Dag Hrub˝
Matematická
cvičení
P R O S T ÿ E D N Õ ä K O L Y
Prometheus
Publikace byla připravena ve spolupráci s JČMF
Zpracoval RNDr. Dag Hrubý
Lektoroval doc. RNDr. Jaromír Šimša, CSc.
Revizi výsledků provedli doc. RNDr. Leo Boček, CSc.,
a Mgr. Lenka Kadlecová
1. vydání
c Dag Hrubý, 2008
ISBN 978-80-7196-374-5
Věnuji Milušce
OBSAH
Předmluva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Struktura učiva matematiky na gymnáziu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Tematický plán pro 1. ročník . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Tematický plán pro 2. ročník . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Tematický plán pro 3. ročník . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Tematický plán pro 4. ročník . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Požadavky k maturitní zkoušce z matematiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Otázky k maturitní zkoušce z matematiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Úlohy z matematiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Základní poznatky z matematiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Rovnice a nerovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Planimetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Goniometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Stereometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Analytická geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
Komplexní čísla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
Posloupnosti a řady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
Diferenciální a integrální počet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
Opakování pro maturanty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
Příprava k maturitní zkoušce z matematiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 292
5
PŘEDMLUVA
Milí studenti středních škol,
milé kolegyně, vážení kolegové, učitelé matematiky,
dostáváte do rukou sbírku 1 200 úloh, která je doplněna 300 úlohami
pro maturanty. Téměř u všech úloh jsou uvedeny v hranatých závorkách
také výsledky. I když sbírka svým obsahem vychází z řady učebnic mate
matiky pro gymnázia, které vydalo již v několika vydáních nakladatelství
Prometheus, je dobře použitelná i pro studenty a učitele odborných škol.
Všech 1 200 úloh je členěno do 240 cvičení, z nichž každé obsahuje 5 úloh
různé náročnosti. Sbírka je komplexní v tom smyslu, že pokrývá všechny
klasické partie středoškolské matematiky. Otázkou je, do jaké míry je ná
ročná. Na to lze vždy alibisticky odpovědět, že pro někoho ano, pro jiného
ne. Proto jsou ve sbírce u některých úloh, které autor pokládá za náročnější,
uvedeny návody k jejich řešení. Rád bych v této souvislosti poznamenal,
že sbírka svým obsahem překračuje požadavky kladené na matematiku
v Rámcových vzdělávacích programech pro gymnázia a střední odborné
školy. Snad nebude přehnané tvrzení, že může být užitečná také v prvních
semestrech bakalářských studijních programů na vysokých školách.
Se sbírkami to nebývá jednoduché. Není problém ukázat, že řada úloh
se opakuje celá desetiletí. Není tomu jinak ani v této sbírce, určitě najdete
úlohy, které vám budou povědomé.
Děkuji recenzentům doc. RNDr. Jaromíru Šimšovi, CSc., doc. RNDr.
Leo Bočkovi, CSc., a Mgr. Lence Kadlecové za jejich připomínky a dopo
ručení, které významně přispěly k zlepšení obsahu knihy jak po stránce
odborné, tak metodické. Tato sbírka by nevznikla bez velkého porozumění
mé ženy, která mně vytvořila nejen dobré zázemí pro práci, ale také pomohla
po stránce odborné a metodické. Za tuto podporu jí děkuji.
Vám, vážení studenti a kolegové přeji, aby vám práce se sbírkou při
nášela radost a uspokojení při studiu matematiky.
Jevíčko, srpen 2008 Dag Hrubý
6
Struktura učiva matematiky na gymnáziu
Tato sbírka vychází z jistého konkrétního pojetí výuky matematiky na
čtyřletém gymnáziu všeobecného zaměření. Učební plán výuky je následu
jící:
Ročník Povinná výuka Volitelná výuka Celkem hodin
1 4 0 4
2 4 0 4
3 4 2 6
4 4 2 6
Rozdělení učiva do jednotlivých ročníků
Ročník Tematické celky
1 Základní poznatky z matematiky
Rovnice a nerovnice
Planimetrie
Opakování a písemné práce
2 Funkce
Stereometrie
Opakování a písemné práce
3 Analytická geometrie
Komplexní čísla
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika
Opakování a písemné práce
4 Posloupnosti a řady
Základy diferenciálního počtu
Základy integrálního počtu
Závěrečné opakování a písemné práce
Z uvedeného rozvržení učiva vycházejí pak tematické plány pro jed
notlivé ročníky.
7
Tematický plán pro 1. ročník
4 hodiny týdně, 132 za rok, z toho 33 hodin cvičení
Opakování (4)
1 Základní poznatky z matematiky (40)
1.1 Číselné obory
1.1.1 Obor čísel přirozených
1.1.2 Obor čísel celých
1.1.3 Obor čísel racionálních
1.1.4 Obor čísel reálných
1.1.5 Druhá a třetí odmocnina
1.1.6 Absolutní hodnota reálného čísla
1.1.7 Mocniny s celým exponentem
1.2 Základní poznatky z teorie množin
1.2.1 Pojem množiny
1.2.2 Operace s množinami
1.2.3 Binární relace
1.3 Základní poučení o výrocích
1.3.1 Pojem výroku
1.3.2 Výrokové formy
1.3.3 Matematické věty
1.4 Elementární teorie čísel
1.4.1 Číselné soustavy
1.4.2 Prvočísla a čísla složená
1.4.3 Dělitelnost
1.5 Algebraické výrazy
1.5.1 Pojem algebraického výrazu
1.5.2 Mnohočleny
1.5.3 Lomené výrazy
1.5.4 Vyjádření neznámé ze vzorce
2 Rovnice a nerovnice (40)
2.1 Algebraické rovnice
2.1.1 Pojem algebraické rovnice
8
2.1.2 Lineární rovnice
2.1.3 Kvadratické rovnice
2.1.4 Rovnice vyšších stupňů
2.1.5 Soustavy rovnic
2.2 Algebraické nerovnice
2.2.1 Lineární nerovnice
2.2.2 Kvadratické nerovnice
2.2.3 Nerovnice vyšších stupňů
2.2.4 Soustavy nerovnic
2.3 Speciální rovnice a nerovnice
2.3.1 Rovnice a nerovnice s neznámou ve jmenovateli
2.3.2 Rovnice a nerovnice s neznámou v absolutní hodnotě
2.3.3 Rovnice a nerovnice s neznámou pod odmocninou
2.3.4 Rovnice a nerovnice s parametry
3 Planimetrie (36)
3.1 Základy planimetrie
3.1.1 Základní planimetrické pojmy
3.1.2 Úsečka, úhel, dvojice úhlů
3.1.3 Polohové a metrické vlastnosti bodů a přímek
3.2 Základní útvary v rovině
3.2.1 Trojúhelníky
3.2.2 Mnohoúhelníky
3.2.3 Kružnice a kruh
3.2.4 Obvody a obsahy rovinných útvarů
3.2.5 Množiny bodů dané vlastnosti
3.3 Konstrukční úlohy
3.3.1 Pojem konstrukční úlohy
3.3.2 Základní geometrické konstrukce
3.3.3 Konstrukce trojúhelníků, čtyřúhelníků a kružnice
3.4 Geometrická zobrazení
3.4.1 Shodná zobrazení v rovině
3.4.2 Stejnolehlost
Opakování (4)
Písemné práce (8)
9
Tematický plán pro 2. ročník
4 hodiny týdně, 132 za rok, z toho 33 hodin cvičení
Opakování (4)
1 Funkce (76)
1.1 Základní poznatky o funkcích
1.1.1 Pojem funkce
1.1.2 Vlastnosti funkcí
1.1.3 Funkce inverzní
1.1.4 Funkce složená
1.1.5 Speciální funkce
1.1.6 Transformace soustavy souřadnic
1.2 Algebraické funkce
1.2.1 Polynomické funkce
1.2.2 Lineární funkce
1.2.3 Kvadratické funkce
1.2.4 Mocninné funkce s přirozeným exponentem
1.2.5 Racionální lomené funkce
1.2.6 Lineární lomená funkce
1.2.7 Mocninné funkce s celým exponentem
1.3 Transcendentní funkce
1.3.1 Exponenciální funkce
1.3.2 Exponenciální rovnice a nerovnice
1.3.3 Logaritmické funkce
1.3.4 Logaritmy a jejich vlastnosti
1.3.5 Logaritmické rovnice a nerovnice
1.3.6 Goniometrické funkce
1.3.7 Vztahy mezi goniometrickými funkcemi
1.3.8 Goniometrické rovnice
1.3.9 Cyklometrické funkce
10
1.4 Trigonometrie
1.4.1 Řešení pravoúhlého trojúhelníku
1.4.2 Sinová a kosinová věta
1.4.3 Řešení obecného trojúhelníku
1.4.4 Užití trigonometrie v praxi
2 Stereometrie (40)
2.1 Základy stereometrie
2.1.1 Základní stereometrické pojmy
2.1.2 Základní útvary v prostoru
2.1.3 Volné rovnoběžné promítání
2.2 Polohové vlastnosti útvarů v prostoru
2.2.1 Vzájemná poloha dvou přímek
2.2.2 Vzájemná poloha přímky a roviny
2.2.3 Vzájemná poloha rovin
2.2.4 Průnik přímky a tělesa
2.2.5 Průnik roviny a tělesa
2.3 Metrické vlastnosti útvarů v prostoru
2.3.1 Odchylka přímek
2.3.2 Kolmost přímek a rovin
2.3.3 Odchylka přímek a rovin
2.3.4 Vzdálenost bodu od přímky a roviny
2.3.5 Vzdálenost přímek a rovin
2.4 Mnohostěny a rotační tělesa
2.4.1 Objem a povrch tělesa
2.4.2 Hranoly
2.4.3 Jehlany
2.4.4 Pravidelné mnohostěny
2.4.5 Válec a kužel
2.4.6 Koule a její části
Opakování (4)
Písemné práce (8)
11
Tematický plán pro 3. ročník
4 hodiny týdně, 132 za rok, z toho 33 hodin cvičení
Opakování (4)
1 Analytická geometrie (60)
1.1 Základy vektorové algebry
1.1.1 Soustava souřadnic
1.1.2 Pojem vektoru
1.1.3 Sčítání vektorů
1.1.4 Násobení vektorů reálným číslem
1.1.5 Skalární součin vektorů
1.1.5 Vektorový součin vektorů
1.1.6 Smíšený součin vektorů
1.2 Lineární útvary
1.2.1 Lineární útvary v rovině
1.2.2 Polohové vlastnosti lineárních útvarů v rovině
1.2.3 Metrické vlastnosti lineárních útvarů v rovině
1.2.4 Lineární útvary v prostoru
1.2.5 Polohové vlastnosti lineárních útvarů v prostoru
1.2.6 Metrické vlastnosti lineárních útvarů v prostoru
1.3 Kvadratické útvary
1.3.1 Pojem kuželosečky
1.3.2 Kružnice
1.3.3 Elipsa
1.3.4 Parabola
1.3.5 Hyperbola
1.3.6 Vyšetřování množin bodů analytickou metodou
1.3.7 Některé kvadratické útvary v prostoru
2 Komplexní čísla (24)
2.1 Pojem komplexního čísla
2.1.1 Uspořádané dvojice reálných čísel
2.1.2 Algebraický tvar komplexního čísla
12
2.1.3 Absolutní hodnota komplexního čísla
2.1.4 Goniometrický tvar komplexního čísla
2.2 Operace s komplexními čísly
2.2.1 Operace s komplexními čísly v algebraickém tvaru
2.2.2 Operace s komplexními čísly v goniometrickém tvaru
2.2.3 Moivreova věta
2.3 Výrokové formy s komplexními čísly
2.3.1 Algebraické rovnice v množině komplexních čísel
2.3.2 Kvadratické rovnice s reálnými koeficienty
2.3.3 Kvadratické rovnice s komplexními koeficienty
2.3.4 Binomické rovnice
2.3.5 Množiny bodů dané vlastnosti v Gaussově rovině
3 Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika (32)
3.1 Kombinatorika
3.1.1 Faktoriály a kombinační čísla
3.1.2 Binomická věta
3.1.3 Variace, permutace, kombinace
3.1.2 Variace, permutace, kombinace s opakováním
3.2 Pravděpodobnost
3.2.1 Náhodné jevy a množiny
3.2.2 Pojem pravděpodobnosti
3.2.3 Vlastnosti pravděpodobnosti
3.2.4 Nezávislé jevy
3.2.5 Binomické rozdělení
3.3 Statistika
3.3.1 Statistický soubor
3.3.2 Rozdělení četností
3.3.3 Charakteristiky polohy
3.3.4 Charakteristiky variability
Opakování (4)
Písemné práce (8)
13
Tematický plán pro 4. ročník
4 hodiny týdně, 120 za rok, z toho 30 hodin cvičení
Opakování (4)
1 Posloupnosti a řady (20)
1.1 Posloupnosti
1.1.1 Pojem posloupnosti
1.1.2 Matematická indukce
1.1.3 Aritmetická posloupnost
1.1.4 Geometrická posloupnost
1.2 Řady
1.2.1 Limita posloupnosti
1.2.2 Pojem nekonečné řady
1.2.3 Nekonečná geometrická řada
2 Základy diferenciálního počtu (40)
2.1 Spojitost
2.1.1 Okolí bodu
2.1.2 Spojitost funkce v bodě
2.1.3 Spojitost funkce v intervalu
2.1.4 Užití vlastností spojitých funkcí
2.2 Limita funkce
2.2.1 Pojem limity funkce
2.2.2 Vlastnosti limity funkce
2.2.3 Základní typy limit
2.2.4 Důležité limity
2.2.5 Tečny a asymptoty grafu funkce
2.3 Derivace funkce
2.3.1 Pojem derivace funkce
2.3.2 Pravidla pro počítání derivací
2.3.3 Derivace elementárních funkcí
2.4 Průběh funkce
2.4.1 Monotónnost
2.4.2 Extrémy
14
2.4.3 Inflexe
2.4.4 Vyšetřování průběhu funkce
2.5 Užití diferenciálního počtu
2.5.1 Užití diferenciálního počtu v geometrii
2.5.2 Užití diferenciálního počtu ve fyzice
3 Základy integrálního počtu (24)
3.1 Primitivní funkce
3.1.1 Pojem primitivní funkce
3.1.2 Integrační metody
3.2 Určitý integrál
3.2.1 Pojem určitého integrálu
3.2.2 Vlastnosti určitého integrálu
3.3 Užití integrálního počtu
3.3.1 Obsah rovinného útvaru
3.3.2 Objem rotačního tělesa
3.3.3 Užití integrálního počtu ve fyzice
Závěrečné opakování (24)
Úvod do studia matematiky
Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika
Aritmetika a algebra
Elementární geometrie
Analytická geometrie
Základy matematické analýzy
Písemné práce (6)
Závěrečná práce (2)
15
Požadavky k maturitní zkoušce z matematiky
Úvod do studia matematiky
Základy logiky
Pojem matematického výrazu. Výrok, pravdivostní hodnota výroku,
negace, konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence, negování složených
výroků, negace výroků obsahujících výrazy: „nejvýš n, aspoň n, právě n .
Výrokové formy, obor proměnné, definiční obor a obor pravdivosti výrokové
formy. Axiomy, definice, matematické věty a jejich důkazy, důkaz přímý,
důkaz sporem, důkaz matematickou indukcí.
Základy teorie množin
Pojem množiny, zadání množiny, podmnožina, potenční množina.
Vztahy mezi množinami, rovnost, inkluze, ekvivalence, množiny spočetné
a nespočetné. Operace s množinami, doplněk, sjednocení, průnik, rozdíl.
Vennovy diagramy. Uspořádané dvojice, kartézský součin, binární relace,
grafy relací, zobrazení, geometrická zobrazení, funkce, skládání zobraze
ní. Pojem operace, vlastnosti operací, uzavřenost, asociativnost, neutrální
a inverzní prvky, komutativnost, distributivnost.
Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika
Kombinatorika
Základní kombinatorické pojmy, faktoriály, kombinační čísla a jejich
vlastnosti, binomická věta. Základní kombinatorická pravidla. Variace, per
mutace, kombinace bez opakování, variace, permutace, kombinace s opako
váním, smíšené úlohy.
Pravděpodobnost a statistika
Náhodné jevy a množiny jevů, množina elementárních jevů, jev jistý
a jev nemožný, jev opačný. Pojem pravděpodobnosti, klasická pravděpodob
nost, vlastnosti pravděpodobnosti. Nezávislé jevy, Bernoulliova posloupnost
nezávislých pokusů. Matematická statistika, statistický soubor, jednotka,
znak, četnosti a jejich vlastnosti, znázornění četností, spojnicový diagram,
16
histogram, kruhový diagram. Charakteristiky polohy, průměr, vážený prů
měr, geometrický průměr, harmonický průměr, modus, medián. Charakte
ristiky variability, rozptyl a směrodatná odchylka.
Aritmetika a algebra
Elementární teorie čísel
Číslo, číslice, číselné soustavy, dekadický poziční systém, zápisy přiro
zených čísel. Prvočísla a čísla složená, základní věta aritmetiky, násobek
a dělitel, společný násobek a dělitel, nejmenší společný násobek a největší
společný dělitel, čísla soudělná a nesoudělná, kritéria dělitelnosti, důkazové
úlohy o dělitelnosti.
Číselné obory
Pojem číselného oboru, obor čísel přirozených, celých, racionálních
a reálných, čísla iracionální, číselná osa, znázornění čísel na číselné ose.
Základní operace v číselných oborech a jejich vlastnosti, uzavřenost, aso
ciativnost, neutrální a inverzní prvky, komutativnost, distributivnost, moc
niny, odmocniny a operace s nimi. Vztahy mezi reálnými čísly, absolutní
hodnota reálného čísla a její vlastnosti, geometrická interpretace, intervaly.
Komplexní čísla
Množina uspořádaných dvojic reálných čísel, operace s dvojicemi reál
ných čísel a jejich vlastnosti. Absolutní hodnota komplexního čísla, Gaus
sova rovina. Algebraický tvar komplexního čísla, čísla komplexně sdruže
ná, komplexní jednotky, operace s komplexními čísly v algebraickém tva
ru. Goniometrický tvar komplexního čísla, modul a argument, Moivreova
věta, násobení, dělení, umocňování a odmocňování komplexních čísel v go
niometrickém tvaru. Lineární, kvadratické a binomické rovnice v množině
komplexních čísel, n-té odmocniny z jedné včetně geometrické intepretace.
Výrokové formy s absolutními hodnotami.
Algebraické výrazy
Pojem algebraického výrazu, definiční obor výrazu, hodnota výrazu,
rovnost výrazů. Pojem mnohočlenu, operace s mnohočleny, rozklady mno
hočlenů, nulové body. Lomené výrazy, krácení a rozšiřování lomených vý
17
razů, rozklady na parciální zlomky. Výrazy s absolutními hodnotami, moc
ninami a odmocninami. Význam a užití algebraických výrazů v praxi.
Algebraické rovnice
Pojmy rovnost, rovnice. Algebraické rovnice, definiční obor rovnice, ko
řen rovnice, vlastnosti kořenů, úpravy rovnic, zkouška. Grafické řešení rov
nic. Polynomy, funkce a rovnice, souvislosti. Lineární a kvadratické rovnice,
některé rovnice vyšších stupňů. Rovnice s neznámou v absolutní hodnotě,
rovnice s neznámou pod odmocninou, rovnice s parametry. Soustavy rovnic.
Význam a užití algebraických rovnic v praxi.
Algebraické nerovnice
Pojmy nerovnost a nerovnice, nerovnosti mezi reálnými čísly. Pojem al
gebraické nerovnice, definiční obor nerovnice, součinový a podílový tvar ne
rovnic. Lineární a kvadratické nerovnice, některé nerovnice vyšších stupňů.
Lineární nerovnice se dvěma neznámými. Úpravy nerovnic, grafické řešení
nerovnic. Nerovnice s neznámou v absolutní hodnotě, nerovnice s neznámou
pod odmocninou, nerovnice s parametry. Soustavy nerovnic. Význam a užití
algebraických nerovnic v praxi.
Elementární geometrie
Základy planimetrie
Základní planimetrické pojmy a vztahy mezi nimi. Polopřímka, po
lorovina, úhel. Vzájemná poloha bodů a přímek v rovině. Množiny bodů
dané vlastnosti. Konvexní a nekonvexní útvary. Míra geometrických útvarů,
délka úsečky, velikost úhlu, vzdálenost geometrických útvarů, obvody a ob
sahy rovinných útvarů. Pojem konstrukční úlohy, eukleidovské konstrukce,
metody řešení konstrukčních úloh, základní geometrické konstrukce, kon
strukce algebraických výrazů, dělení úsečky v daném poměru, zlatý řez.
Shodná zobrazení v rovině, samodružný bod, samodružný útvar, identita,
osová souměrnost, středová souměrnost, rotace, translace, skládání shod
ných zobrazení. Stejnolehlost.
18
Trojúhelníky a mnohoúhelníky
Trojúhelník, strany a úhly v trojúhelníku, těžiště, těžnice, výšky,
střední příčky, kružnice opsaná, kružnice vepsaná. Obvod a obsah trojúhel
níku. Shodnost a podobnost trojúhelníků. Konstrukce trojúhelníku. Čtyř
úhelníky, různoběžníky, lichoběžníky, rovnoběžníky. Strany a úhly ve čtyř
úhelníku, čtyřúhelník tečnový, tětivový a dvojstředový. Konstrukce čtyř
úhelníků. Mnohoúhelník konvexní a nekonvexní, pravidelný n-úhelník, stra
ny, úhly, úhlopříčky n-úhelníku. Obvod a obsah pravidelného n-úhelníku.
Konstrukce pravidelného n-úhelníku.
Kružnice a kruh
Kružnice, úhly v kružnici, obvodový, středový, úsekový úhel, Thale
tova kružnice. Vzájemná poloha přímky a kružnice, vzájemná poloha kruž
nic, stejnolehlost kružnic, mocnost bodu ke kružnici. Konstrukce kružnice,
konstrukce tečny ke kružnici. Délka kružnice, délka kružnicového oblouku.
Kruh, kruhová výseč, kruhová úseč. Obvod a obsah kruhu, kruhové výseče
a úseče.
Trigonometrie
Geometrie pravoúhlého trojúhelníku, goniometrické funkce ostrého
úhlu, vztahy mezi stranami a úhly v pravoúhlém trojúhelníku. Věta Py
thagorova, věty Eukleidovy. Řešení pravoúhlého trojúhelníku. Obecný troj
úhelník, sinová věta, kosinová věta. Základní trigonometrické úlohy.
Základy stereometrie
Základní stereometrické pojmy. Volné rovnoběžné promítání. Vzá
jemná poloha bodů, přímek a rovin v prostoru. Průsečík přímky a roviny,
průsečnice dvou rovin, řez tělesa rovinou. Odchylka přímek, kolmost přímek,
kolmost rovin, odchylka přímky a roviny, odchylka dvou rovin. Vzdálenost
bodů, vzdálenost bodu od přímky, vzdálenost bodu od roviny, vzdálenost
přímek, vzdálenost rovin. Pojem tělesa, konvexní a nekonvexní tělesa, hra
nice tělesa, síť tělesa. Míra geometrických útvarů v prostoru, objem tělesa,
povrch tělesa, Cavalieriho princip.
19
Mnohostěny a rotační tělesa
Konvexní mnohostěny. Eulerova věta o mnohostěnech. Hranol, kvádr,
krychle, vrcholy, stěny, hrany, stěnové a tělesové úhlopříčky mnohostěnu,
povrch a objem hranolu, kvádru, krychle. Jehlan, komolý jehlan, povrch
a objem jehlanu a komolého jehlanu. Pravidelné mnohostěny, Platonova
tělesa, tetraedr, hexaedr, oktaedr, dodekaedr, ikosaedr. Rotační tělesa, válec,
kužel, komolý kužel, koule, kulová plocha. Polokoule, kulová úseč, kulová
výseč, kulová vrstva, vrchlík. Povrch a objem válce, kužele, komolého kužele,
koule.
Analytická geometrie
Základy vektorové algebry
Soustava souřadnic na přímce, v rovině, v prostoru. Střed dvojice bodů,
vzdálenost dvou bodů. Pojem vektoru, souřadnice vektoru, velikost vekto
ru. Sčítání vektorů, násobení vektorů reálným číslem. Lineární kombinace,
lineární závislost a nezávislost vektorů. Skalární součin vektorů a jeho vlast
nosti, odchylka vektorů. Vektorový součin a jeho vlastnosti, smíšený součin,
geometrická interpretace.
Analytická geometrie lineárních útvarů v rovině
Parametrické rovnice přímky, polopřímky, úsečky, obecná rovnice přím
ky, směrový a normálový vektor, směrnicový a úsekový tvar rovnice přímky,
směrnice přímky. Rovnice přímky dané bodem a směrnicí, rovnice přímky
dané dvěma body. Vzájemná poloha bodů a přímek, odchylka dvou přímek,
vzdálenost bodu od přímky, vzdálenost dvou rovnoběžných přímek.
Analytická geometrie lineárních útvarů v prostoru
Parametrické vyjádření přímky, parametrické vyjádření roviny, obecná
rovnice roviny, normálový vektor roviny. Vzájemná poloha bodů, přímek
a rovin. Vzdálenost bodů, přímek a rovin, odchylka přímek, odchylka
přímky a roviny, odchylka dvou rovin.
Analytická geometrie kvadratických útvarů v rovině
Transformace soustavy souřadnic v rovině. Pojem kuželosečky, analy
tické vyjádření kružnice, elipsy, paraboly a hyperboly, vlastnosti kuželo
20
seček. Vzájemná poloha přímky a kuželosečky, rovnice tečny. Analytické
vyšetřování množin bodů.
Základy matematické analýzy
Základní poznatky o funkcích
Pojem funkce, rozdělení funkcí, základní charakteristiky funkce, defi
niční obor, obor hodnot, graf funkce. Rovnost funkcí, funkce sudá, lichá,
periodická. Monotónnost a omezenost funkce, extrémy funkce. Funkce in
verzní a složená. Funkce absolutní hodnota, funkce celá část, funkce signum.
Polynomické funkce
Pojem polynomické funkce, definiční obor, obor hodnot, graf, vlastnosti
polynomických funkcí. Funkce konstantní, lineární funkce, funkce kvadra
tická. Mocninné funkce s přirozeným exponentem.
Racionální lomené funkce
Racionální lomené funkce, definiční obor, obor hodnot, graf, vlastnosti
racionálních lomených funkcí. Funkce nepřímá úměrnost, lineární lomená
funkce. Mocninné funkce s celým záporným exponentem, mocninné funkce
s necelým racionálním exponentem. Ostatní racionální lomené funkce.
Exponenciální a logaritmické funkce
Exponenciální funkce, definiční obor, obor hodnot, graf, vlastnosti ex
ponenciálních fukcí. Funkce y = ex
, funkce y = 10x
. Exponenciální rovnice
a nerovnice. Logaritmické funkce, definiční obor, obor hodnot, graf, vlast
nosti logaritmických funkcí. Funkce y = log x, y = ln x. Pojem logaritmu,
vlastnosti logaritmů. Logaritmické rovnice a nerovnice.
Goniometrické a cyklometrické funkce
Goniometrické funkce sinus, kosinus, tangens, kotangens, definiční obo
ry, obory hodnot, vlastnosti goniometrických funkcí. Goniometrické funkce
složeného argumentu. Vztahy mezi goniometrickými funkcemi. Goniomet
rické rovnice a nerovnice. Cyklometrické funkce arcsin, arccos, arctg, arc
cotg, definiční obory, obory hodnot, grafy.
21
Posloupnosti a řady
Pojem posloupnosti, zadání posloupnosti vzorcem pro n-tý člen, reku
rentně, graf posloupnosti, vlastnosti posloupnosti, monotónnost, omezenost.
Posloupnost aritmetická a geometrická. Limita posloupnosti. Posloupnost
an = 1 +
1
n
n
. Nekonečná geometrická řada.
Spojitost a limita funkce
Okolí bodu, přírůstek argumentu, přírůstek funkce. Funkce spojitá
v bodě, funkce spojitá v uzavřeném intervalu. Základní vlastnosti funkcí
spojitých v uzavřeném intervalu. Využití vlastností spojitých funkcí při ře
šení rovnic a nerovnic. Limita funkce, pravidla pro počítání limit, nevlastní
limity a limity v nevlastních bodech, důležité limity. Asymptoty a tečny
grafu funkce.
Derivace funkce
Pojem derivace funkce, geometrická a fyzikální interpretace derivace
funkce, rovnice tečny a normály grafu funkce, úhel dvou křivek. Derivace
funkce a spojitost funkce. Pravidla pro počítání derivací, derivace inverzní
a složené funkce. Derivace elementárních funkcí. Druhá derivace funkce,
diferenciál funkce, derivace funkce v implicitním tvaru. L’Hospitalovo pra
vidlo.
Užití diferenciálního počtu
Věta Rolleova, věta Lagrangeova, monotónnost a derivace funkce, lo
kální extrémy a derivace, globální extrémy funkce, funkce konvexní a kon
kávní, inflexní body. Vyšetřování průběhu funkce, slovní úlohy na extrémy
funkcí.
Základy integrálního počtu
Pojem primitivní funkce, primitivní funkce k elementárním funkcím.
Integrační metody, přímá integrace, metoda substituční, integrace per par
tes, rozklady na parciální zlomky. Pojem určitého integrálu a jeho vlastnos
ti, výpočet určitých integrálů, substituce a metoda per partes při výpočtu
určitého integrálu. Výpočet obsahu rovinného útvaru, výpočet objemu ro
tačního tělesa.
22
Otázky k maturitní zkoušce z matematiky
1. Základy matematické logiky
2. Základy teorie množin
3. Kombinatorika
4. Pravděpodobnost a statistika
5. Elementární teorie čísel
6. Číselné obory
7. Komplexní čísla
8. Algebraické výrazy
9. Algebraické rovnice
10. Algebraické nerovnice
11. Základy planimetrie
12. Trojúhelníky a mnohoúhelníky
13. Kružnice a kruh
14. Trigonometrie
15. Základy stereometrie
16. Mnohostěny a rotační tělesa
17. Základy vektorové algebry
18. Analytická geometrie lineárních útvarů v rovině
19. Analytická geometrie lineárních útvarů v prostoru
20. Analytická geometrie kvadratických útvarů
21. Základní poznatky o funkcích
22. Polynomické funkce
23. Racionální lomené funkce
24. Exponenciální a logaritmické funkce
25. Goniometrické a cyklometrické funkce
26. Posloupnosti a řady
27. Spojitost a limita funkce
28. Derivace funkce
29. Užití diferenciálního počtu
30. Základy integrálního počtu
23
Úlohy z matematiky
Základní poznatky z matematiky
Cvičení 1
1 Vypočtěte co nejúsporněji:
a) 68 + 372 + 32 b) 4 · 78 · 25
c) 8 · 392 + 2 · 392 d) 19 · 58 − 9 · 58
2 Vypočtěte:
a) 50 − [60 − (25 − 8)] b) [42 + (35 − 12)] − (54 − 18)
c) 56 − (23 + 15) − 18 d) 56 − (23 − 15) − 18
3 Vypočtěte:
a) (3 − 5) · (2 − 7) b) (3 − 5) · 2 − 7
c) 3 − 5 · (2 − 7) d) 3 − 5 · 2 − 7
4 Vypočtěte:
a) 3 · (2 − 6) · 5 − 4 · 7 b) [3 · (2 − 6) · 5 − 4] · 7
c) 3[(2 − 6) · 5 − 4 · 7] d) 3 · [(2 − 6) · 5 − 4] · 7
5 Řešte algebrogram:
KRK
KRA
RAK
1. a) 472; b) 7 800; c) 3 920; d) 580 2. a) 7; b) 29; c) 0; d) 30 3. a) 10; b) −11;
c) 28; d) −14 4. a) −88; b) −448; c) −144; d) −504 5. A = 0; K = 2; R = 5
27
Cvičení 2
1 Daná čísla zapište zlomkem v základním tvaru:
a)
36
84
b)
1 859
1 001
c)
476
408
d)
24 948
16 632
2 Dané zlomky uspořádejte podle velikosti:
a)
14
17
,
7
9
,
11
15
,
4
5
b)
14
23
,
3
5
,
29
48
,
21
34
3 Vypočtěte:
a)
1
7
−
16
210
−
1
5
+
1
3
b)
3
4
1
4
−
1
12
:
1
2
c)
11
4
:
11
11,6
d)
(2,1 − 1,965) : (1,2 · 0,045)
0,003 25 : 0,013
−
1 : 0,25
1,6 · 0,625
4 Daná čísla zapište zlomkem v základním tvaru:
a) 0,036 b) 0,30
c) 0,681 d) 7
3
11
5 Dané zlomky zapište ve tvaru desetinného čísla nebo nekonečného de
setinného rozvoje s vyznačením periody:
a)
2
3
b)
9
200
c)
256
1024
d)
3
7
1. a) 3
7
; b) 13
7
; c) 7
6
; d) 3
2
2. a) 11
15
< 7
9
< 4
5
< 14
17
; b) 3
5
< 29
48
< 14
23
< 21
34
3. a) 1
5
;
b) 1
16
; c) 29
10
; d) 6 4. a) 9
250
; b) 10
33
; c) 15
22
; d) 80
11
5. a) 0,6; b) 0,045; c) 0,25;
d) 0,428 571
28
Cvičení 3
1 Na číselné ose vyznačte obrazy čísel:
a)
√
2 b)
√
2 −
√
3
c)
√
3 d) −1 −
√
3
2 Usměrněte zlomky:
a)
1
√
2 +
√
3
b)
1
1 +
√
3
c)
1
√
3 −
√
2
d)
1
√
5 − 1
Poznámka. Usměrnit zlomek znamená „odstranit ze jmenovatele iracionální číslo.
3 Rozhodněte, které z čísel je větší:
a) a = 1 +
√
2
2
, b =
√
3
√
2
+
√
2
2
b) c =
√
6
√
5
+
√
6
√
2
, d = 1 +
√
5
√
2
4 Zaokrouhlete čísla
a) 36,6; 564; 5,013 4; 0,021 4 na dvě platné číslice,
b) 5 555; 232,4; 2,725; 0,002 339 na tři platné číslice.
5 Určete číslo a tak, aby platilo:
a)
a
10n
<
37
59
<
a + 1
10n
b)
a
10n
<
√
5 <
a + 1
10n
c)
a
10n
<
√
3 <
a + 1
10n
d)
a
10n
< π <
a + 1
10n
Ve všech případech volte postupně n = 1, n = 2, n = 3.
2. a)
√
3 −
√
2; b)
√
3−1
2
; c)
√
3 +
√
2; d)
√
5+1
4
3. a) a < b; b) c > d 4. a) 37; 560;
5,0; 0,021; b) 5 560; 232; 2,73; 0,002 34 5. a) n = 1, a = 6; n = 2, a = 62; n = 3,
a = 627; b) n = 1, a = 22; n = 2, a = 223; n = 3, a = 2 236; c) n = 1, a = 17; n = 2,
a = 173; n = 3, a = 1 732; d) n = 1, a = 31; n = 2, a = 314; n = 3, a = 3 141
29
Cvičení 4
1 Vypočtěte bez použití tabulek a kalkulačky:
a)
√
1,44 b) 3
√
0,064
c)
√
3 600 d) 3
√
343 000
2 Vypočtěte:
a) (
√
2 +
√
3) ·
√
2 b) (
√
2 +
√
3) ·
√
3
c)
√
48 :
√
3 d)
√
320 :
√
5
3 Částečně odmocněte:
a)
√
12 b) 3
√
54
c)
√
192 d) 3
√
128
4 Vyjádřete ve tvaru součinu racionálního čísla a odmocniny z co
nejmenšího přirozeného čísla:
a)
1
3
b)
5
6
c) 3 1
3
d) 3 3
4
5 Sečtěte:
a)
√
8 +
√
18 b) 3
√
12 −
√
48
c) 3
√
24 + 3
√
81 d) 5 3
√
32 − 2 3
√
108
1. a) 1,2; b) 0,4; c) 60; d) 70 2. a) 2+
√
6; b)
√
6+ 3; c) 4; d) 8 3. a) 2
√
3; b) 3 3
√
2;
c) 8
√
3; d) 4 3
√
2 4. a) 1
3
√
3; b) 1
6
√
30; c) 1
3
3
√
9; d) 1
2
3
√
6 5. a) 5
√
2; b) 2
√
3; c) 5 3
√
3;
d) 4 3
√
4
30
Cvičení 5
1 Vypočtěte:
a) |3| + | − 3| b) |3| − |−3|
c) |3 − 5| − |5 − 3| d) |3 − 5| + |5 − 3|
2 Vypočtěte:
a)
3 − |3| + 1
1 − | − 3| − 3
b)
| − 2| − (−2)
1 + −2 − | − 2|
c)
8 − |8| + | − 8|
| − 8|
d)
1 + 3 − |3|
| − 3| − (−3)
3 Vypočtěte:
a) |1 −
√
2| + |2 −
√
2| b) |2 −
√
5| − |
√
5 − 2|
c) |
√
2 −
√
3| − |
√
2 +
√
3| d) |
√
5 −
√
3| − |
√
3 −
√
5|
4 Určete hodnoty daných výrazů pro x > 0 a pro x < 0:
a) x + |x| b) x − |x|
c) x · |x| d)
x
|x|
5 Dokažte:
a) ∀x, y ∈ R: |x · y| = |x| · |y| b) ∀x ∈ R: |x| = |−x|
c) ∀x ∈ R: |x|2
= x2
d) ∀x, y ∈ R: |x − y| = |y − x|
1. a) 6; b) 0; c) 0; d) 4 2. a) 1
5
; b) 4
5
; c) 1; d) 1
6
3. a) 1; b) 0; c) −2
√
2; d) 0
4. a) 2x, 0; b) 0, 2x; c) x2, −x2; d) 1, −1
31
Cvičení 6
1 Vypočtěte:
a)
34
· 36
39
b)
(32
· 23
)2
(2 · 3)4
c)
(−2)3
(−3)2
:
−42
33
d)
25
· 37
82 · 93
2 Vypočtěte:
a)
2−2
· 53
· 10−4
2−3 · 52 · 10−5
b)
2−6
· 3−2
· 53
(2−4 · 53)2 : 34
c)
−43
32
:
(−2)4
35
d)
46
· 95
+ 69
· 120
84 · 312 − 611
3 Upravte:
a)
23
· (x2
)3
· (yx)2
x3y4
· (−x4
y5
) b)
x · y2
3
−2
·
x2
· y
4
2
c)
2x2
y
x3y
:
1
y
·
x3
y2
d) x−1
y3
−2
·
x2
2y
−2
· −
2x2
2y
−4
4 Upravte:
a)
an+1
· b
a · bn+1
+
a
b
n
b) xn+2
·
1
y
n+2
−
x2
y2
x
y
n
c)
(x − 5)2
x − 2
k
·
x2
− 4
x − 5
k
d)
(a − b)x+y+1
· (a + b)x+y+1
(a2 − b2)x+y
5 Upravte:
a)
3a2
b
3
:
2a
b
2
·
2b2
27a4
b) a2r
bs
:
3ar
b3s
2
·
9
b7s
c)
x2
y
t2z
−1
:
xy
zt
−2
·
z
y
d)
x2
y
z3
k
:
xz2
y
2k
·
z7k
y3k
32
1. a) 3; b) 4; c) 3
2
; d) 3
2
2. a) 100; b) 36
125
; c) −108; d) 4
5
3. a) −8x9y3, x = 0,
y = 0; b) 9x2
16y2 , x = 0, y = 0; c) 2y3
x4 , x = 0, y = 0; d) 4
x10 , x = 0, y = 0 4. a) 2an
bn ,
a = 0, b = 0; b) 0, y = 0; c) [(x + 2)(x − 5)]k, x = 2, x = 5; d) a2 − b2, a = b 5. a) 1,
a = 0, b = 0; b) 1, a = 0, b = 0; c) 1, x = 0, y = 0, z = 0, t = 0; d) 1, x = 0, y = 0,
z = 0
Cvičení 7
1 Zapište všechny podmnožiny dané množiny:
a) {2, 7} b) {∅} c) {5, 7, 9} d) {0}
2 Určete doplněk množiny B vzhledem k množině A, jestliže:
a) A = N, B = {x ∈ N; |x| > 2},
b) A = R, B = {x ∈ R; |x − 1| < 0},
c) A = Z, B = {x ∈ Z; |x| > 2},
d) A = R, B = {x ∈ R; |x − 2| ≧ 0}.
3 Určete průnik a sjednocení množin A, B, jestliže:
a) A = {−2, 0, 5, 7}, B = {−3, −1, 0, 4, 7, 9},
b) A = {x ∈ Z; x < −5}, B = {x ∈ Z; x ≦ −1},
c) A = N, B = {x ∈ Z; |x| < 3},
d) A = N, B = {x ∈ Z; x < 1}.
4 Určete podmínky platnosti následujících vztahů:
a) A ∩ B = A b) B′
= A c) A ∪ B = A d) B′
= ∅
5 Určete rozdíly A \ B a B \ A, jestliže:
a) A = {−3, −1, 0, 5}, B = {−1, 0, 1},
b) A = N, B = {x ∈ Z; |x| ≦ 2},
c) A = Z, B = N,
d) A = Z−
, B = {x ∈ Z; |x − 1| < 3}.
33
1. a) ∅, {2}, {7}, {2, 7}; b) ∅, {∅}; c) ∅, {5}, {7}, {9}, {5, 7}, {5, 9}, {7, 9}, {5, 7, 9};
d) ∅, {0} 2. a) B′ = {1, 2}; b) B′ = R; c) B′ = {−2, −1, 0, 1, 2}; d) B′ = ∅
3. a) A ∩ B = {0, 7}, A ∪ B = {−3, −2, −1, 0, 4, 5, 7, 9}; b) A ∩ B = A, A ∪ B = B;
c) A ∩ B = {1, 2}, A ∪ B = N ∪ {−2, −1, 0}; d) A ∩ B = ∅, A ∪ B = Z 4. a) A ⊂ B;
b) B = ∅; c) B ⊂ A; d) A = B 5. a) A \ B = {−3, 5}, B \ A = {1}; b) A \ B = {x ∈ N;
x > 2}, B \ A = {−2, −1, 0}; c) A \ B = {x ∈ Z; x ≦ 0}, B \ A = ∅; d) A \ B = {x ∈ Z;
x ≦ −2}, B \ A = {0, 1, 2, 3}
Cvičení 8
1 Na číselné ose znázorněte a jako interval zapište tyto množiny:
a) {x ∈ R; −2 ≦ x ≦ 3} b) {x ∈ R; −7 < x ≦ −1}
c) {x ∈ R; 5 ≦ x < 9} d) {x ∈ R; −1 < x < 0}
2 Zapište jako interval množinu všech
a) reálných čísel, b) záporných reálných čísel,
c) nezáporných reálných čísel, d) reálných čísel větších než −7.
3 Rozhodněte, která z následujících množin je interval, a pak příslušný
interval zapište:
a) {x ∈ Z; x > 0} b) {x ∈ R; x ≧ 3}
c) {x ∈ R; 1 ≦ x < 2} d) {x ∈ N; x < 8}
4 Dané množiny zapište pomocí intervalů:
a) {x ∈ R; |x| ≦ 1} b) {x ∈ R; |x| > 2}
c) {x ∈ R; |x| < 3} d) {x ∈ R; |x| ≧ 0}
5 Určete sjednocení a průnik intervalů:
a) −2, 1 , 0, 3 b) (−3, −1), (−1, 4
c) −2, 3), 3, 5) d) −4, 0 , 0, 2)
34
1. a) −2; 3 ; b) (−7; −1 ; c) 5; 9); d) (−1; 0) 2. a) (−∞; +∞); b) (−∞; 0);
c) 0; +∞); d) (−7; +∞) 3. a) není interval; b) 3; +∞); c) 1; 2); d) není interval
4. a) −1; 1 ; b) (−∞; −2) ∪ (2; +∞); c) (−3; 3); d) (−∞; +∞) 5. a) (−2; 3 , 0; 1 ;
b) (−3; −1) ∪ (−1; 4), ∅; c) −2; 5) , ∅; d) −4; 2) , {0}
Cvičení 9
1 Rozhodněte, které z následujících výrazů jsou výroky:
a) x + 2 b) ∀x ∈ R: x + 2 = 3
c) x + 2 = 3 d) 1 + 1 = 2
2 Zapište negace následujících výroků:
a) Existuje aspoň jedno reálné číslo x, pro které platí x2
< 0.
b) Každé prvočíslo je liché číslo.
c) Rovnice |x| = 2 má v množině R právě dva kořeny.
d) Rovnice ax2
+ bx + c = 0 má v množině R nejvýš dva kořeny.
Rozhodněte, které z uvedených negací jsou pravdivé výroky.
3 Rozhodněte, zda dané výrokové formule jsou tautologiemi:
a) (p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬p) b) (p ⇒ q) ⇔ (p ∧ ¬q)
c) (p ∧ q) ⇒ (p ∨ q) d) [(p ⇒ q) ⇒ r] ⇔ [(p ∧ q) ⇒ r]
4 Dokažte, že neexistuje uspořádaná dvojice celých čísel [x, y], která by
splňovala rovnici x3
+ y3
= 13xy + 2.
5 Dokažte, že existuje právě jedno prvočíslo p takové, že p2
+ 2 je také
prvočíslo.
35
1. a) ne; b) ano; c) ne; d) ano 2. a) Pro každé reálné číslo x platí x2 ≧ 0, pravdivý
výrok. b) Existuje aspoň jedno prvočíslo, které je sudé, pravdivý výrok. c) Rovnice
|x| = 2 má v množině R aspoň tři kořeny nebo nejvýš jeden kořen, nepravdivý výrok.
d) Rovnice ax2 + bx + c = 0 má v množině R aspoň tři kořeny, nepravdivý výrok.
3. a) ano; b) ne; c) ano; d) ne 4. Návod. Rozlište 4 případy podle toho, zda jsou
jednotlivá čísla x, y sudá či lichá. 5. Návod. Uvažujte o dělitelnosti třemi.
Cvičení 10
1 ∀n ∈ N: 2 | n ⇒ 2 | n3
. Dokažte.
2 ∀a ∈ R+
, ∀b ∈ R+
:
√
ab ≦
a + b
2
. Dokažte.
3 ∀n ∈ N: 6 | (n3
− n). Dokažte.
4 ∀a, b, c ∈ N: a | b ∧ a | c ⇒ a | (b + c). Dokažte.
5 ∀a, b, c ∈ R+
: (a + b + c)
1
a
+
1
b
+
1
c
≧ 9. Dokažte.
5. Návod. Po roznásobení využijte třikrát vlastnost, že součet dvou kladných
navzájem převrácených čísel není menší než 2.
Cvičení 11
1 Napište v rozvinutém tvaru čísla:
a) 327 b) 6 305
c) 12 826 d) 74 068
36
2 Napište zkrácený zápis čísel:
a) 3 · 103
+ 5 · 102
+ 1 · 10 + 7 b) 2 · 105
+ 8 · 103
+ 6 · 10
c) 3 · 106
+ 5 d) 8 · 102
+ 5 · 10 + 6
3 Určete ciferné součty daných čísel:
a) 8 023 b) 100
c) 1 000 d) 286 325
4 Dané zlomky zapište v základním tvaru:
a)
360
504
b)
520
1 880
c)
8 640
15 552
d)
192 375
415 125
5 Pomocí proměnné k ∈ N vyjádřete
a) libovolné přirozené číslo, které je násobkem 6,
b) libovolné liché a libovolné sudé přirozené číslo,
c) všechna přirozená čísla, která nejsou dělitelná 5,
d) součin dvou po sobě jdoucích lichých čísel.
1. a) 3 · 102 + 2 · 10 + 7; b) 6 · 103 + 3 · 102 + 5; c) 104 + 2 · 103 + 8 · 102 + 2 · 10 + 6;
d) 7 · 104 + 4 · 103 + 6 · 10 + 8 2. a) 3 517; b) 208 060; c) 3 000 005; d) 856 3. a) 13;
b) 1; c) 1; d) 26 4. a) 5
7
; b) 13
47
; c) 5
9
; d) 19
41
5. a) 6k; b) 2k − 1, 2k; c) 5k + 1,
5k + 2, 5k + 3, 5k + 4; d) (2k + 1)(2k + 3)
Cvičení 12
1 Rozhodněte, kterými z čísel 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12 jsou dělitelná čísla:
a) 153 b) 1 460
c) 6 335 d) 454 528
37
2 V zápisu čísla 73∗2 doplňte na místo označené ∗ číslici tak, aby vzniklé
číslo bylo dělitelné:
a) 3 b) 9
c) 4 d) 8
3 Vyslovte pravidla o dělitelnosti čísly:
a) 6 b) 12
c) 15 d) 18
4 Určete všechny dvojice [x, y] přirozených čísel, pro něž platí:
a)
1
x
+
1
y
=
1
2
b) 2x + 3y = 25
c)
1
x
+
1
y
= 1 d) x2
− y2
= 15
5 Dokažte:
a) Součet dvou po sobě jdoucích lichých čísel je dělitelný 4.
b) Součet tří po sobě jdoucích sudých přirozených čísel je dělitelný 6.
c) Druhá mocnina lichého čísla zmenšená o 1 je dělitelná 8.
d) Součet dvou dvojciferných čísel, která se liší jen pořadím cifer, je děli
telný 11.
1. a) 3, 9; b) 2, 4, 5, 10; c) 5; d) 2, 4 2. a) 0, 3, 6, 9; b) 6; c) 1, 3, 5, 7, 9; d) 1, 5, 9
4. a) [3; 6], [4; 4], [6; 3]; b) [11; 1], [8; 3], [5; 5], [2; 7]; c) [2; 2]; d) [8; 7], [4; 1]
Cvičení 13
1 Zapište množinu všech dělitelů daného čísla:
a) 12 b) 48
c) 70 d) 143
38
2 Napište prvočíselný rozklad daného čísla:
a) 36 b) 349
c) 943 d) 105 840
3 Určete největší společný dělitel daných čísel:
a) 60, 48 b) 720, 1 080
c) 42, 66 d) 30, 42, 66
4 Určete nejmenší společný násobek daných čísel:
a) 24, 40 b) 27, 56
c) 8, 22, 26 d) 12, 18, 30
5 Určete D(a, b), n(a, b) a ověřte platnost vztahu D(a, b) · n(a, b) = ab:
a) a = 30, b = 40 b) a = 97, b = 37
c) a = 121, b = 66 d) a = 68, b = 76
1. a) {1, 2, 3, 4, 6, 12}; b) {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48}; c) {1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70};
d) {1, 11, 13, 143} 2. a) 22 · 32; b) 349; c) 23 · 41; d) 24 · 33 · 5 · 72 3. a) 12; b) 360;
c) 6; d) 6 4. a) 120; b) 1 512; c) 1 144; d) 180 5. a) 10, 120; b) 1, 3 589; c) 11, 726;
d) 4, 1 292
Cvičení 14
1 Najděte dvojciferné číslo, které má následující vlastnosti:
1. Ciferný součet čísla je 9.
2. Zaměníme-li pořadí obou číslic, dostaneme číslo, které je o 45 větší.
2 Najděte trojciferné číslo, které má následující vlastnosti:
1. Zápis čísla je zakončen číslicí 4.
2. Přesuneme-li poslední číslici čísla na první místo, dostaneme číslo,
které je o 81 menší.
39
3 Najděte čtyřciferné číslo, které má následující vlastnosti:
1. Zápis čísla je zakončen číslicí 2.
2. Přesuneme-li poslední číslici čísla na první místo, dostaneme číslo,
které je o 234 větší.
4 Které dvojciferné číslo se po vzájemné výměně obou cifer
a) zvětší o 36, b) zvětší o 37?
5 Je-li zápis čísla zakončen číslicí 5, pak jeho druhá mocnina je zakončena
číslicí 25. Dokažte.
1. 27 2. 534 3. 1 962 4. a) 15, 26, 37, 48, 59; b) žádné
Cvičení 15
1 Je dán mnohočlen P(x) = x3
− 3x2
+ x + 1. Vypočtěte:
a) P(1) b) P(2)
c) P(−1) d) P(−2)
2 Zjednodušte:
6(2x3
− 2x2
+ 5x − 1) − 5(3x3
− 3x2
+ 4x + 2) + 3(x3
− x2
− 3x + 5).
3 Je dán mnohočlen P(n) = 2n3
− 3n2
+ 2n − 1. Vypočtěte:
a) P(3) b) P(−4)
c) P(−n) d) −P(n)
4 Určete součet tří po sobě jdoucích přirozených čísel, je-li nejmenší
rovno
a) 3k, b) 2k − 3.
Určete součet tří po sobě jdoucích přirozených čísel, je-li největší rovno
c) 3k − 2, d) 2k.
40
5 Dokažte, že pro všechna reálná čísla a, b, c platí
2(a + b + c) − 3 ≦ a2
+ b2
+ c2
.
1. a) 0; b) −1; c) −4; d) −21 2. x − 1 3. a) 32; b) −185; c) −2n3 − 3n2 − 2n − 1;
d) −2n3 + 3n2 − 2n + 1 4. a) 9k + 3; b) 6k − 6; c) 9k − 9; d) 6k − 3 5. Návod.
Využijte toho, že druhá mocnina libovolného reálného čísla je nezáporné číslo.
Cvičení 16
1 Vynásobte:
a) (x + 1)(x − 1) b) (x + a)(x − a)
c) (x2
− x + 1)(x + 1) d) (x2
+ x + 1)(x − 1)
2 Vynásobte:
a) (a − b + c)(a + b − c) b) (x − 1)(x − 2)(x − 3)
c) (x + 1)(x + 1)(x + 1) d) (x + y + z)(x + y + z)
3 Vydělte mnohočlen dvojčlenem:
a) (x3
+ 8) : (x + 2) b) (27x3
− 8) : (3x − 2)
c) (5a2
− 11a + 2) : (2 − a) d) (x2
+ 7x + 12) : (x + 4)
4 Umocněte:
a) (x + 10)2
b) (m2
+ n2
)2
c) (x3
− 1)2
d) (5ab − c)2
41
5 Vydělte dané mnohočleny:
a) (x4
− 1) : (x2
− 1),
b) (a6
+ b6
) : (a2
+ b2
),
c) (p3
− 3p2
q + 3pq2
− q3
) : (p2
− 2pq + q2
),
d) (a3
+ 3a2
b + 3ab2
+ b3
) : (a + b).
1. a) x2 −1; b) x2 −a2; c) x3 +1; d) x3 −1 2. a) a2 −b2 −c2 +2bc; b) x3 −6x2 +11x−6;
c) x3 +3x2 +3x+1; d) x2 +y2 +z2 +2xy+2xz+2yz 3. a) x2 −2x+4; b) 9x2 +6x+4;
c) −5a + 1; d) x + 3 4. a) x2 + 20x + 100; b) m4 + 2m2n2 + n4; c) x6 − 2x3 + 1;
d) 25a2b2 − 10abc + c2 5. a) x2 + 1; b) a4 − a2b2 + b4; c) p − q; d) (a + b)2
Cvičení 17
1 Rozložte na součin mnohočleny:
a) a2
b − ab2
b) 2(a + b) + (a + b)2
c) x2
− xy − 3x + 3y d) a3
+ 3a2
+ 3a + 9
2 Rozložte na součin mnohočleny:
a) 8p3
+ 1 b) u3
− 27v3
c) x3
− 9x d) 2x5
− 16x2
3 Rozložte na součin mnohočleny:
a) x2
− 5x + 6 b) x2
+ 5x − 6
c) x2
+ x − 6 d) x2
− x − 6
4 Rozložte na součin mnohočleny:
a) x5
+ x3
− x2
− 1 b) 2p4
− p3
+ p − 2
c) x3
− 3x2
+ 4 d) x5
+ x + 1
42
5 Rozložte na součin mnohočleny:
a) 2x4
+ x3
+ 4x2
+ x + 2 b) t3
+ 3t2
+ 4t + 2
c) x6
− y6
d) x4
+ 1
1. a) ab(a − b); b) (a + b)(a + b + 2); c) (x − y)(x − 3); d) (a + 3)(a2 + 3)
2. a) (2p + 1)(4p2 − 2p + 1); b) (u − 3v)(u2 + 3uv + 9v2); c) x(x + 3)(x − 3);
d) 2x2(x − 2)(x2 + 2x + 4) 3. a) (x − 2)(x − 3); b) (x + 6)(x − 1); c) (x + 3)(x − 2);
d) (x − 3)(x + 2) 4. a) (x − 1)(x2 + 1)(x2 + x + 1); b) (p + 1)(p − 1)(2p2 − p + 2);
c) (x + 1)(x − 2)(x − 2); d) Návod. Mnohočlen x5 + x + 1 lze zapsat ve tvaru x5 − x2 +
+x2 +x+1 = x2(x3 −1)+x2+x+1; (x2 +x+1)(x3 −x2 +1) 5. a) (x2 +1)(2x2 +x+2);
b) (t+1)(t2 +2t+2); c) (x−y)(x+y)(x2 +xy+y2)(x2 −xy+y2); d) Návod. Mnohočlen
x4 + 1 lze zapsat ve tvaru x4 + 1 = (x2 + 1)2 − 2x2; (x2 −
√
2x + 1)(x2 +
√
2x + 1)
Cvičení 18
1 Určete definiční obory výrazů:
a)
2 − x
x − 1
b)
x
x2 − 4
c)
3x + 5
2
d)
1
x2 − 5x + 6
2 Zkraťte:
a)
a2
− ab
a2 + ab
b)
x2
+ 3xy
x2y + 3xy2
c)
ac − bc + ad − bd
ac + bc + ad + bd
d)
x2
− 6x + 9
x2 + x − 12
3 Zapište jedním zlomkem:
1
a − b
−
3ab
a3 − b3
−
b − a
a2 + ab + b2
.
