Goniometrické funkce v elementární matematice
Kapitola 4: Goniometrické funkce v oboru R
In: Radka Smýkalová (author): Goniometrické funkce v elementární matematice. (Czech). Brno,
2016. pp. 85–162.
Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/404318
Terms of use:
© Akademické nakladatelství CERM
© Nadace Universitas v Brně
© Česká matematická společnost
Institute of Mathematics of the Czech Academy of Sciences provides access to digitized
documents strictly for personal use. Each copy of any part of this document must contain these
Terms of use.
This document has been digitized, optimized for electronic delivery and
stamped with digital signature within the project DML-CZ: The Czech Digital
Mathematics Library http://dml.cz
Kapitola 4
Goniometrické funkce v oboru R
Goniometrické funkce se po dlouhá staletí utvářely jako prostředek trigonometrických výpočtů.
Tuto jejich roli jsme podrobně posoudili v předchozích kapitolách. Nyní se začneme goniometrickým
funkcím věnovat z pohledu matematické analýzy, totiž jako funkcím reálné proměnné, které nacházejí
významné uplatnění v řadě dalších matematických, fyzikálních i jiných oborů.
4.1 Funkce sinus a kosinus
4.1.1 Dvě funkce orientovaného úhlu
V kapitole 3 jsme poznali, jak funkce sinus a kosinus, zavedené původně pro hodnoty úhlů
z intervalu �0◦, 90◦�, rozšířit na interval �0◦, 180◦�, aby všechny goniometrické vzorce pro řešení
obecného rovinného trojúhelníku měly jednotný tvar. Vidíme to na obrázku 4.1, z něhož je patrné,
cos α = |OC|
sin α = |OS|
O
AS
C
α
c
s
(a) 0◦
≤ α ≤ 90◦
cos α = −|OC|
sin α = |OS|
O
A S
C
α
c
s
(b) 90◦
≤ α ≤ 180◦
Obrázek 4.1: Hodnoty sin α a cos α pro α ∈ �0◦, 180◦�
že hodnoty sinu a kosinu jsou kartézské souřadnice bodu A na jednotkové kružnici se středem
v počátku O soustavy, tvořené dvojicí navzájem kolmých os – vodorovné „kosinové“ osy c a svislé
85
KAPITOLA 4. GONIOMETRICKÉ FUNKCE V OBORU R
„sinové“ osy s. Takovou kartézskou souřadnicovou soustavu budeme značit Ocs, její kladné poloosy
označíme c+ a s+, záporné poloosy pak c− a s−.
Zmíněné pozorování bude ve shodě se způsobem, jakým nyní definujeme hodnoty sinu a kosinu
libovolného orientovaného úhlu. Motivací nám bude kinematická úloha vyjádřit souřadnicemi
polohu hmotného bodu pohybujícího se po kružnici.1 Takový pohyb konají například konce ručiček
klasických hodin s ciferníkem. Nám postačí jedna „goniometrická“ ručička OA délky 1, která se
bude otáčet kolem počátku O, takže její konec A bude ukazovat na „ciferník“ v podobě jednotkové
kružnice2 se středem v počátku O. Úhel otočení ručičky OA budeme měřit od počáteční polohy,
kdy ručička leží na kladné poloose c+ (tehdy má bod A souřadnice [1, 0]). Velikost úhlu otočení
nebudeme vyjadřovat ve stupních, nýbrž bezrozměrným číslem v obloukové míře (radiánech). Úhlu
otočení ještě přiřadíme znaménko + či − podle směru otáčení ručičky OA; přitom za kladný směr
budeme považovat směr toho otočení o úhel 1
2π, ve kterém poloosa c+ přejde v poloosu s+.3 Touto
„orientací“ se úhlem otočení ručičky OA stane libovolné reálné číslo x. Například na obr. 4.2 je
vlevo 5
2π < x < 3π, vpravo −π < x < −1
2π.
Nyní již máme vše připraveno k tomu, abychom definovali hodnoty sinu a kosinu v libovolném
O
A[c, s]
[0, s]
[c, 0]
[1, 0]
c
s
(a)
x
O
A[c, s]
[0, s]
[c, 0] [1, 0]
c
s
(b)
Obrázek 4.2: Orientovaný úhel otočení goniometrické ručičky
čísle x ∈ R: Je-li goniometrická ručička OA otočena popsaným způsobem o orientovaný úhel x a
má-li bod A v soustavě Ocs souřadnice [c, s], položíme
cos x = c a sin x = s.
Touto konstrukcí se sinus a kosinus stávají dvěma funkcemi s definičním oborem R, přitom na intervalu
�0, π� jde o funkce, se kterými jsme pracovali v předchozích kapitolách. Popíšeme a zdůvodníme
teď jejich základní vlastnosti, bezprostředně spojené se zavedeným modelem goniometrické ručičky
OA v kartézské soustavě souřadnic Ocs.
Stejně jako se velká ručička u klasických hodin za šedesát minut dostane opět na stejné místo, i
1
Matematicky nejpádnější motivací je ovšem chování exponenciální funkce v komplexním oboru, objevené Eulerem,
jak jsme naznačili v kapitole 1. Takový přístup však přesahuje rámec elementární matematiky, do něhož je celá naše
práce zasazena.
2
Body ciferníku ovšem nebudou popsány škálou údajů, jako jsou hodiny či minuty, nýbrž svými souřadnicemi [c, s]
v soustavě Ocs.
3
Při obvyklém zakreslení soustavy Ocs jako na obr. 4.1 je tedy kladný směr otáčení opačný, než je směr otáčení
hodinových ručiček.
86
4.1. FUNKCE SINUS A KOSINUS
naše goniometrická ručička OA se z dané polohy opět vrátí do stejné pozice po otočení o úhel 2π.
Při dalším putování konce ručičky po jednotkové kružnici nic nového bod A o souřadnicích [c, s] než
při předchozí obrátce nečeká, a to se opakuje do nekonečna. Z toho můžeme vyvodit hned několik
vlastností funkcí sinus a kosinus:
1. Perioda obou funkcí je 2π. Platí vzorce
sin x = sin(x + 2π) a cos x = cos(x + 2π).
K získání přehledu o průběhu goniometrických funkcí sinus a kosinus stačí tedy vyšetřovat
jejich chování pouze na intervalu �0, 2π�.
2. Obě souřadnice bodu A, c-ová i s-ová, nabývají pouze hodnot z intervalu �−1, 1�, a to všech,
které v něm leží. Obor hodnot obou funkcí je proto
H(sin) = H(cos) = �−1, 1�.
3. Největších a nejmenších hodnot nabývají souřadnice c a s bodu A na jednotkové kružnici,
když ručička OA leží na poloosách c+, s+, c− a s−:
x 0 1
2π π 3
2π 2π
sin x 0 1 0 −1 0
cos x 1 0 −1 0 1
4. Souřadnice c a s bodu A nabývají v jednotlivých kvadrantech pouze kladných nebo pouze
záporných hodnot. Hodnoty sinu a kosinu tedy mají v odpovídajících intervalech znaménko:
Interval (0, 1
2π) (1
2 π, π) (π, 3
2π) (3
2 π, 2π)
sin x + + − −
cos x + − − +
5. Při průchodu ručičky OA jednotlivými kvadranty se hodnoty souřadnic c a s bodu A vždy buď
zvětšují, nebo zmenšují. Funkce sinus a kosinus jsou tedy v příslušných intervalech rostoucí
nebo klesající (např. zápis 0 ր 1 značí funkci rostoucí od 0 do 1, 0 ց −1 funkci klesající od
0 do −1):
Interval (0, 1
2π) (1
2 π, π) (π, 3
2π) (3
2π, 2π)
sin x 0 ր 1 1 ց 0 0 ց −1 −1 ր 0
cos x 1 ց 0 0 ց −1 −1 ր 0 0 ր 1
6. Otočíme-li ručičku OA z počáteční polohy na c+ o orientovaný úhel x, bod A bude mít
souřadnice [c, s]. Když místo toho otočíme ručičku OA o orientovaný úhel −x, souřadnice
bodu A budou [c, −s]. Z této souměrnosti podle kosinové osy, ke které se podrobněji vrátíme
v části 4.1.2, vyplývá parita obou funkcí. Funkce sinus je lichá a funkce kosinus je sudá, což
zapisujeme vzorci:
sin x = − sin(−x) a cos x = cos(−x).
87
KAPITOLA 4. GONIOMETRICKÉ FUNKCE V OBORU R
x
y
0
1
−1
π 2π 3π−π−2π
y = sin x
(a)
x
y
0
1
−1
π 2π 3π−π−2π
y = cos x
(b)
Obrázek 4.3: Grafy funkcí sinus a kosinus
Pro křivky, jež jsou grafy funkcí sinus a kosinus, užíváme názvů sinusoida a kosinusoida (obr.
4.3). Jsou to dvě geometricky shodné křivky (navzájem posunuté ve směru osy x). Podobné křivky
jsou grafy funkcí, kterým říkáme sinusoidální a kterým v naší práci věnujeme příklad 4.7.1.
Je zřejmé, že funkce sinus ani funkce kosinus nejsou prosté. Každá z nich nabývá libovolné
své hodnoty dokonce v nekonečně mnoha bodech. Nejen na celém definičním oboru R, ale ani na
intervalu délky jedné periody 2π, k nim tedy neexistují inverzní funkce. My jsme se o inverzních
funkcích ke goniometrickým funkcím sinus a kosinus s názvy arkussinus (arcsin) a arkuskosinus
(arccos), kterým říkáme cyklometrické, zmínili již v části 2.1.2; tehdy ovšem v souvislosti s hledáním
velikosti úhlů v pravoúhlém trojúhelníku, jejichž goniometrické hodnoty byly dány. Tyto hodnoty
byly pouze z intervalu �0, 1� a velikosti úhlů byly v rozmezí intervalu �0, π
2 �.
Cyklometrické funkce y = arcsin x a y = arccos x zavádíme tak, že vezmeme pouze takové
maximální části definičních oborů funkcí sinus a kosinus, jejichž součástí je již zmíněný interval
�0, π
2 �, na kterých jsou funkce prosté. U funkce sinus je to interval �−π
2 , π
2 �, u funkce kosinus jiný
interval �0, π�. Na nich je funkce sinus rostoucí, funkce kosinus klesající a obě tam nabývají všech
hodnot z �−1, 1�. Pro inverzní funkce proto vybereme obory hodnot v příslušném intervalu
H(arcsin) = −
π
2
,
π
2
a H(arccos) = �0, π�.
Získáme tak dvě funkce se společným definičním oborem
D(arcsin) = D(arccos) = �−1, 1�,
jejichž formální definice lze zapsat ekvivalencemi
y = arcsin x ⇔ x = sin y ∧ −
π
2
≤ y ≤
π
2
,
y = arccos x ⇔ x = cos y ∧ 0 ≤ y ≤ π.
Grafy funkcí arkussinus a arkuskosinus vidíme na obr. 4.4. Ze zmíněné monotónnosti zúžených
funkcí sinus a kosinus plyne, že zavedená funkce arkussinus je rostoucí, zatímco funkce arkuskosinus
na celém definičním oboru klesá. Uveďme a dokažme základní vztahy pro cyklometrické funkce
arcsin(−x) = − arcsin x, arccos(−x) = π − arccos x, arcsin x + arccos x =
π
2
,
platné pro každé x ∈ �−1, 1�.
88
4.1. FUNKCE SINUS A KOSINUS
x
y
0
π
2
−π
2
1−1
y = arcsin x
(a)
x
y
0
π
1−1
y = arccos x
(b)
Obrázek 4.4: Grafy funkcí arkussinus a arkuskosinus
• Je-li y = arcsin x, pak −π
2 ≤ y ≤ π
2 a x = sin y, odkud −π
2 ≤ −y ≤ π
2 a −x = sin(−y), neboť
funkce sinus je lichá. Poslední dva vztahy už znamenají, že −y = arcsin(−x).
• Je-li y = arccos x, pak 0 ≤ y ≤ π a x = cos y, odkud −π ≤ −y ≤ 0, následně po přičtení
π obdržíme 0 ≤ π − y ≤ π. Nyní využijeme rovnost cos(π − y) = − cos y4, podle které platí
cos(π−y) = − cos y = −x. Odtud a z nerovnosti 0 ≤ π−y ≤ π dostáváme arccos(−x) = π−y
a po dosazení y = arccos x dokazovanou rovnost.
• Označme y = arcsin x a ukažme, že arccos x = π
2 −y. Je-li 0 ≤ x ≤ 1, je 0 ≤ y ≤ π
2 a sin y = x,
odkud 0 ≤ π
2 − y ≤ π
2 a cos(π
2 − y) = x (protože sinus a kosinus jsou kofunkce z části 2.1.2)
a kýžený vztah platí. Je-li −1 ≤ x < 0, je −π
2 ≤ y < 0 a sin y = x, odkud π
2 < π
2 − y ≤ π a
cos(π
2 − y) = cos(π − [π
2 + y]) = − cos(π
2 + y) = − sin(−y) = sin y = x, kde jsme mj. využili
vlastnost kofunkcí pro ostré úhly −y a π
2 + y (o součtu π
2 ).
4.1.2 Koloběh hodnot sinu a kosinu
Jak je patrné z obrázku 4.3, grafy funkcí sinus a kosinus jsou složeny ze shodných „půlvln“
střídavě nad a pod osou x, přičemž každá půlvlna je souměrná podle svislé přímky procházející
jejím vrcholem. Tuto základní vlastnost průběhů (vlastně koloběhů) obou funkcí nyní popíšeme
důležitými převodními vzorci. Řadíme k nim vztahy pro hodnoty f(±x ± π) a f(±x ± π
2 ), kde
f = sin nebo f = cos. Odvodíme je tak, že se znovu vrátíme k modelu goniometrické ručičky a
využijeme geometrických představ o jejích pohybech, kterými budou otočení o úhly π, 1
2π a zrcadlové
překlopení podle kosinové osy.
Začneme vysvětlením toho, co jsme uvedli již v části 4.1.1, že totiž sinus je funkce lichá a kosinus
funkce sudá. K tomu uvážíme dvě různá otočení ručičky OA z počáteční polohy na poloose c+. Jedno
o orientovaný úhel x a druhé o orientovaný úhel −x. Ručičky se otočí o úhel téže velikosti, avšak
v navzájem opačných směrech, takže jejich pohyby budou „zrcadlově souměrné“ (obr. 4.5). Pokud
koncová poloha OA goniometrické ručičky odpovídá orientovanému úhlu x a koncová poloha OA′
orientovanému úhlu −x, budou body A[c, s] a A′[c′, s′], podle definice se souřadnicemi
c = cos x, s = sin x, c′
= cos(−x), s′
= sin(−x),
4
Tu jsme právě pro y ∈ �0, π� použili v kapitole 3 pro rozšíření kosinu z �0, π
2
� na �0, π�.
89
KAPITOLA 4. GONIOMETRICKÉ FUNKCE V OBORU R
x
−xO
A[c, s]
A′[c′, s′]
c+
s+
c−
s−
Obrázek 4.5
souměrně sdružené podle kosinové osy c, bude tedy c′ = c a s′ = −s. Vidíme, že pro každé x ∈ R
skutečně platí5
sin(−x) = − sin x a cos(−x) = cos x.
Z dokázané parity plynou ihned vztahy
sin(2π − x) = − sin x a cos(2π − x) = cos x,
protože, jak víme, číslo 2π je perioda obou funkcí sinus a kosinus. Její polovina, číslo π, má ve
vztahu k těmto funkcím vlastnost
sin(x + π) = − sin x a cos(x + π) = − cos x,
pro niž se číslu π někdy říká antiperioda (sinu a kosinu). K důkazu použijeme otočení goniometrické
ručičky o úhel π z polohy OA, která odpovídá orientovanému úhlu x, do polohy OA′ (obr. 4.6).
Body A[c, s] a A′[c′, s′], jejichž souřadnice jsou podle definice funkcí kosinus a sinus rovny
c = cos x, s = sin x, c′
= cos(x + π), s′
= sin(x + π),
budou souměrně sdružené podle středu O. To znamená, že c′ = −c a s′ = −s, což jsme chtěli
dokázat.
Protože pro funkci f s periodou 2π platí f(x − π) = f(x + π), právě dokázané vzorce můžeme
přepsat do tvaru
sin(x − π) = − sin x a cos(x − π) = − cos x.
Ve spojení s paritou funkcí (lichá – sudá) tak dostáváme další vzorce
sin(π − x) = sin x a cos(π − x) = − cos x,
o jejichž významu v trigonometrii jsme psali v kapitole 3.
Poslední geometrickou úvahu povedeme k odvození vztahů
sin x +
π
2
= cos x a cos x +
π
2
= − sin x.
5
Pozice ručiček souměrně sdružené podle sinové osy s by odpovídaly dvojicím orientovaných úhlů x a π − x, takže
bychom dostali vzorce pro cos(π − x) a sin(π − x). Ty však získáme později jinak.
90
4.1. FUNKCE SINUS A KOSINUS
x
π O
A[c, s]
A′[c′, s′]
c+
s+
c−
s−
Obrázek 4.6
Předpokládejme, že goniometrickou ručičku v poloze OA, která odpovídá orientovanému úhlu x,
otočíme ještě o úhel +π
2 do polohy OA′ (obr. 4.7). Určíme vztahy mezi souřadnicemi bodů A[c, s]
x
π
2
A[c, s]
A′[c′, s′]
O c+
s+
c−
s−
Obrázek 4.7
a A′[c′, s′], které jsou podle definice funkcí kosinus a sinus rovny
c = cos x, s = sin x, c′
= cos x +
π
2
, s′
= sin x +
π
2
.
Jak je na obr. 4.7 znázorněno, při zmíněném otočení o úhel +π
2 přejde poloosa c+ v poloosu s+
a poloosa s+ v poloosu c−. Druhá souřadnice bodu A′ se tedy rovná první souřadnici bodu A, tj.
s′ = c, zatímco první souřadnice bodu A′ a druhá souřadnice bodu A jsou navzájem opačná čísla,
tj. c′ = −s. Důkaz vzorců je tedy hotov. Jestliže v nich zaměníme x za (−x), pak s ohledem na
91
KAPITOLA 4. GONIOMETRICKÉ FUNKCE V OBORU R
paritu funkcí dostaneme vztahy
sin
π
2
− x = cos x a cos
π
2
− x = sin x.
Jejich praktický význam oceníme při úpravách goniometrických výrazů, či při řešení goniometrických
rovnic a nerovnic, kdy potřebujeme přejít od funkce sinus k funkci kosinus nebo naopak. Dodejme,
že tyto dva důležité převodní vzorce6 lze odvodit rovněž úvahou o souměrnosti podle osy prvního
a třetího kvadrantu v soustavě Ocs dvou poloh ručičky, které odpovídají orientovaným úhlům x a
π
2 − x.
Zbývá ještě uvést převodní vzorce
sin x −
π
2
= − cos x a cos x −
π
2
= sin x.
Plynou z předchozí dvojice vzorců, neboť díky paritě funkcí platí
sin x −
π
2
= − sin
π
2
− x a cos x −
π
2
= cos
π
2
− x .
V závěru podkapitoly vyložíme prakticky užitečné pravidlo o tom, že pro libovolné x jsou hodnoty
sin x a cos x (případně až na znaménka) numericky shodné s hodnotami sin α, cos α pro vhodný
úhel α z intervalu �0, π
2 �. Jistě se stačí omezit na hodnoty x ∈ �0, 2π� a pak využít toho, že každé
takové x je jednoho z tvarů α, π −α, π +α, resp. 2π −α podle toho, ve kterém z kvadrantů hodnota
x leží (obr. 4.8). Taková „redukce“ argumentu x ∈ R na ostrý úhel má velký význam jednak při
řešení goniometrických rovnic (viz 4.4), jednak při hledání přibližných hodnot sin x a cos x pomocí
tabulek. Nejenže hodnoty sinu a kosinu určíme z tabulek sestavených pouze pro úhly z intervalu
�0, π
2 �, ale navíc díky vlastnosti, kterou jsme vyjádřili termínem kofunkce, lze dokonce vystačit s tabulkami
hodnot sinu a kosinu v polovičním intervalu �0, π
4 �.
Poznámka: Převodní vzorce pro sinus a kosinus, kterými jsme se v této podkapitole zabývali, lze odvodit
i poněkud odlišným způsobem, při němž je zdůrazněna určenost obou funkcí jednou půlvlnou
sinusoidy, zmíněná úvodem části 4.1.2.
4.2 Funkce tangens a kotangens
Nyní se budeme zabývat dalšími dvěma goniometrickými funkcemi. V kapitole 2 jsme se již
s nimi setkali: tangens ostrého úhlu byl dán podílem délek stran v pravoúhlém trojúhelníku s tímto
vnitřním úhlem, a to odvěsny protilehlé a přilehlé, hodnota kotangens byla určena převráceným
podílem těchže délek. Všimnuli jsme si, že tyto funkce lze vyjádřit pomocí podílů funkcí sinus a
kosinus. Tato podílová vyjádření využijeme nyní k tomu, abychom poté, co jsme rozšířili definiční
obory funkcí sinus a kosinus na množinu reálných čísel, obdobného rozšíření dosáhli i pro funkce
tangens a kotangens: Funkcí tangens reálného argumentu x se nazývá funkce, která je dána předpisem
tg x =
sin x
cos x
,
funkci kotangens definujeme předpisem
cotg x =
cos x
sin x
.
6
Jejich snadná a bezpečná zapamatovatelnost je dána tím, že jsme sinus a kosinus původně zavedli jako dvě
kofunkce na pravoúhlém trojúhelníku.
92
4.2. FUNKCE TANGENS A KOTANGENS
x
x = α
O
α
c
s
(a)
x
x = π − α
O
α
c
s
(b)
x
x = π + α
Oα c
s
(c)
x
x = 2π − α
O
α c
s
(d)
Obrázek 4.8
Přímo z definice plyne jejich vzájemný vztah
tg x · cotg x = 1,
který platí pro všechna x ∈ R, pro něž mají obě hodnoty tg x, cotg x smysl.
Hodnoty tangens a kotangens můžeme v modelu s goniometrickou ručičkou odečíst jako souřadnice
na dvou číselných osách t a ct, umístěných v soustavě Ocs způsobem patrným z obrázku 4.9. Odtud
je jasné, že platí
H(tg) = H(cotg) = R
a že funkce tg, cotg mají jednostranné nevlastní limity v bodech, ve kterých nejsou definovány a
které nyní upřesníme společně s dalšími důsledky základních vlastností funkcí sinus a kosinus.
1. Definiční obor funkce tangens je množina všech reálných čísel x, pro které má výraz sin x
cos x smysl,
a to je právě tehdy, když cos x �= 0. Obdobně definiční obor funkce kotangens je množina všech
reálných čísel x, pro které má výraz cos x
sin x smysl, a to je právě tehdy, když sin x �= 0. Protože
nulové body funkcí kosinus a sinus známe (goniometrická ručička leží na ose s, resp. c neboli
93
KAPITOLA 4. GONIOMETRICKÉ FUNKCE V OBORU R
x
O [1, 0]
[0, 1]
A
[cotg x, 1]
[1, tg x]
c
s
ct
t
Obrázek 4.9: Číselné osy pro tangens a kotangens
je rovnoběžná s osou t, resp. ct), platí
D(tg) =
k∈Z
−
π
2
+ kπ,
π
2
+ kπ a D(cotg) =
k∈Z
(kπ, (k + 1)π) .
2. Perioda obou funkcí tangens a kotangens je π:
tg (x + π) = tg x a cotg (x + π) = cotg x.
Plyne to ze společné antiperiody π funkcí sinus a kosinus:
tg (x + π) =
sin(x + π)
cos(x + π)
=
− sin x
− cos x
= tg x, cotg (x + π) =
− cos x
− sin x
= cotg x.
3. Obě funkce tangens a kotangens jsou liché:
tg (−x) = −tg x a cotg (−x) = −cotg x.
Plyne to z lichosti funkce sinus a sudosti funkce kosinus:
tg (−x) =
sin(−x)
cos(−x)
=
− sin x
cos x
= −tg x, cotg (−x) =
cos x
− sin x
= −cotg x.
Pro křivky, jež jsou grafy funkcí tangens a kotangens, užíváme názvů tangentoida a kotangentoida
(obr. 4.10).
O cyklometrických funkcích arkustangens (arctg x) a arkuskotangens (arccotg x), inverzních ke
goniometrickým tg x a cotg x, jsme se již zmínili v části 2.1.2, ovšem tehdy jsme je uvažovali pouze
na intervalu �0, ∞). Příslušné hodnoty (úhly) ležely mezi 0 a π
2 .
Funkce tangens ani funkce kotangens není na R prostá, tedy při zavádění funkcí y = arctg x
a y = arccotg x (obdobně jako u funkcí arkussinus a arkuskosinus) je potřeba se omezit pouze na
takové maximální části definičních oborů funkcí tangens a kotanges, na kterých jsou tyto funkce
prosté a které přitom obsahují již zmíněný interval (0, π
2 ). U funkce tangens je to interval (−π
2 , π
2 ),
94
4.2. FUNKCE TANGENS A KOTANGENS
x
y
0 π
2−π
2
y = tg x
(a)
x
y
0 π
2−π
2
y = cotg x
(b)
Obrázek 4.10: Grafy funkcí tangens a kotangens
u funkce kotangens jiný interval (0, π). Na příslušném intervalu je funkce tangens rostoucí, funkce
kotangens klesající a obě tam nabývají všech hodnot z intervalu (−∞, ∞). Pro inverzní funkce proto
vybereme obory hodnot
H(arctg) = −
π
2
,
π
2
a H(arccotg) = (0, π).
Získáme tak dvě funkce se společným definičním oborem
D(arctg) = D(arccotg) = (−∞, ∞),
jejichž formální definice lze zapsat ekvivalencemi
y = arctg x ⇔ x = tg y ∧ −
π
2
< y <
π
2
,
y = arccotg x ⇔ x = cotg y ∧ 0 < y < π.
Grafy funkcí arkustangens a arkuskotangens vidíme na obr. 4.11. Oba grafy mají dvě asymptoty
x
y
0
π
2
−π
2
y = arctg x
(a)
x
y
0
π
y = arccotg x
(b)
Obrázek 4.11: Grafy funkcí arkustangens a arkuskotangens
rovnoběžné s osou x. Je rovněž patrné, že zavedená funkce arkustangens je rostoucí, zatímco funkce
95
KAPITOLA 4. GONIOMETRICKÉ FUNKCE V OBORU R
arkuskotangens na celém svém definičním oboru klesá. Uvedeme ještě a dokážeme tři vztahy pro
cyklometrické funkce
arctg(−x) = −arctg x, arccotg(−x) = π − arccotg x, arctg x + arccotg x =
π
2
,
platné pro každé x ∈ R.
• Je-li y = arctg x, pak −π
2 < y < π
2 a x = tg y, odkud −π
2 < −y < π
2 a −x = tg (−y), neboť
funkce tangens je lichá. Poslední dva vztahy už znamenají, že −y = arctg (−x).
