Zvědavý skladník
Řešením ryze matematických problémů dostáváme přesné výsledky. Používáme-li však matematiku
k řešení problémů světa kolem nás, dosáhneme absolutní přesnosti odpovědi jen
zřídka. Přibližnost je někdy způsobena už jen tím, že při svých úvahách reálnou situaci
zjednodušíme, jindy jsou pouze přibližně stanovena vstupní data (např. měřit délky nebo
čas umíme jen s omezenou přesností) nebo je absolutně přesný výsledek reálně nedosažitelný
a musí se zaokrouhlit. (Vezměme si jako příklad úlohu s papírovou čepicí, kde musí
rodiče čepici vyrobit z kruhu o poloměru přesně 52
2π
cm.)
S chybami vzniklými při zaokrouhlování musí počítat zejména uživatelé výpočetní techniky,
která s čísly s nekonečným desetinným rozvojem pracovat neumí. Čísla
√
2 nebo π
tak počítač chápe jako čísla s konečným (byť velkým) počtem desetinných míst. I čísla jako
0,1 však počítač zaokrouhluje, neboť se všemi čísly pracuje ve dvojkové poziční soustavě
a platí
(0,1)10 = (0,00011)2.
Při opakovaném počítání se zaokrouhlenými hodnotami se vzniklé chyby mohou kumulovat.
Tak i relativně malé zaokrouhlení vstupu programu může na jeho výstupu vést k významným
chybám. 25. února 1991 třeba takové chyby způsobily selhání protiraketového systému
Patriot v Saúdské Arábii, které vedlo k zásahu americké základny iráckými raketami. Při
tomto jediném útoku zemřelo 28 vojáků.1
Abychom z málo zaokrouhlených vstupních dat dostali významně odlišný výsledek,
nemusíme nutně s daty opakovaně počítat. O tom se přesvědčíme v následující sérii úloh, ve
kterém využijeme tzv. zaokrouhlování na určitý počet platných číslic. Kladné reálné číslo r
zaokrouhlíme na n platných číslic následujícím způsobem: vyjádříme r ve tvaru a·10b
, kde
a ∈ R, a ∈ ⟨1, 10) a b ∈ Z, a následně zaokrouhlíme číslo a na n − 1 desetinných míst
podle standardních pravidel pro zaokrouhlování. Např. čísla r = 31,258 16 a s = 0,023 123 6
zaokrouhlíme na čtyři platné číslice následujícím způsobem:
r = 31,258 16 = 3,125 816 · 101 .
= 3,126 · 101
= 31,26
s = 0,023 123 6 = 2,312 36 · 10−2 .
= 2,312 · 10−2
= 0,023 12.
Zadání
Úlohy jsou inspirovány podobně formulovanou úlohou na stranách 9–15 publikace [1].
Úloha 1
Vedoucí skladu léčiv obdržel fakturu za objednané dva druhy vakcín, celkem za dodávku
597 balení vakcín Ixodinum proti encefalitidě a 386 balení vakcín Nopolio proti obrně bylo
zaplaceno 401 950 Kč. Při vstupní kontrole však bylo zjištěno, že 86 balení Ixodinum a 19
1
Podrobnosti viz [2, str. 208–210].
1
balení Nopolio je prošlých a musí být vráceny. Při reklamaci dostal za vrácené léky zpět
39 600 Kč.
Protože je zvědavý, chce si spočítat, jaká je nákupní cena jednoho balení obou vakcín.
Nemá však na skladě kalkulačku, a proto se spokojí s přibližným řešením. Všechny údaje,
které zná, před výpočtem zaokrouhlí na jednu platnou číslici.
Jak moc se bude jeho výsledek lišit od skutečné nákupní ceny? Pro oba druhy vakcín
určete absolutní rozdíl vypočítané a skutečné ceny i relativní chybu v procentech.
Úloha 2
Po pár měsících přišla do skladu jiná dodávka, a to 504 balení vakcín Antiflu proti chřipce
a 81 balení vakcín Kontradift proti záškrtu. Za dodávku bylo zaplaceno 198 900 Kč. Při
vstupní kontrole bylo zjištěno, že 98 balení Antiflu a 18 balení Kontradiftu je prošlých, při
vrácení dostal zpět 40 700 Kč.
Vedoucí skladu zopakoval svůj postup a spočítal si od ruky přibližnou nákupní cenu
obou léků. Tentokrát se však nestačil divit. Z čeho vycházel jeho údiv a jak moc se jeho
výsledek od skutečných cen lišil tentokrát?
Úloha 3
Soustavy z obou předchozích úloh znázorněte graficky ve vhodném softwaru (např. v GeoGebře).