43
4 Sečtěte:
1
x − 2a
+
1
x + 2a
+
8a2
4a2x − x3
.
5 Dokažte, že pro všechny přípustné hodnoty proměnných platí:
x2
(x − y)(x − z)
+
y2
(y − z)(y − x)
+
z2
(z − x)(z − y)
= 1.
1. a) R \ {1}; b) R \ {−2, 2}; c) R; d) R \ {2, 3} 2. a) a−b
a+b
, a = 0, a = −b; b) 1
y
,
x = 0, y = 0, x = 3y; c) a−b
a+b
, a = −b, c = −d; d) x−3
x+4
, x = 3, x = −4 3. 2(a−b)
a2+ab+b2 ,
a = b, a2 + ab + b2 = 0 4. 2
x
, x = 0, x = ±2a
Cvičení 19
1 Upravte:
1
a
+
1
b
:
1
a
−
1
b
.
2 Upravte:
a
a − 1
−
a + 1
a
:
a
a + 1
−
a − 1
a
.
3 Upravte:
a −
4ab
a + b
+ b ·
a
a + b
−
b
b − a
+
2ab
a2 − b2
.
4 Upravte:
p2
− q2
pq
−
1
p + q
p2
q
−
q2
p
:
p − q
p
.
44
5 Upravte:
1
2x − y
+
3y
y2 − 4x2
−
2
2x + y
:
4x2
+ y2
4x2 − y2
+ 1 .
1. a+b
b−a
, a = 0, b = 0, a = b 2. a+1
a−1
, a = ±1, a = 0 3. a − b, a = ±b 4. p
p+q
,
p = 0, q = 0, p = ±q 5. − 1
4x
, y = ±2x, x = 0
Cvičení 20
1 Ze vzorce S = 2πr2
+ 2πrv vyjádřete v.
2 Ze vzorce V = 4
3 πr3
vyjádřete r.
3 Ze vzorce x =
a + b
a + d
vyjádřete d.
4 Ze vzorce z =
(a + b)xy
ay + bx
vyjádřete x.
5 Ze vzorce
1
a
=
1
b
+
1
c
+
1
d
vyjádřete d.
1. v = S−2Ôr2
2Ôr
2. r = 3 3V
4Ô 3. d = a+b−ax
x
4. x = ayz
ay+by−bz
5. d = abc
bc−ab−ac
45
Rovnice a nerovnice
Cvičení 21
1 V R řešte rovnice:
a) 3(1 − x) = 7 − 3x b)
x − 4
9
+
x − 1
3
=
5x − 2
6
c)
8x − 5
2
= 2x −
5x − 4
2
d)
3x + 1
2
−
x − 2
3
= 0
2 V R řešte početně i graficky rovnice:
a) x − 4 = 0 b) 2x + 5 = x − 1
c) 3x − 1 = x + 1 d)
x
2
+ 1 =
1
2
(x + 2)
3 V R řešte rovnice:
a)
7x − 1
3
+
5 + 3x
2
= 5x − 6 b) x +
3 − 7x
5
=
x + 3
5
−
2x − 1
3
c)
x + 5
3
−
x
2
=
x − 2
3
−
x − 3
2
d)
5x + 1
6
−
7x − 3
8
= 1 −
3x − 1
4
4 V R řešte rovnice:
a) (5x − 4)2
− (5 − 3x)2
= (3 − 4x)2
,
b) (2x − 3)2
+ (3x − 4)2
+ (4x − 5)2
= 29x2
− 26,
c) (x − 3)(x + 2) − (x + 2)(x − 4) = 7,
d) (2x − 5)(8x − 1) − (4x − 3)2
= 12(x − 1) − 7.
5 V R řešte rovnice:
a)
1
3
(x − 2) −
1
7
(5x − 6) =
22x − 63
105
−
1
5
(3x − 4),
b)
1
2
1
2
1
2
1
2
x − 3 − 3 − 3 = 0,
c) 5x + 3,48 − 2,35x = 5,381 − 2,9x + 10,42,
d) (x + 1)3
− (x − 1)3
= 6(x2
+ x + 1).
46
1. a) nemá řešení; b) − 8
7
; c) 1; d) −1 2. a) 4; b) −6; c) 1; d) řešením je každé číslo
3. a) 7; b) 5; c) nemá řešení; d) 1 4. a) 9
7
; b) 1; c) 5; d) 1
2
5. a) 1; b) 42; c) 4 107
1 850
;
d) − 2
3
Cvičení 22
1 V trojúhelníku ABC je velikost úhlu β rovna jedné třetině velikosti
úhlu α a současně je o 20◦
větší než velikost úhlu γ. Určete velikosti
vnitřních úhlů trojúhelníku.
2 Ze dvou míst A a B vzdálených 24 km vyrazí ve stejný okamžik proti
sobě chodec rychlostí 4 km za hodinu a cyklista rychlostí 12 km za
hodinu. Za kolik hodin a v jaké vzdálenosti od místa A, z něhož vyšel
chodec, se setkají?
3 V továrně pracuje ve třech odděleních 1 200 dělníků. V prvním oddělení
je jich dvakrát více než v druhém a ve třetím o 400 více než v prvním.
Kolik dělníků je v každém oddělení?
4 Smísí-li se 5 kg kávy dražší a 10 kg kávy levnější, je cena 1 kg směsi
220 Kč. Určete cenu 1 kg dražší a 1 kg levnější kávy, liší-li se jejich
ceny o 30 Kč?
5 Cyklista jede rychlostí 20 km/h. O kolik km/h musí zvýšit svou rych
lost, aby projel dráhu 84 km za 3 hodiny?
1. α = 120◦; β = 40◦; γ = 20◦ 2. 1,5 hod; 6 km 3. 320; 160; 720 4. 240 Kč;
210 Kč 5. o 8 km/h
47
Cvičení 23
1 Láhev se zátkou stojí 4,60 Kč, láhev je o 4 Kč dražší než zátka. Kolik
stojí láhev a kolik stojí zátka?
2 Ve třídě měla třetina žáků vyznamenání, 60 % žáků prospělo a dva žáci
neprospěli. Kolik žáků je ve třídě?
3 Na dvoře jsou slepice a králíci. Mají dohromady 35 hlav a 94 nohy.
Kolik je slepic a kolik králíků?
4 Kolik gramů 30% kyseliny dusičné je třeba přidat ke 100 g 10% kyseliny
dusičné, abychom dostali 25% kyselinu dusičnou?
5 Kolik gramů pevného NaNO3 musíme přidat do 450 g 15% roztoku
NaNO3, aby vznikl 25% roztok?
1. 4,30 Kč; 0,30 Kč 2. 30 3. 23 slepice; 12 králíků 4. 300 g 5. 60 g
Cvičení 24
1 V R řešte rovnice:
a) x2
+ 2x = 0 b) x2
− 2x = 0
c) −x2
+ 2x = 0 d) −x2
− 2x = 0
2 V R řešte rovnice:
a) x2
+ 4 = 0 b) x2
− 4 = 0
c) −x2
+ 4 = 0 d) −x2
− 4 = 0
48
3 V R řešte rovnice:
a) x2
+ 2x + 1 = 0 b) x2
− 2x + 1 = 0
c) −x2
− 2x − 1 = 0 d) −x2
+ 2x − 1 = 0
4 V R řešte rovnice:
a) x4
− 2x2
+ 1 = 0 b) x4
+ 2x2
+ 1 = 0
c) −x4
+ 2x2
− 1 = 0 d) −x4
− 2x2
− 1 = 0
5 V R řešte rovnice:
a) x4
− 4x2
= 0 b) x4
+ 4x2
= 0
c) −x4
+ 4x2
= 0 d) −x4
− 4x2
= 0
1. a) 0, −2; b) 0, 2; c) 0, 2; d) 0, −2 2. a) nemá řešení; b) 2, −2; c) 2, −2; d) nemá
řešení 3. a) −1; b) 1; c) −1; d) 1 4. a) −1, 1; b) nemá řešení; c) −1, 1; d) nemá
řešení 5. a) −2, 0, 2; b) 0; c) −2, 0, 2; d) 0
Cvičení 25
1 Dané rovnice řešte v R bez použití vzorce pro výpočet kořenů:
a) x2
+ 3x + 2 = 0 b) x2
− 3x + 2 = 0
c) x2
+ x − 2 = 0 d) x2
− x − 2 = 0
2 Dané rovnice řešte v R bez použití vzorce pro výpočet kořenů:
a) x2
+ 13x + 40 = 0 b) x2
− 13x + 40 = 0
c) x2
+ 3x − 40 = 0 d) x2
− 3x − 40 = 0
3 Dané rovnice řešte v R bez použití vzorce pro výpočet kořenů:
a) x4
+ 3x2
+ 2 = 0 b) x4
− 3x2
+ 2 = 0
c) x4
+ x2
− 2 = 0 d) x4
− x2
− 2 = 0
49
4 Dané rovnice řešte v R bez použití vzorce pro výpočet kořenů:
a) x2
− x +
1
4
= 0 b) x2
+ x +
1
4
= 0
c) −x2
+ x −
1
4
= 0 d) −x2
− x −
1
4
= 0
5 Dané rovnice řešte v R bez použití vzorce pro výpočet kořenů:
a) 4x2
− 12x + 9 = 0 b) 4x2
+ 12x + 9 = 0
c) −4x2
+ 12x − 9 = 0 d) −4x2
− 12x − 9 = 0
1. a) −2, 1; b) 1, 2; c) −2, 1; d) −1, 2 2. a) −8, −5; b) 5, 8; c) −8, 5; d) −5, 8
3. a) nemá řešení; b) −
√
2, −1, 1,
√
2; c) −1, 1; d) −
√
2,
√
2 4. a) 1
2
; b) − 1
2
; c) 1
2
;
d) − 1
2
5. a) 3
2
; b) − 3
2
; c) 3
2
; d) − 3
2
Cvičení 26
1 Rovnici x2
− 5x + 6 = 0 řešte v R:
a) zpaměti,
b) rozkladem na součin lineárních dvojčlenů,
c) doplněním na druhou mocninu dvojčlenu,
d) užitím vzorce pro výpočet kořenů.
2 Rovnici x2
+ 2x + 1 = 0 řešte v R:
a) zpaměti,
b) rozkladem na součin lineárních dvojčlenů,
c) doplněním na druhou mocninu dvojčlenu,
d) užitím vzorce pro výpočet kořenů.
50
3 Rovnici x2
+ x + 1 = 0 řešte v R:
a) zpaměti,
b) rozkladem na součin lineárních dvojčlenů,
c) doplněním na druhou mocninu dvojčlenu,
d) užitím vzorce pro výpočet kořenů.
4 Rovnici 6x2
− 5x + 1 = 0 řešte v R:
a) zpaměti,
b) rozkladem na součin lineárních dvojčlenů,
c) doplněním na druhou mocninu dvojčlenu,
d) užitím vzorce pro výpočet kořenů.
5 Rovnici 4x2
− 5x + 1 = 0 řešte v R:
a) zpaměti,
b) rozkladem na součin lineárních dvojčlenů,
c) doplněním na druhou mocninu dvojčlenu,
d) užitím vzorce pro výpočet kořenů.
1. a) 2, 3; b) (x − 2)(x − 3) = 0; c) x − 5
2
2
= 1
4
; d) D = 1, x1,2 = 5±1
2
2. a) −1;
b) (x+1)(x+1) = 0; c) (x+1)2 = 0; d) D = 0, x1,2 = −2±0
2
= −1 3. a) nemá řešení;
b) v R nelze rozložit; c) (x+1)2 + 3
4
= 0; d) D = −3 4. a) 1
2
, 1
3
; b) (2x−1)(3x−1) = 0;
c) (x − 5
12
)2 = 1
144
; d) D = 1, x1,2 = 5±1
12
5. a) 1, 1
4
; b) (4x − 1)(x − 1) = 0;
c) (x − 5
8
)2 = 9
64
; d) D = 9, x1,2 = 5±3
8
Cvičení 27
1 Sestavte rovnici x2
+ px + q = 0, která má kořeny:
a) 1, 2 b) 1, −2 c) −1, 2 d) −1, −2
51
2 Sestavte kvadratickou rovnici s co nejmenšími celočíselnými koeficien
ty, která má kořeny:
a)
1
2
, 3 b)
1
2
, −3 c) −
1
2
, 3 d) −
1
2
, −3
3 Sestavte rovnici x2
+ px + q = 0, která má kořeny:
a) 0, 1 b) 0, −1
c) x1 = x2 = −1 d) x1 = x2 = 0
4 Sestavte kvadratickou rovnici, která má kořeny:
a) u,
1
u
b)
u
v
,
v
u
c) 2u, 3u d) u, −2v
5 Sestavte kvadratickou rovnici, která má za kořeny čísla, jež ve vztahu
ke kořenům dané rovnice x2
+ px + q = 0 jsou:
a) čísla opačná, b) čísla převrácená,
c) jejich n násobky, d) čísla o n menší.
1. a) x2 − 3x + 2 = 0; b) x2 + x − 2 = 0; c) x2 − x − 2 = 0; d) x2 + 3x + 2 = 0
2. a) 2x2 − 7x + 3 = 0; b) 2x2 + 5x − 3 = 0; c) 2x2 − 5x − 3 = 0; d) 2x2 +
+ 7x + 3 = 0 3. a) x2 − x = 0; b) x2 + x = 0; c) x2 + 2x + 1 = 0; d) x2 = 0
4. a) ux2 − (u2 + 1)x + u = 0, u = 0; b) uvx2 − (u2 + v2)x + uv = 0, uv = 0;
c) x2 − 5ux + 6u2 = 0; d) x2 − (u − 2v)x − 2uv = 0 5. a) x2 − px + q = 0;
b) x2 + p
q
x + 1
q
= 0; c) x2 + npx + n2q = 0; d) x2 + (p + 2n)x + q + np + n2 = 0
Cvičení 28
1 V R řešte rovnice:
a) x3
+ 8 = 0 b) x5
+ 32 = 0
c) x3
− 8 = 0 d) x5
− 32 = 0
52
2 V R řešte rovnice:
a) x3
+ x2
= 0 b) x3
− x2
= 0
c) x4
+ x = 0 d) x4
− 2x3
= 0
3 V R řešte rovnice:
a) x4
− 5x2
+ 4 = 0 b) x3
+ 4x2
− x − 4 = 0
c) x3
+ 2x2
− x − 2 = 0 d) x3
+ 5x2
− 4x − 20 = 0
4 V R řešte rovnice:
a) x3
+ 6x2
+ 11x + 6 = 0 b) x5
− x3
− x2
+ 1 = 0
c) x4
− 5x3
+ 5x2
+ 5x − 6 = 0 d) x6
− x4
− 16x2
+ 16 = 0
5 Vhodnou substitucí řešte v R rovnice:
a) (x2
+ 4x + 2)(x2
+ 4x + 1) − 2 = 0,
b) (x2
+ 4x − 3)(x2
+ 4x − 2) − 6 = 0,
c) (x2
+ x)2
− 8(x2
+ x − 3) − 12 = 0,
d) (x2
− x)2
− 26(x2
− x − 5) − 10 = 0.
1. a) −2; b) −2; c) 2; d) 2 2. a) 0, −1; b) 0, 1; c) 0, −1; d) 0, 2 3. a) −2, −1, 1, 2;
b) −4, −1, 1; c) −2, −1, 1; d) −5, −2, 2 4. a) −3, −2, −1; b) −1, 1; c) −1, 1, 2, 3;
d) −2, −1, 1, 2 5. a) −4, −3, −1, 0; b) −4, −5, 0, 1; c) −3, −2, 1, 2; d) −4, −2, 3, 5
Cvičení 29
1 V R2
řešte soustavy lineárních rovnic:
a) 4x + 3y = 6 b) 4x + 3y = 4
2x + y = 4 6x + 5y = 7
c) 3x − 5y = 14 d) 3x − 5y = 11
6x − 10y = 17 6x − 10y = 22
53
2 V R2
řešte soustavy lineárních rovnic:
a) y = 2 −
1
3
x b)
3x + 4y
2
−
4x − 7y
4
= 1
y
2
= 1 −
1
6
x
4x − 3y
6
−
14x − 9y
4
= 2
c) 2,5x + 3,1y + 1 = 0 d) 4x −
1
7
y =
1
5
y − 3x −
1
2
7,5x + 9,3y + 2 = 0 (x + y)
1
6
=
1
5
(y − 1) + x
3 Pro které hodnoty parametru b ∈ R má soustava lineárních rovnic
právě jedno řešení, nekonečně mnoho řešení, nemá řešení?
a) x − y = b b) x + 2y = 1
x + y = 5 2x + 4y = b
c) 2x + 3y = 4 d) b2
x + y = 1
4x + by = 2b x + y = b
4 V R3
řešte soustavy lineárních rovnic:
a) x + y − z = 0 b) x + y − z = 17
2x + y − z = 1 x − y + z = 13
4x + 2y − 3z = 0 −x + y + z = 7
c) x + 2y + 3z = 4 d) x + 2y + 5z = 1
2x + 4y + 6z = 3 3x + 4y + 7z = 2
3x + y − z = 1 5x + 6y + 9z = 3
5 V R4
řešte soustavy lineárních rovnic:
a) x + 2y + 3z − 2t = 6 b) x + 2y + 3z + 4t = 10
2x − y − 2z − 3t = 8 2x + y − z + 3t = 5
3x + 2y − z + 2t = 4 3x + 4y − z − t = 5
2x − 3y + 2z + t = −8 7x + 7y − 6z − 3t = 1
c) x + y − z + t = 2 d) x + y = 4
x − t = −1 y + z = 8
y + z = 0 z + t = 12
x + 2y = −1 x + t = 8
54
1. a) [3; −2]; b) [− 1
2
; 2]; c) nemá řešení; d) nekonečně mnoho řešení {[x; 3x−11
5
];
x ∈ R} 2. a) nekonečně mnoho řešení {[x; 6−x
3
], x ∈ R}; b) [− 1
2
; 1
3
]; c) nemá
řešení; d) [ 1
10
; 7
2
] 3. a) soustava má řešení pro každé b ∈ R, [ b+5
2
; 5−b
2
]; b) soustava
nemá řešení pro b = 2, soustava má nekonečně mnoho řešení pro b = 2, {[t; 1−t
2
];
t ∈ R}; c) soustava má jedno řešení pro b = 6, [ b
6−b
; 2b−8
b−6
], soustava nemá řešení pro
b = 6; d) soustava má jedno řešení pro b = 1, b = −1, [− 1
b+1
; b2
+b−1
b+1
], soustava má
nekonečně mnoho řešení pro b = 1, {[t; 1− t]; t ∈ R}, soustava nemá řešení pro b = −1
4. a) [1; 1; 2]; b) [15; 12; 10]; c) nemá řešení; d) nekonečně mnoho řešení {[3t; 1
2
−4t; t];
t ∈ R} 5. a) [1; 2; −1; −2]; b) nemá řešení; c) [2; − 3
2
; 3
2
; 3]; d) nekonečně mnoho
řešení {[8 − t; −4 + t; 12 − t; t]; t ∈ R}
Cvičení 30
1 Určete dvě čísla, jejichž rozdíl i podíl se rovná 4.
2 Dvě auta vyjela současně ze dvou míst vzdálených 30 km. Jedou-li proti
sobě, setkají se za 15 minut. Jedou-li za sebou, dohoní jedno auto druhé
za 1 hodinu. Určete rychlosti obou aut.
3 Otci je o osm let více, než je trojnásobek věku syna. Za 20 let bude
otec dvakrát tak stár jako syn. Kolik let je otci a kolik synovi?
4 Kolik kg železa a kolik kg síry obsahuje 100 kg sulfidu železnatého
FeS, je-li relativní atomová hmotnost železa 56 a relativní atomová
hmotnost síry 32?
5 Nádrž se plní třemi přívody A, B, C. Jsou-li otevřeny pouze přívody
A a C, naplní se za 1 hodinu, jsou-li otevřeny pouze přívody A a B,
naplní se za 45 minut, jsou-li otevřeny pouze přívody B a C, naplní se
za 1 hodinu a 30 minut. Za jak dlouho by se naplnila nádrž každým
přívodem zvlášť?
55
1. 16
3
, 4
3
2. v1 = 75 km/h; v2 = 45 km/h 3. 12; 44 4. 63,63 kg Fe, 36,36 kg S
5. přívod A 1 hodina 12 minut; přívod B 2 hodiny; přívod C 6 hodin
Cvičení 31
1 V R řešte nerovnice:
a) 2x + 3 ≧ 0 b) 2x + 3 > 0
c) 2x + 3 ≦ 0 d) 2x + 3 < 0
2 V R řešte nerovnice:
a) 3x + 5 < 2 − 7x b) 3x − 1 > 1 − 3(1 − x)
c) 3x − 7 ≦ 5x + 6 d) x + 2 ≧ 2(x + 1) − 1
3 V N řešte nerovnice:
a)
2
5
x − 3 > 5x − 11 b) 4x −
3x + 1
4
≦ 18
c) 10x +
5
2
≧ 3(x − 1) +
3
4
x d) 3x − 4 >
1
2
x − (3x − 4)
4 V R řešte graficky nerovnice:
a) x + 2 < −2x + 8 b) 2x − 3 ≧ 4 −
3
2
x
c)
1
2
x + 4 ≧ 10 − x d)
13x
6
−
2
3
≦ x +
1
2
5 Dokažte, že pro všechna m ∈ R platí:
2m + 1
2
<
3m + 2
3
< m + 1.
1. a) − 3
2
; +∞ ; b) − 3
2
; +∞ ; c) −∞; − 3
2
; d) −∞; − 3
2
2. a) −∞; − 3
10
;
b) R; c) − 13
2
; +∞ ; d) (−∞; 1 ; 3. a) −∞; 40
23
; b) −∞; 73
13
; c) − 22
25
; +∞ ;
d) 16
11
; +∞ 4. a) (−∞; 2); b) 2; +∞); c) 4; +∞); d) (−∞; 1
56
Cvičení 32
1 V R řešte nerovnice:
a) (x − 1)(x + 1) ≧ 0 b) (x − 1)(x + 1) > 0
c) (x − 1)(x + 1) ≦ 0 d) (x − 1)(x + 1) < 0
2 V R řešte nerovnice:
a) x2
− 5x + 6 ≧ 0 b) x2
− 5x + 6 > 0
c) x2
− 5x + 6 ≦ 0 d) x2
− 5x + 6 < 0
3 V R řešte nerovnice:
a) x2
≧ x b) x2
> x
c) x2
≦ x d) x2
< x
4 V R řešte nerovnice:
a) x2
+ x + 1 ≧ 0 b) x2
+ x + 1 > 0
c) x2
+ x + 1 ≦ 0 d) x2
+ x + 1 < 0
5 V R řešte graficky nerovnice:
a) x2
+ x − 1 ≧ 0 b) x2
+ x − 1 < 0
c) 2x2
− x − 1 ≦ 0 d) 3x2
− 2x − 2 > 0
1. a) (−∞; −1 ∪ 1; +∞); b) (−∞; −1) ∪ (1; +∞); c) −1; 1 ; d) (−1; 1)
2. a) (−∞; 2 ∪ 3; +∞); b) (−∞; 2) ∪ (3; +∞); c) 2; 3 ; d) (2; 3) 3. a) (−∞; 0 ∪
∪ 1; +∞); b) (−∞; 0) ∪ (1; +∞); c) 0; 1 ; d) (0; 1) 4. a) R; b) R; c) ∅; d) ∅
5. a) −∞; − 1
2
−
√
5
2
∪ − 1
2
+
√
5
2
; +∞ ; b) − 1
2
−
√
5
2
; − 1
2
+
√
5
2
; c) − 1
2
; 1 ;
d) −∞; 1−
√
7
3
∪ 1+
√
7
3
; +∞
Cvičení 33
1 Který konvexní n-úhelník má aspoň dvakrát více úhlopříček než stran?
57
2 Množství 10 l vody o teplotě 13 ◦
C smícháme s 12,5 l teplejší vody.
Jakou teplotu musí mít přidaná voda, abychom získali vodu o teplotě
větší než 25 ◦
C a menší než 30 ◦
C?
3 Důl A je od dolu B vzdálen s km. Cena 1 t uhlí v dole A je q Kč a v dole
B o p % vyšší. Do jakých vzdáleností mezi doly A a B je výhodnější
dovážet uhlí z dolu B, jestliže cena za převoz jednoho metrického centu
uhlí na vzdálenost 1 km je n Kč?
4 Město leží na břehu řeky. V jaké vzdálenosti od městského přístavu
směrem proti toku řeky se má vybrat místo pro pláž, aby cesta tam
a zpět motorovým člunem trvala nejvíce t minut, je-li vlastní rychlost
člunu v km/min a rychlost toku řeky je v1 km/min?
5 Nechť je průměrná hmotnost dospělého člověka p kg a jeho objem
v dm3
. Vypočtěte, kolik korkových desek o objemu v1 dm3
je třeba
na záchranný pás, který by při svém úplném ponoření podržel nad
povrchem hladiny nádrže aspoň f % objemu plavce. Hustota korku je
0,2 kg/dm3
.
1. Návod. Uvažte, že počet úhlopříček n-úhelníku je 1
2
n(n − 3); n ≧ 7 2. 34,6 ◦C <
< x < 43,6 ◦C 3. Návod. Označíme-li x vzdálenost od dolu B v km, dostaneme
nerovnici q
100
(100+p)+nx < q+(s−x)n. 0 ≦ x < 100sn−qp
200n
4. Nejvýše
t(v2
−v2
1)
2v
km
5. Nejméně 100p−(100−f)v
80v1
desek, hustota vody je 1 kg/dm3
Cvičení 34
1 V R řešte soustavy nerovnic:
a) −3 ≦ 2(x + 2) ≦ 6 b)
3
5
≦ 5x − 1 ≦
7
10
c) 2 ≦ 3x + 1 ≦ 4 d) −2 ≦
2
3
− x ≦ 2(x + 1)
58
2 V R řešte zpaměti soustavy nerovnic:
a) 0 < |x − 2| ≦ 3 b) 0 < |x − 2| < 3
c) 0 ≦ |x − 2| ≦ 3 d) 0 ≦ |x − 2| < 3
3 V R řešte soustavy nerovnic:
a) x − 2 < 3x − 4 ∧ 2x + 3 > 5x + 1,
b) 3x − 1 > 2x + 5 ∧ x + 3 > 2 − x,
c) 7 − 3x ≦ x − 1 ∧ x − 3 > 2x − 6,
d)
4x − 3
4
+
3x − 1
6
≧
1
3
∧ 3x − 2 ≦ 2(x + 2).
4 V soustavě souřadnic zobrazte množinu všech bodů o souřadnicích
[x, y], pro něž platí:
a) x + y ≧ 2 ∧ −5x + 2y ≧ 4 b) |x| + |y| ≦ 1
c) x + y ≦ 2 ∧ −2x + 3y ≦ 1 d) |x − 2| + |y − 2| ≦ 1
5 V soustavě souřadnic zobrazte množinu všech bodů o souřadnicích
[x, y], pro něž platí:
a) x + y ≧ 3 b) 3x + 2y ≧ 6
2y − 2x ≧ 2 y ≧ 0
3y − 2x ≦ 9 5x + 8y ≦ 40
x ≧ 0
1. a) − 7
2
; 1 ; b) 8
25
; 17
50
; c) 1
3
; 1 ; d) − 4
9
; 8
3
2. a) −1; 2) ∪ (2; 5 ; b) (−1; 2) ∪
∪ (2; 5); c) −1; 5 ; d) (−1; 5) 3. a) nemá řešení; b) (6; +∞); c) 2; 3); d) 5
6
; 6
Cvičení 35
1 V R řešte nerovnice:
a) x3
≧ x b) x3
< x
c) x3
> x d) x3
≦ x
59
2 V R řešte nerovnice:
a) x3
≧ x2
b) x3
< x2
c) x3
> x2
d) x3
≦ x2
3 V R řešte nerovnice:
a) x4
− 10x2
+ 9 ≦ 0 b) x4
− 5x2
+ 4 < 0
c) x4
+ x2
− 2 > 0 d) x4
− x2
− 2 ≧ 0
4 V R řešte nerovnici:
x3
− 6x2
+ 11x − 6 ≦ 0.
5 V R řešte nerovnici:
x5
− 3x4
− x3
+ 11x2
− 12x + 4 ≧ 0.
1. a) −1; 0 ∪ 1; +∞); b) (−∞; −1)∪(0; 1); c) (−1; 0)∪(1; +∞); d) (−∞; −1 ∪ 0; 1
2. a) {0} ∪ 1; +∞); b) (−∞; 0) ∪ (0; 1); c) (1; +∞); d) (−∞; 1 3. a) −3; −1 ∪
∪ 1; 3 ; b) (−2; −1) ∪ (1; 2); c) (−∞; −1) ∪ (1; +∞); d) (−∞; −
√
2) ∪
√
2; +∞
4. (−∞; 1 ∪ 2; 3 5. −2; 1 ∪ 2; +∞)
Cvičení 36
1 V R řešte rovnice:
a)
x + 1
x − 1
+
2
x + 2
− 1 =
6
x2 + x − 2
b)
2x − 5
3x − 4
−
4x − 5
6x − 1
= 0
c)
3 + 4x
x2 + x
− 1 =
3
x
−
x
x + 1
d)
x + 3
x + 5
= 3 −
1 − 2x
3 − x
2 V R řešte rovnice:
a)
1
x
+
1
x2
=
2
x3
b)
1
x
+
1
x + 4
=
2
3
c)
x − 1
x + 1
+
x + 2
x − 1
= 3 d)
x + 2
x + 3
−
x + 3
x + 4
=
1 − x
15x
60
3 V R řešte nerovnice:
a)
2x − 3
3x − 7
> 0 b)
6x − 5
4x + 1
< 0
c)
3
x − 2
< 0 d)
1
x − 1
≧ 0
4 V R řešte nerovnice:
a)
4x + 3
2x − 5
< 6 b)
5x − 6
x + 6
≦ 1
c)
5x + 8
4 − x
≧ 2 d)
x − 1
x + 3
> 2
5 V R řešte nerovnice:
a) x ≦
6
x − 5
b)
4
x + 2
≧ 3 − x
c)
1
x − 2
−
1
x
≦
1
x + 2
d) x − 17 ≧
60
x
1. a) nemá řešení; b) −15; c) x ∈ R \ {−1, 0}; d) − 31
3
2. a) −2, 1; b) −3, 2;
c) −2, 3; d) −4 −
√
10, −4 +
√
10, 2 3. a) −∞; 3
2
∪ 7
3
; +∞ ; b) − 1
4
; 5
6
;
c) (−∞; 2); d) (1; +∞) 4. a) −∞; 5
2
∪ 33
8
; +∞ ; b) (−6; 3 ; c) 0; 4); d) −7; −3)
5. a) (−∞; −1 ∪ (5; 6 ; b) (−2; −1 ∪ 2; +∞); c) −2; 2 − 2
√
2 ∪ (0; 2) ∪
∪ 2 + 2
√
2; +∞ ; d) −3; 0) ∪ 20; +∞)
Cvičení 37
1 V R řešte početně a graficky rovnice:
a) |x| = 2 b) |x − 1| = 2
c) |x − 1| = 0 d) |x + 1| = 2
61
2 V R řešte početně a graficky rovnice:
a) |x| + x = 0 b) |x| − x = 0
c) |x| + x = 2 d) |x| − x = 2
3 V R řešte početně a graficky rovnice:
a) |x + 1| + |x − 1| = 4 b) |x + 1| − |x − 1| = 4
c) |x − 1| = |x + 1| d) |x − 1| = 4 + |x + 1|
4 V R řešte nerovnice:
a) |x + 2| ≧ 1 b) |x − 2| > 1
c) |x + 2| ≦ 1 d) |x − 2| < 1
5 V R řešte nerovnice:
a) |x| <
1
x − 1
b)
3
|x + 1|
≧ 1
c) |x + 2| + |x − 3| > x + 5 d)
x − 1
x + 1
< 1
1. a) −2, 2; b) −1, 3; c) 1; d) −3, 1 2. a) (−∞; 0 ; b) 0; +∞); c) 1; d) −1
3. a) −2, 2; b) nemá řešení; c) 0; d) nemá řešení 4. a) (−∞; −3 ∪ −1; +∞);
b) (−∞; 1)∪(3; +∞); c) −3; −1 ; d) (−3; 1) 5. a) 1;
1 +
√
5
2
; b) −4; −1)∪(−1; 2 ;
c) (−∞; 0) ∪ (6; +∞); d) (0; +∞)
Cvičení 38
1 V R řešte rovnice:
a)
√
12 − x + x = 0 b)
√
12 − x − x = 0
c)
√
7 − x = x − 1 d)
√
7 − x = 1 − x
62
2 V R řešte rovnice:
a)
√
2x − 3 +
√
4x + 1 = 4 b)
√
2x + 6 −
√
x + 1 = 2
c)
√
3x + 7 = 2 +
√
x + 1 d) 2
√
x − 1 = 2 −
√
x + 3
3 V R řešte rovnice:
a)
√
x2 + 8 = 2x + 1 b) 4 +
√
26 − x2 = x
c)
√
6 − 4x − x2 = x + 4 d)
√
9x2 − 6x + 16 − 2 = 3x
4 V R řešte rovnice:
a) 1 + 1 + x
√
x2 − 24 = x b) 4
√
x +
√
x = 12
c) 2
3
√
x2 − 5 3
√
x = 3 d) 3
√
3x + 28 − 3
√
3x − 28 = 2
5 V R řešte nerovnice:
a)
√
x + 7 > 2x − 1 b)
√
3 − x +
√
x + 1 > 1
c)
√
x + 6 < x − 6 d)
√
5x + 6 >
√
x + 1 +
√
2x − 5
1. a) −4; b) 3; c) 3; d) −2 2. a) 2; b) −1, 15; c) −1, 3; d) 1 3. a) 1; b) 5; c) −1;
d) 2
3
4. a) 7; b) 81; c) 27, − 1
8
; d) −12, 12 5. a) −7; 2); b) −1; 3 ; c) (10; +∞);
d) 5
2
; 15
Cvičení 39
1 V R řešte rovnice s parametrem p ∈ R:
a) p2
(x − 1) = 2(px − 2) b) x2 + p = p − x
c)
p
x
−
1
px
= 1 −
1
p
d) px(1 − p) = 1
63
2 V R řešte rovnice s parametrem p ∈ R:
a) p(x − 1) + x(p − 1) = p − 2x b) p 2 −
x
3
= 4 3 −
x
2
c) (p − 1)x = 2 −
2
p
d)
x + 1
p
= x − 1 −
x + 3
p
3 V R řešte rovnice s parametrem p ∈ R:
a) |x − p| = 3p b) x + x2 − p = p
c) p −
1
p
=
p2
− 1
x
d)
√
x −
√
x − 1 = p
4 V R řešte nerovnice s parametrem p ∈ R:
a) p(x − 1) > x − 2 b) px2
+ 2x − p > 0
c) 3x − px < 2 d)
√
1 − x2 < x + p
5 V R řešte nerovnici s parametrem p ∈ R:
2x(2p − 1) − x(2p − 3) ≦ p + x.
64
1. a) p = 0, K = ∅; p = 2, K = R; p = 0, p = 2 ⇒ K = {p+2
2
}; b) p = 0, K = (−∞, 0 ;
p = 0, p ≧ −1, K = {p−1
2
}; p < −1, K = ∅; c) p = 1, K = R \ {0}; p = 1, p = −1,
K = {p + 1}; p = −1, K = ∅; d) p = 0, p = 1, K = ∅; p = 0, p = 1 ⇒ K = { 1
p(1−p)
}
2. a) p = − 1
2
, K = ∅; p = − 1
2
, K = { 2p
2p+1
}; b) p = 6, K = R; p = 6, K = {6}; c) p = 0,
K = ∅; p = 1, K = R; p = 0, p = 1, K = { 2
p
}; d) p = 0, p = 2, K = ∅; p = 0, p = 2,
K = { p+4
p−2
} 3. a) p < 0, K = ∅; p = 0, K = {0}; p > 0, K = {−2p, 4p}; b) p = 0,
K = (−∞; 0 ; p ≧ 1, K = {p+1
2
}; p < 1, p = 0, K = ∅; c) p = 0, K = ∅; |p| = 1,
K = R \ {0}; |p| = 1, p = 0, K = {p}; d) p ∈ (−∞; 0 ∪ (1; +∞), K = ∅; p ∈ (0; 1 ,
K = (p2
+1)2
4p2 4. a) p = 1, K = R; p > 1, K = (p−2
p−1
; +∞); p < 1, K = (−∞; p−2
p−1
);
b) p = 0, K = R+; p > 0, K = −∞;
−1−
√
1+p2
p
∪
−1+
√
1+p2
p
; +∞ ; p < 0,
K =
−1+
√
1+p2
p
;
−1−
√
1+p2
p
; c) p = 3, K = R; p < 3, K = (−∞; 2
3−p
); p > 3,
K = ( 2
3−p
; +∞); d) p >
√
2, K = −1; 1 ; p ∈ 1;
√
2 , K = −1;
−p−
√
2−p2
2
∪
∪
−p+
√
2−p2
2
; 1 ; p ∈ (−1; 1 , K =
−p+
√
2−p2
2
; 1 ; p ≦ −1, K = ∅; d) 1 ≦ p <
√
2,
K = −1;
−p−
√
2−p2
2
∪
−p+
√
2−p2
2
; 1 ; p < −1, K = ∅ 5. p = 0, K = R; p > 0,
K = −∞; 1
2
; p < 0, K = 1
2
; +∞
Cvičení 40
1 Zjistěte, pro která a ∈ Z má rovnice ax + 1 = 2x + 5 řešení
a) v oboru celých čísel,
b) v oboru reálných čísel.
2 Zjistěte, pro která a ∈ Z má rovnice (2a − 1)x − 3 = ax + 2a řešení
a) v oboru přirozených čísel,
b) v oboru reálných čísel.
65
3 Určete všechny hodnoty parametru p ∈ R, pro něž má rovnice
(p − 2)x2
− (3p + 6)x + 6p = 0
a) dva reálné kořeny,
b) dva kořeny kladné,
c) dva kořeny záporné,
d) jeden kořen kladný a jeden záporný.
4 Najděte aspoň jednu dvojici čísel [b; c] ∈ R2
tak, aby rovnice
2x + b = cx − 1
měla v oboru reálných čísel
a) právě jedno řešení,
b) aspoň dvě řešení.
5 V R řešte početně i graficky rovnici 4−|x+1| = b s parametrem b ∈ R.
1. a) a ∈ {−2, 0, 1, 3, 4, 6}; b) a ∈ Z \ {2} 2. a) a ∈ {−4, 2, 6}; b) a ∈ Z \ {1}
3. a) p ∈ − 2
5
; 6 , p = 2; b) p ∈ (2; 6); c) p ∈ − 2
5
; 0 ; d) p ∈ (0; 2) 4. a) např. b = 1,
c = 1; b) b = −1, c = 2 5. b > 4, K = ∅; b = 4, K = {−1}; b < 4, K = {3 − b, b − 5}
66
Planimetrie
Cvičení 41
1 Zapište slovy následující výroky o bodech A, B, C a přímkách p, q:
a) A ∈ p b) p ⊂ ↔ABC c) B ∈ q d) p ∩ q = {C}
2 Zapište slovy následující výroky:
a) p = ↔AB b) B ∈ →pC ∩ →qD
c) A ∈ →PQR d) p = →CA ∪ →CB
3 Zapište pomocí vhodné symboliky následující výroky:
a) bod A neleží na přímce p;
b) bod B je průnikem přímek a, b;
c) polopřímka AB nemá s polopřímkou CD žádný společný bod;
d) úsečka AB je průnikem polopřímek AB a BA.
4 V rovině zvolte 4 různé body A, B, C, D, z nichž žádné 3 neleží v jedné
přímce. Určete počet všech
a) přímek, které procházejí dvěma z daných bodů,
b) polopřímek XY , kde X, Y ∈ {A, B, C, D},
c) úseček, jejichž krajními body jsou dva z daných bodů,
d) polorovin, XY Z, kde X, Y, Z ∈ {A, B, C, D}.
5 Spojíme-li přímkami každé dva z n daných bodů ležících v rovině, do
staneme 1
2 n(n − 1) přímek, neleží-li žádné tři z uvedených bodů v jedné
přímce. Dokažte.
Zdůvodněte, že n navzájem různoběžných přímek ležících v jedné ro
vině se protíná v 1
2 n(n − 1) průsečících, jestliže žádné tři z těchto pří
mek neprocházejí týmž bodem.
67
1. a) bod A leží na přímce p; b) přímka p leží v rovině ABC; c) bod B neleží na
přímce q; d) bod C je průsečík přímek p, q 2. a) přímka p je určena body A,
B; b) bod B leží v průniku polorovin pC, qD; c) bod A leží v polorovině P QR;
d) přímka p je sjednocením polopřímek CA, CB 3. a) A /∈ p; b) {B} = a ∩ b;
c) →AB ∩ →CD = ∅; d) AB = →AB ∩ →BA 4. a) 6 přímek; b) 12 polopřímek;
c) 6 úseček; d) 8 nebo 9 polorovin
Cvičení 42
1 Načrtněte a charakterizujte všechny možné případy průniku
a) dvou polopřímek téže roviny,
b) dvou polorovin téže roviny.
2 V rovině jsou dány dvě různé přímky a, b a přímka p, která je protíná
v různých bodech A, B. Každý z plných úhlů s vrcholy A, B je tak
rozdělen na čtyři konvexní úhly. Označme úhly s vrcholem A symboly
α, β, γ, δ a úhly s vrcholem B symboly α′
, β′
, γ′
, δ′
. Zapište všechny
dvojice
a) souhlasných úhlů,
b) střídavých úhlů,
c) vrcholových úhlů,
d) vedlejších úhlů.
Poznámka. O výše uvedených přímkách a, b říkáme, že jsou proťaty příčkou p. Podobně
o úhlech α, β, γ, δ, α′, β′, γ′, δ′ říkáme, že jsou vyťaty příčkou p přímek a, b. Uvažte
případy, kdy a b a a ¸ b.
3 Jestliže jedna dvojice souhlasných úhlů vyťatých příčkou p přímek a,
b jsou úhly shodné, pak přímky a, b jsou rovnoběžné. Dokažte.
Jestliže jsou přímky a, b rovnoběžné, pak dvojice souhlasných úhlů
vyťatých příčkou p přímek a, b jsou úhly shodné. Dokažte.
68
4 V lichoběžníku ABCD, AB CD, jsou dány velikosti vnitřních úhlů
α = 62◦
, β = 48◦
při vrcholech A, B. Vypočtěte velikosti vnitřních
úhlů γ, δ při vrcholech C, D.
5 Jsou dány dva vedlejší úhly. Velikost jednoho z nich je k-násobkem
velikosti druhého. Jakou velikost mají tyto úhly? Pro která k ∈ N jsou
velikosti obou úhlů ve stupních dány celočíselnou hodnotou?
1. a) ∅, bod, úsečka, polopřímka; b) ∅, přímka, rovinný pás, polorovina, úhel 4. 132◦,
118◦ 5. 180◦
k+1
, k·180◦
k+1
; k ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 11, 14, 17, 19, 29, 35, 44, 59, 89, 179}
Cvičení 43
1 V rovině jsou dány body A, B, C neležící v přímce. Bodem C veďte
přímku stejně vzdálenou od bodů A, B.
2 Sestrojte osu úhlu dvou daných různoběžných přímek a, b, jejichž prů
sečík je nepřístupný.
3 Sestrojte osy vnitřních úhlů obdélníku a kosodélníku. Ukažte, že v pří
padě obdélníku jsou průsečíky os vrcholy čtverce a v případě kosodél
níku jsou průsečíky os vrcholy obdélníku.
4 Daným bodem neležícím na dané přímce veďte přímku s ní rovnoběž
nou.
69
5 Daným bodem lze vést k dané přímce jedinou kolmici. Dokažte. Užijte
důkaz sporem.
Pro každé tři přímky a, b, c v rovině platí: a b ∧ b c ⇒ a c.
Dokažte. Užijte důkaz sporem.
Cvičení 44
1 Načrtněte a charakterizujte všechny možné případy průniku dvou
a) trojúhelníků,
b) čtverců.
2 Sestrojte trojúhelník ABC, jehož strany mají délky a = 3 cm, b = 5 cm,
c = 7 cm, a dále sestrojte
a) jeho těžnice,
b) jeho střední příčky,
c) a kružnici jemu opsanou.
3 Je dán rovnoramenný trojúhelník ABC se základnou AB. Na polo
přímce AC je dán bod D, |AD| > |AC|, |AC| = |CD|. Dokažte, že
přímky AB a BD jsou k sobě kolmé.
4 Uvnitř trojúhelníku ABC je dán bod U. Dokažte, že platí:
|AU| + |BU| + |CU| >
|AB| + |AC| + |BC|
2
.
5 Délky stran trojúhelníku ABC jsou v centimetrech vyjádřeny celými
čísly. Jakou délku má strana c, je-li a = 2 cm, b = 3 cm?
1. a) ∅, bod, úsečka, trojúhelník, čtyřúhelník, pětiúhelník, šestiúhelník; b) ∅, bod,
úsečka, trojúhelník, čtyřúhelník, pětiúhelník, šestiúhelník, sedmiúhelník, osmiúhelník
5. 2 cm, 3 cm, 4 cm
70
Cvičení 45
1 Vnitřní úhly v trojúhelníku mají velikosti v poměru 2 : 3 : 5. V jakém
poměru jsou velikosti vnějších úhlů? Zobecněte pro poměr x : y : z.
2 Určete velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku ABC, platí-li pro ně
vztahy α = 2β, β = 3γ.
3 Osy vnitřních úhlů trojúhelníku ABC se protínají v bodě S. Vyjádřete
velikost úhlu ASB pomocí velikosti úhlu γ.
4 Osy vnějších úhlů při vrcholech A, B pravoúhlého trojúhelníku ABC
s pravým úhlem při vrcholu C se protínají v bodě S. Vypočtěte velikost
konvexního úhlu ASB.
5 Znovu sami dokažte základní poučku o tom, že součet velikostí vnitř
ních úhlů trojúhelníku je 180◦
. Z ní pak odvoďte, že součet velikostí
vnějších úhlů trojúhelníku je 360◦
.
1. 8 : 7 : 5; (y + z) : (x + z) : (x + y) 2. 108◦, 54◦, 18◦ 3. 90◦ + 1
2
γ 4. 45◦
Cvičení 46
1 Je dán rovnoramenný trojúhelník ABC. Bod O je středem základny
AB. Bodem O jsou vedeny kolmice k ramenům AC a BC, jejich paty
jsou označeny P a Q. Dokažte, že trojúhelník AOP je shodný s troj
úhelníkem BOQ.
71
2 Je dán ostroúhlý trojúhelník ABC. Nad stranami AC a AB jsou
vně trojúhelníku ABC sestrojeny rovnostranné trojúhelníky ACM
a ABN. Dokažte, že platí |BM| = |CN|.
3 Je dán trojúhelník ABC a přímka p, v níž leží těžnice tc daného troj
úhelníku. Dokažte, že body A, B mají od přímky p stejnou vzdálenost.
4 Danou úsečku AB rozdělte bodem C tak, aby platilo |AC| : |CB| =
= m : n, kde m, n jsou daná přirozená čísla.
5 V rovnoramenném trojúhelníku ABC je vedena středem D ramene BC
kolmice k základně AB. Její patu označme E. Dokažte, že platí |AE| =
= 3
4 |AB|.
Cvičení 47
1 Svislá metrová tyč vrhá stín 150 cm dlouhý. Vypočtěte výšku nedaleké
věže, jejíž stín je ve stejném okamžiku dlouhý 36 m.
2 Určete měřítko mapy, je-li les tvaru trojúhelníku o stranách délek
1,6 km, 2,4 km a 2,7 km na mapě zakreslen jako trojúhelník, jehož
strany mají délky 32 mm, 48 mm a 54 mm.
3 Úsečku AB rozdělte body C, D v poměru
|AC| : |CD| : |DB| = 2 : 3 : 5.
4 Určete délky stran a, b, c trojúhelníku ABC, je-li a − b = 4 cm, va =
= 6 cm, vb = 9 cm.
72
5 Do rovnostranného trojúhelníku ABC se stranou délky a je vepsán
čtverec. Vypočtěte délku strany čtverce.
1. 24 m 2. 1 : 50 000 4. a = 12 cm, b = 8 cm, c = 208 − 48
√
7 cm nebo
c = 208 + 48
√
7 cm 5. x = a(2
√
3 − 3)
Cvičení 48
1 Charakterizujte dané rovnoběžníky pomocí úhlů, stran a úhlopříček:
a) čtverec b) obdélník
c) kosočtverec d) kosodélník
2 V obdélníku ABCD je bod E střed strany AB a bod F střed stra
ny CD. Úsečky DE a BF protínají úhlopříčku AC po řadě v bodech
G, H. Dokažte, že platí |AG| = |GH| = |HC|.
3 Průsečíkem úhlopříček kosočtverce jsou vedeny kolmice k jeho stra
nám. Dokažte, že paty těchto kolmic jsou vrcholy obdélníku.
4 Ve čtverci ABCD veďme dvě libovolné k sobě kolmé příčky, z nichž
jedna má krajní body na stranách AD, BC a druhá má krajní body
na stranách AB, CD. Dokažte, že tyto dvě příčky jsou shodné.
5 Vnitřní úhly čtyřúhelníku ABCD mají velikosti v poměru
α : β : γ : δ = n : (n + 1) : (n + 2) : (n + 3), n ∈ N.
Dokažte, že daný čtyřúhelník je lichoběžník.
Cvičení 49
1 Je dán oblouk kružnice, jejíž střed S není znám. Sestrojte ho.
73
2 Vypočítejte poloměr kruhové dráhy, kterou musí běžec proběhnout
třikrát, aby uběhl 2 km.
3 Porovnejte poměrem délku kružnice o poloměru r a obvod pravidel
ného dvanáctiúhelníku vepsaného do téže kružnice.
4 Vrcholy trojúhelníku ABC dělí kružnici tomuto trojúhelníku opsanou
na tři oblouky, jejichž délky jsou v poměru 11 : 12 : 13. Určete velikosti
vnitřních úhlů trojúhelníku.
5 Spojnice číslic 1, 4 a 2, 9 na hodinkách jsou k sobě kolmé. Dokažte.
2. asi 106 m 3. 2Ôr : 12r 2 −
√
3
.
= 1,012 4. 55◦, 60◦, 65◦ 5. Návod. Využijte
vlastností obvodových a středových úhlů.
Cvičení 50
1 Vypočtěte obsah trojúhelníku ABC, je-li dáno:
a) b = c = 10 cm, r = 6 cm, r je poloměr kružnice trojúhelníku opsané,
b) a = 153 cm, b = 97 cm, vc = 72 cm,
c) a = 20 cm, b = 65 cm, c = 75 cm,
d) a = b = c = 4 cm.
2 Vypočtěte
a) obsah čtverce, je-li délka úhlopříčky u,
b) obsah obdélníku, je-li délka úhlopříčky u a odchylka úhlopříček ω,
c) délky e, f úhlopříček kosočtverce, je-li jeho obsah S = 150 cm2
a
e : f = 3 : 4,
d) obsah kosodélníku, jsou-li dány délky stran a, b a jejich odchylka α.
74
3 Vypočtěte obsah lichoběžníku ABCD, AB CD, je-li dáno:
a) b = d = 13 cm, a : c = 4 : 3, v = 12 cm,
b) a = 41 cm, b = 17 cm, c = 20 cm, d = 10 cm,
c) v : c : a = 2 : 3 : 5, v + c + a = 80 cm,
d) α = |¡BAD| = 90◦
, a = 66 cm, b = 102 cm, c = 18 cm.
4 Vypočtěte obsah kruhové výseče a délku kružnicového oblouku, je-li:
a) r = 1 cm a ϕ = 30◦
, b) r = 1 cm a ϕ = 2 [rad].
5 Nad odvěsnami pravoúhlého trojúhelníku jsou sestrojeny polokružnice
neprotínající přeponu, nad ní je sestrojena polokružnice jdoucí vrcho
lem pravého úhlu. Tyto polokružnice omezují útvary, které se nazývají
Hippokratovy měsíčky. Proveďte náčrtek a porovnejte součet obsahů
Hippokratových měsíčků s obsahem trojúhelníku.
1. a) 125
9
√
11 cm2; b) 7 200 cm2 nebo 250 cm2; c) 600 cm2; d) 4
√
3 cm2 2. a) 1
2
u2;
b) 1
2
u2 sin ω; c) e = 15 cm, f = 20 cm; d) ab sin α 3. a) 420 cm2; b) 244 cm2;
c) 512 cm2; d) 3 780 cm2 4. a) 1
12
Ô cm2, 1
6
Ô cm2; b) 1 cm, 2 cm 5. Oba obsahy jsou
stejné.
Cvičení 51
1 V rovině ̺ je dán bod S a dvě úsečky délek a a b, kde a < b. Určete
a načrtněte množinu M všech bodů X roviny ̺, která je určena zápisem
M = {X ∈ ̺; a ≦ |SX| ≦ b}.
2 V rovině ̺ jsou dány body A, B, A = B. Určete a načrtněte množinu
M všech bodů X roviny ̺, která je určena zápisem
M = {X ∈ ̺; |¡AXB| = 30◦
}.
75
3 V rovině ̺ jsou dány body A, B, C, které neleží v jedné přímce. Určete
a načrtněte množinu všech bodů X roviny ̺, které mají od přímek AC
a BC stejnou vzdálenost.
4 Určete a načrtněte množinu M těžišť všech pravoúhlých trojúhelníků
ABC v rovině ̺, které mají společnou přeponu AB.
5 V rovině ̺ jsou dány rovnoběžky a, b, a = b. Určete a načrtněte mno
žinu M všech bodů X roviny ̺, která je určena zápisem
M = {X ∈ ̺; |Xa| + |Xb| = c · |ab|},
kde c > 0 je dané číslo. Proveďte diskusi pro hodnoty parametru c.
1. mezikruží 2. dva kružnicové oblouky se středy S, S′ bez bodů A, B v polorovinách
ABS, ABS′, kde ABS, ABS′ jsou rovnostranné trojúhelníky 3. dvě navzájem kolmé
přímky jdoucí bodem C, jedna z nich obsahuje osu úhlu ACB. 4. Kružnice k(S,r),
r = 1
6
|AB| mimo body ležící na AB, S je střed AB 5. 0 < c < 1, M = ∅; c = 1,
M je rovinný pás ohraničený přímkami a, b; c > 1, M je sjednocením dvou přímek
rovnoběžných s a, b, každá z nich má od jedné z přímek a, b vzdálenost 1
2
(c + 1)|ab|,
od druhé 1
2
(c − 1)|ab|
76
Cvičení 52
Poznámka. Jsou-li a, b, c, α, β, γ, va, vb, vc, ta, tb, tc délky stran, velikosti vnitřních
úhlů, výšky, těžnice trojúhelníku ABC, máme k dispozici 12
3
= 12·11·10
3·2·1
=
= 220 úloh typu: „Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno (x, y, z) , kde x, y, z ∈
∈ {a, b, c, α, β, γ, va, vb, vc, ta, tb, tc}. Pokud přidáme poloměry ̺, r kružnice trojúhelníku
vepsané a opsané, dostáváme celkem 14
3
= 14·13·12
3·2·1
= 364 úloh, tj. skoro na každý den
roku jednu úlohu. Samozřejmě, že mezi výše uvedenými úlohami jsou úlohy stejného
typu, např. (b, c, α) a (a, c, β). Tuto množinu úloh lze dále rozšířit o úlohy obsahující
ve svém zadání délky úseček, které na trojúhelníku vytínají osy jeho vnitřních úhlů,
součty a rozdíly stran a úhlů trojúhelníku apod. Je třeba si uvědomit, že některé úlohy
nejsou řešitelné, což znamená, že daný útvar nelze zkonstruovat eukleidovsky, tj. pomocí
pravítka a kružítka. Nejznámější úloha tohoto typu je úloha (a, b, ̺).
1 Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno:
a) a, b, tb b) a, b, α
c) a, va, ta d) a, β, vb
2 Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno:
a) b, c, γ b) b, ta, α
c) b, vb, tc d) b, vc, ta
3 Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno:
a) vb, vc, α b) vb, vc, β
c) vb, vc, c d) vb, vc, a
4 Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno:
a) tb, b, α b) tb, b, vc
c) tb, tc, γ d) tb, tc, α
5 Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno:
a) a + b + c, vc, α b) α, vb, r
c) b, β, ̺ d) a + b, c, β
77
Cvičení 53
Poznámka. Ve všech úlohách tohoto cvičení jsou |AB| = a, |BC| = b, |CD| = c, |DA| =
= d délky stran, |AC| = e, |BD| = f jsou délky úhlopříček a ω je odchylka úhlopříček
čtyřúhelníku ABCD. Dále značíme va výšku ke straně AB (je-li CD AB), vb výšku
ke straně BC (je-li AD BC) a α = |¡BAD|, β = |¡ABC|, γ = |¡BCD|, δ = |¡CDA|
velikosti vnitřních úhlů, ̺ poloměr kružnice vepsané a r poloměr kružnice opsané, pokud
tyto kružnice vůbec existují.
1 Sestrojte obdélník ABCD, je-li dáno:
a) |¡BAC| = 30◦
, e = 8 cm b) a + b = 6 cm, ω = 120◦
c) a + b = 8 cm, e = 6 cm d) a, e
2 Sestrojte kosočtverec ABCD, je-li dáno:
a) e, va b) f, ̺
c) a, e d) a, α = 30◦
3 Sestrojte kosodélník ABCD, je-li dáno:
a) a, e, α b) e, f, va
c) a, va, vb d) va, vb, α
4 Sestrojte lichoběžník ABCD, AB CD, je-li dáno:
a) b, e, f, va b) b, c, f, α
c) a, b, c, e d) a, e, f, α, β
5 Sestrojte čtyřúhelník ABCD, je-li dáno:
a) a, b, c, r b) a, e, α, γ, δ
c) a, c, e, f, α d) a, b, α, ̺
Cvičení 54
1 Sestrojte kružnici, která je
a) opsaná danému trojúhelníku ABC,
b) vepsaná danému trojúhelníku ABC.