• Je-li y = arccotg x, pak 0 < y < π a x = cotg y, odkud −π < −y < 0, následně po přičtení π
obdržíme 0 < π − y < π. Nyní využijeme rovnost7 cotg(π − y) = −cotg y, podle které platí
cotg(π − y) = −cotg y = −x. Odtud a z nerovnosti 0 < π − y < π dostáváme arccotg(−x) =
= π − y a po dosazení y = arccotg x dokazovanou rovnost.
• Označme y = arctg x a ukažme, že arccotg x = π
2 − y. Je-li x ≥ 0, je 0 ≤ y < π
2 a tg y = x,
odkud 0 < π
2 − y ≤ π
2 a cotg(π
2 − y) = x (protože tangens a kotangens jsou kofunkce z části
2.1.2) a kýžený vztah platí. Je-li x < 0, je −π
2 < y < 0 a tg y = x, odkud π
2 < π
2 − y < π a
cotg(π
2 − y) = cotg(π − [π
2 + y]) = −cotg(π
2 + y) = −tg(−y) = tg y = x, kde jsme mj. využili
vlastnost kofunkcí pro ostré úhly −y a π
2 + y (o součtu π
2 ).
4.3 Základní goniometrické vzorce
Při práci s goniometrickými funkcemi používáme celou řadu vzorců. Nejdůležitější z nich teď
postupně uvedeme po skupinách a opatříme je „šňůrou“ důkazů, tvořících v textu naší práce celek
podobný tomu, jaký se v současnosti vyžaduje při exaktním výkladu kterékoliv matematické teorie.
Některé další goniometrické vzorce pak odvodíme v podkapitole 4.6.
Jako první zmíníme ještě v této úvodní části vztah, o kterém jsme již pojednávali v předchozích
kapitolách. Tento (snad nejznámější) goniometrický vzorec
cos2
x + sin2
x = 1 (pro každé x ∈ R)
(zvaný goniometrická jednička) plyne z našeho modelu z Pythagorovy věty pro pravoúhlý trojúhelník,
jehož přeponou je goniometrická ručička OA a jehož odvěsny mají délky | cos x| a | sin x| (viz
obr. 4.12).
Kromě goniometrické jedničky známe již jednu skupinu vzorců, kterým jsme věnovali část 4.1.2
a kterým říkáme vzorce převodní. My je podstatně využijeme i při klíčovém důkazu této podkapitoly,
a to hned v následující části 4.3.1.
4.3.1 Součtové a rozdílové vzorce
Z předchozích trigonometrických kapitol už dobře známe součtové vzorce pro sinus a kosinus
sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y, (4.1)
cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y. (4.2)
7
Rovnost plyne z lichosti funkce kotangens a dále z její periody π.
96
4.3. ZÁKLADNÍ GONIOMETRICKÉ VZORCE
| cos x|
| sin x|
O
A
1
x
c
s
Obrázek 4.12
Dokázali jsme je nejprve v situaci, kdy zastoupené úhly x, y, x + y leží v intervalu (0, π
2 ), později
rozšířeném na interval (0, π). Naším cílem je nyní ukázat, že tyto vzorce platí pro funkce sinus a
kosinus v reálném oboru bez jakéhokoliv omezení, tedy pro libovolná čísla x, y ∈ R.
S ohledem na společnou periodu 2π obou funkcí sinus a kosinus stačí ověřit platnost vzorců (4.1)
a (4.2) za předpokladu, že čísla x, y jsou vybrána z intervalu �0, 2π). Toho zřejmě dosáhneme, když
dokážeme následující dvě tvrzení:
• Vzorce (4.1) a (4.2) platí pro libovolná x, y z intervalu �0, π
2 ).
• Platí-li vzorce (4.1) a (4.2) pro nějakou dvojici (x, y), platí i pro dvojice (x+ π
2 , y) a (x, y + π
2 ).
První tvrzení je zřejmé, je-li některé z čísel x, y rovno nule, neboť sin 0 = 0 a cos 0 = 1. V opačném
případě, kdy obě čísla x, y leží v otevřeném intervalu (0, π
2 ), leží všechna tři čísla x, y, x + y v intervalu
(0, π) a v takové situaci vzorce (4.1) a (4.2) platí podle trigonometrických důkazů uvedených
v podkapitole 3.6.
Předpokládejme tedy, že vzorce (4.1) a (4.2) platí pro danou dvojici (x, y) a pro dvojici (x+ π
2 , y)
zapišme nejprve vzorec (4.1):
sin x +
π
2
+ y
cos(x+y)
= sin x +
π
2
cos x
cos y + cos x +
π
2
− sin x
sin y.
Pod hodnoty sinu a kosinu s argumenty obsahujícími sčítanec π
2 jsme zapsali jejich zjednodušená
vyjádření podle převodních vzorců z části 4.1.2. Vidíme, že vzorec pro sinus součtu na dvojici (x +
+ π
2 , y) je ekvivalentní se vzorcem (4.2) pro kosinus součtu na původní dvojici (x, y). Podobně je
vidět, že vzorec pro kosinus součtu na dvojici (x + π
2 , y)
cos x +
π
2
+ y
− sin(x+y)
= cos x +
π
2
− sin x
cos y − sin x +
π
2
cos x
sin y
je ekvivalentní se vzorcem (4.1) pro sinus součtu na původní dvojici (x, y). Protože dle předpokladu
oba vzorce na dvojici (x, y) platí, platí i na dvojici (x + π
2 , y). Stejně tak se oba vzorce zdůvodní i
pro dvojici (x, y + π
2 ). Tím je celý důkaz vzorců (4.1) a (4.2) v oboru R ukončen.
Z dokázaných vzorců (4.1) a (4.2) odvodíme nyní vzorce pro sin(x − y) a cos(x − y), které se
97
KAPITOLA 4. GONIOMETRICKÉ FUNKCE V OBORU R
nazývají souhrnně spolu se vzorci (4.1) a (4.2) součtové, nicméně v některé literatuře je čtenář
nalezne pod názvem rozdílové vzorce pro sinus a kosinus. Mají tvar
sin(x − y) = sin x cos y − cos x sin y, (4.3)
cos(x − y) = cos x cos y + sin x sin y (4.4)
a z (4.1) a (4.2) plynou díky paritám funkcí sinus a kosinus:
sin(x − y) = sin(x + (−y)) = sin x cos(−y) + cos x sin(−y) = sin x cos y − cos x sin y,
cos(x − y) = cos(x + (−y)) = cos x cos(−y) − sin x sin(−y) = cos x cos y + sin x sin y.
Aby byly součtové a rozdílové vzorce kompletní, odvodíme ještě vzorce pro tg(x±y) a cotg(x±y).
Kromě vzorců (4.1) a (4.2) využijeme toho, že obě funkce tangens i kotangens jsou liché:
tg(x + y) =
sin(x + y)
cos(x + y)
=
sin x cos y + cos x sin y
cos x cos y − sin x sin y
=
sin x cos y
cos x cos y + cos x sin y
cos x cos y
cos x cos y
cos x cos y − sin x sin y
cos x cos y
=
tg x + tg y
1 − tg x tg y
,
tg(x + y) =
tg x + tg y
1 − tg x tg y
. (4.5)
tg(x − y) = tg(x + (−y)) =
tg x + tg (−y)
1 − tg x tg (−y)
=
tg x − tg y
1 + tg x tg y
,
tg(x − y) =
tg x − tg y
1 + tg x tg y
. (4.6)
cotg(x + y) =
cos(x + y)
sin(x + y)
=
cos x cos y − sin x sin y
sin x cos y + cos x sin y
=
cos x cos y
sin x sin y − sin x sin y
sin x sin y
sin x cos y
sin x sin y + cos x sin y
sin x sin y
=
cotg x cotg y − 1
cotg y + cotg x
,
cotg(x + y) =
cotg x cotg y − 1
cotg y + cotg x
. (4.7)
cotg(x − y) = cotg(x + (−y)) =
cotg x cotg (−y) − 1
cotg (−y) + cotg x
=
−cotg x cotg y − 1
−cotg y + cotg x
=
cotg x cotg y + 1
cotg y − cotg x
,
cotg(x − y) =
cotg x cotg y + 1
cotg y − cotg x
. (4.8)
V závěru této části se zmíníme o prakticky důležité otázce, jak si součtové vzorce pro sinus
a kosinus dobře zapamatovat, či spíše jak je v případě nutnosti rychle a bezpečně odvodit. Jak
podrobněji posoudíme v šesté kapitole, bezesporu nejlepším řešením je algebraicky roznásobit součin
dvou komplexních jednotek v levé straně rovnosti
(cos x + i sin x)(cos y + i sin y) = cos(x + y) + i sin(x + y)
a porovnat reálné a imaginární části obou stran. Nyní spíše jako kuriozitu uveďme, že oba součtové i
oba rozdílové vzorce pro sinus a kosinus lze zapsat jedinou rovností pro násobení čtvercových matic
řádu 2:
cos(x + y) sin(x + y)
sin(x − y) cos(x − y)
=
cos x sin x
sin x cos x
·
cos y sin y
− sin y cos y
.
98
4.3. ZÁKLADNÍ GONIOMETRICKÉ VZORCE
4.3.2 Funkce dvojnásobného a polovičního argumentu
Vzorce pro funkce dvojnásobného argumentu, dříve v podkapitole 2.5 uvedené pouze pro úhel
z intervalu (0, π
4 ), nyní díky výše odvozeným součtovým vzorcům dokážeme pro všechna reálná čísla:
sin 2x = sin(x + x) = sin x cos x + cos x sin x = 2 sin x cos x,
sin 2x = 2 sin x cos x. (4.9)
cos 2x = cos(x + x) = cos x cos x − sin x sin x = cos2
x − sin2
x,
cos 2x = cos2
x − sin2
x. (4.10)
Když přepíšeme kvadráty ve vzorci pro cos 2x pomocí goniometrické jedničky, obdržíme ještě jeho
další dva tvary:
cos 2x = 2 cos2
x − 1 a cos 2x = 1 − 2 sin2
x. (4.11)
tg 2x = tg(x + x) =
tg x + tg x
1 − tg x tg x
=
2tg x
1 − tg2x
,
tg 2x =
2tg x
1 − tg2x
. (4.12)
cotg 2x = cotg(x + x) =
cotg x cotg x − 1
cotg x + cotg x
=
cotg2x − 1
2cotg x
,
cotg 2x =
cotg2x − 1
2cotg x
. (4.13)
Odvoďme ještě vzorce, které ukazují, jak hodnoty sin 2x a cos 2x závisí na hodnotě tg x:
sin 2x =
2 sin x cos x
cos2 x + sin2
x
·
1
cos2 x
1
cos2 x
=
2tg x
1 + tg2x
,
sin 2x =
2tg x
1 + tg2x
. (4.14)
cos 2x =
cos2 x − sin2
x
cos2 x + sin2
x
·
1
cos2 x
1
cos2 x
=
1 − tg2x
1 + tg2x
,
cos 2x =
1 − tg2x
1 + tg2x
. (4.15)
Praktický význam tyto vzorce přinášejí při tzv. univerzální goniometrické substituci
t = tg
x
2
⇒ sin x =
2t
1 + t2
, cos x =
1 − t2
1 + t2
, tg x =
2t
1 − t2
99
KAPITOLA 4. GONIOMETRICKÉ FUNKCE V OBORU R
vhodné k řešení některých goniometrických rovnic nebo k výpočtům neurčitých integrálů.
Přejděme nyní ke vzorcům pro funkce polovičního argumentu. K jejich odvození nám pomohou
vztahy (4.11), ve kterých zaměníme x za x
2 :
cos x = 2 cos2 x
2
− 1 ⇒ cos
x
2
= ±
1 + cos x
2
, (4.16)
cos x = 1 − 2 sin2 x
2
⇒ sin
x
2
= ±
1 − cos x
2
. (4.17)
Jak je vidět, hodnoty cos x
2 a sin x
2 nejsou hodnotou cos x určeny jednoznačně. Hodnota cos x se totiž
nezmění, zvětšíme-li (neznámý) argument x o 2π. Při takové změně se ovšem poloviční argument x
2
zvětší o π, takže obě hodnoty cos x
2 a sin x
2 změní znaménko:
sin
x + 2π
2
= sin
x
2
+ π = − sin
x
2
,
cos
x + 2π
2
= cos
x
2
+ π = − cos
x
2
.
Zdůrazněme, že znaménka hodnot cos x
2 a sin x
2 nelze určit ani v případě, kdy kromě hodnoty cos x
známe i znaménko ve vztahu sin x = ±
√
1 − cos2 x (vysvětlení je stejné).
Nyní odvodíme vzorce pro tangens a kotangens polovičního argumentu:
tg
x
2
=
sin x
2
cos x
2
=
± 1−cos x
2
± 1+cos x
2
= ±
1−cos x
2
1+cos x
2
= ±
1 − cos x
1 + cos x
,
tg
x
2
= ±
1 − cos x
1 + cos x
. (4.18)
cotg
x
2
=
cos x
2
sin x
2
= ±
1 + cos x
1 − cos x
,
cotg
x
2
= ±
1 + cos x
1 − cos x
, (4.19)
přitom v obou vzorcích (4.18) a (4.19) se bere stejné znaménko, které ani v tomto případě není
určeno hodnotou cos x. Nelze to ovšem tentokrát zdůvodnit možnou současnou změnou hodnot
cos x
2 a sin x
2 na opačná čísla. Vysvětlení nám poskytnou jiné dva vzorce pro hodnoty tgx
2 a cotgx
2 ,
které obdobnou nejednoznačností znamének „netrpí“:
tg
x
2
=
sin x
2
cos x
2
=
2 sin x
2 cos x
2
2 cos2 x
2
=
sin x
1 + cos x
,
tg
x
2
=
sin x
1 + cos x
. (4.20)
cotg
x
2
=
cos x
2
sin x
2
=
2 sin x
2 cos x
2
2 sin2 x
2
=
sin x
1 − cos x
,
cotg
x
2
=
sin x
1 − cos x
. (4.21)
100
4.3. ZÁKLADNÍ GONIOMETRICKÉ VZORCE
Vidíme, že hodnoty tgx
2 a cotgx
2 mají stejné znaménko jako hodnota sin x, dělená v obou vzorcích
kladnými výrazy 1 + cos x, resp. 1 − cos x. Dodejme, že pokud do vzorců (4.20) a (4.21) dosadíme
sin x = ±
√
1 − cos2 x, dostaneme po snadné úpravě vzorce (4.18) a (4.19) s nejednoznačnými
znaménky ±.
4.3.3 Převody součinů na součty a naopak
V závěrečné části našeho přehledu základních goniometrických vzorců popíšeme, jak název části
napovídá, významné úpravy, které při výpočtech s goniometrickými funkcemi často potřebujeme.
Nejdříve uvedeme a dokážeme skupinu vzorců pro součiny dvou goniometrických funkcí:
sin x · sin y =
cos(x − y) − cos(x + y)
2
,
cos x · cos y =
cos(x + y) + cos(x − y)
2
,
sin x · cos y =
sin(x + y) + sin(x − y)
2
.
(4.22)
K důkazu využijeme toho, že tyto součiny se objevují v pravých stranách součtových a rozdílových
vzorců (4.1) – (4.4). Dostaneme je proto z rovností
cos(x − y) − cos(x + y) = cos x cos y + sin x sin y − (cos x cos y − sin x sin y) = 2 sin x sin y,
cos(x + y) + cos(x − y) = cos x cos y − sin x sin y + cos x cos y + sin x sin y = 2 cos x cos y,
sin(x + y) + sin(x − y) = sin x cos y + cos x sin y + sin x cos y − cos x sin y = 2 sin x cos y
po vydělení číslem 2.
Druhou skupinu tvoří vzorce, které naopak součty a rozdíly dvou funkcí převádějí na součiny:
sin x + sin y = 2 sin
x + y
2
cos
x − y
2
,
sin x − sin y = 2 cos
x + y
2
sin
x − y
2
,
cos x + cos y = 2 cos
x + y
2
cos
x − y
2
,
cos x − cos y = −2 sin
x + y
2
sin
x − y
2
.
(4.23)
Odvození zahájíme tak, že přepíšeme výše uvedenou rovnost
sin(a + b) + sin(a − b) = 2 sin a cos b
v nových proměnných a, b. Abychom obdrželi vzorec pro součet sin x+sin y, položíme x = a+b, y =
= a − b a z této soustavy vyjádříme a = x+y
2 a b = x−y
2 . Pro taková a, b dostaneme již první vzorec
v (4.23). Z něho hned plyne vzorec druhý, neboť funkce sinus je lichá:
sin x + sin(−y) = 2 sin
x − y
2
cos
x + y
2
⇒ sin x − sin y = 2 cos
x + y
2
sin
x − y
2
.
Součet a rozdíl kosinů získáme obdobně:
cos(a + b) + cos(a − b) = 2 cos a · cos b ⇒ cos x + cos y = 2 cos
x + y
2
cos
x − y
2
.
cos(a − b) − cos(a + b) = 2 sin a · sin b ⇒ cos x − cos y = −2 sin
x + y
2
sin
x − y
2
.
101
KAPITOLA 4. GONIOMETRICKÉ FUNKCE V OBORU R
4.4 Goniometrické rovnice a nerovnice
Goniometrickou rovnicí či nerovnicí nazýváme úlohu nalézt všechna taková čísla x (velikosti
úhlů), která splňují danou rovnici, resp. nerovnici, v níž se vyskytuje neznámá x jako nezávislá
proměnná v argumentu jedné nebo více goniometrických funkcí.8 Příklady goniometrických rovnic
jsou
cos x = x, tg x − 2 sin x = 0, cotg(4x − 1) = −6,
přičemž hned první z nich je prakticky obtížně řešitelná, neboť neznámá x v ní vystupuje i mimo
argument goniometrické funkce. Naproti tomu třetí rovnice patří k těm nejjednodušším a běžně
řešeným, kterými náš výklad metod zahájíme.
Goniometrickou rovnici ve tvaru
f(x) = c,
kde f je jedna z goniometrických funkcí sin, cos, tg, cotg a c je dané reálné číslo, nazýváme základní
goniometrickou rovnicí. Jak víme, s funkcemi sin a cos má taková rovnice v oboru R nějaké řešení
(budeme říkat, že je řešitelná), jen když je dané c z intervalu �−1, 1�; u funkcí tg a cotg může být
c ∈ R libovolné. Pokud je ovšem rovnice f(x) = c řešitelná, má díky periodicitě funkce f nekonečně
mnoho řešení. Stačí ji tedy řešit u funkcí sin a cos pouze na intervalu �0, 2π) a následně k řešením
odtud přičíst celočíselné násobky čísla 2π; u funkcí tg a cotg přičítáme ke vždy jedinému řešení na
intervalech (−π
2 , π
2 ) pro tangens a (0, π) pro kotangens celočíselné násobky čísla π.
x
y
0
y = sin x
k
−k
Obrázek 4.13: Rovnice sin x = k a sin x = −k řešené na sinusoidě
Praktický postup při řešení rovnice f(x) = c:
1. Najdeme řešení x0 rovnice f(x) = |c|, které leží v intervalu �0, π
2 � (říkejme v prvním kvadrantu)
pomocí tabulek či kalkulačky, neumíme-li ho určit (pro význačné hodnoty |c|) zpaměti,
případně ho zapíšeme symbolicky jako x0 = arcf(|c|). Takové řešení x0 je na tomto intervalu
nejvýše jedno díky monotónnosti všech goniometrických funkcí. Není-li rovnice f(x) = |c|
řešitelná, nemá ani původní rovnice f(x) = c řešení.
2. Sestrojíme řešení rovnice f(x) = c pomocí hodnoty x0 nalezené v bodě 1 ve všech čtyřech kvadrantech
�0, π
2 �, �π
2 , π�, �π, 3π
2 �, �3π
2 , 2π� u funkcí sin, cos a v prvních dvou kvadrantech u funkcí
tg, cotg. Ve kterých ze zmíněných čtyřech či dvou kvadrantech řešení skutečně existují, závisí
na znaménku hodnoty c. K určení těchto řešení máme dvě možnosti:
8
Způsob nazývat rovnici přímo úlohou jsme převzali z učebnice [13], str. 423, neboť tím podle našeho názoru
zdařile vystihujeme rozdíl mezi termíny rovnice a rovnost.
102
4.4. GONIOMETRICKÉ ROVNICE A NEROVNICE
x
y
0
y = tg x
k
−k
Obrázek 4.14: Rovnice tg x = k a tg x = −k řešené na tangentoidě
• Využít známého průběhu grafu funkce f, kterým je sinusoida, kosinusoida, tangentoida
nebo kotangentoida. Na obr. 4.13 a 4.14 vidíme řešení goniometrických rovnic sin x = k,
sin x = −k a tg x = k, tg x = −k, kde k > 0. Z obr. 4.13 jsou dobře vidět vztahy mezi
hodnotami sinu v bodech x0, π − x0, π + x0, 2π − x0, které při určování řešení rovnice
sin x = ±k využíváme a které jsme podrobně posuzovali v podkapitole 4.1.
• Vrátit se k modelu goniometrické ručičky v jednotkové kružnici v rovině Ocs doplněné
případně o osy t a ct pro hodnoty tangens a kotangens. Na obrázku 4.15 vlevo vidíme
řešení goniometrických rovnic sin x = k a sin x = −k, kde k > 0. V prvním případě
jde o úhly z I. a II. kvadrantu a ve druhém případě jsou výsledné úhly x z kvadrantu
III. a IV., jak lze vyčíst z obrázku. V pravé části obrázku jsou znázorněna řešení rovnic
tg x = k a tg x = −k.
K základním goniometrickým rovnicím mají blízko rovnice
f(ax + b) = c,
kde f je jedna z goniometrických funkcí a a, b, c ∈ R daná čísla, a �= 0. Lineární substitucí y = ax+b
převedeme takovou rovnici na základní rovnici f(y) = c.
Příklad 4.4.1. V oboru R řešte rovnici sin(2x + π
4 ) = −1
2.
103
KAPITOLA 4. GONIOMETRICKÉ FUNKCE V OBORU R
s = k
s = −k
O
1
1
−1
−1
c
s
(a)
t
O
1
1
−1
−1
[1, k]
[1, −k]
c
s
(b)
Obrázek 4.15: Rovnice sin x = k, sin x = −k a tg x = k, tg x = −k řešené na jednotkové kružnici
Řešení:
y = 2x +
π
4
⇒ sin y = −
1
2
,
sin y =
1
2
, y ∈ 0,
π
2
⇒ y =
π
6
,
sin y = −
1
2
, y ∈ �0, 2π) ⇒ y1 = π +
π
6
=
7π
6
, y2 = 2π −
π
6
=
11π
6
,
sin y = −
1
2
, y ∈ R ⇒ y1,k =
7π
6
+ 2kπ, y2,k =
11π
6
+ 2kπ (k ∈ Z),
2x +
π
4
=
7π
6
+ 2kπ ⇒ x1,k =
11π
12
+ kπ,
2x +
π
4
=
11π
6
+ 2kπ ⇒ x2,k =
19π
12
+ kπ.
V dalších příkladech, kterými budeme ilustrovat metody řešení složitějších goniometrických rovnic,
už vypisovat řešení konkrétních základních rovnic f(ax + b) = c (na které řešené rovnice vždy
redukujeme) nebudeme.
Přejdeme nyní k důležitým z hlediska praxe rovnicím
f(ax + b) = f(cx + d),
kde f je jedna z goniometrických funkcí sin, cos, tg, cotg a a, b, c, d jsou daná reálná čísla. Kvůli
periodičnosti funkce f nelze zadanou rovnici redukovat na rovnici ax+b = cx+d. Funkce tangens a
kotangens jsou na základním intervalu (−π
2 , π
2 ), resp. (0, π) délky jejich společné periody π prosté.
104
4.4. GONIOMETRICKÉ ROVNICE A NEROVNICE
Proto lze zadané rovnice s těmito dvěma funkcemi řešit úpravami
tg(ax + b) = tg(cx + d) ⇒ ax + b = cx + d + kπ,
cotg(ax + b) = cotg(cx + d) ⇒ ax + b = cx + d + kπ,
kde k ∈ Z; musíme však v závěru řešení zjistit, pro která z nalezených řešení xk s parametrem k
má hodnota tg(axk + b), resp. cotg(axk + b) smysl. U rovnic
sin(ax + b) = sin(cx + d), cos(ax + b) = cos(cx + d)
je situace složitější, neboť funkce sinus a kosinus se společnou periodou 2π nejsou na intervalu délky
2π prosté. Uvedeme nyní dva postupy, jak takové rovnice řešit. Protože tvar argumentů ax+b, cx+d
není pro tyto úvahy podstatný, pojednáme o rovnicích sin U = sin V a cos U = cos V s obecnými
výrazy U a V , které nabývají hodnot z oboru R.
x
y
0 α1 π
2 β1
α2
3π
2 β2
(a)
x
y
0 α1 β1
α2 π β2
(b)
Obrázek 4.16: Kdy pro α, β ∈ �0, 2π) platí sin α = sin β, resp. cos α = cos β.
• Úvaha o základním intervalu �0, 2π).
Rovnost sin α = sin β, α, β ∈ �0, 2π), α �= β, nastane ve dvou případech (viz obr. 4.16 vlevo):
α1 + β1
2
=
π
2
⇔ β1 = π − α1 a
α2 + β2
2
=
3π
2
⇔ β2 = 3π − α2.
Díky periodě funkce sinus odtud získáme závěr o řešení rovnice sin U = sin V v oboru R:
sin U = sin V ⇔ V = U + 2kπ ∨ V = π − U + 2kπ, kde k ∈ Z.
Rovnost cos α = cos β, α, β ∈ �0, 2π), α �= β, nastane opět ve dvou případech (viz obr. 4.16
vpravo):
α1 + β1
2
= π ⇔ β1 = 2π − α1 a
α2 + β2
2
= π ⇔ β2 = 2π − α2.
Díky periodě funkce kosinus odtud získáme závěr o řešení rovnice cos U = cos V v oboru R:
cos U = cos V ⇔ V = U + 2kπ ∨ V = −U + 2kπ, kde k ∈ Z.
105
KAPITOLA 4. GONIOMETRICKÉ FUNKCE V OBORU R
• Úprava na součin.
Rovnice typu sin U = sin V a cos U = cos V můžeme pomocí vzorců pro rozdíly sinů a kosinů
přepsat do součinových tvarů
0 = sin U − sin V = 2 sin
U − V
2
cos
U + V
2
,
0 = cos U − cos V = −2 sin
U − V
2
sin
U + V
2
a pak řešit základní otázku, kdy se jeden nebo druhý činitel rovná nule, což jsou základní
goniometrické rovnice pro nulové body funkcí sinus a kosinus. Jejich řešení dobře známe
sin W = 0 ⇔ W = kπ a cos W = 0 ⇔ W =
π
2
+ kπ, kde k ∈ Z.
Na rovnice, kterými jsme se právě zabývali, můžeme jednoduchými úpravami převést i některé
další podobné rovnice. Uveďme několik příkladů takových úprav:
sin(ax + b) = − sin(cx + d) ⇔ sin(ax + b) = sin(−cx − d),
cos(ax + b) = − cos(cx + d) ⇔ cos(ax + b) = cos(cx + d + π),
tg(ax + b) = cotg(cx + d) ⇔ tg(ax + b) = tg
π
2
− cx − d ,
sin(ax + b) = cos(cx + d) ⇔ sin(ax + b) = sin
π
2
− cx − d .
