Matematická kartografie Uvod Používaná poměrně často. Webové mapy. Umožňují zobrazit Zemi na nekonečný pás. Např. Mapy.cz nebo Google Maps. 2 1. Základní vztahy a vzorce 2. Ekvidistantní zobrazení 3. Ekvivalentní zobrazení 4. Konformní zobrazení 5. Šikmá poloha válcového zobrazení 3 1 základní vztahy a vzorce 4 Základní vztahy a vzorce x = f(U) y = f(V) Z elipsoidu či koule do roviny. Častěji koule - ve vzorcích U, V, R. V případě použití elipsoidu? V případě šikmého zobrazení? Vzdálenost mezi obrazy poledníků je (při konstantním rozdílu V) konstantní. y = nV n - konstanta, upřesnění později Vzorce dle zvyklostí matematické kartografie = x směřuje nahoru a y doprava. Počátek souřadnic bývá na rovníku a hlavní poledník se určuje tak, aby byl uprostřed mapového obrazu. 5 Základní vztahy a vzorce • Podobně jako všechna jednoduchá zobrazení - úhel mezi rovnoběžkou a poledníkem je vždy 90°. • Obrazy poledníků a rovnoběžek tvoří vzájemně ortogonální soustavu rovnoběžných přímek, ve kterých leží směry hlavních paprsků zkreslení. • Platí to pro zeměpisnou síť (pólová poloha) nebo kartografické poledníky a rovnoběžky (příčná či obecná poloha). • Obraz pólu: musel by být úsečka, nezobrazí se. 6 Základní vztahy a vzorce . Aú) mr-m ml-mmr sin— =-£ 2 mr+mp • Rovnice zkreslení jsou funkcemi U a x, V nemá vliv. • Ekvideformáty budou přímky rovnoběžné s osou y (= rovnoběžka). • Hlavní paprsky zkreslení leží v obrazu rovnoběžek a poledníků. 7 Základní vztahy a vzorce x = f(U) y = nV Rovnice zobrazovací závisí na hodnotě konstanty n a tvaru funkce x=f(U) Pro n potřebujeme určit, zda se bude nezkreslovat rovník nebo nějaká jiná rovnoběžka. Uo se nezkresluje: pro rovník: pro jinou rovnoběžku: n m,. — RcosU0 = 1 z toho plyne: n = R n = R cos U o Je li nezkreslena jiná rovnoběžka než rovník, tak se změní obraz zeměpisné sítě. Jak? Obraz se zúží. Proč? Nezkreslená rovnoběžka je kratší než rovník a rovník se tak zkrátí. J 8 ekvidistantní zobrazení Ekvidistantní zobrazení 1. zobrazovací rovnici zjistíme z podmínky: dx u mp = RdU 1 dx = RdU jdx = RJdU X = RU o o 2. zobrazovací rovnice platí pro všechny jednoduchá válcová zobrazení: y = nV Lze odvodit zobrazení ekvidistantní v rovnoběžkách? • Jednoduché válcové zobrazení může být ekvidistantní pouze v polednících. Proč? • Nelze pro rovnoběžky, každá je jinak dlouhá. • Mohu jen vybrat rovnoběžku, která se nezkreslí. 10 Ekvidistantní zobrazení y = nV Pro 2. zobrazovací rovnici a pro rovnice zkreslení: • n se určí podle nezkreslené rovnoběžky/rovnoběžek: • pro obecnou rovnoběžku - síť bude obdélníková • pro rovník (cos 90°) - síť bude čtvercová rovnice zkreslení: m„ = 1 p n = mPi " RcosU • Aa> n- RcosU sin _ - 2 n + RcosU 11 n = RcosU { n = R Ekvidistantní zobrazení iú* . 1- '——č™ ľ-1 p1 1 -< ľ . j* ■iT 1 l " •ľ <~> - j ■ 1* 30' 2ct 10" 0* 10' 20* 30* 40" w 60* 70' Marinovo ekvidistantní válcové zobrazení 1,35 n-1-1-r—i-1-1-1-i—i-1-1-1-i—i-1-1-1— m 0,95------------------- 0,9 -I—'—I—I—I—'—I—'—I—'—I—'—I—I—I—'—I— -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 U n = R Nezkreslený rovník = čtvercová síť - čtvercová mapa • Nazýváno též Plate Carrée nebo Marinovo Vzájemná vzdálenost rovnoběžek se nemění. Ekvidistantní zobrazení 3£ r « r a • c" r ^to. 40* ■ J* ar ví .'' ' 10' ■I 1 0* 1- 10" ri ' ■ 'r u 20" 30" JO" 30* 20" 10* 0* 10° 2C ■ 30* 40" 5< 70 Ekvidistantní válcové zobrazení U0=20° m 1,25 1,2 1,15 1,1 1,05 1 0,95 0,9 ■mp ■mr -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 U n = RcosU o Nezkreslená jiná rovnoběžka/rovnoběžky (např. Uo=+-20°) - obdélníková síť. Vzájemná vzdálenost rovnoběžek se nemění. 