1
J. Humlíček FKL II
2. Translační symetrie, reciproká mříž, Brillouinovy zóny,
hustota stavů
Invariance nekonečného krystalu vůči translacím
1 1 2 2 3 3 1 2 3, , , celé.nT n a n a n a n n n   (1.1)
14 možných mříží (Bravaisovy mříže). Podle bodové symetrie - syngonie s jedním nebo více možnými typy:
triklinická (prostá),
monoklinická (prostá, bazálně centrovaná),
ortorombická (prostá; bazálně, plošně, prostorově centrovaná),
tetragonální (prostá, bazálně centrovaná),
hexagonální (prostá),
romboedrická (prostá),
kubická (prostá; plošně, prostorově centrovaná, SC, FCC, BCC).
Jednoelektronové stacionární stavy
2 2
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
p
H r V r r V r r E r
m m
   
   
         
   
(1.2)
2
s periodickým potenciálem V:
( ) ( ) .nV r T V r  (1.3)
Translace nemění Hamiltonián, hustota pravděpodobnosti výskytu elektronu v místech r a nr T je stejná,
2 2
( ) ( ) .n nr T r   (1.4)
Vlnová funkce se tedy může lišit násobením komplexní jedničkou
( )
,ni T
nC e
 (1.5)
kde  je skalární reálná funkce vektorového argumentu. Provedení dvou translací nT a mT vede k násobení
původní vlnové funkce faktorem m nC C , funkce  v předchozí rovnici (1.5) tedy musí být lineární kombinací
složek vektoru translace, neboli skalárním součinem:
( ) .n nT k T   (1.6)
3
Vlastní funkce Hamiltoniánu je tedy indexována vektorem k, který zaručuje požadované vlastnosti při
translacích o mřížové vektory:
( ) ( ) , kde ( ) ( ) .ikr
nk k k k
r e u r u r T u r    (1.7)
To je Blochova funkce, s rovinnou vlnou ikr
e a translačně invariantní částí u. Vektor k, indexující Blochovu
funkci, není určen jednoznačně. Přičteme-li k němu takový vektor K, který ve skalárním součinu s
translačními vektory mříže dá celočíselný násobek 2, hodnota fázového faktoru nC se nezmění. Hledejme
takové vektory ve tvaru lineární kombinace trojice vektorů
1 1 2 2 3 3 1 2 3, , , celé.qK q b q b q b q q q   (1.8)
Splnění podmínky
2 , celé,q nK T m m  (1.9)
zajišťují vektory
1 2 3 2 3 1 3 1 2
0 0 0
2 2 2
, , .b a a b a a b a a
  
     
   (1.10)
4
0 1 2 3( )a a a    je objem primitivní buňky mříže vytvořené vektory a. Průměty jednotlivých vektorů b do
vektorů a se stejným indexem mají velikost 2, s různými indexy jsou nulové:
2 , , 1,2,3.q n qnb a q n   (1.11)
Vektory qK tvoří reciprokou mřížku (vzdálenosti v ní mají rozměr převrácené délky). Konstrukce reciproké
mříže zajišťuje, že patří do téže syngonie jako výchozí („přímá“) mříž. Prostý a bazálně centrovaný typ se
také zachovává, plošně a prostorově centrované typy pro ortorombickou a kubickou syngonii se navzájem
vymění.
Vektory indexující Blochovu funkci jsou ekvivalentní, pokud se liší o vektor reciproké mříže – vybíráme je z
první Brillouinovy zóny (Wignerova-Seitzova buňka reciproké mříže): zvolíme některý mřížový bod
reciproké mříže za počátek a body v poloviční vzdálenosti k dalším mřížovým bodům vedeme roviny kolmé
na příslušné spojnice. K nejbližším rovinám zvoleného počátku je první Brillouinovou zónou (1. BZ).
Skalární součiny s primitivními vektory jsou omezeny na oblast velikosti 2,
, 1,2,3 .jk a j      (1.12)
Konečné rozměry - (cyklické) Bornovy-Kármánovy podmínky, s opakováním hodnot vlnových funkcí v
dostatečně velkých vzdálenostech krystalu:
5
( ) ( ) , 1,2,3 ,j jr N a r j    (1.13)
Nj jsou velká kladná. Očekáváme, že při dostatečně velkých Nj budou vlastnosti takového krystalu prakticky
stejné jako vlastnosti nekonečného nebo „dostatečně velkého“ (vzhledem k meziatomovým vzdálenostem)
krystalu. Mluvíme o „objemových“ (nebo „bulkových“) vlastnostech. Zřejmě zde zanedbáváme vliv povrchu
nebo rozhraní k jiným materiálům. Takové přiblížení nebývá použitelné pro malé rozměry krystalů (v
„nanostrukturách“).
Periodické okrajové podmínky (1.13) vedou ke „kvazikontinuu“ možných hodnot vektoru k v první
Brillouinově zóně. Jsou to lineární kombinace primitivních vektorů reciproké mříže,
1 1 2 2 3 3 ,k k b k b k b   (1.14)
s koeficienty kj v rozsahu od −½ do ½ s malým krokem 1/Nj.
Klasifikace stacionárních stavů jednoelektronového Hamiltoniánu vektorem k (obvykle nahrazujeme
kvazikontinuum možných hodnot kontinuem a používáme derivování podle jeho komponent a integrování
přes ně) a dalším diskrétním indexem (kvantovým číslem) s označením n. Schroedingerova rovnice (1.2) s
Blochovým tvarem vlnové funkce vyjde ve tvaru
2 2 22
2
, ,
( ) ( ) ( ) ,
2 2
ik r ik r
nk n k n
k i k V r e u r E e u r
m m m
  