Příklad 4.4.2. V oboru R řešte rovnici sin(3x + π
4 ) = − cos(2x + π
3 ).
Řešení: V prvním kroku využijeme převodního vzorce sin(x − π
2 ) = − cos x:
sin 3x +
π
4
= − cos 2x +
π
3
,
sin 3x +
π
4
= sin 2x +
π
3
−
π
2
,
3x +
π
4
= 2x +
π
3
−
π
2
+ 2kπ ⇒ x1,k = −
5π
12
+ 2kπ,
3x +
π
4
= π − 2x +
π
3
−
π
2
+ 2kπ ⇒ x2,k =
11π
60
+
2kπ
5
, kde k ∈ Z.
Metodu substituce jsme dosud uplatňovali pouze tak, že za novou neznámou jsme volili argument
goniometrické funkce, která v řešené rovnici vystupovala. Metodicky významnější je možnost volit
za neznámou přímo dotyčnou hodnotu goniometrické funkce, která v rovnici vystupuje. Tak často
ze složité rovnice pomocí jedné ze substitucí
y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = cotg x, y = tg
x
2
, obecněji y = f(ax + b)
získáme rovnici, většinou algebraickou, s novou neznámou y a pak určíme všechny její reálné kořeny
y1, y2, . . . , yn. (V praktických situacích půjde obvykle o kvadratickou rovnici, která má vždy
106
4.4. GONIOMETRICKÉ ROVNICE A NEROVNICE
nejvýše dva reálné kořeny.) Po návratu k původní neznámé vyřešíme, nám již známou metodou,
goniometrické rovnice tvaru
f(ax + b) = y1, f(ax + b) = y2, · · · , f(ax + b) = yn.
Tak například rovnice 2 cos2 x−7 cos x+3 = 0 po substituci y = cos x přejde v kvadratickou rovnici
2y2 − 7y + 3 = 0 s kořeny y1 = 3 a y2 = 1
2 ; zbývá vyřešit rovnici cos x = 1
2 (druhá rovnice cos x = 3
žádné řešení nemá).
U některých goniometrických rovnic je potřeba před samotným zavedením substituce přepsat jednu
goniometrickou funkci, popř. její druhou mocninu, pomocí jiné goniometrické funkce. V tomto kroku
využíváme vztahy:
sin2
x = 1 − cos2
x, cos2
x = 1 − sin2
x, tg x =
sin x
cos x
,
sin 2x = 2 sin x cos x, cos 2x = cos2
x − sin2
x = 1 − 2 sin2
x = 2 cos2
x − 1.
Konkrétně rovnici 7 cos x + 2 sin2
x − 5 = 0 přepíšeme takto:
7 cos x + 2(1 − cos2
x) − 5 = 0 ⇔ 2 cos2
x − 7 cos x + 3 = 0.
Uveďme nejčastější případy goniometrických rovnic převáděných na algebraické rovnice.
• F(sin x, cos2 x) = 0 a F(sin x, cos 2x) = 0 řešíme substitucí y = sin x.
• F(cos x, sin2
x) = 0 a F(cos x, cos 2x) = 0 řešíme substitucí y = cos x.
• F(sin x ± cos x, sin 2x) = 0 řešíme substitucí y = sin x ± cos x , přitom využíváme rovnosti
y2 = 1 ± sin 2x.
• Substitucí y = tg x řešíme rovnice F(cos x, sin x) = 0 speciálního typu, u nichž je funkce
F(c, s) v proměnných c, s homogenní. Znamená to, že existuje (nejčastěji celé nezáporné)
číslo n, při kterém rovnost
F(tc, ts) = tn
· F(c, s)
platí pro libovolná čísla t, c, s, kdy mají obě strany rovnosti smysl. Po dosazení sin x = y·cos x,
kde y = tg x, totiž volbou t = cos x v naší podmínce dostaneme
F(cos x, sin x) = 0 ⇔ cosn
x · F(1, y) = 0.
V případě cos x �= 0 tak přecházíme k řešení rovnice F(1, y) = 0 s neznámou y. Významným
příkladem homogenních rovnic jsou rovnice
a cos2
x + b cos x sin x + c sin2
x = 0
s konstantními koeficienty a, b, c, k nimž se někdy dostaneme po úpravě rovnic obsahujících
cos 2x nebo sin 2x. Za zmínku stojí, že na uvedenou homogenní rovnici lze převést i rovnici
a cos2
x + b cos x sin x + c sin2
x = d
s další konstantou d �= 0, kterou lze díky goniometrické jedničce přepsat do tvaru
(a − d) cos2
x + b cos x sin x + (c − d) sin2
x = 0.
107
KAPITOLA 4. GONIOMETRICKÉ FUNKCE V OBORU R
V předchozím výčtu chybí rovnice obecného tvaru F(cos x, sin x) = 0, na který lze snadno převést
i rovnice typu F(cos x, sin x, cos 2x, sin 2x) = 0. Takové rovnice (zejména ty, u kterých je funkce F
lineární v obou proměnných) se objevují v praktických úlohách, předchozí substituce však k jejich
řešení zpravidla nevedou. Spíše jen teoretický význam pro řešení rovnic F(cos x, sin x) = 0 má tzv.
univerzální substituce
y = tg
x
2
⇒ sin x =
2y
1 + y2
, cos x =
1 − y2
1 + y2
, tg x =
2y
1 − y2
, cotg x =
1 − y2
2y
,
neboť vede v nové neznámé y na algebraické rovnice vysokých stupňů. Výhodnějším postupem někdy
bývá zavést dvě nové neznámé c = cos x, s = sin x a místo jedné původní rovnice F(cos x, sin x) =
= 0 řešit soustavu rovnic o dvou neznámých
F(c, s) = 0, c2
+ s2
= 1.
Takový postup je schůdný zvláště tehdy, když z první rovnice lze neznámou c vyjádřit pomocí s,
nebo naopak s pomocí c. Po dosazení takového vyjádření do druhé rovnice pak řešíme rovnici pro
zbylou neznámou s, resp. c.
Jak jsme již naznačili, významným příkladem rovnic F(cos x, sin x) = 0 je rovnice
a cos x + b sin x = c,
kde a, b, c ∈ R, která bývá často nazývána lineární rovnicí mezi kosinem a sinem a které se teď
budeme věnovat podrobněji. Předně si povšimneme, že pokud je jedno z čísel a, b, c rovno nule,
získáváme základní goniometrickou rovnici (není-li ovšem a = b = 0), kterou již umíme řešit:
a = 0 ⇒ sin x =
c
b
, b = 0 ⇒ cos x =
c
a
,
c = 0 ⇒ tg x = −
a
b
(b �= 0) ∨ cotg x = −
b
a
(a �= 0).
V dalším výkladu proto budeme předpokládat, že a, b, c �= 0. Metody řešení lineární rovnice mezi
kosinem a sinem jsou dvě – (výše obecně popsaná) algebraická metoda a metoda goniometrická.
V tomto pořadí je nyní i posoudíme. Ještě předtím však poznamenejme, že k řešení zkoumané
rovnice lze úspěšně uplatnit i třetí postup: dříve zmíněná univerzální substituce y = tgx
2 nás od
rovnice a cos x + b sin x = c zřejmě přivede ke kvadratické rovnici
a(1 − y2
) + 2by = c(1 + y2
).
1. U algebraické metody přecházíme k soustavě dvou rovnic o dvou neznámých sin x a cos x,
které už teď nebudeme přeznačovat jako s a c:
a cos x + b sin x = c,
cos2
x + sin2
x = 1.
Každé řešení [sin x, cos x] této soustavy určuje nekonečně mnoho řešení původní rovnice díky
periodě 2π obou funkcí sinus a kosinus, přičemž na intervalu �0, 2π) existuje jediný úhel x,
který danému řešení odpovídá. Analyticky-geometrickou interpretací algebraické metody je
108
4.4. GONIOMETRICKÉ ROVNICE A NEROVNICE
p
x1
x2
k
O
1
1
−1
−1
cos x
sin x
Obrázek 4.17: Rovnice a cos x + b sin x = c řešená na jednotkové kružnici
hledání průniku přímky p : a cos x + b sin x − c = 0 a jednotkové kružnice k : cos2 x + sin2
x =
= 1 (obr. 4.17). Kritériem existence řešení rovnice a cos x + b sin x = c je tedy podmínka, aby
daný průnik byl neprázdný, což zapíšeme pomocí vzdálenosti počátku O = [0, 0] od přímky p:
p ∩ k �= ∅ ⇔ |Op| ≤ 1.
Z analytické geometrie vzpomeňme vzorec |ax0+by0+c|
√
a2+b2
pro vzdálenost bodu [x0, y0] od přímky
ax + by + c = 0, do kterého v naší podmínce |Op| < 1 dosadíme:
|Op| =
|a · 0 + b · 0 − c|
√
a2 + b2
=
|c|
√
a2 + b2
≤ 1 ⇔ |c| ≤ a2 + b2.
Tak jsme odvodili, že rovnice a cos x + b sin x = c je řešitelná, právě když její koeficienty
a, b, c splňují podmínku |c| ≤
√
a2 + b2. Je-li poslední nerovnost ostrá, má zkoumaná rovnice
v intervalu �0, 2π) dvě různá řešení, jak je tomu v situaci na obr. 4.17.
2. Myšlenkou goniometrické metody je úprava levé strany rovnice a cos x + b sin x = c na tvar
K · sin(x + ϕ), kde K > 0 a ϕ ∈ �0, 2π) jsou vhodná čísla.9 Touto úpravou získáváme základní
goniometrickou rovnici pro funkci sinus ve tvaru
K · sin(x + ϕ) = c ⇔ sin(x + ϕ) =
c
K
.
Ukažme proto, jak kýžené vyjádření levé strany původní rovnice prakticky najít. Pro každé
x ∈ R má platit
a cos x + b sin x = K · sin(x + ϕ),
a cos x + b sin x = K · (sin x cos ϕ + cos x sin ϕ),
a cos x + b sin x = K sin ϕ cos x + K cos ϕ sin x.
9
Levá strana rovnice a cos x + bsin x = c je tak v proměnné x sinusoidální funkcí. Tomuto druhu funkcí se budeme
věnovat v příkladu 4.7.1.
109
KAPITOLA 4. GONIOMETRICKÉ FUNKCE V OBORU R
Čísla K a ϕ tudíž hledáme z podmínek
K sin ϕ = a, K cos ϕ = b.
Umocněním obou rovností a jejich následným sečtením určíme neznámé kladné číslo K:
K2
sin2
ϕ + K2
cos2
ϕ = a2
+ b2
⇒ K2
· 1 = a2
+ b2
⇒ K = a2 + b2.
Pro druhou neznámou ϕ ∈ �0, 2π) tak dostaneme soustavu rovnic
sin ϕ =
a
K
=
a
√
a2 + b2
, cos ϕ =
b
K
=
b
√
a2 + b2
.
Její řešitelnost je zaručena tím, že součet druhých mocnin pravých stran obou rovnic je (díky
určené hodnotě K) rovna 1. Prakticky lze číslo ϕ určit například tak, že nejprve v oboru
�0, 2π) vyřešíme rovnici
tg ϕ =
a
b
a pak podle znamének čísel a, b vybereme řešení ϕ ze „správného“ kvadrantu.
Příklad 4.4.3. Oběma metodami vyřešte v oboru R rovnici 6 cos x − 8 sin x = 5.
Řešení:
1. Algebraická metoda:
c = cos x, s = sin x ⇒ 6c − 8s = 5 ⇒ s =
6c − 5
8
,
c2
+ s2
= 1 ⇒ c2
+
6c − 5
8
2
= 1 ⇒ 64c2
+ (6c − 5)2
= 64 ⇒
⇒ 100c2
− 60c − 39 = 0,
D = (−60)2
− 4 · 100 · (−39) = 400 · 48 ⇒
√
D = 80
√
3,
c1 =
60 + 80
√
3
200
=
3 + 4
√
3
10
, s1 =
6c1 − 5
8
=
−4 + 3
√
3
10
,
c2 =
60 − 80
√
3
200
=
3 − 4
√
3
10
, s2 =
6c2 − 5
8
=
−4 − 3
√
3
10
.
Dvojici kladných čísel (c1, s1) odpovídá řešení x z prvního kvadrantu, takže
x1,k = arcsin
−4 + 3
√
3
10
+ 2kπ, k ∈ Z.
Dvojici záporných čísel (c2, s2) odpovídá řešení x ze třetího kvadrantu, takže
x2,k = π + arcsin
4 + 3
√
3
10
+ 2kπ, k ∈ Z.
110
4.4. GONIOMETRICKÉ ROVNICE A NEROVNICE
2. Goniometrická metoda:
Zadanou rovnici vydělíme číslem K =
√
a2 + b2 =
√
62 + 82 = 10:
3
5
cos x −
4
5
sin x =
1
2
,
sin(x + ϕ) =
1
2
, kde cos ϕ = −
4
5
a sin ϕ =
3
5
,
arcsin
1
2
=
π
6
, ϕ = π − arcsin
3
5
,
x1,k + π − arcsin
3
5
=
π
6
+ 2kπ, x2,k + π − arcsin
3
5
=
5π
6
+ 2kπ,
x1,k = −
5π
6
+ arcsin
3
5
+ 2kπ (k ∈ Z),
x2,k = −
π
6
+ arcsin
3
5
+ 2kπ (k ∈ Z).
Přesvědčeme se, že oba postupy řešení vedly ke stejnému výsledku, že tedy platí rovnosti
arcsin
−4 + 3
√
3
10
= −
π
6
+ arcsin
3
5
,
π + arcsin
4 + 3
√
3
10
= −
5π
6
+ arcsin
3
5
+ 2π.
Protože π
6 < arcsin 3
5 < π
2 , je první rovnost rovností dvou úhlů z prvního kvadrantu, takže platí,
pokud
−4 + 3
√
3
10
= sin −
π
6
+ arcsin
3
5
.
Užitím součtového vzorce dostáváme
sin −
π
6
+ arcsin
3
5
= sin arcsin
3
5
cos
π
6
− cos arcsin
3
5
sin
π
6
=
3
5
·
√
3
2
−
4
5
·
1
2
=
−4 + 3
√
3
10
.
Druhá rovnost
π + arcsin
4 + 3
√
3
10
=
7π
6
+ arcsin
3
5
je rovností dvou úhlů ze třetího kvadrantu, neboť 0 < arcsin 3
5 < π
3 . Zmenšeme je oba o hodnotu π
a pak porovnejme hodnoty jejich sinů:
sin
π
6
+ arcsin
3
5
= sin
π
6
cos arcsin
3
5
+ cos
π
6
sin arcsin
3
5
=
1
2
·
4
5
+
√
3
2
·
3
5
=
4 + 3
√
3
10
.
Tím je rovnost obou množin řešení ověřena.
Vraťme se k obecnému výkladu o metodách řešení goniometrických rovnic. Žádný další jejich typ
už obecně zapisovat nebudeme. Místo toho poznamenáme, že mnohé goniometrické rovnice řešíme
tak, že využíváme algebraické a goniometrické úpravy, abychom je převedli na součinový tvar
F1(x) · F2(x) · . . . · Fn(x) = 0,
111
KAPITOLA 4. GONIOMETRICKÉ FUNKCE V OBORU R
kde každý činitel je tvaru Fi(x) = fi(aix+bi)−ci, v němž fi značí některou goniometrickou funkci a
koeficienty ai, bi, ci jsou daná reálná čísla (často je ci = 0).10 Protože součin několika činitelů je roven
nule, právě když je aspoň jeden činitel nulový, všechna řešení rovnice F1(x) · F2(x) · . . . · Fn(x) = 0
dostaneme, když vyřešíme každou z jednotlivých základních rovnic
Fi(x) = fi(aix + bi) − ci = 0 (i = 1, 2, . . . , n)
a množiny jejich řešení nakonec sjednotíme.11 Tato závěrečná fáze je tedy rutinní záležitost, rozhodujícím
krokem celého průběhu řešení je dovést výchozí goniometrickou rovnici vhodnými úpravami
do součinového tvaru, o kterém jsme právě pojednali.
Příklad 4.4.4. Každou z jednotlivých rovnic
a) 3 sin x +
2π
7
= 2 sin
x
2
+
8π
7
,
b) sin x + sin 3x + sin 5x = 0,
c) cos x · cos 2x = cos 4x · cos 5x
převeďte na součinový tvar.
Řešení: a)
y =
x
2
+
8π
7
⇒ x = 2y −
16π
7
⇒ x +
2π
7
= 2y − 2π,
3 sin(2y − 2π) = 2 sin y ⇔ 3 sin 2y = 2 sin y,
0 = 3 sin 2y − 2 sin y = 3 · 2 sin y cos y − 2 sin y = 6 sin y cos y −
1
3
,
sin
x
2
+
8π
7
· cos
x
2
+
8π
7
−
1
3
= 0.
b)
sin x + sin 3x + sin 5x = 0 (součet sinů převedeme na součin),
2 sin
5x + x
2
cos
5x − x
2
+ sin 3x = 0,
2 sin 3x cos 2x + sin 3x = 0 (vytkneme společný činitel),
sin 3x · (2 cos 2x + 1) = 0.
c)
cos x · cos 2x = cos 4x · cos 5x (součiny kosinů převedeme na součty),
cos 3x + cos x
2
=
1
2
(cos 9x + cos x),
0 = cos 9x − cos 3x (rozdíl kosinů převedeme na součin),
0 = −2 sin 6x · sin 3x.
10
V součinovém tvaru tedy např. není rovnice sin x · cos x = 1
3
(na pravé straně není nula), kterou ovšem vyřešíme
převodem na základní rovnici sin 2x = 2
3
.
11
Tyto množiny často nejsou disjunktní. Abychom jejich sjednocení zapsali „bez opakování“, vypíšeme nejprve a
porovnáme všechna řešení na některém intervalu délky rovné společné periodě obou stran původní rovnice.
112
4.4. GONIOMETRICKÉ ROVNICE A NEROVNICE
Náš přehled metod řešení goniometrických rovnic završíme poznámkou, že u některých rovnic lze
výhodně využít poznatku o ohraničeném oboru hodnot �−1, 1� funkcí sinus a kosinus. Tak například
rovnice
sin P + cos Q + 2 = 0, sin R · cos S = −1 a 3 sin T − 4 = cos3
U
(tvar výrazů P, Q, R, S, T, U není důležitý) mohou být splněny jedině tak, že platí
sin P = cos Q = −1, {sin R, cos S} = {−1, 1} a sin T = 1 ∧ cos U = −1.
Pro libovolná čísla s, c ∈ �−1, 1� totiž platí
s + c + 2 ≥ 0, s · c ≥ −1 a 3s − 4 ≤ −1 ≤ c3
,
přitom rovnosti nastanou jen ve výše uvedených případech.
V kratší druhé části této podkapitoly pojednáme stručně o řešení goniometrických nerovnic.
Setkáváme se s nimi například při stanovování definičních oborů složených funkcí. Tak funkce zadané
předpisy
y1 = log(
√
3 − tg x), y2 =
√
sin x + cos x
mají definiční obory tvořené všemi řešeními nerovnic
tg x <
√
3, resp. sin x + cos x ≥ 0.
První z nich patří mezi základní goniometrické nerovnice, které jsou obecně tvarů
f(x) ≤ c, f(x) < c, f(x) ≥ c, f(x) > c,
kde f je jedna z goniometrických funkcí sin, cos, tg, cotg a c je dané reálné číslo. Jejich řešení
má úzkou souvislost s příslušnou goniometrickou rovnicí f(x) = c. Je-li tato rovnice řešitelná,
jsou její jednotlivá řešení krajními body intervalů, ze kterých je složen obor pravdivosti původní
nerovnice.12 O které intervaly se konkrétně jedná, můžeme zjistit z grafu goniometrické funkce f
nebo z její určenosti goniometrickou ručičkou na jednotkové kružnici. Obě metody nyní stručně
okomentujeme.
• Řešení goniometrických nerovnic na grafech
Touto metodou můžeme řešit nejen základní goniometrické nerovnice (viz např. obr. 4.18),
ale i nerovnice typu13
f(ax + b) ≤ c a f(ax + b) ≤ g(cx + d),
kde f a g jsou (ne nutně různé) goniometrické funkce (viz např. obr. 4.19). Obecně lze konstatovat,
že řešení nerovnice F(x) ≤ G(x) je výhodné „odečítat“ graficky, kdykoliv máme grafy
funkcí F a G k dispozici.
• Řešení goniometrických nerovnic na jednotkové kružnici
V rovině s kartézskou soustavou souřadnic Ocs (doplněnou případně o osy t a ct pro funkce
12
Není-li příslušná rovnice řešitelná, je situace jednodušší: nerovnice sin x ≥ 2 nemá řešení, nerovnice cos x > −2
má za řešení každé x ∈ R.
13
Pro stručnost budeme od tohoto místa zapisovat typy nerovností jen se znakem ≤, i když na jeho místě může
být i kterýkoliv ze znaků ≥, < nebo >.
113
KAPITOLA 4. GONIOMETRICKÉ FUNKCE V OBORU R
x
y
0
7π
6
11π
6
−1
2
Obrázek 4.18: Nerovnice sin x ≤ −1
2 v oboru x ∈ �0, 2π�
x
y
0 π
4
5π
4
(a)
x
y
0 π
3
5π
3
π
2π
(b)
Obrázek 4.19: Nerovnice sin > cos x a sin 2x ≤ sin x v oboru x ∈ �0, 2π�
tangens a kotangens) můžeme řešit základní goniometrické nerovnice způsobem, který objasníme
podle obr. 4.20 na příkladech sin x ≤ −1
2 a tg x ≥ −1
2. V prvním z nich hledáme ty
body na jednotkové kružnici k, které leží ve vyznačené polorovině p o rovnici s ≤ −1
2. Výslednou
množinou je znázorněný oblouk, jehož krajní body odpovídají dvěma vyznačeným úhlům
x1, x2 – řešením příslušné rovnice sin x = −1
2. Ta jsou pak krajními body uzavřeného intervalu
�x1, x2�, jenž je hledaným oborem pravdivosti zadané nerovnice v oboru �0, 2π).
U druhého příkladu, nerovnice tg x ≥ −1
2, hledáme ty body na jednotkové kružnici k, jejichž
(prodloužená) spojnice14 s počátkem O protne tangentovou osu t v bodě vyznačené polopřímky
t ≥ −1
2. Výsledná množina je tvořena dvojicí oblouků, takže množina řešení zadané
nerovnice v oboru �0, 2π� je sjednocením příslušných intervalů �0, π
2 ), �x1, 3π
2 ) a �x2, 2π�, kde
x2 = x1 + π – v souladu s tím, že funkce tangens má periodu π.
Příklad 4.4.5. Řešte goniometrickou nerovnici sin(2x + π
3 ) ≥ 1
2.
Řešení: Zavedeme substituci y = 2x + π
3 a vyřešíme příslušnou goniometrickou rovnici:
sin y =
1
2
⇔ y1 =
π
6
+ 2kπ, y2 =
5π
6
+ 2kπ.
Z grafu nebo z jednotkové kružnice nerovnici vyřešíme a vrátíme se zpátky k neznámé x:
sin y ≥
1
2
⇔ ∃k ∈ Z :
π
6
+ 2kπ ≤ y ≤
5π
6
+ 2kπ,
π
6
+ 2kπ ≤ 2x +
π
3
≤
5π
6
+ 2kπ ⇔ −
π
12
+ kπ ≤ x ≤
π
4
+ kπ.
Odpověď: x ∈
k∈Z
−
π
12
+ kπ,
π
4
+ kπ .
14
Připomínáme, že při odečtu hodnot tg x na ose t je nutné (v 2. a 4. kvadrantu) goniometrickou ručičku OA
prodloužit nikoliv za bod A, ale za bod O.
114
4.4. GONIOMETRICKÉ ROVNICE A NEROVNICE
x1
x2
−1
2
k
p
O
1
1
−1
−1
c
s
(a)
x1
x2
−1
2
k
O
1
1
−1
−1
c
s
(b)
Obrázek 4.20: Nerovnice sin x ≤ −1
2 a tg x ≥ −1
2 v oboru x ∈ �0, 2π�
Věnujme se nyní souhrnně početním metodám řešení složitějších goniometrických nerovnic. Všeobecně
lze konstatovat, že pro ně můžeme využít stejné postupy jako pro příslušné goniometrické
rovnice, které jsme podrobně popsali dříve. Tak pro jednotlivé typy goniometrických nerovnic
F(sin x, cos 2x) ≤ 0, F(cos x, cos 2x) ≤ 0, F(sin x ± cos x, sin 2x) ≤ 0
zavádíme po řadě substituce y = sin x, y = cos x, y = sin x ± cos x, podobně jako pro obecnou
nerovnici F(sin x, cos x) ≤ 0 můžeme uvažovat o univerzální substituci y = tg x
2 . Každou takovou
substitucí y = f(x) přecházíme k algebraické nerovnici P(y) ≤ 0, jejíž množina řešení je – obecně
vzato – sjednocením několika omezených či neomezených intervalů. Pro každý z nich pak uskutečníme
návrat od nové neznámé y = f(x) k původní neznámé x. Je-li např. �c, d� jeden takový
interval, zmíněný návrat spočívá v řešení soustavy goniometrických nerovnic c ≤ f(x) ≤ d. K řešení
soustav přecházíme i v případech, kdy se nám výchozí goniometrickou nerovnici podaří upravit na
součinový tvar F1(x) · F2(x) ≤ 0; výsledný obor pravdivosti je sjednocením množin řešení dvou
soustav
F1(x) ≤ 0 ∧ F2(x) ≥ 0 a F1(x) ≥ 0 ∧ F2(x) ≤ 0,
neboť o znaménku hodnoty součinu rozhodují znaménka činitelů. (Podobné soustavy bychom mohli
vypsat i pro nerovnice v součinovém tvaru složeném z více činitelů.)
Poslední poznámku věnujme lineárním nerovnicím typu
a cos x + b sin x ≤ c.
Při jejich řešení algebraickou metodou dostáváme pro jednu neznámou c = cos x nebo s = sin x kvadratickou
nerovnici, kterou pak řešíme v oboru �−1, 1�. Tento postup (stejně jako u rovnic) můžeme
interpretovat (a zároveň i kontrolovat) graficky způsobem z obr. 4.21, kdy hledáme průnik jednotkové
kružnice k s polorovinou p, která odpovídá příslušné lineární nerovnici. Druhá goniometrická
metoda řešení lineární nerovnice mezi sinem a kosinem spočívá ve dříve popsané úpravě
a cos x + b sin x ≤ c ⇔ sin(x + ϕ) ≤
c
√
a2 + b2
115
KAPITOLA 4. GONIOMETRICKÉ FUNKCE V OBORU R
s vhodnou hodnotou ϕ.
−1
3
−1
2
p
O
k
−1
−1
1
1
cos x
sin x
Obrázek 4.21: Řešení nerovnice 3 cos x + 2 sin x ≥ −1
Příklad 4.4.6. V oboru �0, 2π� řešte nerovnice
a) sin 2x +
π
6
< sin x +
π
3
,
b) 1 + (1 + cos x) cos 2x < cos 3x + 2 cos3
x.