78
2 V rovině jsou dány dva různé body A, B. Sestrojte kružnici k o daném
poloměru r, která prochází body A, B. Určete podmínky řešitelnosti
úlohy pomocí délek r a l = |AB|.
3 Do čtvrtkruhu o poloměru R = 3 cm vepište kružnici k(S, r). Nejprve
výpočtem vyjádřete r pomocí R a pak úsečku takové délky r sestrojte.
4 Dva přímé úseky silnice AB a BC téže délky l, svírají úhel veli
kosti ϕ. Tyto úseky nahraďte kružnicovým obloukem AC. Určete střed
a poloměr odpovídající kružnice. Řešte obecně a potom pro hodnoty
ϕ = 120◦
a l = 3 km.
5 Je dána přímka p a body A, B ležící v jedné z polorovin určených
přímkou p, A = B. Sestrojte kružnici k, která prochází body A, B
a dotýká se přímky p.
4. r = l·tg 1
2
ϕ, střed S leží v polorovině opačné k polorovině ACB ve vzdálenosti r od
bodů A, C. Pro l = 3 km a ϕ = 120◦ je r = 3
√
3 km
.
= 5, 2 km. 5. Návod. Konstrukce
je snadná, je-li AB p. V opačném případě uvažte, že platí |MT|2 = |MA| · |MB|,
kde M je průsečík přímek p a AB a T je bod dotyku kružnice k s přímkou p.
Cvičení 55
Poznámka. Shodná zobrazení v rovině značíme následovně: Á — identita, Ç — osová
souměrnost, Ë — středová souměrnost, Ê — rotace (otočení), Ì — translace (posunutí).
Pomůcka k zapamatování: SORTI.
1 Určete všechna shodná zobrazení, ve kterých je samodružný
a) rovnostranný trojúhelník, b) čtverec.
79
2 V rovině jsou dány dvě rovnoběžné přímky a, c proťaté přímkou p.
Sestrojte čtverec ABCD tak, aby vrcholy A, C ležely po řadě na přím
kách a, c a zbývající vrcholy na přímce p.
3 Určete dráhu kulečníkové koule z dané polohy A jedním odrazem od
mantinelu do dané polohy B, A = B.
4 Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno a + b + c, α, β.
5 Přímky a, b jsou osy osových souměrností Ça, Çb. Určete zobrazení
složené z daných osových souměrností = Çb ◦ Ça v případě:
a) a = b, a b b) a ⊥ b
c) a = b d) a ¸ b, |¡ab| = ϕ
1. a) identita, tři osové souměrnosti, dvě rotace; b) identita, středová souměrnost,
čtyři osové souměrnosti, dvě rotace 5. a) Çb ◦Ça = Ì ; b) Çb ◦Ça = Ë; c) Çb ◦Ça = Á ;
d) Çb ◦ Ça = Ê
Cvičení 56
1 Ve středové souměrnosti určené středem S zobrazte
a) bod X, X = S,
b) přímku p, S ∈ p,
c) přímku p, S /∈ p,
d) trojúhelník ABC s těžištěm v bodě S.
2 Ve středové souměrnosti se středem v bodě A zobrazte pravoúhlý li
choběžník ABCD, AB CD, s pravým úhlem při vrcholu B.
3 Sestrojte šestiúhelník, který není pravidelný, ale je středově souměrný.
80
4 Bod M je vnitřním bodem jednoho z konvexních úhlů určených přím
kami p, q. Bodem M veďte přímku r, která protíná přímky p, q v bodech
P, Q tak, že |MP| = |MQ|.
5 Jsou dány dvě protínající se kružnice. Jedním z jejich průsečíků veďte
přímku, na které obě kružnice vytínají shodné tětivy.
Cvičení 57
1 V posunutí Ì(A → C) zobrazte čtverec ABCD.
2 Přímka r protíná dvě různé rovnoběžky p, q. Užitím posunutí sestrojte
kružnici, která se dotýká všech tří přímek p, q, r.
3 Sestrojte lichoběžník ABCD, AB CD, jsou-li dány délky jeho stran
a, b, c, d.
4 Dvě různé rovnoběžky p, q protíná přímka r. Sestrojte rovnostranný
trojúhelník ABC o straně dané délky a tak, že A ∈ p, B ∈ q, C ∈ r.
5 Sestrojte konvexní čtyřúhelník ABCD, jsou-li dány délky jeho stran
a, b, c, d a odchylka ϕ přímek AB, CD, ϕ ∈ 0; 1
2 π .
5. Návod. V posunutí Ì (C → A) uvažujte obraz úsečky CD.
Cvičení 58
1 V rovině je dána přímka p a bod S, S /∈ p. Sestrojte obraz přímky p
v otočení Ê(S, +30◦
).
81
2 Sestrojte čtverec A′
B′
C′
D′
, který je obrazem čtverce ABCD v otočení
Ê(S, ϕ), kde ϕ = 45◦
a S je střed čtverce ABCD. Charakterizujte
sjednocení a průnik obou čtverců.
3 Do čtverce ABCD vepište rovnostranný trojúhelník PQR. Bod P leží
na straně AB tak, že |AP| = 3|BP|.
4 Jsou dány tři kružnice o společném středu S a poloměrech r1 > r2 >
> r3. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby jeho vrcholy
ležely po jednom na daných kružnicích.
5 Nad stranami AB, AC ostroúhlého trojúhelníku ABC jsou sestrojeny
čtverce ABPQ, ACT U tak, že leží vně trojúhelníku ABC. Dokažte,
že platí: |CQ| = |BU|.
Cvičení 59
1 Ve stejnolehlosti À(S, κ) sestrojte obraz bodu X, X = S, v případě,
že:
a) κ = 3 b) κ = 1
3
c) κ = −3 d) κ = −1
3
2 Ve stejnolehlosti À(S, κ) sestrojte obraz přímky p, S /∈ p, v případě,
že:
a) κ = 2 b) κ = 1
2
c) κ = −2 d) κ = −1
2
3 Ve stejnolehlosti À(S, κ) sestrojte obraz kružnice k(O, r), S = O, v pří
padě, že:
a) κ = 2 b) κ = 1
2
c) κ = −2 d) κ = −1
2
82
4 Narýsujte trojúhelník ABC a zobrazte ho ve stejnolehlosti À(T, −1
2 ),
kde T je těžiště trojúhelníku. Porovnejte obvody a obsahy obou troj
úhelníků.
5 Ve stejnolehlosti À(S, κ) sestrojte obraz čtverce ABCD v případě, že
a) S je vnitřním bodem čtverce a κ = 3,
b) S leží na hranici čtverce a κ = −1
3 .
Cvičení 60
1 Je dána kružnice k(S; r) a bod Q, 0 < |QS| < r. Bodem Q veďte tětivu
kružnice k, která bude bodem Q rozdělena v poměru 2 : 3.
2 V rovině jsou dány různoběžné přímky p, q, jejichž průsečík leží mimo
nákresnu, a bod M, který neleží na žádné z nich. Užitím stejnolehlosti
sestrojte přímku procházející bodem M a průsečíkem přímek p, q.
3 Sestrojte středy stejnolehlosti kružnic k(S; 4 cm) a k′
(S′
; 2 cm), jejichž
středy S a S′
mají vzdálenost 1 cm.
4 Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno α, β, tc.
5 Sestrojte kosodélník ABCD, je-li dáno α = 60◦
, a : b = 4 : 3, va =
= 5 cm.
83
Funkce
Cvičení 61
Poznámka. V následujících úlohách rozumíme pod pojmem funkce zobrazení, kde x je
vzor a y obraz.
1 Rozhodněte, které z uvedených relací jsou funkcemi:
a) x2
+ y2
= 1 b) x + y2
= 1
c) x2
+ y = 1 d) x + y = 1
Sestrojte grafy daných relací.
2 Rozhodněte, které z uvedných relací jsou funkcemi:
a) |x| + y = 1 b) x + |y| = 1
c) |x| − y = 1 d) x − |y| = 1
Sestrojte grafy daných relací.
3 Rozhodněte, které z uvedených množin jsou funkce y = f(x):
a) P = {[x, y] ∈ N × N; y je dělitelem x},
b) Q = {[x, y] ∈ N × N; y je ciferný součet x},
c) R = {[x, y] ∈ N × N; x je ciferný součet y},
d) S = {[x, y] ∈ A × N; y je počet všech dělitelů x},
A = {x ∈ N; x ≦ 12}.
4 Rozhodněte, které z uvedených množin jsou funkce:
a) A = {[1; 0], [−2; 3], [−1; −3], [2; 4], [0; 0]},
b) B = {[0; 2], [−3;
√
2], [5; 0], [−3; 2], [4; 1]},
c) C = {[1; 1], [2; 3], [3; 1], [0; 1], [−2; 1]},
d) D = {[0; 4], [5; 1], [−1; 0], [0; 2], [4; 7]}.
5 Určete D(f), H(f) a sestrojte grafy daných funkcí:
a) f : y = 1 − |x| b) f : y = (x − 1)2
c) f : y =
√
x − 3 d) f : y =
1
1 − x2
84
1. a) ne; b) ne; c) ano; d) ano 2. a) ano; b) ne; c) ano; d) ne 3. a) ne; b) ano; c) ne;
d) ano 4. a) ano; b) ne; c) ano; d) ne 5. a) D(f) = R, H(f) = (−∞; 1 ; b) D(f) = R,
H(f) = 0; +∞); c) D(f) = 3; +∞), H(f) = 0; +∞); d) D(f) = R \ {−1; 1},
H(f) = (−∞; 0) ∪ 1; +∞)
Cvičení 62
1 Pro funkci f : y =
1
1 + x2
a) určete D(f), b) určete H(f),
c) vyjádřete f(a + b), d) zjistěte, zda platí: 5 ∈ H(f).
2 Pro funkci f : y = x − x3
a) určete D(f), b) v R řešte nerovnici: f(x) > 0,
c) v R řešte rovnici: f(x) = 0, d) v R řešte nerovnici: f(x) < 0.
3 Pro funkci f : y =
√
1 − x2
a) určete D(f), b) určete H(f),
c) v R řešte rovnici: f(x) = 0, d) vyjádřete f(a − b).
4 Pro funkci f : y = |x| − 4
a) určete D(f), b) určete H(f),
c) v R řešte rovnici: f(x) = 0, d) sestrojte graf funkce g: y = |f(x)|.
5 Pro funkci f : y = 4 − x2
a) určete D(f), b) určete H(f),
c) v R řešte rovnici: f(x) = 0, d) sestrojte graf funkce g: y = |f(x)|.
1. a) D(f) = R; b) H(f) = (0; 1 ; c) f(a+b) = 1
1+(a+b)2 ; d) ne 2. a) D(f) = R; b) K =
= (−∞; −1)∪(0; 1); c) K = {−1; 0; 1}; d) K = (−1; 0)∪(1; +∞) 3. a) D(f) = −1; 1 ;
b) H(f) = 0; 1 ; c) K = {−1; 1}; d) f(a − b) = 1 − (a − b)2 4. a) D(f) = R;
b) H(f) = −4; +∞); c) K = {−4; 4} 5. a) D(f) = R; b) H(f) = (−∞; 4 ;
c) K = {−2; 2}
85
Cvičení 63
1 Najděte definiční obory daných funkcí:
a) f : y =
1
2x + 3
b) f : y =
1
√
2x + 3
c) f : y =
√
2x + 3 d) f : y = 2x + 3
2 Najděte definiční obory daných funkcí:
a) f : y = x2
− 5x + 6 b) f : y =
√
x2 − 5x + 6
c) f : y =
1
x2 − 5x + 6
d) f : y =
1
√
x2 − 5x + 6
3 Najděte definiční obory daných funkcí:
a) f : y =
x − 5
x − 1
b) f : y =
√
x − 5 +
√
x − 1
c) f : y =
x − 5
x − 1
d) f : y =
x − 5
|x| − 1
4 Je dána funkce f : y = 1 + x − x2
. Najděte předpisy pro funkce:
a) g: y = −f(x) b) i: y = f(x − 1)
c) h: y = f(−x) d) j : y = f(2x)
5 Určete obory hodnot daných funkcí:
a) f : y =
√
4 − x2 b) f : y = 4 − |x|
c) f : y =
4
1 + x2
d) f : y = x2
− 4
1. a) D(f) = R \ {− 3
2
}; b) D(f) = − 3
2
; +∞ ; c) D(f) = − 3
2
; +∞ ; d) D(f) =
= R 2. a) D(f) = R; b) D(f) = (−∞; 2 ∪ 3; +∞); c) D(f) = R \ {2; 3};
d) D(f) = (−∞; −2) ∪ (3; +∞) 3. a) D(f) = R \ {1}; b) D(f) = 5; +∞);
c) D(f) = (−∞; 1) ∪ 5; +∞); d) D(f) = R \ {−1; 1} 4. a) g : y = −1 − x + x2;
b) i: y = −x2 +3x−1; c) h: y = 1−x−x2; d) j : y = 1+2x−4x2 5. a) H(f) = 0; 2 ;
b) H(f) = (−∞; 4 ; c) H(f) = (0; 4 ; d) H(f) = −4; +∞)
86
Cvičení 64
1 Rozhodněte, zda se rovnají funkce:
a) f : y = x2
, g: y = |x| b) f : y =
x
|x|
, g: y =
x
√
x2
c) f : y = 1, g: y =
x
x
d) f : y =
x3
+ x2
+ x + 1
x2 + 1
, g: y = x + 1
2 Vyšetřete, zda dané funkce jsou liché či sudé:
a) f : y = x4
+ x2
+ 1 b) f : y = 2x − 3
c) f : y = x4
+ x3
+ 1 d) f : y =
x3
+ 2x
|x|
3 Vyšetřete monotónnost daných funkcí:
a) f : y = x2
+ 1 b) f : y = 3 − 2x
c) f : y = x3
d) f : y =
1
x
Poznámka. Vyšetřit monotónnost funkce znamená určit všechny „maximální intervaly,
ve kterých je daná funkce rostoucí nebo klesající. Funkce f : y = x2 je jistě rostoucí např.
v intervalu (1; 3) a klesající např. v intervalu (−5; −2). Úloha: „Vyšetřete monotónnost
funkce f : y = x2 vyžaduje odpověď: „Funkce y = x2 je klesající v intervalu (−∞; 0
a rostoucí v intervalu 0; +∞).
4 Vyšetřete monotónnost daných funkcí:
a) f : y =
√
x b) f : y = 4 − x2
c) f : y = |x − 2| d) f : y =
√
1 − x2
5 Rozhodněte, které z daných funkcí jsou shora omezené, zdola omezené,
omezené:
a) f : y = 4 − |x| b) f : y =
1
1 + x2
c) f : y = (x − 2)2
d) f : y = x + 3
87
1. a) ne; b) ano; c) ne; d) ano 2. a) sudá; b) ani sudá, ani lichá; c) ani sudá, ani lichá;
d) lichá 3. a) klesající v (−∞; 0 , rostoucí v 0; +∞); b) klesající v R; c) rostoucí v R;
d) klesající v (−∞; 0) , (0; +∞) 4. a) rostoucí v 0; +∞); b) rostoucí v (−∞; 0 , klesající
v 0; +∞); c) klesající v −∞; 2 , rostoucí v 2; +∞); d) klesající v (0; 1 , rostoucí
v −1; 0 5. a) omezená shora; b) omezená; c) omezená zdola; d) není omezená
Cvičení 65
1 Určete body extrémů funkce f na dané množině M:
a) f : y = x2
+ 1, M = D(f) b) f : y = x2
+ 1, M = −2; 1
c) f : y = x2
+ 1, M = −1; 2 d) f : y = x2
+ 1, M = −2; 2
2 Určete body extrémů funkce f na dané množině M:
a) f : y =
1
x
, M = D(f) b) f : y =
1
x
, M = −2; −1
c) f : y =
1
x
, M = 1; 2 d) f : y =
1
x
, M = (0; +∞)
3 Určete body extrémů funkce f na dané množině M:
a) f : y = 1 − |x|, M = D(f) b) f : y = 1 − |x|, M = −4; 0
c) f : y = 1 − |x|, M = 0; 4 d) f : y = 1 − |x|, M = −4; 4
4 Určete body extrémů funkce f na dané množině M:
a) f : y = |x2
− 4|, M = D(f) b) f : y = |x2
− 4|, M = −
√
8;
√
8
c) f : y = |x2
− 4|, M = 0;
√
8 d) f : y = |x2
− 4|, M = −2; 2
5 Určete body extrémů funkce f na dané množině M:
a) f : y =
1
1 + x2
, M = D(f) b) f : y =
1
1 + x2
, M = −
√
3; −
√
2
c) f : y =
1
1 + x2
, M =
√
2;
√
3 d) f : y =
1
1 + x2
, M = −1; 1
88
1. a) minimum v bodě 0; b) minimum v bodě 0, maximum v bodě −2; c) minimum
v bodě 0, maximum v bodě 2; d) minimum v bodě 0, maximum v bodech −2, 2
2. a) nemá extrémy; b) minimum v bodě −1, maximum v bodě −2; c) minimum
v bodě 2, maximum v bodě 1; d) nemá extrémy 3. a) maximum v bodě 0; b) minimum
v bodě −4, maximum v bodě 0; c) minimum v bodě 4, maximum v bodě 0; d) minimum
v bodech −4, 4, maximum v bodě 0 4. a) minimum v bodech −2, 2; b) minimum
v bodech −2, 2, maximum v bodech −
√
8, 0,
√
8; c) minimum v bodech −2, 2,
maximum v bodech 0,
√
8; d) minimum v bodech −2, 2, maximum v bodě 0
5. a) maximum v bodě 0; b) minimum v bodě −
√
3, maximum v bodě −
√
2;
c) minimum v bodě
√
3, maximum v bodě
√
2; d) minimum v bodech −1, 1, maximum
v bodě 0
Cvičení 66
1 K daným funkcím najděte funkce inverzní a sestrojte v dané soustavě
souřadnic grafy obou funkcí:
a) f : y = 2x + 3 b) f : y = x
c) f : y = −x + 1 d) f : y = 1
2 x − 3
2 K daným funkcím najděte funkce inverzní a sestrojte v dané soustavě
souřadnic grafy obou funkcí:
a) f : y = x3
b) f : y =
1
x
, x ∈ R+
c) f : y =
√
x d) f : y = x2
, x ∈ R+
0
3 Rozhodněte, ke kterým z uvedených funkcí (na celém jejich definičním
oboru) existuje funkce inverzní:
a) f : y = 2 b) h: y = x2
− 1
c) g: y = 3 − x d) i: y = x−3
89
4 V kartézské soustavě souřadnic sestrojte grafy daných relací a grafy
odpovídajících relací inverzních:
a) f1 : y = |x| + 4 b) f3 : y =
√
x + 4
c) f2 : y = 4 − x2
d) f4 : y =
√
4 − x2
Které z uvedených relací a relací k nim inverzních jsou funkce?
5 Je dána množina A = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} a na ní relace S = {[x, y];
x − y = 2}, T = {[x, y]; y − x = 2}. Zapište všechny prvky
a) relace S, b) relace T, c) relace S−1
, d) relace T−1
.
1. a) f−1 : y = 1
2
x − 3
2
; b) f−1 : y = x; c) f−1 : y = −x + 1; d) f−1 : y = 2x + 6
2. a) f−1 : y = 3
√
x; b) f−1 : y = 1
x
; c) f−1 : y = x2; d) f−1 : y =
√
x 3. a) ne;
b) ne; c) ano; d) ano 4. f1, f2, f3, f4, f−1
3 ano, f−1
1 , f−1
2 , f−1
4 ne 5. a) S =
= {[4; 2], [5; 3], [6; 4], [7; 5], [8; 6]}; b) T = {[2; 4], [3; 5], [4; 6], [5; 7], [6; 8]}; c) S−1 = T;
d) T−1 = S
Cvičení 67
1 Jsou dány funkce f : y = 2x + 3, g: y =
√
x. Určete předpisy y = h(x)
pro funkce:
a) h = f ◦ f b) h = g ◦ f
c) h = f ◦ g d) h = g ◦ g
2 Jsou dány funkce f : y = 1 − x, g: y = |x|. Určete předpisy y = h(x)
pro funkce:
a) h = f ◦ f b) h = g ◦ f
c) h = f ◦ g d) h = g ◦ g
90
3 Jsou dány funkce f : y = x2
, g: y =
1
x
. Určete předpisy y = h(x) pro
funkce:
a) h = f ◦ f b) h = g ◦ f
c) h = f ◦ g d) h = g ◦ g
4 Jsou dány funkce f : y = 1
2 x+1, g: y = sin x. Určete předpisy y = h(x)
pro funkce:
a) h = f ◦ f b) h = g ◦ f
c) h = f ◦ g d) h = g ◦ g
5 Jsou dány funkce f : y = x3
, g: y = 3
√
x. Určete předpisy y = h(x) pro
funkce:
a) h = f ◦ f b) h = g ◦ f
c) h = f ◦ g d) h = g ◦ g
1. a) h: y = 4x + 9; b) h: y =
√
2x + 3; c) h: y = 2
√
x + 3; d) h: y = 4
√
x
2. a) h: y = x; b) h: y = |1 − x|; c) h: y = 1 − |x|; d) h: y = |x| 3. a) h: y = x4;
b) h: y = 1
x2 ; c) h: y = 1
x2 ; d) h: y = x, x = 0 4. a) h: y = 1
4
x + 3
2
;
b) h: y = sin(1
2
x + 1); c) h: y = 1
2
sin x + 1; d) h: y = sin(sin x) 5. a) h: y = x9;
b) h: y = x; c) h: y = x; d) h: y = 9
√
x
Cvičení 68
1 Určete D(f), H(f) a sestrojte graf dané funkce:
a) f : y = |x − 2| + 1 b) f : y = 1 − |x − 2|
c) f : y = |x − 2| − 1 d) f : y = −1 − |x − 2|
2 Určete D(f), H(f) a sestrojte graf dané funkce:
a) f : y = sgn(x − 2) + 1 b) f : y = 1 − sgn(x − 2)
c) f : y = sgn(x − 2) − 1 d) f : y = −1 − sgn(x − 2)
91
3 Určete D(f), H(f) a sestrojte graf dané funkce:
a) f : y = [x − 2] + 1 b) f : y = 1 − [x − 2]
c) f : y = [x − 2] − 1 d) f : y = −1 − [x − 2]
4 Určete D(f), H(f) a sestrojte graf dané funkce:
a) f : y = x + |x| b) f : y = x · |x|
c) f : y = x − |x| d) f : y =
|x|
x
5 Určete D(f), H(f) a sestrojte graf dané funkce:
a) f : y = |x − 1| − |x + 1| b) f : y = |x + 1| + |x − 1|
c) f : y = |x + 1| − |x − 1| d) f : y = 2 − |x + 1| − |x − 1|
1. a) D(f) = R, H(f) = 1; +∞); b) D(f) = R, H(f) = (−∞; 1 ; c) D(f) = R,
H(f) = −1; +∞); d) D(f) = R, H(f) = (−∞; −1 2. a) D(f) = R, H(f) = {0, 1, 2};
b) D(f) = R, H(f) = {0, 1, 2}; c) D(f) = R, H(f) = {−2, −1, 0}; d) D(f) = R,
H(f) = {−2, −1, 0} 3. a) D(f) = R, H(f) = Z; b) D(f) = R, H(f) = Z; c) D(f) = R,
H(f) = Z; d) D(f) = R, H(f) = Z 4. a) D(f) = R, H(f) = R+
0 ; b) D(f) = R, H(f) = R;
c) D(f) = R, H(f) = R−
0 ; d) D(f) = R \ {0}, H(f) = {−1; 1} 5. a) D(f) = R,
H(f) = −2; 2 ; b) D(f) = R, H(f) = 2; +∞); c) D(f) = R, H(f) = −2; 2 ;
d) D(f) = R, H(f) = (−∞; 0
Cvičení 69
1 Určete D(f), H(f) a sestrojte graf dané funkce:
a) f : y = 2 b) f : y = 1
2
c) f : y = −1 d) f : y = −1
2
92
2 Určete D(f), H(f) a sestrojte graf dané funkce:
a) f : y = x b) f : y = 2x
c) f : y = −x d) f : y = −1
2 x
3 Určete D(f), H(f) a sestrojte graf dané funkce:
a) f : y = x + 2 b) f : y = −x + 2
c) f : y = x − 2 d) f : y = −x − 2
4 Najděte lineární funkci f : y = ax + b, a = 0, jejíž graf prochází body:
a) [0; 3], [3; 0] b) [0; −3], [3; 0]
c) [−3; 0], [0; −3] d) [−3; 0], [0; 3]
5 Najděte lineární funkci f : y = ax + b, a = 0, je-li dáno:
a) a = 2, f(1) = 3 b) a = 1, f(−2) = 0
c) a = −1
2 , f(2) = 3 d) a = −2, f(3) = −5
1. a) D(f) = R, H(f) = {2}; b) D(f) = R, H(f) = {1
2
}; c) D(f) = R, H(f) = {−1};
d) D(f) = R, H(f) = {− 1
2
} 2. a) D(f) = R, H(f) = R; b) D(f) = R, H(f) = R;
c) D(f) = R, H(f) = R; d) D(f) = R, H(f) = R 3. a) D(f) = R, H(f) = R;
b) D(f) = R, H(f) = R; c) D(f) = R, H(f) = R; d) D(f) = R, H(f) = R
4. a) y = −x + 3; b) y = x − 3; c) y = −x − 3; d) y = x + 3 5. a) y = 2x + 1;
b) y = x + 2; c) y = − 1
2
x + 4; d) y = −2x + 1
Cvičení 70
1 V R2
řešte graficky soustavu nerovnic:
x − y − 2 ≦ 0
x − y + 2 ≧ 0
x + y − 2 ≧ 0
x + y − 4 ≦ 0
93
2 V R2
řešte graficky nerovnice:
a) |x| + |y| ≦ 1 b) |x − 3| + |y − 4| ≦ 1
3 V R2
řešte početně a graficky soustavy rovnic:
a) x + y = 5 b) 3x − 2y = 5
x − y = 1 6x − 4y = 3
c) 2x + y = 4 d) 4x − 3y = 9
x + 1
2 y = 2 3x − 2y = 7
4 Sestrojte grafy daných relací a rozhodněte, které z nich jsou funkce:
a) x = 2 b) x = −2 c) y = 2 d) y = −2
5 Sestrojte grafy daných relací:
a) |y| = x b) |y| = −x c) |x + y| = 1 d) |x − y| = 1
3. a) K = {[3; 2]}; b) K = ∅; c) K = {[x; 4 − 2x], x ∈ R}; d) K = {[3; 1]}
4. a) není funkce; b) není funkce; c) je funkce; d) je funkce
Cvičení 71
1 V R řešte graficky dané rovnice s parametrem b ∈ R:
a) |x| = b b) |x + 1| = 4 − b
c) |x| + b = 1 d) |x − 3| = b + 2
2 V R řešte graficky dané rovnice s parametrem b ∈ R:
a) |x| + 2 = x + b b) |x| − 1 = bx
c) |x| = 2x + b d) |x| = x + 1 − b
94
3 V R řešte graficky nerovnice:
a) |x| ≦ x + 2 b) |x| ≦ 2 − x
c) |x + 3| ≦ 1 − x d) |x| ≦ 4 − |x − 2|
4 Sestrojte grafy daných funkcí:
a) f : y =
|x|
x
b) f : y =
|x − 2|
x − 2
c) f : y = −
|x|
x
d) f : y =
|x − 2|
2 − x
5 Sestrojte grafy daných funkcí:
a) f : y = |x| − 1 b) f : y = |x − 1| − 1
c) f : y = |x| + x − 1 d) f : y = x − |x| + 1
Cvičení 72
1 Auto má spotřebu 6 litrů benzinu na 100 km. Na začátku jízdy mělo
v plné nádrži 36 litrů benzinu.
a) Najděte funkci vyjadřující závislost počtu litrů benzinu v nádrži na
počtu ujetých kilometrů a sestrojte graf této funkce.
b) Po kolika kilometrech jízdy bude v nádrži poslední litr benzinu?
2 Obchodník rozváží zboží do vzdálenosti 80 km od své prodejny. Rozvoz
pro něj zajišťují dopravci A a B. Dostal od nich tyto nabídky ceny za
dopravu: A — 12 Kč za km, B — základní sazba 350 Kč za jednu jízdu
a navíc 5 Kč za km.
a) Nechť x km je vzdálenost a c Kč cena za dopravu. Funkce vyjadřující
závislost c na x u dopravců A a B označíme fA, fB. Sestavte předpisy
pro obě tyto funkce a sestrojte grafy funkcí fA, fB.
b) Pro jakou vzdálenost jsou cenové nabídky obou dopravců stejné?
c) Který dopravce je levnější pro dopravu zboží do vzdálenosti 20 km,
40 km, 60 km?
95
3 Turista jde pravidelným tempem 4,8 km/h. Do 9 h již ušel 11 km, po
chod ukončil ve 13 h. Najděte funkci, která udává vzdálenost s km, kte
rou turista ušel od začátku pochodu do okamžiku, kdy od 9 h uplynulo
dalších t hodin. Kolik kilometrů ušel do 11 h 30 min?
4 Z nádrže o objemu 1 200 litrů vytéká voda rychlostí 3 l/s. Najděte:
a) funkci udávající množství vyteklé vody v l za danou dobu v s;
b) funkci udávající, kolik l vody ještě v nádrži zbývá v daném čase.
Sestrojte grafy obou funkcí v téže soustavě souřadnic.
5 Z místa A do místa B vzdáleného 360 km vyjelo v 6 h nákladní auto
rychlostí 60 km/h. V 6 h 40 min vyjelo za nákladním autem osobní auto
rychlostí 90 km/h.
a) Za jak dlouhou dobu osobní auto nákladní auto dohoní?
b) Jakou rychlostí by muselo jet osobní auto, aby nákladní auto dostihlo
až v místě B?
Řešte početně i graficky.
1. a) y = − 3
50
x + 36; b) x = 583,3 km 2. a) fA : y = 12x, fB : y = 5x + 350;
b) 50 km; c) 20 km — A, 40 km — A, 60 km — B 3. s = 4,8t + 11, t ∈ 0; 4 ; 23 km
4. a) y = 3x; b) y = −3x + 1 200 5. a) za 2 hod po výjezdu nákladního auta;
b) v = 67,5 km/h
Cvičení 73
1 Do jednoho obrázku sestrojte grafy funkcí f : y = ax2
, je-li dáno:
a) a = 2 b) a = 1
2
c) a = −2 d) a = −1
2
96
2 Do jednoho obrázku sestrojte grafy funkcí f : y = ax2
+ c, je-li dáno:
a) a = 2, c = 1 b) a = −2, c = 1
c) a = 2, c = −1 d) a = −2, c = −1
3 Do jednoho obrázku sestrojte grafy funkcí f : y = ax2
+ bx, je-li dáno:
a) a = 1, b = 4 b) a = 1, b = −4
c) a = −1, b = 4 d) a = −1, b = −4
4 Určete D(f), H(f) a sestrojte graf funkce:
a) f : y = 4 − x2
b) f : y = |4 − x2
|
c) f : y = x2
− 4 d) f : y = 4 − |4 − x2
|
5 Určete D(f), H(f) a sestrojte graf funkce:
a) f : y = x2
− 6x b) f : y = 6x − x2
c) f : y = x2
+ 6x d) f : y = −6x − x2
4. a) D(f) = R, H(f) = (−∞; 4 ; b) D(f) = R, H(f) = 0; +∞); c) D(f) = R,
H(f) = −4; +∞); d) D(f) = R, H(f) = (−∞; 4 5. a) D(f) = R, H(f) = −9; +∞);
b) D(f) = R, H(f) = (−∞; 9 ; c) D(f) = R, H(f) = −9; +∞); d) D(f) = R,
H(f) = (−∞; 9
Cvičení 74
1 Určete D(f), H(f) a sestrojte graf funkce:
a) f : y = x2
+ 2x + 4 b) f : y = −x2
− 2x + 4
c) f : y = x2
− 2x + 4 d) f : y = −x2
+ 2x + 4
2 Určete D(f), H(f) a sestrojte graf funkce:
a) f : y = 2x2
+ 3x + 1 b) f : y = −2x2
+ 3x + 1
c) f : y = 2x2
− 3x + 1 d) f : y = −2x2
− 3x + 1
97
3 Určete D(f), H(f) a sestrojte graf funkce:
a) f : y = 4x2
− 4x + 1 b) f : y = −4x2
+ 4x − 1
c) f : y = 4x2
+ 4x + 1 d) f : y = −4x2
− 4x − 1
4 Určete D(f), H(f) a sestrojte graf funkce:
a) f : y = |x2
− 5x + 6| b) f : y = x2
− |5x + 6|
c) f : y = |x2
− 5x| + 6 d) f : y = x2
− 5|x| + 6
5 Určete D(f), H(f) a sestrojte graf funkce:
a) f : y = x|x| b) f : y = (x − 1)|x|
c) f : y = x|x − 1| d) f : y = (x − 1)|x − 1|
1. a) D(f) = R, H(f) = 3; +∞); b) D(f) = R, H(f) = (−∞; 5 ; c) D(f) = R,
H(f) = 3; +∞); d) D(f) = R, H(f) = (−∞; 5 2. a) D(f) = R, H(f) = − 1
8
; +∞ ;
b) D(f) = R, H(f) = −∞; 17
8
; c) D(f) = R, H(f) = − 1
8
; +∞ ; d) D(f) = R,
H(f) = −∞; 17
8
3. a) D(f) = R, H(f) = 0; +∞); b) D(f) = R, H(f) = (−∞; 0 ;
c) D(f) = R, H(f) = 0; +∞); d) D(f) = R, H(f) = (−∞; 0 4. a) D(f) = R,
H(f) = 0; +∞); b) D(f) = R, H(f) = − 49
4
; +∞ ; c) D(f) = R, H(f) = 6; +∞);
d) D(f) = R, H(f) = − 1
4
; +∞ 5. a) D(f) = R, H(f) = R; b) D(f) = R, H(f) = R;
c) D(f) = R, H(f) = R; d) D(f) = R, H(f) = R
Cvičení 75
1 Funkci f : y = x2
+ px + q vyjádřete ve tvaru f : y − n = ±(x − m)2
a sestrojte její graf, je-li:
a) y = x2
+ 2x + 4 b) y = x2
+ 2x − 4
c) y = x2
− 2x + 4 d) y = x2
− 2x − 4
98
2 Funkci f : y = −x2
+ px + q vyjádřete ve tvaru f : y = −(x − m)2
+ n
a sestrojte její graf, je-li:
a) y = −x2
− 4x + 1 b) y = −x2
+ x − 1
c) y = −x2
+ 8x + 9 d) y = −x2
− 5x + 1
3 Funkci f : y = ax2
+ bx + c vyjádřete ve tvaru f : y = a(x − m)2
+ n
a sestrojte její graf, je-li:
a) y = 2x2
− 3x + 1 b) y = 3x2
+ 5x − 4
c) y = −4x2
+ x − 3 d) y = −7x2
− 6x + 5
4 Určete předpisem y = ax2
+ bx + c kvadratickou funkci f, pro kterou
platí:
a) f(0) = 0, f(−2) = 4, f(3) = 6,
b) f(0) = 4, f(1) = 3, f(2) = 0,
c) f(0) = 6, f(1) = 2, f(−1) = 12,
d) f(1) = −3, f(−1) = −9, f(2) = −2.
5 Určete všechna c ∈ R, pro která mají grafy funkcí y = −x2
+ c a
y = x2
− 1
a) dva různé společné body, b) jeden společný bod,
c) žádný společný bod.
1. a) y − 3 = (x + 1)2; b) y + 5 = (x + 1)2; c) y − 3 = (x − 1)2; d) y + 5 = (x − 1)2
2. a) y = −(x + 2)2 + 5; b) y = −(x − 1
2
)2 − 3
4
; c) y = −(x − 4)2 + 25;
d) y = −(x + 5
2
)2 + 29
4
3. a) y = 2(x − 3
4
)2 − 1
8
; b) y = 3(x + 5
6
)2 − 73
12
;
c) y = −4(x− 1
8
)2 − 47
16
; d) y = −7(x+ 3
7
)2 + 44
7
4. a) y = 4
5
x2 − 2
5
x; b) y = −x2 +4;
c) y = x2 − 5x + 6; d) y = − 2
3
x2 + 3x − 16
3
5. a) c > −1; b) c = −1; c) c < −1
99
Cvičení 76
1 V R řešte graficky rovnice:
a) x2
− x − 6 = 0 b) x2
− x + 1 = 0
c) x2
− 4x + 4 = 0 d) x2
+ 2x − 3 = 0
2 V R řešte graficky nerovnice:
a) x2
− x − 6 ≧ 0 b) x2
− x + 1 ≦ 0
c) x2
− 4x + 4 > 0 d) x2
+ 2x − 3 < 0
3 Nechť A = {[x; y] ∈ R2
; y ≧ x2
}, B = {[x; y] ∈ R2
; y ≦ 4 − x2
}.
Graficky znázorněte množiny:
a) A b) A ∪ B
c) B d) A ∩ B
4 V R řešte graficky rovnice s parametrem b ∈ R:
a) 4 − x2
= b b) x2
− 4 = b
c) |4 − x2
| = b d) |4 − x2
| = x
5 V R řešte graficky rovnice:
a) x2
− |x| − 2 = 0 b) x2
+ |x| − 2 = 0
c) x2
− |x − 2| = 0 d) x2
+ |x − 2| = 0
Cvičení 77
1 Kladné číslo a rozložte na dva sčítance tak, aby jejich součin byl ma
ximální.
2 Těleso je vrženo svisle vzhůru s počáteční rychlostí v m/s. Určete jaké
největší výšky dosáhne.
100
3 Pletivo dlouhé 8 m má ohradit obdélníkový záhon, jehož jednu stranu
tvoří zeď. Jak by měl být záhon dlouhý, aby jeho obsah byl co největší?
4 Z plechu tvaru kruhu o poloměru r je třeba vystřihnout pravoúhelník.
Jaké budou jeho rozměry, aby odpad byl minimální?
5 Z nádrže otvorem ve výšce h nad zemí vytéká voda rychlostí v ve
vodorovném směru. Určete, v jaké vzdálenosti x od nádrže voda dopadá
na zem. Řešte obecně a potom pro hodnoty h = 3 m, v = 5 m/s.
1. 1
2
a; 1
2
a 2. Návod. Užijte vzorce s = vt− 1
2
gt2, který znáte z fyziky. v2
2g
m 3. 4 m
4. čtverec o straně r
√
2 5. Návod. Užijte vztahů x = vt, y = h − 1
2
gt2, které znáte
z fyziky. x = v 2h
g
, x
.
= 3,87 m
Cvičení 78
1 Je dána funkce f : y = x2
, x ≧ 0.
a) K funkci f najděte funkci inverzní.
b) Určete D(f), H(f), D(f−1
), H(f−1
).
c) Načrtněte do jedné soustavy souřadnic grafy obou funkcí f a f−1
.
2 Je dána funkce f : y = x3
.
a) K funkci f najděte funkci inverzní.
b) Určete D(f), H(f), D(f−1
), H(f−1
).
c) Načrtněte do jedné soustavy souřadnic grafy obou funkcí f a f−1
.
3 Je dána funkce f : y =
√
x + 1.
a) K funkci f najděte funkci inverzní.
b) Určete D(f), H(f), D(f−1
), H(f−1
).
c) Načrtněte do jedné soustavy souřadnic grafy obou funkcí f a f−1
.
101
4 Je dána funkce f : y = −x3
.
a) K funkci f najděte funkci inverzní.
b) Určete D(f), H(f), D(f−1
), H(f−1
).
c) Načrtněte do jedné soustavy souřadnic grafy obou funkcí f a f−1
.
5 Je dána funkce f. Určete D(f), H(f) a zjistěte, zda je sudá, lichá,
monotónní, omezená, má-li extrémy, a sestrojte její graf.
a) f : y = | 3
√
x| b) f : y = −
√
x
c) f : y = x|x| d) f : y = x2
|x|
1. a) y =
√
x; b) D(f) = R+
0 , H(f) = R+
0 , D(f−1) = R+
0 , H(f−1) = R+
0 2. a) y = 3
√
x;
b) D(f) = H(f) = R, D(f−1) = H(f−1) = R 3. a) y = x2 − 1; b) D(f) = −1; +∞),
H(f) = R+
0 ; D(f−1) = R+
0 , H(f−1) = −1; +∞) 4. a) y = 3
√
−x; b) D(f) = H(f) = R;
D(f−1) = H(f−1) = R 5. a) D(f) = H(f) = R; lichá, rostoucí, není omezená,
extrémy nemá; b) D(f) = R+
0 , H(f) = R−
0 ; ani sudá, ani lichá, klesající, omezená
shora, maximum v bodě x = 0; c) D(f) = H(f) = R; lichá, rostoucí, není omezená,
extrémy nemá; d) D(f) = H(f) = R; sudá, ani rostoucí, ani klesající, omezená zdola,
minimum v bodě x = 0
Cvičení 79
1 Dané lomené výrazy
P(x)
Q(x)
vyjádřete ve tvaru
P(x)
Q(x)
= R(x) +
S(x)
Q(x)
,
kde R(x), S(x), Q(x) jsou mnohočleny a stupeň S(x) je menší než
stupeň Q(x):
a)
P(x)
Q(x)
=
x2
− 4
x + 1
b)
P(x)
Q(x)
=
x6
− 1
x2 − 1
c)
P(x)
Q(x)
=
x3
+ 2x + 1
x2 + x − 2
d)
P(x)
Q(x)
=
x + 3
x − 2
102
2 Odhadněte průběh grafů funkcí:
a) f : y =
1
1 + x2
b) f : y =
x2
1 + x2
c) f : y =
x
1 + x2
d) f : y =
1
x2
3 Určete definiční obory daných výrazů a pak určete neznámé koeficienty
A, B, C, D z jejich rozkladů, které mají platit pro všechna přípustná x:
a)
3x + 5
x2 − 5x + 6
=
A
x − 2
+
B
x − 3
,
b)
2x2
+ 1
x4 + x2 + 1
=
Ax + B
x2 + x + 1
+
Cx + D
x2 − x + 1
,
c)
x
x3 − 1
=
A
x − 1
+
Bx + C
x2 + x + 1
, d)
2x − 5
x2 + x
=
A
x
+
B
x + 1
.
4 Určete D(f), H(f) a načrtněte graf funkce:
a) f : y =
2
x
b) f : y =
2
x
+ 1
c) f : y =
2
x − 1
d) f : y =
2
x − 1
+ 1
5 Určete D(f), H(f) a načrtněte graf funkce:
a) f : y =
2x − 5
3x + 2
b) f : y =
3x
x + 3
c) f : y =
4 − x
4 + x
d) f : y =
x + 2
3x
1. a) x − 1− 3
x+1
; b) x4 + x2 + 1; c) x − 1+ 5x−1
x2+x−2
; d) 1+ 5
x−2
3. a) D = R \{2, 3},
A = −11, B = 14; b) D = R, A = − 1
2
, B = C = D = 1
2
; c) D = R \ {1}, A = 1
3
,
B = − 1
3
, C = 1
3
; d) D = R \ {0, 1}, A = −5, B = 7 4. a) D(f) = R \ {0},
H(f) = R \ {0}; b) D(f) = R \ {0}, H(f) = R \ {1}; c) D(f) = R \ {1}, H(f) = R \ {0};
d) D(f) = R \ {1}, H(f) = R \ {1} 5. a) D(f) = R \ {− 2
3
}, H(f) = R \ {2
3
};
b) D(f) = R \ {−3}, H(f) = R \ {3}; c) D(f) = R \ {−4}, H(f) = R \ {−1};
d) D(f) = R \ {0}, H(f) = R \ {1
3
}
103
Cvičení 80
1 Určete definiční obor, obor hodnot a načrtněte graf funkce:
a) f : y = x−2
b) h: y = x−4
c) g: y = x−3
d) i: y = x−5
Na závěr načrtněte do jednoho obrázku grafy funkcí f, h a do druhého
obrázku grafy funkcí g, i.
2 K dané funkci najděte funkci inverzní a načrtněte do jednoho obrázku
grafy obou funkcí:
a) f : y =
1
1 + x
b) f : y =
x − 2
x − 3
c) f : y =
x + 1
x − 1
d) f : y =
x
x + 1
3 Danou funkci f : y =
ax + b
cx + d
vyjádřete ve tvaru y =
k
x − m
+ n, kde
m, n jsou konstanty:
a) f : y =
x + 1
x − 1
b) f : y =
x
2x + 3
c) f : y =
2x + 3
x − 5
d) f : y =
1 − x
1 + x
4 V R řešte graficky i početně dané rovnice a nerovnice:
a)
1
x
≦ x b)
x + 1
x − 3
< 1
c)
2x + 1
3x − 2
≧ 0 d)
1
|x|
≧ 4 − |x|
5 Načrtněte graf funkce:
a) f : y =
1
|x|
b) f : y =
x
|x| + 2
c) f : y =
x + 1
x − 3
d) f : y =
x + 1
|x − 1|
104
1. a) D(f) = R \ {0}, H(f) = R+; b) D(h) = R \ {0}, H(h) = R+; c) D(g) = R \ {0},
H(g) = R \ {0}; d) D(i) = R \ {0}, H(i) = R \ {0} 2. a) y = 1−x
x
; b) y = 3x−2
x−1
;
c) y = x+1
x−1
; d) y = x
1−x
3. a) y = 1 + 2
x−1
; b) y = 1
2
− 3
4x+6
= 1
2
+
− 3
4
x−(− 3
2 )
;
c) y = 2+ 13
x−5
; d) y = −1+ 2
1+x
4. a) −1; 0)∪ 1; +∞); b) (−∞; 3); c) −∞; − 1
2
∪
∪ 2
3
; +∞ ; d) 0; 2 −
√
3 ∪ 2 +
√
3; +∞
Cvičení 81
1 V N2
řešte rovnice:
a)
√
x +
√
y =
√
50 b)
√
x +
√
y =
√
90
c) 3
√
x + 3
√
y = 3
√
54 d) 4
√
x + 4
√
y = 4
√
324
2 Vyjádřete jedinou odmocninou:
a) 5
s 3
√
s b) 5
√
5
c) 3
x
y
3
x
y
d) 5
a4 3
a2
√
a
3 Upravte dané výrazy:
a)

a
b
a
+
b
1 −
b
a

 :
b +
√
ab
b
1
b
−
1
a
,
b)
a
√
a + b
√
b
√
a +
√
b
−
√
ab : (a − b) +
2
√
b
√
a +
√
b
,
c)
√
5 +
√
3
√
5 −
√
3
+
√
5 −
√
3
√
5 +
√
3
3
+
3
2 +
√
3
+ 3
√
3
4
,
d) 14 + 6
√
5 − 14 − 6
√
5.
105
4 Roznásobte:
a) 1 +
√
2 +
√
3
2
b) 2 +
√
3 · 2 −
√
3
c)
√
2 +
√
3 +
√
5
2
d) a +
√
b + a −
√
b
2
5 Dané výrazy vyjádřete ve tvaru
√
x ±
√
y s celými čísly x, y:
a) 7 −
√
40, b) 6 +
√
20, c) 8 − 2
√
7, d) 11 − 6
√
2.
1. a) K = {[2; 32], [8; 18], [18; 8], [32; 2]}; b) K = {[2; 16], [16; 2]}; c) K =
= {[10; 40], [40; 10]}; d) K = {[4; 64], [64; 4]} 2. a)
15
√
s4; b)
4
√
53; c) 9
x
y
4
;
d)
30
√
a29 3. a) 1; b) 1; c) 1 808; d)
√
20 4. a) 6 + 2
√
2 + 2
√
3 + 2
√
6; b) 1;
c) 10 + 2
√
6 + 2
√
10 + 2
√
15; d) 2(a +
√
a2 − b) 5. a)
√
5 −
√
2; b)
√
5 + 1; c)
√
7 − 1;
d) 3 −
√
2
Cvičení 82
1 Vypočtěte:
a) 5
2
3 · 5
1
3 b) 5
2
3 : 5
1
3
c) 0,3− 9
5
− 2
3
d) 4
1
6 · 2
4
6
2 Uveďte, kdy mají dané výrazy smysl, a pak je upravte:
a) x
2
3 · x− 1
3 b) x0,25
· y0,75 4
c) x
1
3 : x−0,5
d) x− 8
3
− 9
4
3 Vypočtěte:
a)
45
1
2 − 20
1
2
5
1
2
b) 8
1
6 · 2
3
2
c) 2
1
10 · 2
1
5 d) 5,062 50,75
106
4 Dokažte:
a) ∀k ∈ R+
, k = 1:
k−0,5
+ k0,5
k − 1
−
1 − k−0,5
k0,5 + 1
=
2
k − 1
.
b) ∀a,b ∈ R+
, a = b:
a − b
a
1
3 − b
1
3
−
a + b
a
1
3 + b
1
3
= 2(ab)
1
3 .
5 Určete definiční obor daného výrazu a výraz upravte:
V (x) =
3x− 1
3
x
2
3 − 2x− 1
3
−
x
1
3
x
4
3 − x
1
3
−1
−
1 − 2x
3x − 2
−1
.
1. a) 5; b) 5
1
3 ; c) 0,3
6
5 ; d) 2 2. a) x
1
3 , x = 0; b) xy3, x ≧ 0, y ≧ 0; c) x
5
6 , x > 0;
d) x6, x > 0 3. a) 1; b) 4; c) 2
3
10 ; d) 27
8
5. x ∈ R \ {0, 1
2
, 1, 3
√
2, 2}, V (x) = x2
2x−1
Cvičení 83
1 Určete D(f), H(f) a načrtněte graf funkce:
a) f : y = 2x
b) f : y =
1
2
x
c) f : y = 2−x
d) f : y =
1
2
−x
2 Určete D(f), H(f) a načrtněte graf funkce:
a) f : y = 3x
b) f : y = 3x
− 1
c) f : y = 3x−1
d) f : y = 3x−1
− 1
3 Určete D(f), H(f) a načrtněte graf funkce:
a) f : y = 2|x|
b) f : y = 2|x|
− 4
c) f : y = 2|x|
− 4 d) f : y = −2|x|
107
4 Je dána funkce f : y =
m
m + 2
x
, x ∈ R.
a) Pro která m je funkce f rostoucí?
b) Pro která m je funkce f klesající?
c) Pro která m platí f(x) = 2x
pro všechna x?
d) Pro která m platí f(3) = 1
8 ?
5 Načrtněte graf funkce:
a) f : y = ex
b) f : y = e−x
c) f : y = e−x2
d) f : y = e|x|
1. a) D(f) = R, H(f) = R+; b) D(f) = R, H(f) = R+; c) D(f) = R, H(f) = R+;
d) D(f) = R, H(f) = R+ 2. a) D(f) = R, H(f) = R+; b) D(f) = R, H(f) = (−1; +∞);
c) D(f) = R, H(f) = R+; d) D(f) = R, H(f) = (−1; +∞) 3. a) D(f) = R,
H(f) = 1; +∞); b) D(f) = R, H(f) = −3; +∞); c) D(f) = R, H(f) = R+
0 ;
d) D(f) = R, H(f) = (−∞; −1 4. a) m ∈ (−∞; −2); b) m ∈ (−2; +∞); c) m = −4;
d) m = 2
Cvičení 84
1 V R řešte rovnice:
a) 2x
= 16 b) 5x
= 1
25
c) 3x
=
√
27 d) 5−x
= 0,008
2 V R řešte rovnice:
a) 2x+2
− 2x
= 96 b) 4x−1
+ 4x−2
+ 4x−3
= 42
c) 3x−3
= 108 − 3x−2
d) 5x+1
− 15 · 5x−1
= 1 250
108
3 V R řešte rovnice:
a) 32x
− 10 · 3x
+ 9 = 0 b) 4x
+ 2x+1
− 80 = 0
c) 4x
− 6 · 2x
− 160 = 0 d) 9x+1
+ 8 · 3x
− 1 = 0
4 V R řešte nerovnice:
a) 2x
> 8 b)
1
3
x
< 3
c) 3x
<
√
3 d) 0,5x
> 4
5 V R řešte nerovnice:
a) 2x
+ 21−x
− 3 < 0 b) 23x−1
− 4x+1
≧ 0
c) 4x
− 2 · 52x
− 10x
> 0 d)
2
3
2−3x
−
2x+1
3x+1
< 0
1. a) x = 4; b) x = −2; c) x = 3
2
; d) x = 3 2. a) x = 5; b) x = 7
2
; c) x = 6;
d) x = 4 3. a) x = 0, x = 2; b) x = 3; c) x = 4; d) x = −2 4. a) x ∈ (3; +∞);
b) x ∈ −∞; 1
2
; c) x ∈ (−1; +∞); d) x ∈ (−∞; −2) 5. a) x ∈ (0; 1); b) x ∈ 3; +∞);
c) x ∈ −∞; log 2
log 2−log 5
; d) x ∈ −∞; 1
4
Cvičení 85
1 Určete D(f), H(f) a načrtněte graf funkce:
a) f : y = log2 x b) f : y = log1
2
x
c) f : y = log2(−x) d) f : y = log1
2
(−x)
2 Určete D(f), H(f) a načrtněte graf funkce:
a) f : y = log3 x b) f : y = log3 x − 1
c) f : y = log3(x − 1) d) f : y = log3(x − 1) − 1
109
3 Určete D(f), H(f) a načrtněte graf funkce:
a) f : y = log2 |x| b) f : y = |log2 |x| − 4|
c) f : y = log2 |x| − 4 d) f : y = − log2 |x|
4 Najděte funkci inverzní k funkci f a načrtněte grafy obou funkcí. Určete
D(f), D(f−1
), H(f), H(f−1
):
a) f : y = 2x
b) f : y = 2x
− 3
c) f : y = 2x−3
d) f : y = 2x−3
+ 3
5 Najděte funkci inverzní k funkci f a načrtněte grafy obou funkcí. Určete
D(f), D(f−1
), H(f), H(f−1
):
a) f : y = log2 x b) f : y = log2(x + 2) − 3
c) f : y = log2(x − 4) d) f : y = log1
2
(x + 1) − 2
1. a) D(f) = R+, H(f) = R; b) D(f) = R+, H(f) = R; c) D(f) = R−, H(f) = R;
d) D(f) = R−, H(f) = R 2. a) D(f) = R+, H(f) = R; b) D(f) = R+, H(f) = R;
c) D(f) = (1; +∞), H(f) = R; d) D(f) = (1; +∞), H(f) = R 3. a) D(f) = R \ {0},
H(f) = R; b) D(f) = R \ {0}, H(f) = R+
0 ; c) D(f) = R \ {0}, H(f) = R;
d) D(f) = R \ {0}, H(f) = R 4. a) D(f) = R, H(f) = R+, f−1 : y = log2 x,
D(f−1) = R+, H(f−1) = R; b) D(f) = R, H(f) = (−3; +∞), f−1 : y = log2(x + 3),
D(f−1) = (−3; +∞), H(f−1) = R; c) D(f) = R, H(f) = R+, f−1 : y = log2 x + 3,
D(f−1) = R+, H(f−1) = R; d) D(f) = R, H(f) = (3; +∞), f−1 : y = log2(x − 3) + 3,
D(f−1) = (3; +∞), H(f−1) = R 5. a) D(f) = R+, H(f) = R, f−1 : y = 2x,
D(f−1) = R, H(f−1) = R+; b) D(f) = (−2; +∞), H(f) = R, f−1 : y = 2x+3 − 2,
D(f−1) = R, H(f−1) = (−2; +∞); c) D(f) = (4; +∞), H(f) = R, f−1 : y = 2x + 4,
D(f−1) = R, H(f−1) = (4; +∞); d) D(f) = (−1; +∞), H(f) = R, f−1 : y = 1
2
x+2
−1,
D(f−1) = R, H(f−1) = (−1; +∞)
110
Cvičení 86
1 V R řešte rovnice:
a) log2 x = 2 b) log16 x = 2
c) log4 x = 2 d) log1
2
x = 2
2 V R řešte rovnice:
a) logx 16 = 2 b) logx
1
8 = 3
2
c) logx
1
27 = −3 d) logx
1
4 = −2
3
3 V R řešte rovnice:
a) log2 8 = x b) log5
√
125 = x
c) log3
1
27 = x d) log8
1
4 = x
4 V R řešte nerovnice:
a) log2 x > 3 b) log0,5 x < −2
c) log5 x < 2 d) log1
3
x > −2
5 V R řešte rovnice:
a) log2
3 x − 3 log3 x − 10 = 0 b) 1 + log x3
=
10
log x
c) 2 log x = 3 +
2
log x
d) (2 + log x) log x = −1
1. a) x = 4; b) x = 256; c) x = 16; d) x = 1
4
2. a) x = 4; b) x = 1
4
; c) x = 3;
d) x = 8 3. a) x = 3; b) x = 3
2
; c) x = −3; d) x = − 2
3
4. a) x > 8; b) x > 4;
c) x < 25; d) x < 9 5. a) x = 243, x = 1
9
; b) x = 10 3
√
100, x = 1
100
; c) x = 100,
x =
√
10
10
; d) x = 1
10
111
Cvičení 87
1 V R řešte rovnice:
a) 2 log(x − 2) = log(14 − x),
b) log(x + 3) − log(x − 3) = log(x − 1),
c) log(x + 13) − log(x − 3) = 1 − log 2,
d) log(x + 1) + log(x − 1) − log x = log(x + 2).
