Jednoduchá azimutální zobrazení, azimutální projekce Matematická kartografie 1. Základní vztahy a vzorce 2. Ekvidistantní zobrazení 3. Ekvivalentní zobrazení 4. Konformní zobrazení 5. Azimutální projekce 2 1 základní vztahy a vzorce 3 Základní vztahy a vzo • kuželová zobrazení: s - nV • azimutální zobrazení jsou mezní případ kuželových zobrazení, kdy konstanta n = 1 • počátek polární soustavy - vrchol kužele - splyne s pólem (zeměpisným nebo kartografickým) • počátek rovinné pravoúhlé sítě -ztotožnění s obrazem pólu (středem zobrazení) • osa x (svislá) se vloží do základního poledníku Základní vztahy a vzo • obrazem pólu je bod • obrazem sítě poledníků jsou polopřímky z pólu • obrazem rovnoběžek jsou soustředné kružnice se středem v pólu • je to jednoduché zobrazení, poledníky a rovnoběžky jsou vzájemně kolmé • ekvideformáty mají tvar soustředných kružnic se středem v pólu zobrazení Základní vztahy a vzo • Odvozeno pro kouli, ale lze i pro elipsoid. • Odvozeno pro pólovou polohu, ale používá se i šikmá nebo rovníková: • Obrazy zeměpisných poledníků a rovnoběžek jsou složitými křivkami. • Pouze poledník procházející středem zobrazovaného území, který je totožný se základním kartografickým poledníkem (a tedy i s osou X), je zobrazen jako přímka. 40"0'0"N 60"0'0"N 100WW 180WE 6CWN 4O'0"N 30WW 10"0'0"W OWE 1ďWE 30WE 50-0'0"E 6CWE 70WE 6 Základní vztahy a vzo zobrazovací rovnice v polárních souřadnicích použití zenitové vzdálenosti Z místo U p = f(Z) Z = 90°-U s = V A X pj přepočet do pravoúhlých souřadnic: x = pcoss y = psin^ Základní vztahy a vzo Podobné jako u kuželového zobrazení, ale: • bez konstanty n, • se Z místo U, • bez záporného znaménka - Z a p mají stejný směr. rovnice zkreslení: p do p . Aa> mr-m m.. =—— m =—-— sin-=-- RdZ r RsmZ mpi=mrMp 2 mr+mp 8 ekvidistantní zobrazení Ekvidistantní azimutální asi nejběžnější ekvidistantní azimutální zobrazení - Postelovo ekvidistantní v polednících m p = _dp_ = ^ podmínka RdZ $dp = R$dZ o o p = RZ -j zobrazovací rovnice s = V 2. zobrazovací rovnice mp=l mr = mpl = sin Z sin Aa> Z - sin Z 130°0'0"W 140-0'0"W 11 11 160-0'0"W 180°0'0"W 160"0'0"E 140=0'0"E 130"0'0"E II M 120'0'0'W 40'0'0"N' 100"0'0"W* 90"0'0"W 80"0'0"W 40°0'0"M 60"0'0"W ■120WE B-4u"u'u"rj •100WE •90°0'0"E :0"0'0"E IWďWN 0'0"E II I II I I I I I II I II 5ďWW 40°0'0"W 20°0'0"W 0°0'0"E 20°0'0"E 40°0'0"E 50'0'0"E 2 Z + sin Z Kde se typicky používá? 10 Ekvidistantní azimutální Zachovává vzdálenosti od pólu k libovolnému bodu v zobrazovaném prostoru • vzdálenosti obrazů rovnoběžek jsou stejné • zkreslení v polednících není (mP=1) Vhodné pro rychlé zjišťování vzdáleností od pozorovacího místa - např. displeje radiolokátorů. Jaké je zkreslení u pólu? A jaké na 60° rovnoběžce? 11 Ekvidistantní azimutal n í ekvideformáty 12 Ekvidistantní azimutal n í Tissotovy indikatrix 13 Ekvidistantní azimutální zobrazení Šikmá poloha zobrazení - obrazy zeměpisných poledníků a rovnoběžek jsou složité křivky. 40"0'0"N 60°0'0"N 100"0'0"W 180"0'0"E 60"0'0"N 40"0'0"N 30°0'0"W 10"0'0"W 0°0'0"E 10°0'0"E 30°0'0"E 50°0'0"E 60°0'0"E 70°0'0"E Ukázka - kartografický pól v Brně (Uk = 49°12', Vk =16°36'). 