Řešení: a)
sin 2x +
π
6
< sin x +
π
3
⇔ sin 2x +
π
6
− sin x +
π
3
< 0,
2 cos
3x
2
+
π
4
· sin
x
2
−
π
12
< 0 ⇔ 1) cos
3x
2
+
π
4
> 0 ∧ sin
x
2
−
π
12
< 0,
2) cos
3x
2
+
π
4
< 0 ∧ sin
x
2
−
π
12
> 0.
1)
−
π
2
+ 2kπ <
3x
2
+
π
4
<
π
2
+ 2kπ ∧ π + 2lπ <
x
2
−
π
12
< 2π + 2lπ,
−
π
2
+
4kπ
3
< x <
π
6
+
4kπ
3
∧
13π
6
+ 4lπ < x <
25π
6
+ 4lπ, kde k, l ∈ Z.
x ∈ �0, 2π� ⇒ x ∈ �0, π
6 ) ∪ 5π
6 , 3π
2 ∧ x ∈ �0, π
6 ) ⇒ x ∈ �0, π
6 ).
2)
π
2
+ 2kπ <
3x
2
+
π
4
<
3π
2
+ 2kπ ∧ 0 + 2lπ <
x
2
−
π
12
< π + 2lπ,
π
6
+
4kπ
3
< x <
5π
6
+
4kπ
3
∧
π
6
+ 4lπ < x <
13π
6
+ 4lπ, kde k, l ∈ Z.
116
4.5. GONIOMETRICKÉ SOUSTAVY ROVNIC
x ∈ �0, 2π� ⇒ x ∈ (π
6 , 5π
6 ) ∪ (3π
2 , 2π� ∧ x ∈ (π
6 , 2π� ⇒ x ∈ (π
6 , 5π
6 ) ∪ (3π
2 , 2π�.
Odpověď: x ∈ �0, π
6 ) ∪ (π
6 , 5π
6 ) ∪ (3π
2 , 2π�.
b)
1 + (1 + cos x) cos 2x < cos 3x + 2 cos3
x,
1 + (1 + cos x) cos 2x < cos(2x + x) + 2 cos3
x,
1 + cos 2x + cos x cos 2x < cos 2x cos x − sin 2x sin x + 2 cos3
x,
1 + cos 2x + sin 2x sin x − 2 cos3
x < 0,
2 cos2
x + 2 sin2
x cos x − 2 cos3
x < 0,
2 cos x(cos x + sin2
x − cos2
x) < 0,
2 cos x(cos x + (1 − cos2
x) − cos2
x) < 0,
2 cos x(cos x + 1 − 2 cos2
x) < 0.
Pro y = cos x tak máme nerovnici
y(1 + y − 2y2
) < 0 neboli y(1 − y)(1 + 2y) < 0
s nulovými body y = 0, y = 1, y = −1
2, která má v oboru R řešení y ∈ (−1
2 , 0) ∪ (1, ∞). S ohledem
na substituci y = cos x druhý interval vyloučíme a dostáváme −1
2 < cos x < 0. Řešením původní
nerovnice v intervalu �0, 2π� je proto x ∈ (π
2 , 2π
3 ) ∪ (4π
3 , 3π
2 ).
4.5 Goniometrické soustavy rovnic
V předchozí podkapitole jsme se seznámili s rozličnými metodami řešení goniometrických rovnic.
Každá z nich byla úlohou na nalezení všech vyhovujících hodnot jedné neznámé x ∈ R. Neřešili
jsme většinou jednotlivé rovnice, nýbrž jsme popisovali metody řešení celých skupin typově blízkých
rovnic.
Řešení geometrických úloh nás však často staví do situace, kdy hledáme více neznámých úhlů
svázaných různými podmínkami, které dokážeme vyjádřit určitou soustavou rovnic. Je-li mezi nimi
aspoň jedna goniometrická rovnice (tedy rovnice s neznámými v argumentu goniometrických funkcí),
mluvíme o goniometrické soustavě rovnic. Vytvořit metodiku řešení nějakých širších skupin takových
soustav je prakticky nemožné, proto se při našemu výkladu budeme zabývat poměrně konkrétními
soustavami, které přesto jistý rys obecnosti postrádat nebudou. Půjde totiž vesměs o příklady soustav
popisujících konkrétní geometrické situace s jedním nebo více vstupními údaji, které se pak
stávají parametry dotyčných rovnic v obvyklém významu tohoto termínu školské matematiky. Řešení
takových soustav pak samozřejmě vyžadují diskusi o existenci, tvaru a počtu řešení.
Goniometrické soustavy rovnic, které budeme formou příkladů řešit, jsme většinou převzali
z knihy [26].15 Z rozsahových důvodů nebudeme prokazovat, že tyto soustavy skutečně mají svůj
„geometrický původ“. První z výjimek učiníme v případě Snellovy soustavy z úvodního příkladu
4.5.1. Popíšeme již nyní důležitou úlohu z matematické geodézie, která nás přivede právě ke Snellově
soustavě.
Na mapě, na které už jsou zakresleny známé geodetické body A, B a C, máme vyznačit nový geodetický
bod M, z něhož jsou úsečky AB a BC vidět pod úhly α, resp. β, jež byly prakticky změřeny.
V daném trojúhelníku ABC označíme a = |AB|, b = |BC| a ϕ = |∡ABC|. Polohu bodu M
15
Na odlišný původ příkladů upozorníme poznámkami pod čarou.
117
KAPITOLA 4. GONIOMETRICKÉ FUNKCE V OBORU R
α
β
x y
A
B
a
C
b
M
ϕ
Obrázek 4.22
určíme výpočtem dvojice úhlů x = |∡BAM|, y = |∡BCM| výpočtem z naměřených úhlů α =
= |∡AMB| a β = |BMC|. K tomu sestavíme soustavu dvou rovnic s neznámými x a y. První
z nich
x + y = 2π − (α + β + ϕ)
okamžitě plyne ze součtu vnitřních úhlů čtyřúhelníku ABCM. Druhou goniometrickou rovnici odvodíme
ze sinové věty zapsané pro trojúhelníky ABM a BCM:
sin x
sin α
=
|BM|
a
∧
sin y
sin β
=
|BM|
b
⇒
sin x
sin y
=
b sin α
a sin β
.
Tak jsme zadanou geodetickou úlohu převedli na řešení soustavy rovnic s neznámými x, y, která je
tvaru
sin x
sin y
=
b sin α
a sin β
, x + y = 2π − (α + β + ϕ).
Bude to první ze skupiny prakticky významných goniometrických soustav, které budeme řešit a
které jsou všechny typu
f(x) ∗ f(y) = a, x ± y = b
s neznámými x, y ∈ R, danou goniometrickou funkcí f, danou aritmetickou operací ∗ a parametry
a, b ∈ R. Z rozsahových důvodů nebudeme zapisovat řešení těchto i dalších soustav až do konce,
nýbrž se spokojíme zpravidla s odvozením některé základní goniometrické rovnice o jedné neznámé,
se kterou už je dokončení celého řešení rutinní záležitostí.
� Příklad 4.5.1. Řešte soustavu rovnic
sin x
sin y
= a, x + y = b.
Řešení: Vyjádření x = b−y z druhé rovnice dosadíme do první rovnice, kterou pak upravíme pomocí
součtového vzorce pro sinus:
a =
sin x
sin y
=
sin(b − y)
sin y
=
sin b cos y − cos b sin y
sin y
= sin b · cotg y − cos b.
118
4.5. GONIOMETRICKÉ SOUSTAVY ROVNIC
Dostáváme tak základní rovnici s neznámou y pro funkci kotangens
sin b · cotg y = a + cos b.
Diskuse o jejím řešení (podle toho, zda číslo sin b je rovno nule či nikoliv, a zda v případě sin b = 0 je
rovno nule i číslo a+cos b) je snadná. Každému nalezenému řešení y pak odpovídá jediné x = b−y.
Dodejme ještě, že podobným postupem lze řešit i soustavy
sin x
sin y
= a, x − y = b a
cos x
cos y
= a, x ± y = b.
Příklad 4.5.2. Řešte soustavu rovnic
sin x + sin y = a, x + y = b.
Řešení: Do první rovnice upravené podle vzorce pro součet sinů dosadíme za součet x+y hodnotu b
z druhé rovnice:
a = sin x + sin y = 2 sin
x + y
2
cos
x − y
2
= 2 sin
b
2
cos
x − y
2
.
To je základní rovnice s neznámou u = x−y
2 pro funkci kosinus. Existence jejích řešení zřejmým
způsobem závisí na hodnotách a, sin b
2. Ke každé vyhovující hodnotě u pak určíme příslušná x, y ze
soustavy lineárních rovnic
x + y = b,
x − y
2
= u.
Dodejme, že stejným postupem lze řešit i soustavy
sin x ± sin y = a, x ± y = b a cos x ± cos y = a, x ± y = b.
Příklad 4.5.3. Řešte soustavu rovnic
sin x · sin y = a, x + y = b.
Řešení: Dvojnásobek levé strany první rovnice vyjádříme jako rozdíl kosinů a za součet x + y
dosadíme hodnotu b z druhé rovnice:
2a = 2 sin x sin y = cos(x − y) − cos(x + y) = cos(x − y) − cos b.
To je základní rovnice s neznámou u = x − y pro funkci kosinus (která má řešení, právě když
|2a + cos b| ≤ 1). Ke každé vyhovující hodnotě u pak určíme příslušná x, y ze soustavy lineárních
rovnic
x + y = b, x − y = u.
Podobným postupem lze řešit i soustavy
sin x sin y = a, x − y = b a cos x cos y = a, x ± y = b.
119
KAPITOLA 4. GONIOMETRICKÉ FUNKCE V OBORU R
Dříve než přejdeme k soustavám daného typu pro funkce tangens a kotangens, poznamenejme,
že postupy řešení prvních tří příkladů lze použít i pro obdobné soustavy, u nichž je parametru a
roven jeden z výrazů
sin x ± cos y, sin x cos y,
sin x
cos y
,
neboť stačí využít převodní vzorec cos π
2 − y = sin y, přitom substituce y′ = π
2 − y změní rovnici
x ± y = b na rovnici téhož typu x ∓ y′ = b ∓ π
2 .
Příklad 4.5.4. Řešte soustavu rovnic16
tg x + tg y = a, x + y = b.
Řešení: Předpokládejme nejprve, že hodnota tg b existuje. Potom z daných rovnic odvodíme vztah
tg b = tg(x + y) =
tg x + tg y
1 − tg xtg y
=
a
1 − tg xtg y
,
ze kterého (v případě, že a · tg b �= 0) vyjádříme hodnotu p = tg x tg y zlomkem
p = 1 −
a
tg b
.
Známe tedy jak součet, tak i součin hodnot tg x a tg y, takže je můžeme určit jako kořeny t1,2
kvadratické rovnice
t2
− at + p = 0.
(Diskusi o existenci kořenů stejně jako rozbor případu a · tg b = 0 vynecháme.) Nakonec ve vyjád-
řeních
x = arctg t1 + kπ, y = arctg t2 + lπ
(nezapomeňme, že kořeny t1 a t2 musíme dosadit v obou pořadích) určíme závislost parametrů
k, l ∈ Z tak, aby byla splněna původní rovnice x+y = b (a nikoliv jen její důsledek tg b = tg(x+y),
ze kterého náš postup vycházel).
V případě, kdy hodnota tg b neexistuje, vede rovnice x + y = b k hodnotě p = tg x tg y = 1.
Další postup s kvadratickou rovnicí je stejný jako v prvním případě.
Dodejme, že podobným postupem lze řešit i soustavy
tg x − tg y = a, x − y = b a cotg x ± cotg y = a, x ± y = b
(v obou rovnicích druhé soustavy se berou stejná znaménka).
Výklad jednotlivých příkladů goniometrických soustav nyní oživíme ukázkou zajímavé konstrukční
úlohy, jejíž řešení snadno převedeme na soustavy rovnic s funkcí tangens z předchozího
příkladu 4.5.4.
Na dané tečně ke kružnici o středu S sestrojte úsečku dané délky d, jež je ze středu S vidět pod
daným úhlem ω.
Označme r poloměr dané kružnice a x, y neznámé úhly, které podle obrázků obou možných situací
určují polohy krajních bodů A, B hledané úsečky. Je patrné, že x, y splňují soustavu rovnic
tg x + tg y =
d
r
, x + y = ω resp. tg x − tg y =
d
r
, x − y = ω.
První soustava pro situaci z levého obrázku je přímo v zadání příkladu 4.5.4, druhá soustava odpovídající
pravému obrázku je zmíněna v závěru jeho řešení.
16
V knize [26] je tato soustava pouze okrajově zmíněna, aniž by byla uvedena související geometrická úloha, kterou
popíšeme vzápětí poté, co soustavu vyřešíme.
120
4.5. GONIOMETRICKÉ SOUSTAVY ROVNIC
S
d
Sr
r
A
B
ω
x
y
A
B
x
ω
y
d
Obrázek 4.23
Příklad 4.5.5. Řešte soustavu rovnic17
tg x − tg y = a, x + y = b.
Řešení: Předpokládejme nejprve, že hodnota tg b existuje, a zaveďme pomocné neznámé p = tg x tg y
a s = tg x + tg y. Z druhé rovnice soustavy plyne
tg b = tg(x + y) =
tg x + tg y
1 − tg x tg y
=
s
1 − p
, odkud s = (1 − p)tg b.
Ze soustavy lineárních rovnic
tg x + tg y = (1 − p)tg b, tg x − tg y = a
nacházíme
tg x =
(1 − p)tg b + a
2
, tg y =
(1 − p)tg b − a
2
.
Po dosazení do vztahu tg x tg y = p získáme kvadratickou rovnici
(1 − p)2
tg2
b − a2
= 4p
k určení hodnoty p (v případě tg b = 0 jde o rovnici lineární). Ke každé vyhovující hodnotě p
vypočteme podle uvedených vzorců hodnoty tg x a tg y. Zbytek řešení je stejný jako u první části
řešení příkladu 4.5.4 – musíme zajistit, aby byla splněna nejen rovnice tg(x+y) = tg b, ale i původní
rovnice x + y = b.
V případě, kdy hodnota tg b neexistuje, vede rovnice x + y = b k hodnotě p = tg x tg y = 1,
takže hodnoty u = tg x, v = tg y lze v tomto případě určit z jednoduché soustavy rovnic
u − v = a, u · v = 1.
Zbytek (řešení základních rovnic tg x = u, tg y = v a zajištění podmínky x + y = b) je nasnadě.
Dodejme, že popsaným postupem lze řešit i soustavy rovnic
tg x + tg y = a, x − y = b a cotg x ± cotg y = a, x ∓ y = b.
17
Uvedeme vlastní (odlišný od knihy [26]) postup řešení.
121
KAPITOLA 4. GONIOMETRICKÉ FUNKCE V OBORU R
Příklad 4.5.6. Řešte soustavu rovnic
tg x · tg y = a, x + y = b.
Řešení: V případě, kdy hodnota tg b existuje, z druhé rovnice soustavy plyne
tg b = tg(x + y) =
tg x + tg y
1 − tg x tg y
=
tg x + tg y
1 − a
,
takže musí být a �= 1, jinak soustava nemá řešení. Ze vztahů
tg x + tg y = (1 − a)tg b a tg x · tg y = a
vidíme, že čísla t1 = tg x a t2 = tg y jsou kořeny kvadratické rovnice
t2
− (1 − a)tg b + a = 0.
Po jejich určení zbývá vyřešit dvě základní rovnice tg x = t1 a tg y = t2 a zajistit splnění rovnice
x + y = b, když zaručeně platí tg(x + y) = tg b.
V případě, kdy hodnota tg b neexistuje, z rovnice x + y = b plyne tg x tg y = 1, takže daná
soustava má řešení, jen když a = 1, a jsou to všechny dvojice (x, y) určené rovnicí x + y = b.
Podobný postup lze uplatnit i k řešení soustav
tg x tg y = a, x − y = b a tg x cotg y = a, x ± y = b,
přitom od součinu tg x cotg y lze pomocí substituce y′ = π
2 − y přejít k součinu tg x tg y′. (Soustavu
rovnic se zadaným součinem cotg x cotg y jsme ani nezapsali, neboť tento součin je převrácenou
hodnotou součinu tg x tg y.)
Ve všech předchozích příkladech jsme řešili soustavy dvou rovnic, z nichž jedna byla goniometrická
a druhá lineární. Nyní přejdeme k soustavám, v nichž obě rovnice budou goniometrické. I jejich
výběr je dán praktickým významem při řešení geometrických úloh (které však uvádět nebudeme).
Příklad 4.5.7. Řešte soustavu rovnic
sin x sin y = a, cos x cos y = b.
Řešení: Ze součtového vzorce pro funkci kosinus vyplývá, že zadaná soustava je ekvivalentní se
soustavou základních goniometrických rovnic
cos(x + y) = b − a, cos(x − y) = b + a.
Takové rovnice jsou řešitelné, právě když platí |b − a| ≤ 1 a zároveň |b + a| ≤ 1. Po určení hodnot
u = x + y, v = x − y (nezapomeňme na dva nezávislé celočíselné násobky periody 2π) se vrátíme
k původním neznámým
x =
1
2
(u + v), y =
1
2
(u − v).
Podobným postupem založeným na součtovém vzorci pro funkci sinus lze řešit soustavu
sin x cos y = a, cos x sin y = b.
122
4.5. GONIOMETRICKÉ SOUSTAVY ROVNIC
Příklad 4.5.8. Řešte soustavu rovnic
sin x cos y = a, cos x cos y = b.
Řešení: Předpokládejme nejprve, že b �= 0. Pak nutně platí i cos x �= 0 a cos y �= 0, takže po vydělení
první rovnice soustavy její druhou rovnicí dostaneme základní goniometrickou rovnici
tg x =
a
b
.
Po určení vyhovujících čísel x a dosazení příslušných hodnot cos x, které jsou zřejmě tvaru
cos x =
±b
√
a2 + b2
�= 0,
do druhé rovnice původní soustavy dostaneme základní rovnici
cos y = ± a2 + b2
k určení druhé neznámé y. Zároveň vidíme, že v případě b �= 0 má zadaná soustava řešení, právě
když a2 + b2 ≤ 1.
V případě b = 0 je druhá rovnice soustavy splněna, právě když cos x = 0 nebo cos y = 0. Je-li
cos x = 0, určíme odtud neznámou x a po dosazení hodnoty sin x = ±1 do první rovnice dostaneme
rovnici cos y = ±a k určení hodnoty y. Je-li naopak cos y = 0, musí být a = 0, jinak první rovnici
soustavy nelze splnit, v kladném případě (a = 0) je pak hodnota x libovolná.
Podobným způsobem můžeme řešit i soustavu rovnic
sin x cos y = a, sin x sin y = b.
Příklad 4.5.9. Řešte soustavu rovnic
sin x + sin y = a, cos x + cos y = b.
Řešení: Po známém převodu součtů na součiny dostaneme soustavu rovnic
sin
x + y
2
cos
x − y
2
=
a
2
, cos
x + y
2
cos
x − y
2
=
b
2
,
která po substituci u = 1
2(x + y), v = 1
2(x − y) přejde v soustavu řešenou v příkladě 4.5.8.
Uvedený postup lze využít i pro řešení soustav
sin x ± sin y = a, cos x ± cos y = b
s ostatními třemi variantami znamének v obou rovnicích.
Příklad 4.5.10. Řešte soustavu rovnic
tg x + tg y = a, cotg x + cotg y = b.
Řešení: Substitucí u = tg x, v = tg y dostaneme algebraickou soustavu rovnic
u + v = a,
1
u
+
1
v
= b,
123
KAPITOLA 4. GONIOMETRICKÉ FUNKCE V OBORU R
kterou v případě b �= 0 snadno vyřešíme na základě implikace
b =
1
u
+
1
v
=
u + v
uv
=
a
uv
⇒ uv =
a
b
(je-li b = 0, musí být i a = 0, jinak soustava nemá řešení). Odtud totiž plyne, že neznámé u, v tvoří
dvojici kořenů t1,2 kvadratické rovnice
t2
− at +
a
b
= 0.
Po jejich výpočtu (podmínku existence vypisovat nebudeme) pak zbývá vyřešit dvojici základních
rovnic tg x = t1, tg y = t2 (s ohledem na symetrii jsme zapsali pouze jednu z obou soustav).
Závěrečnou trojici příkladů budou tvořit soustavy se společnou geometrickou motivací, kterou
je úloha určit vnitřní úhly α, β, γ všech těch trojúhelníků, pro něž jsou hodnoty f(α), f(β), f(γ)
s danou goniometrickou funkcí f v daném postupném poměru p : q : r. Tato podmínka
f(α) : f(β) : f(γ) = p : q : r
s danými parametry p, q, r ∈ R vlastně představuje dvojici rovnic pro tři neznámé α, β, γ; potřebnou
třetí rovnicí je základní vztah α + β + γ = π. V zadání příkladů nebudeme uvádět podmínku, že
parametry p, q, r jsou různé od nuly. Je-li totiž například p = 0, vede základní rovnice f(α) = 0
přímo k určení hodnoty α; pro zbylé neznámé β, γ pak dostáváme soustavu, kterou jsme se už zabývali
dříve.
Pro funkci f(x) = sin x má popsaná úloha zřejmou souvislost se sinovou větou pro obecný trojúhelník.
Uvedeme ji jako první v pořadí, závěr řešení nás díky zmíněné souvislosti patrně nepřekvapí.
Příklad 4.5.11. Řešte soustavu rovnic18
sin x : sin y : sin z = p : q : r, x + y + z = π.
Řešení: První rovnice soustavy bude splněna, právě když pro vhodné reálné číslo t �= 0 bude platit
sin x = pt, sin y = qt, sin z = rt. (4.24)
Z druhé rovnice soustavy odvodíme tři analogické důsledky, první z nich takto:
sin x = sin(π − y − z) = sin(y + z) = sin y cos z + cos y sin z = rt cos y + qt cos z.
Po dosazení do rovnosti sin x = pt a zkrácení číslem t dostaneme první ze tří rovností
p = r cos y + q cos z, q = r cos x + p cos z, r = q cos x + p cos y, (4.25)
zbylé dvě rovnosti se odvodí analogicky. Získali jsme soustavu tří lineárních rovnic pro neznámé
cos x, cos y, cos z, která má, jak se snadno ověří, jediné řešení
cos x =
q2 + r2 − p2
2qr
, cos y =
p2 + r2 − q2
2pr
, cos z =
p2 + q2 − r2
2pq
. (4.26)
18
[34], úloha 63, str. 44. V řešení na str. 202-203 jsou pouze odvozeny základní rovnice pro cos x, cos y, cos z. Náš
výklad doplníme o další úvahy, neboť uvedený postup řešení je založen na důsledkových úpravách takového druhu,
že je principiálně nelze „obrátit“.
124
4.5. GONIOMETRICKÉ SOUSTAVY ROVNIC
To jsou základní goniometrické rovnice k určení neznámých x, y, z (které ne náhodou připomínají
rovnosti z kosinové věty). Splňují všechny trojice x, y, z vyhovující těmto třem základním rovnicím
zadanou podmínku pro poměr sin x : sin y : sin z? Všimněme si, že z rovnice pro cos x plyne
| sin x| = 1 − cos2 x = 1 −
q2 + r2 − p2
2qr
2
=
√
c
2|qr|
,
kde c = 2(pq + pr + qr) − (p2 + q2 + r2), podobně se stejnou konstantou c platí
| sin y| =
√
c
2|pr|
a | sin z| =
√
c
2|pq|
.
Musí tedy být c > 0, tehdy z odvozených vyjádření dostáváme
| sin x| : | sin y| : | sin z| =
√
c
2|qr|
:
√
c
2|pr|
:
√
c
2|pq|
= |p| : |q| : |r|.
Odtud určíme pro hodnoty sin x, sin y, sin z, jejichž absolutní hodnoty již známe, správné kombinace
znamének, aby byla splněna první rovnice ze zadání příkladu. Pak podle dvojic hodnot kosinu a
sinu neznámých x, y, z najdeme číslo x0, y0, z0 ∈ �0, 2π) tak, že bude platit
x = x0 + 2kπ, y = y0 + 2lπ, z = z0 + 2mπ (4.27)
pro vhodná k, l, m ∈ Z. Je však vždy možné zajistit vhodnou vazbou mezi čísly k, l a m, aby byla
splněna i druhá zadaná rovnice x + y + z = π? Ani tato otázka ještě není triviální, a proto kladnou
odpověď na ni zdůvodníme. Víme, že hodnoty x, y, z tvaru (4.27) s parametry k = l = m = 0 splňují
soustavu rovnic (4.25) a že pro ně platí i rovnosti (4.24) s vhodným t �= 0. Odtud dostáváme
sin x = pt = (r cos y + q cos z)t = rt cos y + qt cos z = sin z cos y + sin y cos z = sin(y + z).
Analogicky se odvodí i další dvě z rovností
sin x = sin(y + z), sin y = sin(x + z), sin z = sin(x + y).
Podle známého průběhu funkce sinus to už znamená, že součet x + y + z je pro vhodné n ∈ N tvaru
(využijme toho, že k = l = m = 0)
x0 + y0 + z0 = π + 2nπ, (4.28)
neboť v opačném případě by musela být celá všechna tři čísla
x0 − y0 − z0
2π
,
y0 − x0 − z0
2π
,
z0 − x0 − y0
2π
,
takže by bylo celé i například číslo
x0 − y0 − z0
2π
−
z0 − x0 − y0
2π
=
x
π
,
což odporuje tomu, že sin x0 �= 0. Proto je výběr trojic k, l, m v (4.27) vždy možný a je dán jediným
omezením
k + l + m = −n,
125
KAPITOLA 4. GONIOMETRICKÉ FUNKCE V OBORU R
kde n je celé číslo z (4.28), jehož existenci jsme právě zdůvodnili.
Dodejme na úplný závěr, že zadaná soustava rovnic má řešení pro právě ty trojice nenulových
parametrů p, q a r, pro které jsou absolutní hodnoty všech tří zlomků v (4.26) menší než 1. Z našich
následných úvah však plyne, že tuto poměrně málo přehlednou podmínku lze jednodušeji vyjádřit
pomocí zavedené konstanty c ve tvaru c > 0 neboli
2(pq + pr + qr) > p2
+ q2
+ r2
.
V případě kladných čísel p, q, r jsme tak netradiční cestou odvodili známou podmínku ekvivalentní
s trojúhelníkovými nerovnostmi19
|q − r| < p < q + r.
Příklad 4.5.12. Řešte soustavu rovnic
tg x : tg y : tg z = p : q : r, x + y + z = π.
