Gaussovo zobrazeni, zobrazení UTM
Matematická kartografie
1. Základní charakteristiky zobrazení
2. Zobrazovací rovnice
3. Inverzní funkce k zobrazovacím rovnicím
4. Meridiánová konvergence
5. Zákony zkreslení
6. Mezipásmové transformace
2
1
ZÁKLADNÍ CHARAKTERISTIKY
ZOBRAZENÍ
3
mm	
Základní charakteristiky žobre	ízení
• Dosud spíše teorie, i když řada uvedených zobrazení se reálně používá.
• Ta nejpoužívanější ale uvedena nebyla.
• Který z dříve zmíněných typů je Gaussovo zobrazení?
• Konformní zobrazení referenčního elipsoidu přímo do roviny.
• Nej kratší cesta -neznamená to ale, že je odvození jednodušší.
REFERENČNÍ PLOCHA
ZOBRAZOVACÍ ROVINA
ZEMEPISNE SOUŘADNICE NA REFERENČNÍ PLOŠE
ZEMEPISNE SOUŘADNICE NA REFERENČNÍ KOULI
KARTOGRAFICKÉ SOUŘADNICE NA REFERENČNÍ KOULI
POLÁRNI SOUŘADNICE
PRAVOÚHLE SOUŘADNICE
6
Základní charakteristiky zobrazení
• Někdy nazýváno též Gauss-Krúgerovo.
• Konformní zobrazení referenčního elipsoidu přímo do roviny.
• Bez použití referenční koule. U, V, R tedy ve vzorcích nenajdeme.
• Matematicky definováno.
• Přibližná geometrická představa: postupné zobrazování plochy elipsoidu na „soustavu válců" v rovníkové poloze.
válec
7
Základní charakteristiky zobrazení
• Používá se pro řadu státních mapových děl včetně vojenských.
• Může být použito s různými elipsoidy - Besselův (S-1946), Krasovského...
• Může být použito s různými šířkami pásů - 6° (1:25000 a menší měřítka), 3° (pro větší měřítka). Čím užší pás, tím menší zkreslení.
• Na českých vojenských Topografických mapách (systém S-1942) nahrazeno od roku 2006 zobrazením UTM (systém WGS 84).
• UTM je mírně pozměněná varianta Gaussova zobrazení.
Základní charakteristiky zobrazení
Pokrytí Země šestistupňovými pásy Gaussova zobrazení. Každý pás je vlastně samostatným zobrazením.
180' 156°W 132°W 108°W 84°W 66°W 48°W 30°W 12°W 6°E 243E 42'E 60°E 78°E 96°E 1143E 138DE 162° E 180' J M i I I I I I I I I I I I I H I I I M M I \    I I I I I I I I I I I I I I I I 1 I I I I 1 I I I I I I I I I I L
Základní charakteristi
Gaussovo
4 XA
UTM WA
84°30'
Každý pás má samostatnou soustavu rovinných souřadnic.
Osa x nahoru, osa y doprava. UTM používá osy N a E.
Počátek se posouvá o 500 km na západ. K souřadnici Y se přičte 500000 metrů.
Když je potřeba zobrazit jižní polokouli, tak UTM posouvá počátek i na jih - o 10000 km.
U Gaussova zobrazení se zobrazuje i 90° z.š., v UTM ne.
10
Základní charakteristiky zobrazení
Pásy jsou číslovány arabskými číslicemi:
• od Greenwichského poledníku směrem na východ (Gaussovo),
• od poledníku 180° opět východním směrem (UTM).
Čísla pásů se používají jako součást jedné ze souřadnic (souřadnice Y vS-1942):
•  V S-1942 na území ČR souřadnice Y začínají buďto cifrou 3 nebo 4 -číslo poledníkového pásu počítáno od Greenwich.
- Př. Y = -123 700 m (západně od osového poledníku) ve 4. pásu.
- Přičte se 500 000 => 376 300
- Přidá se číslo pásu => 4 376 300 m
11
Základní charakteristi
Jak dlouhý je 1°z.d. na rovníku?     111,... km Minimální a maximální hodnoty souřadnic v jednom pásu
<p	xv Gaussově zobr. [km]	A/vUTM [km]	yv Gaussově zobr. [km]	yv Gaussově zobr. vč. konst. 500 km [km]	EvUTM [km]	Ev UTM vč. konst. 500 km [km]
0° (rovník)	0	0	0 až + 334 (šířka pásu je asi 667 km)	166 až 834	0 až + 333,8	166,2 až 833,8
50° (cca poloha ČR)	5541	5538,8	0 až ±215	285 až 715	0 až ±214,8	285,2 až 714,2
90° (sev. pól)	10002	9998	0	500	0	500
• 6° pás = přibližně 667 km.
• Max. souřadnice x a y u Gaussova se liší od max. souřadnic N a E u UTM.
•  Válec zobrazení UTM je jakoby „zmenšený"
12
Základní charakteristiky zobrazení
500 0 50010001500
Osový poledník (střední poledník pásu) a rovník se zobrazují jako navzájem kolmé přímky. Ostatní poledníky a rovnoběžky jsou křivky k nim symetrické. Jejich zakřivení lze spočítat -vzorce ve skriptech.
