Aplikace tenzorové algebry v geologii MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA Aplikace tenzorové algebry v geologii — přehled vzorců Interní studijní text k předmětu Rostislav MELICHAR *vJEBS'í. — MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ. OPVntWvM EVROPSKÁ UNIE MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY P-» tonkunm.lchopno.t INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ BRNO Verze ze dne: 1. prosince 2014 Rostislav Melichar: Aplikace tenzorové algebry v geologii. Masarykova univerzita v Brně. Brno, 1. prosince 2014. ©Rostislav Melichar, 1. prosince 2014 Všechna práva vyhrazena Předmluva Předložený text je stručným přehledem základních termínů a pravidel pro počítání s tenzory; má spíše charakter mírně rozšířených vysokoškolských poznámek než normální učebnice. Cílem bylo spíše vymezit potřebné znalosti, než je vyložit jako v klasické učebnici matematiky. Text psaný velkým písmem je povinným obsahem základního kurzu, malým písmem jsou některé doplňkové informace a hvězdičkou jsou označeny podkapitoly, které jsou určeny pro hlubší porozumění problematiky pro zájemce. Součástí kurzu je využití programu Excel s doplňkem Matrix, který lze volně získat. V Ex-celu je nutno zvládnout následující základní matematické operace, základní matematické funkce, vkládání vzorců, vkládání interaktivní proměnné do vzorců, přenášení a kopírování vzorců: Operátory český název = ruční vložení vzorce (vepsáním) + sčítání — odčítání * násobení / dělení Funkce český název ODMOCNINA(a) MOD(a; b) RADIANS(a) DEGREES (a) SIN(a) COS(a) TG(a) ARCSIN(a) ARCCOS(a) ARCTG(a) ARCTG2(x; y) druhá odmocnina z čísla a zbytek po celočíselném dělení a/b převod úhlů ze stupňů na radiány převod úhlů z radiánů na stupně sinus úhlu v radiánech cosinus úhlu v radiánech tangens úhlu v radiánech akus sinus - vrátí úhel v radiánech akus cosinus - vrátí úhel v radiánech akus tangens - vrátí úhel v radiánech akus tangens ze souřadnic x, y - vrátí úhel v radiánech Ovládání český název Ctrl + C zkopírovat do paměti Ctrl + X vyjmout do paměti Ctrl + V vložit z paměti 5 Ačkoliv Ecel obsahuje některé maticové funkce, je lepší užívat funkce doplňku Matrix, neboť Excelovské funkce někdy dávají chybné znaménko výsledku. V doplňku Matrix jsou definovány následující operace, které je nutno v kurzu zvládnout: Funkce český název MAbs MNorm MNormalize norma (délka) vektoru nebo norma matice Norm of vector or matrix norma (délka) vektoru nebo norma matice Vector of matrix norm vektor normovaný na jednotkovou délku (=směrový vektor) Vectors normalization MAdd součet vektorů nebo matic stejných rozměrů Matrix addition MSub rozdíl vektorů nebo matic stejných rozměrů Matrix subtraction MMultS ProdScal ProdVect MProd MT MDet skalární násobek vektoru nebo matice Matrix scalar multiplication skalární součin dvou vektorů stejných rozměrů Scalar product vektorový součin dvou vektorů v trojrozměrném prostoru Vector product součin dvou nebo více matic, předchozí matice musí mít vždy počet sloupců rovný počtu řádků matice následují Matrix product transponovaná matice Matrix transpose determinant čtvercové matice Determinant MInv inverzní matice z čtvercové regulární matice Matrix inverse MEigenvalJacobi MEigenvecJacobi Ovládání matice charakteristických čísel symetrické čtvercové matice Eigenvalues of symmetric matrix matice charakteristických vektorů symetrické čtvercové matice Eigenvectors of symmetric matrix český název Ctrl + Shift + OK vložení výsledku maticové funkce do všech vybraných buněk Obsah 1 Kvantifikace deskriptivních údajů a základní algebraické struktury 11 1.1 Relační údaje................................... 