Rovnice s parametry - kvadratické1
Postup řešení kvadratické rovnice s parametrem.
1. Pokud koeficient u kvadratického členu může být nulový, vyřešíme zvlášť případ lineární rovnice.
2. Dále se zabýváme rovnicí, která je „skutečně“ kvadratická. Vypočteme tedy její diskriminant D a
budeme zkoumat jeho znaménko. Tím se nám další postup může rozdělit až do tří větví.
a) Pro D > 0 má rovnice dva reálné různé kořeny. Najdeme je užitím známého vzorce.
b) Když D = 0, má rovnice jeden dvojnásobný reálný kořen.
c) Je-li D < 0, nemá rovnice v R žádné řešení.
V některých úlohách může být úkolem nalézt všechny hodnoty parametru, pro něž má rovnice dva reálné
různé kořeny, které jsou například
1. různých znamének (tzn. jeden kladný a druhý záporný),
2. oba kladné,
3. oba záporné.
Probereme tedy ještě obecně způsob řešení takové úlohy. Pro všechny tři uvedené varianty je společná
úvodní dvojice podmínek - rovnice musí být kvadratická (tedy koeficient u kvadratického členu nesmí být
nulový) a diskriminant musí být kladný. K dalšímu postupu využijeme Viètovy vztahy. Ke splnění jednotlivých
požadovaných podmínek (při současném splnění obou právě zmíněných „společných“ podmínek) je
v příslušných variantách nutné a stačí, aby
1. x1x2 < 0,
2. x1x2 > 0 a x1 + x2 > 0,
3. x1x2 > 0 a x1 + x2 < 0,
přičemž výrazy x1x2 a x1 +x2 umíme díky Viètovým vztahům vyjádřit pomocí koeficientů zadané rovnice.
(viz Příklad 5)
Řešené příklady.
1. V R řešte rovnici
px2
+ 6p2
x + p = 0 ,
kde p ∈ R je parametr a x neznámá.
Řešení. Nejprve probereme případ, kdy je zadaná rovnice pouze lineární, v naší situaci to je pro
p = 0 (1. bod postupu). Po dosazení dostáváme pravdivé tvrzení 0 = 0, takže rovnice je splněna pro
libovolné x ∈ R. Dále předpokládejme, že p = 0. Pracujeme tedy s kvadratickou rovnicí a vypočteme
její diskriminant (2. bod postupu s následným větvením). Platí
D = 6p2 2
− 4p · p = 36p4
− 4p2
= 4p2
9p2
− 1 = 4p2
(3p − 1) (3p + 1) .
a) Zjišťujeme, že D > 0 právě tehdy, když p ∈ −∞; −1
3
∪ 1
3
; ∞ . Potom
x1,2 =
−6p2
± 2p 9p2 − 1
2p
= −3p ± 9p2 − 1 .
1
Případné náměty k tomuto textu prosím adresujte na e-mail akob@jaroska.cz. Děkuji Aleš Kobza (autor materiálu).
1
b) Dále D = 0 tehdy a jen tehdy, když p = ±1
3
(uvědomme si, že pracujeme za podmínky , že
p = 0). Pak
x =
−6p2
2p
= −3p .
c) Konečně D < 0 když a jen, když p ∈ −1
3
; 1
3
− {0}. V této situaci rovnice nemá řešení.
Závěrečná tabulka tedy vypadá takto:
p K
{0} R
−∞; −1
3
∪ 1
3
; ∞ −3p ± 9p2 − 1
±1
3
{−3p}
−1
3
; 1
3
− {0} ∅
Zdůrazněme ještě raději logiku zápisu v právě uvedené tabulce. Přestože pro p = ±1
3
platí
−3p ± 9p2 − 1 = −3p
a bylo by možné výsledek ve třetím řádku pod záhlavím tabulky chápat jako speciální případ výrazu
ve druhém řádku, nebylo by správné zápis takto „zjednodušit“ a psát, že pro −∞; −1
3
∪ 1
3
; ∞ je
množina všech kořenů tvaru −3p ± 9p2 − 1 . Důvodem je to, že v naší tabulce správně rozlišujeme,
kdy má rovnice dva kořeny (druhý řádek) a kdy jeden kořen (třetí řádek). Tuto informaci by
„zjednodušený“ zápis přímo neposkytoval.
2. V R řešte rovnici
q2
− 1 x2
+ 2qx + 1 = 0 ,
kde q ∈ R je parametr a x neznámá.
