Matičky v sáčku
Zadání
Matička má tvar pravidelného šestibokého hranolu o výšce 2 mm a délce hrany podstavy
4 mm, do kterého je naskrz vyvrtán válcový otvor o poloměru 2,5 mm. Jestliže jsou matičky
vyrobeny ze zinku o hustotě 7,13 g cm−3
, a váhou v obchodě navážíme v papírovém sáčku
500 g takových matiček, kolik jich v sáčku přibližně máme?
Řešení
K řešení úlohy potřebujeme vypočítat hmotnost jedné matičky; protože známe hustotu
materiálu, ze kterého je matička vyrobena, musíme nejdříve určit její objem. Ten je rozdílem
objemů pravidelného šestibokého hranolu o délce strany podstavy a = 4 mm a výšce v =
= 2 mm a rotačního válce stejné výšky s poloměrem podstavy r = 2,5 mm (viz obrázek 1
vlevo). Objem prvního z řečených těles označme Vh, objem druhého Vv.
Určeme nejdříve Vh. Podstavu hranolu, pravidelný šestiúhelník, rozdělme třemi úhlopříčkami
na šest shodných rovnostranných trojúhelníků a dále rozdělme jeden z těchto
trojúhelníků výškou procházející středem S šestiúhelníka na dva shodné pravoúhlé trojúhelníky.
Tuto výšku označme va, její patu P a zbývající vrchol trojúhelníka pravoúhlého
trojúhelníka A (viz obrázek 1 vpravo). Obsah podstavy je pak zřejmě dvanáctinásobkem
obsahu trojúhelníku APS, který spočítáme užitím Pythagorovy věty:
S(△APS) =
a
2
· va
2
=
a
4
· a2 −
a
2
2
=
a2
√
3
8
.
a Pa
2
a
va
v
r
A
S
Obrázek 1: Axonometrický a pravoúhlý průmět matičky
1
Nyní určíme objem Vh:
Vh = 12 · S(△ABC) · v =
3va2
√
3
2
= 48
√
3 mm3
.
Dosazením do vztahu pro výpočet objemu Vv válce dostáváme
Vv = πr2
v =
25
2
π mm3
,
a proto pro objem matičky V platí
V = Vh − Vv = 48
√
3 −
25
2
π
.
= 43,87 mm3
.
Užitím údaje o hustotě ϱ zinku určíme dále hmotnost jedné matičky
m = ϱ · V = 7,13 · 43,87 · 10−3 .
= 0,313 g,
a konečně určíme přibližný počet matiček N vydělením celkové hmotnosti plného sáčku
hmotností jedné matičky (s ohledem na kontext úlohy počet zaokrouhlíme na desítky):
N =
500
0,313
.
= 1600.
V sáčku o hmotnosti 500 g se nachází přibližně 1600 matiček.
2