14 mm Ekvidistantní azimutální zobra izení varianta zobrazení: • doplňkový požadavek na nezkreslenou rovnoběžku Z0 • doplní se parametr c (redukční konstanta) dosazení Z0 0 sm Z0 sin Zn c--- ^0 p = cRZ 1. zobrazovací rovnice s = V 2. zobrazovací rovnice rovnice zkreslení: cZ c2Z . Aco Z - sin Z mr-- sm Z sm-= sm Z 2 Z + sin Z c je konstanta, zkreslení v polednících není nulové, ale konstantní 3 ekvivalentní zobrazení 16 Ekvivalentní azimutální zot • Ekvivalentní azimutální zobrazení - též Lambertovo. • Lambert Azimuthal Equal Area (zkratka LAEA). • Využíváno v rámci Evropského souřadnicové sítě Grid_ERTS_89-LAEA. • Nezkresluje vzájemnou velikost kontinentů - používáno při zobrazování velkých územních celků na jedné mapě - napr. hemisféry. • Kartografický pól může být umístěn kdekoliv - např. na rovníku. • Zmenšování obrazu poledníkového úseku mezi rovnoběžkami směrem od středu mapy. Ekvivalentní azimutální zot rovnice zkreslení zobrazovací rovnice m, P <~ R srn Z Z p - 2R sin — 2 m 1 2R sin — _2 7? sin Z 1 /71 „ Z p cos — 2 l-cos Ekvivalentní azimutální zobrazení 1 9 1 ,^ H -i 1,1 " m 1 -n q -mp -mr u,y n r u,o n 7 u, / 0 20 30 40 50 r 60 70 80 Ekvivalentní azimutální zot Zmenšování obrazu poledníkového úseku mezi rovnoběžkami směrem od středu mapy. Neplatí tedy, že u jednoduchých ekvivalentních zobrazení se šířka poledníkového pásu zkracuje vždy směrem k pólům nebo vždy směrem od pólů! Vždy od středu mapy nebo od osové přímky. ekvideformáty Ekvivalentní azimutální zot konformní zobrazeni 21 Konformní azimutální zo mp =mr podmínka P dp RdZ RsmZ dZ p J sin Z neurčitý integrál - protože Z a p může nabývat i hodnotu 0 lnp = lnřj? — + lnc z^visl^ na parametru c (integrační konstanta) tg - musíme ho určit 1. zobrazovací rovnice s = V 2. zobrazovací rovnice rovnice zkreslení: c m = 2Z 2/čcos — 2 mpl=m Aa) = 0 22 Konformní azimutální zo Musíme zjistit parametr c. A) doplňkový požadavek na nezkreslenou rovnoběžku Z0 dosazení zobrazovací rovnice m. =1 P o 7? sin Z = 1 o p = ctg zobrazovací rovnice: rovnice zkreslení: Aco = 0 c = 27? cos 2 ^0 23 Konformní azimutální zo Musíme zjistit parametr c. B) doplňkový požadavek na nezkreslený pól Zo=0° (střed mapy) Tzv. stereografická projekce - ukázka viz dále. mr =1 c = 2R zobrazovací rovnice: P = 2Ríg^- s = V rovnice zkreslení: 1 m =-— m. =m A oj = 0 Někdy se nastavuje hodnota délkového zkreslení na pólu (měřítkový faktor). Např. při definování zobrazení UPS (Universal Polar Stereographic). 24 Konformní azimutální zobraze Konformní azimutální zobrazení - šikmá poloha pól = U0=50°, V0=15° Co je nezkreslené? 25 Konformní azimutální zobraze Zvětšování obrazu poledníkového úseku mezi rovnoběžkami směrem od středu mapy. Tissotovy indikatrix 26 Konformní azimutální zobraze Konformní azimutální zobraze Jak odlišit kuželové v pólové poloze a azimutální v obecné poloze? Nápověda: Poledníky. 