Nerovnice s neznámou pod odmocninou1
Důležitá upozornění.
• Umocnění nerovnice (na druhou) je obecně důsledkovou úpravou. Při použití důsledkové úpravy je
zkouška nutnou součástí řešení nerovnice. Vyhledem k tomu, že nerovnice má zpravidla nekonečně
mnoho kořenů, není tento postup prakticky realizovatelný. Je tedy potřeba se důsledkové úpravě při
řešení nerovnice vyhnout.
• V případě, že umocňujeme nerovnici, jejíž obě strany jsou nezáporné, je tato úprava dokonce ekvi-
valentní.
Postup řešení nerovnice s neznámou pod odmocninou.
1. Stanovíme definiční obor zadané nerovnice - výrazy pod odmocninami musí být nezáporné.
2. Pokračujeme ve dvou větvích:
a) V případě, že jsou obě strany nerovnice nezáporné, umocníme ji. Jde o ekvivalentní úpravu,
pomocí níž se (postupně) zbavujeme odmocnin.
b) Jestliže výrazy na každé straně nerovnice mají různá znaménka, můžeme o splnění či nesplnění
takové nerovnosti rozhodnout přímo (bez dalších úprav).
Praktická realizace tohoto postupu je patrná v následujících řešených příkladech.
Řešené příklady. V R řešte následující nerovnice:
1. Nerovnice √
x + 18 < 2 − x
má definiční obor D = −18; ∞) (1. bod postupu). Pro všechna x ∈ D je levá strana nerovnice
nezáporná. Abychom ji mohli umocnit, musí být nezáporná rovněž strana pravá. To nastane pro
x ≤ 2. Řešení nerovnice se nám tedy rozpadá do dvou větví:
a) (bod 2a) postupu) Pro x ∈ −18; 2 po zmíněném umocnění máme
x+18 < (2 − x)2
⇔ x+18 < 4−4x+x2
⇔ 0 < x2
−5x−14 ⇔ 0 < (x + 2) (x − 7) ,
takže
K1 = [(−∞; −2) ∪ (7; ∞)] ∩ −18; 2 = −18; −2) .
b) (bod 2b) postupu) Již víme, že pro x ∈ (2; ∞) platí L ≥ 0 a P < 0. Přitom má současně platit
L < P, což nelze, tudíž K2 = ∅.
Závěr K = K1 ∪ K2 = −18; −2).
2. Nerovnice √
11 − 5x > x − 1
má definiční obor D = (−∞; 11/5 (1. bod postupu). Pro všechna x ∈ D je levá strana nerovnice
nezáporná. Abychom ji mohli umocnit, musí být nezáporná rovněž strana pravá. To nastane pro
x ≥ 1. Řešení nerovnice se nám tedy rozpadá do dvou větví:
a) (bod 2a) postupu) Pro x ∈ 1; 11/5 po zmíněném umocnění máme
11−5x > (x − 1)2
⇔ 11−5x > x2
−2x+1 ⇔ 0 > x2
+3x−10 ⇔ 0 > (x + 5) (x − 2) ,
takže
K1 = (−5; 2) ∩ 1;
11
5
= 1; 2) .
1
Případné náměty k tomuto textu prosím adresujte na e-mail akob@jaroska.cz. Děkuji Aleš Kobza (autor materiálu).
1
b) (bod 2b) postupu) Již víme, že pro x ∈ (−∞; 1) platí L ≥ 0 a P < 0, takže je splněna i zadáním
požadovaná nerovnost L > P, a to pro všechna x ∈ (−∞; 1), tudíž K2 = (−∞; 1).
Závěr K = K1 ∪ K2 = (−∞; 2).
3. Nerovnice √
−x2 + 7x − 6 < 3 + 2x ⇔ (1 − x) (x − 6) < 3 + 2x
má definiční obor D = 1; 6 (1. bod postupu). Pro všechna x ∈ D je levá strana nerovnice nezáporná.
Abychom ji mohli umocnit, musí být nezáporná rovněž strana pravá. To nastane pro x ≥ −3/2.
Protože tato podmínka je splněna pro všechna x ∈ D, nebude se nám řešení této nerovnice dále
větvit. Pro všechna x ∈ D je umocnění této nerovnice ekvivalentní úpravou, vychází nám
−x2
+ 7x − 6 < (3 + 2x)2
⇔ −x2
+ 7x − 6 < 9 + 12x + 4x2
⇔ 0 < 5x2
+ 5x + 15 ⇔
⇔ 0 < x2
+ x + 3 ⇔ 0 < x +
1
2
2
+
11
4
.
Tato nerovnice je tedy splněna vždy. Závěr K = D = 1; 6 .