Řešení. Nejprve probereme případ, kdy je zadaná rovnice jenom lineární. To nastává pro q = ±1 (1.
bod postupu). Po vydělení rovnice (nenulovým) číslem 2q pak dostáváme
2qx + 1 = 0 ⇔ x = −
1
2q
.
Za podmínky q = ±1 je pak řešená rovnice kvadratická a budeme nejprve počítat její diskriminant
(2. bod postupu)
D = (2q)2
− 4 q2
− 1 = 4 > 0 .
V této situaci se řešení dále nevětví (případy D = 0 ani D < 0 nemohou nastat). Dále vypočteme
x1,2 =
−2q ± 2
2 (q2 − 1)
=
−q ± 1
(q − 1) (q + 1)
=



− 1
q+1
− 1
q−1
a dostáváme tak závěr:
q K
{±1} − 1
2q
R − {±1} − 1
q+1
; − 1
q−1
Vidíme, že řešená rovnice má pro jakoukoliv hodnotu parametru q alespoň jedno řešení.
2
3. V R řešte rovnici
(a − 2) x2
− a2
− 2a + 2 x + 2a = 0 ,
kde a ∈ R je parametr a x neznámá.
Řešení. Nejprve probereme případ, kdy je zadaná rovnice pouze lineární. Dochází k tomu, když a = 2
(1. bod postupu). Dostáváme tak
0x2
− (4 − 4 + 2) x + 4 = 0 ⇔ −2x = −4 ⇔ x = 2 .
Nyní se zaměříme na případ, kdy a = 2 (2. bod postupu). Počítejme diskriminant kvadratické rovnice
a pro formální zjednodušení výpočtu přitom zaveďme substituci b = a2
− 2a
D = − a2
− 2a + 2
2
− 4 (a − 2) · 2a = a2
− 2a + 2
2
− 8 a2
− 2a = (b + 2)2
− 8b =
= b2
+ 4b + 4 − 8b = b2
− 4b + 4 = (b − 2)2
= a2
− 2a − 2
2
≥ 0 .
Vidíme, že bude třeba rozlišit dva případy.
a) Vyřešením rovnice a2
− 2a − 2 = 0 (propočítejte si sami) zjišťujeme, že varianta D = 0 nastává
právě tehdy, když a = 1 ±
√
3. Řešená rovnice má v tomto případě jeden kořen, a to
x =
a2
− 2a + 2
2 (a − 2)
.
b) Ve zbývajících případech, tj. pro a ∈ R − 2; 1 ±
√
3 je D > 0 a řešená rovnice má dva různé
reálné kořeny
x1,2 =
a2
− 2a + 2 ± (a2
− 2a − 2)
2 (a − 2)
=



2a2−4a
2(a−2)
= a2−2a
a−2
= a(a−2)
a−2
= a
4
2(a−2)
= 2
a−2
.
Výpočet uzavřeme zápisem výsledné tabulky:
a K
{2} {2}
1 ±
√
3 a2−2a+2
2(a−2)
R − 2; 1 ±
√
3 a; 2
a−2
4. Najděte tu hodnotu parametru p ∈ R, pro kterou má rovnice
x2
+ (p − 1) x + 2p2
= 0
dva reálné různé kořeny, jejichž součin je nejmenší možný.
Řešení. Podle Viètových vztahů platí
x1x2 = 2p2
≥ 0 .
Nejmenší možná hodnota takového součinu je 0 a nastává pro p = 0. (Získaná nerovnost říká, že
součin žádných dvou kořenů zadané rovnice tedy nemůže být záporný.) Zbývá ověřit, zda pro tuto
hodnotu má uvažovaná rovnice dva reálné kořeny. Můžeme buď dosadit p = 0 a rovnici vyřešit nebo
jen spočítat její diskriminant a zjistit, zda je pro p = 0 kladný. Při prvním způsobu řešení ihned
vidíme, že
x2
− x = 0 ⇔ x (x − 1) = 0 ⇒ x1 = 0 a x2 = 1 ,
takže hodnota p = 0 našemu zadání vyhovuje.
3
5. Uvažujme rovnici
(2a − 6) x2
+ 2ax + a + 4 = 0 ,
kde a ∈ R je parametr a x ∈ R neznámá. Najděte všechny hodnoty parametru a, pro něž má tato
rovnice dva reálné různé kořeny, které jsou
a) různých znamének (tzn. jeden kladný a druhý záporný),
b) oba kladné,
c) oba záporné.