Řešení: Označme t nenulový koeficient, při kterém má platit
tg x = pt, tg y = qt, tg z = rt. (4.29)
Z druhé rovnice soustavy plyne
tg z = tg (π − x − y) = −tg(x + y) = −
tg x + tg y
1 − tg xtg y
,
takže musí být tg x tg y �= 1 a po vynásobení krajních členů předchozího odvození a snadné úpravě
dostaneme symetrický vztah20
tg x + tg y + tg z = tg x tg y tg z. (4.30)
Obráceným postupem z (4.30) dostaneme tg z + tg(x + y) = 0, což znamená, že x + y + z = nπ pro
vhodné n ∈ Z. Proto místo původní soustavy můžeme řešit soustavu rovnic (4.29) a (4.30); poté
pak bude možné přičíst k číslům x, y, z z vyhovujících trojic takové násobky periody π, aby byla
splněna i původní rovnice x + y + z = π.
Dosazením z (4.29) do (4.30) dostaneme po vydělení číslem t rovnici
p + q + r = pqrt2
neboli t2
=
p + q + r
pqr
(připomínáme obecný předpoklad pqr �= 0). Vyhovující t �= 0 proto existuje, právě když je p + q + r
nenulové číslo téhož znaménka jako pqr. Po dosazení každého z obou kořenů
t1,2 = ±
p + q + r
pqr
do (4.29) dostaneme vždy trojici základních rovnic s funkcí tangens k určení hodnot x, y, z. Protože
obor hodnot tg x je celé R, žádné další podmínky existence řešení kromě
pqr · (p + q + r) > 0
zadaná soustava rovnic nemá.
19
[12], str. 111.
20
O jeho zobecnění pojednáme v příkladu 4.6.4.
126
4.5. GONIOMETRICKÉ SOUSTAVY ROVNIC
Příklad 4.5.13. Řešte soustavu rovnic21
cos x : cos y : cos z = p : q : r, x + y + z = π.
Řešení: První rovnice soustavy bude splněna, právě když pro vhodné t �= 0 bude platit
cos x = pt, cos y = qt, cos z = rt. (4.31)
K určení neznámé hodnoty t budeme muset nahradit druhou rovnici soustavy rovnicí pro hodnoty
cos x, cos y, cos z, podobně jako jsme v řešení předchozího příkladu nahradili stejnou rovnici x + y +
+ z = π rovnicí pro hodnoty tg x, tg y, tg z. Tentokrát bude takovou náhradnicí poněkud složitější
rovnice
cos2
x + cos2
y + cos2
z + 2 cos x cos y cos z = 1, (4.32)
která je (jak víme z podkapitoly 3.4) zaručeně splněna v případě, kdy x, y, z jsou vnitřní úhly libovolného
trojúhelníku. V úvodní části podkapitoly 5.1 ukážeme, že rovnost (4.32) platí i v obecnější
situaci, kdy je splněna podmínka cos z = − cos(x + y). Příslušné odvození však není možné přímo
obrátit, a tak není jasné, zda je podmínka cos z = − cos(x + y) ke splnění (4.32) nejen postačující,
nýbrž i nutná. Rozhodneme o tom tak, že položíme c = cos z a přepíšeme rovnost (4.32) jako
kvadratickou rovnici
c2
+ 2 cos x cos y · c + cos2
x + cos2
y − 1 = 0,
jejíž jeden kořen je, jak víme, c1 = − cos(x + y). Druhý kořen c2 proto snadno určíme z Vietova
vzorce pro součet kořenů
c1 + c2 = −2 cos x cos y.
Po dosazení c1 a snadné úpravě dostaneme
c2 = −2 cos x cos y − c1 = −2 cos x cos y + cos(x + y) = − cos(x − y).
Vidíme tedy, že rovnice (4.32) je splněna v právě dvou případech
cos z = − cos(x + y), resp. cos z = − cos(x − y).
Podle známého průběhu funkce kosinus tyto dvě možnosti znamenají právě to, že existuje číslo
n ∈ N s vlastností, že při vhodném výběru znamének platí
±x ± y ± z = π + 2nπ. (4.33)
Našli jsme tak všechna řešení rovnice (4.32). Protože v ní vystupují pouze hodnoty funkce kosinus,
která je sudá, může u vyhovujících čísel x, y, z změnit podle (4.33) znaménka a pak k nim přičíst
vhodné násobky periody 2π tak, aby byla splněna rovnost x + y + z = π požadovaná zadáním
příkladu. Ukázali jsme, že takové trojice x, y, z tedy existují pro každou trojici kosinů splňujících
rovnici (4.32). Proto se dále budeme zabývat již jen řešením soustavy rovnic (4.31) a (4.32) pro
neznámé hodnoty cos x, cos y, cos z, tedy pro neznámou t z jejich vyjádření (4.31).
Dosazením z (4.31) do (4.32) dostaneme kubickou rovnici
2pqrt3
+ (p2
+ q2
+ r2
)t2
− 1 = 0.
21
Náročnější postup řešení je pravděpodobnou příčinou toho, proč jsme tuto zajímavou soustavu v literatuře nenašli.
Využijeme při něm i komplexní čísla, o kterých pojednáme v podkapitole 6.2.
127
KAPITOLA 4. GONIOMETRICKÉ FUNKCE V OBORU R
S ohledem na obor hodnot �−1, 1� funkce kosinus nás budou po vyřešení získané rovnice zajímat
právě ty její kořeny, které splňují podmínku
max {|pt|, |qt|, |rt|} ≤ 1. (4.34)
Pro lepší přehlednost postupu řešení učiníme úmluvu, že zadaná nenulová čísla p, q, r z postupného
poměru p : q : r jsou „normována“ tak, že platí
pqr = 1. (4.35)
Kromě toho zavedeme nový parametr s předpisem
s =
p2 + q2 + r2
3
, (4.36)
abychom řešenou kubickou rovnici mohli přepsat do výhodného tvaru
t3
+
3s
2
t2
−
1
2
= 0. (4.37)
Podle (4.35) a (4.36) splňuje parametr s díky nerovnosti mezi aritmetickým a geometrickým průměrem
trojice čísel p2, q2, r2 odhad
s =
p2 + q2 + r2
3
≥ 3
p2q2r2 =
3
√
1 = 1.
Rovnici (4.37) bude účelné vyřešit v případech s = 1, resp. s > 1 odděleně. V prvním z nich platí
|p| = |q| = |r| = 1 a mnohočlen v (4.37) má snadno objevitelný rozklad
t3
+
3
2
t2
−
1
2
= (t + 1)2
t −
1
2
.
Vyhovují tedy hodnoty t = −1 a t = 1
2, takže v případě p, q, r ∈ {−1, 1} za podmínky pqr = 1 jsou
všechna řešení původní soustavy určena základními rovnicemi
(cos x, cos y, cos z) = (−p, −q, −r), resp. (cos x, cos y, cos z) =
p
2
,
q
2
,
r
2
(podmínky (4.34) jsou zřejmě splněny).
Zabývejme se až do konce řešení případem s > 1. Povšimněme si především, že mnohočlen
F(t) = t3
+
3s
2
t2
−
1
2
(4.38)
má v jistých čtyřech významných bodech hodnoty
F −
3s
2
=
−27s3
8
+
27s3
8
−
1
2
= −
1
2
< 0, F(−s) = −s3
+
3s3
2
−
1
2
=
s3 − 1
2
> 0,
F(0) = −
1
2
< 0, F
s
2
=
s3
8
+
3s3
8
−
1
2
=
s3 − 1
2
> 0.
(4.39)
Proto na každém ze tří otevřených intervalů −3s
2 , −s , (−s, 0) a 0, s
2 bude mít kubická rovnice
(4.37) jeden reálný kořen. Vypočtěme je nyní užitím Cardanovy metody. Nejprve tedy zavedeme
substituci
t = u −
s
2
, (4.40)
128
4.5. GONIOMETRICKÉ SOUSTAVY ROVNIC
abychom pro novou neznámou u dostali kubickou rovnici s nulovým koeficientem u členu u2:
u −
s
2
3
+
3s
2
u −
s
2
2
−
1
2
= 0,
u3
−
3s2
4
· u +
s3
4
−
1
2
= 0. (4.41)
Nyní uplatníme hlavní obrat Cardanovy metody: řešení poslední rovnice budeme hledat ve tvaru
u = u1 + u2, kde u1 a u2 je dvojice čísel, jež bude řešením vhodné soustavy rovnic, kterou za
okamžik sestavíme. (Jak se ukáže, čísla u1, u2 nebudou reálná, nýbrž imaginární – přesněji komplexně
sdružená.) Dosadíme-li vyjádření
u = u1 + u2, u3
= u3
1 + u3
2 + 3u1u2(u1 + u2)
do rovnice (4.41), dostaneme po snadné úpravě rovnici
u3
1 + u3
2 + 3(u1 + u2) u1u2 −
s2
4
+
s3
4
−
1
2
= 0.
Ta bude splněna, budou-li čísla u1, u2 řešením soustavy rovnic
u1u2 =
s2
4
, u3
1 + u3
2 =
1
2
−
s3
4
. (4.42)
Čísla u3
1 a u3
2 tak mají předepsaný nejen součet, ale i součin – ten se rovná třetí mocnině hodnoty
s2
4 . Proto je určíme jako kořeny v1,2 nové kvadratické rovnice
v2
−
1
2
−
s3
4
v +
s2
4
3
= 0.
Její diskriminant D má hodnotu
D =
1
2
−
s3
4
2
− 4 ·
s6
43
=
s6
42
−
s3
4
+
1
4
−
s6
42
=
1 − s3
4
,
což je záporné číslo, neboť s > 1. Kořeny v1,2 jsou proto komplexně sdružená čísla
v1,2 =
1
2 − s3
4 ± i
2 ·
√
s3 − 1
2
=
1
23
· (2 − s3
± 2i s3 − 1).
K určení čísel u1, u2 z rovností u3
1 = v1 a u3
2 = v2 budeme muset vypočítat třetí odmocniny z čísel
v1, v2 (a pak vybrat tyto nejednoznačné hodnoty tak, aby byla splněna první rovnice z (4.42), kterou
jsme v dalším postupu umocnili na třetí). Nejprve proto najdeme goniometrický tvar komplexních
čísel v1,2. Pro jejich absolutní hodnotu platí
|v1,2| =
1
23
· 2 − s3
± 2i s3 − 1 =
1
23
(2 − s3)2 + 4(s3 − 1) =
√
s6
23
=
s
2
3
.
Zavedeme-li proto úhel ω ∈ (0, π) rovností
cos ω =
2 − s3
s3
=
2
s3
− 1 (4.43)
129
KAPITOLA 4. GONIOMETRICKÉ FUNKCE V OBORU R
(poslední výraz má hodnotu v intervalu (−1, 1), neboť s > 1), bude platit
v1,2 =
s
2
3
(cos ω ± i sin ω),
takže soustavu rovnic (4.42) splňují tři dvojice komplexně sdružených čísel
u1,2 =
s
2
· cos
ω + 2kπ
3
± i sin
ω + 2kπ
3
,
kde k ∈ {0, 1, 2}. Kubická rovnice (4.41) má tedy tři reálné kořeny
u = u1 + u2 = s · cos
ω + 2kπ
3
, kde k ∈ {0, 1, 2} .
Po dosazení do (4.40) tak dostaneme tři kořeny původní rovnice (4.37). Označíme je
t1 =
s
2
2 cos
ω
3
− 1 , t2 =
s
2
2 cos
ω + 2π
3
− 1 , t3 =
s
2
2 cos
ω + 4π
3
− 1 . (4.44)
Celý výpočet pro případ s > 1 je u konce. Hodnoty cos x, cos y, cos z každého řešení soustavy ze
zadání příkladu jsou dány rovnostmi (4.31), do nichž dosadíme za t libovolné z čísel t1, t2, t3 ze
vztahů (4.44), jež splňuje omezení (4.34).
Ukažme ještě, že diskusi o splnění podmínek (4.34) lze podat přehledně i v obecném případě s > 1,
bez ohledu na poměrně složitá vyjádření (4.44) přesných hodnot t1, t2, t3. Všimněme si, že z nerovností
0 < ω < π plyne
1
2
< cos
ω
3
< 1, −1 < cos
ω + 2π
3
< −
1
2
, −
1
2
< cos
ω + 4π
3
<
1
2
,
takže pro kořeny z (4.44) dostáváme odhady
0 < t1 <
s
2
, −
3
2
s < t2 < −s, −s < t3 < 0,
jež odpovídají intervalům, které jsme dříve stanovili na základě nerovností (4.39). Odtud je jasné,
že kořen t2 musíme z řešení naší úlohy vždy vyloučit, neboť z předpokladu s > 1 zřejmě plyne
|t2| > 1 a max {|p|, |q|, |r|} > 1
(připomínáme definici (4.36) parametru s), a proto podmínka (4.34) pro t = t2 neplatí. Ve zbylé
části naší diskuse ukážeme, že pro každé s > 1 je podmínka (4.34) splněna jak pro t = t1, tak pro
t = t3, že tedy oba kořeny t1 a t3 vždy generují řešení naší úlohy.
Parametry p, q, r bude nyní výhodné uspořádat tak, aby platilo |p| ≥ |q| ≥ |r| > 0. Pak totiž splnění
podmínky (4.34) pro kladné t = t1, resp. záporné t = t3 lze vyjádřit jedinou nerovností
t1 ≤
1
|p|
, resp. t3 ≥ −
1
|p|
. (4.45)
Vzpomeneme-li si, že t1 ∈ 0, s
2 a t3 ∈ (−s, 0) jsou kořeny mnohočlenu F z (4.38), který má
v krajních bodech uvedených intervalů hodnoty (4.39), dojdeme k závěru, že nerovnosti (4.45)
budou splněny, právě když bude platit
F
1
|p|
≥ 0, resp. F −
1
|p|
≥ 0.
130
4.5. GONIOMETRICKÉ SOUSTAVY ROVNIC
Ověřit poslední dvě nerovnosti je snadné:
F
1
|p|
=
1
|p|3
+
3s
2
1
|p|2
−
1
2
=
2 + 3s|p| − |p|3
2|p|3
=
2 + (p2 + q2 + r2)|p| − |p|3
2|p|3
=
=
2 + (q2 + r2)|p|
2|p|3
> 0,
F −
1
|p|
= −
1
|p|3
+
3s
2
1
|p|2
−
1
2
=
−2 + 3s|p| − |p|3
2|p|3
=
−2|pqr| + (p2 + q2 + r2)|p| − |p|3
2|p|3
=
=
q2 + r2 − 2|qr|
2|p|2
=
(|q| − |r|)2
2|p|2
≥ 0.
Shrňme v úplném závěru výsledek diskuse případu s > 1: zatímco kořen t2 žádná řešení původní
goniometrické soustavy negeneruje, každý z kořenů t1, t3 taková řešení přináší.
Ilustrujme nyní numericky výše uvedené řešení výpočtem pro konkrétní hodnoty p = 4, q =
= 2, r = 1. Pro lepší přehlednost uvedeme tuto numerickou ukázku jako samostatný příklad.
Příklad 4.5.14. Řešte soustavu rovnic cos x : cos y : cos z = 4 : 2 : 1, x + y + z = π.
Řešení: Zadané hodnoty p = 4, q = 2, r = 1 nesplňují podmínku pqr = 1 potřebnou k postupu
výpočtu podle předchozího řešení, proto je zaměníme úměrnými hodnotami
p′
=
p
3
√
pqr
= 2, q′
=
q
3
√
pqr
= 1, r′
=
r
3
√
pqr
=
1
2
.
Další kroky postupu byly detailně popsány v 4.5.13, proto je nyní uvedeme bez komentáře.
• cos x = 2 · t, cos y = 1 · t, cos z =
1
2
· t pro vhodné t ∈ R,
• s =
22 + 12 + 1
2
2
3
=
7
4
,
• t3
+
21
8
t2
−
1
2
= 0,
• t = u −
7
8
⇒ u3
− 3 ·
7
8
2
· u + 2 ·
7
8
3
−
1
2
= 0,
• u = u1 + u2, kde u1u2 =
7
8
2
, u3
1 + u3
2 =
1
2
− 2 ·
7
8
3
,
• v1,2 = u3
1,2, kde v2
−
1
2
− 2 ·
7
8
3
v +
7
8
6
= 0,
• v1,2 = −
215
512
± i ·
√
279
32
, |v1,2| =
343
512
=
7
8
3
,
• cos ω = −
215
343
pro ω = 128,8160543...◦
,
• u1,2 =
7
8
· cos
ω + 2k · 180◦
3
± i sin
ω + 2k · 180◦
3
,
• u = u1 + u2 =
7
4
· cos
ω + 2k · 180◦
3
,
131
KAPITOLA 4. GONIOMETRICKÉ FUNKCE V OBORU R
• t1 =
7
4
· cos
ω
3
−
7
8
= 0,406 145 469...,
t2 =
7
4
· cos
ω + 360◦
3
−
7
8
= −2,547 984 821...,
t3 =
7
4
· cos
ω + 720◦
3
−
7
8
= −0,483 160 648...,
• (cos x, cos y, cos z) = 2t1, t1,
1
2
t1 ,
arccos 2t1 = 35,679 630 01...◦
, arccos t1 = 66,037 071 94...◦
, arccos
1
2
t1 = 78,283 298 03...◦
,
1. skupina řešení:
(x, y, z)
.
= (35,7◦
+ l · 360◦
, 66,0◦
+ m · 360◦
, 78,3◦
+ n · 360◦
),
kde l, m, n ∈ Z, l + m + n = 0,
2. skupina řešení:
(x, y, z)
.
= (−35,7◦
+ l · 360◦
, −66,0◦
+ m · 360◦
, −78,3◦
+ n · 360◦
),
kde l, m, n ∈ Z, l + m + n = 1,
• (cos x, cos y, cos z) = 2t2, t2,
1
2
t2 ,
2t2
.
= −2,548 /∈ H(cos),
• (cos x, cos y, cos z) = 2t3, t3,
1
2
t3 ,
arccos 2t3 = 165,087 797 8...◦
, arccos t3 = 118,892 033 2...◦
, arccos
1
2
t3 = 103,979 831 1...◦
,
3. skupina řešení:
(x, y, z)
.
= (165,1◦
+ l · 360◦
, 118,9◦
+ m · 360◦
, −104,0◦
+ n · 360◦
),
kde l, m, n ∈ Z, l + m + n = 0,
4. skupina řešení:
(x, y, z)
.
= (−165,1◦
+ l · 360◦
, −118,9◦
+ m · 360◦
, 104,0◦
+ n · 360◦
),
kde l, m, n ∈ Z, l + m + n = 1.
4.6 Goniometrické identity a rovnosti
V předchozích podkapitolách jsme po zavedení goniometrických funkcí v oboru R uvedli a dokázali
základní vzorce, které tyto funkce splňují a které by měl aktivně ovládat každý, kdo chce
s goniometrickými funkcemi úspěšně pracovat při jejich nejrůznějších aplikacích.22 V matematické
literatuře najdeme ovšem značné množství dalších rovností pro goniometrické funkce s různě sestavenými
argumenty zahrnujícími reálné proměnné, ve kterých tyto rovnosti zpravidla platí identicky,
vždy když mají sestavené výrazy smysl. Říkejme jim proto goniometrické identity. Mnohé z nich
byly v minulosti patrně odvozeny při řešení konkrétních problémů, ať už praktického či teoretického
původu, a všechny potvrzují bohatost celé teorie goniometrických funkcí. Na hledání takových,
mnohdy nečekaných a překvapivých souvislostí se zaměříme v příkladech závěrečné části 4.7 celé
kapitoly. V této podkapitole 4.6 uvedeme formou řešených příkladů nejprve některé další významné
22
V dále řešených příkladech budeme proto tyto základní vzorce uplatňovat bez odkazů, zejména při postupných
úpravách výrazů.
132
4.6. GONIOMETRICKÉ IDENTITY A ROVNOSTI
goniometrické vzorce a identity s poměrně jednoduchými zápisy a zajímavou formou. Poté v dalších
příkladech dokážeme řadu číselných rovností, které splňují hodnoty goniometrických funkcí v některých
daných význačných úhlech. Tyto rovnosti jsou o to působivější, že zmíněné hodnoty jsou
zpravidla iracionální čísla, která neumíme „rozumným“ způsobem vyjádřit, takže exaktní ověření
takových rovností není možné provést prostým dosazením dotyčných hodnot (numerické výpočty
s kalkulačkou nebo počítačem jistotu přesných rovností ovšem poskytnout nemohou). Goniometrické
identity a rovnosti mezi reálnými výrazy, resp. čísly, které lze snadněji odvodit využitím algebry
komplexních čísel, uvedeme až v části 6.2 poslední kapitoly.
Příklad 4.6.1. Dokažte vzorce pro funkce trojnásobného argumentu
sin 3x = 3 sin x − 4 sin3
x, cos 3x = 4 cos3
x − 3 cos x,
tg 3x =
3tg x − tg3x
1 − 3tg2x
, cotg 3x =
cotg3x − 3cotg x
3cotg2x − 1
.
První dva vzorce přitom platí pro každé x ∈ R, třetí a čtvrtý za podmínky, kdy má smysl zlomek
v jejich pravé straně.
Řešení:
• sin 3x = sin(2x + x) = sin 2x cos x + cos 2x sin x = 2 sin x cos2
x + (1 − 2 sin2
x) sin x =
= 2 sin x(1 − sin2
x) + sin x − 2 sin3
x = 2 sin x − 2 sin3
x + sin x − 2 sin3
x =
= 3 sin x − 4 sin3
x.
• cos 3x = cos(2x + x) = cos 2x cos x − sin 2x sin x = (2 cos2
x − 1) cos x − 2 sin2
x cos =
= 2 cos3
x − cos x − 2(1 − cos2
x) cos x = 2 cos3
x − cos x − 2 cos x + 2 cos3
x =
= 4 cos3
x − 3 cos x.
• tg 3x = tg(2x + x) =
tg 2x + tg x
1 − tg 2x tg x
=
2tg x
1−tg2x
+ tg x
1 − 2tg x
1−tg2x
· tg x
=
2tg x+tg x−tg3x
1−tg2x
1−tg2x−2tg2x
1−tg2x
=
3tg x − tg3x
1 − 3tg2x
.
• cotg 3x = cotg(2x + x) =
cotg 2x cotg x − 1
cotg 2x + cotg x
=
cotg2x−1
2cotg x · cotg x − 1
cotg2x−1
2cotg x + cotg x
=
cotg3x−cotg x−2cotg x
2cotg x
cotg2x−1+2cotg2x
2cotg x
=
=
cotg3x − 3cotg x
3cotg2x − 1
.
Příklad 4.6.2. Dokažte vzorce pro součiny hodnot tangens a kotangens
tg x · tg y =
tg x + tg y
cotg x + cotg y
,
cotg x · cotg y =
cotg x + cotg y
tg x + tg y
,
tg x · cotg y =
tg x + cotg y
cotg x + tg y
,
které platí pro všechna x, y ∈ R, pro něž má příslušný zlomek v pravé straně vzorce smysl.
133
KAPITOLA 4. GONIOMETRICKÉ FUNKCE V OBORU R
Řešení:
•
tg x + tg y
cotg x + cotg y
=
tg x + tg y
1
tg x + 1
tg y
=
tg x + tg y
tg x+tg y
tg x·tg y
= tg x · tg y.
• cotg x · cotg y =
1
tg x
·
1
tg y
=
1
tg x+tg y
cotg x+cotg y
=
cotg x + cotg y
tg x + tg y
.
• tg x · cotg y = tg x · tg
π
2
− y =
tg x + tg π
2 − y
cotg x + cotg π
2 − y
=
tg x + cotg y
cotg x + tg y
.
Příklad 4.6.3. Dokažte vzorce pro součty hodnot tangens a kotangens
tg x + tg y =
sin(x + y)
cos x cos y
,
cotg x + cotg y =
sin(x + y)
sin x sin y
,
tg x + cotg y =
cos(x − y)
cos x sin y
,
které platí pro všechna x, y ∈ R, pro něž mají oba sčítanci v příslušné levé straně vzorce smysl.
(Zaměníme-li y za −y, dostaneme obdobné vzorce pro rozdíly hodnot tangens a kotangens.)
Řešení:
• tg x + tg y =
sin x
cos x
+
sin y
cos y
=
sin x cos y + cos x sin y
cos x cos y
=
sin(x + y)
cos x cos y
.
• cotg x + cotg y =
cos x
sin x
+
cos y
sin y
=
sin y cos x + cos y sin x
sin x sin y
=
sin(y + x)
sin x sin y
.
• tg x + cotg y =
sin x
cos x
+
cos y
sin y
=
sin x sin y + cos x cos y
cos x sin y
=
cos(x − y)
cos x sin y
.
Příklad 4.6.4. Dokažte, že pro libovolná x, y, z ∈ R platí
tg x + tg y + tg z − tg x tg y tg z =
sin(x + y + z)
cos x cos y cos z
za předpokladu, že cos x · cos y · cos z �= 0.23
Řešení: Podmínka cos x · cos y · cos z �= 0 zaručuje, že všechny tři hodnoty tg x, tg y, tg z mají smysl.
Pro jejich součet úpravou dostaneme
tg x + tg y + tg z =
sin(x + y)
cos x cos y
+
sin z
cos z
=
sin(x + y) cos z + sin z cos x cos y
cos x cos y cos z
=
=
sin(x + y) cos z + cos(x + y) sin z − cos(x + y) sin z + sin z cos x cos y
cos x cos y cos z
=
=
sin(x + y + z) + sin z · (cos x cos y − cos(x + y))
cos x cos y cos z
=
=
sin(x + y + z) + sin x sin y sin z
cos x cos y cos z
=
sin(x + y + z)
cos x cos y cos z
+ tg x tg y tg z.
Poznámka: Identita z předchozího příkladu má důsledek týkající se zajímavé rovnosti
tg x + tg y + tg z = tg x tg y tg z,
že totiž taková rovnost platí, právě když sin(x + y + z) = 0; splňují ji tedy například vnitřní úhly
x, y, z libovolného nepravoúhlého trojúhelníku (neboť x + y + z = π).
23
[34], str. 20.
134
4.6. GONIOMETRICKÉ IDENTITY A ROVNOSTI
Příklad 4.6.5. Dokažte, že pro libovolná x, y ∈ R platí
sin(x + y) sin(x − y) = cos2
y − cos2
x = sin2
x − sin2
y,
cos(x + y) cos(x − y) = cos2
x − sin2
y = cos2
y − sin2
x.
Řešení: Dokazovat budeme pouze identity z prvního řádku, neboť identity z druhého řádku z nich
zřejmě plynou, když x zaměníme za π
2 − x. Druhá rovnost v prvním řádku plyne z porovnání dvou
goniometrických jedniček
cos2
x + sin2
x = cos2
y + sin2
y,
důkaz první rovnosti provedeme takto:
cos2
y − cos2
x =
1 + cos 2y
2
−
1 + cos 2x
2
=
cos 2y − cos 2x
2
=
=
cos(x + y − (x − y)) − cos(x + y + x − y)
2
= sin(x + y) sin(x − y).
Příklad 4.6.6. Pro libovolná x, y ∈ R dokažte rovnosti24
(cos x + cos y)2
+ (sin x + sin y)2
= 4 cos2 x − y
2
,
(cos x − cos y)2
+ (sin x − sin y)2
= 4 sin2 x − y
2
.
Řešení:
• (cos x + cos y)2
+ (sin x + sin y)2
= cos2
x + 2 cos x cos y + cos2
y + sin2
x + 2 sin x sin y + sin2
y =
= 2 + 2(cos x cos y + sin x sin y) = 2 + 2 cos(x − y) =
= 4 ·
1 + cos(x − y)
2
= 4 cos2 x − y
2
.
