Matematická kartografie 1. Základní vztahy a vzorce 2. Ekvidistantní zobrazení 3. Ekvivalentní zobrazení 4. Konformní zobrazení 5. Šikmá poloha kuželového zobrazení 2 1 základní vztahy a vzorce 3 Základní vztahy a vzorce řeší se v rovinných polárních souřadnicích pas po zobrazení do roviny ještě transformace na pravoúhlé souřadnice x a y je to jednoduché zobrazení, stále platí, že poledníky a rovnoběžky jsou vzájemně kolmé Základní poledník Vo se stanoví v ose zobrazeného území: • ztotožňuje se s osou x • x směřuje nahoru a y doprava Základní rovnoběžka Uo přibližně prochází středem zobrazovaného území. v A x r//'lll\ •Srn ////tmi / //// 1 \ \\\p v 4 Základní vztahy a vzorce jednoduché zobrazení ekvideformáty tvoří soustředné kružnice se středem v počátku polárního systému V je možné nalézt vždy jednu ekvideformátu s minimální hodnotou zkreslení obrazem pólu může být bod nebo část kružnice kuželová zobrazení mohou být řešena s jednou nebo dvěma nezkreslenými rovnoběžkami zobrazení jsou matematicky definovaná, přesto je možné si je geometricky představit jako tečný, resp. sečný kužel v * X m /////'li h ///o'" n ' ■ ' 1111 /'/lil 7/-n"ľ, Sí&ladní poledník Vo \\\ 5 Základní vztahy a vzorce p = f (u) e = f (V) Dá se psát jako: p = p0+f(U-U0) Po =x PQ poloměr základní rovnoběžky xv vzdálenost počátku souřadnic polárních (vrcholu V) a počátku souřadnic pravoúhlých (bod 0) 6 Základní vztahy a vzorce Přírůstek úhlové vzdálenosti musí být konstantní s přírůstkem zem. délky: s = nV Konstanta n: - rozsah od 0 do 1 - pro n = 1 přechází v azimutální zobrazení V případě rovníkové nebo šikmé polohy se použijí kartografické souřadnice: p = f {š) e = f(D) 7 Základní vztahy a vzorce Počátek polární souřadnicové soustavy je v bodě V (vrchol kužele). x = xv - pcoss y - /}sin s x směřuje nahoru a y doprava! Potřebujeme znát xv. Základní vztahy a vzorce mr = pds R cos UdV délkový element v zobrazovací rovině / délkový element na referenční ploše element poledníku v rovině / element poledníku na kouli U roste a p klesá - proto mínus. element rovnoběžky v rovině / element rovnoběžky na kouli ds = ndV n = ds dV mr = np RcosU U+dU ekvidistantní zobrazení 10 Ekvidistantní zobrazení • Ekvidistantní může být pouze v polednících. • Vzdálenosti obrazů rovnoběžek se nemění. podmínka: m=l 1. zobrazovací rovnice: 2. zobrazovací rovnice: potřebujeme n,p0,R,U{ Ekvidistantní zobrazení s jednoi nezkreslenou rovnoběžkou Podmínka: • na základní rovnoběžce U0 bude délkové zkreslení minimální • zároveň tato rovnoběžka bude délkově nezkreslena Ptolemaiovo zobrazení - nejjednodušší ze všech kuželových zobrazení. potřebujeme n,p0,R,U0 d í nPo ] dmr ^RcosU0 = 0 dU dU np, RcosU, = 1 koule: n = sinU0^ ^ 27 • Podmínky: • nezkreslená základní rovnoběžka U0 • pól se zobrazí jako bod totožný s počátkem rovinného polárního souřadnicového systému (bod = oblouk s nulovou délkou) • Lambertovo kuželové ekvivalentní zobrazení podmínka 1: podmínka 2: Do obecné zobrazovací rovnice np0 se dosadí U=90° a o=0. R cos Ut 2R2 (sin U - sin U0) n ze soustavy podmínek vychází: n = 28 Ekvivalentní zobrazení s jednou nezkreslenou rovnoběžkou a pólem zobrazeným coby bod 1,1 1,05 m i 0,95 0,9 Lambertovo ekvivalentní kuželové zobrazení délková zkreslení mp mr 30 35 40 45 50 55 U 60 65 70 Us=70° 11=30' Nezkreslená základní rovnoběžka Uo se většinou volí jako střed mezi severní a jižní rovnoběžkou zobrazovaného území. 29 ■v m 9* Ekvivalentní zobrazení s nezkreslenými rovnoběžkám Podmínky: • Dvě předem dané nezkreslené rovnoběžky o zeměpisných šířkách U1 a U2. • Základní rovnoběžka Uo je zkreslená. • Většinou se volí jako střed mezi nezkreslenými rovnoběžkami. Albersovo zobrazení m. = m., = R cos Ul nPi R cos U n = 1 = 1 n' n' Po ~ —— (sin Ul - sin U0) PI n 2Ŕ n = R2 cos2 U, (sin U2 -smU0) = R2 cos2 U n = cos2 Ux - cos2 U2 1 / . TT . TT x = —r-!