2 V R řešte rovnice:
a) xlog x
= 100x b) xlog x
+ 10x− log x
= 11
c) x1+log x
= 100 d) x3 log x−5
= x4−7 log x
3 V R řešte rovnice:
a) 1
2 log x = 2 log 2 b) 4 log x = 3 log 16
c) 2 log x = −3 log 25 d) log x = 2 − log 5
4 V R řešte nerovnice:
a) log(x3
+ 1) − log 7 − log x = log(x + 1) − log 6,
b) 2 log x −
3
log
√
x
= 4,
c) log
√
3x − 5 + log
√
7x − 3 = 1 + log 1
10
√
11,
d) log(x + 1) + log(x − 1) − log(x − 2) = log 8.
5 V R řešte rovnice:
a) log
√
x + 4 − log
√
x − 4 = log 12 − log 4,
b) 2 log
√
x + 1 + log
√
x − 1 = log 2 + 2 log 6,
c)
log x2
+ 7
log x + 7
= 2,
d)
log x
1 − log 2
= 2.
112
1. a) x = 5; b) x = 5; c) x = 7; d) nemá řešení v R 2. a) x = 102, x = 10−1;
b) x = 1, x = 1
10
, x = 10; c) x = 10−2, x = 10; d) x = 1, x = 10
9
10 3. a) x = 16;
b) x = 8; c) x = 1
125
; d) x = 20 4. a) x = 2
3
, x = 3
2
; b) x = 103, x = 10−1; c) x = 2;
d) x = 3, x = 5 5. a) x = 5; b) x = 17; c) nemá řešení v R; d) x = 25
Cvičení 88
1 V R2
řešte soustavu rovnic:
a) 2log x
· 3log y
=
√
54 b) 2x
· 4y
= 8
√
2
log x + log y = 2 ln (x + y) = 0
c) 1
100 xy = 5 d) log5 x + 3log3 y
= 7
xlog y
= 52
xy
= 512
2 V R2
řešte soustavu rovnic:
a) 4x
· 3y
= 18 b) 4
√
2x ·
√
2y = 8
√
2
9x
· 5y
= 75
√
2x−2 ·
3
√
2y+1 = 16 · 3
√
2
c) 5x+1
+ 3y+1
= 26 d) x
√
x + y = 3
9(52x
+ 32y
) = 226 2x−2
(x + y) = 9
3 V R řešte rovnice:
a) xx
− x−x
= 3(1 + x−x
) b)
ln(3x + 4)
ln(x + 2)
= ln e2
c) log x2 log
√
x
+ log
1
x2
= 3 d) x3+4 log x
− 10x6
= 0
4 V R řešte rovnice:
a) log16 x + log4 x + log2 x = 7,
b) log2(x − 1)2
− log1
2
(x − 1) = 9 log2
3
√
4,
c) log3 x + log√
x x − log1
3
x = 6,
d) logx 2 · log2x 2 = log4x 2.
113
5 Pro všechny přípustné hodnoty proměnných a, b, m, n, x, y, z dokažte:
a) logz m + logz
1
m
= 0 b) loga b · logb a = 1
c) logb a =
logc a
logc b
d) xloga y
= yloga x
1. a) [10
1
2 ; 10
3
2 ]; b) − 3
2
; 5
2
; c) [5; 100], [100; 5]; d) 53; 4 , 54; 3 2. a) 1
2
; 2 ;
b) [8; 3]; c) [1; −1], log5
45
17
; log3
217
51
; d) [2; 7] 3. a) x = −1, x = 2; b) x = 0;
c) x = 103, x = 10−1; d) x = 10, x = 10− 1
4 4. a) x = 16; b) x = 5; c) x = 9;
d) x = 2
√
2, x = 2−
√
2
114
Goniometrie
Cvičení 89
1 Načrtněte si rovnostranný trojúhelník a čtverec a s jejich užitím zapište
hodnoty
a) sin α, b) cos α, c) tg α, d) cotg α
pro α = 0◦
, 30◦
, 45◦
, 60◦
, 90◦
.
2 V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem při vrcholu C vy
počtěte velikosti zbývajících stran a úhlů, je-li dáno:
a) a = 1 cm, c = 2 cm b) α = 45◦
, c = 3 cm
c) a =
√
3 cm, b = 1 cm d) β = 20◦
, b = 2 cm
3 V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem při vrcholu C vy
počtěte velikosti zbývajících stran, je-li dáno:
a) a = 7 cm, cotg β = 5
4 b) b = 3 cm, cos α = 2
3
c) c = 10 cm, tg α = 3
4 d) a = 2 cm, sin α = 4
5
4 S přesností na dvě desetinná místa určete sin α, cos α, tg α, cotg α, je-li
dáno:
a) α = 23◦
b) α = 37◦
30′
c) α = 86◦
50′
d) α = 11◦
11′
5 S přesností na setiny určete velikost ostrého úhlu x ve stupních:
a) sin x = 0,866 0 b) tg x = 0,577 4
c) cos x = 0,522 5 d) cotg x = 5,670 4
1. a) 0, 1
2
,
√
2
2
,
√
3
2
, 1; b) 1,
√
3
2
,
√
2
2
, 1
2
, 0; c) 0,
√
3
3
, 1,
√
3, nedef.; d) nedef.,
√
3, 1,
√
3
3
, 0 2. a) b =
√
3 cm, α = 30◦, β = 60◦; b) a = 3
√
2
2
cm, b = 3
√
2
2
cm, β = 45◦;
c) c = 2 cm, α = 60◦, β = 30◦; d) c = 2
sin 20◦ cm, a = 2 cotg 20◦ cm, α = 70◦
3. a) b = 28
5
cm, c =
√
2 009
5
cm; b) a = 3
√
5
2
cm, c = 9
2
cm; c) a = 6 cm, b = 8 cm;
d) b = 3
2
cm, c = 5
2
cm 4. a) sin α
.
= 0,39, cos α
.
= 0,92, tg α
.
= 0,42, cotg α
.
= 2,36;
b) sin α
.
= 0,61, cos α
.
= 0,79, tg α
.
= 0,77, cotg α
.
= 1,30; c) sin α
.
= 1,00, cos α
.
= 0,06,
tg α
.
= 18,07, cotg α
.
= 0,06; d) sin α
.
= 0,19, cos α
.
= 0,98, tg α
.
= 0,20, cotg α
.
= 5,06
5. a) x
.
= 60,00◦; b) x
.
= 30,00◦; c) x
.
= 58,50◦; d) x
.
= 10,00◦
115
Cvičení 90
1 Velikosti úhlů v míře stupňové vyjádřete v míře obloukové:
a) 30◦
, 45◦
, 60◦
, 90◦
b) 210◦
, 225◦
, 240◦
, 270◦
c) 120◦
, 135◦
, 150◦
, 180◦
d) 300◦
, 315◦
, 330◦
, 360◦
Výsledky zapište ve tvaru násobku π.
2 Velikosti úhlů v míře stupňové vyjádřete v míře obloukové:
a) 4◦
, 15◦
, 54◦
, 80◦
b) 205◦
, 228◦
, 261◦
, 272◦
c) 100◦
, 132◦
, 160◦
, 178◦
d) 301◦
, 319◦
, 342◦
, 356◦
3 Velikosti úhlů v míře obloukové vyjádřete v míře stupňové:
a) 1
6 π, 1
4 π, 1
3 π, 1
2 π b) 7
6 π, 5
4 π, 4
3 π, 3
2 π
c) 2
3 π, 3
4 π, 5
6 π, π d) 5
3 π, 7
4 π, 11
6 π, 2π
4 Velikosti úhlů v míře obloukové vyjádřete v míře stupňové:
a) 1, 2, 3, 4;
b) 0,174 53; 0,314 16; 1,134 46; 2,478 37; 5,131 27;
c) 0,3; 0,6; 1,2; 2,4;
d) 0,123 4; 0,567 8; 1,234 5; 4,567 8.
5 Určete základní velikosti orientovaných úhlů, jejichž jedna velikost je
a) 5π, 12π, −37π, −50π;
b) 400◦
, 500◦
, −300◦
, −1 000◦
;
c) 15
6 π, −19
5 π, 20
3 π, −31
2 π;
d) −284◦
, −1 083◦
, 700◦
25′
, −183◦
36′
.
1. a) 1
6
Ô, 1
4
Ô, 1
3
Ô, 1
2
Ô; b) 7
6
Ô, 5
4
Ô, 4
3
Ô, 3
2
Ô; c) 2
3
Ô, 3
4
Ô, 5
6
Ô, Ô; d) 5
3
Ô, 7
4
Ô, 11
6
Ô, 2Ô
2. a) přibližně 0,07; 0,26; 0,94; 1,40; b) přibližně 3,58; 3,98; 4,56; 4,75; c) přibližně
1,74; 2,30; 2,79; 3,11; d) přibližně 5,25; 5,57; 5,97; 6,21 3. a) 30◦; 45◦; 60◦; 90◦;
b) 210◦; 225◦; 240◦; 270◦; c) 120◦; 135◦; 150◦; 180◦; d) 300◦; 315◦; 330◦; 360◦
4. a) přibližně 57,30◦; 114,59◦; 171,89◦; 229,18◦; b) přibližně 10,00◦; 18,00◦; 65,00◦;
142,00◦; 294,00◦; c) přibližně 17,19◦; 34,38◦; 68,75◦; 137,51◦; d) přibližně 7,07◦;
32,53◦; 70,73◦; 261,72◦ 5. a) Ô; 0; Ô; 0; b) 40◦; 140◦; 60◦; 80◦; c) 1
2
Ô; 1
5
Ô; 2
3
Ô; 1
2
Ô;
d) 76◦; 357◦; 340◦25′; 176◦24′
116
Cvičení 91
1 Bez tabulek a kalkulačky určete hodnoty sin x pro x rovnající se:
a) 30◦
, 45◦
, 120◦
, 180◦
b) 210◦
, 240◦
, 315◦
, 360◦
c) 0, 1
6 π, 1
4 π, 1
3 π d) 1
2 π, 3
4 π, π, 2π
2 Bez tabulek a kalkulačky určete hodnoty cos x pro x rovnající se:
a) 0◦
, 60◦
, 90◦
, 150◦
b) 135◦
, 225◦
, 270◦
, 330◦
c) 5
6 π, 5
4 π, 5
3 π, 11
6 π d) 2
3 π, 7
6 π, 4
3 π, 7
4 π
3 Bez tabulek a kalkulačky určete hodnoty tg x pro x rovnající se:
a) 30◦
, 45◦
, 120◦
, 180◦
; b) 210◦
, 240◦
, 315◦
, 360◦
;
c) 0, 1
6 π, 1
4 π, 1
3 π; d) 1
2 π, 3
4 π, π, 2π
4 Bez tabulek a kalkulačky určete hodnoty cotg x pro x rovnající se:
a) 0◦
, 60◦
, 90◦
, 150◦
b) 135◦
, 225◦
, 270◦
, 330◦
c) 5
6 π, 5
4 π, 5
3 π, 11
6 π d) 2
3 π, 7
6 π, 4
3 π, 7
4 π
5 Pomocí kalkulačky určete hodnoty:
a) sin 10◦
; cos 100◦
; tg 40◦
, cotg 160◦
;
b) sin 1; cos 2; tg 1,25; cotg 3;
c) sin 1 000◦
; cos(−800◦
); tg 400◦
; cotg(−560◦
);
d) sin 10; cos(−24,3); tg 12,52; cotg 300.
5. a) přibližně 0,174; −0,174; 0,839; −2,747; b) přibližně 0,841; −0,416; 3,010; −7,015;
c) přibližně −0,985; 0,174; 0,839; −2,747; d) přibližně −0,544; 0,673; −0,046; 0,022
Cvičení 92
1 Bez tabulek a kalkulačky vypočítejte zbývající hodnoty goniometric
kých funkcí pro stejnou hodnotu x:
a) sin x = 0,6 ∧ x ∈ (1
2 π; π) b) tg x = −3
4 ∧ x ∈ (3
2 π; 2π)
c) cos x = 12
13 ∧ x ∈ (0; 1
2 π) d) cotg x = 4
3 ∧ x ∈ (π; 3
2 π)
117
2 Pomocí kalkulačky určete hodnoty sin x, cos x, tg x, cotg x pro x rov
nající se daným hodnotám α, β:
a) α = 20◦
, β = 160◦
30′
b) α = 0,32; β = 1,37
c) α = 2 360◦
44′
, β = −304◦
27′
d) α = −2,856; β = 4
7 π
3 Bez úhloměru sestrojte ostrý úhel α, jestliže:
a) sin α = 2
3 b) tg α = 7
6
c) cos α = 0,4 d) cotg α = 1,5
4 Na jednotkové kružnici se středem v počátku soustavy souřadnic zob
razte body, které jsou obvyklým způsobem přiřazeny reálným číslům:
a) 1
2 π, π b) 3π, −4π
c) 1
3 π, 11
6 π d) −8
3 π, −15
2 π
5 Na jednotkové kružnici se středem v počátku soustavy souřadnic zob
razte body, které jsou obvyklým způsobem přiřazeny orientovaným
úhlům s velikostmi ve stupňové míře:
a) 60◦
, 135◦
b) 330◦
, 390◦
c) 210◦
, 270◦
d) 585◦
, −810◦
1. a) cos x = − 4
5
; tg x = − 3
4
; cotg x = − 4
3
; b) sin x = − 3
5
; cos x = 4
5
; cotg x = − 4
3
;
c) sin x = 5
13
; tg x = 5
12
; cotg x = 12
5
; d) sin x = − 3
5
; cos x = − 4
5
; tg x = 3
4
2. a) sin α
.
= 0,342; cos α
.
= 0,940; tg α
.
= 0,364; cotg α
.
= 2,747; sin β
.
= 0,334;
cos β
.
= −0,943; tg β
.
= −0,354; cotg β
.
= −2,824; b) sin α
.
= 0,315; cos α
.
= 0,950;
tg α
.
= 0,331; cotg α
.
= 3,018; sin β
.
= 0,980; cos β
.
= 0,199; tg β
.
= 4,913; cotg β
.
= 0,204;
c) sin α
.
= −0,354; cos α
.
= −0,935; tg α
.
= 0,379; cotg α
.
= 2,642; sin β
.
= 0,825;
cos β
.
= 0,566; tg β
.
= 1,458; cotg β
.
= 0,686; d) sin α
.
= −0,282; cos α
.
= −0,960;
tg α
.
= 0,294; cotg α
.
= 3,406; sin β
.
= 0,975; cos β
.
= −0,222; tg β
.
= −4,392;
cotg β
.
= −0,228
118
Cvičení 93
1 Načrtněte graf funkce, která má definiční obor −2π; 2π a je zadaná
předpisem:
a) f : y = sin x b) f : y = 2 sin x
c) f : y = sin 2x d) f : y = sin x + 2
2 Načrtněte graf funkce, která má definiční obor −2π; 2π a je zadaná
předpisem:
a) f : y = sin(x − 1
6 π) b) f : y = sin(2x − 1
6 π)
c) f : y = sin(x + 1
6 π) d) f : y = sin(2x + 1
2 π)
3 Načrtněte graf funkce, která má definiční obor −2π; 2π a je zadaná
předpisem:
a) f : y = |sin x| b) f : y = − sin x
c) f : y = sin |x| d) f : y = − sin |x|
4 Načrtněte graf funkce, která má definiční obor −2π; 2π a je zadaná
předpisem:
a) f : y = 1
2 sin 3x − 1
2 π + 1 b) f : y = 3 sin 2x − 2
c) f : y = 2 sin x − 1
3 π + 3 d) f : y = 2 sin 1
2 x + 1
2 π
5 Načrtněte graf funkce, která má definiční obor −2π; 2π a je zadaná
předpisem:
a) f : y = |tg x| b) f : y = − cotg x
c) f : y = tg |x| d) f : y = tg 2x
Cvičení 94
1 V intervalu 0; 2π) řešte rovnice:
a) sin x = 1
2 b) tg x =
√
3
3
c) cos x = −1
2 d) cotg x = −1
119
2 V intervalu 0; 2π) řešte rovnice:
a) sin x = −0,836 1 b) tg x = −0,839 1
c) cos x = 0,565 6 d) cotg x = 0,362 0
3 V intervalu 0; 2π) řešte rovnice:
a) 3 sin2
x − cos2
x = 0 b) tg x − 3 cotg x = 0
c) 3 sin2
x + cos2
x + cos x = 0 d) cotg2
x =
√
3 cotg x
4 V intervalu 0; 2π) řešte rovnice:
a) sin(x − 1
4 π) = 0 b) cos(2x + 1
2 π) = 1
c) 2 sin 1
3 x =
√
3 d) tg(3
4 x − 1
3 π) = −
√
3
5 V intervalu 0; 2π) řešte rovnice:
a) sin x + cos x = 1 b) sin x − cos x = 1
c)
√
3 cos x + sin x = 1 d) sin x + cos x = 1,1
1. a) 1
6
Ô, 5
6
Ô; b) 1
6
Ô, 7
6
Ô; c) 2
3
Ô, 4
3
Ô; d) 3
4
Ô, 7
4
Ô 2. a) přibližně 4,131 7; 5,293 1;
b) přibližně 2,443 46; 5,585 05; c) přibližně 0,969 6; 5,313 6; d) přibližně 1,223 5; 4,365 1
3. a) 1
6
Ô, 5
6
Ô, 7
6
Ô, 11
6
Ô; b) 1
3
Ô, 4
3
Ô, 2
3
Ô, 5
3
Ô; c) Ô; d) 1
2
Ô, 3
2
Ô, 1
6
Ô, 7
6
Ô 4. a) 1
4
Ô, 5
4
Ô;
b) 3
4
Ô, 7
4
Ô; c) Ô; d) 4
3
Ô 5. a) 0, 1
2
Ô; b) 1
2
Ô, Ô; c) 1
2
Ô, 11
6
Ô; d) přibližně 0,105 9; 1,464 9
Cvičení 95
1 V intervalu 0; 2π) řešte rovnice:
a) sin x = sin 2x b) tg x = tg 2x
c) cos x = cos 2x d) cotg x = cotg 2x
2 V R řešte rovnice:
a) sin x + cos 2x = 1 b) 2 tg x + cotg x = 3
c) 2 sin x + sin 2x = 0 d) sin 2x − cos 2x = 0
120
3 V intervalu 0; 2π) řešte rovnice:
a) sin x = cos x b) tg x = 2 sin x
c) sin x = cos 3x d) cotg x = 2 cos x
4 V R řešte rovnice:
a) sin(x + 1
2 π) = sin(π − 3x) b) cos(2x − 1
3 π) = sin(5x − 1
6 π)
c) sin(2x − 1
3 π) = sin(3x + 1
2 π) d) tg x = tg(2x + 1
2 π)
5 V R2
řešte soustavu rovnic:
a) sin 2y = sin x b) 2 sin x = sin y
x + y = 1
3 π x + y = 2
3 π
c) sin x = sin y d) cos 4x + sin 2y = −2
2x + 3y = π x − y = 2π
1. a) 0, Ô, 1
3
Ô, 5
3
Ô; b) 0, Ô; c) 0, 2
3
Ô, 4
3
Ô; d) nemá řešení 2. a) kÔ, 1
6
Ô + 2kÔ, 5
6
Ô+ 2kÔ,
k ∈ Z; b) 1
4
Ô + kÔ, přibližně 0,463 6 + kÔ, k ∈ Z; c) kÔ, k ∈ Z, 3
2
Ô + 2kÔ, k ∈ Z;
d) 1
8
Ô + k 1
2
Ô, k ∈ Z 3. a) 1
4
Ô, 5
4
Ô; b) 0, Ô, 1
3
Ô, 5
3
Ô; c) 1
8
Ô, 5
8
Ô, 9
8
Ô, 13
8
Ô, 3
4
Ô, 7
4
Ô; d) 1
6
Ô,
1
2
Ô, 5
6
Ô, 3
2
Ô 4. a) 1
8
Ô + k 1
2
Ô, k ∈ Z; 1
4
Ô + kÔ, k ∈ Z; b) 1
7
(2k + 1)Ô, 1
9
Ô + 2
3
kÔ, k ∈ Z;
c) 7
6
Ô + 2kÔ, k ∈ Z; 1
6
Ô + 2
5
kÔ; d) nemá řešení 5. a) 2
9
Ô − 2
3
kÔ; 1
9
Ô + 2
3
kÔ , k ∈ Z;
− 1
3
Ô − 2kÔ; 2
3
Ô + 2kÔ , k ∈ Z; b) 1
6
Ô + kÔ; 1
2
Ô − kÔ , k ∈ Z; c) 1
5
Ô + 6
5
kÔ; 1
5
Ô − 4
5
kÔ ,
k ∈ Z; d) 7
4
Ô + kÔ; − 1
4
Ô + kÔ , k ∈ Z
Cvičení 96
1 Dokažte, že pro všechny přípustné hodnoty x ∈ R platí:
a) sin 2x = 2 sin x cos x b) tg 2x =
2 tg x
1 − tg2
x
c) cos 2x = cos2
x − sin2
x d) cotg 2x =
cotg2
x − 1
2 cotg x
121
2 Dokažte, že pro všechny přípustné hodnoty x ∈ R platí:
a) sin
x
2
=
1 − cos x
2
b) tg
x
2
=
1 − cos x
1 + cos x
c) cos
x
2
=
1 + cos x
2
d) cotg
x
2
=
1 + cos x
1 − cos x
3 Nechť t = tg x
2 , x
2 ∈ (0; 1
2 π). Vyjádřete pomocí t:
a) sin x b) tg x
c) cos x d) cotg x
4 Dokažte, že pro všechna x ∈ R platí:
a) sin x + sin y = 2 sin
x + y
2
cos
x − y
2
,
b) sin x − sin y = 2 sin
x − y
2
cos
x + y
2
,
c) cos x + cos y = 2 cos
x + y
2
cos
x − y
2
,
d) cos x − cos y = −2 sin
x + y
2
sin
x − y
2
.
5 Dokažte, že pro všechna x ∈ R platí:
a) sin(x + y) = sin x cos y + sin y cos x,
b) sin(x − y) = sin x cos y − sin y cos x,
c) cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y,
d) cos(x − y) = cos x cos y + sin x sin y.
3. a) 2t
1+t2 ; b) 2t
1−t2 ; c) 1−t2
1+t2 ; d) 1−t2
2t
122
Cvičení 97
1 Dokažte, že pro každý pravoúhlý trojúhelník ABC platí:
a) a2
= cca b) c2
= a2
+ b2
c) b2
= ccb d)
1
a2
+
1
b2
=
1
v2
c
2 V pravoúhlém trojúhelníku ABC vypočtěte:
a) ta, je-li a = 126 cm, b = 84 cm,
b) vc, je-li a = 65 cm, b = 156 cm,
c) S, je-li dáno b = 50 cm, vc = 30 cm,
d) a, b, je-li dáno ca = 64 cm, cb = 225 cm.
3 Délky stran pravoúhlého trojúhelníku ABC jsou v centimetrech vy
jádřeny přirozenými čísly. Délka jedné odvěsny je 5 cm. Určete délku
druhé odvěsny a délku přepony.
4 Určete délky zbývajících stran a velikosti úhlů v trojúhelníku ABC,
je-li dáno:
a) α = 48◦
, β = 107◦
, c = 135 cm,
b) a = 134 cm, b = 111 cm, γ = 54◦
,
c) a = 7 cm, b = 5 cm, c = 8 cm,
d) a = 74 cm, b = 148 cm, β = 145◦
.
5 V každém trojúhelníku ABC, který není pravoúhlý, platí
tg α + tg β + tg γ = tg α tg β tg γ.
Dokažte.
2. a) 105 cm; b) vc = 60 cm; c) S = 937,5 cm2; d) a = 136 cm, b = 255 cm 3. 12 cm,
13 cm 4. a) a
.
= 237,39 cm, b
.
= 305,48 cm, γ = 25◦; b) c = 113,10 cm, α
.
= 73,44◦,
β
.
= 52,56◦; c) α
.
= 60,00◦, β
.
= 38,21◦, γ
.
= 81,79◦; d) c
.
= 81,15 cm, α
.
= 16,67◦,
γ
.
= 18,33◦
123
Cvičení 98
Poznámka. V trojúhelníku ABC jsou a, b, c délky stran, α, β, γ, velikosti vnitřních
úhlů, ̺ poloměr kružnice vepsané, r poloměr kružnice opsané, s = 1
2
(a + b + c) poloviční
obvod.
1 Pro obsah S trojúhelníku ABC platí
S =
1
2
ab sin γ.
Dokažte.
2 Pro obsah S trojúhelníku ABC platí
S =
abc
4r
.
Dokažte.
3 Pro obsah S trojúhelníku ABC platí
S = ̺ · s.
Dokažte.
4 Pro obsah S trojúhelníku ABC platí
S =
c2
2(cotg α + cotg β)
.
Dokažte.
5 Pro obsah S trojúhelníku ABC platí
S = s(s − a)(s − b)(s − c).
Dokažte.
124
Cvičení 99
1 Z okna ležícího v metrů nad horizontální rovinou vidíme vrchol věže ve
výškovém úhlu α a její patu v hloubkovém úhlu β. Jak je věž vysoká?
2 Budova výšky v = 15 m je vzdálena d = 30 m od břehu řeky. Z vodo
rovné střechy této budovy je vidět šířku řeky pod úhlem ϕ = 15◦
. Jak
je řeka široká?
3 Ze dvou míst A a B na moři vzdálených d = 3 740 m byla pozoro
vána loď L pod úhly ϕ = |¡LAB| = 72◦
35′
, ψ = |¡LBA| = 81◦
41′
.
Vypočtěte vzdálenost lodi L od obou míst A a B.
4 Letadlo letí ve výšce h metrů směrem k letišti. V okamžiku prvního
měření bylo z pozorovatelny zaměřeno pod výškovým úhlem α, při dru
hém měření pod výškovým úhlem β. Vypočítejte vzdálenost d, kterou
letadlo uletělo mezi oběma měřeními.
5 Z výšiny ležící v metrů nad hladinou rybníka je vidět mrak ve výškovém
úhlu α a jeho obraz ve vodě v hloubkovém úhlu β. V jaké výšce h
je mrak nad hladinou? Řešte obecně a pak pro hodnoty v = 80 m,
α = 56◦
, β = 58◦
.
1. v(1 + tg α
tg β
) m 2. v d+v tg ϕ
v−d tg ϕ
− d
.
= 43,3 m 3. |LA|
.
= 8 521 m, |LB|
.
= 8 216 m
4. d =
h sin(β−α)
sin α sin β
m 5. h =
v(tg α+tg β)
tg β−tg α
m, h
.
= 2 094 m
Cvičení 100
1 K zjištění vzdálenosti bodů A, B oddělených od sebe řekou byla na
jednom břehu řeky změřena základna |AC| = b a úhly |¡CAB| =
= α a |¡ACB| = γ. Vypočtěte vzdálenost bodů A, B. Řešte obecně
a potom pro hodnoty b = 100 m, α = 60◦
, γ = 72◦
.
125
2 Vypočtěte délku přímého tunelu mezi místy A, B, leží-li bod C od nich
stranou tak, že platí |AC| = b, |BC| = a a |¡CAB| = α. Řešte obecně
a potom pro hodnoty b = 170 m, a = 250 m, α = 85◦
.
3 Určete vzdálenost nepřístupných bodů A, B, jestliže je známa vzdá
lenost d = |CD| dvou přístupných bodů C, D a |¡BDC| = α,
|¡ACD| = β, |¡ADC| = γ, |¡BCD| = δ. Body A, B přitom leží
ve stejné polorovině s hraniční přímkou CD.
4 Síla dané velikosti je rozložena na dvě složky 1, 2, které svírají se
silou úhly o daných velikostech α, β. Určete velikosti složek 1, 2.
Řešte obecně a pak pro hodnoty | | = 12 N, α = 30◦
, β = 45◦
.
5 Určete velikost výslednice dvou sil 1, 2 o daných velikostech, jež
působí v témž bodě a svírají úhel dané velikosti ϕ. Při jaké hodnotě ϕ
by byla výslednice největší? Řešte obecně a pak pro hodnoty | 1| =
= 125 N, | 2| = 75 N, ϕ = 50◦
.
1. |AB| = b sin γ
sin(α+γ)
, |AB|
.
= 128 m 2. |AB| = b cos α + a2 − b2 sin2 α, |AB|
.
=
.
= 199 m 3. |AB| = u2 + v2 − 2uv cos (γ − α), u = d sin β
sin (β+γ)
, v = d sin δ
sin (α+δ)
4. | 1| = | | sin β
sin(α+β)
, | 2| = | | sin α
sin(α+β)
, | 1|
.
= 8,78 N, | 2|
.
= 6,21 N 5. | | =
= | 1|2 + | 2|2 + 2| 1|| 2| cos ϕ, | |
.
= 182,48 N
126
Stereometrie
Cvičení 101
1 Ve volném rovnoběžném promítání načrtněte
a) krychli s hranou délky a = 4 cm,
b) pravidelný čtyřstěn s hranou délky a = 4 cm,
c) pravidelný šestiboký hranol výšky v = 6 cm s podstavnou hranou délky
a = 4 cm,
d) pravidelný čtyřboký komolý jehlan s výškou v = 4 cm a s podstavnými
hranami a = 5 cm, b = 3 cm.
2 Určete počet všech přímek, které procházejí
a) dvěma z daných n bodů, z nichž žádné tři neleží v přímce,
b) dvěma z vrcholů krychle ABCDEFGH.
3 Určete počet všech rovin, které procházejí
a) třemi z daných n bodů, z nichž žádné čtyři neleží v téže rovině,
b) třemi z vrcholů krychle ABCDEFGH.
4 Body A, B, C, D neleží v jedné rovině.
a) Je možné, aby některé tři z nich ležely na jedné přímce?
b) Kolik přímek a rovin je těmito body určeno?
c) Dokažte, že žádné dvě přímky určené těmito body nejsou rovnoběžné.
d) Určete počet všech dvojic mimoběžek určených těmito body.
5 Nechť r, s jsou dvě mimoběžky a p, q dvě různé přímky, z nichž každá
protíná obě mimoběžky r, s. Dokažte, že přímky p, q nejsou rovnoběžné
ani různoběžné.
2. a) 1
2
n(n−1); b) 28 3. a) 1
6
n(n−1)(n−2); b) 26 4. a) ne; b) 6 přímek, 4 roviny;
d) 3 dvojice
127
Cvičení 102
1 V krychli ABCDEFGH jsou body K, L, M, N, P, Q po řadě středy
hran EA, AB, BC, CG, GH, EH. Zjistěte, zda následující body leží
v jedné rovině:
a) K, L, M, P b) K, L, M, G
c) K, L, N, P d) K, L, P, Q
2 V krychli ABCDEFGH jsou body P, Q, R po řadě středy hran EH,
GH, DH. Určete vzájemnou polohu přímek:
a) PQ, CG b) QR, CD c) PR, CF
3 V krychli ABCDEFGH jsou body P, Q, R, S po řadě středy stěn
ABCD, BCFG, FGHE, ADHE. Určete vzájemnou polohu:
a) přímky PQ a roviny CDH b) přímky SQ a roviny ABG
c) přímky RQ a roviny BCE d) přímky PS a roviny EFG
4 V krychli ABCDEFGH určete vzájemnou polohu rovin:
a) BEG, ACH b) BCE, HBC
5 V krychli ABCDEFGH jsou body P, Q, R, S po řadě středy hran
AE, BF, CG, DH. Určete vzájemnou polohu rovin:
a) ABC, PQR, EFG b) ABC, PQS, BCE
c) BCE, BCG, EFG d) ABC, BCE, BCG
e) ABC, BCE, CDG
1. a) ano; b) ne; c) ano; d) ano 2. a) mimoběžky; b) různoběžky; c) rovnoběžky
3. a) rovnoběžné; b) přímka leží v rovině; c) rovnoběžné; d) různoběžné
4. a) rovnoběžné; b) totožné 5. a) rovnoběžné, různé; b) rovina BCE protíná
rovnoběžné roviny ABC, P SQ; c) navzájem různoběžné, tři průsečnice BC, F G, EH;
d) navzájem různoběžné, jediná průsečnice BC; e) navzájem různoběžné, protínají se
v jednom bodě C
128
Cvičení 103
1 Je dána krychle ABCDEFGH. Načrtněte rovinu, která prochází stře
dem M hrany BF a je rovnoběžná s rovinou:
a) ACH b) BDG
2 Je dána krychle ABCDEFGH. Dokažte, že rovina BDG je rovno
běžná s rovinou AFH.
3 Na hraně HG krychle ABCDEFGH je dán bod Q, |HQ| : |QG| =
= 3 : 1. Bodem Q veďte rovinu ̺ rovnoběžnou s rovinou ACH.
4 Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV , bod M je střed hrany BV .
Určete a zdůvodněte vzájemnou polohu přímky DV a roviny ACM.
5 V pravidelném čtyřbokém jehlanu ABCDV je bod S střed pod
stavy ABCD. Bodem Q, který leží uvnitř úsečky SV tak, že platí
|SQ| : |QV | = 1 : 2, veďte rovinu ̺ rovnoběžnou s rovinou BCV a se
strojte její průsečnice s rovinou podstavy a bočními stěnami jehlanu.
5. Návod. Bodem Q veďte vhodné přímky rovnoběžné s rovinou BCV .
Cvičení 104
1 Je dána krychle ABCDEFGH. Zobrazte průsečík přímky CE s rovi
nou BDM, kde M je střed hrany CG.
2 Je dán pravidelný čtyřstěn ABCD. Zobrazte průnik přímky MN s da
ným čtyřstěnem, je-li M střed úsečky T D, N leží na polopřímce AC,
|AN| = 4
3 |AC| a T je těžiště podstavy ABC daného čtyřstěnu.
129
3 Je dán kvádr ABCDEFGH. Zobrazte průnik přímky PQ s kvádrem,
je-li P ∈ →CG, |CP| = 3
2 |CG|, Q ∈ →DA, |DQ| = 2|AD|.
4 V krychli ABCDEFGH zobrazte průsečnici rovin:
a) ACH, BDH b) EBG, ACF
5 V pravidelném čtyřbokém jehlanu ABCDV jsou body P, R po řadě
středy hran AV , CV , Q ∈ BV , |BQ| = 1
4 |BV |. Zobrazte průsečnice
roviny PQR s rovinou ABC a zbývajícími bočními stěnami jehlanu.
Cvičení 105
1 Zobrazte krychli ABCDEFGH a její řez rovinou PQR, kde P je střed
AB, Q je střed CG a R je střed EH.
2 Zobrazte kvádr ABCDEFGH a jeho řez rovinou PQR, kde P je střed
EH, Q ∈ CG, 3|CQ| = |CG|, R ∈ →FB, |FR| = 3
2 |FB|.
3 Zobrazte šestiboký hranol ABCDEFA′
B′
C′
D′
E′
F′
a jeho řez rovinou
PQR, kde P je střed AA′
, Q je střed CC′
, R ∈ EE′
, |ER| = 3|E′
R|.
4 Zobrazte pětiboký hranol ABCDEA′
B′
C′
D′
E′
a jeho řez rovinou
PQR, kde P ∈ BB′
, |BB′
| = 4|BP|, Q ∈ CC′
, |CC′
| = 4|C′
Q|, R
je střed EE′
.
5 Zobrazte pravidelný trojboký hranol ABCDEF a sestrojte jeho řez
rovinou PQR, P ∈ →CB, |CP| = 3
2 |CB|, Q ∈ →AC, |AQ| = 2|AC|,
R ∈ →AD, |AR| = 5
4 |AD|.
130
Cvičení 106
1 Zobrazte pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV a jeho řez rovinou PQR,
P je střed AV , Q ∈ BV , 5|BQ| = |QV |, R ∈ CV , 3|CR| = |RV |.
2 Zobrazte pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV a jeho řez rovinou ̺,
která obsahuje přímku p a bod K, kde K je střed hrany DV a přímka p
je rovnoběžná s hranou AC a prochází bodem L, který je střed
hrany AB.
3 Zobrazte pravidelný šestiboký jehlan ABCDEFV a jeho řez rovinou
KLM, kde K je střed hrany AV , L ∈ BV , 4|BL| = |BV |, M je střed
hrany CD.
4 Zobrazte pravidelný čtyřstěn ABCD a jeho řez rovinou MNP, kde
M ∈ AD, 3|AM| = |AD|, N ∈ CD, 4|DN| = |CD| a P ∈ →CB, tak,
že |CP| = 2|BC|.
5 Zobrazte pravidelný pětiboký jehlan ABCDEV a jeho řez rovinou
MNP, M ∈ EV , 3|EM| = |EV |, N je střed AB, P ∈ DV tak, že
3|PV | = |DV |.
Cvičení 107
1 V krychli ABCDEFGH určete odchylku přímek:
a) AB, AC b) AC, AH
c) EF, FG d) BC, EH
2 V krychli ABCDEFGH určete odchylku přímek:
a) AB, EG b) AH, CF
c) AH, BE d) AD, CG
131
3 V krychli ABCDEFGH určete odchylku přímek:
a) AG, BH b) AH, CH
c) AH, BH d) AH, BD
4 V pravidelném čtyřbokém jehlanu ABCDV , jehož boční stěny jsou
rovnostranné trojúhelníky, je bod S středem podstavy a bod P středem
hrany AV. Určete odchylku přímek:
a) BC, SV b) AB, CV
c) AD, CV d) BV , CP
5 Označme α, β, γ velikosti úhlů, které svírá tělesová úhlopříčka kvádru
s jeho hranami délek a, b, c, jež vycházejí z jednoho vrcholu. Dokažte,
že platí cos2
α + cos2
β + cos2
γ = 1.
1. a) 45◦; b) 60◦; c) 90◦; d) 0◦ 2. a) 45◦; b) 90◦; c) 60◦; d) 90◦ 3. a) cos ϕ = 1
3
,
ϕ
.
= 70◦32′; b) 60◦; c) cos ϕ =
√
6
3
, ϕ
.
= 35◦16′; d) 60◦ 4. a) 90◦; b) 60◦; c) 60◦;
d) cos ϕ =
√
5
10
, ϕ
.
= 77◦5′
Cvičení 108
1 V pravidelném čtyřbokém jehlanu ABCDV je |AB| = a, |AV | = b. Ur
čete odchylku ϕ boční stěny od roviny podstavy. Řešte obecně a potom
pro hodnoty a = 5 cm, b = 7 cm.
2 V krychli ABCDEFGH určete odchylku roviny ABC a přímky:
a) EF b) BF
c) BH d) BG
132
3 Je dán kvádr ABCDEFGH, |AB| = a, |BC| = b, |AE| = c, bod S je
střed stěny EFGH. Určete odchylku přímky BS a roviny:
a) ABF b) BCG
Řešte obecně a potom pro hodnoty a = 4,5 cm, b = 3 cm, c = 3,8 cm.
4 V krychli ABCDEFGH určete odchylku rovin:
a) ABC, BDH b) ABE, ABH
c) ABC, BEG d) ACG, BCH
5 V pravidelném čtyřbokém jehlanu ABCDV , který má výšku v a délku
podstavné hrany a, vypočtěte odchylku rovin dvou:
a) protějších bočních stěn b) sousedních bočních stěn
1. tg ϕ =
√
4b2−a2
a
, tg ϕ =
√
171
5
, ϕ
.
= 69◦5′ 2. a) 0◦; b) 90◦; c) tg ϕ =
√
2
2
,
ϕ
.
= 35◦16′; d) 45◦ 3. a) tg ψ = b√
4c2+a2
, ψ
.
= 18,76◦; b) tg θ = a√
4c2+b2
,
θ
.
= 28,84◦ 4. a) 90◦; b) 45◦; c) tg ϕ =
√
2, ϕ
.
= 54◦44′; d) 60◦ 5. a) tg ϕ
2
= a
2v
;
b) sin ψ
2
= a2+2v2
a2+4v2
Cvičení 109
1 Body K, L, M, N jsou po řadě středy hran EH, CD, AE, CG krychle
ABCDEFGH. Ověřte kolmost přímek:
a) HM, EF b) MN, BH
c) AL, BK d) AL, CN
2 Body K, L, M, N jsou po řadě středy hran EH, CD, AE, CG krychle
ABCDEFGH. Ověřte kolmost rovin:
a) ACG, BFH b) BCE, DGH
c) ACK, BDH
133
3 Je dána krychle ABCDEFGH. Zobrazte ve volném rovnoběžném pro
mítání patu kolmice vedené bodem F k rovině BEG.
4 V krychli ABCDEFGH určete pravoúhlý průmět bodu B do roviny:
a) ADH b) ACG
c) CDE d) EDG
5 V krychli ABCDEFGH určete pravoúhlý průmět přímky DF do ro
viny:
a) ABC b) ADH
c) ACG d) DEG
Cvičení 110
1 Body P, Q jsou po řadě středy hran BF, CG krychle ABCDEFGH
s délkou hrany a. Vypočtěte vzdálenost bodů:
a) A a H b) A a P
c) A a G d) A a Q
2 V krychli ABCDEFGH s hranou délky a vypočtěte vzdálenost bodu
G od přímky:
a) AE b) BH
c) BD d) CE
3 V pravidelném čtyřbokém hranolu ABCDEFGH je |AB| = a a
|AE| = v, bod M je střed hrany EH. Vypočtěte vzdálenost bodu B
od přímky:
a) GH b) AG
c) EG d) CM
134
4 Určete vzdálenost vrcholu A pravidelného čtyřbokého jehlanu ABCDV
od přímky CV , je-li |AB| = a, |AV | = b.
5 V krychli ABCDEFGH s hranou délky a určete vzdálenost bodu E
od roviny AFH.
1. a) a
√
2; b) 1
2
a
√
5; c) a
√
3; d) 3
2
a 2. a) a
√
2; b) a 2
3
; c) 1
2
a
√
6; d) a 2
3
3. a)
√
a2 + v2; b)
a
√
a2+v2
√
2a2+v2
; c) a2
2
+ v2; d)
2a
√
a2+v2
√
5a2+4v2
4. a
b
√
2b2 − a2 5. 1
3
a
√
3
Cvičení 111
1 Určete délku hrany železné krychle, která má hmotnost 1 tunu, je-li
hustota železa ̺Fe = 7,8 g/cm3
.
2 Krychli je opsána kulová plocha o poloměru r. Vyjádřete pomocí r
povrch S a objem V krychle.
3 V krychli ABCDEFGH o hraně délky a je vedena hranou CG ro
vina ̺ tak, že protne hranu AB a rozdělí krychli na kolmé hranoly,
jejichž objemy jsou v poměru 3 : 2. V jakém poměru je touto rovinou
rozdělena hrana AB?
4 Dno bazénu 2 m hlubokého tvoří pravidelný šestiúhelník, jehož strana
má délku 2 m. Kolik hl vody bazén pojme?
135
5 Podstavu kolmého hranolu tvoří pravoúhlý trojúhelník, jehož odvěsny
mají délky v poměru 3 : 4. Výška hranolu má délku o 2 cm kratší než
delší odvěsna trojúhelníkové podstavy. Určete objem hranolu, je-li jeho
povrch 468 cm2
.
1. přibližně 50,42 cm 2. S = 8r2, V = 8
√
3
9
r3 3. 1 : 4 4. přibližně 207,8 hl
5. 540 cm3
Cvičení 112
1 V kvádru ABCDEFGH je dána délka hrany c = |AE| a úhly velikosti
α = |¡ABH|, β = |¡EHB|. Vyjádřete délky hran a = |AB|, b =
= |BC|.
2 Podstavou kvádru je obdélník vepsaný do kruhu o poloměru r. Kratší
straně obdélníku přísluší středový úhel 2ϕ. Vyjádřete objem V kvádru,
je-li součet obsahů všech čtyř jeho bočních stěn roven S′
.
3 Podstavou kolmého hranolu je rovnoramenný trojúhelník se základnou
o délce a. Úhel při základně má velikost α. Vypočítejte objem V hra
nolu, je-li součet obsahů jeho bočních stěn roven součtu obsahů jeho
podstav.
4 Vyjádřete povrch S kvádru ABCDEFGH, je-li dána délka stěnové
úhlopříčky u = |AC| a velikosti úhlů β = |¡BAC|, α = |¡CAG|.
136
5 Vypočtěte objem V kvádru, mají-li jeho tři stěny se společným vrcho
lem obsahy S1, S2, S3.
1. a = c·cos α√
1−(cos2 α+cos2 β)
, b = c·cos β√
1−(cos2 α+cos2 β)
2. V = S′
r cos ϕ sin ϕ
cos ϕ+sin ϕ
3. V =
= 1
8
a3 tg α tg α
2
4. S = 2
√
2u2 tg α cos(45◦ − β) + 2u2 cos β sin β 5. V =
√
S1S2S3
Cvičení 113
1 Rozměry kvádru v cm jsou kořeny rovnice
x3
− 10x2
+ 31x − 30 = 0.
Vypočtěte povrch S a objem V kvádru.
2 Vypočtěte objem V kvádru o výšce c, jestliže odchylka úhlopříček pod
stavy je α a odchylka tělesové úhlopříčky od roviny podstavy je ϕ.
Řešte obecně a potom pro hodnoty c = 24 cm, α = 60◦
, ϕ = 30◦
.
3 Obsahy stěn kvádru, které mají společný vrchol, jsou v poměru 2 : 4 : 5.
Povrch kvádru je 220 cm2
. Vypočtěte jeho objem.
4 Délka tělesové úhlopříčky kvádru je 13 cm. Rozměry kvádru jsou v po
měru 4 : 3 : 12. Vypočtěte objem a povrch kvádru.
5 Za jak dlouho naplní čerpadlo s výkonem 2,5 hl vody za minutu nádrž
tvaru kvádru o rozměrech podstavy 6 m, 4 m do výše 2,5 m?
1. S = 62 cm2, V = 30 cm3 2. V = 1
2
c3 cotg2 ϕ sin α; V = 10 368
√
3 cm3
3. 200 cm3 4. V = 144 cm3, S = 192 cm2 5. za 4 hodiny
137
Cvičení 114
1 Vyjádřete povrch S a objem V
a) tetraedru o hraně délky a, b) oktaedru o hraně délky a.
2 Určete délky a, b podstavné a boční hrany pravidelného čtyřbokého
jehlanu, který má objem 400 cm3
a povrch 360 cm2
.
3 Vypočtěte objem V a povrch S pravidelného trojbokého jehlanu. Pod
stavná hrana má délku a a boční hrana délku b. Řešte obecně a pak
pro hodnoty a = 3 cm a b = 5 cm.
4 Hrana krychle ABCDEFGH má délku a. Zobrazte řez této krychle
rovinou PQR, kde P, Q, R jsou po řadě středy hran AE, CG, AB.
Vypočtěte objem V a povrch S jehlanu, který má řez za podstavu
a hlavní vrchol v bodě F.
5 Vypočtěte objem V pravidelného pětibokého jehlanu, je-li b délka
boční hrany a α její odchylka od roviny podstavy.
1. a) S = a2
√
3, V = a3
√
2
12
; b) S = 2
√
3a2, V =
√
2
3
a3 2. a = 10 cm, b =
√
194 cm
nebo a =
√
80 cm, b =
√
265 cm 3. V = 1
12
a2
√
3b2 − a2, S =
√
3
4
a2 + 3
4
a
√
4b2 − a2;
V =
√
66
4
cm3, S = 9
4
(
√
3 +
√
91) cm2 4. V = 3
8
a3, S = 3
4
a2(
√
3 + 3) 5. V =
= 5
12
b3 sin 2α cos α sin 72◦
Cvičení 115
1 Je dána krychle ABCDEFGH. Pomocí délky a její hrany vyjádřete
objem V jehlanu ACHF.
138
2 Vypočtěte objem V pravidelného n-bokého jehlanu s podstavnou hra
nou délky a a výškou v.
3 Určete objem pravidelného trojbokého komolého jehlanu, jehož pod
stavy jsou rovnostranné trojúhelníky mající délky stran a, b a odchylka
boční hrany od roviny větší podstavy je ϕ.
4 Jehlan, jehož objem je V , je upraven řezem rovnoběžným s jeho pod
stavou na komolý jehlan tak, že platí S1 : S2 = 9 : 4, kde S1 je obsah
podstavy původního jehlanu a S2 je obsah řezu. Vypočítejte objemy
obou těles řezem oddělených.
5 Čtyřboký komolý pravidelný jehlan má větší podstavu z hran o délce a.
Boční hrana má od roviny této podstavy odchylku 45◦
a je shodná
s hranou jeho menší podstavy. Určete objem V komolého jehlanu.
1. V = 1
3
a3 2. V = 1
12
na2 cotg 2Ô
n
3. V = 1
12
(a3 − b3) tg ϕ 4. 8
27
V a 19
27
V
5. V = 7
48
a3
√
2
Cvičení 116
1 Jaký průměr d má měděný drát 100 m dlouhý, je-li jeho hmotnost
40 kg? Hustota mědi je ̺ = 8,9 g/cm3
.
2 Roura tvaru válce má délku d, světlost s a tloušťku t. Vypočtěte její
povrch S.
3 Nádoba tvaru rotačního válce s poloměrem podstavy r a výškou v je
naplněna vodou. Kolik vody v ní zůstane, nakloníme-li ji o úhel ϕ?
139
4 Zobrazte kruh, jehož obsah se rovná povrchu rotačního válce s polo
měrem podstavy r a výškou v.
5 Jaké množství V vody proteče za hodinu potrubím kruhového průřezu
s průměrem 16 cm, teče-li voda rychlostí 2,5 m/s.
1. d
.
= 7,5 mm 2. S = 2Ô(s + t)(d + t) 3. zbylá voda má objem Vϕ = Ôr2v −
− 1
2
Ôr3 tg ϕ 4. Poloměr kruhu x = 2r(r + v) sestrojíme pomocí Eukleidovy věty.
5. V
.
= 181 m3
Cvičení 117
1 Do kužele je vepsán válec, jehož výška je rovna polovině výšky kužele.
V jakém poměru jsou objemy obou těles?
2 Kužel výšky v plave ve vodě špičkou dolů. Jak hluboko je špička po
nořena, je-li hustota kužele ̺ a hustota vody ̺0?
3 Určete povrch S rotačního kužele s poloměrem r, je-li ϕ odchylka
strany kužele od jeho podstavy.
4 Určete povrch S rovnostranného kužele, je-li dán jeho objem V =
= 1
9 cm3
.
5 Je dán komolý kužel s poloměry podstav R, r a výškou v. Určete
objem V doplňkového kužele, je-li dáno R = 10 cm, r = 5 cm, v = 3 cm.
1. 8 : 3 2. v 3 ̺
̺0
3. S =
2Ôr2
cos2 ϕ
2
cos ϕ
4. S = 3
3
√
3ÔV 2, S = 3
√
Ô cm2 5. V =
= Ôr3
v
3(R−r)
, V = 25Ô cm3
140
Cvičení 118
1 Plášť kužele rozvinutý do roviny tvoří kruhovou výseč s poloměrem s
a středovým úhlem α. Určete povrch S a objem V kužele, je-li
a) α ve stupních,
b) α v radiánech.
2 Výška pravoúhlého trojúhelníku dělí přeponu na úseky m = 4 cm,
n = 5 cm. Určete povrch S a objem V tělesa vzniklého otáčením troj
úhelníku kolem přepony.
3 Dva rotační kužele stejné výšky v, a poloměrů R, r jsou po společné ose
vraženy vrcholy do sebe až k podstavám. Určete objem jejich společné
části.
4 Je dán komolý kužel výšky v = 3 cm s poloměry podstav R = 10 cm,
r = 5 cm. Určete objem V doplňujícího kužele.
5 Povrch rotačního komolého kužele je S = 2 450πcm2
, poloměry pod
stav jsou R = 28 cm, r = 21 cm. Určete jeho výšku v.
1. a) S = Ôs2
α
(360)2 (α + 360), V = Ô(α)2
s3
3·(360)3 (360)2 − (α)2; b) S = s2
α
2
α
2Ô + 1 ,
V = s3
α2
12Ô 1 − α2
4Ô2 2. S = Ô mn(m + n)(
√
m +
√
n) = 6Ô(2
√
5 + 5) cm2,
V = 1
3
Ômn(m + n) = 60Ô cm3 3. V = ÔvR2r2
3(R+r)2 4. V = Ôr3v
3(R−r)
= 25Ô cm3
5. v = 24 cm
Cvičení 119
1 Povrch koule, která se dotýká všech hran dané krychle, se rovná rozdílu
povrchů koulí krychli opsané a vepsané. Dokažte.
141
2 Kouli je vepsán rovnostranný válec a rovnostranný kužel. Určete poměr
povrchů všech tří těles.
3 Vypočtěte hmotnost koule, která plave ve vodě tak, že je ponořena do
vody svou větší částí. Délka kružnice, kterou vytvoří hladina vody na
kouli, je o1 = 48 cm a hlavní kružnice koule má délku o2 = 73 cm.
4 Ze dvou koulí o poloměrech r1 = 1 cm a r2 = 5 cm je odlita jedna nová
koule. Určete její poloměr r a povrch S.
5 Jakou tloušťku ∆ musí mít dutá měděná koule hmotnosti m, aby se
vznášela ve vodě? Označte ̺ hustotu mědi, ̺0 hustoty vody a řešte
nejprve obecně, potom pro hodnoty m = 1 kg, ̺ = 8 900 kg/m3
, ̺0 =
= 1 000 kg/m3
.
2. SK : SV : SKu = 16 : 12 : 9 3. m = 4
3
Ôr3 − 1
3
Ôv2(3r − v) ̺, v =
o2− o2
2
−o2
1
2Ô je
výška kulové úseče nad hladinou v dm, r = o2
2Ô je poloměr koule v dm, m
.
= 6,29 kg, ̺
je hustota vody 4. r = 3
√
126 cm, S = 4Ô
3
√
1262 cm2 5. ∆ = 3 3m
4Ô̺0
1 − 3 ̺−̺0
̺
,
∆
.
= 2,4 mm
Cvičení 120
1 Kolik km2
povrchu Země vidí letec z výšky h km? Poloměr Země je
r km.
2 V jaké vzdálenosti l od koule s poloměrem r je svítící bod, který ozařuje
1
4 povrchu koule?
142
3 Konvexní čočka se skládá ze dvou kulových úsečí o poloměrech pod
stav r1 = r2 = 30 mm a výškách v1 = 5 mm, v2 = 8 mm. Vypočtěte
hmotnost čočky, je-li hustota skla ̺ = 2,5 g/cm3
.
4 Objem kulové úseče je dán vzorcem V = 1
6 πv(3̺2
+ v2
), ̺ je poloměr
podstavy a v výška úseče. Dokažte, že pro objem úseče platí také vzorec
V = 1
3 πv2
(3r − v), kde r je poloměr koule.
5 Vypočtěte povrch S a objem V kulové výseče, má-li příslušná kulová
úseč, která je částí výseče, poloměr podstavy ̺ = 6 cm a výšku v =
= 2 cm.
1. 2Ôr2
h
r+h
km2 2. l = r 3. přibližně 46,78 g 5. S = 100Ô cm2, V = 400
3
Ô cm3
143
Analytická geometrie
Poznámka. Při početním řešení geometrických úloh předpokládáme, že v rovině, popř.
v prostoru máme zvolenu jednotku délky, pomocí níž můžeme změřit vzdálenost každých
dvou bodů. Při zápisu vzdálenosti však jednotky nepoužíváme a vzdálenosti, obsahy,
objemy zapisujeme pouze číslem.
Cvičení 121
1 Vypočtěte vzdálenost bodů A, B, je-li dáno:
a) A[−1], B[4],
b) A[−2; 4], B[1; 0],
c) A[−3; 1; 4], B[3; −2; 2].
2 Vypočtěte souřadnice středu úsečky AB, je-li dáno:
a) A[−2], B[−4],
b) A[−1; 5], B[6; 2],
c) A[−3; 1; 4], B[5; 3; 2].
3 V soustavě souřadnic na přímce jsou dány body A, B. Vypočtěte sou
řadnici bodu X, pro který platí |AX| : |BX| = 1 : 2, je-li dáno:
a) A[0], B[1],
b) A[a], B[b], a > b.
4 Jsou dány body A[3 − p; −3 + 2p; 2] a B[−1; 0; −1]. Určete p ∈ R tak,
aby vzdálenost |AB| byla nejmenší.
5 V soustavě souřadnic v prostoru jsou dány dva vrcholy A[−4; −1; 2],
B[3; 5; −6] trojúhelníku ABC. Určete jeho třetí vrchol C, jestliže střed
strany AC leží na ose y a střed strany BC v souřadnicové rovině xz.
1. a) 5; b) 5; c) 7 2. a) [−3]; b) 5
2
; 7
2
; c) [1; 2; 3] 3. a) X[ 1
3
] nebo X[−1];
b) X[ 2a+b
3
] nebo X[2a − b] 4. p = 2 5. C[4; −5; −2]
144
Cvičení 122
1 Vypočtěte souřadnice vektoru Ù = B − A, je-li dáno:
a) A[5; −6], B[3; −2]
b) A[4; −2; 3], B[3; −2; 1]
2 Vypočtěte souřadnice bodu B = A + Ù, je-li dáno:
a) A[4; −3], Ù = (1; −2)
b) A[1; −5; 2], Ù = (−3; 2; 1)
3 V pravidelném šestiúhelníku ABCDEF je Ù = B − A, Ú = C − B.
Pomocí vektorů Ù, Ú vyjádřete:
a) vektory vyjádřené orientovanými úsečkami CD, DE, EF, FA
b) vektory vyjádřené orientovanými úsečkami AC, AD, AE
4 V tetraedru ABCD je Ù = B − A, Ú = C − A, Û = D − A. Pomocí
vektorů Ù, Ú, Û vyjádřete vektory zbývajících hran tetraedru.
5 Narýsujte libovolný trojúhelník ABC a jeho těžiště T . Pak sestrojte
součet vektorů Ù + Ú + Û, je-li Ù = A − T , Ú = B − T , Û = C − T .