• (cos x − cos y)2
+ (sin x − sin y)2
= cos2
x − 2 cos x cos y + cos2
y + sin2
x − 2 sin x sin y + sin2
y =
= 2 − 2(cos x cos y + sin x sin y) = 2 − 2 cos(x − y) =
= 4 ·
1 − cos(x − y)
2
= 4 sin2 x − y
2
.
Příklad 4.6.7. Pro každé x ∈ R označme
a = sin4
x + cos4
x, b = sin6
x + cos6
x.
Vyjádřete b pomocí a.25
Řešení: Umocníme-li rovnost 1 = sin2
x + cos2 x jednou na druhou, podruhé na třetí:
12
= (sin2
x + cos2
x)2
= sin4
x + 2 sin2
x cos2
x + cos4
x,
13
= (sin2
x + cos2
x)3
= sin6
x + 3 sin4
x cos2
x + 3 sin2
x cos4
x + cos6
x,
dostaneme po úpravě soustavu dvou rovnic
1 = a + 2 sin2
x cos2
x, 1 = b + 3 sin2
x cos2
x · (sin2
x + cos2
x
1
).
Odtud sčítací metodou vyloučíme sin2
x cos2 x, čímž získáme kýžené vyjádření:
1 = 3a − 2b ⇒ b =
3a − 1
2
.
24
[34], str. 10.
25
[29], str. 90–91.
135
KAPITOLA 4. GONIOMETRICKÉ FUNKCE V OBORU R
Příklad 4.6.8. Dokažte, že hodnota výrazu
V (x) = cos2
x + cos2
(a + x) − 2 cos a cos x cos(a + x)
s parametrem a ∈ R nezávisí na hodnotě proměnné x ∈ R.26
Řešení: Protože cos π
2 = 0, volbou x = π
2 − a dostaneme
V
π
2
− a = cos2 π
2
− a = sin2
a.
Proto je naší úlohou dokázat identitu
cos2
x + cos2
(a + x) − 2 cos a cos x cos(a + x) = sin2
a.
Její levou stranu užitím vzorce 2 cos a cos x = cos(a + x) + cos(a − x) upravíme takto:
cos2
x + cos2
(a + x) − cos2
(a + x) + cos(a + x) cos(a − x) =
= cos2
x − (cos a cos x − sin a sin x) · (cos a cos x + sin a sin x) =
= cos2
x − cos2
a cos2
x + sin2
a sin2
x = cos2
x · (1 − cos2
a) + sin2
a sin2
x =
= cos2
x sin2
a + sin2
a sin2
x = (cos2
x + sin2
x) sin2
a = sin2
a.
Příklad 4.6.9. Součet
S = sin(x − y) + sin(y − z) + sin(z − x)
upravte na součin.27
Řešení: Využijeme důsledků vzorce pro součet dvou sinů
sin(x − y) + sin(y − z) = 2 sin
x − z
2
cos
x + z − 2y
2
a vzorce pro sinus dvojnásobného argumentu
sin(z − x) = 2 sin
z − x
2
cos
z − x
2
.
Pro zkoumaný součet S tak dostaneme:
S = sin(x − y) + sin(y − z) + sin(z − x) = 2 sin
x − z
2
cos
x + z − 2y
2
− cos
z − x
2
=
= 2 sin
x − z
2
−2 sin
z − y
2
sin
x − y
2
= −4 sin
x − y
2
sin
y − z
2
sin
z − x
2
.
Příklad 4.6.10. Rozložte na součin výrazy
C = cos x + cos y + cos z + cos(x + y + z),
S = sin x + sin y + sin z − sin(x + y + z)
s libovolnými proměnnými x, y, z ∈ R.28
Řešení: Před vlastním odvozením si povšimněme jednoduchých situací, kdy jsou zkoumané výrazy
26
[34], str. 11.
27
[29], str. 94.
28
[34], str. 20.
136
4.6. GONIOMETRICKÉ IDENTITY A ROVNOSTI
rovny nule. Rovnost C = 0 zřejmě nastane, je-li jeden ze součtů x + y, x + z, y + z roven číslu π
(plyne to ze vzorce cos(π − t) = − cos t); bude-li jeden z těchto součtů roven nule, bude zase platit
S = 0 (neboť sin(−t) = − sin t). Tato poznámka „ospravedlňuje“ volbu znaků ± u posledního členu
v definici výrazů C a S, aby byl možný jejich rozklad na součin.
• C = (cos x + cos y) + (cos z + cos(x + y + z)) =
= 2 cos
x + y
2
cos
x − y
2
+ 2 cos
x + y + 2z
2
cos
−x − y
2
=
= 2 cos
x + y
2
· cos
x − y
2
+ cos
x + y + 2z
2
=
= 2 cos
x + y
2
· 2 cos
x + z
2
cos
−y − z
2
= 4 cos
x + y
2
cos
y + z
2
cos
z + x
2
.
• S = (sin x + sin y) + (sin z − sin(x + y + z)) =
= 2 sin
x + y
2
cos
x − y
2
+ 2 cos
x + y + 2z
2
sin
−x − y
2
=
= 2 sin
x + y
2
cos
x − y
2
− 2 sin
x + y
2
cos
x + y + 2z
2
=
= 2 sin
x + y
2
· cos
x − y
2
− cos
x + y + 2z
2
=
= 2 sin
x + y
2
· −2 sin
x + z
2
sin
−y − z
2
= 4 sin
x + y
2
sin
y + z
2
sin
z + x
2
.
V několika dalších příkladech využijeme techniku tzv. teleskopického sčítání. Spočívá v tom,
že sčítance zkoumaného součtu S upravíme do tvaru vhodných rozdílů, abychom získali vyjádření,
které nyní poněkud neformálně zapíšeme jako
S = (a − b) + (b − c) + (c − d) + · · · + (y − z).
Odtud pak po zrušení dvojic navzájem opačných členů dostaneme výsledek ve tvaru S = a − z.
Podobně probíhá i krácení dvojic shodných činitelů při teleskopickém násobení
P =
a
b
·
b
c
·
c
d
· · ·
y
z
=
a
z
,
které také později několikrát uplatníme. Před vlastními příklady uveďme tři jednoduché výsledky
teleskopického sčítání, totiž goniometrické identity
sin(x − y)
cos x cos y
+
sin(y − z)
cos y cos z
+
sin(z − x)
cos z cos x
= 0,
sin x sin(y − z) + sin y sin(z − x) + sin z sin(x − y) = 0,
cos x sin(y − z) + cos y sin(z − x) + cos z sin(x − y) = 0.
Sčítance na každé z levých stran lze zřejmě zapsat jako tři analogické rozdíly, které pro první sčítanec
137
KAPITOLA 4. GONIOMETRICKÉ FUNKCE V OBORU R
mají tvar
sin(x − y)
cos x cos y
= tg x − tg y,
sin x sin(y − z) =
cos(x − y + z) − cos(x + y − z)
2
,
cos x sin(y − z) =
sin(x + y − z) − sin(x − y + z)
2
,
takže po jejich sečtení vyjde ve všech třech případech skutečně nula.
Příklad 4.6.11. Pro libovolné x ∈ R a každé n ∈ N dokažte vzorce
Sn = sin x + sin 2x + · · · + sin nx =
sin (n+1)x
2 sin nx
2
sin x
2
,
Cn = cos x + cos 2x + · · · + cos nx =
cos (n+1)x
2 sin nx
2
sin x
2
za předpokladu, že platí sin x
2 �= 0.29
Řešení: Budeme upravovat výrazy sin x
2 · Sn a sin x
2 · Cn:
sin
x
2
· Sn = sin
x
2
sin x + sin
x
2
sin 2x + · · · + sin
x
2
sin nx =
=
cos(x
2 − x) − cos(x
2 + x)
2
+
cos(x
2 − 2x) − cos(x
2 + 2x)
2
+ · · · +
cos(x
2 − nx) − cos(x
2 + nx)
2
=
=
cos x
2
2
−
cos 3x
2
2
+
cos 3x
2
2
−
cos 5x
2
2
+ · · · +
cos (2n−1)x
2
2
−
cos (2n+1)x
2
2
.
Po teleskopickém sečtení dostaneme
sin
x
2
· Sn =
cos x
2
2
−
cos (2n+1)x
2
2
=
1
2
cos
x
2
− cos
(2n + 1)x
2
=
=
1
2
−2 sin
x
2 + (2n+1)x
2
2
sin
x
2 − (2n+1)x
2
2
= sin
(n + 1)x
2
sin
nx
2
.
sin
x
2
· Cn = sin
x
2
cos x + sin
x
2
cos 2x + · · · + sin
x
2
cos nx =
=
sin(x
2 + x) + sin(x
2 − x)
2
+
sin(x
2 + 2x) + sin(x
2 − 2x)
2
+ · · · +
sin(x
2 + nx) + sin(x
2 − nx)
2
=
=
sin 3x
2
2
−
sin x
2
2
+
sin 5x
2
2
−
sin 3x
2
2
+
sin 7x
2
2
−
sin 5x
2
2
+ · · · +
sin (2n+1)x
2
2
−
sin (2n−1)x
2
2
.
Podobně po úpravě a teleskopickém sečtení druhého výrazu dostaneme
sin
x
2
· Cn =
sin (2n+1)x
2
2
−
sin x
2
2
=
1
2
sin
(2n + 1)x
2
− sin
x
2
=
1
2
2 cos
(2n+1)x+x
2
2
sin
(2n+1)x−x
2
2
= cos
(n + 1)x
2
sin
nx
2
.
29
V případě, kdy sin x
2
= 0 neboli x = 2kπ pro vhodné k ∈ Z, zřejmě platí Sn = 0 a Cn = n pro každé n ∈ N.
138
4.6. GONIOMETRICKÉ IDENTITY A ROVNOSTI
Poznámka: Vzorce z předchozího příkladu se často uvádějí v obecnější podobě
sin a + sin(a + x) + · · · + sin(a + nx) =
sin (n+1)x
2 sin a + nx
2
sin x
2
,
cos a + cos(a + x) + · · · + cos(a + nx) =
sin (n+1)x
2 cos a + nx
2
sin x
2
s libovolným parametrem a ∈ R. My je můžeme získat z dokázaných vzorců pro a = 0 díky zřejmým
rovnostem
sin a + sin(a + x) + · · · + sin(a + nx) = sin a · (1 + Cn) + cos a · Sn,
cos a + cos(a + x) + · · · + cos(a + nx) = cos a · (1 + Cn) − sin a · Sn,
do nichž stačí dosadit za Sn a Cn.
Příklad 4.6.12. Pro libovolné x ∈ R a každé n ∈ N dokažte rovnost
sin x
cos x
+
sin 2x
cos2 x
+ · · · +
sin nx
cosn x
= cotg x −
cos(n + 1)x
sin x cosn x
za předpokladu, že platí sin 2x �= 0.30
Řešení: Úvodem si všimněme, že podmínka sin 2x �= 0 znamená, že obě hodnoty sin x, cos x jsou
nenulové. Ze součtového vzorce pro kosinus plyne
sin kx sin x = cos kx cos x − cos(k + 1)x,
kde k ∈ N je libovolné. Když vydělíme obě strany rovnosti výrazem sin x cosk x, obdržíme
sin kx
cosk x
=
cos kx
sin x cosk−1 x
−
cos(k + 1)x
sin x cosk x
.
Nyní již teleskopickým sečtením odvodíme zadanou rovnost:
sin x
cos x
+
sin 2x
cos2 x
+ · · · +
sin nx
cosn x
=
=
cos x
sin x
−
cos 2x
sin x cos x
+
cos 2x
sin x cos x
−
cos 3x
sin x cos2 x
+ · · · +
cos nx
sin x cosn−1 x
−
cos(n + 1)x
sin x cosn x
=
= cotg x −
cos(n + 1)x
sin x cosn x
.
Příklad 4.6.13. Pro libovolné x ∈ R a každé n ∈ N dokažte rovnost
1
cos x − cos 3x
+
1
cos x − cos 5x
+ · · · +
1
cos x − cos(2n + 1)x
=
cotg x − cotg(n + 1)x
2 sin x
za předpokladu, že x
π není celé číslo.31
Řešení: Budeme upravovat levou stranu rovnosti, a to tak, že jmenovatele zlomků nejdříve přepíšeme
30
[31], str. 28.
31
[31], str. 28.
139
KAPITOLA 4. GONIOMETRICKÉ FUNKCE V OBORU R
podle vzorce pro rozdíl kosinů a následně každého sčítance vynásobíme zlomkem sin x
sin x rovným 1:
1
2 sin 2x sin x
+
1
2 sin 3x sin 2x
+ · · · +
1
2 sin(n + 1)x sin nx
=
=
1
2 sin 2x sin x
·
sin(2x − x)
sin(2x − x)
+
1
2 sin 3x sin 2x
·
sin(3x − 2x)
sin(3x − 2x)
+ · · · +
+
1
2 sin(n + 1)x sin nx
·
sin((n + 1)x − nx)
sin((n + 1)x − nx)
=
=
sin 2x cos x − cos 2x sin x
2 sin 2x sin x sin x
+
sin 3x cos 2x − cos 3x sin 2x
2 sin 3x sin 2x sin x
+ · · · +
+
sin(n + 1)x cos nx − cos(n + 1)x sin nx
2 sin(n + 1)x sin nx sin x
=
=
cotg x − cotg 2x + cotg 2x − cotg 3x + · · · + cotg nx − cotg (n + 1)x
2 sin x
=
cotg x − cotg (n + 1)x
2 sin x
.
Podmínka x
π /∈ Z neboli x �= kπ (k ∈ Z) zaručuje, že všechny uvažované zlomky mají nenulové
jmenovatele a náš výpočet tak je korektní.
Příklad 4.6.14. Dokažte, že pro libovolné x ∈ R a každé n ∈ N platí rovnost
1
sin 2x
+
1
sin 4x
+ · · · +
1
sin 2nx
= cotg x − cotg 2n
x
za předpokladu, že všechny sčítance na levé straně mají smysl.32
Řešení: Jednotlivé sčítance nejdříve upravíme na vhodné rozdíly:
1
sin 2x
=
2 cos2 x − (2 cos2 x − 1)
sin 2x
=
2 cos2 x
2 sin x cos x
−
2 cos2 x − 1
sin 2x
= cotg x −
cos 2x
sin 2x
=
= cotg x − cotg 2x,
1
sin 4x
=
2 cos2 2x − (2 cos2 2x − 1)
sin 4x
=
2 cos2 2x
2 sin 2x cos 2x
−
2 cos2 2x − 1
sin 4x
= cotg 2x −
cos 4x
sin 4x
=
= cotg 2x − cotg 4x,
1
sin 8x
= · · · = cotg 4x − cotg 8x,
...
Nyní již teleskopickým sečtením dostaneme:
1
sin 2x
+
1
sin 4x
+ · · · +
1
sin 2nx
=
= cotg x − cotg 2x + cotg 2x − cotg 4x + · · · + cotg 2n−1
x − cotg 2n
x = cotg x − cotg 2n
x.
Příklad 4.6.15. Dokažte, že pro libovolné x ∈ R a každé n ∈ N platí rovnost
1 − 2 cos
x
2
1 − 2 cos
x
4
· · · 1 − 2 cos
x
2n
= (−1)n
·
1 + 2 cos x
1 + 2 cos x
2n
za předpokladu, že žádný činitel na levé straně není roven číslu 2.33
Řešení: Každý z činitelů 1 − 2 cos a upravíme na podíl rozšířením číslem 1 + 2 cos a:
1 − 2 cos a =
1 − 4 cos2 a
1 + 2 cos a
=
1 − 2(1 + cos 2a)
1 + 2 cos a
= −
1 + 2 cos 2a
1 + 2 cos a
.
32
[31], str. 28.
33
[31], str. 29.
140
4.6. GONIOMETRICKÉ IDENTITY A ROVNOSTI
Takové rozšíření je korektní úprava, pokud 1 + 2 cos a �= 0 neboli 1 − 2 cos a �= 2. Díky předpokladu
uvedenému v zadání úlohy můžeme tuto úpravu využít pro každý činitel:
−
1 + 2 cos x
1 + 2 cos x
2
−
1 + 2 cos x
2
1 + 2 cos x
4
· · · −
1 + 2 cos x
2n−2
1 + 2 cos x
2n−1
−
1 + 2 cos x
2n−1
1 + 2 cos x
2n
= (−1)n
·
1 + 2 cos x
1 + 2 cos x
2n
.
V následujících třinácti příkladech dokážeme rozmanité číselné rovnosti, které splňují hodnoty
goniometrických funkcí v některých daných význačných úhlech. Výjimkou bude první příklad o číselné
rovnosti, kterou naopak splňují čtyři úhly s význačnými hodnotami tangens.
Příklad 4.6.16. Dokažte rovnost34
arctg
1
3
+ arctg
1
5
+ arctg
1
7
+ arctg
1
8
=
π
4
.
Řešení: Protože tg 0 = 0 a tg π
4 = 1 a funkce tangens je na (0, π
2 ) rostoucí, každé z čísel
a = arctg
1
3
, b = arctg
1
5
, c = arctg
1
7
, d = arctg
1
8
leží v intervalu 0, π
4 , takže platí
0 < a + b + c + d < 4 ·
π
4
= π.
Proto stačí dokázat rovnost tg (a + b + c + d) = 1. Podle součtového vzorce pro tangens postupně
dostáváme
tg(a + b) =
1
3 + 1
5
1 − 1
3 · 1
5
=
4
7
, tg(c + d) =
1
7 + 1
8
1 − 1
7 · 1
8
=
3
11
,
tg[(a + b) + (c + d)] =
4
7 + 3
11
1 − 4
7 · 3
11
= 1.
Příklad 4.6.17. Dokažte rovnost35
1
sin π
7
=
1
sin 2π
7
+
1
sin 3π
7
.
Řešení: Dokazovanou rovnost vynásobíme nenulovým číslem sin π
7 · sin 2π
7 · sin 3π
7 :
sin
2π
7
· sin
3π
7
= sin
π
7
sin
2π
7
+ sin
3π
7
.
Jelikož 3π
7 + 4π
7 = π, platí sin 3π
7 = sin 4π
7 . Máme tudíž dokázat rovnost
sin
2π
7
· sin
3π
7
= sin
π
7
sin
2π
7
+ sin
4π
7
.
Výraz na pravé straně upravíme s využitím vzorce pro součet sinů a následně vzorce pro sinus
dvojnásobného argumentu, až dostaneme výraz na levé straně:
sin
π
7
sin
2π
7
+ sin
4π
7
= sin
π
7
· 2 sin
3π
7
cos
π
7
= sin
2π
7
· sin
3π
7
.
34
[34], str. 32.
35
[29], str. 22.
141
KAPITOLA 4. GONIOMETRICKÉ FUNKCE V OBORU R
Příklad 4.6.18. Dokažte rovnost36
(tg 67◦
− 1) · (tg 68◦
− 1) = 2.
Řešení: Levou stranu rovnosti nejdříve přepíšeme pomocí funkcí sinus a kosinus, následně v úpravách
využijeme vztah sin x − cos x =
√
2 sin(x − 45◦) a konečně od sinů přejdeme ke kosinům:
(tg 67◦
− 1) · (tg 68◦
− 1) =
sin 67◦
cos 67◦
− 1 ·
sin 68◦
cos 68◦
− 1 =
=
sin 67◦ − cos 67◦
cos 67◦
·
sin 68◦ − cos 68◦
cos 68◦
=
=
√
2 sin 22◦
cos 67◦
·
√
2 sin 23◦
cos 68◦
=
=
√
2 cos 68◦
cos 67◦
·
√
2 cos 67◦
cos 68◦
= 2.
Příklad 4.6.19. Dokažte rovnost37
(2 cos 18◦
− 1) · (2 cos 54◦
− 1) = tg 9◦
.
Řešení: Díky vzorci 2 cos2 x = 1 + cos 2x, který použijeme pro x = 9◦ a pro x = 27◦, přepíšeme
dokazovanou rovnost do tvaru
(4 cos2
9◦
− 3) · (4 cos2
27◦
− 3) = tg 9◦
a následně při úpravách levé strany rovnosti využijeme vzorec cos 3x = 4 cos3 x − 3 cos x z příkladu
4.6.1 ve tvaru cos 3x
cos x = 4 cos2 x − 3, opět s hodnotami x = 9◦ a x = 27◦:
(4 cos2
9◦
− 3) · (4 cos2
27◦
− 3) =
cos 27◦
cos 9◦
·
cos 81◦
cos 27◦
=
sin 9◦
cos 9◦
= tg 9◦
.
Příklad 4.6.20. Dokažte rovnost38
1
2
− cos
π
7
·
1
2
− cos
3π
7
·
1
2
− cos
9π
7
= −
1
8
.
Řešení: Vyjdeme ze vzorce cos 3x = 4 cos3 x−3 cos x dokázaného v příkladu 4.6.1, který po vydělení
výrazem − cos x (za podmínky x �= π
2 + kπ, k ∈ Z) ještě dále upravíme do tvaru:
−
cos 3x
cos x
= 3 − 4 cos2
x = 1 − 2(2 cos2
x − 1) = 1 − 2 cos 2x.
Jeho trojím užitím pro přípustné hodnoty x = π
14 , 3π
14 , 9π
14 dostaneme
1
2
− cos
π
7
·
1
2
− cos
3π
7
·
1
2
− cos
9π
7
=
=
1
2
3
1 − 2 cos
π
7
· 1 − 2 cos
3π
7
· 1 − 2 cos
9π
7
=
= −
1
8
·
cos 3π
14
cos π
14
·
cos 9π
14
cos 3π
14
·
cos 27π
14
cos 9π
14
= −
1
8
·
cos 27π
14
cos π
14
= −
1
8
·
cos π
14
cos π
14
= −
1
8
.
36
[29], str. 87.
37
[29], str. 95.
38
[30], str. 244.
142
4.6. GONIOMETRICKÉ IDENTITY A ROVNOSTI
Příklad 4.6.21. Dokažte rovnost39
tg 45◦
· tg 35◦
· tg 25◦
· tg 15◦
= tg 5◦
.
Řešení: V důkazu použijeme vzorce pro tangens součtu a rozdílu dvou úhlů a identitu pro tangens
trojnásobného argumentu, dokázanou v příkladu 4.6.1:
tg 45◦
· tg 35◦
· tg 25◦
· tg 15◦
= 1 · tg (30◦
+ 5◦
) · tg (30◦
− 5◦
) · tg (3 · 5◦
) =
=
tg 30◦ + tg 5◦
1 − tg 30◦ · tg 5◦
·
tg 30◦ − tg 5◦
1 + tg 30◦ · tg 5◦
·
3tg 5◦ − tg35◦
1 − 3tg25◦
=
=
tg230◦ − tg25◦
1 − tg230◦ · tg25◦
·
3tg 5◦ − tg35◦
1 − 3tg25◦
=
=
1
3 − tg25◦
1 − 1
3 · tg25◦
·
tg 5◦(3 − tg25◦)
1 − 3tg25◦
=
=
1 − 3tg25◦
3 − tg25◦
·
tg 5◦(3 − tg25◦)
1 − 3tg25◦
= tg 5◦
.
Příklad 4.6.22. Dokažte rovnost40
27 sin3
9◦
+ 9 sin3
27◦
+ 3 sin3
81◦
+ sin3
243◦
= 20 sin 9◦
.
Řešení: Použijeme vzorec pro sinus trojnásobného argumentu sin 3x = 3 sin x − 4 sin3
x z příkladu
4.6.1, který přepíšeme do tvaru sin3
x = 3 sin x−sin 3x
4 :
27 sin3
9◦
+ 9 sin3
27◦
+ 3 sin3
81◦
+ sin3
243◦
=
= 27 ·
3 sin 9◦ − sin 27◦
4
+ 9 ·
3 sin 27◦ − sin 81◦
4
+ 3 ·
3 sin 81◦ − sin 243◦
4
+
3 sin 243◦ − sin 729◦
4
=
=
81 sin 9◦ − sin 729◦
4
=
81 sin 9◦ − sin 9◦
4
= 20 sin 9◦
.
Příklad 4.6.23. Dokažte rovnost41
1
cotg 9◦ − 3 tg 9◦
+
3
cotg 27◦ − 3 tg 27◦
+
9
cotg 81◦ − 3 tg 81◦
+
27
cotg 243◦ − 3 tg 243◦
= 10 tg 9◦
.
Řešení: Použijeme vzorec pro tangens trojnásobného argumentu tg 3x = 3tg x−tg3x
1−3tg2x
z příkladu 4.6.1,
který nejdříve vynásobíme třemi a ještě upravíme na rozdíl:
3 · tg 3x = 3 ·
3 tg x − tg3x
1 − 3 tg2x
=
3 tg3x − 9 tg x
3 tg2x − 1
= tg x −
8 tg x
3 tg2x − 1
.
Odtud dostaneme identitu
tg x
1 − 3tg2x
=
3tg 3x − tg x
8
,
39
[40], str. 8.
40
[30], str. 243.
41
[30], str. 243.
143
KAPITOLA 4. GONIOMETRICKÉ FUNKCE V OBORU R
kterou využijeme na rozhodujícím místě následujících úprav levé strany dokazované rovnosti:
1
cotg 9◦ − 3 tg 9◦
+
3
cotg 27◦ − 3 tg 27◦
+
9
cotg 81◦ − 3 tg 81◦
+
27
cotg 243◦ − 3 tg 243◦
=
=
1
1
tg 9◦ − 3 tg 9◦
+
3
1
tg 27◦ − 3 tg 27◦
+
9
1
tg 81◦ − 3 tg 81◦
+
27
1
tg 243◦ − 3 tg 243◦
=
=
tg 9◦
1 − 3 tg29◦
+
3 tg 27◦
1 − 3 tg227◦
+
9 tg 81◦
1 − 3 tg281◦
+
27 tg 243◦
1 − 3 tg2243◦
=
=
3 tg 27◦ − tg 9◦
8
+ 3 ·
3 tg 81◦ − tg 27◦
8
+ 9 ·
3 tg 243◦ − tg 81◦
8
+ 27 ·
3 tg 729◦ − tg 243◦
8
=
=
81 tg 729◦ − tg 9◦
8
=
81 tg 9◦ − tg 9◦
8
= 10 tg 9◦
.
Příklad 4.6.24. Dokažte rovnost42
1 −
cos 61◦
cos 1◦
1 −
cos 62◦
cos 2◦
· · · 1 −
cos 119◦
cos 59◦
= 1.
Řešení: V řešení využijeme vzorec pro rozdíl dvou kosinů cos x−cos y = −2 sin x+y
2 sin x−y
2 , rovnost
2 sin 30◦ = 1 a identitu sin x = cos(90◦ − x) pro hodnoty x = 31◦, 32◦, . . . , 89◦:
1 −
cos 61◦
cos 1◦
1 −
cos 62◦
cos 2◦
· · · 1 −
cos 119◦
cos 59◦
=
=
cos 1◦ − cos 61◦
cos 1◦
·
cos 2◦ − cos 62◦
cos 2◦
· · ·
cos 59◦ − cos 119◦
cos 59◦
=
=
2 sin 31◦ sin 30◦
cos 1◦
·
2 sin 32◦ sin 30◦
cos 2◦
· · ·
2 sin 89◦ sin 30◦
cos 59◦
=
=
cos(90◦ − 31◦)
cos 1◦
·
cos(90◦ − 32◦)
cos 2◦
· · ·
cos(90◦ − 89◦)
cos 59◦
=
cos 59◦ cos 58◦ · · · cos 1◦
cos 1◦ cos 2◦ · · · cos 59◦
= 1.