11 1.2 Kvantifikované údaje............................... 11 1.2.1 Míra kvantifikace............................. 11 1.2.2 Veličiny podle míry složenosti...................... 11 1.3 Základní algebraické operace........................... 12 1.3.1 Vlastnosti binárních algebraických operací............... 12 1.4 Algebraické struktury............................... 13 1.4.1 Struktury s jednou vnitřní operací.................... 13 1.4.2 Struktury se dvěma vnitřními operacemi................ 14 2 Základy vektorové matematiky 15 2.1 Základní informace o vektorech......................... 15 2.2 Sčítání vektorů.................................. 16 2.2.1 Odčítání vektorů............................. 17 2.3 Skalární násobek vektoru............................. 17 2.3.1 Dělení skalárem.............................. 18 2.4 Skalární součin.................................. 20 2.5 Vektorový součin................................. 21 2.5.1 Složené a vícenásobné součiny vektorů ................. 22 2.6 Vztahy mezi směrovými vektory......................... 23 2.6.1 Obecné vztahy mezi vektory jednoho souřadnicového systému .... 23 2.6.2 *Reciproké vektory a rozklad vektoru do libovolné báze........ 23 3 Základy maticové matematiky 25 3.1 Matice....................................... 25 3.1.1 Základní termíny............................. 25 3.1.2 Transponování matice .......................... 25 3.2 Základní operace s maticemi........................... 25 3.2.1 Sčítání matic............................... 25 3.2.2 Odčítání matic.............................. 25 3.2.3 Násobení matice skalárem........................ 25 3.2.4 Násobení matic.............................. 26 3.2.5 Inverze matice............................... 26 3.2.6 Rozklad matice na sloupcové a řádkové vektory............ 26 3.2.7 Invarianty matice 3x3.......................... 26 3.2.8 Rozklad tenzoru na symetrickou a antisymetrickou složku....... 26 3.2.9 Rozklad symetrické matice na matici diagonální a matici rotace (spektrální rozklad matrice) ............................. 27 7 4 Transformace souřadnicových systémů 29 4.1 Rotace veličin................................... 29 4.1.1 Rotace vektoru.............................. 29 4.1.2 Rotace tenzoru.............................. 29 4.2 Vlastnosti matice rotace............................. 30 4.2.1 *Matice rozdílu orientace......................... 30 4.2.2 *Charakteristická čísla matice rotace.................. 30 4.2.3 *Charakteristické vektory matice rotace ................ 31 4.3 *Operace symetrie ................................ 31 4.3.1 *Symetrie podle rotačních os....................... 31 4.3.2 *Středová symetrie............................ 31 4.3.3 *Zrcadlová symetrie ........................... 31 5 *Odvození matic rotace 33 5.1 Matice rotace kolem základních souřadných os................. 33 5.1.1 Rotace kolem osy x............................ 33 5.1.2 Rotace kolem osy y............................ 33 5.1.3 Rotace kolem osy z............................ 33 5.2 Rotace kolem obecných os............................ 34 5.2.1 Rotace kolem libovolné horizontální osy................. 34 5.2.2 Rotace plochy do horizontální polohy.................. 34 5.2.3 Rotace kolem libovolné osy........................ 35 5.3 Geometrické prvky určené maticí rotace .................... 36 5.3.1 Lineace určená maticí rotace....................... 36 5.3.2 Plocha určená maticí rotace....................... 36 5.3.3 Lineace a plocha určené maticí rotace.................. 37 5.3.4 Ortogonální prvek určený maticí rotace................. 