Sušení rajčat
Zadání
Rajčata jsou tvořena z 94 % vodou, sušením (např. na slunci) v nich postupně obsah vody
snižujeme.
a) Jestliže dojde v jednom kilogramu čerstvých rajčat po sušení k úbytku vody o jeden
procentní bod, kolik kilogramů budou rajčata vážit? Výsledek nejprve odhadněte.
b) Určete předpis a definiční obor funkce, která při sušení jednoho kilogramu čerstvých
rajčat popisuje závislost aktuální hmotnosti rajčat na procentuálním podílu vody
v nich obsažené. Načrtněte graf této funkce.
c) Jak se předpis funkce z bodu b) změní, budeme-li sušit obecně m g čerstvých rajčat?
d) Z kolika kilogramů čerstvých rajčat připravíme
i) jeden kilogram sušených rajčat s 10% obsahem vody;
ii) 500 g sušených rajčat s 20% obsahem vody;
iii) 250 g sušených rajčat s 40% obsahem vody?
(Všechna procenta v této úloze jsou hmotnostní.)
Řešení a)
Jeden kilogram čerstvých rajčat je dle zadání tvořen 940 g vody a 60 g zbylých látek (tzv.
sušiny). Po usušení na podíl vody 93 % označme neznámou hmotnost rajčat x v gramech.
Protože sušina v rajčatech zůstává, váží v nich nyní voda x − 60 g, tedy
x − 60
x
=
93
100
.
Řešením této rovnice je x = 6000
7
.
= 857,14 g.
Řešení b)
Ze zadání má být nezávislá proměnná x procentuálním podílem vody v rajčatech a závislá
proměnná y má být aktuální hmotností rajčat (v gramech). Tedy platí
y − 60
y
=
x
100
, (*)
odkud vyjádřením y dostáváme předpis funkce f:
f : y = −
6000
x − 100
.
1
Definičním oborem této funkce je uzavřený interval ⟨0; 94⟩, kde krajní hodnoty odpovídají
rajčatům zcela zbaveným vody a čerstvým rajčatům s 94 % obsahem vody. Graf
funkce f leží na hyperbole, která je posunutým grafem funkce f0 : y = −6000
x
o 100 jednotek
ve směru kladné poloosy x (viz obrázek 1).
1000
60
94 100O
y
x
Obrázek 1: Graf funkce f
Řešení c)
Vycházíme ze vztahu (*) v řešení b), kde nahradíme číslo 60 (tj. hmotnost sušiny v gramech)
obecným vyjádřením 6
100
m, neboť sušina tvoří 6 % hmotnosti čerstvých rajčat. Vyjádřením
proměnné y pak dostáváme předpis funkce g (s parametrem m) jako
g: y = −
6m
x − 100
. (**)
Řešení d)
Odkážeme-li se na funkci g z řešení c), ptáme se, pro které m prochází graf funkce g bodem
B1[10; 1000] (v případě i), resp. bodem B2[20; 500] (v případě ii), resp. bodem B3[40; 250]
(v případě iii). Postupným dosazením souřadnic tří zmíněných bodů za x a y v předpisu (**)
a vyřešením rovnic dostáváme kořeny m1 = 15 000, m2 = 20 000
3
a m3 = 2500, tedy výsledky
15 kg (pro případ i), 20
3
.
= 6,67 kg (pro případ ii) a 2,5 kg (pro případ iii).
2