Hesla k otázkám z DM 1
01. Základy matematické logiky
Výrok a jeho negace. Jednoduché a složené výroky. Tautologie a kontradikce, jejich
ověřování tabulkami pravdivostních hodnot.
Logické spojky konjunkce a disjunkce, jejich slovní vyjádření a tabulkové definice.
Kdy platí konjunkce a kdy disjunkce dvou výroků? De Morganova pravidla pro
jejich negace.
Logická spojka implikace, její slovní vyjádření a tabulková definice. Pozitivní vymezení
neplatnosti implikace. Pravidlo pro negaci implikace. Opačná implikace a obměněná
implikace.
Logická spojka ekvivalence, její slovní vyjádření, souvislost s implikacemi a tabulková
definice. Kdy platí ekvivalence dvou výroků? Pravidlo pro negaci ekvivalence.
Kvantifikované výroky. Obecný a existenční kvantifikátory, jejich slovní vyjádření.
Pravidla pro negace výroků s kvantifikátory.
02. Číselné obory, mocniny s celočíselným exponentem
Rozvíjení představ žáků o číslech na základní a střední škole.
Aritmetické operace a uspořádání čísel. Znázornění čísel na přímce.
Dělitelnost celých čísel — které dovednosti s touto relací spojujeme a jaký význam
pro další početní praxi mají.
K čemu slouží zlomky a jak je žákům přibližujeme? Procenta, poměry a úměry.
Proč na ZŠ potřebujeme iracionální čísla a jak je žákům přibližujeme (dekadickými
zápisy i geometricky). Zaokrouhlování čísel.
Mocniny s exponentem z oboru přirozených čísel, s exponentem nula a s exponentem
z oboru celých záporných čísel. Pravidla pro počítání s takovými mocninami.
03. Pojmy a terminologie kolem rovnic a nerovnic
Rovnost a rovnice, nerovnost a nerovnice.
Dvojí význam termínu „řešení .
Řešení, nebo kořen rovnice?
Definiční obor, obor pravdivosti.
Ekvivalentní a důsledkové úpravy.
Zkouška – nutná součást řešení?
Součinové a podílové tvary rovnic a nerovnic.
04. Lineární rovnice, nerovnice a jejich soustavy
Úpravy vedoucí k finálním tvarům lineární rovnice či nerovnice.
Řešení rovnic a nerovnic s lomenými výrazy.
Řešení rovnic a nerovnic s absolutními hodnotami.
Obor pravdivosti jedné lineární rovnice či nerovnice se dvěma neznámými, jeho
grafické znázornění.
Soustava dvou lineárních rovnic s dvěma neznámými, dvě základní metody jejího
řešení.
Možné obory pravdivosti soustavy dvou lineárních rovnic s dvěma neznámými.
1
05. Kvadratické rovnice a nerovnice
Co je kvadratická rovnice? Její řešení pamětným rozkladem.
Neúplné kvadratické rovnice a jejich kořeny.
Odvození vzorce pro kořeny kvadratické rovnice. Diskriminant.
Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice, jejich odvození.
Řešení kvadratické rovnice grafickou metodou.
Kvadratické nerovnice a postup jejich řešení.
Grafické řešení kvadratické nerovnice.
06. Rovnice a nerovnice s odmocninami
Zavedení druhé odmocniny a její vlastnosti.
Strategie řešení rovnic a nerovnic s odmocninami a dvě metody její realizace.
Umocnění obou stran rovnice či nerovnice a jeho vliv na postup řešení.
Substituční metoda — obecný popis pro (ne)rovnici s jednou neznámou.
Typické substituce u (ne)rovnic s odmocninami.
Metoda násobení sdruženým výrazem.
07. Rovnice a nerovnice s parametry
Rozdělení proměnných v (ne)rovnicích na neznámé a parametry, rozdílnost jejich
rolí.
Obecný význam úloh s parametry. Důvody náročnosti jejich řešení.
Co je nového při řešeních rovnic a nerovnic s parametry oproti takovým úlohám
bez parametru? Jaké komplikace to přináší?
Jak určovat znaménka kořenů kvadratické rovnice v závislosti na parametru?
08. Pojmy a terminologie kolem funkcí.
Pojem funkce, způsoby jejího zadání. Definiční obor a obor hodnot. Termíny argument
a funkční hodnota (vzor a obraz), nezávislá a závislá proměnná.
Funkce prostá. Inverzní funkce, její existence, definiční obor a obor hodnot v porovnání
s původní funkcí. Funkce periodická a její periody. Funkce sudé a funkce
liché, původ těchto termínů.
Kdy říkáme, že na dané množině je daná funkce shora ohraničená, zdola ohraničená,
ohraničená? Extrémní hodnoty (minima a maxima) dané funkce na dané množině.
Monotonie funkcí: funkce rostoucí a klesající na daném intervalu, symbolický zápis
formulí s dvěma kvantifikátory.
Pojem grafu funkce. Jak z grafu dané funkce y = f(x) snadno získat grafy jiných
funkcí? Kterých?
09. Lineární funkce (i s absolutními hodnotami)
a lineární lomená funkce.
Lineární funkce, definiční obor a obor hodnot, inverzní funkce.
Graf lineární funkce a geometrický význam koeficientů z jejího předpisu.
Jak sestrojit graf lineární funkce s výrazy v absolutní hodnotě? Jaký geometrický
tvar každý takový graf má?