1. a) Ù = (−2; 4); b) Ù = (−1; 0; −2) 2. a) B[5; −5]; b) B[−2; −3; 3] 3. a) D − C =
= −Ù + Ú, E − D = −Ù, F − E = −Ú, A − F = Ù − Ú; b) C − A = Ù + Ú, D − A = 2Ú,
E − A = 2Ú − Ù 4. C − B = Ú − Ù, D − B = Û − Ù, D − C = Û − Ú 5. Ù + Ú + Û = Ó
Cvičení 123
1 Vypočtěte součet a rozdíl vektorů Ù, Ú, je-li dáno:
a) Ù = (2; 3), Ú = (−5; 2),
b) Ù = (1; 2; −3), Ú = (4; −3; 1).
145
2 Vrcholy krychle ABCDEFGH jsou určeny vektory = B − A, =
= D − A, 
 = E − A. Bod S je střed stěny ADHE. Vyjádřete vektor
Ü = S − A pomocí vektorů , , 
.
3 Zjistěte, zda vektor Ù je lineární kombinací vektorů , :
a) Ù = (−2; 4; −6), = (1; 3; −2), = (2; 1; 1),
b) Ù = (1; 1; 2), = (−1; 0; 1), = (2; 2; 3).
4 V krychli ABCDEFGH platí
2(C − A) + 3(E − D) = 2(F − A) + (F − C).
Dokažte.
5 V trojúhelníku ABC jsou dány vektory = B −A, = C −A. Bod D
je vnitřní bod strany BC a dělí ji v poměru |BD| : |DC| = m : n.
Vyjádřete vektor Ü = D − A jako lineární kombinaci vektorů , .
1. a) Ù + Ú = (−3; 5), Ù − Ú = (7; 1); b) Ù + Ú = (5; −1; −2), Ù − Ú = (−3; 5; −4)
2. Ü = 1
2
+ 1
2

 3. a) ano; b) ne 5. Ü = n
m+n
+ m
m+n
Cvičení 124
1 Vypočtěte velikost vektoru Ù, je-li dáno:
a) Ù = (2; −4),
b) Ù = (4; −4; 2).
2 Vypočtěte skalární součin vektorů Ù, Ú, je-li dáno:
a) Ù = (3; −1), Ú = (2; 3),
b) Ù = (3; −1; 2), Ú = (2; 4; −1).
146
3 V rovině jsou dány vektory Ù = (u1, u2), Ú = (v1, v2). Dokažte, že platí:
a) Ù2
= |Ù|2
,
b) |Ù − Ú|2
= |Ù|2
+ |Ú|2
− 2ÙÚ.
4 Vektory Ù, Ú mají velikosti |Ù| = 2 a |Ú| = 4, jejich odchylka je 1
3 π.
Určete jejich skalární součin.
5 Vypočtěte odchylku ϕ vektorů Ù, Ú, je-li dáno:
a) Ù = (1; 0), Ú = −1
2 ,
√
3
2 ,
b) Ù = (2; 2; −1), Ú = (3; 0; 6).
1. a) |Ù| = 2
√
5; b) |Ù| = 6 2. a) ÙÚ = 3; b) ÙÚ = 0 4. ÙÚ = 4 5. a) ϕ = 2
3
Ô;
b) ϕ = 1
2
Ô
Cvičení 125
1 Pomocí vektorů určete odchylku ϕ dvou tělesových úhlopříček krychle.
2 Vypočtěte velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku ABC s vrcholy
A[2; −4; 9], B[−1; −4; 5], C[6; −4; 6].
3 Pro každé dva nenulové vektory Ù, Ú platí Ù ⊥ Ú ⇔ ÙÚ = 0. Dokažte.
4 Vypočtěte práci W síly = (4, −3) po dráze , kde A[−4; 0], B[8; 5].
Určete odchylku ϕ vektorů a .
147
5 Pro vektory Ù, Ú, Û platí Ù + Ú + Û = Ó. Vypočtěte hodnotu výrazu
ÙÚ + ÚÛ + ÛÙ, víte-li, že |Ù| = |Ú| = |Û| = 1.
1. cos ϕ = 1
3
, ϕ
.
= 70◦32′ 2. 90◦, 45◦, 45◦ 4. W = 33 J, ϕ
.
= 59◦29′ 5. − 3
2
Cvičení 126
1 Užitím vektorového součinu vypočtěte obsah S trojúhelníku ABC,
je-li dáno: A[−3; −2], B[2; −1], C[1; 3].
2 Užitím vektorového součinu vypočtěte obsah S trojúhelníku ABC,
je-li dáno: A[1; 2; −3], B[3; 5; 1], C[2; −2; 6].
3 Užitím vektorového součinu vypočtěte obsah S rovnoběžníku určeného
vektory Ù = (−2; −3; 2), Ú = (3; 4; −2).
4 Vypočtěte objem V čtyřstěnu ABCD, kde
A[5; 2; −3], B[−3; 4; −1], C[−1; −1; 3], D[−1; 1; −2].
5 Vypočtěte objem V rovnoběžnostěnu ABCDEFGH, kde
A[1; 2; 1], B[7; 3; 0], D[−1; 5; 2], E[1; 0; 6].
1. S = 21
2
2. S = 1
2
√
2 166 3. S = 3 4. V = 18 5. V = 108
Cvičení 127
1 Napište parametrické vyjádření přímky AB procházející body A[1; −1],
B[2; 3] a přímku načrtněte v soustavě souřadnic v rovině.
148
2 Napište parametrické vyjádření přímky a určené bodem A a směrovým
vektorem Ù, kde A[3; −7] a Ù = (−2; 5).
3 Napište parametrické vyjádření těžnic trojúhelníku ABC s vrcholy
A[−2; −1], B[3; 0], C[2; 4].
4 Napište parametrické vyjádření osy o úsečky s krajními body A[2; −3],
B[−1; −2].
5 Napište parametrické vyjádření přímky p, která má obecnou rovnici
2x − 3y + 1 = 0.
1. x = 1 + t, y = −1 + 4t; t ∈ R 2. a: x = 3 − 2t, y = −7 + 5t; t ∈ R
3. ta : x = −2 + 3t, y = −1 + 2t; t ∈ 0; 1 , tb : x = 3 − 2t, y = t; t ∈ 0; 1 ,
tc : x = 2 + t, y = 4 + 3t; t ∈ 0; 1 4. o: x = 0,5 + t, y = −2,5 + 3t; t ∈ R 5. např.:
p: x = 1 + 3t, y = 1 + 2t; t ∈ R
Cvičení 128
1 Napište obecnou rovnici přímky AB, A[2; −1], B[−3; 2], a přímku na
črtněte v soustavě souřadnic v rovině.
2 Napište obecnou rovnici přímky p, která má parametrické vyjádření
x = 2 − t, y = 3 + 2t; t ∈ R.
3 Napište obecnou rovnici osy úsečky AB, A[−3; 1], B[4; −3].
4 Napište obecné rovnice přímek, v nichž leží výšky trojúhelníku ABC,
je-li A[1; 1], B[2; 3], C[−4; −3].
149
5 Napište obecnou rovnici přímky, která prochází bodem A[3; 1] a je
rovnoběžná
a) s osou x,
b) s osou y.
1. např. 3x + 5y − 1 = 0 2. např. p: 2x + y − 7 = 0 3. např. 14x − 8y − 15 = 0
4. např. va : x + y − 2 = 0, vb : 5x + 4y − 22 = 0, vc : x + 2y + 10 = 0 5. a) např.
y − 1 = 0; b) např. x − 3 = 0
Cvičení 129
1 Určete směrnici k a napište směrnicový tvar rovnice přímky, která je
určena obecnou rovnicí 3x − 2y + 4 = 0.
2 Určete směrnici k přímky, která prochází body A[−3; 2], B[−7; −6].
3 Napište směrnicový tvar rovnice přímky, která prochází body A[4; 3],
B[6; −3].
4 Přímka p prochází bodem A[4; −3] a má směrnici k = 0. Napište její
rovnici a určete její průsečíky Px, Py s osami souřadnic.
5 Napište úsekový tvar rovnice přímky q, jejíž obecná rovnice je
2x + 3y − 6 = 0. Přímku načrtněte v soustavě souřadnic v rovině.
1. y = 3
2
x + 2, k = 3
2
2. k = 2 3. y = −3x + 15 4. p: y + 3 = k(x − 4),
Px = 3+4k
k
; 0 , Py = [0; −4k − 3] 5. q : 1
3
x + 1
2
y = 1
150
Cvičení 130
1 Určete vzájemnou polohu přímek p(A, Ù) a q(B, Ú), je-li dáno:
a) A[3; −1], Ù = (−2; 1), B[4; −2], Ú = (1; −2),
b) A[7; −4], Ù = (−2; 3), B[3; −2], Ú = (1
3 ; −1
2 ).
2 Určete vzájemnou polohu přímek p, q, je-li dáno:
a) p: x = 3 − 2t, y = 4 + 3t; t ∈ R, q: x = 6 + 3s, y = −1
2 − 9
2 s; s ∈ R;
b) p: x = −1 + t, y = 5 − 3t; t ∈ R, q: x = 5 − 3s, y = −1 + s; s ∈ R.
3 Určete, pokud existuje, průsečík přímky p a úsečky AB,
p: x = 5 − 3t, y = −6 + 2t; t ∈ R, A[3; −8], B[−9; 10].
4 Určete vzájemnou polohu přímek p, q, je-li:
a) p: 6x − 9y + 15 = 0, q: 2x − 3y − 5 = 0,
b) p: 5x − 4y − 5 = 0, q: 2x − 3y + 5 = 0.
5 Určete vzájemnou polohu přímek r, s, je-li r: 2x + ay − 4 = 0,
s: x − 3y + a = 0. Proveďte diskusi vzhledem k parametru a.
1. a) různoběžné; b) rovnoběžné různé 2. a) totožné; b) různoběžné 3. P [−1; −2]
4. a) rovnoběžné různé; b) různoběžné 5. a = −6 ⇒ rovnoběžné různé, a ∈ R,
a = −6 ⇒ různoběžné
Cvičení 131
1 Vypočtěte odchylku ϕ přímek p, q, je-li dáno:
a) p: 2x − y + 1 = 0, q: 3x + y + 1 = 0,
b) p: x = 1 − 3t, y = 2 + t; t ∈ R, q: x = 3 − s, y = 1 − 3s; s ∈ R.
151
2 Mají-li dvě přímky směrnice k1 a k2, potom jejich odchylku ϕ vypoč
teme podle vzorce
tg ϕ =
k1 − k2
1 + k1k2
.
Dokažte a proveďte diskusi vzájemné polohy přímek pro případy k1 =
= k2 a 1 + k1k2 = 0.
3 Určete vzdálenost v bodu Q[6; 1] od přímky p dané obecnou rovnicí
3x + 4y − 2 = 0.
4 Odvoďte vzorec pro vzdálenost v počátku soustavy souřadnic v rovině
od přímky p s obecnou rovnicí ax + by + c = 0.
5 Ukažte, že dané přímky p, q jsou rovnoběžné, různé a vypočtěte jejich
vzdálenost v:
a) p: 2x + 3y + 9 = 0, q: 2x + 3y − 1 = 0,
b) p: x = 1 + t, y = 1 − t; t ∈ R, q: x = 3 + 2s, y = 4 − 2s; s ∈ R.
1. a) ϕ = 1
4
Ô; b) ϕ = 1
2
Ô 3. v = 4 4. v =
|c|
√
a2+b2
5. a) v = 10
13
√
13; b) v = 5
2
√
2
Cvičení 132
1 Napište analytická vyjádření polorovin ABC, ACB, BCA, jestliže
A[−2; −1], B[3; 0], C[2; 2].
2 Jsou dány body A[3; −1], B[4; 9]. Určete číslo c tak, aby body A, B le
žely uvnitř opačných polorovin s hraniční přímkou p, která má obecnou
rovnici 3x − 4y + c = 0.
152
3 V soustavě souřadnic v rovině graficky znázorněte množinu všech bodů,
pro jejichž souřadnice [x; y] zároveň platí:
x + 2y − 8 ≦ 0,
3x + y − 12 ≦ 0,
x ≧ 0,
y ≧ 0.
4 V soustavě souřadnic v rovině graficky znázorněte množinu všech bodů,
pro jejichž souřadnice [x; y] platí:
x + 3y − 7 ≦ 0,
2x − 5y + 8 ≧ 0,
3x − 2y − 10 ≦ 0.
5 V soustavě souřadnic v rovině graficky znázorněte množinu všech bodů,
pro jejichž souřadnice [x; y] platí
|x| + |y| ≦ 4.
1. →ABC : x − 5y − 3 ≦ 0, →ACB : 3x − 4y + 2 ≧ 0, →BCA: 2x + y − 6 ≦ 0
2. c ∈ (−13; 24)
Cvičení 133
1 Napište parametrické vyjádření přímky AB, kde A[1; 0; 3], B[0; 3; −5].
2 Napište parametrické vyjádření přímky p(A, Ù) procházející bodem
A[1; 2; −1] a mající směrový vektor Ù = (2; 3; 1).
153
3 Zjistěte, zda přímka p: x = 6 + 2t, y = −11 − 5t, z = 9 + 3t; t ∈ R,
protíná některou souřadnicovou osu.
4 Najděte parametrické vyjádření všech těžnic trojúhelníku ABC s vr
choly A[1; 1; 3], B[2; 0; −1], C[1; 3; 2].
5 Napište parametrické rovnice přímky p, která je průsečnicí rovin ̺, σ,
kde ̺: x − 3y − z + 2 = 0 a σ: 2x − 8y − 3z + 6 = 0.
1. x = 1 − t, y = 3t, z = 3 − 8t; t ∈ R 2. p: x = 1 + 2t, y = 2 + 3t, z = −1 + t; t ∈ R
3. pouze osu y v bodě M[0; 4; 0] 4. ta: x = 1 + t, y = 1 + t, z = 3 − 5t; t ∈ 0; 1 ;
tb: x = 2 − 2r, y = 4r, z = −1 + 7r; r ∈ 0; 1 ; tc: x = 1 + s, y = 3 − 5s, z = 2 − 2s;
s ∈ 0; 1 5. např.: p: x = t, y = t, z = 2 − 2t; t ∈ R
Cvičení 134
1 Napište parametrické vyjádření přímky procházející bodem A[9; −3; 1]
a rovnoběžné s přímkou procházející body B[−4; −7; 6], C[2; 5; −3].
2 Napište parametrické vyjádření přímky procházející bodem A[5; −3; 7]
a rovnoběžné
a) s osou x,
b) s osou y,
c) s osou z.
3 Určete průsečíky přímky m: x = −1 − 2t, y = 5 − 4t, z = −3 + 6t;
t ∈ R, se souřadnicovými rovinami xy, xz, yz.
4 Rozhodněte, zda bod C je bodem úsečky AB, je-li dáno A[1; 2; −4],
B[3; 4; 6], C[2; 3; 1].
154
5 Určete čísla a, b tak, aby bod C[a; b; −3] ležel na přímce AB prochá
zející body A[1; 2; 3], B[3; −2; 1].
1. x = 9 + 6t, y = −3 + 12t, z = 1 − 9t; t ∈ R 2. a) x = 5 + t, y = −3, z = 7; t ∈ R;
b) x = 5, y = −3 + s, z = 7; s ∈ R; c) x = 5, y = −3, z = 7 + r; r ∈ R 3. [−2; 3; 0],
[− 7
2
; 0; 9
2
], [0; 7; −6] 4. C ∈ AB 5. a = 7, b = −10
Cvičení 135
1 Napište parametrické vyjádření roviny ̺ procházející body A[1; 3; −1],
B[2; 3; 3], C[−2; −5; −7].
2 Napište parametrické vyjádření roviny σ obsahující bod A[3; 2; −1]
a přímku p, která má parametrické vyjádření p: x = 2 − t, y = 3 + 2t,
z = −t; t ∈ R.
3 Najděte parametrické vyjádření roviny ̺, která prochází body A[1; 0; 2],
B[2; −1; 4] a je rovnoběžná s osou x.
4 Napište parametrické vyjádření roviny ̺, která obsahuje dvě rovno
běžné přímky p, q s parametrickými rovnicemi
p: x = 1 + t, y = 2 − t, z = −3 + 2t; t ∈ R,
q: x = 2 + s, y = 1 − s, z = 1 + 2s; s ∈ R.
5 Napište parametrické vyjádření roviny σ, která je rovnoběžná se sou
řadnicovou rovinou xy a prochází bodem A[1; 1; 2].
1. ̺: x = 1 + t − 3s, y = 3 − 8s, z = −1 + 4t − 6s; t, s ∈ R 2. σ: x = 2 − t + s,
y = 3 + 2t − s, z = −t − s; t, s ∈ R 3. ̺: x = 1 + t + s, y = −t, z = 2 + 2t; t, s ∈ R
4. ̺: x = 1+ t+ s, y = 2− t− s, z = −3+ 2t+ 4s; t, s ∈ R 5. σ: x = 1+ t, y = 1+ s,
z = 2; t, s ∈ R
155
Cvičení 136
1 Napište obecnou rovnici roviny α určené body A[2; −1; 0], B[−1; 2; −3],
C[−2; −3; 1].
2 Napište obecnou rovnici roviny β, která prochází bodem A[−3; 5; −7]
a je kolmá k vektoru Ò = (1; −2; −1).
3 Napište obecnou rovnici roviny ̺, která má parametrické vyjádření
x = 1 − t + 3s, y = 7 + 2t − s, z = −3 − t + s; t, s ∈ R.
4 Napište obecnou rovnici roviny σ, která obsahuje bod A[2; −3; 1]
a přímku m s parametrickým vyjádřením x = t, y = 2 + 3t, z = 1 − t;
t ∈ R.
5 Napište obecnou rovnici roviny ̺, která je rovnoběžná s osou x a pro
chází body A[3; −2; −4], B[7; 2; 1].
1. např.: α: x − 5y − 6z − 7 = 0 2. např.: β : x − 2y − z + 6 = 0 3. např.:
̺: x − 2y − 5z − 2 = 0 4. např.: σ: 5x + 2y + 11z − 15 = 0 5. ̺: 5y − 4z − 6 = 0
Cvičení 137
1 Rozhodněte, které z bodů A[1; 2; 3], B[2; 3; 0], C[4; −7; 3] leží v rovině β
s parametrickým vyjádřením x = 2−t+s, y = −1+t−2s, z = 3+2t−s;
t, s ∈ R.
2 Zjistěte, zda body A[1; −1; 0], B[3; −2; 0], C[6; −2; 1], D[3; 1; 2] leží
v jedné rovině.
156
3 Určete průsečíky roviny ̺, která má parametrické vyjádření x =
= 3 − 3t − 3s, y = −7t, z = 5s; t, s ∈ R, s osami soustavy souřadnic.
4 Zjistěte, zda body A[2; 1; 3], B[−1; −8; 0], C[0; −7; 2], D[17; 14; −13]
leží v rovině σ: 3x − y + 2z − 11 = 0.
5 Určete hodnotu parametru d tak, aby rovnice 7x − 8y + 2z + d = 0
byla rovnicí roviny procházející bodem A[7; 6; −3].
1. A, C leží, B neleží 2. leží 3. X[3; 0; 0], Y [0; −7; 0], Z[0; 0; 5] 4. A, C, D leží,
B neleží 5. d = 5
Cvičení 138
1 Rozhodněte o vzájemné poloze přímek p, q:
p: x = 8 − 4t, y = 4 + 8t, z = −12t; t ∈ R,
q: x = 3 + 3s, y = 1 − 6s, z = −2 + 9s; s ∈ R.
2 Rozhodněte o vzájemné poloze přímek p, q:
p = ↔AB, A[2; 0; 3], B[−2; 3; 15],
q = ↔CD, C[4; −1; 8], D[1; 2; −1].
3 Najděte parametrické vyjádření přímky q, která prochází bodem
A[−3; 0; 2] a je rovnoběžná s přímkou p: x = 2t, y = 1 −3t, z = 4 +5t;
t ∈ R.
4 Najděte reálné číslo a takové, aby přímky p, q byly různoběžné, a určete
jejich průsečík:
p: x = 5,5 − t, y = −3 + 2t, z = 1 + 4t; t ∈ R,
q: x = a + s, y = −2s, z = 4 − s; s ∈ R.
157
5 Jsou dány body A[5; −2; 3], B[7; −4; 1], C[−8; −3; 10], D[−1; −3; 6].
Určete, pokud existuje, průsečík P:
a) přímky AB a přímky CD,
b) přímky AB a úsečky CD,
c) úsečky AB a přímky CD,
d) úsečky AB a úsečky CD.
1. rovnoběžné, různé 2. mimoběžné 3. q : x = −3 + 2s, y = −3s, z = 2 + 5s; s ∈ R
4. a = 4, P [5; −2; 3] 5. a) P [6; −3; 2]; b) neexistuje; c) P [6; −3; 2]; d) neexistuje
Cvičení 139
1 Rozhodněte o vzájemné poloze přímky p a roviny ̺, je-li:
p: x = 1 − t, y = t, z = 2 − 3t; t ∈ R,
̺: x − 2y − z + 1 = 0.
2 Rozhodněte o vzájemné poloze přímky p a roviny ̺, je-li:
p: x = 2 − t, y = 3t, z = t; t ∈ R,
̺: x + y − z − 4 = 0.
3 Rozhodněte o vzájemné poloze přímky p a roviny ̺, je-li:
p: x = 2 + 3t, y = 1 − 4t, z = 2t; t ∈ R,
̺: 2x + y − z = 0.
4 Rozhodněte o vzájemné poloze rovin ̺ a σ, je-li:
̺: 2x − 3y + z − 4 = 0,
σ: 4x + y − 5z + 3 = 0.
158
5 Rozhodněte o vzájemné poloze rovin ̺ a σ, je-li:
̺: x + 2y − z + 1 = 0,
σ: 2x − 4y − 2z − 3 = 0.
1. přímka p leží v rovině ̺ 2. přímka p je různoběžná s rovinou ̺, průsečík P [0; 6; 2]
3. přímka p je rovnoběžná s rovinou ̺ a neleží v rovině ̺ 4. ̺, σ různoběžné,
parametrické vyjádření průsečnice: x = − 5
14
+ t, y = − 11
7
+ t, z = t; t ∈ R 5. ̺, σ
rovnoběžné různé
Cvičení 140
1 Určete vzájemnou polohu rovin ̺, σ, τ:
̺: x + y + z + 2 = 0,
σ: x − 2y + 3z − 1 = 0,
τ : x + y − z + 2 = 0.
2 Určete vzájemnou polohu rovin ̺, σ, τ:
̺: x + y + z + 1 = 0,
σ: x + y + z − 2 = 0,
τ : x + y + z + 4 = 0.
3 Určete vzájemnou polohu rovin ̺, σ, τ:
̺: x + y + z + 3 = 0,
σ: x + y + z − 2 = 0,
τ : x − 2y + z + 1 = 0.
159
4 Určete vzájemnou polohu rovin ̺, σ, τ:
̺: x + y + z − 4 = 0,
σ: x − y − z + 2 = 0,
τ : 2x − y − z − 1 = 0.
5 Určete vzájemnou polohu rovin ̺, σ, τ:
̺: x + y + z − 5 = 0,
σ: 2x + 4y + z − 9 = 0,
τ : x − y + 2z − 6 = 0.
1. ̺ ∩ σ ∩ τ = {Q}, Q[−1; −1; 0] 2. ̺ ∩ σ = ∅, ̺ ∩ τ = ∅, σ ∩ τ = ∅, ̺ σ τ
3. ̺ ∩ σ = ∅, ̺ ∩ τ = p, σ ∩ τ = q, ̺ ∩ σ ∩ τ = ∅, ̺ σ, p: x = − 7
3
− t, y = − 2
3
, z = t;
t ∈ R, q : x = 1 − s, y = 1, z = s; s ∈ R 4. ̺ ∩ σ = p, ̺ ∩ τ = q, σ ∩ τ = r, p: x = 1,
y = t, z = 3 − t; t ∈ R, q : x = 5
3
, y = s, z = 7
3
− s; s ∈ R, r : x = 3, y = u, z = 5 − u;
u ∈ R 5. ̺ ∩ σ ∩ τ = p, p: x = 4 − 3t, y = t, z = 1 + 2t; t ∈ R
Cvičení 141
1 Určete odchylku přímek p, q, jejichž parametrické rovnice jsou:
p: x = 1 + t, y = t, z = 3 − 2t; t ∈ R,
q: x = 3 − s, y = 1, z = −1 + s; s ∈ R.
2 Jsou dány body A[2; 1; −5], B[5; 4; 1], C[0; 3; 4], D[−2; 5; 6]. Na přímce
AB určete bod P a na přímce CD bod Q tak, aby přímka PQ byla
kolmá k přímkám AB a AC.
3 Ukažte, že pro odchylky α, β, γ přímky AB, kde A[1; 0; −3], B[3; 2; 7],
od os souřadnic platí cos2
α + cos2
β + cos2
γ = 1.
160
4 Určete, s přesností na vteřiny, odchylky všech dvojic mimoběžných
hran čtyřstěnu s vrcholy A[6; 0; 0], B[0; 5; 0], C[5; 6; 0], D[2; 3; 8].
5 Kvádr ABCDEFGH má hrany délek |AB| = 2 cm, |AD| = 1 cm,
|AE| = 3 cm. Zvolte vhodně soustavu souřadnic v prostoru a určete
odchylku tělesových úhlopříček kvádru.
1. ϕ = 1
6
Ô 2. P [4; 3; −1], Q[3; 0; 1] 3. cos α =
√
3
9
, cos β =
√
3
9
, cos γ = 5
√
3
9
;
3
81
+ 3
81
+ 75
81
= 1 4. přibližně 87◦34′8′′, 74◦15′42′′, 69◦18′16′′ 5. cos ϕ = 3
7
,
ϕ
.
= 64◦37′
Cvičení 142
1 Určete odchylku ϕ přímky p: x = t, y = 1 + 2t, z = −t; t ∈ R a roviny
σ: y − z = 0.
2 Určete odchylku ϕ přímky p: x = −1 − t, y = −1 + 3t, z = t; t ∈ R
a souřadnicové roviny xy.
3 Určete odchylku ϕ přímky p: x = 1+t, y = 2+t, z = 3; t ∈ R a roviny
σ: x = 3 − 2r + 2s, y = 5 + r, z = 2 − s; r, s ∈ R.
4 Pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV má podstavné hrany délky 6 cm
a výšku 3
√
2 cm. Zvolte vhodně soustavu souřadnic v prostoru a určete
odchylku ϕ boční hrany od podstavy jehlanu.
161
5 Je dána krychle ABCDEFGH s hranou délky a = 1 dm. Zvolte
vhodně soustavu souřadnic v prostoru a vypočtěte odchylku ϕ přím
ky AE a roviny AFH s přesností na minuty.
1. ϕ = 60◦ 2. ϕ
.
= 17◦33′ 3. ϕ = 45◦ 4. ϕ = 45◦ 5. ϕ
.
= 35◦16′
Cvičení 143
1 Vypočtěte odchylku ϕ rovin
̺: 2x − y + z − 1 = 0, σ: x + y + 2z + 3 = 0.
2 Určete odchylku ϕ dvou sousedních stěn ABE a BCE pravidelného
osmistěnu ABCDEF. Zvolte soustavu souřadnic v prostoru tak, že její
počátek bude středem čtverce ABCD.
3 Pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV má délku podstavné hrany 6 cm
a výšku 3
√
2 cm. Zvolte vhodně soustavu souřadnic v prostoru a vy
počítejte odchylku ϕ boční stěny od roviny podstavy jehlanu.
4 Jsou dány body A[2; 0; 5], B[3; −1; 3], C[4; −2; 0], D[5; 2; −1]. Vypočí
tejte odchylku ϕ rovin ABC, ABD.
5 Určete rovnici roviny σ, která prochází body A[2; 2; 3], B[1; 0; 2] a je
kolmá k rovině ̺: x − 8y + z − 10 = 0.
1. ϕ = 1
3
Ô 2. ϕ
.
= 70◦32′ 3. ϕ
.
= 54◦44′ 4. ϕ
.
= 50◦46′ 5. σ: x − z + 1 = 0
Cvičení 144
1 Vypočtěte vzdálenost v bodu A[5; −1; 3] od přímky p s parametrickým
vyjádřením: x = −1 + 2t, y = −5 + 3t, z = −2 + 2t; t ∈ R.
162
2 Vypočtěte vzdálenost bodu M[3; −1; 4] od přímky a, která prochází
body A[0; 2; 1], B[1; 3; 0].
3 Pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV má vrcholy A[2; 3; 0], B[4; 3; 0],
C[4; 1; 0], D[2; 1; 0], V [3; 2; 4]. Určete vzdálenost středu S podstavné
hrany BC od přímky AV .
4 Ukažte, že dané přímky p, q jsou rovnoběžné různé a vypočtěte jejich
vzdálenost v:
p: x = −2 + 2t, y = 2 + t, z = 1 + t; t ∈ R,
q: x = −2 + 2s, y = 3 + s, z = 2 + s; s ∈ R.
5 Ukažte, že dané přímky p, q jsou mimoběžné, a vypočtěte jejich vzdá
lenost v:
p: x = 9 + 4t, y = −2 − 3t, z = t; t ∈ R,
q: x = −2s, y = −7 + 9s, z = 2 + 2s; s ∈ R.
1. v = 3 2. v = 2
√
6 3. v = 3
√
2
2
4. v = 2
√
3
3
5. v = 7
Cvičení 145
1 Vypočtěte vzdálenost v bodu A[3; 5; −6] od roviny ̺ určené rovnicí
2x − 2y + z − 8 = 0.
2 Jsou dány body A[1; −2; −2], B[2; −1; −1], C[1; −1; −2], D[0; 2; −2].
Vypočítejte vzdálenost v bodu D od roviny ABC.
3 Pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV má vrcholy A[2; 3; 0], B[4; 3; 0],
C[4; 1; 0], D[2; 1; 0], V [3; 2; 4]. Určete vzdálenost v středu S podstavné
hrany BC od roviny ADV .
163
4 Ověřte, že roviny α: x + y + z − 6 = 0 a β : x + y + z − 3 = 0 jsou
rovnoběžné, a vypočtěte jejich vzdálenost v.
5 Krychle ABCDEFGH je umístěna v soustavě souřadnic v prostoru
tak, že A[1; 0; 0], B[1; 1; 0], C[0; 1; 0], D[0; 0; 0], H[0; 0; 1]. Vypočtěte
vzdálenost v rovin ACH a BEG.
1. v = 6 2. v =
√
2
2
3. v = 8
√
17
17
4. v =
√
3 5. v =
√
3
3
Cvičení 146
1 Najděte souřadnice středu a poloměr kružnice k, která má rovnici
x2
+ y2
− 6x + 4y − 23 = 0. Kružnici načrtněte v soustavě souřadnic.
2 Napište rovnici kružnice k, která prochází body A[5; 1], B[0; 6],
C[4; −2].
3 Je dána kružnice k: x2
+y2
= 144 a bod Q[15; 0]. Napište rovnice tečen
t1, t2 dané kružnice vedených bodem Q.
4 Určete číslo a tak, aby přímka 3x + 4y + a = 0 byla tečnou kružnice
k: x2
+ y2
= 25.
5 Je dána kružnice k a na ní bod A. Bodem A jsou vedeny všechny možné
tětivy dané kružnice. Najděte množinu středů těchto tětiv.
1. střed S[3; −2], poloměr r = 6 2. k : x2 +y2 −2y −24 = 0 3. t1 : 4x+3y −60 = 0,
t2 : 4x − 3y − 60 = 0 4. a = 25, a = −25 5. Návod. Soustavu souřadnic zvolte
tak, aby kružnice k měla rovnici x2 + y2 = r2 a aby bod A měl souřadnice A[r; 0];
mají-li střed S a bod A souřadnice S[0; 0] a A[r; 0], je hledanou množinou kružnice l:
x − r
2
2
+ y2 = r
2
2
bez bodu A.
164
Cvičení 147
1 Ukažte, že daná rovnice je rovnice elipsy, určete její základní charak
teristiky a elipsu načrtněte.
a) 9x2
+ 25y2
− 54x − 100y − 44 = 0,
b) 3x2
+ 2y2
+ 6x − 5 = 0.
2 Napište rovnici elipsy, která má hlavní osu v souřadnicové ose x a pro
chází body A[8; 3], B[6; 4].
3 Napište rovnici tečny elipsy 9x2
+16y2
= 144, která má směrnici k = 1.
4 Do elipsy o rovnici x2
+ 9y2
= 9 je vepsán rovnostranný trojúhelník
souměrný podle její hlavní osy. Určete souřadnice jeho vrcholů.
5 Je dán bod A a přímka p, která bodem A neprochází. Nalezněte mno
žinu všech bodů, které mají tu vlastnost, že poměr jejich vzdáleností
od bodu A a od přímky p je 1 :
√
2.
1. a) hlavní osa elipsy je rovnoběžná s osou x, a = 5, b = 3, S[3; 2]; b) hlavní
osa elipsy je rovnoběžná s osou y, a = 2, b = 2
3
√
6, S[−1; 0] 2. x2 + 4y2 = 100
3. t1 : x − y + 5 = 0, t2 : x − y − 5 = 0 4. [3; 0], [ 3
2
;
√
3
2
], [ 3
2
; −
√
3
2
] nebo body
souměrně sdružené podle osy y 5. Návod. Soustavu souřadnic zvolte tak, aby její
osa y splynula s danou přímkou p a aby bod A měl souřadnice A[1; 0]; je-li p osa y
a A[1; 0], je hledanou množinou elipsa se středem v bodě S[2; 0].
Cvičení 148
1 Určete vrchol V , ohnisko F paraboly m a pak ji načrtněte:
a) m: x2
− 8x − 3y + 10 = 0,
b) m: y2
− 4x + 6y + 1 = 0.
165
2 Jak dlouhou úsečku vytíná parabola m: y2
= 8x na přímce p s rovnicí
p: x − y − 2 = 0? Načrtněte.
3 Napište rovnici tečny paraboly m: y2
+ 3x + 4y − 8 = 0 v jejím bodě
T [−8; y0].
4 Napište rovnici tečny paraboly m: y2
−4x−2y+13 = 0, která prochází
bodem Q[0; −1]. Načrtněte.
5 Je dána kružnice k a její tečna t. Nalezněte množinu středů všech
kružnic, které se dotýkají kružnice k i přímky t.
1. a) V [4; −2], F [4; − 5
4
]; b) V [−2; −3], F [−1; −3] 2. 16 3. t1 : x + 4y − 8 = 0,
t2 : x − 4y − 24 = 0 4. t1 : x − y − 1 = 0, t2 : x + 3y + 3 = 0 5. Návod. Soustavu
souřadnic zvolte tak, aby daná tečna t splynula s osou y a aby střed S kružnice
měl souřadnice S[r; 0]; je-li t osa y, k(S, r) a S = [r; 0], pak hledanou množinou je
sjednocení přímky o rovnici y = 0 a paraboly, která má rovnici y2 = 4rx, s vyloučenými
body [0; 0] a [r; 0].
Cvičení 149
1 Ukažte, že daná rovnice je rovnice hyperboly, určete její základní cha
rakteristiky a hyperbolu načrtněte:
a) 9x2
− 16y2
− 36x + 32y − 124 = 0
b) −9x2
+ 16y2
+ 90x + 64y − 305 = 0
2 Napište rovnici rovnoosé hyperboly, jejímiž asymptotami jsou souřad
nicové osy a jež prochází bodem M[−3; 2]. Hyperbolu načrtněte.
166
3 Dokažte, že přímka p: 2x − y − 8 = 0 je tečnou hyperboly h: 8x2
−
− 18y2
= 144, a vypočtěte souřadnice dotykového bodu.
4 Je dána hyperbola h: x2
−y2
= 9 a bod Q[3; −6]. Napište parametrické
rovnice tečen dané hyperboly, které procházejí bodem Q. Hyperbolu
a tečny načrtněte.
5 Je dána úsečka AB délky 2a. Určete množinu všech bodů M v rovině,
které mají tu vlastnost, že vzdálenost každého z nich od středu úsečky
AB je rovna číslu |MA| · |MB|.
1. a) S[2; 1], a = 4, b = 3, hlavní osa je rovnoběžná s osou x; b) S[5; −2], a = 3, b = 4,
hlavní osa je rovnoběžná s osou y 2. xy = −6 3. T[ 9
2
; 1] 4. t1: x = 3, y = −6 + t;
t ∈ R, t2: x = 3 + 4s, y = −6 − 5s; s ∈ R 5. Mají-li body A, B souřadnice A[−a; 0],
B[a; 0], a > 0, je hledanou množinou rovnoosá hyperbola o rovnici x2 − y2 = 1
2
a2
Cvičení 150
1 Určete střed S a poloměr r kulové plochy κ, která má rovnici
x2
+ y2
+ z2
− 6x + 10y − 4z + 22 = 0.
2 Určete všechny hodnoty parametru m ∈ R, pro něž rovnice
x2
+ y2
+ z2
− 4x + 2z + m = 0
vyjadřuje kulovou plochu.
3 Určete společné body přímky p: x = 3 + 2t, y = 8 + t, z = −10 − 4t;
t ∈ R, a kulové plochy κ: (x − 2)2
+ (y + 1)2
+ (z − 3)2
= 62.
167
4 Určete tečnou rovinu τ kulové plochy
κ: (x − 4)2
+ (y + 2)2
+ (z − 1)2
= 38,
která prochází bodem A[−1; 1; 3].
5 Určete, pro které hodnoty parametru d ∈ R je průnikem kulové plochy
o rovnici x2
+ y2
+ z2
− 2x − 10y + 8z + 28 = 0 a roviny dané rovnicí
2x − y + 3z + d = 0 kružnice.
1. S[3; −5; 2], r = 4 2. m < 5 3. Q[−3; 5; 2] 4. τ : 5x − 3y − 2z + 14 = 0
5. d ∈ (1; 29)
168
Komplexní čísla
Cvičení 151
V tomto cvičení je množina M = R × R; je v ní definována rovnost, operace sčítání
a násobení:
(a; b) = (c; d) ⇔ a = c ∧ b = d,
(a; b) ⊕ (c; d) = (a + c; b + d),
(a; b) ⊙ (c; d) = (ac − bd; ad + bc).
1 Vypočtěte v M:
a) (−2; 5) ⊕ (−1; 1),
b) (7; 2) ⊙ (−1; 3).
2 V M řešte rovnice:
a) (x; y) ⊕ (2; −3) = (7; −2),
b) (x; y) ⊙ (2; −1) = (1; 0).
3 V M řešte rovnice:
a) (a; 0) ⊕ [(b; 0) ⊙ (x; y)] = (a; b); a, b ∈ R, b = 0,
b) (a; b) ⊙ (x; y) = (a; b); a, b ∈ R, (a, b) = (0, 0).
4 V M řešte rovnici (a; b)⊙(x; y) = (1; 0), je-li (a, b) daná dvojice reálných
čísel různá od dvojice (0, 0).
5 V M řešte rovnici (x; y) ⊙ (x; y) = (−1; 0).
1. a) (−3; 6); b) (−13; 19) 2. a) (x; y) = (5; 1); b) (x; y) = (2
5
; 1
5
) 3. a) (x; y) =
= (0; 1); b) (x; y) = (1; 0) 4. (x; y) = ( a
a2+b2 ; −b
a2+b2 ) 5. (x; y) = (0; 1), (x; y) =
= (0; −1)
169
Cvičení 152
1 Vypočítejte:
a) i8
, i13
, i6
, i11
,
b) i4n
, i4n+1
, i4n+2
, i4n+3
pro libovolné n ∈ N.
2 Zapište ve tvaru a + bi s reálnýmí čísly a, b:
a) (2 + i)2
, b) (2 + i)3
.
3 Zapište ve tvaru a + bi s reálnými čísly a, b:
a) (2 + 3i)(2 − 3i), b) (2 + 3i)(1 − 5i).
4 Zapište ve tvaru a + bi s reálnými čísly a, b:
a)
7 − 4i
3 + 2i
, b)
3 − 4i
2 − i
.
5 Zapište ve tvaru a + bi s reálnými čísly a, b:
a)
1
x + yi
, b)
1
x − yi
.
Ve jmenovatelích zlomků jsou taková reálná čísla x, y, že aspoň jedno
z nich je nenulové.
1. a) 1, i, −1, −i; b) 1, i, −1, −i 2. a) 3 + 4i; b) 2 + 11i 3. a) 13; b) 17 − 7i
4. a) 1 − 2i; b) 2 − i 5. a) x
x2+y2 − y
x2+y2 i; b) x
x2+y2 + y
x2+y2 i
Cvičení 153
1 V C rozložte na součin lineárních činitelů:
x3
+ x2
+ x + 1.
170
2 V C rozložte na součin lineárních činitelů:
x4
− 3x2
− 4.
3 V C rozložte na součin lineárních činitelů:
x2
+ x + 1.
4 Výraz 5a2
+4b2
, kde a, b ∈ R, rozložte v C na součin lineárních činitelů.
5 Výraz a3
+ b3
, kde a, b ∈ R, rozložte v C na součin lineárních činitelů.
1. (x + 1)(x + i)(x − i) 2. (x + 2)(x − 2)(x + i)(x − i)
3. x + 1
2
+ i
√
3
2
x + 1
2
− i
√
3
2
4. a
√
5 + 2bi a
√
5 − 2bi
5. (a + b) a − 1
2
b +
√
3b
2
i a − 1
2
b −
√
3
2
bi
Cvičení 154
1 V Gaussově rovině znázorněte obory pravdivosti výrokových forem:
a) |z| = 4, b) |z| ≦ 4.
2 V Gaussově rovině znázorněte obory pravdivosti výrokové formy
1 ≦ |z| ≦ 4.
3 V Gaussově rovině znázorněte obor pravdivosti výrokových forem:
a) |z + 2| = 1, b) |z − (2 + 3i)| = 1.
4 V Gaussově rovině znázorněte obor pravdivosti výrokové formy
|z − 1 − i| = |z|.
171
5 V Gaussově rovině znázorněte obor pravdivosti výrokové formy
|z − 1| + |z + 1| = 4.
1. a) kružnice, k(S; r), S[0; 0], r = 2; b) kruh, k(S; r), S[0; 0], r = 2 2. mezikruží,
k(S; r1), k(S; r2), S[0; 0], r1 = 1, r2 = 2 3. a) kružnice, k(S; r), S[−2; 0], r = 1;
b) kružnice, l(S; r), S[2; 3], r = 1 4. přímka o rovnici x + y − 1 = 0 5. elipsa
o rovnici 1
4
x2 + 1
3
y2 = 1
Cvičení 155
1 V goniometrickém tvaru vyjádřete čísla:
a) z = 1 + i
√
3 b) z = 1 − i
√
3
2 V goniometrickém tvaru vyjádřete čísla:
a) z =
√
2 b) z = i
3 V goniometrickém tvaru vyjádřete čísla:
a) z = sin ϕ + i cos ϕ b) z = 1 + cos ϕ + i sin ϕ
4 V goniometrickém tvaru vyjádřete číslo
z = (cos ϕ + i sin ϕ)(cos ψ + i sin ψ).
5 V goniometrickém tvaru vyjádřete číslo
z =
cos ϕ + i sin ϕ
cos ψ + i sin ψ
.
1. a) z = 2 cos 1
3
Ô + i sin 1
3
Ô ; b) z = 2 cos 5
3
Ô + i sin 5
3
Ô 2. a) z =
=
√
2(cos 0 + i sin 0); b) z = cos 1
2
Ô + i sin 1
2
Ô 3. a) z = cos 1
2
Ô − ϕ +
+ i sin 1
2
Ô − ϕ ; b) z = 2 cos 1
2
ϕ cos 1
2
ϕ + i sin 1
2
ϕ , cos 1
2
ϕ ≧ 0, jinak z =
= −2 cos 1
2
ϕ cos 1
2
ϕ + Ô + i sin 1
2
ϕ + Ô 4. z = cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ)
5. z = cos(ϕ − ψ) + i sin(ϕ − ψ)
172
Cvičení 156
1 Daná komplexní čísla vyjádřete v algebraickém tvaru:
a) z = 2(cos 120◦
+ i sin 120◦
), b) z = 3
√
2(cos 135◦
+ i sin 135◦
).
2 Součin z = uv zapište v algebraickém tvaru:
u = 2(cos20◦
+ i sin 20◦
), v = 3(cos 70◦
+ i sin 70◦
).
3 Podíl z = u : v zapište v algebraickém tvaru:
u = 6(cos80◦
+ i sin 80◦
), v = 2(cos 20◦
+ i sin 20◦
).
4 V goniometrickém tvaru vyjádřete číslo
z =
2 +
√
2
2
+
2 −
√
2
2
i.
5 Přesvědčte se, že číslo z =
√
6 +
√
2
4
+
√
6 −
√
2
4
i je komplexní jednotka
s argumentem ϕ = 15◦
. Zapište komplexní jednotku s argumentem
ϕ = 285◦
v algebraickém tvaru.
1. a) z = −1 +
√
3i; b) z = −3 + 3i 2. z = 6i 3. z = 3
2
+ 3
√
3
2
i 4. z =
= cos 1
8
Ô + i sin 1
8
Ô 5.
√
6−
√
2
4
−
√
6+
√
2
4
i
Cvičení 157
1 Vypočtěte cos
3
4
π + i sin
3
4
π
10
.
2 Vypočtěte
i
1 + i
100
.
173
3 Vypočtěte (
√
3 − i)8
.
4 V goniometrickém tvaru zapište komplexní číslo
1 + i tg ϕ
1 − i tg ϕ
n
, ϕ ∈ R.
5 Vyjádřete sin 3x, cos 3x pomocí mocnin sin x, cos x.
1. −i 2. −2−50 3. 27 −1 + i
√
3 4. cos 2nϕ + i sin 2nϕ 5. cos 3x = 4 cos3 x −
− 3 cos x, sin 3x = 3 sin x − 4 sin3 x
Cvičení 158
1 Je dáno komplexní číslo z = x+yi, x, y ∈ R\{0}. Obrazy komplexních
čísel z, z, −z, −z jsou vrcholy jistého obrazce. O jaký obrazec se jedná?
2 Určete obsah S čtyřúhelníku, jehož vrcholy jsou v Gaussově rovině
čísla z, zi, −z, −zi, kde z je dané nenulové komplexní číslo.
3 V Gaussově rovině je dán kosočtverec ABCD tak, že bod A je obrazem
čísla 0, bod B je obrazem čísla 4 a orientovaný úhel BAD má základní
velikost 1
4 π. Určete komplexní čísla, jejichž obrazy jsou body C, D.
4 Pro komplexní čísla u, v, w platí: u = 1, |v| = |w| = 1, u + v + w = 0.
Dokažte, že obrazy komplexních čísel u, v, w v Gaussově rovině jsou
vrcholy rovnostranného trojúhelníku.
174
5 Dokažte, že pro každá dvě komplexní čísla u, v platí:
|u + v|2
+ |u − v|2
= 2(|u|2
+ |v|2
).
Jaká je geometrická interpretace této rovnosti?
1. pravoúhelník 2. S = 2|z|2 3. C : 2(2 +
√
2) + 2
√
2i, D : 2
√
2 + 2
√
2i 4. Jsou
to komplexní jednotky s argumenty 0, 2
3
Ô, − 2
3
Ô. 5. Obrazy čísel 0, u, v, u + v jsou
vrcholy rovnoběžníku. Součet druhých mocnin délek všech čtyř stran rovnoběžníku se
rovná součtu druhých mocnin délek obou úhlopříček
Cvičení 159
1 V C řešte rovnice:
a) z − 3 = i(1 + z) b) zi = 1 + 2i
2 V C řešte rovnici
(5 + i)z + 2z = 22i.
3 V C řešte rovnici
(2 + 3i)z + iz = 1 − i.
4 V C řešte dané rovnice rozkladem na lineární činitele:
a) x2
+ 2 = 0 b) x4
− 16 = 0
5 V C řešte rovnici
(z − 3)2
+ (z + i)2
= 4.
1. a) z = 1 + 2i; b) z = 2 − i 2. z = 1 − 7i 3. z = − 1
10
− 3
10
i 4. a) x1 = i
√
2,
x2 = −i
√
2; b) x1 = 2, x2 = −2, x3 = 2i, x4 = −2i 5. z = 3
2
+ 1
2
i
175
Cvičení 160
1 V C řešte rovnice:
a) x2
+ x + 1 = 0 b) x2
− x + 1 = 0
2 V C řešte rovnice:
a) x2
+ 4x + 5 = 0 b) 9x2
+ 36x + 37 = 0
3 V C řešte rovnici
4x4
+ 19x2
− 63 = 0.
4 Má-li rovnice x2
+ px + q = 0 s reálnými koeficienty kořen x = a + bi,
a, b ∈ R, pak má také kořen x = a − bi. Dokažte.
5 Určete, pro která a ∈ R má daná rovnice imaginární kořeny:
a) x2
+ 6x + a = 0 b) x2
+ 4ax + 36 = 0
1. a) x1 = − 1
2
+
√
3
2
i, x2 = − 1
2
−
√
3
2
i; b) x1 = 1
2
+
√
3
2
i, x2 = 1
2
−
√
3
2
i
2. a) x1 = −2 − i, x2 = −2 + i; b) x1 = −2 + 1
3
i, x2 = −2 − 1
3
i 3. x1 = 3
2
, x2 = − 3
2
,
x3 = i
√
7, x4 = −i
√
7 5. a) a > 9; b) a ∈ (−3; 3)
Cvičení 161
1 V C řešte rovnici x4
− 1 = 0 rozkladem na součin lineárních činitelů.
Kořeny znázorněte v Gaussově rovině.
2 V C řešte rovnici x4
− 1 = 0 jako binomickou rovnici.
3 Vypočtěte všechny druhé odmocniny z čísla −9.
176
4 V C řešte rovnici x2
= 1 + i.
5 V C řešte rovnici z6
+ z5
+ z4
+ z3
+ z2
+ z + 1 = 0.
1. x1 = −1, x2 = 1, x3 = i, x4 = −i 2. x1 = −1, x2 = 1, x3 = i, x4 = −i 3. 3i,
−3i 4. x1 =
√
2(cos 1
8
Ô + i sin 1
8
Ô), x2 =
√
2(cos 9
8
Ô + i sin 9
8
Ô) 5. Návod. Obě
strany rovnice vynásobte dvojčlenem z − 1. Nakonec vylučte falešný kořen z = 1.
zk = cos 2
7
kÔ + i sin 2
7
kÔ, k ∈ {1; 2; 3; 4; 5; 6}.
Cvičení 162
1 V C řešte rovnici x2
+ 3x + 10i = 0.
2 V C řešte rovnici x2
+ (2 − 3i)x − 5(1 + i) = 0.
3 Určete hodnotu parametru p ∈ R tak, aby rovnice x2
−2(3+ix)+p = 0
měla jediný kořen.
4 V C2
řešte soustavu rovnic:
2x − y = 1 + 3i,
xy = 2.
5 Rovnice x2
+ ix + q = 0 má kořen x1 = 2 − i. Určete druhý kořen
a koeficient q.
1. x1 = −4+2i, x2 = 1−2i 2. x1 = 1+2i, x2 = −3+i 3. p = 8+6i 4. [1+i; 1−i],
[− 1
2
+ 1
2
i; −2 − 2i] 5. x2 = −2, q = −4 + 2i
177
Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika
Cvičení 163
1 Určete definiční obor výrazu
V (n) =
(n + 2)!
n!
− 2
(n + 1)!
(n − 1)!
+
n!
(n − 2)!
a výraz zjednodušte.
2 ∀n ∈ N \ {1}: n! + n2
(n − 1)! = (n + 1)!. Dokažte.
3 V N řešte rovnici:
(n + 5)!
(n + 3)!
−
(n − 4)!
(n − 6)!
=
(n + 1)!
(n − 1)!
+ 60.
4 V N řešte nerovnici:
n!
(n − 2)!
− 3n ≦
(n + 4)!
(n + 3)!
+ 2.
5 Zápis čísla 100! je ukončen 24 nulami. Dokažte.
1. n ∈ N, n ≧ 2, V (n) = 2 3. n = 12 4. n ∈ {2; 3; 4; 5; 6} 5. Návod. Uvažte počet
dvojek a pětek v rozkladu tohoto faktoriálu na prvočinitele.
Cvičení 164
1 Vyjádřete jedním kombinačním číslem:
a)
17
8
+
17
8
b)
20
3
+
20
16
178
2 ∀n ∈ N, ∀k ∈ N, n ≧ k: k
n
k
= n
n − 1
k − 1
. Dokažte.
3 V N řešte rovnici:
n
3
+
n + 2
3
+
n + 4
3
=
1
2
n3
+ 88.
4 V N řešte nerovnici:
n
2
+
n + 3
2
+
n + 6
2
< 72.
5 ∀m ∈ N, ∀n ∈ N, m ≧ 3, n ≧ 3:
m + n
3
=
m
3
+ m
n
2
+ n
m
2
+
n
3
.
Dokažte.
1. a) 18
9
; b) 21
4
3. n = 6 4. n ∈ {2; 3}
Cvičení 165
1 Užitím binomické věty vypočtěte (
√
3−2)4
a výsledek zapište ve tvaru
a + b
√
3 s celými čísly a, b.
2 Je dáno komplexní číslo z = 1 +i. Užitím binomické věty vypočtěte z6
a výsledek zapište ve tvaru a + bi, kde a, b ∈ R.
3 Určete n ∈ N tak, aby třetí člen binomického rozvoje 3
√
x +
1
x
n
neobsahoval proměnnou x.
179
4 Kolik racionálních sčítanců má součet, který vznikne po umocnění vý
razu (
√
5 + 3
√
2)12
pomocí binomické věty?
5 Užitím binomické věty dokažte, že číslo 1110
− 1 je dělitelné 100.
1. 97 − 56
√
3 2. −8i 3. n = 8 4. 3
Cvičení 166
1 Z místa A do místa B vede pět cest, z místa B do místa C vedou tři
cesty. Určete počet cest, které vedou z A do C a procházejí místem B.
2 Na vrchol hory vede 5 cest. Kolik tras má k dispozici turista pro výlet
na vrchol a zpět? Kolik tras má k dispozici, nechce-li jít po téže cestě
v obou směrech?
3 Určete, kolik poznávacích značek automobilů by bylo možné vytvořit
za těchto předpokladů: první část značky tvoří skupina z 1, 2 nebo
3 písmen (k dispozici je 28 písmen) a druhou část značky tvoří čtyř
členná skupina číslic.
4 Dva šachisté se připravují na finálové střetnutí. Vítězem se stane ten,
kdo první vyhraje 3 partie, remízy se nepočítají. Vypište všechny
možné varianty průběhu počítaných partií a určete jejich počet.
5 V ústavu pracuje 67 lidí, 47 z nich ovládá angličtinu, 35 němčinu a 23
zná oba jazyky. Kolik pracovníků nezná ani německy, ani anglicky?
1. 15 2. 25; 20 3. 104(28 + 282 + 283) 4. 20 variant 5. 8
180
Cvičení 167
1 Je dána množina C = {a, b, c}. Vypište všechny variace první, druhé
a třetí třídy z prvků této množiny.
2 Kolik existuje osmiciferných čísel, jež mají všechny číslice navzájem
různé?
3 ∀n ∈ N, ∀k ∈ N, k ≦ n − 1: V (k + 1; n) = (n − k) · V (k; n). Dokažte.
4 Určete počet všech přirozených čísel menších než milión, která lze za
psat pouze použitím číslic 5 a 8.
5 Vypočtěte, kolik trojciferných přirozených čísel existuje v soustavě
a) dvojkové, b) dvanáctkové.
1. (a), (b), (c); (a; b), (b; a), (a; c), (c; a), (b; c), (c; b); (a; b; c), (a; c; b), (b; a; c), (b; c; a),
(c; a; b), (c; b; a) 2. V (8; 10) − V (7; 9) 4. 126 5. a) 4; b) 11 · 122
Cvičení 168
1 Kolik existuje čtyřciferných přirozených čísel, v nichž se každá z cifer
3, 4, 5, 6 vyskytuje právě jednou?
2 Kolik pěticiferných přirozených čísel lze napsat číslicemi 0, 1, 2, 3, 4,
nemá-li se v žádném čísle žádná číslice opakovat?
3 Je dána soustava souřadnic v rovině s uzlovými body, jejichž souřadni
cemi jsou přirozená čísla. Zjistěte počet všech nejkratších cest z bodu
A[1; 1] do bodu B[6; 5], jestliže se pohyb může konat jen ve směru osy x
nebo osy y a směr pohybu se může měnit jen v uzlových bodech.
181
4 Výrok G. I. Caesara při překročení řeky Rubiconu v roce 49 před
Kristem se skrývá v anagramu AAAACEEJLSTT. Kolika způsoby lze
v něm přemístit písmena?
5 Pro 8 studentů je v koleji připraveno ubytování ve 3 pokojích, z nichž
jsou 2 třílůžkové a 1 dvoulůžkový. Kolik je způsobů rozdělení studentů
do jednotlivých pokojů?
1. 24 2. 96 3. 126 4. 12!
2!2!4!
= 4 989 600, Alea jacta est 5. 560
Cvičení 169
1 Kolik úhlopříček má konvexní n-úhelník?
2 Je dáno 10 různých bodů. Zjistěte, kolik rovin tyto body určují, jestliže
a) žádné 4 body neleží v téže rovině,
b) právě 6 bodů leží v téže rovině a v jiné rovině neleží žádné čtyři z da
ných bodů.
3 Určete, kolika způsoby lze ze 7 mužů a 5 žen vybrat čtyřčlennou sku
pinu, jestliže
a) nejsou stanoveny žádné omezující podmínky,
b) v ní mají být právě dvě ženy,
c) v ní mají být nejvýš dvě ženy.
4 Určete počet všech řešení rovnice x + y + z = 4 v množině všech trojic
celých nezáporných čísel.
182
5 Kolika způsoby lze koupit v prodejně 5 sešitů, mají-li
a) 3 druhy sešitů v dostatečném množství,
b) od jednoho druhu sešitů pouze 4 sešity?
