Ideální vstupné na slavnosti
Zadání
Pořadatel slavností chce určit vstupné na slavnosti tak, aby jeho zisk byl maximální. Ví,
že při stávající ceně 260 Kč může očekávat návštěvnost asi 1 200 lidí. Z minulých let také
odhaduje, že při nárůstu ceny vstupenky o 20 korun přijde asi o 150 návštěvníků méně,
zatímco při poklesu ceny vstupenky o 20 korun přijde naopak o 150 návštěvníků více. Dále
lze předpokládat, že každý návštěvník utratí za nápoje v průměru asi 120 korun, což pro
pořadatele znamená zisk 60 korun. Kapacita prostoru, na kterém se slavnosti odehrávají,
činí 2 100 míst.
a) Při jaké ceně by pořadatel dosáhl maximálního zisku?
b) O kolik je maximální zisk vyšší, než by byl zisk při původní ceně?
c) Při jaké ceně vstupenek by pořadatel prodal všechny vstupenky a jaký by byl jeho
zisk v porovnání se stávající cenou?
Řešení a)
Předpokládejme, že pořadatel změní cenu vstupenky o x · 20 Kč.1
Jedna vstupenka tak
bude stát (260 + 20x) Kč a pořadatel bude dle zadání očekávat návštěvnost (1200 − 150x)
lidí. Za každého návštěvníka ještě pořadatel očekává zisk 60 korun. Pro celkový zisk y tak
dostáváme vztah
y = (260 + 20x)(1200 − 150x)
zisk za vstupenky
+ 60 · (1200 − 150x)
zisk za nápoje
Roznásobením a úpravou pravé strany dostáváme funkci f : y = −3 000x2
− 24 000x +
+ 384 000, jejímž grafem je konkávní parabola. Naším úkolem je nyní určit maximum této
funkce.
Víme, že graf funkce f protíná osu x v bodech odpovídajících kořenům kvadratického
polynomu v předpisu funkce.2
Ze symetrie paraboly pak plyne, že první souřadnice vrcholu
je aritmetickým průměrem těchto kořenů. Tyto kořeny nyní určíme:
−3 000x2
− 24 000x + 384 000 = 0
x2
+ 8x − 128 = 0
(x − 8)(x + 16) = 0
Dostáváme kořeny x1 = −16 a x2 = 8, tedy xmax = −16+8
2
= −4. Tomu odpovídá cena
180 Kč za jednu vstupenku, což je odpověď na první část úlohy.
1
Např. pro x = 3 to bude znamenat zdražení o 60 Kč, pro x = −0,5 slevu o 10 Kč.
2
Hypoteticky by mohla být celá parabola pod osou x, což ale není tento případ, neboť f(0) > 0. Proto
musí být část paraboly nad osou x.
1
Řešení b)
Odpověď na druhou část úlohy je rozdílem f(−4) − f(0). Obě funkční hodnoty proto
určíme:
f(−4) = −3 000 · (−4)2
− 24 000 · (−4) + 384 000 = 432 000
f(0) = −3 000 · 02
− 24 000 · 0 + 384 000 = 384 000
Rozdíl obou částek je pak 48 000 Kč.
Řešení c)
V poslední části úlohy předpokládáme, že na slavnosti přišel maximální možný počet lidí,
tj. 2 100. Z úvodního odstavce víme, že při změně ceny vstupenky o x · 20 Kč bude činit
návštěvnost (1200 − 150x) lidí. Dosadíme a vyřešíme jednoduchou lineární rovnici:
1200 − 150x = 2100
x = −6
Tomu odpovídá cena 140 Kč za jednu vstupenku. Celkový zisk pak odpovídá f(−6), kterou
určíme:
f(−6) = −3 000 · (−6)2
− 24 000 · (−6) + 384 000 = 420 000
Rozdíl mezi tímto a stávajícím ziskem (z části b) víme, že činí 384 000 Kč) je 36 000 Kč.
f
O−4−16 8 x
y
432 000
384 000
Obrázek 1: Graf funkce f
Poznámka: Zadání úlohy vychází z jedné z neřešených úloh sbírky [1], str. 50, číslo 2.29.
V databázi lze nalézt také podobné úlohy s taxislužbou (kde je odlišná interpretace výsledků)
a kolotočem (kde žáci naopak analyzují předložený model).
2
Zdroje
[1] Robová J. et al. (2014). Sbírka aplikačních úloh ze středoškolské matematiky. Praha:
Prometheus.
3