Pojem lineární lomené funkce jako zobecnění funkce nepřímé úměrnosti, její definiční
obor a obor hodnot. Inverzní funkce k lineární lomené funkci.
Graf lineární lomené funkce, postup při jeho určení.
2
10. Kvadratické funkce
Kvadratické funkce. Grafy nejjednodušších funkcí y = x2
a y = ax2
, kde jsou
rostoucí, kde klesající a jaké mají obory hodnot.
Graf obecné kvadratické funkce, postup jeho určení. Kde je funkce rostoucí, kde
klesající a jaký má obor hodnot.
Využití při řešení kvadratických rovnic a nerovnic – role diskriminantu.
11. Odmocniny a mocniny s racionálním exponentem
Pojem n-té odmocniny, definiční obor, obor hodnot a graf příslušné funkce y = n
√
x.
Pravidla pro počítání s odmocninami, jejich důkazy.
Proč pro každé celé n > 1 ztotožňujeme funkci y = x
1
n s funkcí y = n
√
x?
Pro které zlomky m
n definujeme x
m
n ? Jak a pro která x, m, n?
Zavedení mocniny xr
s racionálním exponentem r a jeho korektnost.
Pravidla pro mocniny s racionálními exponenty (bez důkazů).
12. Mocninné funkce
Jak přiblížíme žákům problematiku mocnin xp
s iracionálním exponentem p?
Pravidla pro mocniny s reálnými exponenty.
Shrněte všechny případy, kdy je mocnina xa
s reálnými čísly x, a definována.
Mocninné funkce y = xa
s reálnými exponenty a různého druhu. Jaké jsou definiční
obory a obory hodnot této funkce v rozlišených případech? Jak při nich vypadá
graf mocninné funkce a jaká je její monotonie?
13. Exponenciální funkce
Pojem exponenciální funkce y = ax
, pro jaká a ji uvažujeme, její definiční obor,
monotonie, graf a obor hodnot.
Kdy jsou grafy dvou funkcí y = ax
a y = bx
souměrně sdružené podle osy y?
Jak žákům přiblížit určení přirozené exponenciální funkce y = ex
? Spojte to při
svém nadhledu s poznatky o čísle e z matematické analýzy.
14. Logaritmy a logaritmické funkce
Slovní určení čísla loga b. Omezení na čísla a, b.
Pravidla pro počítání s logaritmy včetně převodního vztahu mezi hodnotami loga x
a logb x s jeho důkazem.
Historický význam logaritmů. Logaritmy dekadické a přirozené.
Pojem logaritmické funkce y = loga x, pro jaká a ji uvažujeme, její definiční obor,
obor hodnot, graf a monotonie. Vzájemná poloha grafů funkcí y = ax
a y = loga x.
15. Exponenciální a logaritmické rovnice a nerovnice
Základní rovnice a nerovnice, ke kterým úpravami vždy směřujeme. Jaké vlastnosti
k určení jejich řešení využíváme. Objasněte na příkladech rovnic 22x−1
= 8, 2x
= 12,
0,2x
> 0,04, |x|2x−1
= 1, log3(x + 1) < 2 a logx(2x + 1) ≤ logx 4x.
Metody řešení exp. a log. rovnic a nerovnic, dvě časté substituce. Rovnice a nerovnice
se třemi mocninami o základech a2
, ab a b2
.
3
16. Goniometrické funkce
Goniometrické funkce ostrého úhlu definované užitím podobných pravoúhlých trojúhelníků.
Hodnoty funkcí pro významné úhly 30◦
, 45◦
a 60◦
a pro dvojice úhlů,
které se doplňují do 90◦
.
Funkce sinus a kosinus reálného argumentu definované užitím jednotkové kružnice
a pojmu orientovaného úhlu s obloukovou mírou.
Které vlastnosti funkcí sinus a kosinus plynou z geometrie jednotkové kružnice?
Převod sinu na kosinus a naopak.
Definice funkcí tangens a kotangens, odečítání jejich hodnot na tečně k jednotkové
kružnici. Definiční obory a obory hodnot obou funkcí, jejich periodicita, znaménka
a monotonie v jednotlivých kvadrantech.
Grafy goniometrických funkcí v oboru reálných čísel. Problematika inverzních funkcí:
arkussinus, arkuskosinus, arkustangens a arkuskotangens, jejich definiční obory,
obory hodnot a grafy.
17. Goniometrické vzorce
Triviální vzorce: goniometrická jednička, vztah mezi tg x a cotg x.
Z platnosti jednoho součtového vzorce pro sin(x ± y) a cos(x ± y) odvoďte platnost
ostatních tří vzorců.
Vzorce pro tg(x ± y).
Vzorce pro dvojnásobný argument s trojím vyjádřením cos 2x.
Vzorce pro poloviční argument, jejich nejednoznačnost.
Odvození vzorců pro sin x ± sin y a cos x ± cos y ze součtových vzorců.
Univerzální substituce t = tg x
2 . Pomůcka pro odvození s ní souvisejících vzorců.
18. Goniometrické rovnice
Základní goniometrická rovnice, etapy jejího řešení.
Rovnice typu g(U) = g(V ) a postupy jejího řešení. Rovnice sin U = cos V .
Substituční metoda. Časté substituce y = sin x, y = cos x a y = sin x + cos x.
Rovnice F(sin x, cos x) = 0 a možné postupy jejího řešení.
Rovnice a sin x + b cos x + c = 0 a dvě metody jejího řešení.
Řešení goniometrických rovnic převodem na součinový tvar.
Konec dokumentu
4