1. K(2; n) − n = 1
2
n(n − 3) 2. a) 120; b) 101 3. a) 495; b) 210; c) 420 4. 15
5. a) 21; b) 20
Cvičení 170
1 V obchodě mají v dostatečném množství tři druhy kávy A, B, C, v ba
líčcích po 50 gramech. Kolika způsoby může zákazník provést nákup
200 gramů kávy?
2 Kolik existuje kvádrů, z nichž žádné dva nejsou shodné a jejichž délky
hran v cm jsou přirozená čísla z intervalu (1; 10 ?
3 Nechť p1, p2, . . ., pn jsou navzájem různá prvočísla. Kolik existuje klad
ných dělitelů čísla q = p1 · p2 · . . . · pn? Mezi dělitele počítáme i čísla 1
a q.
4 Kolik různých částek můžeme zaplatit, máme-li k dispozici bankovky
v hodnotách 100 Kč, 500 Kč, 2 000 Kč, 5 000 Kč a platíme-li jednou,
dvěma nebo třemi bankovkami.
5 V košíku je 5 červených, 7 modrých a 6 žlutých velikonočních vajíček.
Kolika způsoby lze z nich vybrat 5 vajíček tak, aby nebyla všechna
stejné barvy?
183
1. Návod. Naším úkolem je určit počet všech čtyřčlenných skupin, ve kterých se
vyskytují pouze prvky A, B, C, z nichž každý se může libovolněkrát opakovat. Přitom
zřejmě nezáleží na pořadí členů ve skupině. 15 2. 220 3. 2n 4. 33 různých částek
(přestože všech přípustných kombinací bankovek je 34, dvě z nich představují tutéž
sumu) 5. K′(5; 3) − 3 = 18
Cvičení 171
1 Házíme dvěma mincemi. Určete množinu všech výsledků Ω a její pod
množiny A, B, které vyjadřují jevy: A — na obou mincích padl rub,
B — aspoň na jedné minci padl líc.
2 Házíme dvěma kostkami. Určete množinu všech výsledků Ω a její pod
množiny A, B, které vyjadřují jevy: A — součet ok bude 7, B — na
obou kostkách padne sudý počet ok.
3 Student si má vytáhnout 3 z 10 otázek. Je připraven na 5 otázek.
Určete, kolik prvků mají množina Ω všech výsledků a její podmnožiny
A, B, které vyjadřují jevy: A — student vytáhne právě jednu otázku,
kterou umí, B — student nevytáhne žádnou otázku, kterou umí.
4 Pro libovolné jevy A, B vyjádřete v množinové symbolice, že
a) nastaly oba jevy,
b) nastal právě jeden z těchto jevů,
c) nenastal žádný z obou jevů,
d) nastal nejvýš jeden z těchto jevů.
5 V urně jsou 4 bílé a 3 černé koule. Z urny vybereme náhodně 3 koule.
Označme jevy: A — všechny vytažené koule budou černé, B — všechny
vytažené koule budou bílé, C — dvě vytažené koule budou černé a jedna
bílá. Interpretujte jevy
a) A′
, b) A ∪ C, c) A ∩ B, d) A ∩ C, e) A ∪ B, f) C′
\ A.
184
1. |Ω| = 4, Ω = {(R; L), (L; R), (R; R), (L; L)}, A = {(R; R)}, B = {(L; R),
(R; L), (L; L)} 2. |Ω| = 36, Ω = {(1; 1), (2; 1), (1; 2), . . ., (6; 6)}, |A| = 6, A =
= {(1; 6), (6; 1), (2; 5), (5; 2), (3; 4), (4; 3)}, |B| = 9, B = {(2; 2), (4; 4), (6; 6), (2; 4),
(4; 2), (2; 6), (6; 2), (4; 6), (6; 4)} 3. |Ω| = 10
3
= 120, |A| = 5
1
5
2
= 50, |B| = 5
3
=
= 10 4. a) A ∩ B; b) (A ∩ B′) ∪ (A′ ∩ B); c) A′ ∩ B′; d) (A ∩ B′) ∪ (A′ ∩ B) ∪ (A′ ∩ B′)
5. a) aspoň jedna koule bude bílá; b) nejvýš jedna koule bude bílá; c) jev nemožný;
d) jev nemožný; e) vytažené koule budou stejné barvy; f) aspoň dvě koule budou bílé
Cvičení 172
1 Napište libovolné přirozené číslo menší než 20. Jaká je pravděpodob
nost, že napíšete prvočíslo?
2 S jakou pravděpodobností padne součet 7 při hodu
a) dvěma kostkami, b) třemi kostkami?
Obě pravděpodobnosti porovnejte.
3 Jaká je pravděpodobnost, že zápis náhodně zvoleného trojciferného
čísla končí
a) číslicí 5, b) číslicí větší než 5?
4 V tombole je 500 losů. Jakou pravděpodobnost hlavní výhry má účast
ník, který koupil 10 losů?
5 Míček o průměru 5 cm je vržen proti síti se čtvercovými oky o stranách
délky 8 cm. Jaká je pravděpodobnost, že míček proletí, aniž se dotkne
sítě?
1. 2
5
2. a) 1
6
; b) 5
72
, 1
6
> 5
72
3. a) 1
10
; b) 2
5
4. 0,02 5. 9
64
185
Cvičení 173
1 Z 26 žáků třídy, která má 12 chlapců a 14 dívek, se losují 3 zástupci.
Jaká je pravděpodobnost, že to budou
a) samé dívky, b) dvě dívky a chlapec?
2 V urně je 11 koulí očíslovaných od 15 do 25. Náhodně vybereme 2 koule.
Určete pravděpodobnost, že čísla na nich napsaná jsou soudělná.
3 V sérii n výrobků je r výrobků vadných. Ke kontrole se vybírá náhodně
s výrobků. Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi bude mít právě
m výrobků vadu?
4 Číselný zámek má několik kotoučů s číslicemi na obvodu a otevírá
se jen při jedné kombinaci číslic na kotoučích. Určete, který ze dvou
zámků je bezpečnější:
a) zámek se 4 kotouči po 5 číslicích,
b) zámek s 5 kotouči po 4 číslicích.
5 V urně je 8 bílých, 7 červených a 5 modrých koulí. Vyjmeme náhodně
3 koule. Jaká je pravděpodobnost, že
a) všechny koule mají stejnou barvu,
b) každá má jinou barvu?
1. a) 0,140; b) 0,420 2. 0,327 3.
r
m
· n−r
s−m
n
s
4. všech kombinací na zámcích je
a) 54; b) 45, bezpečnější je proto zámek b), neboť 54 < 45 5. a) 0,088 6; b) 0,246
Cvičení 174
1 Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami padne součet 5
nebo 6?
186
2 Střelec zasahuje oblast terče s kruhy 10 až 8 s pravděpodobností 0,5
a oblast s kruhy 7 až 1 s pravděpodobností 0,4. Jaká je pravděpodob
nost, že zasáhne terč v jedné nebo druhé oblasti?
3 Střelec zasahuje terč se spolehlivostí 0,9. Jestliže terč při prvním vý
střelu nezasáhne, střílí ještě po druhé. Jaká je pravděpodobnost, že
zasáhne terč prvním nebo druhým výstřelem?
4 Hodíme dvěma mincemi. Určete pravděpodobnost, že na první minci
padne líc nebo na druhé minci rub.
5 V zásilce je 18 výrobků dobrých a 2 vadné. Namátkou vybereme 5 vý
robků. Určete pravděpodobnost jevů:
A — aspoň jeden z vybraných výrobků je vadný,
B — nejvýš jeden z vybraných výrobků je vadný.
1. 1
4
2. 0,9 3. 0,99 4. 0,75 5. P (A) = 17
38
, P (B) = 18
19
Cvičení 175
1 Pro jevy A, B platí: P(A′
) = 1
3 , P(B) = 1
2 , P(A ∩ B) = 1
4 . Určete
P(A ∪ B).
2 Pro jevy A, B platí: P(A) = P(B) = 1
2 . Rozhodněte, zda odtud plyne
P(A ∩ B) = P(A′
∩ B′
).
3 Dokažte, že pro nezávislé jevy A, B platí
P(A ∪ B) = 1 − P(A′
) · P(B′
).
187
4 Nechť A, B jsou nezávislé jevy, P(A) = 1
5 , P(B) = 1
4 . Vypočtěte
P(A ∪ B), P(A′
∪ B′
).
5 Nechť A, B jsou nezávislé jevy, P(A∩B) = 1
6 , P(A∩B′
) = 1
3 . Vypočtěte
P(A), P(B).
1. P (A ∪ B) = 11
12
2. ano 4. P (A ∪ B) = 2
5
, P (A′ ∪ B′) = 19
20
5. P (A) = 1
2
,
P (B) = 1
3
Cvičení 176
1 Házíme 4 kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že aspoň na jedné kostce
padne šestka?
2 Mechanismus se skládá z 8 stejných součástek, které se vyrábějí v poža
dované kvalitě s pravděpodobností 0,94. Jestliže aspoň jedna součástka
nemá požadovanou kvalitu, mechanismus nefunguje. Určete pravděpo
dobnost, že mechanismus bude pracovat.
3 Kolikrát musím hodit kostkou, aby šestka padla aspoň jednou s prav
děpodobností větší než 1
2 ?
4 Zkouška na vysoké škole se skládá ze tří po sobě jdoucích částí. K ná
sledující části se dostane jen student, který uspěl v části předchozí.
Pravděpodobnosti úspěchu v jednotlivých částech zkoušky jsou násle
dující: P(A) = 1
5 , P(B) = 3
4 a P(C) = 9
10 . Jaká je pravděpodobnost
složení celé zkoušky?
188
5 Dva střelci střílejí na terč. První ho zasahuje s pravděpodobností 0,8
a druhý s pravděpodobností 0,7. Každý vystřelí jednou. Určete prav
děpodobnost, že
a) oba zasáhnou, b) žádný nezasáhne,
c) první zasáhne, a druhý ne.
1. 1− 5
6
4
= 0,518 2. 0,948 .
= 0,609 3. 1− 5
6
n
≧ 1
2
⇔ n ≧ 4 4. P (A ∩ B ∩ C) =
= P (A) · P (B) · P (C) = 0,135 5. a) 0,56; b) 0,06; c) 0,24
Cvičení 177
1 Fotbalista promění penaltu s pravděpodobností p = 0,9. Jaká je prav
děpodobnost, že z 5 penalt promění
a) všech 5, b) právě 3, c) aspoň 4?
2 Dvanácti pacientům je podáván lék, který úspešně léčí jejich onemoc
nění v 95 % případů. Jaká je pravděpodobnost, že aspoň deset z nich
bude vyléčeno?
3 Klíčivost semen určitého druhu okurek je 93 %. Jaká je pravděpodob
nost, že z 20 semen vyklíčí právě 18?
4 Předpokládejme, že pravděpodobnost narození chlapce a děvčete je
stejná. Určete pravděpodobnost, že v porodnici mezi 5 narozenými
dětmi
a) budou samí chlapci, b) budou právě 3 chlapci,
c) bude alespoň 1 chlapec.
189
5 Jaká je pravděpodobnost, že rodina se 6 dětmi bude mít právě 4 dcery?
1. a) p5 = 0,590 49; b) 5
3
p3(1 − p)2 .
= 0,072 9; c) p5 + p4(1 − p)
.
= 0,918 54 2. asi
0,98 3. asi 0,252 4. a) asi 0,031 3; b) asi 0,313; c) asi 0,969 5. 0,234 375
Cvičení 178
1 Při hodu jednou kostkou uvažujme jevy: A — padne sudé číslo,
B — padne číslo větší nebo rovno 3. Vypočtěte P(A|B).
2 S jakou pravděpodobností padne při hodu dvěma kostkami součet 7,
vidíme-li, že na první kostce padlo číslo 2?
3 Určete P(A|B), je-li P(B) > 0, v těchto případech:
a) A ⊂ B, b) B ⊂ A, c) A ∩ B = ∅.
4 Ve třídě s 30 žáky hraje 25 žáků volejbal, 10 basketbal a 7 hraje volej
bal i basketbal. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný žák je
volejbalista, víme-li, že hraje basketbal?
5 Nechť P(B|A) = 0,216, P(A) = 0,9, P(B) = 0,45. Vypočtěte P(A|B).
1. P (A|B) = 1
2
2. 1
6
3. a) P ( )
P ( )
; b) 1; c) 0 4. 7
10
5. 0,432
190
Cvičení 179
1 Určete rozsah souboru n a sestavte tabulku rozložení absolutních a re
lativních četností věku posluchačů prvního ročníku vysoké školy. Zkon
trolujte součet relativních četností a načrtněte spojnicový diagram čet
ností.
18 18 19 18 19 18 20 18 21 20 18 19 21 19 18 21 22 21 18 19 23 19 18
19 20 18 23 20 22 20 22 19 18 22 22 18 20 19 21 18 19 20 20 18 19 20
18 21 18 19 19 19 21 18
2 Ve třídě s 25 žáky prospělo s vyznamenáním 7 žáků, prospělo 14 žáků,
neprospěli 3 žáci, nebyl klasifikován 1 žák. Vypočtěte relativní čet
nosti znaku „prospěch a ukažte, že jejich součet je roven 1. Sestrojte
histogram rozdělení četností.
3 Z 360 studentů gymnázia bydlí 240 v místě školy, 90 dojíždí autobu
sem a 30 vlakem. Sestrojte odpovídající kruhový diagram rozdělení
četností.
4 Při přípravě čajové směsi bylo smícháno 5 kg čaje v ceně 600 Kč za kg,
15 kg čaje v ceně 800 Kč za kg a 30 kg čaje v ceně 1 000 Kč za kg. Jaká
bude cena 1 kg směsi?
5 Jaká bude výsledná koncentrace kyseliny sírové, při jejíž přípravě bylo
použito 8 kg 18% kyseliny a 2 kg 96% kyseliny?
1. 17
54
, 14
54
, 9
54
, 7
54
, 5
54
, 2
54
2. 7
25
, 14
25
, 3
25
, 1
25
4. 900 Kč 5. 33,6 %
191
Cvičení 180
1 Na 10 pokusných polích se sleduje hektarový výnos pšenice. Jednotlivé
výnosy jsou uvedeny v tabulce. Vypočtěte aritmetický průměr, medián,
modus, rozptyl a směrodatnou odchylku.
Pole 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
q/ha 46,5 46,2 48,9 50,1 52,3 49,3 40,1 45,0 46,7 42,8
2 Určete aritmetický průměr x, modus Mod(x) a medián Med(x) z dané
tabulky rozdělení četností znaků x.
xj 2 4 6 8 10 12
nj 3 2 10 4 6 5
3 Za 5 let má vzrůst produkce podniku o 40 %. O kolik procent musí
průměrně ročně vzrůst?
4 Pro 304 studentů prvního ročníku vysoké školy byla sestavena tabulka
rozdělení četností nj jejich věku xj:
xj 18 19 20 21 22 23
nj 102 84 58 26 19 15
Vypočtěte aritmetický průměr x, rozptyl s2
x a směrodatnou odchyl
ku sx.
5 Dva pracovníci provádějí opakovaně tutéž výrobní operaci. Prvnímu
pracovníkovi trvá operace 2 minuty, druhému 6 minut. Jak dlouho
trvá její vykonání průměrně jednomu pracovníkovi, pracují-li (každý
samostatně) po stejnou dobu?
1. x
.
= 46,8; Med(x) = 46,6; Mod(x) = 46,5, s2
x = 11,64, sx = 3,41 2. x = 7,53;
Med(x) = 7; Mod(x) = 6 3. asi o 7 % 4. x = 19,41; Med(x) = 19; Mod(x) = 18;
s2
x = 2,05; sx = 1,43 5. 3 minuty
192
Posloupnosti a řady
Cvičení 181
1 ∀n ∈ N: 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n2
. Dokažte.
2 ∀n ∈ N: 13
+ 23
+ 33
+ . . . + n3
= 1
4 n2
(n + 1)2
. Dokažte.
3 ∀n ∈ N:
1
1 · 2
+
1
2 · 3
+
1
3 · 4
+ . . . +
1
n · (n + 1)
=
n
n + 1
. Dokažte.
4 ∀n ∈ N: 1 · 1! + 2 · 2! + 3 · 3! + . . . + n · n! = (n + 1)! − 1. Dokažte.
5 ∀n ∈ N: (cos x + i sin x)n
= cos nx + i sin nx. Dokažte.
Cvičení 182
1 ∀n ∈ N: 30 | 114n+1
− 11. Dokažte.
2 ∀n ∈ N: 9 | 7n
+ 3n − 1. Dokažte.
3 V rovině je dáno n přímek, z nichž žádné dvě nejsou rovnoběžné a žádné
tři neprocházejí týmž bodem. Dokažte, že tyto přímky dělí rovinu na
p(n) oblastí, kde p(n) = 1
2 (n2
+ n + 2).
4 Posloupnost je dána rekurentně takto: a1 = 0, an+1 = an + 2n + 1 pro
každé n ∈ N. Zjistěte, pro která n ∈ N platí an = n2
− 1.
193
5 ∀n ∈ N: (n ≧ 5 ∨ n = 1) ⇒ 2n
> n2
. Dokažte.
Cvičení 183
1 Je dána posloupost n2
− n + 17
+∞
n=1
. Přesvědčte se, že členy posloup
nosti a1, a2, . . ., a16 jsou prvočísla. Ukažte, že člen a17 není prvočíslo.
2 Určete n-tý člen posloupnosti
a) 1
3 , 4
5 , 9
7 , 16
9 , . . ., b) 1
2 , 3
4 , 5
8 , 7
16 , . . .
3 Dokažte, že posloupnost
2n + 1
n + 2
+∞
n=1
je rostoucí.
4 Dokažte, že posloupnost 2 +
1
n(n + 1)
+∞
n=1
je omezená.
5 Určete posloupnost
1
n(n + 1)
+∞
n=1
rekurentně.
1. 17, 19, 23, 29, 37, 47, 59, 73, 89, 107, 127, 149, 173, 199, 227, 251 jsou prvočísla,
289 = 172 není prvočíslo 2. např. a) n2
2n+1
; b) 2n−1
2n 5. např. a1 = 1
2
, an+1 =
= n
n+2
an
Cvičení 184
1 Dokažte, že posloupnost (1 + 3n)
+∞
n=1 je aritmetická.
194
2 V které aritmetické posloupnosti platí a1 + a5 = 16, a3 + a4 = 19?
Hledanou posloupnost určete vzorcem pro její n-tý člen an.
3 Mezi čísla 1 a 25 vložte tolik čísel, aby s danými čísly tvořila několik
prvních členů aritmetické posloupnosti o součtu 117.
4 Kolik prvních členů aritmetické posloupnosti 3, 5, 7, . . . dává sou
čet 120?
5 V které aritmetické posloupnosti se součty prvních pěti i prvních šesti
členů aritmetické posloupnosti rovnají témuž číslu 60? Hledanou po
sloupnost určete vzorcem pro její n-tý člen an.
2. a1 = 2, d = 3, an = 3n − 1 3. 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22 4. n = 10 5. a1 = 20,
d = −4, an = 24 − 4n
Cvičení 185
1 Délky stran pravoúhlého trojúhelníku jsou vyjádřeny třemi po sobě
jdoucími členy aritmetické posloupnosti. Delší odvěsna má délku 24 cm.
Jak velké jsou zbývající strany trojúhelníku?
2 Vypočtěte délky stran pravoúhlého trojúhelníku o obsahu 6 dm2
,
jsou-li vyjádřeny třemi po sobě jdoucími členy aritmetické posloup
nosti.
3 Existuje konvexní n-úhelník, jehož nejmenší vnitřní úhel má velikost
126◦
a jehož každý následující vnitřní úhel má velikost o 4◦
větší než
předcházející?
195
4 Rozměry kvádru jsou vyjádřeny třemi po sobě jdoucími členy arit
metické posloupnosti. Určete rozměry kvádru, je-li jejich součet 24 cm
a objem kvádru 312 cm3
.
5 Železné roury se skládají do vrstev tak, že roury každé vrstvy horní za
padají do mezer vrstvy spodní. Do kolika vrstev jsou složeny 102 roury,
má-li nejhořejší vrstva 3 roury? Kolik rour má vrstva nejspodnější?
1. 18 cm, 30 cm 2. 3 dm, 4 dm, 5 dm 3. ano, n = 10 4. 3 cm, 8 cm, 13 cm 5. 12,
14
Cvičení 186
1 Určete první člen a kvocient geometrické posloupnosti, jestliže
a1 − a2 + a3 = 15, a4 − a5 + a6 = 120.
2 Přičteme-li k číslům 2, 7, 17 totéž číslo, vzniknou (ve správném pořadí)
první tři členy geometrické posloupnosti. Určete je.
3 Mezi čísla 5 a 640 vložte tolik čísel, aby vzniklo několik prvních členů
geometrické posloupnosti, v níž součet vložených čísel je 630.
4 V geometrické posloupnosti je a2 − a1 = 15, a3 − a2 = 60. Určete s4.
5 Pro které n v geometrické posloupnosti a1 = 1
16 , a2 = 1
8 , . . . platí
an + an+3 = 2 304?
1. a1 = 5, q = 2 2. 5, 10, 20 3. 10, 20, 40, 80, 160, 320 4. s4 = 425 5. n = 13
196
Cvičení 187
1 Povrch kvádru je 78 cm2
, součet jeho rozměrů je 13 cm. Jak velký je
jeho objem, jsou-li jeho rozměry vyjádřeny třemi po sobě jdoucími
členy geometrické posloupnosti?
2 Délky stran trojúhelníku ABC v pořadí a, b, c jsou vyjádřeny třemi
po sobě jdoucími členy geometrické posloupnosti. Určete je, je-li jeho
obvod o = 42 cm a délka strany b = 8 cm
3 Jak velký je úhel α ∈ 0; 1
2 π , tvoří-li sin α, tg α,
1
cos α
tři po sobě
jdoucí členy geometrické posloupnosti?
4 Bakterie se množí půlením tak, že k dělení dojde vždy za půl hodiny.
Kolik bakterií vznikne za 12 hodin z jedné bakterie?
5 Poločas rozpadu rádia C je asi 20 minut. Jaké množství rádia C zbude
za 4 hodiny z původního množství 1 mg? Jaké množství zbude za dobu
t hodin?
1. 27 cm3 2. úloha nemá řešení 3. α = 1
4
Ô 4. asi 16 780 000 5. asi 1
212 mg,
asi 1
23t mg
Cvičení 188
1 Vypočtěte limitu posloupnosti lim
n→+∞
3n + 8
n + 2
.
2 Vypočtěte limitu posloupnosti lim
n→+∞
1
2n − 1
.
197
3 Vypočtěte limitu posloupnosti lim
n→+∞
2n2
+ 3n − 1
3n2 − 2n + 1
.
4 Vypočtěte limitu posloupnosti lim
n→+∞
√
n2 + n − n .
5 Vypočtěte limitu posloupnosti lim
n→+∞
1 +
1
n
2n
.
1. 3 2. 0 3. 2
3
4. 1
2
5. e2, e je Eulerovo číslo
Cvičení 189
1 Vypočtěte součty:
a) 1 + 3
4 + 9
16 + 27
64 + . . .,
b) (
√
3 −
√
2) + (
√
3 −
√
2)2
+ (
√
3 −
√
2)3
+ . . .
2 Určete
∞
n=1
1
2n
−
1
3n
.
3 S využitím nekonečné geometrické řady vyjádřete číslo a = 0, 217 ve
tvaru zlomku v základním tvaru.
Poznámka. Zlomek je v základním tvaru, jsou-li čitatel a jmenovatel čísla nesoudělná.
4 V R řešte rovnice:
a) log x + log
√
x + log 4
√
x + log 8
√
x + . . . = 2,
b)
∞
n=1
2
x
n−1
=
4x − 3
3x − 4
.
198
5 V R řešte rovnice:
a)
∞
n=1
(2x
)
n
= 1 b)
∞
n=1
sin2n−2
x = 2 tg x
1. a) 4; b)
√
3−
√
2
1+
√
2−
√
3
2. 1
2
3. a = 43
198
4. a) x = 10; b) x = 6 5. a) −1;
b)
k∈
{1
4
Ô + kÔ}
Cvičení 190
1 Je dán čtverec o straně délky a. Do něho je vepsán druhý čtverec
tak, že jeho vrcholy jsou středy stran daného čtverce. Takto vzniklému
čtverci je stejným způsobem opět vepsán další čtverec atd. Postup se
stále opakuje. Určete součet
a) obvodů, b) obsahů
všech takto vzniklých čtverců.
2 Spirála se skládá z půlkružnic, z nichž první má poloměr 10 cm a každá
následující má poloměr rovný dvěma třetinám poloměru předcházející
polokružnice. Určete délku spirály.
3 Do rovnostranného trojúhelníku o straně délky a je vepsán kruh, do
tohoto kruhu je vepsán další rovnostranný trojúhelník, do tohoto troj
úhelníku je vepsán další kruh atd. Vypočtěte součet obsahů všech takto
vzniklých
a) trojúhelníků, b) kruhů.
4 Nahraďte zlomek
m
m − x
nekonečnou konvergentní geometrickou řadou
s prvním členem 1 a stanovte podmínku její konvergence.
199
5 Nahraďte zlomek
1
sin2
ϕ
nekonečnou geometrickou řadou, která kon
verguje k danému zlomku pro všechna přípustná ϕ ∈ R.
1. a) 4a(2 +
√
2); b) 2a2 2. 30Ô cm 3. a) 1
3
√
3a2; b) 1
9
Ôa2 4. 1 + x
m
+ x
m
2
+ . . .,
|x| < |m| 5. 1 + cos2 ϕ + cos4 ϕ + . . ., ϕ = kÔ, k ∈ Z
200
Diferenciální a integrální počet
Cvičení 191
1 V R řešte nerovnice s parametry a ∈ R, δ ∈ R+
:
a) |x − a| < δ b) 0 < |x − a| < δ
2 Zapište intervalem v R dané okolí, určete jeho střed a a poloměr δ:
a) |x + 1| <
1
2
b) |x − 2| < 1
3 Pomocí nerovnic s proměnnou x ∈ R zapište δ-okolí bodů a = −4,
b = 1, pro δ =
1
10
.
4 Přímo z definice, tj. bez užití Weierstrassovy věty ukažte, že funkce
f : y = x2
−2x+1 je v intervalu 0; 3 omezená. Sestrojte graf funkce f
v daném intervalu.
5 Ilustrujte význam Weierstrassovy věty na funkci f : y = sin x v inter
valu 0; π . Sestrojte graf funkce f v daném intervalu.
1. a) x ∈ (a − δ; a + δ); b) x ∈ (a − δ; a) ∪ (a; a + δ) 2. a) x ∈ − 3
2
; − 1
2
, a = −1,
δ = 1
2
; b) x ∈ (1; 3), a = 2, δ = 1 3. |x + 4| < 1
10
, |x − 1| < 1
10
4. ∀x ∈ 0; 3 :
1 ≦ f(x) ≦ 4 5. f je spojitá v 0; Ô ; maximum v bodě 1
2
Ô, minima v bodech 0 a Ô
Cvičení 192
1 Dokažte, že rovnice x3
− 3x2
− 6x + 8 = 0 má v každém z intervalů
(−3; −1), (0; 2), (3; 5) jeden kořen.
201
2 Určete co nejmenší intervaly (a; b), kde a, b ∈ Z, ve kterých leží aspoň
jeden kořen rovnice x4
− 8x2
− 9 = 0.
3 S využitím vlastnosti spojitých funkcí řešte v R nerovnici
x3
− 5x2
+ 6x ≦ 0.
4 S využitím vlastnosti spojitých funkcí řešte v R nerovnici
3x − x2
x + 1
≧ 0.
5 S využitím vlastnosti spojitých funkcí řešte v R nerovnici
4
x + 2
> 2.
1. f(x) = x3 − 3x2 − 6x + 8, f(−3) · f(−1) < 0, f(0) · f(2) < 0, f(3) · f(5) < 0
2. (−4; −2), (2; 4) 3. (−∞; 0 ∪ 2; 3 4. (−∞; −1) ∪ 0; 3 5. (−2; 0)
Cvičení 193
1 S využitím vlastnosti spojitých funkcí řešte v R nerovnici
x3
≧ x2
.
2 S využitím vlastnosti spojitých funkcí řešte v R nerovnici
2 + (x − 2) · ln x ≧ x.
3 V R řešte nerovnici
(x − 2)2
(x + 2) ≦ 0.
202
4 V R řešte nerovnici
x + 1
x − 1
2
≧ 0.
5 V R řešte nerovnici
x
x2 − 5x + 6
> 0.
1. {0} ∪ 1; +∞) 2. (0; 2 ∪ e; +∞) 3. (−∞; −2 ∪ {2} 4. (−∞; 1) ∪ (1; +∞) =
= R \ {1} 5. (0; 2) ∪ (3; +∞)
Cvičení 194
1 Vypočtěte lim
x→1
(2x + 3).
2 Vypočtěte lim
x→2
x + 3
x2 + 1
.
3 Vypočtěte lim
x→0
1 + sin x
1 + cos x
.
4 Vypočtěte lim
x→−2
√
x + 6 + 4
1 − x
.
5 Vypočtěte lim
x→e
ln x
1 + ln x
.
1. 5 2. 1 3. 1
2
4. 2 5. 1
2
203
Cvičení 195
1 Vypočtěte lim
x→0
(4 + x)3
− 64
x
.
2 Vypočtěte lim
x→2
x2
− 5x + 6
x2 − 12x + 20
.
3 Vypočtěte lim
x→2
x3
− 3x − 2
x3 − 8
.
4 Vypočtěte lim
x→1
√
x − 1
x2 − 1
.
5 Vypočtěte lim
x→1
xm
− 1
xn − 1
, kde m, n ∈ N.
1. 48 2. 1
8
3. 3
4
4. 1
4
5. m
n
Cvičení 196
1 Vypočtěte:
a) lim
x→0
sin 2x
x
b) lim
x→0
sin x
2x
c) lim
x→0
sin 2x
3x
2 Vypočtěte lim
x→0
1 − cos x
x2
.
3 Vypočtěte lim
x→0
tg x − sin x
x3
.
204
4 Vypočtěte lim
x→0
sin 4x
√
x + 1 − 1
.
5 Vypočtěte lim
x→0
1 − cos 2x
x sin x
.
1. a) 2; b) 1
2
; c) 2
3
2. 1
2
3. 1
2
4. 8 5. 2
Cvičení 197
1 Vypočtěte:
a) lim
x→2+
1
x − 2
b) lim
x→2−
1
x − 2
c) lim
x→2
1
x − 2
2 Vypočtěte:
a) lim
x→2+
1
(x − 2)2
b) lim
x→2−
1
(x − 2)2
c) lim
x→2
1
(x − 2)2
3 Vypočtěte:
a) lim
x→3+
2x + 5
x − 3
b) lim
x→3−
2x + 5
x − 3
c) lim
x→3
2x + 5
x − 3
4 Vypočtěte:
a) lim
x→0+
ln x b) lim
x→0−
ln x c) lim
x→0
ln x
5 Vypočtěte:
a) lim
x→2+
1
x2 − 4
b) lim
x→2−
1
x2 − 4
c) lim
x→2
1
x2 − 4
1. a) +∞; b) −∞; c) neexistuje 2. a) +∞; b) +∞; c) +∞ 3. a) +∞; b) −∞;
c) neexistuje 4. a) −∞; b) neexistuje; c) neexistuje 5. a) +∞; b) −∞; c) neexistuje
205
Cvičení 198
1 Načrtněte graf funkce f : y =
1
x + 2
a vypočtěte lim
x→+∞
1
x + 2
.
2 Načrtněte graf funkce f : y =
2x + 3
5x − 2
a vypočtěte lim
x→+∞
2x + 3
5x − 2
.
3 Načrtněte graf funkce f : y =
1
x2 + 1
a vypočtěte lim
x→+∞
1
x2 + 1
a lim
x→−∞
1
x2 + 1
.
4 Načrtněte graf funkce f : y = ex
a vypočtěte lim
x→+∞
ex
a lim
x→−∞
ex
.
5 Vypočtěte lim
x→+∞
√
x2 − 1 +
√
x2 + 1
x
.
1. 0 2. 2
5
3. 0, 0 4. +∞, 0 5. 2
Cvičení 199
1 Je dána funkce f : y = −4x + 1 a číslo x0. Vypočtěte
lim
x→x0
f(x) − f(x0)
x − x0
.
2 Je dána funkce f : y = x2
+ 1 Vypočtěte
lim
x→2
f(x) − f(2)
x − 2
.
206
3 Je dána funkce f : y =
2
x + 1
a číslo x0. Vypočtěte
lim
x→x0
f(x) − f(x0)
x − x0
.
4 Je dána funkce f : y = x3
+ 1. Vypočtěte
lim
x→1
f(x) − f(1)
x − 1
.
5 Je dána funkce f : y = sin x a číslo x0. Vypočtěte
lim
x→x0
f(x) − f(x0)
x − x0
.
1. −4 2. 4 3. − 2
(x0+1)2 4. 3 5. cos x0
Cvičení 200
Poznámka. Cílem Cvičení 200 je procvičit výpočet limity kT = lim
x→x0
f(x) − f(x0)
x − x0
,
která je směrnicí tečny ke grafu funkce f s bodem dotyku T[x0; y0]. Rovnice této tečny
je y − y0 = kT (x − x0) neboli y = kT (x − x0) + y0. Jinými slovy budeme určovat rovnici
tečny bez použití pravidel pro výpočet derivace funkce.
1 Napište rovnici tečny grafu funkce f : y = x2
−1 v bodě dotyku T [1, y0].
Proveďte příslušný náčrtek.
2 Napište rovnici tečny grafu funkce f : y = x3
+1 v bodě dotyku T [0, y0].
Proveďte příslušný náčrtek.
207
3 Napište rovnici tečny grafu funkce f : y =
1
x − 4
v bodě dotyku
T [−1, y0]. Proveďte příslušný náčrtek.
4 Napište rovnici tečny grafu funkce f : y = −x2
+ 4 v bodě dotyku
T [−2, y0]. Proveďte příslušný náčrtek.
5 Napište rovnici tečny grafu funkce f : y = ex
v bodě dotyku T [0, y0].
Proveďte příslušný náčrtek.
1. y = 2x − 2 2. y = 1 3. y = − 1
25
(x + 1) + 1
5
4. y = 4x + 8 5. y = x + 1
Cvičení 201
1 Určete asymptoty grafu funkce f : y =
1
x2 − 4
.
2 Určete asymptoty grafu funkce f : y =
2x + 3
x − 5
.
3 Určete asymptoty grafu funkce f : y =
1
x − 1
+ x.
4 Určete asymptoty grafu funkce f : y =
1
(x − 3)2
.
5 Určete asymptoty grafu funkce f : y =
x2
x − 2
.
1. y = 0, x = −2, x = 2 2. y = 2, x = 5 3. y = x, x = 1 4. y = 0, x = 3
5. y = x + 2, x = 2
208
Cvičení 202
1 Přímo podle definice vypočtěte derivaci dané funkce v libovolném bodě
x0 ∈ D(f):
a) f : y = 1 b) f : y = ax + b
2 Přímo podle definice vypočtěte derivaci dané funkce f : y = ax2
+bx+c
v libovolném bodě x0 ∈ D(f).
3 Přímo podle definice vypočtěte derivaci dané funkce f : y =
1
ax + b
v libovolném bodě x0 ∈ D(f).
4 Přímo podle definice vypočtěte derivaci dané funkce f : y =
1
x2
v li
bovolném bodě x0 ∈ D(f).
5 Přímo podle definice vypočtěte derivaci dané funkce f : y = cos x v li
bovolném bodě x0 ∈ D(f).
1. a) f′(x0) = 0; b) f′(x0) = a 2. f′(x0) = 2ax0 + b 3. f′(x0) = − a
(ax0+b)2
4. f′(x0) = − 2
x3
0
5. f′(x0) = − sin x0
Cvičení 203
1 Vypočtěte f′
(x) a f′
(1) pro funkci:
a) f : y = 1
3 x3
− 2x2
+ 5x − 1 b) f : y = 5x3
− 3x5
2 Vypočtěte f′
(x) a f′
(2) pro funkci:
a) f : y = ax + b b) f : y = ax2
+ bx + c
209
3 Vypočtěte f′
(x) a f′
(0) pro funkci:
a) f : y =
2x − 3
x − 1
b) f : y =
ax + b
cx + d
4 Vypočtěte f′
(x) a f′
(1) pro funkci:
a) f : y =
1
1 + x2
b) f : y =
x
1 + x2
5 Vypočtěte f′
(x) a f′
(1) pro funkci:
a) f : y =
√
x + 3
√
x b) f : y = x(
√
x + 1)
1. a) x2 − 4x + 5, 2; b) 15x2 − 15x4, 0 2. a) a, a; b) 2ax + b, 4a + b 3. a) 1
(x−1)2 ,
1; b) ad−bc
(cx+d)2 , ad−bc
d2 4. a) − 2x
(1+x2)2 , − 1
2
; b) 1−x2
(1+x2)2 , 0 5. a) 1
2
√
x
+ 1
3 3√
x2 , 5
6
;
b)
√
x + x
2
√
x
+ 1, 5
2
Cvičení 204
1 Vypočtěte f′
(x) a f′
(1
4 π) pro funkci:
a) f : y = 4 sin x + 3 cos x b) f : y = tg x − cotg x
2 Vypočtěte f′
(x) a f′
(π) pro funkci:
a) f : y = x sin x b) f : y =
sin x
x
3 Vypočtěte f′
(x) a f′
(1) pro funkci:
a) f : y = x2
ln x b) f : y =
ln x
x
210
4 Vypočtěte f′
(x) a f′
(0) pro funkci:
a) f : y = xex
b) f : y =
ex
x
5 Vypočtěte f′
(x) pro funkci f : y =
sin x + cos x
sin x − cos x
.
1. a) 4 cos x − 3 sin x,
√
2
2
; b) 1
sin2 x cos2 x
, 4 2. a) sin x + x cos x, −Ô; b) x cos x−sin x
x2 ,
− 1
Ô 3. a) x(2 ln x + 1), 1; b) 1−ln x
x2 , 0 4. a) ex(1 − x), 1; b)
ex
(x−1)
x2 , f′(0) není
def. 5. 2
2 sin x cos x−1
Cvičení 205
1 Vypočtěte f′
(x) pro funkci:
a) f : y = (x2
+ 1)4
b) f : y = (ax2
+ bx + c)2
2 Vypočtěte f′
(x) pro funkci:
a) f : y =
√
1 − x2 b) f : y = 3
(2x + 3)2
3 Vypočtěte f′
(x) pro funkci:
a) f : y = sin2
x b) f : y = sin x2
4 Vypočtěte f′
(x) pro funkci:
a) f : y = cotg
√
x b) f : y = tg(x2
+ 1)
211
5 Vypočtěte f′
(x) pro funkci:
a) f : y = 3x3
b) f : y = x · 10−x
1. a) 8x(x2 + 1)3; b) 2(ax2 + bx + c)(2ax + b) 2. a) − x√
1−x2
; b) 4
3 3√
2x+3
3. a) 2 sin x cos x; b) 2x cos x2 4. a) − 1
2
√
x sin2
√
x
; b) 2x
cos2(x2+1)
5. a) 3x23x3
ln 3; b) (1 − x ln 10) · 10−x
Cvičení 206
1 Vypočtěte f′
(x) pro funkci:
a) f : y = ln(sin x) b) f : y = ln(cos x)
2 Vypočtěte f′
(x) pro funkci:
a) f : y = ln(x2
+ 1) b) f : y = ln(x +
√
1 + x2)
3 Vypočtěte f′
(x) pro funkci:
a) f : y = e−x2
b) f : y = e1/x
4 Vypočtěte f′
(x) pro funkci:
a) f : y = ex
sin x b) f : y = ex
cos x
5 Vypočtěte f′
(x) pro funkci:
a) f : y = sin2
x2
b) f : y = ln ln ln x
1. a) cotg x; b) − tg x 2. a) 2x
x2+1
; b)
1
√
1 + x2
3. a) −2xe−x2
; b) − e1/x
x2
4. a) ex(sin x + cos x); b) ex(cos x − sin x) 5. a) 4x sin x2 cos x2; b) 1
x·ln x·ln ln x
212
Cvičení 207
1 Napište rovnici tečny a normály grafu funkce f v bodě T [x0, y0]:
f : y = x2
+ x + 1, x0 = 1.
2 Napište rovnici tečny a normály grafu funkce f v bodě T [x0, y0]:
f : y =
1
x
, x0 = 2.
3 Napište rovnici tečny a normály grafu funkce f v bodě T [x0, y0]:
f : y = sin x, x0 = 0.
4 Napište rovnici tečny a normály grafu funkce f v bodě T [x0, y0]:
f : y = ex
, x0 = 0.
5 Napište rovnici tečny a normály grafu funkce f v bodě T [x0, y0]:
f : y =
1
1 + x2
, x0 = −1.
1. y = 3x, y = − 1
3
x + 10
3
2. y = − 1
4
x + 1, y = 4x − 15
2
3. y = x, y = −x
4. y = x + 1, y = −x + 1 5. y = 1
2
x + 1, y = −2x − 3
2
Cvičení 208
Poznámka. Úlohou vyšetřit monotónnost funkce rozumíme určení všech intervalů, ve
kterých je daná funkce rostoucí nebo klesající. Vždy je tedy požadováno nalezení „maximálních
intervalů monotónnosti.
1 Určete intervaly monotónnosti funkce f : y = x2
− x + 1.
2 Určete intervaly monotónnosti funkce f : y = 2x2
− x4
.
213
3 Určete intervaly monotónnosti funkce f : y =
x
1 + x2
.
4 Určete intervaly monotónnosti funkce f : y =
ln x
x
.
5 Určete intervaly monotónnosti funkce f : y = xe−x2
.
1. klesající: (−∞; 1
2
), rostoucí: (1
2
; +∞) 2. klesající: (−1; 0), (1; +∞), rostoucí:
(−∞; −1), (0; 1) 3. klesající: (−∞; −1), (1; +∞), rostoucí: (−1; 1) 4. klesající:
(e; +∞), rostoucí: (0; e) 5. klesající: (−∞; −
√
2
2
), (
√
2
2
; +∞), rostoucí: (−
√
2
2
;
√
2
2
)
Cvičení 209
1 Určete lokální extrémy funkce f : y = x3
− 6x2
.
2 Určete lokální extrémy funkce f : y =
√
6x − x2.
3 Určete lokální extrémy funkce f : y =
x2
1 + x4
.
4 Určete globální extrémy funkce v daném intervalu:
f : y = −3x4
+ 6x2
, x ∈ −2; 2 .
5 Určete globální extrémy funkce v daném intervalu:
f : y = x + 2
√
x, x ∈ 0; 4 .
1. v bodě 0 lokální maximum, f(0) = 0, v bodě 4 lokální minimum, f(4) = −32
2. v bodě 3 lokální maximum, f(3) = 3 3. v bodech −1 a 1 lokální maxima,
f(−1) = f(1) = 1
2
, v bodě 0 lokální minimum, f(0) = 0 4. globální minima v bodech
−2 a 2, f(−2) = f(2) = −24, globální maxima v bodech −1 a 1, f(−1) = f(1) = 3
5. globální minimum v bodě 0, f(0) = 0, globální maximum v bodě 4, f(4) = 8
214
Cvičení 210
1 Vyšetřete konvexnost, konkávnost a inflexní body funkce
f : y = 3x4
− 4x3
.
2 Vyšetřete konvexnost, konkávnost a inflexní body funkce
f : y =
1
1 + x2
.
3 Najděte taková čísla a a b, aby bod x = 1 byl pro funkci
f : y = x3
+ ax2
− 3x + b
inflexním bodem.
4 Je-li počátek inflexním bodem grafu funkce
f : y = ax3
+ bx2
+ cx + d,
potom je její graf středově souměrný podle počátku. Dokažte.
5 Vyšetřete konvexnost, konkávnost a inflexní body funkce
f : y = x2
e−x
.
1. konvexní v (−∞; 0), 2
3
; +∞ , konkávní v 0; 2
3
, inflexní body jsou x = 0,
x = 2
3
2. konvexní v −∞; − 1√
3
, 1√
3
; +∞ , konkávní v − 1√
3
; 1√
3
, inflexní
body jsou x = − 1√
3
, x = 1√
3
3. a = −3, b = 6 4. Návod: Graf funkce je středově
souměrný podle počátku, jestliže f(−x) = −f(x) pro každé x ∈ D(f). 5. konvexní
v (−∞; 2 −
√
2), (2 +
√
2; +∞), konkávní v (2 −
√
2; 2 +
√
2), inflexní body jsou
x = 2 −
√
2, x = 2 +
√
2
215
Cvičení 211
Při řešení těchto úloh postupujte podle následujícího schématu:
1. definiční obor, parita funkce (sudá, lichá), periodičnost funkce;
2. body, ve kterých není funkce definována, ale má v nich jednostranné limity, výpočet
těchto limit, limity v nevlastních bodech, intervaly spojitosti;
3. průsečíky s osami x a y, znaménka funkčních hodnot;
4. výpočet první derivace, nulové body první derivace a body, ve kterých není definována
první derivace;
5. lokální extrémy, intervaly monotónnosti;
6. výpočet druhé derivace, nulové body druhé derivace a body, ve kterých není definována
druhá derivace;
7. inflexní body, intervaly, v nichž je funkce konvexní, konkávní;
8. asymptoty;
9. obor hodnot;
10. graf.
1 Vyšetřete průběh funkce f : y = 5x3
− 3x5
.
2 Vyšetřete průběh funkce f : y =
x
1 + x2
.
3 Vyšetřete průběh funkce f : y =
√
4 − x2.
4 Vyšetřete průběh funkce f : y =
1
cos x
.
5 Vyšetřete průběh funkce f : y = ln(1 − x2
).
Cvičení 212
1 Rozložte číslo a na dva sčítance tak, aby jejich součin byl největší.
2 Součet dvou čísel je 12. Najděte tato čísla, jestliže součet jejich třetích
mocnin je nejmenší možný.
216
3 Určete vzdálenost bodu Q[1; 2] od paraboly y = 1
4 x2
.
4 Drát dlouhý (9 + 4
√
3) cm se rozdělí na dva kusy. Z jednoho kusu se
zhotoví čtverec a z druhého rovnostranný trojúhelník. Jaké by měly
být délky kusů, aby součet obsahů obou obrazců byl minimální?
5 Na souřadnicové ose x najděte bod, jehož součet vzdáleností od bodů
A[0; 4] a B[4; 2] je minimální.
1. 1
2
a+ 1
2
a 2. 6, 6 3.
√
2 4. délka strany čtverce:
√
3 cm, délka strany trojúhelníku:
3 cm 5. [ 8
3
; 0]
Cvičení 213
1 Pravoúhelník má obvod 100 cm. Určete délky jeho stran a, b tak, aby
jeho obsah byl maximální.
2 Do trojúhelníku se základnou z a výškou v je vepsán pravoúhelník
maximálního obsahu. Určete jeho obsah S.
3 Z lepenky tvaru čtverce o straně délky a se v rozích vyříznou stejně
velké čtverce a ze zbylé části se slepí krabička. Jak velká musí být
strana vyříznutého čtverce, aby byl objem krabičky největší?
4 Určete maximální obsah S lichoběžníku, jehož tři strany mají danou
délku b.
217
5 Dvě chodby široké 2,4 m a 1,6 m se protínají pod pravým úhlem. Jaký
nejdelší žebřík lze ve vodorovné poloze ještě přenést z jedné chodby do
druhé?
1. a = 25 cm, b = 25 cm. 2. S = 1
4
zv 3. 1
6
a 4. S = 3
4
√
3b2 5. asi 5,6 m
Cvičení 214
1 Najděte výšku v a poloměr r válce, který má při daném povrchu S
maximální objem.
2 Kouli o poloměru r je vepsán kužel maximálního objemu. Určete po
loměr ̺ podstavy a výšku v kužele.
3 Krabice má tvar kvádru a její délka je dvojnásobkem její šířky.
a) Jaký má nejmenší možný povrch (včetně dna a víka), je-li její objem
72 cm3
?
b) Jaký má největší možný objem, je-li její povrch 108 cm2
?
4 Do rotačního kužele o podstavě poloměru r a výšce v vepište rotační
válec maximálního objemu. Určete poloměr ̺ podstavy a výšku h hle
daného válce.
5 Navrhněte rozměry otevřeného bazénu se čtvercovým dnem a objemem
32 m3
tak, aby na vyzdění jeho stěn včetně dna bylo potřeba nejmenší
množství materiálu.
1. v = 2r, r = S
6Ô 2. ̺ = 1
3
r
√
8, v = 4
3
r 3. a) 108 cm2; b) 72 cm3 4. ̺ = 2
3
r,
h = 1
3
v 5. 4 m × 4 m × 2 m
218
Cvičení 215
1 Město B je 10 km východně od města A a město C je 3 km jižně od B.
Z A do C se má postavit dálnice. Cena při budování dálnice podél
existující přímé silnice z A do B je 4 miliony Kč za km, zatímco cena
kdekoli jinde je 5 milionů Kč za km. V kterém místě P mezi body
A, B by se měla napojit přímá odbočka do C, aby se minimalizovaly
náklady? Jak velké pak budou?
2 Silnice široká b metrů je osvětlována lampou, která má stejnou vzdá
lenost od obou okrajů silnice. V jaké výšce x nad silnicí musí lampa
být, aby byl okraj silnice nejvíce osvětlen?
3 Délka nakloněné roviny je d. Vyberte její výšku h tak, aby se kulička
o hmotnosti m, která se kutálí z nejvyššího bodu nakloněné roviny,
skutálela po celé její dráze v co nejkratší době. Tření a odpor vzduchu
zanedbejte.
4 Akumulátor má elektromotorické napětí U a vnitřní odpor Ri. Jaký
vnější odpor R je nutno zapojit, chceme-li ve vnějším proudovém
okruhu získat největší výkon? Určete tento maximální výkon Pmax.
5 Dvě přímé silnice se křižují v pravém úhlu. V okamžiku, kdy opouští
křižovatku auto jedoucí rychlostí v1 = 60 km/h, je na druhé silnici auto
ve vzdálenosti 5 km od křižovatky a jede k ní rychlostí v2 = 80 km/h.
Za jak dlouho budou obě auta k sobě nejblíže a jak velká bude jejich
vzdálenost?
1. bod P umístit 6 km východně od A, 49 milionů Kč 2. Návod. Osvětlení je dáno
vztahem E = d−2I cos α, kde I je fyzikální konstanta charakterizující danou lampu,
d je její vzdálenost od okrajů silnice a α je odchylka příslušného paprsku od směru
kolmého k silnici, takže cos α = x
d
; x = 1
4
b
√
2 m 3. h = d 4. Návod. Výkon je dán
vztahem P = RI2 = R U
R+Ri
2
; R = Ri, Pmax = U2
4Ri
. 5. t = 2,4 min, d = 3 km
219
Cvičení 216
1 Vypočtěte integrály:
a) (3x2
+ 2x − 4) dx b) (ax + b) dx
2 Vypočtěte integrály:
a)
√
x3 −
1
√
x
dx b)
x
√
x + 1
x
dx
3 Vypočtěte integrály:
a) (2 sin x − 3 cosx) dx b) cos2 x
2
dx
4 Vypočtěte integrály s kladným parametrem a:
a) ex
ax
dx b)
ex
ax
dx
5 Vypočtěte integrály:
a) tg2
x dx b) cotg2
x dx
1. a) x3 +x2 −4x+C; b) 1
2
ax2 +bx+C 2. a) 2
√
x5
5
−2
√
x+C; b) 2
3
√
x3 +ln |x|+C
3. a) C − 2 cos x − 3 sin x; b) 1
2
x + 1
2
sin x + C 4. a) ex
ax
1+ln a
+ C; b) ex
ax(1−ln a)
+ C
5. a) tg x − x + C; b) C − cotg x − x
Cvičení 217
1 Vypočtěte integrály:
a)
x
1 + x2
dx b)
x
x2 − 3
dx
220
2 Vypočtěte integrály:
a) xe−x2
dx b)
3x
(1 + x2)3
dx
3 Vypočtěte integrály:
a)
1
x ln x
dx b)
ln x
x
dx
4 Vypočtěte integrály:
a) x 1 − x2 dx b) x2
(x3
+ 1)5
dx
5 Vypočtěte integrály:
a)
x
√
1 + x2
dx b)
2x
√
1 − x2
dx
1. a) 1
2
ln(x2 + 1) + C; b) 1
2
ln |x2 − 3| + C 2. a) C − 1
2
e−x2
; b) C − 3
4(1+x2)2
3. a) ln | ln x| + C; b) 1
2
ln2
x + C 4. a) C − 1
3
(1 − x2)3; b) 1
18
(x3 + 1)6 + C
5. a)
√
1 + x2 + C; b) C − 2
√
1 − x2
Cvičení 218
1 Vypočtěte integrál s parametry n ∈ N, a ∈ R \ {0}, b ∈ R:
(ax + b)n
dx.
2 Vypočtěte integrál s parametry n ∈ N, a ∈ R \ {0}, b ∈ R:
1
(ax + b)n
dx.
221
3 Vypočtěte integrál s parametry a ∈ R \ {0}, b ∈ R:
√
ax + b dx.
4 Vypočtěte integrál 3
√
1 − 3x dx.
5 Vypočtěte integrál
ex
4 + ex
dx.
1. (ax+b)n+1
a(n+1)
+ C 2. C − 1
a(n−1)(ax+b)n−1 3. 2
3a
(ax + b)3 + C 4. C −
− 1
4
3
(1 − 3x)4 5. ln(4 + ex) + C
Cvičení 219
1 Vypočtěte integrály:
a) tg x dx b) cotg x dx
2 Vypočtěte integrály:
a) sin2
x dx b) cos2
x dx
3 Vypočtěte integrály:
a) sin2
x cos3
x dx b) sin3
x cos2
x dx
4 Vypočtěte integrály:
a) sin3
x dx b) cos3
x dx
222
5 Vypočtěte integrály:
a)
cos3
x
sin2
x
dx b)
sin3
x
cos2 x
dx
1. a) C −ln |cos x|; b) ln |sin x|+C 2. a) 1
2
x − 1
2
sin 2x +C; b) 1
2
x + 1
2
sin 2x +C
3. a) 1
3
sin3 x − 1
5
sin5 x + C; b) − 1
3
cos3 x + 1
5
cos5 x + C 4. a) 1
3
cos3 x − cos x + C;
b) sin x − 1
3
sin3 x + C 5. a) C − sin x − 1
sin x
; b) cos x + 1
cos x
+ C
Cvičení 220
1 Vypočtěte integrál:
dx
a2 + x2
, kde a ∈ R, a = 0.
2 Vypočtěte integrál:
dx
x2 + 9
.
3 Vypočtěte integrál:
dx
3x2 + 2
.
4 Vypočtěte integrál:
dx
x2 + 2x + 2
.
5 Vypočtěte integrál:
x2
dx
x2 + 1
.
1. 1
a
arctg x
a
+ C 2. 1
3
arctg x
3
+ C 3. 1
2
2
3
arctg 3
2
x + C
4. arctg(x + 1) + C 5. x − arctg x + C
223
Cvičení 221
1 Vypočtěte integrál:
dx
x2 − 1
.
2 Vypočtěte integrál:
dx
x2 + x
.
3 Vypočtěte integrál:
5x − 12
x2 − 5x + 6
dx.
4 Vypočtěte integrál:
dx
x3 + x
.
5 Vypočtěte integrál:
x2
+ x + 2
x3 + x2 + x + 1
.
1. 1
2
ln | x−1
x+1
|+C 2. ln | x
x+1
|+C 3. 2 ln |x−2|+3 ln |x−3|+C 4. Návod. Uvažte
rozklad 1
x3+x
= A
x
+ Bx+C
x2+1
; ln |x| − 1
2
ln(x2 + 1) + C. 5. Návod. Uvažte rozklad
x2
+x+2
x3+x2+x+1
= A
x+1
+ Bx+C
x2+1
; ln |x + 1| + arctg x + C.
Cvičení 222
1 Vypočtěte integrál: ln x dx.
2 Vypočtěte integrál: ex
sin x dx.
224
3 Vypočtěte integrál: xe2x
dx.
4 Vypočtěte integrál: x2
cos x dx.
5 Vypočtěte integrál: arcsin x dx.
1. x ln x − x + C 2. 1
2
ex(sin x − cos x) + C 3. 1
2
e2x x − 1
2
+ C 4. x2 sin x +
+ 2x cos x − 2 sin x + C 5. x arcsin x +
√
1 − x2 + C, x ∈ (−1; 1)
Cvičení 223
1 Vypočtěte určité integrály:
a)
b
a
c dx b)
b
a
x dx
2 Vypočtěte určité integrály:
a)
4
1
(6x − 11) dx b)
2
1
(x2
− 3x + 2) dx
3 Vypočtěte určité integrály:
a)
1
2 Ô
0
cos x dx b)
Ô
0
sin x dx
225
4 Určete všechna čísla b > 1, pro která platí:
b
1
(b − 4x) dx ≧ 6 − 5b.
5 V R řešte nerovnici
a
0
(2 − 4x + 3x2
) dx ≦ a.
1. a) c(b − a); b) 1
2
(b2 − a2) 2. a) 12; b) − 1
6
3. a) 1; b) 2 4. b = 2
5. a ∈ (−∞; 0 ∪ {1}
Cvičení 224
1 Vypočtěte určitý integrál:
3
2
x dx
1 + x2
.
2 Vypočtěte určitý integrál:
1
2 Ô
0
sin x cos2
x dx.
3 Vypočtěte určité integrály:
a)
1
0
dx
1 + x2
b)
1
0
dx
√
1 − x2
226
4 Vypočtěte určitý integrál:
1
0
1 − x2 dx.
5 Vypočtěte určitý integrál:
e
1
ln x dx.