-y = -(sin Ul +smU2) 2(sin t/2 - sin Ux) 2 2 2R Po = n í • TT T T \ R2 ZO$2Ux (sin Ux - sni U0 )-\----- n 30 ■v m 9* Ekvivalentní zobrazení s nezkreslenými rovnoběžkám Albersovo ekvivalentní kuželové zobrazení • na obrázku pro Us=60° a Uj=38° • mimo tuto oblast již zkreslení hodně narůstá Albersovo ekvivalentní kuželové zobrazení délková zkreslení 1,1 1,05 m 1 0,95 0,9 ■mp mr 30 35 40 45 50 55 60 65 70 U 31 Ekvivalentní zobrazení s nezkreslenými rovnoběžkám Nezkreslené rovnoběžky U1 = 20° a U2 = 40°. Interval rovnoběžek se zmenšuje směrem od základní rovnoběžky. 32 konformní zobrazeni 33 Konformní zobraze • Vzdálenosti obrazů rovnoběžek se zvětšují směrem od osové rovnoběžky. podmínky: F = 0 u jednoduchých zobrazení vždy splněno ~dp np prdp ur dU RdU RcosU 1. zobrazovací rovnice: P = Poe n{Qo-Q) Po = -n P Ur cosU 2. zobrazovací rovnice: s = nV při použití izometrické šířky a přirozeného logaritmu rovnice zkreslení: np m = RcosU mpl =m Aco=0 potřebujeme n,p0,R,U0 34 Konformní zobrazení s jed nezkreslenou rovnoběžkoi • Zobrazení s jednou nezkreslenou základní rovnoběžkou. • Ta se však zpravidla dodatečně zkresluje. • Někdy se nazývá Lambert Conformal Conic (Single Parallel). p0 = m0RcotgU0 mo = délkové zkreslení základní rovnoběžky. Vždy menší než 1. • Tím vzniká zobrazení se dvěma nezkreslenými rovnoběžkami Ui a U2. Znáte nějaký příklad takového zobrazení? • Uvedený typ zobrazení je použit i při zobrazení Základních map České republiky (Křovákovo zobrazení). • Ale v šikmé poloze. 35 Konformní zobrazení s jed nezkreslenou rovnoběžkoi Výpočet Ui a U2: npx m, = R cos Ul R cos t/o = 1 = 1 Dosadí se obecná zobrazovací rovnice pro konformní zobrazení... P = Po tg tg (u \ U_J - + 45° v J a zjistí se U1 a U2. Výpočet n: n - siní/ Výpočet n jako u ekvidistantního kuželového 0 zobrazení s jednou nezkreslenou rovnoběžkou 36 Konformní zobrazení se dvěi nezkreslenými rovnoběžkám Podmínka: • dvě předem dané nezkreslené rovnoběžky U1 a U2 Lambertovo konformní kuželové zobrazení - Lambert Conformal Conic (LCC) konstanta n - z nezkreslených rovnoběžek: A = A = RcosUl n R cos U7 n cosUl tg ^ + 45° v J tg + 45c v J Po tg ^ + 45° v J ^ + 45° tg J (U ^ tg ^ + 45° v J í tg + 45c v p1 _ coslIl p2 cos U2 n = In cos L/i — In cos U2 lntg(^+45°) - lntg(^ + 45°) h cos Ul-\a cos U2 n = 37 Konformní zobrazení se dvěma nezkreslenými rovnoběžkami konstanta po - ze zobrazovací rovnice Po R cos Ul tg U v + 45° J - n R cos U2 tg ÍU2 l 2 + 45° ) n tg + 45° ) _ n tg + 45° ) V2 nebo taky _ RC0SUl cn(Ql-Q0) = rcosu2 cn(Q2-Q0) n n Po = e - přirozený logaritmus Základní rovnoběžka Uo se většinou volí uprostřed mezi nezkreslenými Ui a U2. 38 Konformní zobrazeni se nezkreslenými rovnoběžkám Lambertovo konformní kuželové zobrazení Letecké navigační mapy ICAO a NATO. V rámci směrnice INSPIRE využíváno pro publikaci dat -souřadnicový referenční systém (ETRS89-LCC). Lambertovo konformní kuželové zobrazení délkové zkreslení m 1,08 1,06 1,04 1,02 1 0,98 0,96 0,94 m 30 35 40 45 50 55 60 65 70 U U! =40°aU2=60° 39 Konformní zobrazení se dvěrr nezkreslenými rovnoběžkami Nezkreslené rovnoběžky U1 = 20° a U2 = 40°. Interval rovnoběžek se zvětšuje směrem od základní rovnoběžky. 40 šikmá poloha kuželového zobrazení 41 Šikmá poloha kuželové Území s protáhlým tvarem, ale ne ve směru rovnoběžky. Použijí se kartografické souřadnice. Ze zeměpisných souřadnic se vypočtou kartografické souřadnice. Kartografické souřadnice se přepočítají do roviny. p = f {š) £ = f (D) Viz později - Křovákovo zobrazení. 42 Porovnání zobraze Albers Ekvidistantní kuželové LCC (ekvivalentní) Lambert Conformal Conic