13 3 ekvivalentní zobrazení 14 Ekvivalentní zobraze 1. zobrazovací rovnici zjistíme z podmínky: mpi = mpmr =1 dx n RdU RcosU = 1 \dx = — f cosUdU 2. zobrazovací rovnice platí pro všechny jednoduchá válcová zobrazení: rovnice zkreslení: 1 RcosU m = p m, n mpl=\ Aú) n2-R2 cos2 u Pro 2. zobrazovací rovnici a pro rovnice zkreslení: n se určí podle nezkreslené rovnoběžky: • pro obecnou rovnoběžku n = RcosU • pro rovník n = R Ekvivalentní zobraze • Jakmile roste zkreslení v rovnoběžkách, tak klesá v polednících a naopak. • Vlastností ekvivalentního válcového zobrazení je zmenšující se vzájemná vzdálenost rovnoběžek s rostoucí zeměpisnou šířkou. Proč? • Zobrazení Lambertovo - s nezkresleným rovníkem. i6 Ekvivalentní zobraze Zobrazení Lambertovo - s nezkresleným rovníkem. Stejné zobrazení se dá odvodit i geometricky. Poté se nazývá Ortografická válcová projekce. Střed promítání v nekonečnu. O většině projekcí se budeme učit v rámci azimutálních zobrazen n = R x = R sin u y — Rv Ekvivalentní zobraze Zobrazení se dvěma nezkreslenými rovnoběžkami - Behrmannovo. 18 konformní zobrazeni 19 Konformní zobraze Zachovává tvary a úhly, ale jen v diferenciálním okolí bodu. 1. zobrazovací rovnici zjistíme z podmínky: mp =mr dx n x U RdU RcosU |ťÍX = 72 j" dU cosU 2. zobrazovací rovnice platí pro všechny jednoduchá válcová zobrazení: y = nV Pro 2. zobrazovací rovnici a pro rovnice zkreslení: n se určí podle nezkreslené rovnoběžky: rovnice zkreslení: m = n RcosU mpi = m2 Acd = 0 pro obecnou rovnoběžku pro rovník n = RcosU n = R o 20 Konformní zobraze SSC._iSř_30!_2£C_IQ r r IQľ_20!_30!_40!_50!_ajľ_ZQľ_Si_äK_lfl, 50* 40" 30* 20" 10" O" 10* 20" 30" 10" 50" 60" 70* 80* 30* 100" Zde 2 nezkreslené rovnoběžky. Konformní válcové zobrazení Mercatorovo, U0 = +- 20° • mp mr 0 U 10 20 30 40 Grafy mP a mr jsou shodné. Zvětšování vzdálenosti rovnoběžek směrem k oběma pólům. Nezobrazí se pól, protože tg 90° = nekonečno. Mercatorovo zobrazení (16. stol.) - doba námořních výprav. Loxodromy se zobrazují jako přímky. Existuje i ve verzi na elipsoidu - „Ellipsoid Mercator Projection" 21 Konformní zobraze central meridian 1 ROW 1B0E ^-1-1-1-1- parallel through P ■ i i i i-r i i i i .....i____j_____i_____i_____i_____ .....i_____i..... fW) _____1_____i_____ i i i i true scale on leauato ■ X i i i i i i i i ..........i_____i_____i_____ o ; .......... .... j.... j_____ i i i i i i i i i .....i____j.....i_____i_____i_____ i i i i i i i i i 1 1 1 1 .....1.......... 1 1 1 1 1 central meridian meridian through P 22 Mercatorovo zobrazení není UTM! Ale je základem pro UTM. Také válcové, také konformní. Ale z elipsoidu. Transverse = „příčný". Pootočeno do příčné polohy. Kartografický rovník je v poledníku, lze zvolit, který poledník bude nezkreslený. Zobrazení vyhovuje v místě okolo daného poledníku - a asi 10 stupňů na západ a na východ. Národní systémy jsou často založeny na tomto zobrazení. Central meridian Liší se jen nastavením nezkresleného poledníku. Více o UTM později - v rámci Gaussova zobrazení. Imaginary secant cylinder Konformní valcové zobrazeni v< webových službách Konformní válcové zobrazení v pólové poloze s nezkresleným rovníkem. Poledníky jsou vzdálené všechny stejně. Rovnoběžky se od sebe vzdalují čím dál více. Ale to až tak nevadí. Proto se používá ve webových službách - např. Google Maps, ESRI ArcGIS Online, Mapy.cz, OSM... Pozor, není to UTM! Je bližší klasickému Mercatorovu - ale z elipsoidu. Zpravidla z referenčního elipsoidu WGS84. Ale není to Ellipsoid Mercator! Pojmenování - Web Mercator, WGS 84 Web Mercator, WGS 1984 Web Mercator (Auxiliary Sphere), Pseudo-Mercator... EPSG 3857 zobrazovací rovnice: x = a ln tg ^ + 45° v J rovnice zkreslení: a ma = -r— > a cos(p MN a = N cos2 a + M sin2 a ' mpJ = m Aú) = 0 a - velikost poloosy elipsoidu a - zeměpisný azimut Ma - délkové zkreslení ve směru a 24 Konformní valcové zobrazeni webových službách Ellipsoid Mercator a Web Mercator • Používají stejný referenční elipsoid WGS84. • Přesto nejsou totožné. • Ellipsoid Mercator červeně, Web Mercator modře 1400000 14od>000~ 1600000 160i 1800000 nanes 2000000 20ÔÓÔÔÔ" 5600000 6400000 6200000 6000000 6400000 0200000 I«00000 IňílDOOl.. 1800000 2000000 šikmá poloha válcového zobrazení 27 Šikmá poloha válcového z • Používá se pro státní mapová díla. • Švýcaři mají také vlastní šikmý systém, ale na válci, ne na kuželu (LV95 -Landesvermessung 1995) • Kartografické poledníky a rovnoběžky jsou rovné, ale zeměpisné se zkroutí do křivek. • Musí se určit kartografický pól - např. ze známých zeměpisných souřadnic dvou bodů ležících na kartografickém rovníku.