Negace a kvantifikátory
Příklad 1. Negujte následující výroky (Písmena A, B, C označují množiny reálných
čísel, písmena K, L, M množiny přirozených čísel):
(1) Přirozené číslo m je sudé a číslo m2
+ 1 je prvočíslo.
(2) Množina A je konečná nebo má konečně mnoho záporných prvků.
(3) Trojúhelník, který má dvě shodné těžnice, je rovnoramenný.
(4) Je-li číslo m2
dělitelné devíti, je číslo m3
dělitelné 27.
(Předpokládáme, že číslo m je celé.)
(5) Nejvýše 12 žáků naší třídy nosí brýle.
(6) Nastane to v alespoň devíti případech z deseti.
(7) Ve třídě je právě sedm dívek a více než třikrát tolik chlapců.
(Negaci výhodně vyjádřete ve formě implikace.)
(8) Každé číslo z množiny A je větší než 10.
(9) Existuje prvek množiny B, který není prvkem množiny A.
(10) Existuje přímka p jdoucí bodem X, která je kolmá k dané přímce q.
(11) Existuje přímka p, která je kolmá k oběma daným mimoběžkám q a r.
(12) Některé číslo z A je větší než druhá mocnina libovolného čísla z B.
(13) Je-li každý prvek A záporné číslo, pak žádný prvek B není větší než 1.
(14) Je-li některý prvek A kladné číslo, pak všechna čísla z B jsou celá.
(15) V množině K neleží žádné prvočíslo nebo libovolné číslo z L je liché.
(16) Pro každé a ∈ A existuje b ∈ B takové, že b ≦ a2
.
(17) Pro každé a ∈ A existuje b ∈ B takové, že b > a + c pro každé c ∈ C.
(18) Některá z množin K, L, M obsahuje nekonečně mnoho prvočísel.
(19) Žádné číslo z K není násobkem žádného čísla z L.
(20) Některé číslo z K není násobkem žádného čísla z L.
(21) V množině K neleží žádný násobek jistého čísla z L.
(22) Jsou-li v K alespoň čtyři prvočísla, pak v L jsou nejvýše dvě prvočísla.
(23) Jsou-li některá dvě čísla a ∈ A a b ∈ B navzájem opačná, pak jsou to jedině
čísla a = 1 a b = −1.
(24) Pro libovolná čísla x ∈ A, y ∈ B a z ∈ C platí x ≦ y2
≦ z3
.
Příklad 2. Ke všem implikacím z Příkladu 1 vytvořte obměněné implikace.
Nutné, postačující a ekvivalentní podmínky
Příklad. Do konstrukcí „K tomu, aby . . . , je nutné, aby . . . , „K tomu, aby . . . ,
stačí, aby . . . , „K tomu, aby . . . , je nutné a stačí, aby . . . doplňte následující
dvojice výroků A a B tak, aby výsledné tvrzení bylo pravdivé.
(1) A: Úhly α a β jsou pravé.
B: Úhly α a β jsou shodné.
(2) A: Čtyřúhelník ABCD je rovnoběžník.
B: Čtyřúhelník ABCD je obdélník.
(3) A: Číslo x je dělitelné devíti.
B: Číslo x je dělitelné osmnácti.
(4) A: Číslo x je dělitelné devíti.
B: Číslo x má ciferný součet dělitelný osmnácti.
(5) A: Číslo x je dělitelné desíti.
B: Číslo x je dělitelné dvěma a pěti.
(6) A: Čísla x a y jsou dělitelná sedmi.
B: Číslo x + y je dělitelné sedmi.
(7) A: Čísla x a y jsou dělitelná sedmi.
B: Číslo x + 2y + 1 není dělitelné sedmi.
(8) A: Přirozená čísla x a y jsou nesoudělná.
B: Přirozená čísla x a y jsou různá.
(9) A: Reálné číslo x je menší než 1.
B: Druhá mocnina reálného čísla x je menší než 1.
(10) A: Číslo x je celé.
B: Číslo x + x je celé.
(11) A: Čtverce C1 a C2 mají stejný obsah.
B: Čtverce C1 a C2 mají stejnou stranu.
(12) A: Obdélníky O1 a O2 mají stejný obsah.
B: Obdélníky O1 a O2 mají shodnou šířku i shodnou délku.
(13) A: Pravoúhlé trojúhelníky T1 a T2 mají shodné přepony.
B: Obě odvěsny T1 jsou shodné s odvěsnami T2.
(14) A: Trojúhelník T má právě dva vnitřní úhly ostré.
B: Trojúhelník T je tupoúhlý.