Řešení. Nejprve analyzujeme obě společné podmínky, které jsou nutné pro každou z vyšetřovaných
vlastností:
• Rovnice musí být kvadratická, koeficient u kvadratického členu nesmí být nulový
2a − 6 = 0 ⇔ a = 3 .
• Diskriminant této rovnice musí být kladný, takže
D = (2a)2
− 4 (2a − 6) (a + 4) = 4a2
− 8a2
− 8a + 96 = −4a2
− 8a + 96 =
= −4 a2
+ 2a − 24 = −4 (a + 6) (a − 4) , proto D > 0 ⇔ a ∈ (−6; 4) − {3} . (1)
Nyní se již můžeme odděleně pustit do řešení jednotlivých částí úlohy s využitím Viètových vztahů.
a) Potřebujeme, aby x1x2 < 0, to znamená, že
a + 4
2a − 6
< 0 ⇔
a + 4
a − 3
< 0 ⇔ a ∈ (−4; 3) .
Protože všechny zmíněné podmínky musí platit současně, zbává udělat průnik příslušných intervalů.
Tím zjišťujeme, že rovnice má jeden kladný a druhý záporný kořen právě tehdy, když
a ∈ (−4; 3).
b) Nyní je třeba, aby x1x2 > 0 a x1 + x2 > 0, takže
a + 4
2a − 6
> 0 a −
2a
2a − 6
> 0 ⇔
a + 4
a − 3
> 0 a
a
a − 3
< 0 ⇔ a ∈ ∅ .
Vidíme, že tyto podmínky současně splnit nelze. Znamená to, že řešená rovnice nikdy nemá dva
kladné reálné různé kořeny.
c) Nyní je třeba, aby x1x2 > 0 a x1 + x2 < 0, takže
a + 4
2a − 6
> 0 a −
2a
2a − 6
< 0 ⇔
a + 4
a − 3
> 0 a
a
a − 3
> 0 ⇔ a ∈ (−∞; −4)∪(3; ∞) .
Po provedení průniku této podmínky s podmínkou (1) získáváme závěr, že uvažovaná rovnice
má dva různé záporné kořeny když a jen, když a ∈ (−6; −4) ∪ (3; 4).
4
Zadání úloh.
1. V R vyřešte rovnice s neznámou x a parametrem p ∈ R
a)
x2
− 2px + 3p2
= 0 ,
b)
2p2
x2
+ 4p2
x + 3 + 2p2
= 0 ,
c)
x2
+ 4x + p = 0 ,
d)
px2
+ (2p + 1) x + p − 4 = 0 ,
e)
x2
− 2 (p + 1) x + 4p = 0 ,
f)
p x2
+ 2px = 3x + 6p ,
g)
(p + 3) x2
− 2px + 4 = 8x ,
h)
px2
− 2px − p + 3 = 0 .
2. Najděte tu hodnotu parametru p ∈ R, pro kterou má rovnice
x2
− p2
− 2p + 3 x − p = 0
dva reálné různé kořeny, jejichž součet je nejmenší možný.
U každé z následujících rovnic
3.
x2
+ 2 (p − 4) x + p2
+ 6p = 0 ,
4.
px2
+ 2px = 2x − 1 − p ,
5.
x2
− 2x + p2
= 0
určete všechny hodnoty parametru p ∈ R tak, aby příslušná rovnice
a) neměla žádný reálný kořen,
5
b) měla právě jeden reálný kořen,
c) měla jeden kladný a jeden záporný kořen,
d) měla dva kladné reálné různé kořeny,
e) měla dva záporné reálné různé kořeny.
Návody k řešení a výsledky úloh.
1. a)
p K
{0} {0}
R − {0} ∅
, (vždy kvadratická rovnice, D = −8p2
≤ 0),
b)
p K
R ∅
, (pro p = 0 lineární rovnice, která nemá řešení, pro p = 0 D = −24p2
< 0),
c)
p K
(−∞; 4) −2 ±
√
4 − p
{4} {−2}
(4; ∞) ∅
, (vždy kvadratická rovnice, D = 16 − 4p),
d)
p K
{0} {4}
− 1
20
{9}
−∞; − 1
20
∅
− 1
20
; 0 ∪ (0; ∞) −2p−1±
√
20p+1
2p
, (pro p = 0 lineární rovnice, která má jediné řešení, pro
p = 0 D = 20p + 1),
e)
p K
{1} {2}
R − {1} {2; 2p}
, (vždy kvadratická rovnice, D = [2 (p − 1)]2
≥ 0),
f)
p K
{0} {0}
R − {0} −2p; 3
p
, (pro p = 0 lineární rovnice s jediným řešením, pro p = 0 D = (2p2
+ 3)
2
>
0),
g)
p K
{−3; −2} {2}
R − {−3; −2} 2; 2
p+3
, (pro p = −3 lineární rovnice, která má jediné řešení (to navíc
vychází stejně jako v případě, kdy D = 0), pro p = −3 D = [2 (p + 2)]2
≥ 0),
h)
p K
(−∞; 0) ∪ 3
2
; ∞
p±
√
2p2−3p
p
3
2
{1}
0; 3
2
∅
, (pro p = 0 lineární rovnice, která nemá řešení, pro p = 0
D = 4p (2p − 3)).