-500 0  500 10001500
13
Universal Transverse Mercator je mírně pozměněná varianta Gaussova zobrazení s upraveným zkreslením.
Dříve se používalo i s jinými elipsoidy, dnes se používá elipsoid WGS84.
Používá se pro území od 84° severní zeměpisné šířky po 80° jižní zeměpisné šířky.
Neplést s jednoduchým konformním válcovým zobrazením nazývaným Mercatorovo zobrazení!
Pro polární oblasti se používá zobrazení UPS (Universal Polar Stereographic).
Je to konformní azimutální zobrazení - viz stereografická projekce. UPS je ale modifikováno pro použití z elipsoidu, ne z koule.
stereografická projekce
ZOBRAZOVACÍ ROVNICE
17
Zobrazovací rovnic
• Zobrazovací rovnice jsou platné pro libovolný poledníkový pás s libovolnou šířkou a pro libovolný elipsoid.
• Osový poledník bude mít hodnotu Xo = 0°, obecná zeměpisná délka bude vztahována k tomuto osovému poledníku.
z elipsoidu do roviny: zem. šířka nahrazena izometrickou:
x = f((p,Ä) x = f(q,Á) Jaký je to typ zobrazení?
y = f(<p,A) y = f(q,Á)
zobrazovací rovnice pro konformní zobrazení pomocí izometrických souřadnic:
x + iy = f(q + iÄ)     x-iy = f(q-iÄ)
rovnice se rozvine v Taylorovu řadu a odvodí se obecné zobrazovací rovnice:
y = ľm-fm(q)^ + ŕ (q)~^
o 12U
Zobrazovací rovnic
• Jde o konformní zobrazení.
• Navíc stanovena podmínka, že osový poledník zůstane nezkreslený.
Pro bod ležící na osovém poledníku (A = 0°) platí:
x0 — x0 =
/(<?) 0
sp =Sp
sp - délka oblouku osového poledníku od rovníku k měřenému bodu (na souřadnici xo) ve zobrazovací rovině Sp - délka oblouku osového poledníku od rovníku k měřenému bodu (na souřadnici xo) na referenčním elipsoidu
z toho plyne: f iq) = Sá
Po dosazení do obecné rovnice:
19
Zobrazovací rovnic
Pomocí dalšího odvození (viz skripta) vzniknou základní tvary zobrazovacích rovnic Gaussovo zobrazení:
x = S + Ncoscpsm q?— + Nsm (pcos3(p{p-t2 +9rj2 +4^4)— + Nsm<pcos5<p{6l  58ř2 + ř4 + 270^2 33O7V)	
/             \ /t3 y = A/^cos^2 +A/^cos3 ^(l-ř2 + 772)— 6 + Afcos>Í5   18ř2 +ř4 +14/72   5Srj2t2) Á v y120	
f]=ercos<p t = tg 9a
Zobrazovací rovnice UTM
Zobrazení se liší od původního Gaussova zobrazení použitím konstantního zkreslení m0 = 0,9996 (měřítkového faktoru, scale factor) To znamená zkreslení -40 cm/km.
Z tečného válce se stane sečný a vzniknou tak dva nezkreslené poledníky v každém pásu.
N = mr
Sp+Nel cos^sin (p — + Nel sin cpco^ cpi^-t2 + 9rf + 47/4)
2 24
A4
+
Nel sin #>cos5 <p(61-58ř2 + ŕ + llOr/1 -330?/¥)
A6
E — nír
Nel cos (pA + Nel cos3 p(l -t2 + ij2)—
o
+ Nel cos5 (p(5 - m2 + ŕ + 14t/2 - 5877V)
A5
120
q= e coscp
t = tg<p.
N - svislá souřadnice
Nei - příčný poloměr křivosti elipsoidu
720
Central meridian
so=s
Imaginary secant cylinder
INVERZNÍ FUNKCE K ZOBRAZOVACÍM ROVNICÍM
Inverzní funkce k zobrazovacím rovnicím
Pro výpočet zeměpisných souřadnic z rovinných
Gaussovo zobrazení
(p = (pf
y
y
2MfNftf + 2AMfN
■^(1 + 3^ +577'- 9rf rj2f)+
fly f
flyf
^^(61 + 91/^45^+107^-162^-45^)
120MfNf
Ä
y
Nf cos ^   6Nf cos ^
(l-^+^)+
cp = cpf
2m20MfNelf
tf +
24mZMfNelf
3 "f
120 cos(pf tA + 3ň + 5rj2f-9t2fTj2f)+
(5 + 28r'+ 24r* + 677'+ )
720mb0MfN:if
tf(61 + 91t2+45rf+10lT]2 -162t2?]2 -45rfrj2f)
A=------(l-t2+TJ2f) +
mnN„,< cos (pf   6m0Nelf cos(pf
(5 + 2St2 + 24ň + 6t]2 + 877^ )
0 e// £5
120moA/'e5?/ cos^
zobrazení UTM
poloměry křivosti elipsoidu:
M _    cjX-e)      N a f  (l-^sirř^f2' f  (l-^sirf^f2, v
Proč se v případě UTM píše Neif místo Nf?