       
 
(1.15)
6
kde můžeme rovinnou vlnou ikr
e dělit a máme rovnici pro periodickou část u. Tu stačí řešit v primitivní
buňce a okrajové podmínky jsou dány periodicitou u. (Kvazi)spojitá změna energie E při změně vektoru k
uvnitř 1. BZ při pevném n vede k rozsahu, označovaném jako n-tý pás; závislost na velikosti k v určitém
směru v 1. BZ se označuje jako disperze energie v tomto směru. Soustava pásů pro daný krystal se označuje
jako pásová struktura. Může v ní být interval bez povolených hodnot energie, ten pak tvoří pás zakázaných
energií (gap).
V nejhrubším pohledu můžeme tedy vyznačit rozsahy možných energií elektronů způsobem znázorněným
v obrázku:
7
Nejhrubší znázornění energiových pásů
v polovodiči nebo izolátoru s větším
(vlevo) a menším (vpravo) gapem.
Spodní pásy (hustě šrafované) jsou
obsazené, horní (řídce šrafované) jsou
neobsazené.
Přítomnost pásu zakázaných energií je pro polovodiče a izolátory podstatná, proto má i tento způsob svoje
opodstatnění. Pro bulkový materiál je označení „polohy“ v krystalu nepodstatné. Situace se ale změní,
sledujeme-li heterostrukturu, t.j. dva odlišné materiály napojené na sebe „s atomární přesností“. V našich
idealizacích pak zacházíme s ostrým rozhraním mezi dvěma poloprostory, které jsou vyplněny materiály s
různými pásovými strukturami jednoelektronových stavů. Chování elektronového systému je pak výrazně
ovlivněno uspořádáním pásů na rozhraní; není jedno, je-li energie nejvyššího obsazeného stavu větší, rovná,
nebo menší než tato energie v sousedním materiálu s jinou hodnotou gapu. V hořejším obrázku dostaneme
EgEg
ENERGIE
POLOHA
8
jedno z možných uspořádání vodorovným posuvem pásů takovým, aby se nakreslené dva bloky energiových
pásů dotkly.
Hustota stavů
Podrobnější informace o pásové struktuře jsou v hustotě stavů D(E). Rozumíme zde hustotu vůči hodnotám
energie, neboli počet stavů P(E, E+dE) v intervalu mezi E a E+dE, vydělený šířkou tohoto intervalu dE:
( , d )
( ) .
d
P E E E
D E
E