4. Nerovnici √
x + 3 −
√
x − 1 >
√
2x − 1
bude třeba vzhledem k většímu počtu v ní se vyskytujících odmocnin umocňovat opakovaně. Proto
bude účelné ji nejprve přepsat do tvaru, ve kterém bude každá odmocnina vystupovat s kladným
koeficientem, protože pak budou pro všechna x z jejího definičního oboru obě její strany nezáporné
a budeme ji moci rovnou ekvivalentně umocnit. Definiční obor nerovnice je D = 1; ∞). Takže pro
všechna x ∈ D platí
√
x + 3 >
√
2x − 1 +
√
x − 1 ⇔
√
x + 3
2
>
√
2x − 1 +
√
x − 1
2
⇔
⇔ x + 3 > 2x − 1 + 2
√
2x − 1
√
x − 1 + x − 1 ⇔ x + 3 > 3x − 2 + 2 (2x − 1) (x − 1) ⇔
⇔ 5 − 2x > 2
√
2x2 − 3x + 1 . (1)
Nyní potřebujeme opět umocňovat. Snadno zkontrolujeme, že nerovnice je definovaná pro všechna
x ∈ D, ale ne pro všechna x ∈ D jsou obě její strany nezáporné. Proto bude potřeba výpočet dále
rozvětvit.
a) Levá strana nerovnice je nezáporná právě tehdy, když x ≤ 5
2
. Pro x ∈ 1; 5
2
jsou tedy obě strany
nerovnice (1) nezáporné a díky tomu ji můžeme umocnit, přičemž se jedná o ekvivalentní úpravu.
Pro tato x tedy platí
5 − 2x > 2
√
2x2 − 3x + 1 ⇔ (5 − 2x)2
> 4 2x2
− 3x + 1 ⇔
⇔ 25 − 20x + 4x2
> 8x2
− 12x + 4 ⇔ 0 > 4x2
+ 8x − 21 ⇔ 0 > (2x + 7) (2x − 3) ,
Takže
K1 = −
7
2
;
3
2
∩ 1;
5
2
= 1;
3
2
.
b) Pokud x ∈ 5
2
; ∞ , vidíme, že v nerovnici (1) je L < 0, P ≥ 0 a přitom má platit L > P, což
nelze, takže K2 = ∅.
Dostáváme tak závěr výpočtu
K = K1 ∪ K2 = 1;
3
2
.
2
5. Nerovnici
x + 4 + 6
√
x − 5 ≤ 2
je výhodné řešit s využitím substituce y =
√
x − 5. Odtud dostaneme x = y2
+ 5. Pro zadanou
nerovnici tak postupně dostáváme
(y2 + 5) + 4 + 6y ≤ 2 ⇔ y2 + 6y + 9 ≤ 2 ⇔ (y + 3)2
≤ 2 ⇔
⇔ |y + 3| ≤ 2 ⇔ −5 ≤ y ≤ −1 ⇒
√
x − 5 ≤ −1 .
Poslední podmínku však nelze splnit. Nemusíme se tedy zabývat podmínkami a můžeme rovnou psát,
že K = ∅.
6. Nerovnice
1
√
x + 1
>
1
5 − x
má definiční obor D = (−1; ∞) − {5} (1. bod postupu). Její pravá strana je nezáporná (v našem
případě dokonce kladná) právě tehdy, když x < 5. Řešení nerovnice se nám tedy rozpadá do dvou
větví:
a) (bod 2a) postupu) Pro x ∈ (−1; 5) tedy můžeme nerovnici ekvivalentně umocnit a ještě využít
toho, že oba jmenovatelé jsou kladní a lze se tak rychle zbavit zlomků:
1
x + 1
>
1
(5 − x)2 ⇔ (5 − x)2
> x + 1 ⇔ 25 − 10x + x2
> x + 1 ⇔
⇔ x2
− 11x + 24 > 0 ⇔ (x − 3) (x − 8) > 0 ,
takže K1 = [(−∞; 3) ∪ (8; ∞)] ∩ (−1; 5) = (−1; 3).
b) (bod 2b) postupu) Ve zbytku definičního oboru, tj. pro x ∈ (5; ∞) pak platí, že L > 0 a P < 0,
takže požadovaná nerovnost L > P je splněna. Je tedy K2 = (5; ∞).
Závěr K = K1 ∪ K2 = (−1; 3) ∪ (5; ∞).
Zadání úloh.
V R vyřešte nerovnice
1.
2
√
x − 1 < x ,
2.
√
2x + 14 > x + 3 ,
3.
√
x + 2 > x ,
4.
√
5 − 2x ≥ 6x − 1 ,
3
5.
√
x2 − 4x > x − 3 ,
6.
√
3x − x2 < 4 − x ,
7.
19 + x − 8
√
x + 3 < 3 ,
8.
√
2x2 + 7x − 4
x + 4
<
1
2
,
9.
√
x − 3 ≤
2
√
x − 2
,
10.
3
√
x −
√
5x + 5 > 1 .
Návody k řešení a výsledky úloh.
1. K = 1; 2) ∪ (2; ∞),
2. K = −7; 1),
3. K = −2; 2),
4. K = (−∞; 1/2 ,
5. K = (−∞; 0 ∪ (9/2; ∞),
6. K = 0; 3 ,
7. pomocí substituce y =
√
x + 3 lze zadanou nerovnici postupně upravit do tvaru |y − 4| < 3, K =
(−2; 46),
8. K = (−∞; −4) ∪ 1/2; 8/7),
9. pomocí substituce y =
√
x lze zadanou nerovnici postupně upravit do tvaru
(y − 4) (y − 1)
y − 2
≤ 0 , . . . K = 0; 1 ∪ (4; 16 ,
10. K = (4; ∞), nerovnici je třeba dvakrát umocňovat, před prvním umocněním je vhodné ji upravit do
tvaru
3
√
x >
√
5x + 5 + 1 ,
před druhým umocněním je třeba pokračovat ve dvou větvích (viz 2. bod postupu).
4