Hyperbolická navigace
Pokroky na poli elektrotechniky umožnily vývoj nových navigačních systémů založených
na přenosu elektromagnetického vlnění. Příkladem takového systému je námořní navigace
LORAN-C, která byla vyvinuta za druhé světové války v USA. Plavidlo zde přijímá synchronizovaný
signál z dvojice vysílačů. Na základě zpoždění přijímaného signálu, které
odpovídá rozdílu vzdáleností mezi plavidlem a vysílači, pak systém určí hyperbolu, na
které dotyčné plavidlo musí ležet. Zpoždění signálu z jiné dvojice stanic pak určuje druhou
hyperbolu, na které plavidlo leží, a tedy leží v průsečíku těchto hyperbol.
Zadání (úloha 1)
V krajině jsou rozmístěny tři vysílače V1, V2 a V3. Známé vzdálenosti zachycuje obrázek 1.
V1V2
V3
48 km 12 km
36 km
Obrázek 1: Zadání úlohy 1
Adamova turistická navigace přijme signál ze všech tří vysílačů. Jestliže signál z vysílače
V2 přijme ve stejnou dobu jako z vysílače V1 a z vysílače V3 přijme signál ve stejnou dobu
jako z vysílače V1, kde se Adam nachází? Polohu určete v souřadnicích vůči vámi zvolené
soustavě. Předpokládejte, že signál urazí 300 000 km za sekundu.
Řešení (úloha 1)
Nejprve v obrázku zvolíme kartézskou soustavu souřadnic. Protože je Adam stejně vzdálen
od vysílače V1 i V2, nachází se jeho poloha na ose úsečky V1V2. Protože totéž platí i pro
dvojici vysílačů V1 a V3, je jeho poloha průsečíkem os úseček V1V2 a V1V3. Pro zjednodušení
výpočtu zvolíme soustavu tak, aby osa úsečky V1V2 byla osou y, tedy počátek souřadnic O
bude střed úsečky V1V2, kladný směr osy x bude určovat polopřímka OV1 a kladný směr
1
−24 −12 12 24 36
12
24
36
V1
O
V2
V3
x
y
Obrázek 2: Zavedení soustavy souřadnic
osy y zvolíme tak, aby byla druhá souřadnice bodu V3 kladná. Jednotky na obou osách
budou odpovídat vzdálenosti 1 km. Situaci znázorňuje obrázek 2.
Osa úsečky V1V2 splývá s osou y, k řešení úlohy tak musíme určit její průsečík s osou
úsečky V1V3. Tu označíme o a sestavíme její rovnici v obecném tvaru. Zvolme normálový
vektor −→no = 1
12
·
−−→
V1V3 = (1; 3) a dále z toho, že střed S úsečky V1V3 se souřadnicemi [30; 18]
leží na přímce o, odvodíme rovnici přímky
o: x + 3y − 84 = 0.
Průsečík osy y s přímkou o musí mít první souřadnici nulovou. Po dosazení x = 0 do
rovnice přímky o vypočítáme druhou souřadnici průsečíku y = 84
3
= 28 a určíme Adamovu
polohu; v zadané soustavě souřadnic je to bod A [0; 28]. Řešení je znázorněno na obrázku 3.
−24 −12 12 24 36
12
24
36
V1
S
o
A [0; 28]
O
V2
V3
x
y
Obrázek 3: Řešení úlohy 1
2
Zadání (úloha 2)
Ve stejném rozmístění vysílačů jako v předchozí úloze přijme Adamova turistická navigace
signál z vysílače V2 o 80 µs později než z vysílače V1 a z vysílače V3 přijme signál ve stejnou
dobu jako z vysílače V1. Určete Adamovu polohu v souřadnicích vůči vámi zvolené soustavě
souřadnic.
Řešení (úloha 2)
Nejprve opět zvolíme kartézskou soustavu souřadnic. Volbu zdůvodníme takto: protože je
Adam stejně vzdálen od vysílače V1 i V3, nachází se jeho poloha opět na ose úsečky V1V3.
Skutečnost, že z vysílače V2 přijme jeho navigace signál o 80 µs později než z vysílače V1
znamená, že je od vysílače V2 o 24 km dále. Jeho poloha se proto také nachází na větvi
hyperboly h s ohnisky V1 a V2 (kde rozdíl vzdáleností Adama od V1 a V2 je roven právě
24 km). Proto je výhodné umístit počátek soustavy souřadnic do středu úsečky V1V2, aby
měla hyperbola h co nejjednodušší rovnici.
Soustavu souřadnic tak volíme totožnou jako v předchozí úloze a označme neznámou
polohu Adama A. Z předchozí úlohy také převezmeme označení přímky o (osa úsečky V1V3)
a bodu S (střed úsečky V1V3). Přímku o vyjádříme parametricky; její směrový vektor −→uo
musí být kolmý na normálový vektor −→no = (1; 3), zvolme třeba −→uo = (3; −1):
o: X = S + t · −→uo
x = 30 + 3t
y = 18 − t, t ∈ R.
Určeme nyní rovnici hyperboly. Jelikož jsou body V1 a V2 ohniska hyperboly h, je
středem hyperboly bod O a její excentricita e je rovna |OV1|, tedy e = 24. Dále, protože
je rozdíl |AV1| − |AV2| = 24 dvojnásobkem hlavní poloosy hyperboly, je hlavní poloosa
a rovna 12. Délku vedlejší poloosy b vypočítáme dosazením do vztahu b =
√
e2 − a2 =
=
√
576 − 144 = 12
√
3. Můžeme tak napsat rovnici hledané hyperboly
h :
x2
144
−
y2
432
= 1.
Bod A leží na její „pravé“ větvi, tj. nutně musí být jeho první souřadnice xA > 0.
Vypočítejme nyní souřadnice průsečíků přímky o a hyperboly h. Dosazením parametrických
rovnic úsečky do rovnice hyperboly tak dostáváme
(30 + 3t)2
144
−
(18 − t)2
432
= 1
3 · (30 + 3t)2
− (18 − t)2
= 432
13t2
+ 288t + 972 = 0
3
Kořeny této kvadratické rovnice jsou t1 = −54
13
a t2 = −18. Dosadíme tyto kořeny postupně
do parametrických rovnic:
x1 = 30 + 3 · −54
13
= 228
13
y1 = 18 − −54
13
= 288
13
A1
228
13
; 288
13
x2 = 30 + 3 · (−18) = −24
y2 = 18 − (−18) = 36
A2 [−24; 36]
Bod A2 však nevyhovuje podmínce xA > 0 (leží na druhé větvi hyperboly), tedy dostáváme
jedinou možnou Adamovu polohu, a to A 228
13
; 288
13
. Řešení je znázorněno na obrázku
4.
−24 24 36
12
24
36
−12 12 228
13
288
13
V1
S
h
o
A
O
V2
V3
x
y
Obrázek 4: Řešení úlohy 2
Poznámka. Jestliže by Adam nebyl stejně vzdálený od přijímačů V1 a V3, řešit úlohu by znamenalo
hledat průsečíky větví dvou hyperbol. To je však pro zadanou polohu přijímačů nad rámec
středoškolské matematiky.
Literatura
• Vondrák J. (2013). Historie navigace – od kvadrantu k GNSS. Pokroky matematiky,
fyziky a astronomie, 58 (1), 11–20.
4