6
2. Podle Viètových vztahů platí
x1 + x2 = p2
− 2p + 3 = (p − 1)2
+ 2 ≥ 2 .
Po ověření, že pro p = 1 má rovnice kladný diskriminant můžeme tvrdit, že pro p = 1 se realizuje
nejmenší možný součet reálných různých kořenů uvažované rovnice, a to 2.
3. Rovnice je vždy kvadratická, rovnou počítáme její diskriminant. Ten vychází D = −56p + 64.
a) Nastává pro D < 0, tedy pro p ∈ 8
7
; ∞ .
b) Nastává pro D = 0, tedy pro p = 8
7
.
Další případy mohou nastat jedině pro p < 8
7
při splnění následujících podmínek:
c) x1x2 = p2
+ 6p = p (p + 6) < 0, tedy pro p ∈ (−6; 0).
Pro splnění zbývajících podmínek je dále nutné, aby x1x2 = p2
+ 6p = p (p + 6) > 0, tedy pro
p ∈ (−∞; −6) ∪ 0; 8
7
. Dále musí ještě platit:
d) x1 + x2 = −2 (p − 4) > 0, tedy p < 4. To při zohlednění předchozí podmínky znamená, závěr
že p ∈ (−∞; −6) ∪ 0; 8
7
.
e) x1 +x2 = −2 (p − 4) < 0, tedy p > 4. Ovšem to vzhledem k předchozí podmínce nemůže nastat
nikdy.
4. Rovnici upravíme do tvaru
px2
+ 2 (p − 1) x + p + 1 = 0
a nejprve posoudíme její lineární případ pro p = 0. V této situaci má jediné řešení (x = 1
2
). Dále se
zabývejme rovnicí kvadratickou, tedy pro p = 0. Její diskriminant vychází D = 4 (1 − 3p).
a) Nastává pro D < 0, tedy pro p ∈ 1
3
; ∞ .
b) Nastává pro lineární případ rovnice nebo pro kvadratickou rovnici s nulovým diskriminantem,
tedy pro p ∈ 0; 1
3
.
Další případy mohou nastat jedině pro p < 1
3
a p = 0 při splnění následujících podmínek:
c) x1x2 = p+1
p
< 0, tedy pro p ∈ (−1; 0).
Pro splnění zbývajících podmínek je dále nutné, aby x1x2 = p+1
p
> 0, tedy pro p ∈ (−∞; −1) ∪
0; 1
3
. Dále musí ještě platit:
d) x1 + x2 = −2(p−1)
p
> 0, tedy p−1
p
< 0. To při zohlednění předchozí podmínky znamená, závěr že
p ∈ 0; 1
3
.
e) x1 + x2 = −2(p−1)
p
< 0, tedy p−1
p
> 0. To při zohlednění předchozí podmínky znamená, závěr že
p ∈ (−∞; −1).
5. Rovnice je vždy kvadratická, rovnou počítáme její diskriminant. Ten vychází D = 4 (1 − p2
) =
4 (1 − p) (1 + p).
a) Nastává pro D < 0, tedy pro p ∈ (−∞; −1) ∪ (1; ∞).
b) Nastává pro D = 0, tedy pro p = ±1.
Další případy mohou nastat jedině pro p ∈ (−1; 1) při splnění následujících podmínek:
c) x1x2 = p2
< 0, což nemůže nastat nikdy.
Pro splnění zbývajících podmínek je dále nutné, aby x1x2 = p2
> 0, tedy pro p ∈ (−1; 1) − {0}.
Dále musí ještě platit:
d) x1 + x2 = 2 > 0, což je splněno pro všechna p ∈ (−1; 1) − {0}.
e) x1 + x2 = 2 < 0, takže tento případ nastat nemůže.
7