 (1.16)
Označíme-li jako Nn(E) počet stavů od nejmenší možné hodnoty energie n-tého pásu (bezpečná volba je -∞)
po argument E, můžeme s použitím předchozích úvah o kvazispojitých intervalech vektorů k a energií E
použít derivaci této funkce, a hustotu stavů dostaneme jako součet přes všechna n:
d ( )
( ) ( ) .
d
n
n
n n
N E
D E D E
E
   (1.17)
Ukázka hustoty stavů pro Si, Ge a -Sn je v následujícím obrázku. Do předchozího nejjednoduššího
schématu ji zredukujeme tak, že vyznačíme pás energií od zhruba -13 eV do nuly pro všechny tři materiály
(to jsou energie obsazených stavů), pak je pás zakázaných energií šířky zhruba 1.2 eV (Si), 0.7 eV (Ge) a
nulové šířky pro -Sn. Navazující vyšší energie mají v naší idealizaci neobsazené jednoelektronové stavy.
9
10
Hustota stavů Si, Ge a -Sn. Výpočet s
nelokálním pseudopotenciálem, Chelikowsky
and Cohen, PRB (1976).
Expt. data z R.Pollak et al., PRL (1973) pro Si,
Grobman et al., PRL (1972) pro Ge.
11
Pro praktický výpočet hustoty stavů je velmi vhodná formule (1.16). Vzhledem ke kvazikontinuu možných
hodnot vektoru k s ekvidistantními odstupy můžeme spočíst Nn(E) jako objem reciprokého prostoru, který je
ohraničený plochou En(k) = E, vydělený objemem připadajícím v reciprokém prostoru na jeden stav.
Příspěvek n-tého pásu do hustoty stavů pak dostaneme zderivováním tohoto podílu podle energie E:
3
( ) 31 2 3 0
3 3
( )
1 2 3 0
d
d d
( ) = d .
(2 )d (2 ) d
n
n
E k E
n
E k E
k
N N N
D E k
E E
N N N
 






 (1.18)
Objem ohraničený ekvienergiovou plochou v hořejším vztahu můžeme snadno pro některé disperzní
závislosti snadno spočíst. Provedeme tento výpočet pro kvadratickou disperzi energie kolem minima pásu,
22 22
* * *
0 * * *
( , , ) , , , >0 .
2
yx z
n x y z x y z
x y z
kk k
E k k k E m m m
m m m
 
     
 
(1.19)
Toto by byla disperze volného elektronu, kdyby tzv. efektivní hmotnosti * * *
, ,x y zm m m byly stejné a rovné
hmotnosti elektronu ve vakuu. Krystalový potenciál ale situaci mění, setrvačnost elektronů může být různá v
12
různých směrech a typicky se liší od setrvačnosti volného elektronu. Ekvienergiové plochy s disperzí (1.19)
jsou elipsoidy, jejichž objem snadno najdeme. S použitím transformace
' 3 * * * 3 '
*
, , , , d dj
j x y z
j
k
k j x y z k m m m k
m
   (1.20)
je objemový integrál ve vztahu (1.18) objemem třírozměrné v koule s kvadrátem poloměru 2(E-E0)/ħ2
, tedy
(4/3)[2(E-E0)/ħ2
]3/2
. Derivováním podle E tedy dostaneme příspěvek pásu (1.19) do hustoty stavů ve tvaru
* * *1 2 3 0
0 03
4 2
( ) pro .
(2 )
n x y z
N N N
D E m m m E E E E



   (1.18)
Pro energie menší než E0 je hustota stavů nulová (žádné takové stavy v tomto pásu nejsou).
Parabolickou disperzní relaci mají volné elektrony, pro které jsou navíc všechny tři efektivní hmotnosti
stejné a rovné klidové hmotnosti elektronu ve vakuu, m0. Systém volných (neinteragujících) elektronů
můžeme vložit no nekonečně slabého periodického potenciálu, ve kterém se disperzní relace nezmění, ale
symetrie potenciálu se uplatní; to je koncept „prázdné mřížky“ („empty lattice“).
13
Prázdná mřížka FCC, se zachovanou symetrií potenciálu, má pásovou strukturu z následujícího obrázku:
Pásová struktura prázdné mřížky FCC,
podle Dresselhaus, Dresselhaus & Jorio,
Group Theory, Application to the
Physics of Condensed Matter.
Jsou zde použity standardní symboly pro označení bodů a směrů vysoké symetrie, přiřazené kartézským
souřadnicím v reciprokém prostoru podle následujícího obrázku:
14
Symboly pro body a směry vysoké symetrie v 1. BZ struktury FCC.
Jaká je energiová závislost hustoty stavů?
15
Podobný rozbor hustoty vibračních stavů, příklad fononových spekter hexagonálních krystalů SiC:
Hoffmann et al., 1994.
16Hoffmann et al., 1994.