Kvadratické trojčleny 1 Rozklady na součin
Zadání   Rozložte zpaměti na součin následující trojčleny. 1.
2.
3.
4.
x2 + 5x - 24,   x2 - lOx + 16 ,   x2 + 8x - 20
a:2 + 15a: + 14 ,       - 3x - 40 ,   x2 + x - 30
2a:2 - 7x + 5 ,   3x2 + 5x -2,   2x2 + 7x - A .
3x2 - Ax - 4 ,   4a:2 + 13a: + 3 ,   Ax2 + Ax - 3 .
Výsledky 1.
x2 + 5x - 24 = (a: + 8) (a: - 3) ,   a:2 - 10a: + 16 = (x - 2) (x - 8) ,   a:2 + 8a: - 20 = (x + 10) (a: - 2)
2.
3.
4.
x2 + 15a: + 14 = (x + 14) (a: + 1) ,   x2 - 3x - 40 = (x - 8) (x + 5) ,   a:2 + x - 30 = (x - 5) (x + 6)
2a:2 - 7x + 5 = (2a: - 5) (x - 1) ,   3a:2 + 5a: - 2 = (3a: - 1) (x + 2) ,   2a:2 + 7x - A = (2x - 1) (x + 4)
3a:2-4a:-4 = (3a: + 2) (x - 2) ,   Ax2 + 13x + 3 = (Ax + 1) (x + 3) ,   4a:2 + 4a:-3 = (2a; + 3) (2x - 1) . Doplnění na čtverec
Doplněním na čtverec rozumíme úpravu využívající vzorce a2 ±2ab + b2 = (a ± b)2, při níž trojčlen obsahující jistou proměnnou ve dvou sčítancích (s kvadrátem a lineárně) převedeme do tvaru, kdy se tato proměnná v jisté závorce umocněné na druhou (v tzv. čtverci) vyskytuje už pouze jednou.
Řešený příklad   Doplňte na čtverec
-2:r2 + x-l
Řešení
2a:z + x - 1 = -2 ( a:2 - - ) - 1 = -2
Xx2
x--
4,
1
16
■21*-£2
Úlohy k procvičení   Doplňte na čtverec
x2 +x + l,    -x2 + 2a: + 1,    3a:2 - 9a: + 6 ,    V2x2 + VŠx + Vl8.
1 Případné náměty k tomuto textu prosím adresujte na e-mail akob@jaroska.cz. Děkuji Aleš Kobza (autor materiálu).
1
Výsledky
x + x + 1
x
-x1 + 2x + l
(x-lf + 2.
3x — 9x + 6 = 3 [x
\Í2x2 + VŠx + VTŠ = \Í2 (x + l)2 + 2\/2 .
2) 4
Doplnění na čtverec s následným rozkladem na součin
V následujících úlohách po doplnění na čtverec provedeme ještě úpravu, která využívá vzorce a2 — b2 (a — b) (a + b), po níž získáme původní výraz rozložený na součin.
Řešený příklad   Doplňte na čtverec a poté rozložte na součin
3x2 + 30x + 63 .
Řešení
3x2 + 30x + 63 = 3 (x2 + 10a:) + 63 = 3
(x + 5)2 - 25] + 63 = 3 (x + 5)2 - 12 (x + 5)2 - 4 = 3 (a; + 5 + 2) (x + 5 - 2) = 3 (x + 7) (x + 3) .
Úlohy k procvičení   Doplňte na čtverec a poté rozložte na součin
2x2 + 8x + 6 .
-x2 + 6x + 7,   2x2 + 16x + U.
-2x2 - 12x - 10 .
Výsledky
2x2 + 8x + 6 = 2 (x + 1) (x + 3)
+ 6x + 7
(x - 7) (x + 1)
2x2 + 12x-U = 2(x + 7) (x - 1) ,   -2x2 - 12x - 10 = -2 (x + 1)    + 5) .
Doplnění na čtverec s následným určením extrému
V následujících úlohách po doplnění na čtverec provedeme diskusi o existenci extrému (minima či maxima) příslušného výrazu (tj. jaký typ extrému nastává, v jakém bodě nastává a jaká je jeho hodnota).
Řešený příklad   Doplňte na čtverec a poté najděte extrém
V (x) = -2x2 + 12x + 3.
Řešení
V (x) = -2x2 + 12x + 3 = -2 (x2 - 6x
(x - 3)2 - 9
-2 (x - 3)2 + 21.
Výraz —2 (x — 3)2 je nekladný, pro x = 3 nabývá své maximální (nulové) hodnoty. Proto Vmax (3) = 21.
Úlohy k procvičení   Doplňte na čtverec a poté najděte extrém
Vx (x) = 2x2 - 8x + 5 ,   V2 (x) = -x2 + Wx + 7,   V3 (x) = 3x2 + 18x - 4 ,   V4 (x)
-2x2 - 16x + 5 .
Výsledky
K (x) = 2x2 - 8x + 5 = 2 (x - 2)2 - 3 V2 (x) = -x2 + 10x + 7=-(x- 5)2 + 32
V3 (x) = 3x2 + 18a: - 4 = 3 (x + 3)2 - 31 = y4 (x) = -2x2 - 16x + 5 = -2 (a; + 4)2 + 37
(2) = -3 , V2max (5) = 32 ,
yrnin (_g) = _31 ?
ľ4raM(-4) = 37.
2