28 azimutalní projekce 29 Azimutální projekc • „Projections" = kartografická zobrazení • „Projekce" = odvoditelná geometrickou cestou • Projekce - odvozování rovinných souřadnic na základě geometrických principů. • Projekce povrchu referenční koule na zobrazovací rovinu. • Existují i válcové a kuželové projekce. Ale používají se méně. Azimutální projekc podobné trojúhelníky: p _ C + R R sin Z C + R cos Z _ (C + 7?)7?sinZ ^ ~ ~~7* ň V~ 1 ■ zobrazovací rovnice C + /?cosZ C - odlišuje různé verze projekcí s = V 2. zobrazovací rovnice Obecné zákony zkreslení jako u jiných azimutálních zobrazení. mp = dp RdZ P R sin Z mPl = mrmP sin Aco mr-m in. + in Gnómonická projekc Gnómonická (centrální) projekce vzniká pň promítání ze středu koule. C = 0 lze zobrazit jen jednu polokouli nejde zobrazit rovník ortodromy se zobrazují jako přímky Thales z Milétu dosazení C do zobrazovací rovnice: P = RtgZ s = V dosazení p do rovnice zkreslení: 1 m = p 2 ry cos Z Ad) cosZ — 1 . Aco o Z sin— =- sin-= tg — 2 cosZ + 1 2 2 Všimli jste si na vzorcích zkreslení něčeho? Není délkojevné, úhlojevné ani plochojevné. 32 Gnómonická projekce ^^^^w' • Ve skutečnosti jde zobrazit i rovník - při správně nastavené polokouli. • pólová poloha - rovnoběžky soustředné kružnice, poledníky polopřímky • rovníková poloha - poledníky jsou rovnoběžné úsečky, rovnoběžky jsou hyperboly se středem na rovníku. 3: Gnómonická projekc 150"E 140-E 130-E W( 110*E 100*E WE WE «T£ flCTE ^^^^^ \ A lxv^__ \ \\^ NT"--"--\— x. N. V> \\vv um/a t OTÍ-^a \ ws--^ / J f / 1ÄTW / / ^L^"^ 110'W y^j 1 lf k v \ Í\*'*,**«íw \ 20'w 1 \l \ 1\ «•» »"S i«rw »*w 90*w 7o*w «rw »*w ws obecná poloha - poledníky úsečky, rovnoběžky hyperboly, elipsy, paraboly 34 Gnómonická projekc Tissotovy indikatrix <20°,90°> 35 Stereografická projekc Stereografická projekce vzniká při promítání z protějšího pólu koule. • C = R • projekce je konformním azimutálním zobrazením - viz dříve • vzdálenosti obrazů rovnoběžek se zvětšují směrem od středu mapy • Hipparchos z Nikaie P' P Ps 1Z \ s pX / \ I \ 1 \ 1 \ \ R \ RcosZ \ 0 rovník ] [ \ ; i i \ \ \ \ \ \ c / \ \ i dosazení C do zobrazovací rovnice: 2R sin Z ^n Z P = —-~ = 2Rtg- 1 + cos Z 2 s = V dosazení p do rovnice zkreslení: 2 1 mp =mr = 1 + cos Z 2 Z cos — 2 1 mpi = cos Aúj = 0 36 Stereografická projekc Odkud se promítalo? Ortografická projekc Ortografická projekce vzniká při promítání z nekonečna. • C = nekonečno • „pohled z vesmíru" • projekce je ekvidistantním zobrazením v rovnoběžkách odvodí se z obrázku (nekonečno do vzorce nedosadíme): p = RsinZ s = V dosazení p do rovnice zkreslení: Ortografická projekc • Rovníková poloha: rovnoběžky úsečky, poledníky elipsy. • Pólová poloha: rovnoběžky kružnice, poledníky polopřímky. • Obecná poloha: poledníky i rovnoběžky elipsy. 39 Ortografická projekc Tissotovy indikatrix 40 Srovnání různých azimutá mm 5\eTeograp/,>c Rovnoběžky se směrem od středu vzájemně vzdalují. Jaký je to typ zobrazení? Rovnoběžky se směrem od středu vzájemně přibližují. Jaký je to typ zobrazení? 41 lososi Ortografická projekce na vál • Pozor! Ne všechny projekce jsou azimutální. • Zobrazení Lambertovo válcové plochojevné. Viz válcová zobrazení. • Ortografická válcová projekce. Střed promítání v nekonečnu. • Ekvivalentní • Nezkreslený rovník x = R sin u y — Rv 42