Algebraické výrazy 1 Základní vzorce
a2 -b2 = [a- b) (a + b) ,    a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2 , a3 ± 63 = (a ± 6) (a2 =f a& + b2) ,    a3 ± 3a26 + 3ab2 ± 63 = (a ± 6)3 .
Úpravy algebraických výrazů
Není-li řečeno jinak, je nedílnou součástí úpravy výrazu též stanovení podmínek, za nichž je uvažovaný výraz definován.
Řešené příklady
Zadání   Následující výrazy upravte do nejjednoduššího možného tvaru. 1.
x2 - y2
x2 — x — y2 — y
2.
b2
3.
b_^.^-ah + b2)
±2 + — + x + y y2     y y
4.
\ + Wc   A     b2 + c2-a2'
1
í "Ä   V 26c      y   (a + 6 + c)2
Řešení
1. Platí
x —y (x — y) (x + y) (x — y) (x + y) x — y
x2 — x — y2 — y     (x — y) (x + y) — (x + y)     (x + y) (x — y — 1)     x — y — 1 přičemž x 7^ —y ai/i/ + l.
2. Platí
a       {,2 a3-b3 (a-b)(a2+ab+b2^(a2-ab+b2^
I^.(a> -ab + b2) = ^-.(a2 -ab + b2) = g, -
a a a
(a2 + ab + 62) (a2 - a& + 62)     (a2 + 62)2 - (a&)2     a4 + a262 + 64
ab ab ab
přičemž a ^ b, a^0a&^0.
1 Případné náměty k tomuto textu prosím adresujte na e-mail akob@jaroska.cz. Děkuji Aleš Kobza (autor materiálu).
1
3. Platí
2Í    I            _|_       _|_                 X3+X21l/+aiL/2+1l/3 X2(a+t/) + t/2(a + t/)
J/2 J/ " _ J/2 _ J/2
X2 _ t/2
(x2— J/2)(x2+J/2)
(x2 + y2) (x + y)
y2
x2y2
x
(x — y) (x + y) (x2 + í/2)     x — y
přičemž x ^ ±y, i/Oa?//0. 4. Platí
b2 + c2 - a2"
1 +
a   1 ŕ>+c
1__]_
a ŕ>+c
26c y
b + c + a   (6 +c)2-a2
b+c+a
-l _ a(b+c)
2bc + b2 + c2 - a2 2b^
(a + 6 + c)'
(6 + c + a) (6 + c — a)
b + c- a 2bc (a + b + c)2     (6 + c - a) • 26c • (a + b + c) 26c
přičemž 6 + c 7^ ±a, 6 7^ —c,
Úlohy
Zadání Následující výrazy upravte do nejjednoduššího možného tvaru. 1.
v    x) ' \y x
: 1
y
x
2.
1 \  / t2
l+í---:   : [t
1 - t
t - 1
3.
c3-d3): [c
d2
c + d
4.
g4-64 _ a2b2
ô2 / ' \   ~ ~b+h2
5.
a + 1 a — 1
a — 1 a + 1
a3 + 1 2a
a3 — 1     a — 1
6.
7.
m + n
Amn
m
n
m + n/    \m + n    n — m    mz — n
2mn
: 2:
a + a — 6
(a2 + 2a)2 - (2a+ 4)2 (a2 - 2a)2 - (2a - 4)2 ' V ' a2 + 5a + 6.
2
8.
x^+xy yz+xy
l+y
9.
x2 + 2xy + y2 — z2 y2 — x2 — z2 + 2xz z2 — x2 — y2 + 2xy   x2 + z2 + 2x2 — y2
10.
2 2
x y
1 1
1 1
(x + y)   \x2     y2J     (x + y)   \x y/
11.
Výsledky 1.
x
x-y
za podmínek x ^ 0 , í//0ai; / ±y .
2.
3.
-í za podmínek ŕ 7^ 0 a í 7^ 1
c2 — d2 za podmínky c ^ —d.
4.
a + 6 a — b
za podmínek a 7^ 0, & /0aa/6.
5.
6.
-1 za podmínky a/±l
m — n za podmínky m 7^ ±n
7.
a + 2 2a - 4
za podmínek a 7^ —3 aa / ±2
8.
9.
1 za podmínek x 7^ 0 , y 7^ 0, ai / ±y .
x + y — z x-y + z
za podmínek x — y + z 7^ 0 , —x + j/ + z/ 0ax + i/ + z/ 0
10.
11.
1 za podmínek x 7^ 0 , jz/Oax / — y :
1 za podmínek y 7^ 0 , x + rrí/z + 2^0ai/2:/-l
3