Příklad 4.6.25. Dokažte rovnost43
(tg 89◦
− 1)(tg 88◦
− 1) · · · (tg 46◦
− 1) = 222
.
Řešení: Po úpravě každého činitele na jeden zlomek použijeme pro rozdíly v čitatelích zřejmou
identitu sin x − cos x =
√
2 sin(x − 45◦) a pak od hodnot kosinu přejdeme k hodnotám sinu:
(tg 89◦
− 1)(tg 88◦
− 1) · · · (tg 46◦
− 1) =
=
sin 89◦ − cos 89◦
cos 89◦
·
sin 88◦ − cos 88◦
cos 88◦
· · ·
sin 46◦ − cos 46◦
cos 46◦
=
=
√
2 sin(89◦ − 45◦)
cos 89◦
·
√
2 sin(88◦ − 45◦)
cos 88◦
· · ·
√
2 sin(46◦ − 45◦)
cos 46◦
=
=
√
2
44
·
sin 44◦ sin 43◦ · · · sin 1◦
cos 89◦ cos 88◦ · · · cos 46◦
= 222
·
sin 44◦ sin 43◦ · · · sin 1◦
sin(90◦ − 89◦) sin(90◦ − 88◦) · · · sin(90◦ − 46◦)
= 222
.
Příklad 4.6.26. Dokažte rovnost44
(
√
3 + tg 1◦
)(
√
3 + tg 2◦
) · · · (
√
3 + tg 29◦
) = 229
.
42
[30], str. 244.
43
[30], str. 244.
44
[30], str. 244.
144
4.6. GONIOMETRICKÉ IDENTITY A ROVNOSTI
Řešení: Při úpravě levé strany nejprve čísla
√
3 nahradíme tg 60◦, pak použijeme vzorec pro sinus
součtu, rovnost cos 60◦ = 1
2 a nakonec hodnoty sinu zaměníme hodnotami kosinu:
(
√
3 + tg 1◦
)(
√
3 + tg 2◦
) · · · (
√
3 + tg 29◦
) =
= (tg 60◦
+ tg 1◦
)(tg 60◦
+ tg 2◦
) · · · (tg 60◦
+ tg 29◦
) =
=
sin 60◦
cos 60◦
+
sin 1◦
cos 1◦
sin 60◦
cos 60◦
+
sin 2◦
cos 2◦
· · ·
sin 60◦
cos 60◦
+
sin 29◦
cos 29◦
=
=
sin(60◦ + 1◦)
cos 60◦ cos 1◦
·
sin(60◦ + 2◦)
cos 60◦ cos 2◦
· · ·
sin(60◦ + 29◦)
cos 60◦ cos 29◦
= 2 ·
sin 61◦
cos 1◦
· 2 ·
sin 62◦
cos 2◦
· · · 2 ·
sin 89◦
cos 29◦
=
= 229
·
cos 29◦ cos 28◦ · · · cos 1◦
cos 1◦ cos 2◦ · · · cos 29◦
= 229
.
Příklad 4.6.27. Dokažte rovnost45
1
sin 45◦ sin 46◦
+
1
sin 47◦ sin 48◦
+ · · · +
1
sin 133◦ sin 134◦
=
1
sin 1◦
.
Řešení: Po vynásobení obou stran dokazované rovnosti nenulovým číslem sin 1◦ přejdeme k úkolu
dokázat, že součet
S =
sin 1◦
sin 45◦ sin 46◦
+
sin 1◦
sin 47◦ sin 48◦
+ · · · +
sin 1◦
sin 133◦ sin 134◦
má hodnotu rovnou 1. K úpravě každého zlomku použijeme identitu
sin(x − y)
sin x sin y
=
sin x cos y − cos x sin y
sin x sin y
=
sin x cos y
sin x sin y
−
cos x sin y
sin x sin y
= cotg y − cotg x
a v získaném součtu změníme pořadí členů
S = (cotg 45◦
− cotg 46◦
) + (cotg 47◦
− cotg 48◦
) + · · · + (cotg 133◦
− cotg 134◦
) =
= cotg 45◦
− (cotg 46◦
+ cotg 134◦
) + (cotg 47◦
+ cotg 133◦
) − · · ·
−(cotg 88◦
+ cotg 92◦
) + (cotg 89◦
+ cotg 91◦
) − cotg 90◦
.
Protože každá ze závorek je podle identity cotg x + cotg (π − x) = 0 rovná nule, celý součet má
hodnotu S = cotg 45◦ − cotg 90◦ = 1 − 0 = 1 a důkaz je hotov.
Příklad 4.6.28. Dokažte rovnosti46
sin 10◦
+ sin 50◦
= sin 70◦
, (4.46)
sin 10◦
· sin 50◦
· sin 70◦
=
1
8
, (4.47)
1
sin 10◦
+
1
sin 50◦
=
1
sin 70◦
+ 6. (4.48)
Řešení: Je vhodné si uvědomit, že platí sin(3 · 10◦) = sin(3 · 50◦) = − sin(3 · 70◦) = 1
2. Využijeme
vzorec pro sinus trojnásobného argumentu sin 3x = 3 sin x − 4 sin3
x (příklad 4.6.1) ve tvaru
sin3
x − 3
4 sin x + 1
4 sin 3x = 0. Pro hodnotu sin 3x = 1
2 tak podle první věty řešení dostáváme, že
reálná čísla sin 10◦, sin 50◦, − sin 70◦ jsou kořeny kubické rovnice
t3
−
3
4
t +
1
4
·
1
2
= 0.
45
[30], str. 243.
46
[40], str. 11–12.
145
KAPITOLA 4. GONIOMETRICKÉ FUNKCE V OBORU R
Podle Viètových vztahů pro kořeny kubické rovnice platí
sin 10◦
+ sin 50◦
− sin 70◦
= 0, (4.49)
sin 10◦
sin 50◦
− sin 50◦
sin 70◦
− sin 70◦
sin 10◦
= −
3
4
, (4.50)
sin 10◦
sin 50◦
sin 70◦
=
1
8
. (4.51)
Ze vztahů (4.49) a (4.51) ihned plynou rovnosti (4.46) a (4.47). Vztah (4.50) upravíme na ekvivalentní
tvar
1
sin 10◦
+
1
sin 50◦
=
1
sin 70◦
+
3
4 sin 10◦ sin 50◦ sin 70◦
a dosadíme sem z (4.51), čímž získáme i třetí dokazovanou rovnost (4.48).
4.7 Příklady
Poznatky o goniometrických funkcích v oboru reálných čísel, kterými jsme se podrobně v této
kapitole zabývali, nyní uplatníme při řešení rozmanitých příkladů, které ilustrují metody, jakými
s těmito funkcemi pracujeme. Vybrané příklady nejsou rutinní a vyžadují od řešitelů často nemalé
úsilí při hledání způsobu, jakým danou situaci „uchopit“, zejména jak se pustit do úprav sestavených
výrazů pomocí vhodně zvolených goniometrických vzorců, když zpočátku není příliš vidět ke
kýženému cíli.
Úvodní příklad se liší od všech následujících tím, že má formu výkladu o důležitých funkcích,
které nacházejí uplatnění jak v mnoha vědních i technických oborech, tak třeba i v současné sociologii,
biologii a lékařství, všude tam, kde popisujeme periodické procesy, jako jsou nejrůznější vlnové
jevy (např. světlo, zvuk či pohyb mořské hladiny), ekonomické, klimatologické a biologicko-populační
cykly, biorytmy v tělech organismů apod.
Příklad 4.7.1. Každou periodickou závislost mezi dvěma skalárními veličinami y a x, kterou lze
vyjádřit ve tvaru
y = A sin(Bx + C) + D, (4.52)
kde A > 0, B > 0 a C, D jsou reálná čísla, nazýváme sinusoidální funkcí y = f(x). Parametr B
určuje nejmenší periodu47 T takové funkce f, jež je zřejmě dána vzorcem T = 2π
B . Značí-li ymin a
ymax nejmenší, resp. největší hodnotu dané funkce f na intervalu délky T, pak z rovností ymin =
= −A + D a ymax = A + D vyplývá, že parametry A, D zvané po řadě amplituda a střední hodnota
funkce f jsou určeny vzorci
A =
ymax − ymin
2
a D =
ymax + ymin
2
.
Zbývající parametr C ve vyjádření (4.52) je určen až na aditivní konstantu 2kπ, kde k ∈ Z. Upřesníme
ho, když úpravou argumentu sinu přepíšeme formuli (4.52) do tvaru
y = A sin
2π(x − x0)
T
+ D (4.53)
a pro nový parametr x0 zvaný fázový posun funkce f stanovíme podmínku 0 ≤ x0 < T. Výhoda
zápisu (4.53) spočívá v tom, že v něm zastoupené parametry T, A, D, x0 jsou dobře patrné na
grafu takové sinusoidální funkce f, kterým je tzv. sinusoidální křivka (obr. 4.24). Dostaneme ji ze
(základní) sinusoidy y = sin x roztaženími či smrštěními ve směru os x a y s koeficienty 2π
T , resp. A
146
4.7. PŘÍKLADY
T
A
x
y
ymax
D
ymin
O x0
Obrázek 4.24: Sinusoidální funkce y = A sin 2π(x−x0)
T + D
a následnými posunutími ve směru os x a y o hodnoty x0, resp. D.
Zdůrazněme, že sinusiodální funkce mohou být zadány předpisy, které se tvarově od vzorců
(4.52) či (4.53) odlišují, přesto však popisují stejnou závislost, což obvykle ověříme užitím vhodných
goniometrických identit. Čtyři příklady takových úprav sinusoidálních funkcí na „kanonický“ tvar
(4.52) teď uvedeme:
y1 = cos x = sin x +
π
2
,
y2 = sin2
x =
1 − cos 2x
2
=
1
2
sin 2x −
π
2
+
1
2
,
y3 = cos2
x =
1 + cos 2x
2
=
1
2
sin 2x +
π
2
+
1
2
,
y4 = sin x cos x =
1
2
sin 2x.
Pokud chceme získat kanonický tvar pro sinusoidální funkce zadané předpisem (4.52), ve kterém
47
Dále už namísto „nejmenší perioda“ budeme stručně psát „perioda“.
147
KAPITOLA 4. GONIOMETRICKÉ FUNKCE V OBORU R
jsou jeden či oba parametry A, B záporné, postupujeme např. takto:
y5 = −2 sin 3x −
3π
5
= 2 sin 3x +
3π
5
− π = 2 sin 3x −
2π
5
,
y6 = 2 sin −3x +
3π
5
= 2 sin π − −3x +
3π
5
= 2 sin 3x +
2π
5
,
y7 = −2 sin −3x −
3π
5
= 2 sin 3x +
3π
5
.
Ještě jedno vyjádření zkoumaných funkcí je významné: ukažme, že každou sinusoidální funkci y =
= f(x) s periodou T > 0 a střední hodnotou D lze zapsat ve tvaru
y = a cos
2πx
T
+ b sin
2πx
T
+ D, (4.54)
kde a, b jsou vhodná reálná čísla, a že naopak pro libovolná čísla a, b za podmínky (a, b) �= (0, 0)
určuje předpis (4.54) sinusoidální funkci y = f(x) s periodou T a střední hodnotou D. Skutečně,
podle vzorce pro sinus rozdílu platí
A sin
2π(x − x0)
T
= A sin
2πx
T
cos
2πx0
T
− A cos
2πx
T
sin
2πx0
T
,
takže předpisy (4.53) a (4.54) zadávají stejnou funkci y = f(x), je-li splněna dvojice rovností
a = −A sin
2πx0
T
a b = A cos
2πx0
t
. (4.55)
Tím je první část tvrzení dokázána, zbývá ověřit, že v případě (a, b) �= (0, 0) jsou poslední dvě
rovnosti splněny pro vhodná čísla A > 0 a x0 ∈ �0, T).48 Je zřejmé, že amplituda A je ze soustavy
(4.55) určena vzorcem A =
√
a2 + b2 a vyhovující fázový posun x0 dvojicí rovností
cos
2πx0
T
=
b
√
a2 + b2
a sin
2πx0
T
=
−a
√
a2 + b2
(hodnoty na pravých stranách jsou skutečně souřadnicemi některého bodu na jednotkové kružnici).
Z dokázané možnosti zapisovat zkoumané funkce předpisy (4.54) vyplývá, že součet dvou sinusoidálních
funkcí se stejnou periodou T je buď opět sinusoidální funkce s periodou T, nebo funkce,
která je konstantní. Od tohoto poměrně jednoduchého poznatku je ještě hodně daleko ke geniální
myšlence, se kterou přišel r. 1822 francouzský matematik Joseph Fourier, když navrhl vyjadřovat
jakékoliv periodické funkce, řekněme s periodou T, jako součty vhodně volených sinusoidálních funkcí
s periodami T, T
2 , T
3 , . . . O této konstrukci pro limitní případ, kdy počet sčítaných funkcí roste do
nekonečna, dokázal sám Fourier důležité výsledky a položil tak základy obsáhlé teorie Fourierových
řad, významného odvětví matematické analýzy, v němž goniometrické funkce nalezly nepochybně
svého největšího uplatnění nad rámec elementární matematiky.
V další čtveřici příkladů vyřešíme několik úloh o rovinných trojúhelnících. Vrátíme se tak k tématu
kapitoly 3, v níž jsme byli ve výběru nestandartních příkladů dosti omezeni, protože nám pro
mnohé výpočty chyběl bohatší aparát goniometrických vzorců. K soustavnějšímu výkladu některých
trigonometrických výsledků se ještě vrátíme v kapitole 5.
48
Podobnou otázku jsme posuzovali už dříve v podkapitole 4.4 při výkladu druhé metody řešení goniometrické
rovnice a cos x + b sin x = c, jejíž levou stranu jsme vlastně převáděli na kanonický tvar (4.52) sinusoidální funkce.
148
4.7. PŘÍKLADY
Příklad 4.7.2. Určete všechny trojúhelníky ABC, jejichž vnitřní úhly splňují rovnost49
cos α cos β + sin α sin β sin γ = 1.
Řešení: Ze zřejmých nerovností sin γ ≤ 1, sin α sin β ≥ 0 a zadané rovnosti plyne
1 ≥ cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β = 1 + sin α sin β(1 − sin γ) ≥ 1.
Tudíž cos(α − β) = 1 a sin γ = 1, odkud plyne γ = 90◦ a α = β = 45◦. Pro takové vnitřní úhly je
zadaná rovnost splněna jako 1
2 + 1
2 = 1. Hledané trojúhelníky ABC, pro které platí zadaná rovnost,
jsou tedy pravoúhlé rovnoramenné s hlavním vrcholem C.
Příklad 4.7.3. Dokažte, že trojúhelník ABC je rovnoramenný, právě když platí50
a cos β + b cos γ + c cos α =
a + b + c
2
.
Řešení: Díky rozšířené sinové větě a = 2r sin α, b = 2r sin β a c = 2r sin γ, kde r je poloměr kružnice
opsané, je zkoumaná rovnost ekvivalentní s rovností
2 sin α cos β + 2 sin β cos γ + 2 sin γ cos α = sin α + sin β + sin γ,
která se dá ještě přepsat na tvar
sin(α + β) + sin(α − β) + sin(β + γ) + sin(β − γ) + sin(γ + α) + sin(γ − α) = sin α + sin β + sin γ.
Jelikož α + β + γ = 180◦, platí sin(α + β) = sin γ, sin(β + γ) = sin α a sin(γ + α) = sin β. Tudíž
upravenou rovnost lze zjednodušit do podoby
sin(α − β) + sin(β − γ) + sin(γ − α) = 0,
a následně, po uplatnění výsledku z příkladu 4.6.9 o rozkladu součtu sin(x−y)+sin(y−z)+sin(z−x),
na součinový tvar
4 sin
α − β
2
sin
β − γ
2
sin
γ − α
2
= 0.
Součin je roven nule právě tehdy, když jeden z činitelů se rovná nule. Zkoumaná rovnost je tedy
ekvivalentní podmínce, že platí α = β nebo β = γ nebo γ = α, čímž je důkaz hotov.
Příklad 4.7.4. Pro libovolný trojúhelník ABC dokažte nerovnosti51
sin
α
2
≤
a
b + c
, sin
β
2
≤
b
a + c
, sin
γ
2
≤
c
a + b
.
Řešení: S ohledem na symetrii stačí dokázat jen např. první nerovnost. Použijeme opět rozšířenou
sinovou větu a následně vzorec pro dvojnásobný argument (v čitateli) a vzorec pro součet dvou sinů
(ve jmenovateli):
a
b + c
=
sin α
sin β + sin γ
=
2 sin α
2 cos α
2
2 sin β+γ
2 cos β−γ
2
=
sin α
2
cos β−γ
2
.
Poslední úpravu jsme provedli na základě toho, že funkce sinus má svoji kofunkci kosinus a že
hodnoty α
2 a β+γ
2 se doplňují do 90◦. Jelikož 0 ≤ |β − γ| < 180◦, platí 0 < cos β−γ
2 ≤ 1. Tudíž
sin α
2
cos β−γ
2
≥ sin
α
2
a důkaz je hotov. Zároveň jsme zjistili, že v první nerovnosti nastane rovnost, právě když β = γ.
49
[32], str. 20.
50
[29], str. 112.
51
[29], str. 66.
149
KAPITOLA 4. GONIOMETRICKÉ FUNKCE V OBORU R
Příklad 4.7.5. Dokažte, že pro libovolný trojúhelník ABC platí
α = 2β ⇔ a2
= b2
+ bc a α = 3β ⇒ (a2
− b2
)(a − b) = bc2
.
Rozhodněte rovněž, zda obecně platí i implikace opačná k druhé implikaci.52
Řešení:
α = 2β ⇔ a2
= b2
+ bc
Je-li α = 2β, je γ = π − 3β, takže podle rozšířené sinové věty platí
a = 2r sin 2β, b = 2r sin β, c = 2r sin 3β,
kde r je poloměr kružnice opsané. K důkazu rovnosti a2 = b2 + bc proto stačí ověřit identitu
sin2
2β = sin2
β + sin β sin 3β.
Její pravá strana je podle známých goniometrických vzorců rovna
sin β(sin β + sin 3β) = sin β · 2 sin 2β cos β = sin2
2β,
takže se skutečně rovná levé straně.
Předpokládejme nyní, že naopak platí a2 = b2 + bc. Porovnáním s rovností z kosinové věty
a2
= b2
+ c2
− 2bc cos α
dostaneme
b2
+ bc = b2
+ c2
− 2bc cos α,
bc(1 + 2 cos α) = c2
,
b(1 + 2 cos α) = c.
Dosaďme sem b = 2r sin β, c = 2r sin γ = 2r sin(α + β) a postupně upravujme:
2r sin β(1 + 2 cos α) = 2r sin(α + β),
sin β + 2 sin β cos α = sin α cos β + cos α sin β,
sin β = sin α cos β − cos α sin β,
sin β = sin(α − β).
Odtud plyne α − β > 0, takže oba úhly β, α − β leží v intervalu (0, π). Jak víme, odvozená rovnost
jejich sinů je tehdy možná, jen když buď β = α − β nebo β + (α − β) = π. Druhá možnost (α = π)
je však vyloučena, takže platí β = α − β neboli α = 2β, jak jsme chtěli dokázat.
α = 3β ⇒ (a2
− b2
)(a − b) = bc2
Je-li α = 3β, je γ = π − 4β, takže podle rozšířené sinové věty platí
a = 2r sin 3β, b = 2r sin β, c = 2r sin 4β, (4.56)
52
22. ročník MO (1972/1973), úloha A–P–3, a 46. ročník MO (1996/1997), úloha A–III–1.
150
4.7. PŘÍKLADY
kde r je poloměr kružnice opsané. Proto k důkazu implikace stačí ověřit identitu
(sin2
3β − sin2
β)(sin 3β − sin β) = sin β sin2
4β. (4.57)
Podle známých goniometrických vzorců platí
(sin 3β − sin β)2
= (2 cos 2β sin β)2
= 4 cos2
2β sin2
β,
sin 3β + sin β = 2 sin 2β cos β
a odtud pro levou stranu rovnosti (4.57) plyne
(sin2
3β − sin2
β)(sin 3β − sin β) = (4 cos2
2β sin2
β) · (2 sin 2β cos β) =
= (2 sin β cos β) · (2 sin 2β cos 2β) · 2 sin β cos 2β =
= sin 2β · sin 4β · 2 sin β cos 2β = sin β sin2
4β.
Tak jsme dokázali, že (4.57) platí pro každé β.
Vysvětlíme nyní, proč opačná implikace neplatí. Funkce sinus má periodu 360◦, takže strany
trojúhelníku ABC jsou tvaru (4.56) i v případě, kdy platí α = 3β − 360◦ (a γ = 540◦ − 4β), např.
pokud α = 15◦, β = 125◦ a γ = 40◦. Pro trojúhelník s takovými vnitřními úhly platí (jak jsme
dokázali) rovnost (a2 − b2)(a − b) = bc2, přestože α �= 3β.
V další skupině úloh se vrátíme k problematice podkapitoly 4.4 věnované řešení goniometrických
rovnic a jejich soustav. Standardní příklady k procvičování této dovednosti lze nalézt v četných
učebnicích a sbírkách pro střední školy, které naše práce nechce suplovat. Proto se omezíme jen
na několik příkladů obtížnějších rovnic, ve kterých budou často zastoupeny i parametry. Budeme
přitom zkoumat otázky řešitelnosti a z tvaru zadaných rovnic odvozovat vlastnosti jejich řešení,
aniž je vyjádříme v explicitním tvaru.
V prvním příkladu však přece jen uvedeme ukázky toho postupu, kterým goniometrické rovnice
řešíme – od výchozích složitějších rovnic přecházíme k rovnicím jednodušším, až nakonec dospějeme
k těm, které jsme v podkapitole 4.4 nazvali základními.
Příklad 4.7.6. Každou z jednotlivých rovnic
a) sin4
x + cos4
x = p,
b) sin x sin(a − x) = p,
c) sin(x + 3a) = 3 sin(a − x),
d) sin(x + a) + sin a sin x tg (x + a) = p cos a cos x (kde cos a �= 0)
s neznámou x a parametry a, p ∈ R převeďte na základní rovnici pro vhodnou goniometrickou funkci
s vhodným argumentem.53
Řešení: a) Umocníme na druhou základní vztah sin2
x + cos2 x = 1 a z výsledku vyjádříme levou
stranu zadané rovnice:
(sin2
x + cos2
x)2
= 12
,
sin4
x + 2 sin2
x cos2
x + cos4
x = 1,
sin4
x + cos4
x = 1 − 2 sin2
x cos2
x.
53
[34], str. 43.
151
KAPITOLA 4. GONIOMETRICKÉ FUNKCE V OBORU R
Nyní již upravíme na základní rovnici:
1 − 2 sin2
x cos2
x = p,
4 sin2
x cos2
x = 2 − 2p,
sin2
2x = 2(1 − p),
sin 2x = ± 2(1 − p).
S přihlédnutím k oboru hodnot funkce sinus má podmínka řešitelnosti tvar 1
2 ≤ p ≤ 1.
b) Pomocí vzorce pro převod součinu dvou sinů na součet upravíme levou stranu zadané rovnice
sin x sin(a − x) =
cos(2x − a) − cos a
2
a nyní již převedeme na požadovanou základní rovnici:
cos(2x − a) − cos a = 2p,
cos(2x − a) = 2p + cos a.
Podmínka řešitelnosti je −1 ≤ 2p + cos a ≤ 1.
c) Použijeme součtové a rozdílové vzorce pro přepis levé i pravé strany zadané rovnice a následně
vzorce pro cos 3a a sin 3a z př. 4.6.1:
sin x cos 3a + cos x sin 3a = 3(sin a cos x − cos a sin x),
sin x(4 cos3
a − 3 cos a) + cos x(3 sin a − 4 sin3
a) = 3 sin a cos x − 3 cos a sin x,
4 sin x cos3
a − 4 cos x sin3
a = 0,
cos a = 0 ⇒ cos x = 0, cos a �= 0 ⇒ tg x = tg3
a.
d) Z levé strany zadané rovnice nejdříve vytkneme výraz tg (x + a) a následně použijeme součtový
vzorec pro funkci kosinus:
tg (x + a) · (cos(x + a) + sin a sin x) = p cos a cos x,
tg (x + a) · (cos x cos a − sin x sin a + sin a sin x) = p cos a cos x,
cos x cos a · (tg (x + a) − p) = 0.
Jelikož podle zadání platí cos a �= 0, je množina řešení původní rovnice sjednocením množin řešení
základních rovnic
cos x = 0 a tg(x + a) = p.
Příklad 4.7.7. Dokažte, že goniometrická rovnice
sin(cos x) = cos(sin x)
nemá v oboru reálných čísel žádné řešení.54
Řešení: Protože obě funkce sin(cos x) a cos(sin x) mají periodu 2π, stačí ukázat, že se nikde nerovnají
54
[30], str. 234.
152
4.7. PŘÍKLADY
na intervalu �−π, π�. A protože jde o dvě funkce sudé, můžeme interval �−π, π� zúžit na interval
�0, π�. Připusťme tedy, že pro některé x ∈ �0, π� platí rovnost
sin(cos x) = cos(sin x).
Pro takové x ovšem 0 ≤ sin x ≤ 1 < π
2 , takže cos(sin x) > 0. Z nerovnosti sin(cos x) > 0 pak
s ohledem na −π
2 < −1 ≤ cos x ≤ 1 < π
2 plyne cos x > 0. Rovnost sin(cos x) = cos(sin x) je proto
rovností sinu a kosinu dvou argumentů cos x, sin x z intervalu (0, 1), a tedy i intervalu (0, π
2 ). Jak
víme, taková rovnost je splněna, právě když součet obou argumentů z intervalu (0, π
2 ) je roven π
2 ,
v našem případě
cos x + sin x =
π
2
.
Tato rovnost však nemůže nastat pro žádný úhel x, jelikož obor hodnot funkce
f(x) = sin x + cos x =
√
2 cos(
π
4
− x)
je interval �−
√
2,
√
2�, zatímco π
2 >
√
2.
Příklad 4.7.8. Má-li rovnice
p1 cos(x + a1) + p2 cos(x + a2) + · · · + pn cos(x + an) = 0
s reálnými parametry pi, ai taková dvě řešení x1 a x2, že číslo x2−x1
π není celé, pak jejím řešením
je každé reálné číslo x. Dokažte a uveďte příklad takové rovnice s libovolným řešením pro n = 2 a
kladná p1, p2.55
Řešení: Pro dané parametry pi, ai definujme výrazy
c(x) = p1 cos(x + a1) + p2 cos(x + a2) + · · · + pn cos(x + an) = 0,
s(x) = p1 sin(x + a1) + p2 sin(x + a2) + · · · + pn sin(x + an) = 0.