1. 1
2
ln 2 2. 1
3
3. a) 1
4
Ô; b) 1
2
Ô 4. 1
4
Ô 5. 1
Cvičení 225
1 Vypočtěte obsah S rovinného útvaru omezeného křivkami, které mají
rovnice xy = 6, x + y − 7 = 0.
2 Vypočtěte obsah S rovinného útvaru omezeného křivkami, které mají
rovnice y = x3
, y = 8, x = 0.
3 Vypočtěte obsah S rovinného útvaru omezeného křivkami, které mají
rovnice 4y = x2
, y2
= 4x.
4 Vypočtěte obsah S rovinného útvaru omezeného křivkami, které mají
rovnice y = sin x, x = 0, x = π, y = 0.
5 Vypočtěte obsah S rovinného útvaru omezeného křivkami, které mají
rovnice y = ln x, y = 0, x = e.
1. S = 36 2. S = 35
2
− 6 ln 6 3. S = 16
3
4. S = 2 5. S = 1
227
Cvičení 226
1 Užitím integrálního počtu odvoďte vzorec S = πr2
pro obsah S kruhu
o poloměru r.
2 Vyjádřete obsah S rovinného útvaru omezeného elipsou s rovnicí
x2
a2
+
y2
b2
= 1.
3 Vypočtěte obsah S rovinného útvaru omezeného křivkami s rovnicemi
y = x2
, y = 2x2
, y = 1.
4 Vypočtěte obsah S rovinného útvaru omezeného křivkami s rovnicemi
y = ex
, y = e−x
, x = ln 2.
5 Vypočtěte obsah S rovinného útvaru omezeného parabolou s rovnicí
y = x2
− 6x + 8 a jejími tečnami v bodech A[1; 3], B[4; 0].
1. integrujte funkci y =
√
r2 − x2 pro x ∈ −r; r 2. S = Ôab 3. S = 1
3
(2 −
√
2)
4. S = 1
2
5. S = 9
4
Cvičení 227
1 Pomocí vzorce V (T ) = π
b
a
y2
dx ověřte platnost vzorce pro výpočet
objemu válce s poloměrem postavy r a výškou v.
2 Vypočtěte objem V tělesa, které vznikne rotací rovinného útvaru ome
zeného grafem funkce y = 1
2 x2
+ 1 a přímkami o rovnicích y = −x + 5,
y = 0, x = 0, x = 4 kolem osy x.
228
3 Vypočtěte objem V tělesa, které vznikne rotací rovinného útvaru ome
zeného grafem funkce f : y =
1
x
a přímkami o rovnicích x = 1, x = 3,
y = 0 kolem osy x.
4 Vypočtěte objem V tělesa, které vznikne rotací rovinného útvaru ome
zeného grafem funkce f : y = x3
a přímkami o rovnicích y = 1, x = 2
kolem osy x.
5 Vypočtěte objem V tělesa, které vznikne rotací rovinného útvaru ome
zeného grafem funkce f : y = sin x a přímkami o rovnicích y = 0, x = π
kolem osy x.
1. uvažte konstantní funkci y = r pro x ∈ 0; v , a = 0, b = v; V = Ôr2v 2. V = 224
15
Ô
3. V = 2
3
Ô 4. V = 120
7
Ô 5. V = 1
2
Ô2
Cvičení 228
1 Vyjádřete objem V koule o poloměru r.
2 Vyjádřete objem V rotačního elipsoidu.
3 Vypočtěte objem V rotačního kužele s poloměrem podstavy r a výš
kou v.
4 Vypočtěte objem V rotačního komolého kužele s poloměry podstav r1,
r2 a výškou v.
229
5 Vypočtěte objem V rotačního tělesa, jež vznikne rotací hyperboly
o rovnici
x2
a2
−
y2
b2
= 1 kolem osy x v intervalu a; k , k > a.
1. využijte rotaci grafu funkce y =
√
r2 − x2 kolem osy x; V = 4
3
Ôr3 2. V = 4
3
Ôab2,
V = 4
3
Ôa2b 3. využijte rotace grafu funkce y = r
v
x kolem osy x; V = 1
3
Ôr2v
4. využijte rotaci grafu funkce y = r1−r2
v
x + r2 kolem osy x; V = 1
3
Ôv(r2
1 + r1r2 + r2
2)
5. V = Ôb2
3a2 (k − a)2(k + 2a)
Cvičení 229
Poznámka. Obsah S rotační plochy, která vznikne rotací grafu spojité a nezáporné
funkce f, jež má spojitou první derivaci, kolem osy x v intervalu a; b , se vypočte
podle vzorce
S = 2Ô
b
a
f(x) 1 + [f′(x)]2 dx.
1 Vypočtěte obsah S kulové plochy o poloměru r.
2 Nevertikální úsečka délky 1 se středem v bodě S[0; 1] rotuje kolem
osy x. Ukažte, že obsah S vzniklé rotační plochy je S = 2π bez ohledu
na směrnici úsečky.
3 Určete obsah S plochy vytvořené otáčením oblouku křivky dané rovnicí
y2
= 4 + x omezeného přímkou o rovnici x = 2 kolem osy x.
4 Určete obsah S pláště rotačního kužele výšky v a s poloměrem pod
stavy r.
230
5 Vypočtěte délku s kružnice o poloměru r.
1. uvažujte funkci y =
√
r2 − x2; S = 4Ôr2 3. S = 62
3
Ô 4. uvažujte funkci y = r
v
x,
S = Ôrs, s =
√
r2 + v2 5. Návod: Délka oblouku rovinné křivky dané rovnicí
y = f(x), kde x ∈ a; b , se vypočte podle vzorce s =
b
a
1 + [f′(x)]2 dx; uvažujte
funkci y =
√
r2 − x2.
Cvičení 230
Pohybuje-li se hmotný bod po přímce a velikost síly závisí na souřadnici x podle vztahu
F = f(x), pak pro výpočet práce vykonané na dráze a; b platí vztah W = b
a
f(x) dx.
1 Jaká práce W se vykoná při natažení pružiny o malou délku b z jejího
klidového stavu ve směru osy pružiny?
2 Jakou práci W je třeba vykonat, aby těleso hmotnosti m bylo dopra
veno do výše h nad povrch Země, jejíž poloměr je R a hmotnost je M?
3 Homogenní válec o hustotě ̺, podstavě o poloměru r a výšce h je
ponořen svisle do kapaliny hustoty ̺k, ̺k < ̺, tak, že jeho horní pod
stava splývá s hladinou kapaliny. Vypočítejte práci W potřebnou ke
zvednutí válce do polohy, v níž jeho dolní podstava bude právě na
hladině kapaliny.
Poznámka. Je-li velikost v rychlosti pohybujícího se hmotného bodu funkcí času t, tedy
v = f(t), pak jeho dráhu s v době od t1 do t2 vypočítáme podle vztahu s =
t2
t1
f(t) dt.
4 Určete dráhu tělesa, jestliže pro jeho rychlost platí v(t) = 1
3 t2
a v čase
t = 0 s je dráha nulová.
231
5 Určete závislost dráhy s tělesa na čase t, platí-li pro jeho rychlost
v libovolném čase t ≧ 0 rovnice v(t) = at, kde a > 0 je konstanta,
a urazilo-li do času t = 0 těleso dráhu s0.
1. Návod. Pro dostatečně malá napnutí platí Hookeův zákon, podle nějž velikost F
síly, kterou pružinu napínáme ve směru osy x, je přímo úměrná výchylce x koncového
bodu pružiny, tedy F (x) = kx, kde k je konstanta závislá na dané pružině. W = 1
2
kb2
2. Návod. Velikost síly je nepřímo úměrná druhé mocnině vzdálenosti R + x daných
těles podle vztahu F (x) = κ mM
(R+x)2 , kde κ je gravitační konstanta. W = κ mMh
R(R+h)
3. Návod. Pro velikost síly F , kterou držíme válec ve výšce x horní podstavy nad
hladinou, platí F (x) = Ôr2hg̺ − Ôr2g̺kx = Ôr2g(̺h − ̺kx), kde konstanta g je tíhové
zrychlení. W = Ôr2gh2(̺ − 1
2
̺k) 4. s = 1
9
t3 5. s = 1
2
at2 + s0, t ≧ 0
232
Opakování pro maturanty
Cvičení 231
1 Výrok p ⇒ q zapište pouze pomocí:
a) negace a disjunkce,
b) negace a konjunkce.
2 Je dána věta: Jestliže n je prvočíslo, potom n − 1 není prvočíslo. Vy
slovte:
a) větu obrácenou,
b) větu obměněnou,
c) negaci dané věty.
3 Symetrická diference (symetrický rozdíl) dvou množin A, B je množina
A∆B = (A∪B)\(A∩B). Dokažte, že pro libovolné množiny A, B platí:
a) A ∆ (A ∩ B) = A \ B, b) (A ∆ B) ∆ (A ∩ B) = A ∪ B.
4 Zjednodušte zápis množiny M:
M = (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C′
) ∪ (A ∩ B′
∩ C′
) ∪ [(B ∪ C)′
∩ A].
5 Jsou dány množiny F = {1; 2}, G = {a; b}. Určete
a) počet všech relací mezi množinami F a G,
b) počet všech zobrazení množiny F do množiny G,
c) počet všech prostých zobrazení mezi množinami F a G.
1. a) p′ ∨ q; b) (p ∧ q′)′ 2. a) Jestliže n − 1 není prvočíslo, potom n je prvočíslo.
b) Jestliže n − 1 je prvočíslo, potom n není prvočíslo. c) n je prvočíslo a současně
n − 1 je prvočíslo. 4. M = (A \ C) ∪ (A ∩ B) 5. a) 16; b) 4; c) 2
233
Cvičení 232
1 Dokažte, že pro každé přirozené číslo n platí:
a)
n
0
−
n
2
+
n
4
−
n
6
+ . . . =
√
2n cos
1
4
nπ,
b)
n
1
−
n
3
+
n
5
−
n
7
+ . . . =
√
2n sin
1
4
nπ.
2 V N řešte rovnici K′
(3, x) + K(3, x) = 6x.
Poznámka. Symbol K(a, b) značí počet kombinací bez opakování a symbol K′(a, b) značí
počet kombinací s opakováním.
3 Kolik existuje navzájem různých kvádrů, jejichž velikosti hran jsou
přirozená čísla z intervalu 1; 15 ?
4 Pravděpodobnost jevu A je dané číslo p ∈ (0; 1). Daný pokus opa
kujeme n-krát. Jak velké musí být n, aby jev A nastal aspoň jednou
s pravděpodobností větší než 0,5?
5 Přední pneumatika motocyklu se opotřebuje po 20 000 km a zadní po
30 000 km jízdy. Kolik km lze na dvou nově zakoupených pneumatikách
najet, jestliže je ve vhodném okamžiku navzájem vyměníme?
2. x = 4 3. 680 4. n > log 0,5
log(1−p)
5. 24 000 km
Cvičení 233
1 Vyjádřete v procentech změnu obsahu obdélníku o stranách délek a, b,
jestliže délka strany a byla zkrácena o 25 % a délka strany b byla pro
dloužena o 25 %.
234
2 Určete všechny pětice po sobě jdoucích přirozených čísel, pro něž platí,
že součet druhých mocnin prvních tří čísel se rovná součtu druhých
mocnin zbývajících dvou čísel.
3 Je-li n ∈ N číslo liché, potom zlomek
3n
+ 1
7n + 1
lze krátit čtyřmi. Dokažte.
4 Číslo a = 5xy49z je dělitelné číslem 396. Určete číslice x, y, z.
5 Určete všechny dvojice [x; y] přirozených čísel, pro něž platí:
a) x − y = 48 ∧
x + y
2
−
√
xy = 18,
b)
1
p + x
+
1
p + y
=
1
p
, p je dané prvočíslo.
1. Zmenšení obsahu o 6,25 %. 2. [10; 11; 12; 13; 14] 3. Návod. Je-li n číslo liché, pak
platí an +bn = (a+b)(an−1 −an−2b+. . .+bn−1). 4. [x; y; z] = [2; 5; 2], a = 525 492,
[x; y; z] = [8; 4; 6], a = 584 496 5. Návod. Využijte rovnost x+y
2
−
√
xy = 1
2
(
√
x−
√
y)2.
a) [49; 1]; b) [p; p], [p2; 1], [1; p2]
Cvičení 234
1 Určete reálná čísla a, b, c, pro která platí:
a) ∀x ∈ R, x = −1:
x − 1
x + 1
= a +
b
x + 1
,
b) ∀x ∈ R, x = 1:
3
x3 + 1
=
a
x + 1
+
bx + c
x2 − x + 1
.
2 Určete základ z číselné soustavy, ve které platí 26z · 35z = 888z.
235
3 Usměrněte výraz
V (x, y) =
x + y
x
1
3 + y
1
3
a výsledek ověřte pro hodnoty x = 1, y = 8, tj. dosaďte do původního
výrazu i do upraveného výrazu.
4 Najděte všechna přirozená čísla n, pro která platí
√
3
2
−
1
2
i
n
= 1.
5 Určete nejmenší možnou hodnotu výrazu V (x, y) = x3
+y3
, je-li dáno:
a) x + y = 1,
b) x + y = a.
1. a) a = 1, b = −2; b) a = 1, b = −1, c = 2 2. z = 11 3. 3
x2 − 3
xy + 3
y2;
V (1, 8) = 3 4. n = 12k, k ∈ N 5. a) V (1
2
, 1
2
) = 1
4
; b) V (1
2
a, 1
2
a) = 1
4
a3
Cvičení 235
1 Vyjádřete délku úsečky, která je průnikem pravoúhlého trojúhelníku
a osy jeho pravého úhlu, pomocí délek odvěsen a, b.
2 V rovnoběžníku ABCD jsou body M, N po řadě středy stran BC
a CD. Úsečka AM protíná úhlopříčku BD v bodě P a úsečka AN
protíná úhlopříčku BD v bodě Q. Dokažte, že platí |BP| = |PQ| =
= |QD|.
3 V lichoběžníku ABCD, AB CD, |AB| = a, |CD| = b, a > b, vyjád
řete délku příčky vedené průsečíkem úhlopříček a rovnoběžné s AB.
236
4 Sestrojte čtverec ABCD, je-li dán součet u + a délek úhlopříčky
a strany čtverce.
5 Je dán rovnostranný trojúhelník ABC, jehož strana AB má délku a.
Okolo jeho vrcholů A, B, C jsou opsány kružnice k1, k2, k3, které mají
vnější dotyk. Vypočtěte obsah útvaru ležícího uvnitř trojúhelníku vně
těchto kružnic.
1. ab
√
2
a+b
2. Návod. Uvažujte o těžištích trojúhelníků ABC a ADC. 3. x = 2ab
a+b
5. 1
8
a2(2
√
3 − Ô)
Cvičení 236
1 Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV výšky v.
a) Zobrazte řez jehlanu rovinou PQR, kde Q je střed hrany DV ,
P ∈ →DA, |PD| : |DA| = 5 : 2, R ∈ →DC, |RD| : |CD| = 5 : 2.
b) V jaké vzdálenosti x od vrcholu V je třeba rozříznout jehlan ABCDV
rovinou rovnoběžnou s podstavou, aby se odřízl jehlan, jehož objem je
1
3 objemu jehlanu ABCDV ?
2 Je dán čtyřstěn ABCD, bod T je těžiště stěny ABC. Uvnitř úsečky T D
zvolte bod L a na polopřímce AB za bodem B zvolte bod M. Zobrazte
průsečíky přímky LM s hranicí (povrchem) čtyřstěnu.
3 Vypočtěte objem V a povrch S kvádru, jsou-li čísla udávající v cm
délky jeho hran kořeny rovnice
x3
− 12x2
+ 47x − 60 = 0.
237
4 Rotační kužel má povrch S, jeho strana má od roviny podstavy od
chylku α. Vypočtěte poloměr r podstavy tohoto kužele.
5 Dřevěná koule plove ve vodě tak, že je ponořena do tří pětin svého
průměru. Vypočtěte hustotu ̺ dřeva.
1. b) x = v
3√
9
3
3. V = 60 cm3; S = 94 cm2 4. r = 1
cos α
2
S cos α
2Ô 5. ̺
.
=
.
= 0,648 g/cm3
Cvičení 237
1 Určete obraz bodu B[3; −3; 8] v rovinové souměrnosti určené rovinou
o rovnici x − y − 2 = 0.
2 Vypočtěte odchylku ϕ hrany AD od stěny ABC čtyřstěnu ABCD,
kde A[2; −1; 1], B[4; 1; −9], C[3; −2; 4], D[14; 11; −5].
3 Je dána krychle ABCDEFGH o hraně délky 6 cm. Užitím analytické
geometrie určete vzdálenost bodu D od roviny BEG a vzdálenost rovin
ACH, BEG.
4 Na mapě jsou zobrazeny dvě obce A, B a přímá železniční trať. Ve
zvolené soustavě souřadnic je poloha obcí A, B určena v uvedeném
pořadí souřadnicemi [−1; 4], [5; 8] a poloha železniční trati je určena
rovnicí x − 2y + 6 = 0. Na železniční trati se má v místě X vybudo
vat nádraží. Určete polohu místa X tak, aby délka silnice budované
z A do B a vedoucí přes X byla nejkratší. Vypočítejte také délku d
této nejkratší silnice za předpokladu, že souřadnice bodů jsou uvedeny
v kilometrech.
238
5 Ve zvolené soustavě souřadnic byla zjištěna poloha letadla nejprve
v místě A[5; 1; 1] a pak za 5 minut v místě B[0; −4; 1]. Jednotce délky
v soustavě souřadnic odpovídá ve skutečnosti vzdálenost 10 km. Le
tadlo letí rovnoměrným přímočarým pohybem a je sledováno z řídicí
věže, která je v počátku soustavy souřadnic. Vypočítejte rychlost v le
tadla v km/h a určete souřadnice místa X, ve kterém byla vzdálenost d
letadla od řídicí věže nejmenší, a vypočtěte ji.
1. B′[−1; 1; 8] 2. ϕ = 45◦ 3. 4
√
3; 2
√
3 4. X[2; 4]; d = 8 km 5. v
.
= 849 km/h;
X[2; −2; 1]; d = 30 km
Cvičení 238
1 Dokažte, že rovnice x2
−y2
−6x+2y−1 = 0 je analytickým vyjádřením
hyperboly. Napište rovnici její tečny v bodě T [8; 5] a vypočtěte obsah S
trojúhelníku, který je určen touto tečnou a asymptotami hyperboly.
2 V soustavě souřadnic v rovině jsou dány body A[1; 0], B[−1; 0]. Do
kažte, že množinou všech bodů X, které mají od bodů A, B daný
poměr vzdáleností |AX| : |BX| = λ, kde λ > 0, λ = 1, je kružnice se
středem na přímce AB (tzv. Apolloniova kružnice). Určete její střed S
a poloměr r.
3 Úsečka pevné délky d se pohybuje tak, že její krajní body P, Q pro
bíhají dvě navzájem kolmé přímky p, q. Určete množinu všech bodů,
které přitom probíhá daný vnitřní bod R úsečky PQ.
239
4 Parabole o rovnici y2
= 4ax, a > 0, je vepsán rovnostranný trojúhelník
tak, že jeho vrchol A splývá s vrcholem paraboly a strana BC je kolmá
k ose x. Určete:
a) souřadnice vrcholů tohoto trojúhelníku,
b) délku strany a obsah trojúhelníku.
5 Určete obecnou rovnici přímky, na níž leží tětiva hyperboly o rovnici
x2
− y2
= 1, která je půlena bodem A[−2; 1].
1. hyperbola:
(x−3)2
9
−
(y−1)2
9
= 1; tečna: 5x − 4y − 20 = 0; S = 9 2. S[ 1+λ2
1−λ2 ; 0],
r = 2λ
|1−λ2|
3. Návod. Označte a = |RQ|, b = |RP | a zvolte soustavu souřadnic tak,
aby přímky p, q splývaly po řadě s osami x, y. Hledanou množinou je pak elipsa
x2
a2 + y2
b2 = 1, která má pro a > b hlavní osu v ose x a pro a < b hlavní osu v ose y;
je-li a = b, je hledanou množinou kružnice x2 + y2 = a2. 4. a) A[0; 0], B[12a; 4a
√
3],
C[12a; −4a
√
3]; b) |AB| = 8a
√
3, S = 48a2
√
3 5. 2x + y + 3 = 0
Cvičení 239
1 Je dán polynom P(x) = x4
− 5x3
+ 2x2
+ 20x − 24.
a) Rozložte polynom P(x) na součin kořenových činitelů.
b) Určete kořeny rovnice P(x) = 0.
c) Na základě rozkladu P(x) načrtněte graf funkce f : y = P(x).
d) Načrtněte graf funkce g: y = |P(x)|.
e) V R řešte graficky rovnici |P(x)| = b s parametrem b ∈ R.
2 Je dána funkce f : y = (x − 1)3
+ 2.
a) Najděte funkci f−1
inverzní k funkci f.
b) Do jedné soustavy souřadnic načrtněte grafy funkcí f, f−1
.
c) V R řešte početně i graficky rovnici f(x) = x + 1.
240
3 Je dána funkce f : y =
2x + 3
x − 1
.
a) Najděte funkci f−1
inverzní k funkci f.
b) Do jedné soustavy souřadnic načrtněte grafy funkcí f, f−1
.
c) Funkci f vyjádřete ve tvaru y =
k
x − m
+ n.
d) V R řešte graficky rovnici |f(x)| = b s parametrem b ∈ R.
4 Je dána funkce f : y =
1
x2 − 10x + 24
.
a) Určete D(f) a napište rovnice asymptot grafu funkce f.
b) Načrtněte graf funkce f a určete H(f).
5 Je dána funkce f : y = 3 − |x − 1| .
a) Určete D(f), H(f) a sestrojte graf funkce f.
b) V R graficky řešte rovnici f(x) = b s parametrem b ∈ R.
1. a) P (x) = (x − 2)2(x + 2)(x − 3); b) −2, 2, 3 2. a) f−1 : y = 3
√
x − 2+ 1; c) x = 0,
x = 1, x = 2 3. a) f−1 : y = x+3
x−2
; b) f : y = 5
x−1
+ 2 4. a) D(f) = R \ {4; 6},
asymptoty: x = 4, x = 6, y = 0; b) H(f) = (−∞; −1 ∪ (0; +∞) 5. a) D(f) = R,
H(f) = R+
0
Cvičení 240
1 Je dána funkce f : y = a · 2x
+ b s parametry a, b ∈ R.
a) Určete a, b tak, aby graf funkce f procházel body A[0; 0], B[1; 1].
V dalších úkolech už počítejte s hodnotami a, b určenými v a).
b) Najděte funkci f−1
inverzní k funkci f.
c) Do jedné soustavy souřadnic načrtněte grafy funkcí f, f−1
.
d) V R řešte graficky nerovnici |f(x)| ≦ |x| + c s parametrem c ∈ R.
e) Načrtněte graf funkce 2|x|
− 3 .
241
2 V R2
řešte soustavu rovnic
log(x + y) + log(x − y) = 2,
log x + log y = 4 log 2 + log 39.
3 Dokažte následující věty o logaritmech:
a) ∀a ∈ R+
: ln a = log a · ln 10
b) log2 π + log4 π < 5
2
4 V soustavě souřadnic v rovině graficky znázorněte množinu všech bodů,
jejichž souřadnice x, y splňují nerovnici
logy(logx y) ≦ 0.
5 V R řešte nerovnici
logx
√
x + 12 < 1.
1. a) a = 1, b = −1; b) y = log2(x + 1) 2. [26; 24] 3. Návod k b). Ekvivalentními
úpravami upravte na nerovnost Ô3 < 25. 5. (0; 1) ∪ (4; +∞)
242
Příprava
k maturitní zkoušce
z matematiky
1 Základy matematické logiky
1 Dokažte, že číslo log 2 je iracionální.
2 Dokažte, že výrok
a) (p ⇒ q′
)′
⇒ (q′
∧ p)′
je tautologie,
b) [(p ∨ q)′
⇒ (p ∧ q)′
]′
je kontradikce.
3 Dokažte, že dané výroky jsou tautologie:
a) (a ∧ b)′
⇔ (a′
∨ b′
) b) (a ∨ b)′
⇔ (a′
∧ b′
)
c) (a ⇒ b)′
⇔ (a ∧ b′
) d) (a ⇔ b)′
⇔ (a ∧ b′
) ∨ (b ∧ a′
)
4 Vysvětlete princip důkazu sporem výroku p ⇒ q a dokažte sporem
větu: ∀n ∈ N: 2 | n2
⇒ 2 | n.
5 Vysvětlete princip přímého důkazu výroku p ⇒ q a proveďte přímý
důkaz věty:
Jestliže čísla (b + c)−1
, (c + a)−1
, (a + b)−1
jsou po sobě jdoucí členy
aritmetické posloupnosti, pak i čísla a2
, b2
, c2
jsou po sobě jdoucí členy
aritmetické posloupnosti.
6 Vysvětlete princip přímého důkazu výroku p a proveďte přímý důkaz
věty: ∀a, b ∈ (1; +∞): loga b + logb a ≧ 2.
7 Vysvětlete princip důkazu sporem výroku p a dokažte sporem větu:
∀x ∈ R+
: x +
1
x
≧ 2.
8 Vysvětlete princip důkazu věty ∀n ∈ N: V (n) matematickou indukcí
a dokažte větu: ∀n ∈ N: 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n2
.
9 Jsou dány výroky:
a) p: ∀a, b ∈ R: a ≦ b ⇒ a2
≦ b2
,
b) q: ∀a, b ∈ R: 0 ≦ a ≦ b ⇒ a2
≦ b2
.
Zapište negace výroků p, q a rozhodněte, které z výroků p, q, ¬p, ¬q
jsou pravdivé.
245
10 Zapište negace následujících výroků:
a) Daná rovnice má nejvýš 2 kořeny.
b) Daná rovnice má aspoň 2 kořeny.
c) Daná rovnice má právě 2 kořeny.
d) Daná rovnice nemá žádný kořen.
9. a) ¬p: ∃a, b ∈ R: a ≦ b ∧ a2 > b2; b) ¬q: ∃a, b ∈ R: 0 ≦ a ≦ b ∧ a2 > b2; pravdivé
jsou ¬p, q 10. a) Daná rovnice má aspoň 3 kořeny. b) Daná rovnice má nejvýš
1 kořen. c) Daná rovnice má nejvýš 1 nebo aspoň 3 kořeny. d) Daná rovnice má aspoň
1 kořen.
2 Základy teorie množin
1 Graficky znázorněte množiny A \ B, B \ A, A ∩ B, A ∪ B, je-li
A = {[x; y] ∈ R2
; x2
≦ 2y}, B = {[x; y] ∈ R2
; x2
+ y − 2x ≦ 1}.
2 Graficky znázorněte množinu A ∩ B ∩ C, je-li
A = {[x; y] ∈ R2
; 4x2
+ 9y2
≦ 36}, B = {[x; y] ∈ R2
; x + y ≧ 1},
C = {[x; y] ∈ R2
; y <
√
x}.
3 Rozhodněte, které z následujících relací jsou zobrazení:
f : x2
+ y2
= 1, g: x2
− 2x + y + 1 = 0,
h: y +
√
x = 0, i: |y| = x.
Poznámka. V úloze máme na mysli zobrazení, u kterých jako obvykle x značí vzor a y
obraz (a ne naopak).
4 Jsou dány intervaly A = a; b , B = (a; b). Určete množiny:
a) P = A ∩ B b) Q = A ∪ B c) U = A \ B d) V = A′
Ê ∪ B′
Ê
246
5 Jsou dány množiny A, B, pro které je |A| = a, |B| = b. Určete:
a) |A ∪ B| b) |A × B| c) |P(A)| d) |P(A × B)|
Poznámka. Zápis |X| značí počet prvků množiny X, zápis P(X) značí potenční množinu
množiny X.
6 Zapište všechny podmnožiny množiny A = {1, 2, 3}. Jak souvisí řešení
této úlohy s polynomem P(x) = (1 + x)3
? Proveďte zobecnění pro
případ, že množina A má n prvků.
7 Pomocí Vennových diagramů ověřte, že pro každé tři množiny platí:
a) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), b) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
8 Zjistěte, zda pro libovolné množiny A, B, C, D platí (A\B)∩(C\D) = ∅.
9 Určete a graficky znázorněte definiční obor D a obor pravdivosti P
následujících výrokových forem:
a) A(x, y):
√
x − y <
√
x + y − 2,
b) B(x, y): log x2
≧ log (1 − y2
).
10 Jsou dány relace: A(x, y): |x| + |y| ≦ 4, B(x, y): x2
+ y2
≧ 1. Sestrojte
graf relace A ∩ B.
3. zobrazení jsou g, h 4. a) P = B; b) Q = A; c) U = {a, b}; d) V = (−∞; a ∪ b; +∞)
5. a) max(a, b) ≦ |A∪B| ≦ a+b; b) ab; c) 2a; d) 2ab 6. ∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3},
{2, 3}, {1, 2, 3} 8. platí 9. a) D = {[x; y] ∈ R2; 2 − x ≦ y ≦ x}, P = {[x; y] ∈ R2 ;
1 < y ≦ x}; b) D = {[x; y] ∈ R2 ; x = 0 ∨ |y| < 1}, P = D ∩ {[x; y] ∈ R2 ; x2 + y2 ≧ 1}
3 Kombinatorika
1 V N řešte:
a) 3
2x
x + 1
= 2
2x + 1
x − 1
, b)
n
2
+
n + 3
n + 1
+
n + 6
2
< 93.
247
2 Dokažte následující věty:
a) ∀n ∈ N:
n
0
+
n
1
+ . . . +
n
n
= 2n
.
b) ∀k, n ∈ N, k < n :
n
k
+
n
k + 1
=
n + 1
k + 1
.
3 Kolik racionálních sčítanců má binomický rozvoj
√
3 + 4
√
5
100
?
4 Který člen binomického rozvoje 2x2
−
3
x
6
neobsahuje x?
5 Jsou dány dvě různé rovnoběžné přímky p a q. Na přímce p je dáno m
různých bodů a na přímce q je dáno n různých bodů. Vypočtěte, kolik
existuje trojúhelníků s vrcholy v těchto bodech.
6 Kolika způsoby si mohou 3 osoby rozdělit bez krájení
a) 5 stejných jablek,
b) 5 stejných jablek a 3 stejné hrušky?
7 Na lavici v tělocvičně se má posadit 6 chlapců, mezi nimiž jsou 2 bratři.
Kolika způsoby lze chlapce na lavici posadit, mají-li bratři sedět vedle
sebe?
8 Na nádraží stojí 1 jídelní vůz, 3 stejné lůžkové vozy a 7 stejných oby
čejných vozů. Vypočtěte, kolika způsoby lze těchto 11 vozů seřadit do
vozové soupravy. Kolik takových souprav má jídelní vůz uprostřed?
9 Kolik existuje lichých přirozených čísel, v jejichž zápisu se vyskytují
pouze číslice 1, 2, 3, 4, a to každá nejvýš jednou?
10 Kolik existuje k-ciferných čísel v číselné soustavě o základu z?
1. a) 4; b) 2, 3, 4 3. 26 4. 5. člen 5. m+n
3
− m
3
− n
3
neboli m
1
n
2
+ n
1
m
2
6. a) 21; b) 210 7. 240 8. 1 320; 120 9. 32 10. (z − 1)zk−1
248
4 Základy pravděpodobnosti a statistiky
1 Házíme 3 mincemi. Určete množinu Ω všech možných výsledků a mno
žiny A, B, které vyjadřují jevy:
A — Aspoň na dvou mincích padl rub.
B — Právě na dvou mincích padl rub.
2 Náhodně vybraný výrobek může být první, druhé nebo třetí jakosti.
Označme jevy: A — vybraný výrobek je první jakosti, B — vybraný
výrobek je druhé jakosti, C — vybraný výrobek je třetí jakosti. Inter
pretujte jevy:
a) A ∪ B b) (A ∪ B)′
c) (A ∪ B) ∩ C
3 Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami padne součet:
a) právě 11, b) aspoň 11,
c) nejvýš 11, d) nejvýš 12?
4 Z číslic 1, 2, 3, 4 vytvoříme všechna trojciferná přirozená čísla, v jejichž
dekadickém zápisu se každá z těchto číslic vyskytuje nejvýše jednou.
Určete pravděpodobnost, že z nich namátkou vybrané číslo je
a) dělitelné čtyřmi, b) dělitelné třemi,
c) dělitelné třemi a zároveň čtyřmi, d) dělitelné třemi nebo čtyřmi.
5 Každý ze dvou hráčů A, B hodí dvěma stejnými mincemi. Padne-li
hráči A více lvů než hráči B, vyhraje hráč A. Jinak vyhraje hráč B.
Vypočtěte pravděpodobnost výhry hráče A.
6 V písemné práci je 10 otázek a u každé z nich se má vybrat jedna ze
3 variant odpovědí, z nichž je právě jedna správná. Jaká je pravděpo
dobnost, že aspoň 8 odpovědí bude vybráno správně, vybíráme-li je
náhodně?
7 Jsou-li A, B nezávislé jevy, pak jsou také nezávislé jevy
a) A, ¬B, b) ¬A, ¬B.
Dokažte.
249
8 Nechť A(a, b, c), G(a, b, c), H(a, b, c) značí po řadě aritmetický, geome
trický a harmonický průměr kladných reálných čísel a, b, c.
a) Vypočtěte A(4, 5, 6), G(4, 5, 6), H(4, 5, 6).
b) Dokažte, že pro každá kladná reálná čísla a, b, c platí: H(a, b, c) ≦
≦ A(a, b, c).
9 Určete aritmetický průměr, modus, medián a směrodatnou odchylku
délky x, jsou-li naměřené hodnoty délek xi a jejich četnosti ni dány
tabulkou:
xi 4,7 4,8 4,9 5,0 5,1 5,2 5,3
ni 4 7 7 13 10 5 4
Sestrojte sloupkový diagram (histogram) a polygon četností pozorova
ného znaku.
Poznámka. K výpočtu požadovaných údajů, zejména směrodatné odchylky, použijte
vhodný kalkulátor.
10 Ověřte, že pro rozptyl s2
x a aritmetický průměr x znaku x s n hodno
tami xi platí:
s2
x =
1
n
n
i=1
(xi − x)2
=
1
n
n
i=1
x2
i − x2
.
1. Ω = {[R, R, R], [R, R, L], [R, L, R], [L, R, R], [L, L, R], [L, R, L], [R, L, L], [L, L, L]};
A = {[R, R, L], [R, L, R], [L, R, R], [R, R, R]}; B = {[R, R, L], [R, L, R], [L, R, R]}
2. a) vybraný výrobek je první nebo druhé jakosti; b) vybraný výrobek je třetí
jakosti; c) jev nemožný 3. a) 1
18
; b) 1
12
; c) 35
36
; d) 1 4. a) 1
4
; b) 1
2
; c) 1
6
;
d) 7
12
5. 5
16
6. 0,003 404 7. Návod. Zřejmě je A ∪ B = B ∪ (A ∩ ¬B), a tedy
P(A ∪ B) = P(B) + P(A ∩ ¬B). 8. A(4, 5, 6) = 5, G(4, 5, 6) = 3
√
120, H(4, 5, 6) = 180
37
9. x = 4,998; Mod(x) = 5,0; Med(x) = 5,0; sx = 0,166
250
5 Elementární teorie čísel
1 Vyhledejte všechna přirozená čísla, která dávají při dělení čísly 16 a 24
zbytek 5?
2 Najděte největší prvočíslo, kterým je dělitelné číslo
a) 2 652, b) 4 812.
3 Určete všechny dvojice [x; y] přirozených čísel, pro něž platí:
a) 3x + 2y = 24, b) 2x + 3y = xy.
4 Určete všechny dvojice [x; y] celých čísel x, y, pro něž platí
x2
(x2
+ 7) = 9y2
.
5 Ověřte platnost vztahu D(a, b) · n(a, b) = ab pro a = 980, b = 1 386.
6 Určete všechny dvojice [x; y] přirozených čísel x, y, pro která platí:
a) D(x, y) = 4 ∧ n(x, y) = 24, b) D(x, y) + 5 = n(x, y).
7 Dokažte následující věty:
a) ∀a, b ∈ N: a | b ∧ b | a ⇒ a = b,
b) ∀a, b, c ∈ N: a | b ∧ b | c ⇒ a | c,
c) ∀a, b, c, m, n ∈ N: a | b ∧ a | c ⇒ a | (mb + nc).
8 Druhá mocnina lichého čísla zmenšená o 1 je dělitelná 8. Dokažte.
9 Součet třetích mocnin libovolných tří po sobě jdoucích sudých přiro
zených čísel je dělitelný 24. Dokažte.
10 Délky stran pravoúhlého trojúhelníku jsou v cm vyjádřeny přiroze
nými čísly. Jedna odvěsna má délku 5 cm. Určete délku druhé odvěsny
a přepony.
251
1. 48k + 5, k ∈ N 2. a) 17; b) 401 3. a) [2; 9], [4; 6], [6; 3]; b) [4; 8], [5; 5], [6; 4],
[9; 3] 4. [3; 4], [3; −4], [−3; 4], [−3; −4], [0; 0] 5. D(a, b) = 14, n(a, b) = 97 020
6. a) [4; 24], [8; 12], [12; 8], [24; 4]; b) [1; 6], [6; 1], [2; 3], [3; 2], [5; 10], [10; 5] 10. 12 cm;
13 cm
6 Číselné obory
1 Určete, pro která čísla a ∈ R je definována mocnina an
, je-li:
a) n ∈ N b) n ∈ Z c) n ∈ Q
2 Pro která a, b ∈ N platí 7 − 2
√
10 =
√
a −
√
b?
3 Daná racionální čísla vyjádřená periodickými desetinnými rozvoji za
pište ve tvaru zlomků v základním tvaru:
a) 0,123 b) −3,07
c) 2,2304 d) −11,6061
4 Na číselné ose znázorněte obrazy čísel:
a)
√
2 +
√
3 b)
√
2 −
√
3
c)
√
2 ·
√
3 d)
√
2 :
√
3
5 Dokažte sporem: 11 +
√
10 < 1 + 11 −
√
10.
6 Dokažte, že mezi každými dvěma racionálními čísly leží aspoň jedno
další racionální číslo.
7 V N řešte rovnici:
0,16 + 0,3
0,3 + 1,16
· x = 10.
252
8 Jsou dána čísla a = 57 + 40
√
2, b = 57 − 40
√
2. Vypočtěte:
a) a − b b) a + b
9 Určete všechny racionální sčítance binomického rozvoje
7
√
7 +
5
√
5
24
.
10 Dané zlomky zapište ve tvaru zlomku
c
10n
, c ∈ Z, n ∈ N, nebo neko
nečným periodickým rozvojem s vyznačenou periodou:
a)
7
8
b)
29
160
c)
5
7
d)
14
270
1. a) a ∈ R; b) a ∈ R\{0}; c) a ∈ R+ 2. a = 5, b = 2 3. a) 37
300
; b) − 304
99
; c) 22 081
9 900
;
d) − 114 901
9 900
7. x = 30 8. a) 10; b) 8
√
2 9. 11. člen, 2 402 538 600 10. a) c = 875,
n = 3; b) c = 18 125, n = 5; c) 0,714 285; d) 0,0518
7 Komplexní čísla
1 V Gaussově rovině sestrojte obrazy všech komplexních čísel z, pro něž
platí:
a) |z| = r, r ∈ R+
, b) |z − z0| = r, r ∈ R+
,
c) 1 < |z − 1 + i| ≦ 2 ∧ |z − 1| ≧ |z + i|.
2 Vypočtěte z10
, jestliže je z =
1 + i
√
3
1 − i
√
3
.
3 Vypočtěte obsah S čtverce ABCD, jehož vrcholy A, B jsou po řadě
obrazy komplexních čísel a = 1 + 4i, b = 3 − 2i.
253
4 Je dán rovnostranný trojúhelník ABC. Těžiště trojúhelníku je obrazem
komplexního čísla z = 0 a vrchol C je obrazem komplexního čísla c = i.
Určete komplexní čísla a, b, která jsou obrazy vrcholů A, B.
5 Řešte v C rovnici x4
− 1 = 0
a) převedením na součinový tvar,
b) jako binomickou rovnici.
Jaká je geometrická interpretace řešení této rovnice?
6 Užitím Moivreovy věty vyjádřete cos 3x, sin 3x pomocí sin x, cos x.
7 V C řešte rovnici 5 −
1
i
· z + 2z = 2i.
8 Nechť Arg(z) značí kteroukoliv z hodnot argumentu nenulového kom
plexního čísla z. Dokažte, že pro libovolná nenulová komplexní čísla u
a v a každé n ∈ N platí:
a) Arg(u · v) = Arg(u) + Arg(v),
b) Arg(un
) = n · Arg(u),
c) Arg
u
v
= Arg(u) − Arg(v).
9 V C řešte rovnice:
a) ix2
+ 3x + 10i = 0
b) x2
+ (2 − i)x + 3 − i = 0
10 Charakterizujte zobrazení v Gaussově rovině, které obrazu komplex
ního čísla z přiřazuje obraz komplexního čísla w:
a) w = z + a, a ∈ C, a = 0;
b) w = k · z, k ∈ R, k = 0, k = 1;
c) w = z.
Ve všech daných zobrazeních zobrazte trojúhelník ABC, jehož vrcholy
jsou po řadě obrazy komplexních čísel 1 + 2t, 2 + t, 3 + 3t, je-li dáno
a = 4 = 2t, k = 2.
254
2. z10 = z 3. S = 40 4. a = −
√
3
2
− 1
2
i, b =
√
3
2
− 1
2
i 5. −1, 1, −i, i
6. cos 3x = cos3 x − 3 cos x sin2 x; sin 3x = 3 cos2 x sin x − sin3 x 7. 1
11
− 7
11
i
9. a) 5i, −2i; b) −1 + 2i, −1 − i 10. a) Posunutí určené vektorem Ç , kde O
je počátek a bod A je obrazem komplexního čísla a; b) stejnolehlost se středem
v počátku; c) osová souměrnost podle reálné osy.
8 Algebraické výrazy
1 Lomený výraz V (x) =
1
x2 + 2x − 3
napište ve tvaru součtu dvou zlom
ků, jejichž čitatelé jsou celá čísla a jmenovatelé lineární dvojčleny (tzv.
rozklad na parciální zlomky), a uveďte příklad užití takového rozkladu.
2 Určete definiční obor D ⊂ R daného výrazu a výraz upravte:
V (x) =
x3
+ x2
+ x + 1
x4 − 1
.
3 V množině R proveďte rozklad daných polynomů na součin lineárních,
nejvýše kvadratických činitelů:
a) P(x) = x4
− 5x2
+ 4 b) Q(x) = x3
+ 6x2
+ 11x + 6
c) R(x) = x4
+ x3
+ x + 1 d) S(x) = x6
− 1
4 Je dán polynom P(x) = 2x3
− 3x2
− 11x + c. Určete hodnotu para
metru c tak, aby dělení (2x3
− 3x2
− 11x + c) : (x + 2) vyšlo beze
zbytku.
5 Vypočtěte: lim
x→1
x3
− 2x2
− x + 2
x3 + 2x2 − x − 2
.
255
6 Určete definiční obor daného výrazu a výraz zjednodušte:
V (a, b) =
√
a3 −
√
b3
√
a −
√
b
+
√
ab ·
√
a −
√
b
a − b
.
7 Dokažte, že platí a +
√
b =
a + r
2
+
a − r
2
, kde r =
√
a2 − b,
a, b ∈ N, a2
≧ b. Na základě výše uvedeného vztahu zjednodušte výraz
6 + 2
√
5.
8 Vypočtěte
3x + 5
(x + 3)(x + 1)
dx.
9 Určete definiční obor D výrazu V (x) =
x − 3
2x + 1
.
10 Určete nejmenší hodnotu výrazu W(x, y, z) = 2x3
+ y3
+ z3
, splňují-li
reálná čísla x, y, z podmínky x + y = 2 a x + z = 1.
1. V (x) = 1
4(x−1)
− 1
4(x+3)
2. D = R\{−1; 1}, V (x) = 1
x−1
3. a) P (x) = (x+1) ×
× (x−1)(x+2)(x−2); b) Q(x) = (x+1)(x+2)(x+3); c) R(x) = (x+1)(x+1)(x2 −x+1);
d) S(x) = (x + 1)(x − 1)(x2 + x + 1)(x2 − x + 1) 4. c = 6 5. − 1
3
6. V (a, b) =
=
√
a +
√
b, a = b, a ≧ 0, b ≧ 0 7.
√
5 + 1 8. 2 ln |x + 3| + ln |x + 1| + C
9. D = −∞; − 1
2
∪ 3; +∞) 10. 11
4
9 Algebraické rovnice
1 Pro které hodnoty parametru q ∈ R má rovnice x2
− 2x + q = 0 v R
a) právě dvě řešení, b) právě jedno řešení?
c) Pro které hodnoty parametru q nemá daná rovnice řešení?
256
2 Jsou-li x1, x2 kořeny rovnice ax2
+ bx + a = 0, a = 0, pak x1 · x2 = 1.
Dokažte.
3 V R řešte početně i graficky rovnice s parametrem b ∈ R:
a) 4 − |x + 1| = b b) |x − 2| = bx
4 V R řešte rovnice:
a) x5
− 2x4
− x + 2 = 0 b) 3x4
− 10x3
+ 10x − 3 = 0
c) x4
− 5x2
+ 4 = 0 d) x3
− 4x2
+ x + 6 = 0
5 Rovnice x3
− 6x2
+ ax + b = 0 má kořeny x1 = 1, x2 = 2. Určete
koeficienty a, b a kořen x3.
6 V R2
řešte početně i graficky soustavy rovnic:
a) y = x2
− 3, |x| + |y| = 3 b) xy = 3, |x| + |y| = 4
c) x2
+ y2
= 10, |x| + |y| = 4 d) x2
+ 3y2
= 4, |x| + |y| = 2
7 V R řešte rovnice:
a) 3 −
√
x − 1 =
√
3x − 2 b) x +
√
10x + 6 = 9
8 V C řešte rovnice:
a) x2
− 4x + 13 = 0 b) x3
− x2
− x − 2 = 0
9 V R3
řešte soustavu rovnic:
a) x − 2y + 3z = 2 b) x − 3y + 2z = 1
2x − 3y + 7z = 7 2x + y − 4z = 5
3x − 4y + 5z = 6 5x − 8y + 2z = 8
10 Vypočtěte délky stran pravoúhlého trojúhelníku ABC, víte-li, že jsou
vyjádřeny přirozenými čísly a že číselné hodnoty obvodu a obsahu troj
úhelníku jsou stejné.
257
1. a) q ∈ (−∞; 1); b) q = 1; c) q ∈ (1; +∞) 3. a) b < 4 ⇒ K = {3 − b, b − 5};
b = 4 ⇒ K = {−1}; b > 4 ⇒ K = ∅; b) b ∈ (−∞; −1) ⇒ K = { 2
b+1
};
b ∈ −1; 0) ⇒ K = ∅; b = 0 ⇒ K = {2}; b ∈ (0; 1) ⇒ K = { 2
1−b
; 2
1+b
};
b ∈ 1; +∞) ⇒ K = { 2
b+1
} 4. a) −1, 1, 2; b) −1, 1
3
, 1, 3; c) −2, −1, 1, 2; d) −1, 2, 3
5. a = 11, b = −6, x3 = 3 6. a) [0; −3], [1; −2], [2; 1], [−1; −2], [−2; 1]; b) [1; 3], [3; 1],
[−1; −3], [−3; −1]; c) [1; 3], [3; 1], [−1; −3], [−3; −1], [1; −3], [3; −1], [−1; 3], [−3; 1];
d) [1; 1], [1; −1], [−1; 1], [−1; −1], [2; 0], [−2; 0] 7. a) 2; b) 3 8. a) 2+ 3i, 2− 3i; b) 2,
− 1
2
+
√
3
2
i, − 1
2
−
√
3
2
i 9. a) K = {[3; 2; 1]}; b) K = 10t
7
+ 16
7
; 8t
7
+ 3
7
; t , t ∈ R
10. a = 8 cm, b = 6 cm, c = 10 cm; a = 5 cm, b = 12 cm, c = 13 cm
10 Algebraické nerovnice
1 V R řešte nerovnice:
a) x3
+ x2
− 12x ≧ 0 b)
4x − x2
x + 7
≦ 0
c) (x + 1)(x − 3)2
> 0 d)
x + 1
5 − x2
> 0
2 V R řešte nerovnice:
a) x3
− 7x + 6 > 0 b) x3
+ x − 10 < 0
3 V R řešte početně i graficky nerovnice:
a)
√
x + 7 > 2x − 1 b)
√
x + 3 +
√
x + 15 < 6
4 V R řešte početně i graficky nerovnice:
a) |x2
− 2x − 3| < x + 1 b) |2x − 3| ≧ |3x − 2|
5 V R řešte nerovnice:
a)
|x| + 1
x − 1
> 3 b)
x + 1
x − 1
> 3
258
6 V R řešte nerovnice:
a)
2 −
√
x + 2
1 −
√
x + 2
≦ 0 b)
√
x + 3 −
√
x − 1 >
√
2x − 1
7 V R řešte nerovnice:
a) x4
− 5x2
+ 6 > 0 b)
√
x − 1 > 1 + 3
√
x − 2
8 Pro které hodnoty parametru a ∈ R je soustava nerovnic
−3 <
x2
+ ax − 2
x2 − x + 1
< 2
splněna pro všechna x ∈ R?
9 Určete definiční obory funkcí:
a) f : y =
√
2x2 − x + 1 b) g: y =
3
log
2x + 1
4 − x
10 V R2
řešte graficky soustavu nerovnic:
x + 2y < 1
x − y ≧ −1
2x − 4y < −1
1. a) −4; 0 ∪ 3; +∞); b) (−1; 3) ∪ (3; +∞); c) (−7; 0 ∪ 4; +∞); d) −∞; −
√
5 ∪
∪ −1;
√
5 2. a) (−3; 1)∪(2; +∞); b) (−∞; 2) 3. a) −7; 2); b) −3; 1) 4. a) (2; 4);
b) −1; 1 5. a) (1; 2); b) 1
2
; 1 ∪(1; 2) 6. a) (−1; 2 ; b) 1; 3
2
7. a) (−∞; −
√
3)∪
∪ (−
√
2;
√
2) ∪ (
√
3; +∞); b) (1; 2) ∪ (10; +∞) 8. a ∈ (−1; 2) 9. a) D(f) = R;
b) D(g) = − 1
2
; 1 ∪ (1; 4)
259
11 Základy planimetrie
1 Dokažte následující věty:
a) Pro každé tři přímky p, q, r v rovině platí p⊥q ∧ q⊥r ⇒ p r.
b) Daným bodem lze vést k dané přímce jedinou kolmici.
2 Které geometrické útvary mohou vzniknout jako průnik dvou obdélní
ků?
3 V rovině jsou dány přímky a, b, c, které nemají společný bod. Na ob
rázku vyznačte dvojice úhlů vedlejších, vrcholových, střídavých a sou
hlasných. Dokažte, že osy dvou vedlejších úhlů jsou navzájem kolmé
polopřímky.
4 Přímka o je osou úsečky AB. Bod X je libovolný vnitřní bod polorovi
ny oA. Dokažte, že |AX| < |BX|.
5 Sestrojte všechny body v rovině, z nichž je vidět danou úsečku AB
pod daným úhlem α.
6 Vyslovte a dokažte Eukleidovu větu o výšce a Eukleidovu větu o od
věsně.
7 Jsou dány úsečky délek a, b. Sestrojte úsečky, které mají délky
a) a
√
2 + b
√
3, b)
2ab
a + b
, c)
√
ab, d)
√
a2 + b2.
8 V rovině jsou dána shodná zobrazení Á — identita, Ë — středová souměrnost,
Ç — osová souměrnost, Ê — rotace (otočení), Ì — translace
(posunutí). V každém z těchto zobrazení zobrazte bod, přímku a kruž
nici. Charakterizujte daná zobrazení podle počtu samodružných bodů.
9 Jsou dány středové souměrnosti Ë1, Ë2 se středy S1, S2. Určete zobra
zení = Ë2 ◦ Ë1, je-li dáno:
a) S1 = S2, b) S1 = S2.
260
10 Je dán rovnostranný trojúhelník ABC s těžištěm T a délkou strany
a cm. Sestrojte trojúhelník A′
B′
C′
, který je obrazem trojúhelníku
ABC v rotaci (otočení) Ê(T, 1
3 π). Charakterizujte útvar M = △ABC∩
∩ △A′
B′
C′
a vypočtěte jeho obsah SÅ.
2. Množina prázdná, bod, úsečka, trojúhelník, čtyřúhelník, pětiúhelník, šestiúhelník,
sedmiúhelník, osmiúhelník 9. a) identita; b) posunutí 10. M je pravidelný
šestiúhelník, SÅ = 1
6
√
3a2 cm2
12 Trojúhelník a mnohoúhelníky
1 Dokažte, že pro každý pravoúhlý trojúhelník ABC s odvěsnami délek
a, b a přeponou délky c platí:
̺ =
a + b − c
2
2 K danému pravoúhlému trojúhelníku ABC s odvěsnami délek a, b
sestrojte čtverec a rovnostranný trojúhelník stejného obsahu.
3 Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno:
a) c, vc, γ, b) ta, tb, tc, c) b, vc, ̺, d) a, tc, γ = 1
2 π.
4 Trojúhelník ABC rozdělte na dvě části stejného obsahu přímkou p
a) rovnoběžnou se stranou AB, b) kolmou ke straně AB.
5 Sestrojte kosočtverec ABCD, je-li dána délka u jedné jeho úhlopříčky
a poloměr r kružnice kosočtverci vepsané.
6 Obsah kruhu je třikrát větší než obsah obdélníku, který je danému
kruhu vepsán. Vypočtěte poměr stran a : b tohoto obdélníku.
261
7 Sestrojte lichoběžník ABCD, AB CD, je-li dáno:
a) a + c, b, d, v, b) a, c, α, β, a > c.
8 Dokažte, že středy stran libovolného konvexního čtyřúhelníku jsou vr
choly rovnoběžníku, jehož obsah je polovinou obsahu čtyřúhelníku.
9 V pravidelném n-úhelníku je velikost vnitřního úhlu α = 108◦
a po
loměr kružnice vepsané ̺ = 5 cm. Určete číslo n a vypočtěte obsah S
tohoto n-úhelníku.
10 Vyjádřete obvod o a obsah S pravidelného n-úhelníku pomocí
a) poloměru ̺ kružnice vepsané, b) poloměru r kružnice opsané,
c) délky a jeho strany.
6. a : b =
6−
√
36−Ô2
Ô 9. n = 5; S
.
= 90,8 cm2 10. a) o(̺) = 2n̺ tg Ô
n
, S(̺) =
= n̺2 tg Ô
n
; b) o(r) = 2nr sin Ô
n
, S(r) = 1
2
nr2 sin 2Ô
n
; c) o(a) = na, S(a) = 1
4
na2 cotg Ô
n
13 Kružnice, kruh
1 Pravidelnému šestiúhelníku je vepsána a opsána kružnice. Obsah od
povídajícího mezikruží je 4π. Vypočtěte obsah šestiúhelníku.
2 Vypočtěte vzdálenost dvou rovnoběžných tětiv délek 5 cm a 8 cm
v kružnici k(S; 5 cm).
3 Vypočtěte poloměr r největšího kruhu, který lze vyříznout z kusu ple
chu tvaru čtvrtkruhu o poloměru R.
4 Daný kruh K(S; r) rozdělte dvěma soustřednými kružnicemi k1(S; r1),
k2(S; r2), r1 < r2 < r, na tři části stejného obsahu.
262
5 Jsou dány poloměry r, ̺ opsané a vepsané kružnice v pravoúhlém troj
úhelníku. Vyjádřete vzdálenost jejich středů jenom pomocí čísel r, ̺.
6 Tětiva kružnice o poloměru r dělí průměr k ní kolmý v daném poměru
m : n, m > n. Vypočítejte délku tětivy.
7 Je dána kružnice k(S; r) a bod M, |SM| > r. Bodem M jsou vedeny
dvě různé sečny, které vytínají na kružnici k tětivy AB a A′
B′
. Do
kažte, že platí |MA| · |MB| = |MA′
| · |MB′
|.
8 Jsou dány dvě kružnice k1(S1, r1), k2(S2, r2), r1 = r2, |S1S2| > r1 +r2.
Sestrojte společné tečny obou kružnic.
9 Sestrojte kružnici, která se dotýká dané kružnice m(O, r) a dané
přímky p v daném bodě T ∈ p. (Úloha Pappova)
10 V rovině jsou dány kružnice k1(S1, r1), k2(S2, r2), r1 ≧ r2, |S1S2| =
= r1+r2 a jejich vnější společná tečna t. Vypočtěte poloměr r3 kružnice
k3(S3, r3), která se dotýká kružnic k1, k2 a přímky t.
1. 24
√
3 2. 5
√
3
2
+ 3 cm nebo 5
√
3
2
− 3 cm 3. r = R(
√
2 − 1) 4. r1 =
= 1
3
r
√
3, r2 = 1
3
r
√
6 5. Výsledek: x = r2 − 2r̺. Návod. Nejprve ukažte, že
(a − ̺) + (b − ̺) = c = 2r a ab = (a + b + 2r)̺. 6. 4r
√
mn
m+n
10. r3 = r1r2
(
√
r1+
√
r2)2
14 Trigonometrie
1 Dokažte, že pro obsah pravoúhlého trojúhelníku platí S = xy, kde
x, y jsou velikosti úseků na přeponě určené bodem dotyku kružnice
trojúhelníku vepsané.
263
2 Charakterizujte trojúhelníky ABC, ve kterých platí:
a) c2
= a2
+ b2
+ ab b) c2
= a2
+ b2
− ab
c) sin α + cos α = sin β + cos β d) sin α · cos α = sin β · cos β
3 Určete obsah Sm mezikruží omezeného kružnicí vepsanou a opsanou
pravidelnému n-úhelníku, který má obsah S.
