1
Local Polynomial Interpolation
Radial Basis Function
13.3.2024
2
(opakování)Global polynomial interpolation (GPI)
̶ Do výpočtu odhadovaných hodnot jsou zahrnuty všechny vstupní body. Povrch je tak
hladký (jako když položíme kus papíru a vložíme jej mezi vyvýšené body)
̶ Problém je, že rovný papír nedokáže zachytit např. údolí, proto umožníme papír „ohnout“
̶ Plochá rovina (žádné ohnutí) je polynom prvního řádu (lineární)
̶ Jedno ohnutí je polynom druhého řádu (kvadratický)
̶ Dvě ohnutí je polynom třetího řádu (kubický) atd.. až do 10 (v ArcGis)
3
̶ Nevýhoda: Nezachycuje lokální změny.
̶ Nicméně, málokdy se stane, že bude „papír“ procházet skutečnými
měřenými body, proto je GPI nepřesná (některé body budou pod jiné nad)
̶ Využití: Pokud se oblast jen velmi málo mění
4
Local Polynomial Interpolation (LPI)
̶ Zatímco GPI přizpůsobuje polynom celému povrchu, LPI jich vytváří několik
(každý v rámci specifikovaných překrývajících se sousedství definovaných
pomocí velikosti, tvaru, počtu sousedů a konfigurace sektoru)
̶ Více polynomických rovin dokáže povrch zachytit přesněji
5
̶ Lokálními body (v rámci sousedů) se prokládá rovina dle určitého n-tého
polynomu
̶ Lokální - deterministická - aproximující – spojitá
̶ Výhoda: Zachycuje lokální změny.
̶ Použití: Pokud je povrch více členitý, hodí se použít právě LPI, než GPI.
Data musí být rovnoměrně rozmístěné. Data v rámci sousedství mají
normální rozložení.
6
RBF (Splinové funkce)
̶ Série přesných interpolačních technik; to znamená, že povrch musí projít
každou naměřenou hodnotou vzorku
̶ Natahování membrány přes naměřené body - tvorba co nejhladšího
povrchu. Tvar membrány závisí na použité funkci. To, jak se membrána
natahuje přes vstupní body určují její funkce.
̶ Existuje pět základních RBF funkcí:
̶ Completely Regularized Spline - parametr váhy ovlivňuje křivost. Vyšší číslo představuje menší křivost.
̶ Thin Plate Spline - základní funkce
̶ Spline with Tension - vyšší váha představuje hrubší strukturu modelovaného jevu. Odhadované jevy se
více přimykají k intervalu vstupních dat.
̶ Multiqadratic - čím větší je hodnota R, tím více je shlazený výsledný interpolovaný povrch.
̶ Inverse Multiqadratic
7
̶ Výběr funkce určí, jakým způsobem se bude tzv. membrána nasazovat na data
̶ Je to přesná interpolace (na rozdíl od LPI nebo GPI)
̶ Oproti IDW dokáže vypočítat hodnoty vyšší či nižší, než jsou vstupní data.
Profil IDW Profil RBF
8
̶ Optimální parametry jsou určovány pomocí cross-validace
̶ Lokální - deterministická - exaktní – spojitá
̶ Nevýhoda: Metoda je citlivá na lokální extrémní/odlehlé hodnoty.
̶ Použití: Produkuje hladký povrch z velkého množství vstupních bodů pro málo se
měnící prostředí. Nepoužívat, když jsou velké změny na krátkou vzdálenost, nebo
když jsou vstupní data nepřesná (mají odchylku v měření).
9
Cvičení
̶ Zadání: Proveďte průzkumovou analýzu pro novou datovou sadu. Dle potřeby využijte
nástrojů histogramu, kvantilového grafu, voronoi map, trend analysis a semivariogramu (u
tohoto nástroje bude asi problém s přílišnou složitostí výpočtu, jelikož zobrazuje všechny
vztahy mezi každými dvěma body datového souboru, což znamená, že množství těchto
bodů roste exponenciálně).
10
Postup při zpracování
̶ 1) Pro obě datové sady si vytvořte 2 soubory dat: trénovací (pro tvorbu interpolace, 80 %
dat) a validační (pro validaci, 20 % dat). K tomuto použijte nástroje Subset Features.2)
Prozkoumejte vytvořenou vrstvu pomocí průzkumové analýzy ESDA. Projděte si všechny
nástroje (histogram, qq graf...).
