici ve tvaru ay2
+ by + c = 0. Pro její kořeny y1a y2 má podle zadání platit y1 =
√
x1
a y2 =
√
x2, podle Viètových vztahů pak y1 + y2 = −b
a
a y1y2 = c
a
. Počítejme
y1 + y2 =
√
x1 +
√
x2 = (
√
x1 +
√
x2)
2
= x1 + 2
√
x1 ·
√
x2 + x2 = x1 + x2 + 2
√
x1x2 =
= 1 + 2
√
16 =
√
9 = 3 = −
b
a
,
y1y2 =
√
x1 ·
√
x2 =
√
x1x2 =
√
16 = 4 =
c
a
.
Protože chceme najít jednu z vyhovujících rovnic, můžeme si například zvolit a = 1. Potom z právě
provedených výpočtů dostaneme b = −3 a c = 4, takže hledaná rovnice je tvaru y2
− 3y + 4 = 0.
Poznamenejme, že vyhovujících rovnic je nekonečně mnoho, vzájemně se liší nenulovým násobkem,
neboť jde o ekvivalentní úpravy nalezené rovnice.
3
Rovnice - zadání úloh.
V R vyřešte rovnice
1.
√
2x2
− 5x +
√
8 = 0 ,
2.
√
3x2
−
√
8x −
√
12 = 0 ,
3.
√
2x4
− 2x2
−
√
32 = 0 ,
4.
√
3x6
+
√
32x3
−
√
192 = 0 ,
5.
6x2
+ 7x − 3 = 0 ,
6.
4x2
+ 11x + 6 = 0 ,
7.
6x2
− 19x + 10 = 0 ,
8.
8x6
− 215x3
− 27 = 0 ,
9.
9x2
+ 42x + 49 = 0 ,
10.
25x2
− 9 = 0 ,
11.
−16x2
+ 81 = 0 ,
12.
2x2
− 3x = 0 .
4
Rovnice - návody k řešení a výsledky úloh.
V úlohách 9. - 12. je výhodnější počítat bez užití vzorce (2).
1. K = 2
√
2; 1√
2
,
2. K =
√
6; −
√
6
3
,
3. užijte substituci x2
= y, K = ± 4
√
8 ,
4. užijte substituci x3
= y, K = 6 8
3
; − 6
√
24 ,
5. K = 1
3
; −3
2
,
6. K = −2; −3
4
,
7. K = 2
3
; 5
2
,
8. užijte substituci x3
= y, K = −1
2
; 3 ,
9. K = −7
3
,
10. K = ±3
5
,
11. K = ±9
4
,
12. K = 0; 3
2
.
Užití Viètových vztahů - zadání úloh.
1. Následující výrazy vyjádřete ve tvaru, který obsahuje jen součty či součiny hodnot x1 a x2.
a)
V1 = x−1
1 + x−1
2
−2
,
b)
V2 = x3
1 + x3
2 ,
c)
V3 =
√
1 + x1 +
√
1 + x2 .
2. Uvažujme rovnici 4x2
− 11x + 5 = 0. Aniž tuto rovnici řešíte, najděte alespoň jednu kvadratickou
rovnici s celočíselnými koeficienty, jejíž kořeny jsou
a) opačná čísla než kořeny uvažované rovnice,
b) druhými mocninami kořenů uvažované rovnice,
c) převrácenými hodnotami kořenů uvažované rovnice,
d) čísla o 2 větší než kořeny uvažované rovnice,
e) čísla 4 krát větší než kořeny uvažované rovnice.
5
3. Označme x1 a x2 kořeny rovnice x2
+ x + 2 = 0. Aniž tuto rovnici řešíte, najděte alespoň jednu
kvadratickou rovnici, jejíž kořeny jsou čísla
1
x3
1
a
1
x3
2
.
Užití Viètových vztahů - návody k řešení a výsledky úloh.
1. Počítejme
a)
V1 = x−1
1 + x−1
2
−2
=
1
x1
+
1
x2
−2
=
x2 + x1
x1x2
−2
=
(x1x2)2
(x1 + x2)2 ,
b)
V2 = x3
1 + x3
2 = x3
1 + 3x2
1x2 + 3x1x2
2 + x3
2 − 3x2
1x2 − 3x1x2
2 = (x1 + x2)3
− 3x1x2 (x1 + x2) ,
c)
V3 =
√
1 + x1 +
√
1 + x2 =
√
1 + x1 +
√
1 + x2
2
=
= 1 + x1 + 2
√
1 + x1
√
1 + x2 + 1 + x2 = 2 + (x1 + x2) + 2 1 + (x1 + x2) + x1x2 .
2. Pro kořeny x1 a x2 rovnice 4x2
−11x+5 = 0 platí x1+x2 = 11
4
a x1x2 = 5
4
. Aby nedošlo k duplicitnímu
značení hledejme rovnici ve tvaru ay2
+ by + c = 0.
a) Má platit y1 = −x1 a y2 = −x2,
y1 + y2 = −
b
a
= −x1 − x2 = − (x1 + x2) = −
11
4
a
y1y2 =
c
a
= −x1 · (−x2) = x1x2 =
5
4
.
Zvolíme-li a = 4, dopočteme b = 11 a c = 5. Jedna z vyhovujících rovnic je tedy tvaru
4y2
+ 11y + 5 = 0.
b) Např. 16y2
− 81y + 25 = 0,
c) např. 5y2
− 11y + 4 = 0,
d) např. 4y2
− 27y + 43 = 0,
e) např. y2
− 11y + 20 = 0,
3. Např. 8y2
− 5y + 1 = 0.
6