23
4
MERIDIÁNOVÁ KONVERGENCE
Meridiánová konvemi
Důsledek sbíhavosti poledníků.
Hrana mapového listu kopíruje poledníky a rovnoběžky. Nesměřuje kolmo vzhůru (jako osa x), úhel se liší o meridiánovou konvergenci.
• Úhel mezi rovnoběžkou s osou x (N) a obrazem zeměpisného poledníku.
• Může být záporná (západní část pásu) i kladná (východní část pásu).
• Potřebujeme pro převod mezi směrníkem a zeměpisným azimutem.
Y
1 rovnobi zka s osou X
•rV>e
Q'
cr=o-y
Co je směrník a co azimut?
směrník o - úhel mezi (např.) kladným směrem osy x a určitým směrem, azimut a - úhel mezi severním směrem a určitým směrem
25
• Úhel mezi určeným základním směrem a určitým směrem.
• Většinou se počítá od kladného směru osy x.
• V souřadnicovém systému S-JTSK tedy bude jinak než v systému UTM.
• Navíc se rozlišuje směrník Qab a Oba. Liší se o 180°. V označení je první ten bod, u kterého se měří.
26
Meridiánová konver
vysoká přesnost:
ze zeměpisných souřadnic:
zjednodušený vzorec:
l + 3r/2 + 2rjA)— + sin <pcos4 <p\2 -12)~       Y ~ s^n(P^
z rovinných souřadnic:
Gaussovo zobrazení
zobrazení UTM
y = -^-tf —^-^(l + ř^-rj2f-2rff)+^^tf{l + 5t5f +3t4f)
N, f 3N
f
f
15N"f f
r =
Nfm0 f   3N3fm30 f
f,(l + í>-rřf-2^)+Y^tf{2 + 5rf +*;)
r = ^tg(p
N
Maximum meridiánové konvergence na okrajích pásů v naší zeměpisné šířce: 2°18\
Pozor. Ve skriptech je na str. 129 na obr. 10-9 přehozeno dy a dx.
27
Meridiánová konverge
7*52 000m E 53 54 55
ZÁKONY ZKRESLENI
Zákony zkreslení
V Gaussově zobrazení stačí vypočítat pouze délkové zkreslení m. Plošné zkreslení bude jeho kvadrátem a úhlové zkreslení je zde nulové. Odvozeno z obecných výrazů.
p M
í ^„\2   í ^.\2
dx
+
dy_
M
4g \
+
V dl y
N cos g?
N cos g?
Výpočet ze zeměpisných souřadnic:
vysoká přesnost:
Gaussovo zobrazení
= 1 + cos2 #>(l + u)— + cos4 <Pv - 4f2)^7
m
zjednodušený vzorec:
-1     2 ^
m - 1 + cos (p — 2
zobrazení UTM
m = m,
1 + cos2 (p(l + rf)— + cos4 g?(5 - 4t2)—
m = m,
1 + cos co —
V L J
30
Zákony zkreslení
Výpočet z rovinných pravoúhlých souřadnic:
• elipsoid se nahradí koulí r = 4mň
• uvažuje se jednoduché válcové konformní zobrazení v příčné pol (Mercatorovo)
Gaussovo zobrazení
vysoká přesnost:
m = 1 +
y
2r2 24r'
zjednodušený vzorec:
	2 m = l + -^—r
	
	2r2
zobrazení UTM
Zákony zkreslení
Průběh zkreslení: Gaussovo zobrazení
Délkové zkreslení Gaussova zobrazení
0   10   20   30   40   50   60   70   80 84 <P°
Na území ČR max. 0,58 m/km.
zobrazení UTM
Délkové zkreslení zobrazení UTM
0   10   20   30   40   50   60   70   80 84
Osový poledník zkreslený (-0,40 m/km), o to menší zkreslení na okrajích (0,20 rff/km).
Zákony zkreslení
MEZI PÁSMOVÉ TRANSFORMACE
Mezi pásmové transfor
• V Gaussově zobrazení (i v jeho variantě UTM) má každý pás má vlastní souřadnicovou soustavu.
• V praxi se poměrně často řeší transformace souřadnic bodů ze souřadnicové soustavy jednoho pásu do souřadnicové soustavy druhého pásu.
• Při transformaci do souřadnicového systému jiného pásu je ale nutné uvážit rychlý nárůst délkového zkreslení, což v důsledku může ovlivnit i přesnost výpočtů v rovinných souřadnicích.
35
Mezi pásmové transfor
• Možnosti:
• různé varianty rovinné transformace - byly zpracovány i výpočetní tabulky
• k rovinným transformacím lze počítat i grafickou transformaci použitou na vojenských topografických mapách (v tzv. překrytovém pásmu) - do mapy lze zakreslit síť ze sousedního pásu
• v současné době je nejběžnější univerzální metoda transformace podle schématu (s využitím inverzních rovnic k zobrazovacím rovnicím):
36
Mezi pásmové transfor
Můžeme si nakreslit síť ze sousedního pásu.
Mezi pásmové transfor