̶ 2) Pomocí Geostatistical Wizard si vyzkoušejte obě zmíněné metody interpolace. Jejich
principy jsou dobře a stručně popsány například v Using Geostatistical Analyst (pro LPI na
stranách 123-125 a pro RBF na stranách 126-129).
11
̶ 3) Při tvorbě povrchů zkuste experimentovat s nastavením jednotlivých
parametrů (to, co tyto parametry ovlivňují je vždy popsáno při zakliknutí daného
parametru dole - viz screenhot).
̶ ! Tomuto kroku věnujte zvýšenou pozornost, zkuste pochopit jakým způsobem
dané metody fungují a vyzkoušejte si, jak se různé nastavení parametrů projeví
na vzhledu výsledného povrchu a jeho RMSE - Root Mean Square Error.
12
̶ 4) Finální spojité povrchy validujte pomocí vybraných testovacích dat pomocí
nástroje GA Layer To Points.
̶ Vyzkoušejte: Zkuste si chybu nějakým způsobem vizualizovat - například přes
symobology dané vrstvy nebo třeba opětovnou interpolací (ale tentokrát
interpolujeme atribut "error"). Dobrým způsobem může být například "graduated
symbols" v symobology - zde si ale nějakým způsobem musíme poradit s tím, že
defaultně nám to záporné chyby bude ukazovat nejmenšími symboly a kladné
největšími - to však nebude příliš intuitivní. Můžeme si tedy například tuto vrstvu
duplikovat, vypočítat si absolutní hodnoty chyb a k nim poté přidat labels z původní
vrstvy (tak abychom viděli jestli se jedná o zápornou nebo kladnou chybu).
̶ 5) Připomeňte si metody GPI a IDW a porovnejte si výsledky.
13
Seminární práce 1
̶ Vstupní data
̶ Vstupními daty pro první seminární práci je soubor typu Shapefile. Vypracování úkolů
proveďte v libovolném programu (ArcMap, QGIS, SAGA-GIS, atd. - musí být ale splněny
podmínky zadání).
̶ Soubor Brno_LST_trenovaci.shp obsahuje data o povrchové teplotě v Brně. Data byla
pořízena leteckým hyperspektrálním senzorem TASI-600, ve vlastnictví ÚVGZ CzechGlobe
(Oddělení leteckých činností | Oddělení leteckých činností (czechglobe.cz))
dne 31. 8. 2019 mezi 9 až 12 hodinou UTC. Nad výsledným rastrem byly vygenerovány
body a byla jim propsána jeho hodnota. Povrchová teplota je uvedena v atributu LST
(land surface temperature) a je ve stupních Celsia.
̶ Soubor Brno_LST_Brno_validace.shp obsahuje data o povrchové teplotě v Brně určená
k validaci. Jedná se o část odstraněných bodů. Povrchová teplota je uvedena v atributu
LST.
14
̶ Zadání
̶ 1) Proveďte podrobnou průzkumovou analýzu datového souboru.
̶ 2) Poté proveďte interpolaci povrchového teplotního ostrova města Brna třemi
základními interpolačními metodami: Inverse Distance Weighting (IDW), Radial
Basis Functions (RBF) a Local Polynomial Interpolation (LPI). Pro všechny
interpolace proveďte co nejlepší nastavení na základě průzkumové analýzy.
Pokuste se docílit co nejnižší hodnoty RMSE. Zvolené parametry jednotlivých
interpolací, včetně komentáře, uveďte do textu a nastavení podpořte argumenty.
Součástí textu budou výsledky všech interpolací a jejich komentář.
̶ 3) Proveďte validaci výsledků pomocí nezávislého datasetu (ukázka atributové
tabulky validace v protokolu - statistika z ní). Tyto výsledky okomentujte a vytvořte
k nim vizualizaci. Jednotlivé interpolace mezi sebou porovnejte.
15
̶ Struktura textu
̶ Práce bude jasně strukturovaná (úvod, zpracování, závěr; formální a typografická
úprava, číslování příloh, atd.) a je vhodné, abyste popsali každý krok, který jste
udělali. Když použijete nějaké nastavení, tak napište proč. Stejně tak u komentářů
– když vyslovíte závěr, podpořte jej fakty. Do závěru shrňte poznatky z celé práce.
Není nutné dělat pro každý grafický výstup mapu, stačí výsledek
interpolace/validace a legenda.
̶ TERMÍN ODEVZDÁNÍ 26. 03. 2024 23:59