4 Jsou-li a, b délky odvěsen a c délka přepony pravoúhlého trojúhelníku,
potom platí a + b ≦ c
√
2. Dokažte.
5 Nepřístupný bod C v rovině byl zaměřen ze dvou stanovišť A, B, jejichž
vzdálenost je c, pod úhly α, β. Vypočtěte vzdálenosti bodu C od obou
stanovišť.
6 Z okna, které se nachází 8 m nad zemí, je vidět vrchol věže pod výško
vým úhlem 60◦
, patu věže pod hloubkovým úhlem 30◦
. Určete výšku
věže.
7 Osa úhlu dělí protější stranu trojúhelníku v poměru zbývajících stran.
Dokažte.
8 Určete vzdálenost dvou nepřístupných bodů C, D, jestliže je známa
vzdálenost d dvou přístupných bodů A, B a |¡CBA| = α, |¡DAB| =
= β, |¡DBA| = γ, |¡CAB| = δ.
Poznámka. V úloze 8 předpokládáme, že body A, B, C, D tvoří vrcholy konvexního
čtyřúhelníku ABCD.
9 Tři síly, jejichž velikosti jsou v poměru 4 : 7 : 9, působí v rovině v témž
bodě tak, že jsou v rovnováze. Určete velikosti úhlů, které tyto síly
svírají.
10 Ve čtverci ABCD, |AB| = a, leží na úhlopříčce AC bod X tak, že
|AX| = 2|CX|. Určete obsah trojúhelníku ABX a dokažte, že pro
jeho úhly platí: tg α = 1, tg β = 2, tg γ = 3.
264
2. a) γ = 120◦; b) γ = 60◦; c) α = β ∨ α + β = 1
2
Ô; d) α = β ∨ α + β = 1
2
Ô
3. Sm = 1
n
ÔS tg Ô
n
4. Návod. Je-li a > b a je-li α velikost úhlu proti odvěsně a,
pak je a + b = c sin α + c sin(90◦ − α). 5. |CA| = c sin β
sin(α+β)
, |CB| = c sin α
sin(α+β)
6. 32 m 8. d · sin2 γ
sin2(β+γ)
+ sin2 α
sin2(α+δ)
− 2 sin α sin γ cos(β−δ)
sin(β+γ) sin(α+δ)
9. přibližně 73,4◦;
154,8◦; 131,8◦ 10. S = 1
3
a2
15 Základy stereometrie
1 Jakou vzájemnou polohu mohou mít tři různé roviny v prostoru? Pro
veďte příslušné náčrtky a podejte algebraickou interpretaci.
2 Je dána krychle ABCDEFGH a body K, L, M. Bod K leží na přímce
DH tak, že bod H je střed úsečky DK. Bod L leží na přímce AB tak,
že bod B je střed úsečky AL, bod M je střed hrany AE. Zobrazte
a) průsečíky přímky KL s povrchem krychle,
b) řez krychle rovinou KLM.
3 Zobrazte řez krychle ABCDEFGH rovinou ̺ = ↔PQR, kde
a) P je střed hrany AE, Q je střed hrany AB, R je bodem hrany CG,
|CR| : |RG| = 2 : 1;
b) P je střed hrany AH, Q je střed hrany AB, R je střed hrany CG.
4 Zobrazte řez pravidelného čtyřbokého jehlanu ABCDV rovinou ̺,
která prochází body P, Q, R, kde P je středem hrany AV , Q je
bodem hrany BV , |BV | : |QV | = 1 : 5, R je bodem hrany CV ,
|CR| : |RV | = 1 : 3.
5 Je dána krychle ABCDEFGH. Určete pravoúhlé průměty
a) bodu B do rovin ADH, ACG, CDE, EDG,
b) přímky DF do rovin ABC, ADH, ACG, DEG.
265
6 V krychli ABCDEFGH vypočtěte odchylku ϕ
a) tělesových úhlopříček, b) přímky BH od roviny ABC,
c) rovin ACF a ABC, d) přímek AC a BG.
7 Nechť ϕ je odchylka boční hrany a ψ odchylka boční stěny pravidelného
trojbokého jehlanu ABCV od roviny podstavy ABC. Dokažte, že platí
tg ψ = 2 tg ϕ.
8 Označme α, β, γ velikosti úhlů, které svírá tělesová úhlopříčka kvádru
se stěnami, jež procházejí jedním z vrcholů. Dokažte, že platí:
a) sin2
α + sin2
β + sin2
γ = 1,
b) cos2
α + cos2
β + cos2
γ = 2.
9 V pravidelném čtyřstěnu ABCD s hranou délky a vypočtěte:
a) vzdálenost bodu D od roviny ABC,
b) vzdálenost přímek AB a CD.
10 V pravidelném čtyřbokém jehlanu ABCDV vypočtěte vzdálenost vr
cholu A od přímky V C, je-li |AB| = a, |AV | = b.
1. celkem 5 poloh; 1. každé dvě rovnoběžné, 2. dvě rovnoběžné, třetí s nimi různoběžná;
3. každé dvě různoběžné, společná přímka; 4. každé dvě různoběžné, společný bod;
5. každé dvě různoběžné, nemají společný bod 6. a) cos ϕ = 1
3
; b) tg ϕ =
√
2
2
;
c) tg ϕ =
√
2; d) ϕ = 1
3
Ô 9. a) a
√
6
3
; b) a
√
2
2
10. a
b
√
2b2 − a2
16 Mnohostěny a rotační tělesa
1 Hranou krychle veďte rovinný řez tak, aby objemy obou částí krychle
byly v daném poměru m : n, m > n.
266
2 Charakterizujte následující mnohostěny: tetraedr, hexaedr, oktaedr,
dodekaedr, ikosaedr. Vyjádřete povrch S a objem V tetraedru a okta
edru pomocí délky a jejich hran.
3 Objem komolého jehlanu, který má výšku v a jehož podstavy mají ob
sahy S1 a S2, určíme podle vzorce V = 1
3 v(S1 +
√
S1S2 +S2). Dokažte.
4 Určete objem a povrch pravidelného trojbokého jehlanu, znáte-li délku
a podstavné hrany a odchylku ϕ boční hrany a roviny podstavy.
5 Pravidelný šestiboký hranol je dán svými tělesovými úhlopříčkami
u1 = 12 cm a u2 = 13 cm. Vypočtěte povrch S a objem V hranolu.
6 Určete poměr povrchů a objemů rovnostranného válce a rovnostran
ného kužele, které jsou:
a) vepsány kouli s poloměrem r,
b) opsány kouli s poloměrem r.
Poznámka. Rovnostranný válec je válec, jehož osovým řezem je čtverec. Rovnostranný
kužel je kužel, jehož osovým řezem je rovnostranný trojúhelník.
7 Užitím určitého integrálu odvoďte vzorec pro objem:
a) koule, b) rotačního kužele, c) komolého rotačního kužele.
8 Z jaké výše vidí letec část povrchu Země o rozloze 200 000 km2
?
9 Dutá koule má vnější průměr d. Určete tloušťku x její stěny, která je
z kovu o hmotnosti m a hustotě ̺. Řešte obecně a potom pro hodnoty
d = 40 cm, m = 25 kg, ̺ = 8,45 g/cm3
.
10 Tři koule o poloměrech r1, r2, r3 byly slity v jedinou kouli. Vypočtěte
její poloměr r a porovnejte povrch této koule se součtem povrchů pů
vodních koulí. Zobecněte pro n koulí s poloměry r1, r2, . . . , rn.
267
1. x = 2an
m+n
, a je délka hrany krychle, x = |BQ|, Q ∈ AB 2. tetraedr V =
= 1
12
√
2a3, S =
√
3a2, oktaedr V = 1
3
√
2a3, S = 2
√
3a2 4. V = 1
12
a3 tg ϕ,
S = 1
4
√
3a2 + 1
4
√
3a2 4 tg2 ϕ + 1 5. V = 225
2
√
23 cm3, S = (75
√
3 + 30
√
69) cm2
6. a) VV : VK = 4
√
2 : 3, SV : SK = 4 : 3; b) VV : VK = 2 : 3, SV : SK = 2 : 3
7. a) V = 4
3
Ôr3; b) V = 1
3
Ôr2v; c) V = 1
3
Ôv(r2
1 + r1r2 + r2
2) 8. přibližně 4,995 km
9. x = d
2
− 3 d3
8
− 3m
4Ô̺
, x
.
= 0,6 cm 10. r = 3
r3
1 + r3
2 + r3
3, povrch nové koule je
menší
17 Základy vektorové algebry
1 V krychli ABCDEFGH je Ù = B − A, Ú = D − A, Û = E − A.
Pomocí vektorů Ù, Ú, Û vyjádřete vektor Þ = S − C, kde S je střed
stěny ADHE.
2 V trojúhelníku ABC s těžištěm T je = B −A, = C −A. Vyjádřete
postupně vektory Ù = A − T , Ú = B − T , Û = C − T jako lineární
kombinaci vektorů , a vypočtěte Ù + Ú + Û.
3 Rozhodněte, zda vektor Û je lineární kombinací vektorů Ù, Ú, je-li dá
no: Û = (−1; 1; 2), Ù = (1; 5; 2), Ú = (1; 2; 0). Výsledek interpretujte
geometricky.
4 Určete vektor Ú, který je kolmý k vektoru Ù = (5; 12) a má velikost
|Ú| = 4.
5 Pomocí skalárního součinu vektorů rozhodněte, zda jsou tělesové úh
lopříčky krychle navzájem kolmé.
6 Pro jednotkové vektory Ù, Ú, Û platí Ù + Ú + Û = Ó. Určete číslo
M = Ù · Ú + Ù · Û + Ú · Û.
268
7 Pomocí vektorového součinu vypočtěte obsah S trojúhelníku ABC,
je-li A[2; 1], B[3; 4], C[1; 6].
8 Jsou dány body A[−2; 1; 4], B[−1; 0; −1], C[−4; −1; 6], D[−2; −2; −5].
Dokažte, že neleží v jedné rovině, a vypočtěte objem V čtyřstěnu
ABCD.
9 Pro vzdálenost bodu X od přímky p v prostoru, která je dána jedním
svým bodem P a směrovým vektorem Ù, platí
|Xp| =
|È × Ù|
|Ù|
.
Ověřte platnost vzorce pro výpočet vzdálenosti bodu X[2; −3; 1] od
přímky p: x = 3 + 2t, y = −3 + 3t, z = 3 + 6t, t ∈ R.
10 Pro vzdálenost mimoběžných přímek p(A, Ù) a q(B, Ú) platí:
|p, q| =
|(Ù × Ú) · Û|
|Ù × Ú|
=
|Ù · (Ú × Û)|
|Ù × Ú|
,
kde Û je vektor určený dvěma libovolnými body E ∈ p a F ∈ q. Ověřte
platnost vzorce pro výpočet vzdálenosti mimoběžných přímek p, q, je-li
dáno: A[2; −2; 0], B[2; 3; −1], Ù = (1; −1; 0), Ú = (0; 1; −2).
1. Þ = −Ù − 1
2
Ú + 1
2
Û 2. Ù = − 1
3
− 1
3
, Ú = 2
3
− 1
3
, Û = 2
3
− 1
3
, Ù + Ú + Û = Ó
3. ano, Û = Ù − 2Ú, dané vektory leží v jedné rovině 4. Ú = 48
13
; − 20
13
, nebo
Ú = − 48
13
; 20
13
5. pro jejich odchylku ϕ platí cos ϕ = 1
3
, nejsou kolmé 6. M = −1,5
7. S = 4 8. V = 2 9. 1 10. 3
269
18 Analytická geometrie lineárních útvarů v rovině
1 Je dána přímka p: y = k1x + q1 a přímka q: y = k2x + q2. Dokažte, že
platí
p ⊥ q ⇔ k1 · k2 = −1.
2 Jsou dány body A[2; 0], B[4; 4], C[−2; 2]. Určete střed S a rovnici kruž
nice opsané trojúhelníku ABC.
3 Je dán trojúhelník ABC, kde A[4; −2], B[2; 8], C[−3; 0]. Určete
a) parametrické rovnice přímky, na níž leží těžnice ta,
b) parametrické rovnice přímky, na níž leží výška va,
c) délku výšky va.
4 Dokažte, že pro vzdálenost d dvou rovnoběžných přímek ax+by+c = 0,
ax + by + c′
= 0 platí:
d =
|c − c′
|
√
a2 + b2
.
5 Bodem A[−2; 2] prochází přímka p a bodem B[6; 8] přímka q tak, že
tyto přímky jsou navzájem kolmé a jejich průsečík Q leží na ose x.
Určete přímky p, q jejich rovnicemi ve směrnicovém tvaru.
6 Dokažte, že přímka o rovnici 2x + y + 1 = 0 odděluje body A[−2; 1],
B[1; 4] a určete nerovnici poloroviny s hraniční přímkou 2x+y +1 = 0
a vnitřním bodem B.
7 V rovnici přímky 3x + by − 1 = 0 stanovte parametr b tak, aby
a) přímka procházela bodem Q[2; 2],
b) přímka byla rovnoběžná s osou y,
c) směrový úhel této přímky měl velikost 1
6 π.
8 Najděte obecnou rovnici přímky q, která prochází bodem Q[−3; 0] a má
od přímky p:
√
3x + 3y + 5 = 0 odchylku 60◦
.
270
9 Dokažte, že pro vzdálenost d bodu Q[x0; y0] od přímky ax+by +c = 0
platí
d =
|ax0 + by0 + c|
√
a2 + b2
.
10 Vypočtěte obsah S čtverce, jehož rovnoběžné strany leží na přímkách
určených rovnicemi 4x − 3y + 9 = 0 a −4x + 3y + 6 = 0.
2. S[1; 3], x2 + y2 − 2x − 6y = 0 3. a) x = 4 − 3t, y = −2 + 4t; t ∈ R; b) x = 4 + 8t,
y = −2 − 5t; t ∈ R; c) va = 66
√
89
89
5. p: x + 2y − 2 = 0, q : 2x − y − 4 = 0, Q[2; 0]
6. 2x + y + 1 ≧ 0 7. a) b = − 5
2
; b) b = 0; c) b = −3
√
3 8. q je jedna z přímek
o rovnici x = −3, x −
√
3y + 3 = 0 10. S = 9
19 Analytická geometrie kvadratických útvarů v rovině
1 Dokažte, že body A[3; −6], B[1; 0], C[5; −2] neleží v přímce a napište
rovnici kružnice, která jimi prochází. Určete její základní charakteris
tiky a kružnici načrtněte.
2 Stanovte podmínky pro parametry a, b, c ∈ R, aby rovnice
x2
+ y2
+ ax + by + c = 0
byla rovnicí kružnice. Určete její střed a poloměr.
3 Vyšetřete množinu všech bodů v rovině, které mají od bodu A[−3; 6]
dvakrát větší vzdálenost než od počátku soustavy souřadnic.
4 Určete základní charakteristiky kuželosečky dané rovnicí
9x2
+ 16y2
+ 36x − 32y − 92 = 0
a pak ji načrtněte.
271
5 Elipse dané rovnicí x2
+ 3y2
= 36 vepište čtverec a vypočtěte souřad
nice jeho vrcholů a délku jeho strany.
6 Určete základní charakteristiky kuželosečky dané rovnicí
y2
− 3x − 2y + 7 = 0
a pak ji načrtněte.
7 Určete základní charakteristiky V , p, d, F paraboly dané rovnicí y =
= ax2
+ bx + c, a = 0.
8 Napište rovnici paraboly s ohniskem F[0; 0] a řídicí přímkou o rovnici
x + y + 1 = 0. Parabolu načrtněte.
9 Určete souřadnice středu, poloosy, exentricitu, ohniska a rovnice asym
ptot hyperboly dané rovnicí
x2
− y2
− 1 = 0.
10 Dokažte, že hyperbola o rovnici xy = c, c = 0, kde číslo c je nenulový
parametr, má ve svém bodě T [x0; y0] tečnu, která má rovnici y0x +
+ x0y = 2c. Vyjádřete obsah S trojúhelníku, který je vymezen tečnou
procházející bodem T [x0; y0] a souřadnicovými osami.
1. (x − 2)2 + (y + 3)2 = 10; S[2; −3]; r =
√
10 2. a2 + b2 − 4c > 0; S[− a
2
; − b
2
];
r =
√
a2 + b2 − 4c 3. kružnice (x − 1)2 + (y + 2)2 = 20 4. elipsa, a = 4, b = 3,
e =
√
7, S[−2; 1] 5. A[−3; −3], B[3; −3], C[3; 3], D[−3; 3], a = 6 6. parabola, hlavní
osa rovnoběžná s osou x, V [2; 1], p = 3
2
, F 11
4
; 1 , d: x = 5
4
7. V [− b
2a
; 4ac−b2
4a
],
p = 1
2a
, d: y = 4ac−b2−1
4a
, F [− b
2a
; 4ac−b2+1
4a
] 8. x2 + y2 − 2xy − 2x − 2y − 1 = 0
9. S[0; 0], a = b = 1, e =
√
2, F [
√
2; 0], G[−
√
2; 0], y = x, y = −x 10. S = 2|c|
272
20 Analytická geometrie lineárních útvarů v prostoru
1 Jsou dány body A[1; 0; 1], B[2; 2; 1], C[4; 6; −2]. Dokažte, že body A,
B, C nejsou kolineární a napište obecnou rovnici roviny ABC.
2 Dokažte, že tělesová úhlopříčka CE krychle ABCDEFGH protíná
rovinu AFH v bodě M, který dělí úsečku CE v poměru 2 : 1.
3 Jsou dány rovnice rovin α: 2x − 5y + 4z − 10 = 0, β : x − y − z − 2 =
= 0. Dokažte, že roviny α, β jsou různoběžné, a najděte parametrické
vyjádření jejich průsečnice.
4 Určete vzájemnou polohu rovin α, β, γ, je-li dáno:
α: x − 2y − z + 1 = 0, β : x + y + z − 7 = 0, γ : 2x + y − z − 2 = 0.
5 Vypočtěte vzdálenost bodu A[6; −6; 5] od přímky p určené paramet
rickým vyjádřením x = 4, y = 1 − 6t, z = 4 − 6t; t ∈ R.
6 Jsou-li α, β, γ odchylky libovolné přímky p od souřadnicových os x, y,
z kartézské soustavy souřadnic, pak platí:
cos2
α + cos2
β + cos2
γ = 1.
Dokažte.
7 Dokažte, že přímky p, q jsou mimoběžky, a určete jejich vzdálenost d:
p: x = 9 + 4t, y = −2 − 3t, z = t; t ∈ R,
q: x = −2s, y = −7 + 9s, z = 2 + 2s; s ∈ R.
8 Světelný paprsek, který vychází z bodu A[1; −2; 3], se odráží od ro
viny ̺ dané rovnicí x + y − z + 1 = 0 do bodu B[3; 4; 11]. Určete
souřadnice bodu odrazu.
9 Vypočtěte objem V čtyřstěnu ABCD, je-li A[−2; −4; 1], B[2; −6; 1],
C[1; −10; −2], D[2; −6; −7].
273
10 Zjistěte, zda body A[2; 1; 3], B[4; 1; 5] leží ve stejném poloprostoru,
nebo v opačných poloprostorech s hraniční rovinou, která má rovnici:
a) 2x − y + z + 4 = 0 b) x − y + 3z − 12 = 0
1. 2x − y − 2 = 0 3. x = 3t, y = 2t − 2, z = t; t ∈ R 4. α ¸ β ¸ γ ¸ α,
α ∩ β ∩ γ = {Q}, Q[3; 0; 4] 5. d = 6 7. d = 7 8. Návod. Určete souřadnice bodu
A′ souměrně sdruženého s bodem A podle roviny ̺; Q[3; 2; 6] 9. V = 24 10. a) leží
ve stejném poloprostoru; b) leží v opačných poloprostorech
21 Elementární funkce
Poznámka. V následujících úlohách rozumíme pod pojmem funkce zobrazení, kde x je
vzor a y obraz. Paritou funkce se rozumí, zda je funkce sudá či lichá.
1 Rozhodněte, které z uvedených relací jsou funkce. V případě funkce
určete definiční obor, obor hodnot a načrtněte graf:
a) |x| + |y| = 1 b) |x − 1| + y = 0
c) y =
√
1 − x2 d) y2
= 1 + x2
2 K funkci f najděte funkci inverzní a sestrojte její graf:
a) f : y = 2x − 3 b) f : y = x3
+ 1
3 Objasněte pojem transformace soustavy souřadnic: x′
= x − m, y′
=
= y − n, resp. y = f(x) −→ y − n = f(x − m). Výklad dokumentujte
na příkladu funkce g: y = x2
− 2x + 2 a napište příslušné rovnice pro
transformaci posouvající vrchol paraboly, která je grafem funkce g, do
počátku.
274
4 Vyjádřete se k paritě funkce ϕ v případě, že funkce f, g jsou obě sudé,
obě liché, jedna je sudá a druhá lichá.
a) ϕ: y = f(x) + g(x) b) ϕ: y = f(x) − g(x)
c) ϕ: y = f(x) · g(x) d) ϕ: y =
f(x)
g(x)
5 Určete definiční obor, obor hodnot a načrtněte graf funkce:
a) f : y = |x| b) g: y = sgn x
c) h: y = [x] d) i: y = |x| sgn x
6 Sestrojte grafy funkcí:
a) f : y = sgn(cos x), x ∈ (−2π; 2π) b) g: y = sgn(x2
− 1)
7 Určete definiční obory funkcí:
a) f : y =
√
x3 − x2 − x + 1 b) g: y =
1
√
x3 − x2 − x + 1
8 Určete f(x), je-li dáno:
a) f(x + 1) = x2
− 3x + 2 b) f x +
1
x
= x2
+
1
x2
9 Jsou dány funkce f : y = 2x + 3, g: y =
1
x
. Najděte funkce:
a) h = g ◦ f b) i = g ◦ g
c) j = f ◦ g d) k = f ◦ f
10 Určete definiční obor, obor hodnot a načrtněte graf funkce:
a) f : y = [x] − x b) g: y = x − [x]
275
1. a) ne; b) ano; c) ano; d) ne 2. a) f−1 : y = 1
2
x + 3
2
; b) f−1 : y = 3
√
x − 1
3. x′ = x − 1, y′ = y − 1, y′ = x′2
4. Vzor odpovědi. Jsou-li f, g obě liché, pak
např.: ϕ(−x) = f(−x) · g(−x) = (−f(x)) · (−g(x)) = f(x) · g(x) = ϕ(x), funkce ϕ je
sudá. 5. a) D(f) = R, H(f) = R+
0 ; b) D(g) = R, H(g) = {−1; 0; 1}; c) D(h) = R,
H(h) = Z; d) D(i) = R, H(i) = R 7. D(f) = −1; +∞); D(g) = (−1; 1) ∪ (1; +∞)
8. a) f(x) = x2 − 5x + 6, |x| ≧ 2; b) f(x) = x2 − 2 9. a) h(x) = 1
2x+3
; b) i(x) = x;
c) j(x) = 2
x
+ 3; k(x) = 4x + 9 10. a) D(f) = R, H(f) = (−1; 0 ; b) D(g) = R,
H(g) = 0; 1)
22 Polynomické funkce
1 Vyšetřete průběh funkce f : y = x3
+bx2
vzhledem k parametru b ∈ R.
2 Vyšetřete průběh funkce f : y = 3x5
− 5x3
.
3 K funkci f : y = (x−1)3
najděte funkci inverzní a načrtněte grafy obou
funkcí.
4 V R řešte početně i graficky nerovnici |2 − x2
| < x.
5 Je dána funkce f : y = x3
+ax2
+bx+c. Určete koeficienty a, b, c, je-li
dáno f(−1) = f(1) = f(3) = 0.
6 Určete čísla a, b ∈ R tak, aby funkce f : y = x3
+ ax2
+ bx + 1 měla
lokální maximum v bodě x = −1 a lokální minimum v bodě x = 3.
7 Dokažte, že rovnice x4
− 4x + 1 = 0 má v intervalu (0; 1) právě jeden
kořen.
8 Je dána funkce f : y = ax3
+ bx2
+ 1. Zjistěte, pro které hodnoty
parametrů a, b ∈ R je bod P[1; −1] inflexním bodem grafu funkce f.
Pro taková a, b napište rovnici tečny t grafu funkce f v bodě P.
276
9 Je dána funkce f : y = x2
+ 2x. Ověřte, zda jsou pro funkci f spl
něny v intervalu −3; 0 předpoklady Lagrangeovy věty, a určete bod c,
v němž f′
(c) =
f(0) − f(−3)
3
.
10 Vyšetřete průběh funkce f : y = x3
+ 3|x|.
1. D(f) = R, H(f) = R, b > 0: v bodě − 2
3
b lokální maximum, v bodě 0 lokální
minimum; b < 0: v bodě 0 lokální maximum, v bodě − 2
3
b lokální minimum; b = 0:
nemá extrémy 2. D(f) = R, H(f) = R, v bodě −1 lokální maximum, v bodě 1
lokální minimum, inflexní body: −
√
2
2
, 0,
√
2
2
3. f−1 : y = 3
√
x + 1 4. (1; 2)
5. a = −3, b = −1, c = 3 6. a = −3, b = −9 7. Návod. Musíte ukázat, že funkce
f(x) = x4 − 4x + 1 je v intervalu (0; 1) monotónní a současně platí f(0) · f(1) < 0.
8. a = 1, b = −3; t: 3x + y − 2 = 0 9. c = − 3
2
10. D(f) = R, H(f) = R, lokální
maximum v bodě −1, lokální minimum v bodě 0, f′(0) neexistuje
23 Racionální lomené funkce
1 Určete D(f), H(f), lokální extrémy a načrtněte graf funkce:
a) f : y =
1
1 + x2
b) f : y =
x
1 + x2
c) f : y =
x2
1 + x2
2 Určete D(f), H(f), lokální extrémy a načrtněte graf funkce:
a) f : y =
1
x2
b) f : y =
1
x2 − 4
c) f : y =
1
x2 − 5x + 6
3 Určete D(f), H(f), lokální extrémy a načrtněte graf funkce:
a) f : y =
1
1 − x
b) f : y =
x
1 − x
c) f : y =
|x|
1 − x
277
4 Je dána funkce f : y = x +
1
x
. Určete D(f), H(f), lokální extrémy,
asymptoty a načrtněte graf funkce f.
5 Je dána funkce f : y =
x3
+ 4
x2
. Určete D(f), H(f), lokální extrémy,
asymptoty a načrtněte graf funkce f.
6 Je dána funkce f : y =
ax + b
cx + d
, c = 0. Určete základní vlastnosti funk
ce f a charakterizujte transformaci y =
ax + b
cx + d
−→ y =
k
x − m
+ n.
7 Přímo podle definice vypočtěte derivaci funkce f : y =
1
x
v daném
bodě x0 (x0 = 0) a napište rovnici tečny grafu funkce f v bodě
T [x0; f(x0)].
8 Vypočtěte obsah obrazce omezeného křivkami o rovnicích y =
1
x2
,
y = 0, x = 0, x = 2, y = 1.
9 Načrtněte graf funkce f : y =
1 + |x|
1 − x2
.
10 Načrtněte graf funkce f : y =
x2
− 5x + 6
(x − 3)2
.
278
1. a) D(f) = R, H(f) = (0; 1 , lokální maximum v bodě 0; b) D(f) = R, H(f) =
= − 1
2
; 1
2
, lokální minimum v bodě −1, lokální maximum v bodě 1; c) D(f) = R,
H(f) = 0; 1), lokální minimum v bodě 0 2. a) D(f) = R \ {0}, H(f) = (0; +∞),
extrémy nemá; b) D(f) = R \ {−2; 2}, H(f) = −∞; − 1
4
∪ (0; +∞), lokální maximum
v bodě 0; c) D(f) = R \ {2; 3}, H(f) = (−∞; −4 ∪ (0; +∞), lokální maximum
v bodě 5
2
3. a) D(f) = R \ {1}, H(f) = R \ {0}, extrémy nemá; b) D(f) = R \ {1},
H(f) = R\{−1}, extrémy nemá; c) D(f) = R\{1}, H(f) = (−∞; −1)∪ 0; +∞), lokální
minimum v bodě 0 4. D(f) = R \{0}, H(f) = (−∞; −2 ∪ 2; +∞ , lokální minimum
v bodě 1, lokální maximum v bodě −1; asymptoty: y = x, x = 0 5. D(f) = R \ {0},
H(f) = R, lokální minimum v bodě 2, asymptoty: y = x, x = 0 6. D(f) = R \ {− d
c
},
H(f) = R \ {a
c
}, asymptoty: x = − d
c
, y = a
c
7. f′(x0) = − 1
x2
0
, y0x + x0y − 2 = 0
8. S = 3
2
24 Exponenciální a logaritmické funkce a rovnice
1 Určete D(f), H(f), lokální extrémy a načrtněte graf funkce:
a) f : y = 2x−3
− 1 b) f : y = 2|x−3|
− 1
c) f : y = 2|x|−3
− 1 d) f : y = 2x−3
− 1
2 Určete D(f), H(f), lokální extrémy a načrtněte graf funkce:
a) f : y = e1−x2
b) f : y = xe−x2
c) f : y = x2
e−x
d) f : y =
ex
x
3 K funkci f najděte funkci inverzní a načrtněte grafy obou funkcí:
a) f : y = ex−1
+ 2 b) f : y =
1
3
x+2
− 1
4 V R řešte rovnice:
a) 42x
− 6 · 4x
+ 8 = 0
b) 5 +
√
24
x
+ 5 −
√
24
x
= 10
279
5 V R řešte nerovnice:
a) 33−x2
< 9x
b) 32x
− 2 · 3x
− 3 > 0
6 Určete D(f), H(f) a načrtněte graf funkce:
a) f : y = log2 x − 3 b) f : y = log2 |x| − 3
c) f : y = log2(x − 3) d) f : y = log2 |x − 3|
7 K funkci f najděte funkci inverzní a načrtněte grafy obou funkcí:
a) f : y = log2(x + 3) − 4 b) f : y = log1
2
(x − 2) + 1
8 Určete D(f), H(f), lokální extrémy a načrtněte graf funkce:
a) f : y = x − ln x b) f : y = x + ln x
c) f : y = x ln x d) f : y =
ln x
x
9 V R řešte rovnice:
a) log x +
3
log x
= 4 b) log3 5 + 4 log3(x − 1) = 2
10 V R řešte nerovnice:
a) 0 <
|log x| − 1
3
< 1 b) log2x+3 x2
< 1
280
1. a) D(f) = R, H(f) = (−1; +∞), extrémy nemá; b) D(f) = R, H(f) = 0; +∞),
lokální minimum v bodě 3; c) D(f) = R, H(f) = − 7
8
; +∞ , lokální minimum
v bodě 0; d) D(f) = R, H(f) = 0; +∞), lokální minimum v bodě 3 2. a) D(f) = R,
H(f) = (0; e , lokální maximum v bodě 0; b) D(f) = R, H(f) = −
√
2
2
e− 1
2 ;
√
2
2
e− 1
2 ;
lokální minimum v bodě −
√
2
2
, lokální maximum v bodě
√
2
2
, inflexní body −
√
6
2
,
0,
√
6
2
; c) D(f) = R, H(f) = R+
0 , lokální maximum v bodě 2, inflexní body 2 −
√
2,
2 +
√
2; d) D(f) = R \ {0}, H(f) = (−∞; 0) ∪ e; +∞), lokální minimum v bodě 1
3. a) f−1 : y = ln(x − 2) + 1; b) f−1 : y = − log3(x + 1) − 2 4. Návod. Substituce
5 +
√
24 = a, 5 −
√
24 = b, ab = 1. a) 1
2
, 1; b) −2, 2 5. a) (−∞; −3) ∪ (1; +∞);
b) (1; +∞) 6. a) D(f) = R+, H(f) = R; b) D(f) = R \ {0}, H(f) = R; c) D(f) =
= (3; +∞), H(f) = R; d) D(f) = R \ {3}, H(f) = R 7. a) f−1 : y = 2x+4 − 3;
b) f−1 : y = 1
2
x−1
+2 8. a) D(f) = R+, H(f) = 1; +∞); b) D(f) = R+, H(f) = R;
c) D(f) = R+, H(f) = − 1
e
; +∞ ; d) D(f) = R+, H(f) = −∞; 1
e
9. a) 10, 103;
b) 4 10. a) (10−4; 10−1) ∪ (10; 104); b) − 3
2
; −1 ∪ (−1; 3)
25 Goniometrické funkce, rovnice a nerovnice
1 Je dána funkce f : y = Ag(Bx + C) + D, kde g ∈ {sin, cos, tg, cotg}.
Určete její základní vlastnosti a vysvětlete význam parametrů A, B,
C, D při transformaci y = g(x) −→ y = Ag(Bx + C) + D.
2 Určete definiční obor, obor hodnot, periodu p a načrtněte graf funkce:
a) f : y = sin 2x b) f : y = sin(2x − 1
3 π)
c) f : y = 3 sin(2x − 1
3 π) d) f : y = 3 sin(2x − 1
3 π) + 1
3 Určete definiční obor, obor hodnot, periodu p a načrtněte graf funkce:
a) f : y = cos 1
2 x b) f : y = cos(1
2 x − 1
6 π)
c) f : y = 2 cos(1
2 x − 1
6 π) d) f : y = 2 cos(1
2 x − 1
6 π) − 1
281
4 Určete definiční obor, obor hodnot, periodu p a načrtněte graf funkce:
a) f : y = tg 3x b) f : y = tg(3x −
1
2
π)
c) f : y = 1
2 tg(3x − 1
2 π) d) f : y = 1
2 tg(3x − 1
2 π) + 2
5 Určete definiční obor, obor hodnot, periodu p a načrtněte graf funkce:
a) f : y = cotg 1
2 x b) f : y = cotg(1
2 x − 1
4 π)
c) f : y = 4 cotg(1
2 x − 1
4 π) d) f : y = 4 cotg(1
2 x − 1
4 π) − 3
6 Vyjádřete sin x, cos x, tg x, cotg x, je-li dáno t = tg 1
2 x a x ∈ 0; 1
2 π .
7 V intervalu 0; 2π) řešte rovnice:
a) sin(3x − 1
4 π) = 1 b) sin(x + 1
2 π) = sin(π − 3x)
c) 2 cos2
x = cos x + 1 d) cos 3x = sin x
8 V intervalu 0; 2π) řešte rovnice (a, b, c ∈ R):
a) a sin x + b cosx = c b) sin x − cos x = 1
2
√
6
c) sin x +
√
3 cos x = −1 d) cos x +
√
3 sin x = 1
9 V R2
řešte soustavu rovnic:
a) cos x + cos y =
√
3
x + y = 1
3 π
b) sin 2y = sin x
x + y = 1
3 π
10 V intervalu 0; 2π) řešte nerovnice:
a) sin x + cos 2x > 1 b) sin x > −
1
2
c) tg2 x
2
≦ 3 d) sin x + cos x ≦
1
sin x
282
2. a) D(f) = R, H(f) = −1; 1 , p = Ô; b) D(f) = R, H(f) = −1; 1 , p = Ô;
c) D(f) = R, H(f) = −3; 3 , p = Ô; d) D(f) = R, H(f) = −2; 4 , p = Ô
3. a) D(f) = R, H(f) = −1; 1 , p = 4Ô; b) D(f) = R, H(f) = −1; 1 , p = 4Ô;
c) D(f) = R, H(f) = −2; 2 , p = 4Ô; d) D(f) = R, H(f) = −3; 1 , p = 4Ô
4. a) D(f) = R \ {(2k + 1)1
6
Ô; k ∈ Z}, H(f) = R, p = 1
3
Ô; b) D(f) = R \ {(k + 1)1
3
Ô;
k ∈ Z}, H(f) = R, p = 1
3
Ô; c) D(f) = R \ {(k + 1)1
3
Ô; k ∈ Z}, H(f) = R, p = 1
3
Ô;
d) D(f) = R \ {(k + 1)1
3
Ô; k ∈ Z}, H(f) = R, p = 1
3
Ô 5. a) D(f) = R \ {2kÔ;
k ∈ Z}, H(f) = R, p = 2Ô; b) D(f) = R \ {1
2
(4k + 1)Ô; k ∈ Z}, H(f) = R, p = 2Ô;
c) D(f) = R \ {1
2
(4k + 1)Ô; k ∈ Z}, H(f) = R, p = 2Ô; d) D(f) = R \ {1
2
(4k + 1)Ô;
k ∈ Z}, H(f) = R, p = 2Ô 6. sin x = 2t
1+t2 , cos x = 1−t2
1+t2 , tg x = 2t
1−t2 , cotg x = 1−t2
2t
7. a) 1
4
Ô, 11
12
Ô, 19
12
Ô; b) 1
8
Ô, 1
4
Ô, 5
8
Ô, 9
8
Ô, 5
4
Ô, 13
8
Ô; c) 0, 2
3
Ô, 4
3
Ô; d) 1
8
Ô, 3
4
Ô, 5
8
Ô, 9
8
Ô,
7
4
Ô, 13
8
Ô 8. Návod. Rovnici a sin x + b cos x = c upravíme na tvar a√
a2+b2
sin x +
+ b√
a2+b2
cos x = c√
a2+b2
a určíme y ∈ R tak, aby a√
a2+b2
= cos y, b√
a2+b2
= sin y.
Odtud plyne sin x cos y + sin y cos x = c√
a2+b2
neboli sin(x + y) = c√
a2+b2
. b) 7
12
Ô,
11
12
Ô; c) 5
6
Ô, 3
2
Ô; d) 0, 2
3
Ô 9. a) {[ 1
6
Ô + 2kÔ; 1
6
Ô − 2kÔ]; k ∈ Z}; b) {[ 2
9
Ô − 2
3
kÔ;
1
9
Ô + 2
3
kÔ]; k ∈ Z}; {[− 1
3
Ô − 2kÔ; 2
3
Ô + 2kÔ]; k ∈ Z} 10. a) 0; 1
6
Ô ∪ 5
6
Ô; Ô ;
b) 0; 7
6
Ô ∪ 11
6
Ô; 2Ô ; c) 0; 2
3
Ô ∪ 4
3
Ô; 2Ô ; d) 0; 1
4
Ô ∪ 1
2
Ô; Ô ∪ 5
4
Ô; 3
2
Ô
26 Posloupnosti a řady
1 Je dána posloupnost (bn)
∞
n=1 . Zjistěte, zda je monotónní, omezená,
a vypočtěte lim
n→+∞
bn:
a) bn =
n
n + 1
b) bn =
n2
2n
283
2 Posloupnost danou vzorcem pro n-tý člen zadejte rekurentně:
a) an = 22−n
b) an =
n + 1
n
c) an =
1
4
√
2
√
2 − 1
n
Poznámka. Uvedená řešení úlohy 2 mohou být vyjádřena i jiným způsobem, než je
uvedeno ve výsledku.
3 Posloupnost danou rekurentně vyjádřete vzorcem pro n-tý člen:
a) a1 = 1, an+1 = (n + 1)an b) a1 = 1, an+1 = 2an
c) a1 = log 3, an+1 = an + log 3 d) a1 = 2, an+1 = an + n2
4 Zjistěte, zda existuje konvexní n-úhelník, jehož nejmenší vnitřní úhel
má velikost 100◦
a každý následující úhel je o 10◦
větší než předchá
zející.
5 Čísla, pomocí nichž jsou vyjádřeny délky stran pravoúhlého trojúhel
níku, tvoří po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti. Dokažte, že
jsou v poměru 3 : 4 : 5.
6 Dokažte, že
a) pro součet sn prvních n členů aritmetické posloupnosti (an)∞
n=1 platí
sn =
1
2
n(a1 + an);
b) pro součet sn prvních n členů geometrické posloupnosti (an)
∞
n=1 s kvo
cientem q = 1 platí sn = a1
qn
− 1
q − 1
.
7 Počet obyvatel státu na počátku roku 2000 byl N0. V kterém roce
překročí počet obyvatel tohoto státu k-násobek uvedeného počátečního
stavu, jestliže předpokládaný stálý roční přírůstek je p %?
8 Součet prvních tří členů geometrické posloupnosti je 21, součet jejich
druhých mocnin je 189. Vypočtěte je.
284
9 Určete:
a)
∞
n=1
1
3n−1
b)
∞
n=1
√
5 − 2
n
10 V R řešte rovnice:
a) 1 − x + x2
− x3
+ . . . =
1
2
√
2,
b) 2x
+ 2x−1
+ 2x−2
+ . . . =
√
10 · 2x − 4,
c) 1 − tg x + tg2
x − tg3
x + . . . =
tg 2x
1 + tg 2x
,
d) 1 −
3
x
+
9
x2
−
27
x3
+ . . . =
8
x + 10
.
1. a) rostoucí, bn ∈ 1
2
; 1 , 1; b) klesající pro n ≧ 3, bn ∈ 0; 9
8
, 0 2. a) a1 = 2,
an+1 = 1
2
an; b) a1 = 2, an+1 = an − 1
n(n+1)
; c) a1 =
√
2
4
(
√
2−1), an+1 = an(
√
2−1)
3. a) an = n!; b) an = 2n−1; c) an = log 3n; d) an = 2+12+22+32+. . .+(n−1)2 = 2+
+ 1
6
(n−1)n(2n−1) 4. ano, pro n = 9, n = 8 7. 2 000+n; n = log k
log (1+
p
100 )
8. Návod.
Uvažte rovnosti: 1 + q2 + q4 = (1 + q + q2)2 − 2q(1 + q + q2) = (1 + q + q2)(1 − q + q2);
3, 6, 12 9. a) 3
2
; b) 1
4
(
√
5 − 1) 10. a)
√
2 − 1; b) −1, 1; c) {− 1
6
Ô + kÔ; k ∈ Z},
{5
6
Ô + kÔ; k ∈ Z}; d) 4, −6
27 Spojitost a limita funkce
1 Užitím vlastností spojitých funkcí v uzavřeném intervalu řešte v R
nerovnice:
a) x3
+ x2
− 12x ≧ 0 b) x4
≦ x2
c) x3
> x d) x3
< x2
285
2 Užitím vlastností spojitých funkcí v uzavřeném intervalu řešte v R
nerovnice:
a)
x + 1
5 − x2
> 0 b)
1
x
< x
c)
x2
+ x − 6
(x + 1)2
< 0 d)
4x − x2
x + 7
≦ 0
3 Dokažte, že rovnice x + ex
= 0 má aspoň jeden kořen v intervalu
(−1, 0). Načrtněte grafy funkcí f : y = x, g: y = ex
a odhadněte graf
funkce h: y = x + ex
. Určete asymptoty grafu funkce h.
4 Určete rovnice asymptot grafu funkce f : y = 2x +
1
x2
a načrtněte graf
funkce f. Pak dokažte, že f(x) ≧ 3 pro každé x ∈ R+
.
5 Vypočtěte lim
x→x0
f(x) − f(x0)
x − x0
, je-li dáno:
a) f : y = x2
, x0 = 1, b) f : y =
1
x
, x0 = 2.
6 Vypočtěte limity:
a) lim
x→1
x3
− 1
x − 1
b) lim
x→0
1 − cos 2x
x2
c) lim
x→−3
x + 3
√
x + 4 − 1
d) lim
x→+∞
√
x − 6x
3x + 1
e) lim
x→0
1 − cos 2x
x sin x
f) lim
x→−1
x2
− x − 2
x3 + 1
7 Jsou dány polynomy P(x) = x3
− 2x2
− 4x + 8, Q(x) = x4
− 8x2
+ 16.
Vypočtěte lim
x→2
P(x)
Q(x)
, lim
x→+∞
P(x)
Q(x)
.
8 Dokažte, že rovnice x3
+ 5x − 1 = 0 má v intervalu (0, 1) právě jeden
kořen.
9 Věta. Je-li funkce f spojitá v a, b a f(a) · f(b) < 0, potom existuje
alespoň jeden takový bod c ∈ (a, b), v němž platí f(c) = 0.
Vyložte význam uvedené věty a ilustrujte ji náčrtky.
286
10 Určete intervaly (a, b), a, b ∈ Z, |b − a| = 1, v nichž leží kořeny rovnice
x3
− 3x + 1 = 0.
1. a) −4; 0 ∪ 3; +∞); b) −1; 1 ; c) (−1; 0) ∪ (1; +∞); d) (−∞; 0) ∪ (0; 1)
2. a) −∞; −
√
5 ∪ −1; +
√
5 ; b) (−1; 0)∪(1; +∞); c) (−3; −1)∪(−1; 2); d) (−7; 0 ∪
∪ 4; +∞) 4. rovnice asymptot y = 2x, x = 0 5. a) 2; b) − 1
4
6. a) 3; b) 2; c) 2;
d) −2; e) 2; f) −1 7. 1
4
; 0 10. (−2; −1); (0; 1); (1; 2)
28 Derivace funkce
1 Přímo podle definice vypočtěte derivace funkcí
f : y = cos x a g: y = tg x
v bodě x0.
2 Přímo podle definice vypočtěte derivaci funkce f : y = xn
v daném
bodě x0 v případech a) n ∈ N, b) n ∈ Z.
3 Pod jakými úhly protíná graf funkce f : y = sin x souřadnicovou osu x?
4 Napište rovnici tečny t a normály n grafu funkce f : y = 2x − ln x
v jeho bodě T [x0, y0], kde x0 = 1.
5 Určete rovnice tečen rovnoběžných s osou x ke křivce o rovnici y =
= x3
− 2x2
+ x.
6 Vyslovte Rolleovu a Lagrangeovu větu a vysvětlete jejich geometrickou
interpretaci na funkci f : y = sin x v intervalu 0; π , resp. 0; 3
4 π .
287
7 Najděte čísla a, b taková, aby bod [1, 1] byl inflexním bodem grafu
funkce f : y = x3
+ ax2
− 3x + b.
8 Najděte polynomickou funkci y = f(x) nejnižšího možného stupně,
která má následující vlastnosti:
a) lokální maximum v bodě x = 1 a lokální minimum v bodě x = 3,
b) f(1) = 6, f(3) = 2.
9 Vyslovte L’Hospitalovo pravidlo a vypočtěte limity:
a) lim
x→0
x − sin x
x3
b) lim
x→0+
x ln x
10 Závislost dráhy tělesa vrženého svisle vzhůru na čase je dána rovnicí
s = v0t − 1
2 gt2
,
kde v0 je počáteční rychlost a g tíhové zrychlení.
Určete okamžitou rychlost tělesa v čase t. V kterém okamžiku a ve
které poloze je rychlost tělesa rovna nule? S jakou rychlostí a ve kterém
okamžiku dopadne těleso na místo, z kterého bylo vrženo?
1. f′ (x0) = − sin x0; g′ (x0) = 1
cos2 x0
2. v obou případech f′ (x0) = nxn−1
0
3. 1
4
Ô, 3
4
Ô 4. t: y = x + 1, n: y = −x + 3 5. y = 0, y = 4
27
7. a = −3, b = 6
8. f(x) = x3 − 6x2 + 9x + 2 9. Návod. Pro x > 0 platí x ln x = ln x
1
x
. a) 1
6
; b) 0
10. v = v0 − gt, t = v0
g
, s =
v2
0
2g
, t1 = 2v0
g
, v1 = −v0
29 Užití diferenciálního počtu
1 Vyšetřete průběh funkce f : y =
√
1 − x2.
288
2 V intervalu 0; 2π vyšetřete průběh funkce f : y = sin x + cos x.
3 Číslo 28 vyjádřete jako součet dvou sčítanců tak, aby jejich součin byl
maximální.
4 Která přímka procházející bodem [1; 2] ohraničuje spolu s osami sou
řadnic v prvním kvadrantu trojúhelník o nejmenším obsahu?
5 Užitím diferenciálního počtu vypočtěte vzdálenost bodu Q od přímky
AB, je-li Q[1; 1], A[1; 5], B[−1; 1].
6 Najděte poloměr r a středový úhel ϕ kruhové výseče, která má při
daném obvodu 2s maximální obsah.
7 Je dána elipsa o rovnici
x2
a2
+
y2
b2
= 1. Vypočtěte rozměry obdélníku,
který je do elipsy vepsán tak, že je souměrný podle souřadnicových os,
a který má přitom maximální obsah.
8 Vypočtěte rozměry obdélníku maximálního obsahu vepsaného do půl
kruhu o poloměru r.
9 Na výrobu konzervy tvaru válce se má spotřebovat 8 dm2
bílého plechu.
Jaké rozměry má konzerva mít, aby měla maximální objem?
10 V prostoru je umístěn bodový světelný zdroj. Určete poloměr x kou
le, jejíž střed má od světelného zdroje danou vzdálenost a, tak aby
osvětlená část povrchu koule byla maximální.
1. D(f) = −1; 1 , H(f) = 0; 1 ; minimum v bodech −1, 1; maximum v bodě 0
2. minimum v bodě 5
4
Ô; maximum v bodě 1
4
Ô; inflexní body 3
4
Ô, 7
4
Ô 3. 14 + 14
4. y = −2x + 4; S = 4 5. 4
5
√
5 6. r = 1
2
s, ϕ = 2 7. a
√
2, b
√
2, S = 2ab 8. r
√
2,
1
2
r
√
2 9. v = 4√
3Ô
dm; r = 2√
3Ô
dm 10. x = 2
3
a
289
30 Integrální počet
1 Najděte funkci F, pro kterou platí:
a) ∀x ∈ R: F′
(x) = x2
+ 2x − 4, F(2) = 1,
b) ∀x ∈ R+
: F′
(x) =
1
x2
, F(1) = 2,
c) ∀x ∈ R: F′′
(x) = x − 2, F′
(1) = 2, F(2) = 3.
2 Dokažte, že obě funkce F(x) = 1
2 sin2
x, G(x) = −1
4 cos 2x jsou primi
tivní k funkci f(x) = sin x cos x v intervalu (−∞, +∞).
3 Vypočtěte integrály:
a) ln x dx b) tg x dx
c) sin2
x dx d) (2x + 3)5
dx
4 Lomený výraz
1
x2 − 2x − 3
napište ve tvaru součtu dvou zlomků, je
jichž čitatelé jsou celá čísla a jmenovatelé lineární dvojčleny (tzv. roz
klad na parciální zlomky), a vypočtěte integrál
1
x2 − 2x − 3
dx.
5 Je-li f spojitá v intervalu a, b a platí-li v intervalu a, b nerovnosti
m ≦ f(x) ≦ M, potom m(b − a) ≦
b
a
f(x) dx ≦ M(b − a). Užitím
této věty odhadněte integrál
3
2
ln x dx.
6 Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami y = 5x−x2
, y = x+4,
y = 0, x = 5.
290
7 Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného grafem funkce f, kde f(x) =
= 4 − (x + 1)2
, a tečnami tohoto grafu v průsečících grafu funkce f
s osou x.
8 Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolami o rovnicích
y = x2
− 4x + 2,
y = − x2
+ 6x − 6.
9 Pomocí integrálního počtu vyjádřete objem
a) rotačního kužele, který má výšku v a podstavu o poloměru r,
b) rotačního komolého kužele, který má výšku v a podstavy o poloměrech
r1, r2.
10 Vypočtěte obsahy obou částí kruhu, které na kruhu omezeném kružnicí
o rovnici x2
+ y2
= 8 vymezuje parabola o rovnici y2
= 2x.
1. a) F (x) = x3
3
+ x2 − 4x + 7
3
; b) F (x) = − 1
x
+ 3; c) F (x) = x3
6
− x2 + 7
2
x − 4
3
3. a) x ln x − x + C; b) C − ln |cos x|; c) 1
2
x − 1
4
sin 2x + C; d) 1
12
(2x + 3)6 + C
4. 1
4
ln |x − 3| − 1
4
ln |x + 1| + C 5. ln 2 <
3
2
ln x dx < ln 3 6. 59
3
7. 16
3
8. 9
9. a) 1
3
Ôr2v; b) 1
3
Ôv(r2
1 + r1r2 + r2
2) 10. 2Ô + 4
3
, 6Ô − 4
3
291
LITERATURA
[1] Benda, P., Daňková, B., Skála, J.: Sbírka maturitních příkladů z ma
tematiky. SPN, Praha, 1971.
[2] Bušek, I.: Řešené maturitní úlohy z matematiky. Prometheus, Praha,
2005.
[3] Bušek, I.: Sbírka úloh pro gymnázia. Analytická geometrie. Prome
theus, Praha, 2008.
[4] Bušek, I., Mannová, B., Šedivý, J., Riečan, B.: Sbírka úloh z matema
tiky pro III. ročník gymnázií. SPN, Praha, 1987.
[5] Bušek, I., Bero, P., Calda, E., Riečan, B., Smida, J.: Sbírka úloh z ma
tematiky pro IV. ročník gymnázií. SPN, Praha, 1991.
[6] Bušek, I., Calda, E.: Základní poznatky z matematiky. Prometheus,
Praha, 2008.
[7] Bydžovský, B., Vojtěch, J.: Sbírka úloh z matematiky pro vyšší třídy
středních škol. JČMF, Praha, 1924.
[8] Bydžovský, B., Teplý, S., Vyčichlo, F.: Sbírka úloh z matematiky pro
IV.–VIII. třídu středních škol. JČMF, Praha, 1936.
[9] Calda, E.: Komplexní čísla. Prometheus, Praha, 2008.
[10] Calda, E., Dupač, V.: Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika.
Prometheus, Praha, 2008.
[11] Fuchs, E., Hrubý, D., a kol.: Standardy a testové úlohy z matematiky
pro základní školy a nižší ročníky víceletých gymnázií. Prometheus,
Praha, 2000.
[12] Fuchs, E., Kubát, J., a kol.: Standardy a testové úlohy z matematiky
pro čtyřletá gymnázia. Prometheus, Praha, 2001.
[13] Hrubý, D., Kubát, J.: Diferenciální a integrální počet. Prometheus,
Praha, 2008.
[14] Charvát, J., Zhouf, J., Boček, L.: Rovnice a nerovnice. Prometheus,
Praha, 2008.
[15] Kočandrle, M., Boček, L.: Analytická geometrie. Prometheus, Praha,
2008.
[16] Kubát, J.: Sbírka úloh z matematiky pro přípravu k maturitní zkoušce
a k přijímacím zkouškám na VŠ. Prometheus, Praha, 2008.
292
[17] Kubát, J., Hrubý, D., Pilgr, J.: Sbírka úloh z matematiky pro střední
školy. Maturitní minimum. Prometheus, Praha, 2007.
[18] Maška, O.: Matematika v úlohách. I. Aritmetika a algebra. Barvič a No
votný, Brno, 1936.
[19] Odvárko, O.: Funkce. Prometheus, Praha, 2008.
[20] Odvárko, O.: Goniometrie. Prometheus, Praha, 2008.
[21] Odvárko, O.: Posloupnosti a řady. Prometheus, Praha, 2008.
[22] Odvárko, O.: Sbírka úloh pro gymnázia. Funkce. Prometheus, Praha,
2008.
[23] Odvárko, O.: Sbírka úloh pro gymnázia. Goniometrie. Prometheus,
Praha, 2007.
[24] Odvárko, O.: Sbírka úloh pro gymnázia. Posloupnosti a řady. Prome
theus, Praha, 2007.
[25] Odvárko, O., a kol.: Úlohy o relacích a vektorové algebře pro II. ročník
gymnasia. SPN, Praha, 1971.
[26] Ostrý, M.: Geometrie v úlohách. Česká grafická Unie, n. p., Praha, 1949.
[27] Petáková, J.: Matematika-příprava k maturitě a k přijímacím zkouš
kám na vysoké školy. Prometheus, Praha, 2008.
[28] Pomykalová, E.: Planimetrie. Prometheus, Praha, 2008.
[29] Pomykalová, E.: Stereometrie. Prometheus, Praha, 2008.
[30] Riečan, B., Franek, M., Červenková, O.: Úlohy z matematiky pro
III. ročník gymnasia. SPN, Praha, 1972.
[31] Riečan, B., Franek, M., Červenková, O.: Úlohy z diferenciálního a in
tegrálního počtu pro III. a IV. ročník gymnasia. SPN, Praha, 1978.
[32] Smida, J., Šedivý, J.: Sbírka úloh z matematiky pro I. ročník gymnázií.
SPN, Praha, 1985.
[33] Smida, J., Božek, M., Odvárko, O.: Sbírka úloh z matematiky pro
II. ročník gymnázií. SPN, Praha, 1986.
[34] Šedivý, J., Lukátšová, J.: Úlohy z algebry a geometrie pro I. ročník
gymnázií. SPN, Praha, 1973.
[35] Šedivý, J., a kol.: Úlohy o výrocích a množinách pro I. ročník gymnasia.
SPN, Praha, 1970.
293
[36] Tomší, F.: Sbírka maturitních příkladů z matematiky a deskriptivní
geometrie. nákladem vlastním, Kutná Hora, 1927.
[37] Vejsada, F., Polesný, V., Talafous, F., Šilháček, K.: Sbírka úloh z al
gebry pro I.–III. ročník. SPN, Praha, 1965.
[38] Vejsada, F., Talafous, F.: Sbírka úloh z matematiky pro SVVŠ. SPN,
Praha, 1969.
[39] Vyšín, J., a kol.: Úlohy z matematiky pro IV. ročník gymnázií. SPN,
Praha, 1976.
294
RNDr. Dag Hrubý
Matematická cvičení
pro střední školy
Obálku navrhl Martin Mašek
Vydalo nakladatelství Prometheus, spol. s r. o.,
Čestmírova 10, 140 00 Praha 4,
roku 2008
tel./fax: 241 740 172
e-mail: odbyt@prometheus-nakl.cz
http://www.prometheus-nakl.cz
Edice Učebnice pro střední školy
Odpovědná redaktorka Mgr. Marie Nováková
Sazbu programem TEX připravil Karel Horák
Vytiskly Tiskárny Havlíčkův Brod, a. s.,
Husova 1881, 580 01 Havlíčkův Brod
1. vydání
96 21 216
ISBN 978-80-7196-374-5