37 5.3.5 Ortogonální prvek určený Eulerovými úhly............... 38 6 * Goniometrické vzorce a sférická geometrie 39 6.1 Základní hodnoty goniometrických funkcí.................... 39 6.1.1 Znaménka goniometrických funkcí v jednotlivých kvadrantech .... 39 6.1.2 Hodnoty goniometrických funkcí základních úhlů ........... 39 6.1.3 Převod goniometrických funkcí do I. kvadrantu ............ 39 6.2 Součin a součet úhlů a goniometrických funkcí................. 39 6.2.1 Převody goniometrických funkcí na jiné goniometrické funkce..... 39 6.2.2 Goniometrické funkce součtu úhlů.................... 40 6.2.3 Součet goniometrických funkcí...................... 40 6.2.4 Součin goniometrických funkcí...................... 40 6.3 Goniometrické funkce dvojnásobného a polovičního úhlu........... 40 6.3.1 Převod kvadrátů a součinů téhož úhlu na dvojnásobné úhly...... 40 6.3.2 Goniometrické funkce dvojnásobného úhlu............... 41 6.3.3 Goniometrické funkce polovičního úhlu................. 41 6.4 Sférická trigonometrie .............................. 41 6.4.1 Pravoúhlý sférický trojúhelník...................... 41 6.4.2 Obecný sférický trojúhelník....................... 42 í) 7 Souřadnicové soustavy 43 7.1 Definice souřadnicových soustav......................... 43 7.1.1 Geografické souřadnice.......................... 43 7.1.2 Napjatostní souřadnice.......................... 44 7.1.3 Souřadnicová soustava zlomu ...................... 44 7.1.4 Směrové vektory os jednotlivých souřadných soustav ......... 44 7.1.5 Matice transformace jednotlivých souřadnicových soustav....... 45 7.1.6 Inverze složené matice.......................... 45 7.1.7 Vektorový součin matice a vektoru ................... 46 8 Krystalová symetrie 47 8.1 Základní pravidla................................. 47 8.1.1 Krystalový tvar.............................. 47 8.2 Millerovy symboly ................................ 47 8.2.1 Značení orientace............................. 48 8.2.2 Počítání s Millerovými symboly..................... 48 8.2.3 ....................................... 48 8.2.4 ....................................... 48 8.3 Izotropie...................................... 48 10 Kapitola 1 Kvantifikace deskriptivních údajů a základní algebraické struktury 1.1 Relační údaje Při zpracovávání údajů nejprve zvládáme pouze porovnávání jevů (relace), později je umíme do různé míry kvantifikovat. Základní relační vztahy Rovnost a různost dat: jednotlivé údaje můžeme porovnávat a můžeme určit, zda jsou shodné (a = b) nebo rozdílné (a =/= b) . Neumíme je jinak srovnat, ani je seřadit podle velikosti. Nerovnosti dat: jednotlivé údaje můžeme porovnávat, umíme určit, zda je den větší než druhý (a > b), umíme je seřadit podle velikosti (a > b > c) . Základní vlastnosti relací Vlastnost Rovnost Různost Nerovnost Reflexivnost: a = a - - Symetričnost: a = b => b = a a =/= b => b =/= a a > b => b < a (obrácené znaky) Tranzitivnost: (a = b) A (b = c) z předpokladu (a ^ i) A (6 ^ c) a > b A b > c => a = c nelze usoudit, že s ^ c => a > c Pro různost neplatí reflexivnost a tranzitivnost. Pro nerovnosti neplatí reflexivnost a symetričnost. 1.2 Kvantifikované údaje Kvantifikované údaje se mohou lišit jednak podle míry možné kvantifikace, jednak mohou být složené. Vždy však jsou vyjádřeny čísly - proto také zavádíme "fyzikální"jednotky. Mezi složitější kvantitativní vztahy patří např. komplexní čísla a také tenzory, kterým je věnována hlavní část výkladu. 1.2.1 Míra kvantifikace Rozdílové údaje: Můžeme určit rozdíl (a — b) , tj. o kolik je jeden údaj větší či menší nežli údaj druhý. Nevíme však, jaká je pozice absolutní nuly, a proto si často volíme nulu dohodou. Poměr velikostí údajů však určit nelze, nař. teplota ve stupních Celsia. Poměrové údaje: Můžeme určit nejen rozdíl, ale i poměr velikostí (a / b) , neboť je známo, jaká je absolutní nula. Např. teplota v Kelvinech. 