Všimněme si, že z rovností
cos(y + ai) = cos(y − x) cos(x + ai) − sin(y − x) sin(x + ai)
vyplývá, že pro libovolná x, y ∈ R platí rovnost
c(y) = cos(y − x)c(x) − sin(y − x)s(x). (4.58)
Ve shodě se zadáním úlohy předpokládejme, že pro některá čísla x1, x2 platí c(x1) = c(x2) a přitom
x2 = x1 + π · r, kde r ∈ R � Z. Z rovnosti (4.58) pro x = x1 a y = x2 vychází
0 = cos πr · 0 − sin πr · s(x1) neboli sin πr · s(x1) = 0.
Protože však sin πr �= 0, musí platit s(x1) = 0. Z rovnosti (4.58) pro x = x1 pak pro libovolné y ∈ R
máme
c(y) = cos(y − x) · 0 − sin(y − x1) · 0 = 0,
takže řešením zadané rovnice je skutečně každé reálné číslo.
Žádaným příkladem pro n = 2 je rovnice
cos x + cos(x + π) = 0,
jejímž řešením je skutečně každé x ∈ R, neboť číslo π je antiperioda funkce kosinus.
55
[34], str. 21.
153
KAPITOLA 4. GONIOMETRICKÉ FUNKCE V OBORU R
Příklad 4.7.9. Předpokládejme, že rovnice
a cos x + b sin x = c
s parametry a, b, c ∈ R, kde a2 + b2 > 0, má v intervalu �0, 2π) dvě různá řešení x1, x2. Dokažte
rovnost56
cos2 x1 − x2
2
=
c2
a2 + b2
.
Řešení: Danou rovnici a cos x + b sin x = c upravíme goniometrickou metodou popsanou v podkapitole
4.4 do tvaru K sin(x + ϕ) = c, kde K =
√
a2 + b2 a ϕ je vhodný úhel (jeho hodnotu nebudeme
potřebovat). Podle zadání pro dvě různá čísla x1, x2 ∈ �0, 2π) platí
K sin(x1 + ϕ) = c a K sin(x2 + ϕ) = c. (4.59)
Odečtením rovnic (4.59) s ohledem na K �= 0 dostaneme
0 = sin(x1 + ϕ) − sin(x2 + ϕ) = 2 sin
x1 − x2
2
cos
x1 + x2 + 2ϕ
2
. (4.60)
Z nerovností 0 ≤ x1, x2 < 2π plyne −π < x1−x2
2 < π, odkud díky předpokladu x1 �= x2 máme
sin x1−x2
2 �= 0, takže rovnost (4.60) znamená
cos
x1 + x2 + 2ϕ
2
= 0, a proto sin
x1 + x2 + 2ϕ
2
= ±1.
Dosadíme-li poslední hodnotu do výsledku sečtení rovností (4.59), který lze upravit do tvaru
2K sin
x1 + x2 + 2ϕ
2
cos
x1 − x2
2
= 2c,
dostaneme
±2K cos
x1 − x2
2
= 2c, odkud cos2 x1 − x2
2
=
c2
K2
=
c2
a2 + b2
,
což je rovnost, kterou jsme měli dokázat.
Poznámka: K řešení předchozí úlohy lze využít i algebraickou metodu řešení goniometrické rovnice
a cos x + b sin x = c, kterou jsme v podkapitole 4.4 ilustrovali obrázkem 4.17. Získáme tak dokonce
obsažnější výsledek, totiž dvojici rovností
cos x1 + cos x2
2
=
ac
a2 + b2
a
sin x1 + sin x2
2
=
bc
a2 + b2
, (4.61)
ze kterých po umocnění na druhou, sečtení, užití dvou goniometrických jedniček a aplikací vzorce
pro cos(x1 − x2) totiž vyplývá
1
2
+ cos(x1 − x2) =
c2
a2 + b2
,
což je původní dokazovaná rovnost, neboť odvozená levá strana je zřejmě rovna cos2 x1−x2
2 . K důkazu
rovností (4.61) si povšimněme, že jejich levé strany jsou souřadnice středu úsečky s krajními body
[cos x1, sin x1] a [cos x2, sin x2], jež jsou průsečíky přímky p s jednotkovou kružnicí k vyznačenými
56
[34], str. 51.
154
4.7. PŘÍKLADY
na obr. 4.17. Proto stačí ověřit, že kolmý průmět počátku [0, 0] na přímku o rovnici ax + by =
= c má souřadnice uvedené v pravých stranách rovností (4.61). To je triviální poznatek analytické
geometrie, neboť zřejmá rovnost
a ·
ac
a2 + b2
+ b ·
bc
a2 + b2
= c
ukazuje, že bod s takovými souřadnicemi na dané přímce leží, a polohový vektor ac
a2+b2 , bc
a2+b2
tohoto bodu je zřejmě rovnoběžný s normálovým vektorem (a, b) dané přímky ax + by = c.
Příklad 4.7.10. Nechť a, b ∈ R, a �= b. Dokažte, že soustava rovnic
a sin2
x + b cos2
x = 1, a cos2
y + b sin2
y = 1, a tg x = b tg y (4.62)
s neznámými x, y a parametry a, b má v oboru R řešení, právě když platí a + b = 2ab > 0 (což
znamená, že obě čísla a, b jsou kladná, jedno z intervalu (1
2 , 1), druhé z intervalu (1, ∞)).57
Řešení: • V první části předpokládejme, že vypsaná soustava má řešení, kterou je dvojice (x, y). Ze
třetí rovnice soustavy pak plyne cos x �= 0 a cos y �= 0 (jinak by hodnoty tg x, tg y neměly smysl).
První dvě rovnice soustavy pak po vydělení cos2 x, resp. cos2 y a užití rovností
1
cos2 t
=
sin2
t + cos2 t
cos2 t
= tg2
t + 1
pro t = x a t = y můžeme přepsat do podoby
(a − 1)tg2
x = 1 − b a (b − 1)tg2
y = 1 − a.
Odtud plyne a = 1 ⇔ b = 1. Protože však a �= b podle zadání úlohy, jsou a − 1, b − 1 nenulová čísla
různých znamének, neboť nenulová čísla tg2x, tg2y jsou kladná. Hodnoty tg2x, tg2y jsou tedy dvě
navzájem převrácená kladná čísla určená takto:
tg2
x =
1
tg2y
= −
b − 1
a − 1
. (4.63)
Z třetí rovnice (4.62) nyní (díky nenulovosti čísel tg x, tg y) plyne a = 0 ⇔ b = 0, takže s ohledem
na a �= b jsou i obě čísla a, b nenulová a platí
b
a
2
=
tg x
tg y
2
=
tg2x
tg2y
=
b − 1
a − 1
2
,
kam jsme za tg2x, tg2y dosadili z (4.63). Platí tedy některá z možností
b
a
=
b − 1
a − 1
< 0 nebo
b
a
= −
b − 1
a − 1
> 0. (4.64)
Díky implikacím
b
a
=
b − 1
a − 1
⇒ b(a − 1) = a(b − 1) ⇒ a = b,
b
a
= −
b − 1
a − 1
⇒ b(a − 1) = a(1 − b) ⇒ a + b = 2ab
(4.65)
a předpokladu a �= b musí nastat druhá možnost v (4.64), z níž tedy plyne kýžená rovnost a + b =
= 2ab. Protože hodnoty 2ab a b
a mají zřejmě stejné znaménko a b
a > 0 podle (4.64), platí i 2ab > 0
57
[36], str. 91.
155
KAPITOLA 4. GONIOMETRICKÉ FUNKCE V OBORU R
a první část řešení je hotova.
• Předpokládejme nyní, že různá čísla a, b splňují podmínku a + b = 2ab > 0. Protože z a + b =
= 2ab zřejmě plyne a = 0 ⇔ b = 0 a a = 1 ⇔ b = 1, jsou a, b dvě čísla různá od 0 a 1, takže
implikace v (4.65) se dají obrátit a vedou pak k závěru, že platí druhý vztah v (4.64), přitom se
využije předpoklad 2ab > 0, podle něhož b
a > 0 . Poslední výraz v (4.63) má tedy kladnou hodnotu,
takže existují čísla x, y ∈ (0, π
2 ) taková, že (4.63) platí; dokonce přitom máme x + y = π
2 . Hodnoty
tg x, tg y jsou tedy kladné a platí
tg x =
1
tg y
= −
b − 1
a − 1
=
b
a
,
(opět jsme využili druhou část (4.64)). Odtud plyne jednak
a tg x = b tg y =
√
ab,
takže třetí rovnice soustavy (4.62) je splněna, jednak
1 − b
a − 1
= tg2
x =
sin2
x
cos2 x
,
odkud
(1 − b) cos2
x = (a − 1) sin2
x neboli a sin2
x + b cos2
x = 1.
Určené x tedy splňuje i první rovnici soustavy (4.62), v důsledku čehož i určené y = π
2 − x splňuje
její druhou rovnici. Tím je i druhá část řešení úlohy hotova.
Příklad 4.7.11. Uvažujme soustavu rovnic
cos x + cos y = a, sin x + sin y = b (4.66)
s neznámými x, y ∈ �0, 2π) a parametry a, b ∈ R. Popište grafickou metodu řešení (4.66) s využitím
jednotkové kružnice, podejte diskusi o počtu řešení (4.66) v závislosti na parametrech a, b a odvoďte
algebraickou soustavu dvou rovnic s neznámými c, s a parametry a, b, jejímiž řešeními jsou právě
dvojice
(c, s) = (cos x, sin x) a (c, s) = (cos y, sin y)
sestavené z řešení původní soustavy (4.66). Nakonec převeďte soustavu (4.66) na soustavu základních
goniometrických rovnic pro vhodné výrazy sestavené z neznámých x, y.58
Řešení: V rovině s kartézskou soustavou souřadnic Ocs sestrojme jednotkové vektory
−−→
OX = (cos x, sin x) a
−−→
OY = (cos y, sin y)
odpovídající polohám goniometrické ručičky pro úhly x, resp. y. Soustava (4.66) pak vyjadřuje právě
to, že vektorový součet
−−→
OX +
−−→
OY je vektor
−→
OZ = (a, b) s danými souřadnicemi a, b. Rovnoběžník
OXZY je kosočtverec s jednotkovými stranami, takže ze zadaného vektoru
−→
OZ určíme koncové
body X, Y neznámých vektorů
−−→
OX,
−−→
OY jako průsečíky jednotkové kružnice s osou o úsečky OZ
(přitom je jedno, který z průsečíků označíme X a který Y , neboť soustava (4.66) je v neznámých
x, y symetrická). To je hledaná grafická metoda řešení soustavy (4.66).
Existence a počet zmíněných průsečíků závisí na vzdálenosti osy o od počátku O, jež je rovna
polovině délky
√
a2 + b2 úsečky OZ. Odtud plyne:
58
[29], str. 60.
156
4.7. PŘÍKLADY
y
x
o
O
X
Y
Z
a
b
S
c
s
Obrázek 4.25
• je-li a2 + b2 > 4, soustava (4.66) nemá řešení,
• je-li a2 + b2 = 4, soustava (4.66) má jediné řešení x = y = ϕ, kde ϕ ∈ �0, 2π) je úhel určený
rovnostmi
2 cos ϕ = a, 2 sin ϕ = b,
• je-li 0 < a2 + b2 < 4, soustava (4.66) má dvě řešení (x0, y0) a (y0, x0), kde x0, y0 ∈ �0, 2π) a
x0 �= y0 (o jejich určení pojednáme níže),
• je-li a = b = 0, soustava (4.66) má nekonečně mnoho řešení, jež jsou právě tvaru (x, y), kde
x, y ∈ �0, 2ϕ) a |x − y| = π (odpovídá to situaci
−−→
OX +
−−→
OY = −→o ).
K určení požadované soustavy pro neznámé c, s najdeme rovnici osy o úsečky OZ. Je to přímka
s normálovým vektorem
−→
OZ = (a, b), která prochází bodem S a
2 , b
2 , takže její rovnice má tvar
a c −
a
2
+ b s −
b
2
= 0 neboli ac + bs =
a2 + b2
4
.
Průsečíky osy o s jednotkovou kružnicí jsou proto určeny soustavou rovnic
ac + bs =
a2 + b2
4
,
c2
+ s2
= 1.
To je hledaná algebraická soustava pro řešení původní soustavy (4.66).
K trigonometrickému řešení přepišme rovnice soustavy (4.66) pomocí vzorců pro součet dvou
kosinů a dvou sinů do ekvivalentního tvaru
2 cos
x + y
2
cos
x − y
2
= a, 2 sin
x + y
2
cos
x − y
2
= b. (4.67)
157
KAPITOLA 4. GONIOMETRICKÉ FUNKCE V OBORU R
Vydělením rovnic (4.67) dostaneme
tg
x + y
2
=
b
a
, resp. cotg
x + y
2
=
a
b
(4.68)
podle toho, zda a �= 0 či b �= 0 (případ a = b = 0 z výše uvedených důvodů již neuvažujeme).
Z těchto rovností zřejmě plyne
cos
x + y
2
= ±
a
√
a2 + b2
, sin
x + y
2
= ±
b
√
a2 + b2
, (4.69)
přičemž oba vztahy platí se stejným znaménkem + či −. Po dosazení do té z rovnic (4.67), jejíž
pravá strana je různá od nuly, dostaneme v obou případech stejný vztah
cos
x − y
2
= ±
√
a2 + b2
2
(4.70)
s týmž znaménkem jako ve (4.69). Všimněme si, že z rovnic (4.69) a (4.70) plynou naopak rovnice
(4.67). Tak jsme původní soustavu (4.66) převedli na soustavu základních goniometrických rovnic
(4.69) a (4.70), ve kterých vezmeme stejné znaménko. (Tímto postupem najdeme všechna řešení
v oboru x, y ∈ R.)
Přejdeme nyní k úlohám o goniometrických nerovnostech. Nebudeme však řešit nerovnice, nýbrž
dokazovat nerovnosti. Proměnné v nich zastoupené tedy nebudou neznámé (které je třeba určit),
nýbrž budou nabývat libovolných hodnot z předem stanovených oborů. Dokazování takových nerovností
může být mnohdy tvrdým oříškem, přesto ve vybraných úlohách vždy vystačíme s elementárními
prostředky, uplatňovanými však často dosti rafinovaně.
Příklad 4.7.12. Dokažte, že pro libovolná čísla x, y ∈ (0, π
2 ) platí59
1
cos x
+
1
cos y
≥ 2
√
tg x + tg y.
Řešení: Protože pro uvažovaná x, y platí 0 < x + y < π, máme
tg x + tg y =
sin x cos y + cos x sin y
cos x cos y
=
sin(x + y)
cos x cos y
≤
1
cos x cos y
, (4.71)
takže místo nerovnosti ze zadání úlohy stačí dokázat nerovnost
1
cos x
+
1
cos y
≥ 2
1
cos x cos y
. (4.72)
To je ale snadné, neboť po převedení odmocniny z pravé strany na levou dostaneme po úpravě „na
čtverec“ zřejmou nerovnost
1
√
cos x
−
1
√
cos y
2
≥ 0. (4.73)
Tím je celý důkaz hotov. Dodejme, že nerovnost (4.72) též plyne z nerovnosti mezi aritmetickým a
geometrickým průměrem (kladných) čísel 1
cos x a 1
cos y .
Rovnost v dokázané nerovnosti nastane, právě když nastanou rovnosti v obou nerovnostech
(4.71) a (4.73). To lze zřejmě vyjádřit podmínkami
sin(x + y) = 1 a
1
cos x
=
1
cos y
,
které jsou pro nějaká x, y ∈ (0, π
2 ) splněny, právě když x + y = π
2 a x = y, neboli x = y = π
4 .
59
51. ročník MO (2001/2002), úloha A–II-1.
158
4.7. PŘÍKLADY
Příklad 4.7.13. Dokažte, že pro libovolná reálná čísla x, y platí nerovnosti
cos x + cos y + cos(x + y) ≥ −
3
2
, cos x cos y cos(x + y) ≥ −
1
8
,
a podmínky, kdy nastane první, resp. druhá rovnost, vyjádřete základními rovnicemi pro vhodné
goniometrické funkce s vhodnými argumenty sestavenými z proměnných x a y.60
Řešení: Výrazy v levých stranách nerovností označíme P, resp. Q a při jejich úpravách užijeme
kromě goniometrických vzorců též metodu doplnění kvadratického trojčlenu na čtverec.
•
P = cos x + cos y + cos(x + y) = 2 cos
x + y
2
cos
x − y
2
+ 2 cos2 x + y
2
− 1 =
= 2 cos2 x + y
2
+ 2 cos
x + y
2
cos
x − y
2
− 1 =
=
1
2
2 cos
x + y
2
+ cos
x − y
2
2
−
1
2
cos2 x − y
2
− 1 =
=
1
2
2 cos
x + y
2
+ cos
x − y
2
2
+
1
2
sin2 x − y
2
−
3
2
.
V posledním výrazu jsou hodnoty prvních dvou sčítanců (díky druhým mocninám) nezáporná
čísla, takže platí P ≥ −3
2, jak jsme měli dokázat. Rovnost P = −3
2 nastane, právě když
základy obou druhých mocnin budou rovny nule:
2 cos
x + y
2
+ cos
x − y
2
= 0 a sin
x − y
2
= 0.
Druhá rovnost je splněna, právě když cos x−y
2 = ±1. Po dosazení do první rovnosti tak nacházíme
kritérium rovnosti P = −3
2 ve tvaru soustavy rovnic
cos
x − y
2
= ±1, cos
x + y
2
= ∓
1
2
(požadujeme, aby obě rovnice platily buď s horním, nebo s dolním znaménkem).
•
Q = cos x cos y cos(x + y) =
cos(x + y) + cos(x − y)
2
· cos(x + y) =
=
1
2
cos2
(x + y) +
1
2
cos(x + y) cos(x − y) =
=
1
8
(2 cos(x + y) + cos(x − y))2
−
1
8
cos2
(x − y) =
=
1
8
(2 cos(x + y) + cos(x − y))2
+
1
8
sin2
(x − y) −
1
8
.
Ze stejných důvodů jako v první části řešení odtud plyne nerovnost Q ≥ −1
8, přičemž rovnost
nastane, právě když je splněna soustava základních rovnic
cos(x − y) = ±1 a cos(x + y) = ∓
1
2
.
60
[34], str. 50–51.
159
KAPITOLA 4. GONIOMETRICKÉ FUNKCE V OBORU R
Příklad 4.7.14. Pro každé přirozené číslo n ≥ 2 určete největší hodnotu výrazu
Vn = sin x1 cos x2 + sin x2 cos x3 + · · · + sin xn−1 cos xn + sin xn cos x1,
kde x1, x2, . . . , xn jsou libovolná reálná čísla.61
Řešení: Kromě výrazu Vn uvažme ještě výraz
Sn = (sin x1 − cos x2)2
+ (sin x2 − cos x3)2
+ · · · + (sin xn − cos x1)2
,
který je součtem n druhých mocnin, takže má pouze nezáporné hodnoty. Po provedení těchto druhých
mocnin rozdílů a využití n goniometrických jedniček dostaneme vyjádření
Sn = n − 2Vn neboli Vn =
n
2
−
Sn
2
,
odkud vzhledem k Sn ≥ 0 plyne Vn ≤ n
2 . Zkoumaný výraz Vn proto nabývá největší hodnoty n
2 ,
neboť, jak snadno nahlédneme, pro čísla x1 = x2 = · · · = xn = π
4 platí Sn = 0, takže potom Vn = n
2 ,
což je vidět i po přímém dosazení hodnot
sin xi = cos xi =
√
2
2
(i = 1, 2, · · · , n).
Příklad 4.7.15. Dokažte, že pro každé x ∈ (0, π) a každé n ∈ N platí62
sin x +
sin 3x
3
+
sin 5x
5
+ · · · +
sin(2n − 1)x
2n − 1
> 0.
Řešení: Označme Sn levou stranu zkoumané nerovnosti. V řešení využijeme vzorec pro součin sinů
2 sin x sin(2k − 1)x = cos(2k − 2)x − cos 2kx,
následně v úpravách odhadneme hodnoty kosinů číslem 1 a získaný výraz teleskopicky sečteme:
2 sin x · Sn = 2 sin x sin x +
2 sin x sin 3x
3
+ · · · +
2 sin x sin(2n − 1)x
2n − 1
=
= 1 − cos 2x +
cos 2x − cos 4x
3
+ · · · +
cos(2n − 2)x − cos 2nx
2n − 1
=
= 1 − cos 2x 1 −
1
3
− cos 4x
1
3
−
1
5
− · · · −
cos 2nx
2n − 1
≥
≥ 1 − 1 −
1
3
+
1
3
−
1
5
+ · · · +
1
2n − 1
= 0.
Protože z 0 < x < π plyne cos 2x < 1, je dokázaná nerovnost 2 sin x · Sn ≥ 0 ve skutečnosti ostrá,
takže z ní s ohledem na sin x > 0 dostáváme Sn > 0, což jsme chtěli dokázat.
Příklad 4.7.16. Dokažte, že pro libovolná reálná čísla x1, x2, · · · , xn platí63
1≤i<j≤n
cos(xi − xj) ≥ −
n
2
.
61
46. ročník MO (1996/1997), úloha A–III–5.
62
[35], str. 15.
63
[35], str. 11.
160
4.7. PŘÍKLADY
Řešení: Umocníme dva konečné součty n
i=1 cos xi a n
i=1 sin xi na druhou a následně výrazy, které
jsou pro jakákoliv xi nezáporné, sečteme:
n
i=1
cos xi
2
=
n
i=1
cos2
xi + 2
1≤i<j≤n
cos xi cos xj,
n
i=1
sin xi
2
=
n
i=1
sin2
xi + 2
1≤i<j≤n
sin xi sin xj,
n
i=1
cos xi
2
+
n
i=1
sin xi
2
=
n
i=1
cos2
xi +
n
i=1
sin2
xi + 2
1≤i<j≤n
(cos xi cos xj + sin xi sin xj) =
= n + 2
1≤i<j≤n
cos(xi − xj) ≥ 0.
Odtud již plyne dokazovaná nerovnost
1≤i<j≤n
cos(xi − xj) ≥ −
n
2
.
Poslední dva příklady teoretického charakteru částečně objasňují, proč je tak málo přesně známých
velikostí ostrých úhlů, u nichž známe (rovněž přesně) i příslušné hodnoty goniometrických
funkcí.
Příklad 4.7.17. Dokažte, že obě hodnoty cos 1◦, sin 1◦ jsou iracionální čísla.64
Řešení: Nejprve indukcí vzhledem k číslu n dokážeme: je-li x ∈ R takové, že cos x ∈ Q, pak
cos nx ∈ Q pro každé n ∈ N. Z předpokladu cos x ∈ Q a rovnosti cos 2x = 2 cos2 x − 1 plyne
cos 2x ∈ Q. Platí-li cos nx ∈ Q a současně cos(n + 1)x ∈ Q pro některé n, pak z identity
cos(n + 1)x + cos(n − 1)x = 2 cos nx cos x
vzhledem k výchozímu předpokladu cos x ∈ Q vyplývá cos(n + 1)x ∈ Q a důkaz indukcí je hotov.
Nyní už k samotné úloze: kdyby platilo cos 1◦ ∈ Q, měli bychom podle dokázaného tvrzení
cos n◦ ∈ Q pro každé n ∈ N, což dává pro n = 30 spor, neboť cos 30◦ =
√
3
2 /∈ Q. Ke stejnému
sporu dojdeme i tehdy, když připustíme, že sin 1◦ ∈ Q, neboť pak by z rovnosti cos 2◦ = 1−2 sin2
1◦
plynulo cos 2◦ ∈ Q, a tedy cos 2k◦ ∈ Q pro každé k ∈ N, tedy i pro k = 15.
Poznámka: Z uvedeného postupu plyne, že cos k◦ /∈ Q pro k ∈ {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15} (vypsali jsme
všechny kladné dělitele čísla 30). Je známo (viz [38, str. 64]), že pro k ∈ {1, 2, 3, · · · , 89} platí
cos k◦ ∈ Q pouze v případě k = 60.
Příklad 4.7.18. Je-li cos πx racionální číslo různé od 0, ±1
2 a ±1, pak je reálné číslo x iracionální.
Dokažte tuto větu pro případ, kdy hodnota cos πx je rovna zlomku p
q , kde p je celé číslo a q je liché
číslo větší než 1.65
Řešení: Položme t = πx a předpokládejme, že platí cos t = p
q , kde p je celé číslo a q je liché číslo větší
64
[29], str. 114.
65
V [41] je na str. 58–59 uveden důkaz pro zlomek p
q
= 1
3
.
161
KAPITOLA 4. GONIOMETRICKÉ FUNKCE V OBORU R
než 1. Protože možnost p
q = ±1 je zadáním vyloučena, můžeme navíc předpokládat, že čísla p, q jsou
nesoudělná (po krácení zlomku p
q na základní tvar musí totiž vyjít zlomek s lichým jmenovatelem
větším než 1). Indukcí vzhledem k číslu n dokážeme, že cos nt je racionální číslo tvaru
cos nt =
pn
qn
,
kde pro každé n ∈ N je pn celé číslo nesoudělné s číslem q. Protože cos t = p
q , je p1 = p a z rovnosti
cos 2t = 2 cos2
t − 1 = 2
p2
q2
− 1 =
2p2 − q2
q2
plyne p2 = 2p2 − q2. Proč je číslo p2 (stejně jako číslo p) s číslem q nesoudělné? Kdyby některé
prvočíslo r dělilo obě čísla 2p2 − q2 a q, bylo by r liché (protože q je liché) a dělilo by i číslo 2p2,
takže by i dělilo i číslo p. Čísla p, q by tak měla společný prvočinitel r, což je spor.
Předpokládejme nyní, že pro některé n ≥ 2 platí
cos(n − 1)t =
pn−1
qn−1
, cos nt =
pn
qn
a obě čísla pn−1, pn jsou s číslem q nesoudělná (tak je tomu, jak už víme, pro n = 2). Pak z rovnosti
cos(n + 1)t + cos(n − 1)t = 2 cos nt cos t
dostáváme
cos(n + 1)t = 2 ·
pn
qn
·
p
q
−
pn−1
qn−1
=
2ppn − q2pn−1
qn+1
,
takže platí pn+1 = 2ppn − q2pn−1. Kdyby nějaké prvočíslo r dělilo obě čísla pn+1 a q, bylo by
lichým dělitelem čísla 2ppn, takže by dělilo aspoň jedno z čísel p, pn, což je však ve sporu s jejich
nesoudělností s číslem q. Proto je s číslem q nesoudělné i číslo pn+1 a důkaz indukcí je hotov.
Dokázali jsme, že z rovnosti cos πx = p
q plyne
cos πnx =
pn
qn
pro každé n ∈ N, přičemž pn je číslo nesoudělné s číslem q > 1, což v důsledku znamená, že
cos πnx �= ±1.
Odtud vidíme, že číslo nx není celé pro žádné n ∈ N, a tedy samo číslo x je nutně iracionální.
162