Rovnice a nerovnice v součinovém tvaru 1
Důležitá upozornění.
• Dávejte pozor, abyste nerovnici nenásobili výrazem s neznámou, který může být pro nějaké hodnoty
této neznámé kladný a pro jiné záporný.
• Všímejte si, zda je některý činitel kladný či nezáporný pro všechna x ∈ R. Výrazem, který je
nezáporný, ale nemusí být kladný, nelze rovnici či nerovnici dělit!
• V součinovém tvaru je potřebné najít a uvážit všechny nulové body příslušného výrazu. Studovanou
nerovnici pak vyřešíme pomocí číselné osy a tabulky znamének.
Zadání úloh.
V R vyřešte rovnice či nerovnice
1.
8x3
− 12x2
+ 6x − 1 = 0 a 8x3
− 12x2
+ 6x − 1 ≤ 0 ,
2.
27x3
+ 54x2
+ 36x + 8 = 0 a 27x3
+ 54x2
+ 36x + 8 > 0 ,
3.
x3
+ 5x2
+ 4x = 0 a x3
+ 5x2
+ 4x > 0 ,
4.
x3
+ 3x2
− x − 3 = 0 ,
5.
x3
− 3x2
+ 4x − 12 = 0 a x3
− 3x2
+ 4x − 12 ≥ 0 ,
6.
x3
− 3x + 2 = 0 a x3
− 3x + 2 ≤ 0 ,
7.
x3
+ 2x2
− 9x − 18 = 0 ,
8.
x3
− 4x2
+ x − 4 = 0 a x3
− 4x2
+ x − 4 ≤ 0 ,
9.
x5
− 3x4
+ 3x3
− x2
≥ 0 ,
10.
(4 − x)2
(x − 2) > 0 ,
1
Případné náměty k tomuto textu prosím adresujte na e-mail akob@jaroska.cz. Děkuji Aleš Kobza (autor materiálu).
1
11.
(x − 1) (x + 2) (5 − x) ≥ 0 ,
12.
x3
− 2x2
− 4x > −8 ,
13.
√
−2x2 + 7x − 6 ≤ 0 ,
14.
√
3x2 + 5x − 2 > 0 .
Návody k řešení a výsledky úloh.
1. rovnice K = {1/2}, nerovnice K = (−∞; 1/2 ,
2. rovnice K = {−2/3}, nerovnice K = (−2/3; ∞),
3. rovnice K = {−4; −1; 0}, nerovnice K = (−4; −1) ∪ (0; ∞),
4. K = {±1; −3},
5. rovnice K = {3}, nerovnice K = 3; ∞),
6. výraz x3
− 3x + 2 upravte na „čtyřčlen“ x3
− x − 2x + 2, který už zvládnete „standardně“ rozložit
do součinového tvaru, rovnice K = {1; 2}, nerovnice K = (−∞; −2 ∪ {1},
7. K = {±3; −2},
8. rovnice K = {4}, nerovnice K = (−∞; 4 ,
9. K = {0} ∪ 1; ∞),
10. K = (2; 4) ∪ (4; ∞),
11. K = (−∞; −2 ∪ 1; 5 ,
12. K = (−2; ∞) − {2},
13. výraz pod odmocninou musí být nezáporný a přitom dle zadání také nekladný, takže musí být nulový,
−2x2
+ 7x − 6 = (x − 2) (3 − 2x), K = {2; 3/2}, všimněte si, že i nerovnice může mít konečnou
množinu kořenů,
14. je třeba, aby 3x2
+ 5x − 2 = (3x − 1) (x + 2) > 0, K = (−∞; −2) ∪ (1/3; ∞).
2