Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou 1
Absolutní hodnota.
Definice.   Absolutní hodnotu čísla x G M značíme \x\ a definujeme
{x    pro x > 0 —x  pro x < 0
Poznámky.
1. Z dennice absolutní hodnoty ihned plyne, že pro libovolné a G IR platí |a| = |—a\.
2. Protože druhou odmocninu definujeme jako nezáporné číslo, platí pro libovolné x G IR , že       = \x
3. Geometrický význam absolutní hodnoty:
a) \x\ udává vzdálenost obrazu čísla x na číselné ose od jejího počátku,
b) \a — b\ udává vzdálenost obrazů čísel a a b na číselné ose.
Základní vlastnosti.   Pro všechna reálná čísla a, b platí:
1. \a — b\ = \b — a\,
2. \ab\ = \a\ ■ \b\,
3. |f| = M, kde 6^0,
4. \a ± b\ < \a\ + |6| (tzv. trojúhelníková nerovnost),
5. |a±6| > ||a| —      > \a\ — \b\. Důkaz.
1. Platí a — b = — (b — a), proto mají čísla a — b a b — a stejné absolutní hodnoty.
2. Rozlišme čtyři případy:
a) Pokud a > 0, b > 0, pak \ab\ = ab = \a\ ■ \b\.
b) Jestliže a <0 , b > 0, pak \ab\ = —ab = \a\ ■ \b\.
c) Když a > 0, b < 0, pak \ab\ = a (—6) = |a| •
d) Je-li a <0 , b < 0, pak \ab\ = ab = (—a) (—6) = |a| •
3. Tvrzení dokážeme podobně jako v předchozí části.
4. Platí
(a ± bf = a2 ± 2ab + b2 < \a\2 + 2 \a\ \b\ + |6|2 = (\a\ + |&|)2 . Odmocněním pak dostaneme |a±6| < \a\ +
5. Analogicky platí
(a ± b)2 = a2± 2ab + b2 > \a\2 - 2 \a\ \b\ + |6|2 = (|a| - |6|)2 . Odmocněním tentokrát dostaneme \a ± b\ > \\a\ — \b\ \ > \a\ — \b\.
^^Případné náměty k tomuto textu prosím adresujte na e-mail akob@jaroska.cz. Děkuji Aleš Kobza (autor materiálu).
1
Rovnice - zadaní úloh.
V M. vyřešte rovnice
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
\x7 - 15x + 2\ + \x3 -6| = -1 |ar - 3| + 2 |x2 - 3x\ =0, |-x2| - \x2 + l| = 2, 1 — |3 — x\ = x — 2 , 3|ar- 1| + 2\x-2\ =x+ 10, |3x-5| =2x + W, 2|4 + 3x| = 6x-ll, \x + 2\ + \x-2\ =2x + 2, 2\x-3\-3\x + l\ = \-x- 1| |rc2 + 3x — 4| = 6 , Vx2 - 6rr + 9 + V'x2 + 2a: + 1 = 6 y/x2 + x = A, \\2x + 5\ +x-A\ = 2, \\x - 1| +2x-A\ = 5, |x + 2-2|l-a;|| = 3, |x + 4 - 3 \x - 2|| = 2, |x + 5-3|x + 3|| =2, |3x — 1 — 2 |5 — x\\ = 2x + 4,
19.
20.
12 \x — 41 + x — 51 = 3 — x ,
12 + 4 b -31 -3a:| = 10 -x.
21.
I x2 - 9| + \x2 - 4| = 5 .
Rovnice - návody k resení a výsledky úloh.
1. levá strana rovnice je součtem dvou nezáporných sčítanců a nemůže se tedy rovnat zápornému číslu, Ä' = 0,
2. aby mohla rovnost platit, musí být na levé straně každý z nezáporných sčítanců nulový, K = {3},
3. protože |— x2\ = \x2\ a pro všechna x G IR platí 0 < x2 < x2 + 1, je levá strana rovnice záporná,
	K =	0,
4.	K =	(-oo; 3),
5.	K =	{-1/2; 17/4},
6.	K =	{15;-1},
7.	K =	0,
8.	K =	{1},
9.	K =	{-5; 1/3},
10.	K =	{-5;-2;-l;2},
11.	K =	{-4;2},
12.	K =	{2},
13.	K =	{1/3;-11;-7;-
14.	K =	{10/3;-2},
15.	K =	{±i;7},
16.	K =	{0;1;4;6},
17.	K =	{-4;-3;-l},
18.	K =	{i;5},
19.	K =	(-oo; 3),
20.	K =	{2/3} U (3; 10),
21. lze využít substituci x2 = y > 0, K = (-3; -2) U (2; 3).
3
Nerovnice - zadání úloh.
• Uveďte příklad nerovnice s absolutními hodnotami, jejíž množina kořenů je
1. prázdná,
2. tříprvková,
3. K = (-4;4),
4. K = R- {±1}.
• V IR vyřešte nerovnice
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
|7 — 3rc| < 2 + 5x ,
|4 — 3x\ > 5 — 3x ,
|3a: - 2| < \x + 1| +5,
|x - 3| < 2x + 3,
\x-2\ > 3x-5,
\2x + 3\ + \2-x\>7, 3x + 7
|3 — rr|
> 1
9.
10.
11.
12.
13.
14.
\x2-9x + U\ \-x-3\ >0
\x4 + 2\ - \x4 + l\ > 1.
\x2 - 2x - 3 < x + 1
2i- + 1
x — 3
< 1
\x - 2\ x-2
< 0
Lr + 3 +x
J-!-> 1
x + 2
1 1 < -
larl-3 2
4
15.
x2 — 5x + 6 2|x| + 3 <0'
16.
x2 + 6x — 7
—i-i— < o,
\x + 3|
17.
| x 31 <~~~i        3 .
Nerovnice - návody k řešení a výsledky úloh.
• Každou úlohu lze splnit nekonečně mnoha jinými příklady
1. \x\ < 0,
2. \x (x - 1) (x - 2)| < 0, K = {0; 1; 2},
3. \x\ < 4,
4. |ar - 1| \x+ 1| > 0.
• Výsledky zadaných úloh:
1. K = (5/8; oo),
2. = (3/2; oo),
3. = (-l;4), A. K = (0;oo),
5. = (-oo;7/4),
6. = (-oo;-8/3) U (2;oo),
7. = (-l;oo)-{3},
8. součin absolutních hodnot nebude kladný jen, když výraz v některé z nich bude nulový K {-3; 2; 7},
9. výrazy v absolutních hodnotách jsou kladné K = 0,
10. K = (2; A),
11. # = (-1/2; 5/4),
12. K = (-oo;2),
13. K = (-5;-2) U (-l;oo),
14. jmenovatel může být kladný i záporný, K = (—oo; —5) U (—3; 3) U (5; oo),
15. jmenovatel je kladný, K = (2; 3),
16. jmenovatel je nezáporný, K = (—7; 1) — {—3},
17. K = (2; 5).
5