Porovnáním znázornění soustav z úlohy 1 se znázorněním soustav z úlohy 2 vysvětlete
rozdíl v přesnostech výsledků obou úloh.
Řešení
Úloha 1
Vyřešme úlohu nejprve bez zaokrouhlování. Označme x cenu za jedno balení Ixodinu a y
cenu za jedno balení Nopolio. Informace v zadání vedou na soustavu dvou lineárních rovnic
o dvou neznámých
597x + 386y = 401 950
86x + 19y = 39 600,
kterou vyřešíme a dostáváme skutečnou nákupní cenu balení Ixodinu 350 Kč a cenu balení
Nopolio 500 Kč.
Po zaokrouhlení koeficientů řešíme soustavu
600x′
+ 400y′
= 400 000
90x′
+ 20y′
= 40 000,
jejímž řešením je uspořádaná dvojice 1000
3
; 500 . Výsledky úlohy shrneme v tabulce 1;
relativní chybu přitom počítáme jako podíl rozdílu cen a skutečné ceny za jedno balení.
2
skutečná cena odhad ceny rozdíl relativní chyba
Ixodinum (1 balení) 350 Kč 1000
3
.
= 333 Kč 17 Kč 17
350
.
= 4,9 %
Nopolio (1 balení) 500 Kč 500 Kč 0 Kč 0
500 = 0 %
Tabulka 1: Řešení úlohy 1
Úloha 2
Úlohu budeme řešit stejně jako předchozí, tentokrát označíme x cenu jednoho balení Antiflu
a y cenu jednoho balení Kontradiftu. Tyto skutečné ceny jsou řešením soustavy
504x + 81y = 198 900
98x + 18y = 40 700,
odkud dostáváme x = 250 a y = 900. Po zaokrouhlení koeficientů řešíme soustavu
500x′
+ 80y′
= 200 000
100x′
+ 20y′
= 40 000,
jejímž řešením je x′
= 400 a y′
= 0. Z řešení vedoucího skladu se tedy zdá, že druhý lék
byl do skladu dodán zadarmo, přitom je ve skutečnosti 2x dražší než první lék. Rozdíl cen
i absolutní chybu zaneseme opět do tabulky (viz tabulka 2).
skutečná cena odhad ceny rozdíl relativní chyba
Antiflu (1 balení) 250 Kč 400 Kč 150 Kč 150
250 = 60 %
Kontradift (1 balení) 900 Kč 0 Kč 900 Kč 900
900 = 100 %
Tabulka 2: Řešení úlohy 2
Úloha 3
Označme p1, p2 (resp. q1, q2) jednotlivé přímky dané rovnicemi soustavy s nezaokrouhlenými
koeficienty v úloze 1 (resp. v úloze 2), jmenovitě
p1 : 597x + 386y = 401 950
p2 : 86x + 19y = 39 600
q1 : 504x + 81y = 198 900
q2 : 98x + 18y = 40 700.
Přímky dané odpovídajícími rovnicemi se zaokrouhlenými koeficienty označme p′
1, p′
2,
q′
1 a q′
2 a dále označme body P ∈ p1 ∩ p2, P′
∈ p′
1 ∩ p′
2, Q ∈ q1 ∩ q2 a Q′
∈ q′
1 ∩ q′
2. Grafické
znázornění dvojice soustav pro každou úlohu zvlášť je vidět na obrázku 1.
3
1000
1000
2000
p1
p′
1
p2
p′
2
P [350; 500]
P′ 1000
3
; 500
x
y
O
(a) Úloha 1
1000
1000
2000
q2
q′
2
q1
q′
1
x
y
O
Q [250; 900]
Q′
[400; 0]
(b) Úloha 2
Obrázek 1: Grafické znázornění soustav
Porovnáním obou grafických znázornění jde vidět, že v případě úlohy 2 je dvojice přímek
q1 a q2 téměř rovnoběžná. Při zaokrouhlování koeficientů rovnice se obecně poloha přímek
vůči souřadnému systému mění a mění se také poloha průsečíku. Změna polohy průsečíku
je přitom daleko větší u přímek, které jsou téměř rovnoběžné. Z obrázku jde také vidět,
proč bude zaokrouhlením v druhé úloze daleko více ovlivněna druhá souřadnice průsečíku
(tj. cena vakcíny Kontradift), směrnice přímek q1 a q2 je totiž menší než −1.
Literatura
[1] Biermann K., Grötschel M., Lutz-Westphal B. (2010). Besser als Mathe: Moderne angewandte
Mathematik aus dem MATHEON zum Mitmachen. Berlin: Vieweg+Teubner.
[2] Yates K. (2021). Matematika pro život. Kniha Zlín.
4