Úlohy vedoucí k řešení lineárních rovnic a nerovnic 1
Důležitá upozornění.
• Před tím, než učiníte závěr, zkontrolujte, zda všechny provedené úpravy byly ekvivalentní. V záporném
případě si vhodně vybírejte, kdy je jednodušší provést zkoušku a kdy stanovit podmínky, které
ekvivalentnost použitých úprav mohou zajistit.
• Má-li rovnice či nerovnice nekonečně mnoho řešení, není provedení zkoušky pro tolik hodnot možné
a je třeba stanovit podmínky tak, aby prováděné úpravy byly ekvivalentní.
• Dávejte pozor, zda nerovnici násobíte kladným či záporným číslem, má to vliv na její znaménko.
Rovnice - zadání úloh.
V R vyřešte rovnice
1.
(p + 1)3
− (p − 1)3
= 6 (p + 2) (p − 1) + 9 (p + 1) − 9 (p − 1) ,
2.
9 (2x − 9)
13
+
x − 4
5
=
7
5
(3x − 2) − (3x − 5) ,
3.
1 +
x
1 − 2x
=
x + 3
2x + 1
,
4.
2y
3
− 1
3
3y
2
− 1
+
5y
3
− 4
3
y − 2
3
= 2 ,
5.
x
2
− 2
3
3x
4
+ 4
3
=
5
6
x − 7
6
5
4
x + 9
4
,
6.
(2 − x)3
+ (x − 1)3
(2 − x)2
+ (1 − x)2 =
3
2
,
7.
3x
x − 2
+
1
2 − x
+ 1 =
3x + 3
x − 2
+
4
2 − x
,
8.
x + 3
x + 1
+
x + 2
x − 3
= 2 +
7x − 1
x2 − 2x − 3
,
9.
3
(2x + 5)2 +
4
(2x + 1)2 =
7
4x2 + 12x + 5
,
1
Případné náměty k tomuto textu prosím adresujte na e-mail akob@jaroska.cz. Děkuji Aleš Kobza (autor materiálu).
1
10.
1
x − 2
−
x − 3
x + 4
=
6
x2 + 2x − 8
− 1 ,
11.
2
1 − x2
−
1
x + 1
=
1
1 − x
,
12.
1
x
+
2
x + 1
+
3
x + 2
=
6x2
+ 20x − 8
x3 + 3x2 + 2x
.
Rovnice - návody k řešení a výsledky úloh.
1. K = {−2/3},
2. K = {24},
3. K = {1/3} (podmínky: x = ±1/2),
4. K = {2},
5. K = {−1},
6. řešením rovnice dostaneme nepravdivé tvrzení, K = ∅, všimněte si, že (2 − x)2
+ (1 − x)2
> 0 pro
libovolné x ∈ R, takže žádné podmínky nejsou třeba
7. řešením rovnice dostaneme x = 2 za podmínky x = 2, K = ∅,
8. rovnici vyhoví každé reálné číslo, které není zakázáno podmínkami K = R − {−1; 3},
9. K = {−17/2}, (podmínky: x = −5/2, x = −1/2),
10. řešením rovnice dostaneme x = 2 za podmínek x = 2, x = −4, K = ∅,
11. rovnici vyhoví každé reálné číslo, které není zakázáno podmínkami K = R − {±1},
12. K = {1}, (podmínky: x = 0, x = −1, x = −2) .
2
Nerovnice - zadání úloh.
1. V R vyřešte nerovnice
a)
5 (y − 1) − y (7 − y) ≤ y2
,
b)
2x − 17
4
−
8 − x
2
− 2 ≥ x − 4 +
x
8
,
c)
(z − 3)2
+ z2
< 2z2
− 6z + 13 ,
d)
(2x − 1)2
x2 + 1
> 4 ,
e)
8x − 4
(x − 1)2
+ (x + 5)2 ≤ 0 ,
f)
2x2
− 3
x2 − 6x + 9
≥ 2 .
2. Určete definiční obory následujících výrazů
a)
2x − 6
−5
,
b)
7x
4
√
9 − 3x
,
c)
(x − 3)2
− (x + 1)2
−
x − 1
√
12 + 4x
.
3. Vyřešte soustavy nerovnic s neznámou x ∈ R
a)
2 (3x − 1) < 3 (4x + 1) + 16 , 4 (2 + x) < 3x + 8 ,
b)
3 − x ≤
1
2
+ 2x , 2 + x > 7x +
3
2
,
c)
(x + 1)2
+ 3x2
≤ (2x − 1)2
+ 7 , (1 + x)2
+ 7 > (x − 4)2
,
d)
3x − 4 ≤ 2x + 5 < 4x − 1 ,
e)
2x + 1 > 3x − 3 , 3x − 2 > x − 4 , 8x + 2 < 3x − 1 .
3
Nerovnice - návody k řešení a výsledky úloh.
1. a) K = −5/2; ∞),
b) K = (−∞; −50 ,
c) K = R,
d) K = (−∞; −3/4), (násobení zadané nerovnice výrazem x2
+ 1 je ekvivalentní úprava, protože
x2
+ 1 > 0 pro všechna x ∈ R),
e) K = (−∞; 1/2 , (jmenovatel zadané nerovnice je kladný, neboť je součtem dvou kvadrátů, které
nemohou být současně nulové)
f) K = 7/4; 3)∪(3; ∞), (nerovnici lze uvažovat pouze pro x = 3 a za této podmínky je jmenovatel
kladný).
2. a) D = (−∞; 3 ,
b) D = (−∞; 3),
c) D = (−3; 1 .
3. a) K = (−7/2; 0),
b) K = ∅,
c) K = (4/5; 7/6 ,
d) K = (3; 9 ,
e) K = (−1; −3/5).
4