1.2.2 Veličiny podle míry složenosti Fyzikální veličiny podle jejich složitosti rozdělujeme do několika typů: • skalár - veličina je určena jedním (3° = 1) číslem (teplota, hustota, objem, ...) • vektor - veličina je určena třemi (31 = 3) čísly (napětí, síla, rychlost, ...) 11 Í2KAPIT0LA 1. KVANTIFIKACE DESKRIPTIVNÍCH ÚDAJŮ A ZÁKLADNÍ ALGEBRAICKÉ STRUKTURY • tenzor 2. řádu - veličina je určena obecně 32 = 9 čísly, matice 3x3 (napjatost, optická indikatrix, ...) • tenzor 3. řádu - veličina je určena obecně 33 = 27 čísly, zjednodušeně jako matice 3x6 (piezoelektrický jev, ...) • tenzor 4. řádu - veličina je určena obecně 34 = 81 čísly, zjednodušeně jako matice 6x6 (elastické vlastnosti, ...) • tenzor . .. atd. Obecně můžeme všechny označit za tenzory, přitom skaláry za tenzory nultého řádu, vektory za tenzory prvního řádu a tenzory s. s. za tentory s. I. druhého řádu. Skaláry U skalární veličiny lze v každém místě (x,y,z) a čase (ŕ) určit jednoznačně velikost (případně znaménko) dané veličiny: a = f(x,y,z,t) (1.1) Skalární veličiny označujeme zpravidla malými nebo velkými písmeny latinské abecedy, a to tzv. matematickou kurzívou. Vektory Vektory mají v každém bodě a čase jak svoji velikost, tak i svůj směr (případně smysl - znaménko). Vektory znázorňujeme v maticovém zápisu jako sloupcový vektor. Značíme je obvykle malými písmeny (latinskými či řeckými), a to tučně nebo se šipkou nad tímto písmenem (n = n). Vektor se znázorňuje pomocí orientované (směrované) šipky, jejíž délka vyjadřuje velikost vektoru. Tenzory Tenzory se znázorňují elipsoidem, u kterého je nutno znát délky všech tří poloos a rovněž jejich orientaci. Směr poloos, které jsou na sebe kolmé, je dán třemi nezávislými složkami jako ortogonální směrový systém. Tenzory se označují obvykle velkými písmeny latinské abecedy tučně nebo v hranatých závorkách. 1.3 Základní algebraické operace Algebraické operace umožňují kvantitativně zpracovávat vědecká data. Algebraická operace přiřazuje uspořádané n-tici prvků (údajů) nejvýše jeden prvek výsledný. Podle počtu prvků, které do ní vstupují, rozlišujeme operace unární (s jedním prvkem), binární (se dvěma prvky), ternární (tříprvkové) atd. Binární algebraickou operaci vyznačujeme různými znaky umístěnými mezi oba prvky vstupujícími do operace, např. + ,—,-, x,:, / a další, pro obecné označení nějaké operace používáme obvykle o. Při aditivním charakteru operace (sčítání) užíváme + nebo ©, při multiplikativním (násobení) zase ■,© nebo x, apod. Podle toho, zda jsou vstupní a výstupní prvky z téže množiny nebo nikoliv, rozlišujeme operace vnitřní (prvky ze stejné množiny) a nebo vnější, pokud výsledný prvek a prvky vstupní patří jiným množinám. U vnitřních operací můžeme rozlišit ještě operace „na množině ", které přiřazují výsledný prvek všem možným kombinacím prvků, a nebo operace „v množině", které výsledný prvek přiřazují jen některým kombinacím. 1.3.1 Vlastnosti binárních algebraických operací Následující vlastnosti mohou ale nemusí mít určitá algebraická operace. Při tom existence některých podmiňuje možnost dalších a případně také jejich použití. Pro jednoduchost odvolávání se na jednotlivé vlastnosti je u nich vzynačeno zkratkové označení písmenem. Neomezená existence operace vlastnost E Ke každým dvěma prvkům a, b E A. vstupujícím do operace existuje i prvek výsledný: a o b = c. Tato vlastnost je důležitá pro to, zda se musíme starat o charakter vstupních dat, případně která data do operace vstupovat nemohou. Např. u dělení reálných čísel nelze užít nulu ve jmenovateli, zatímco u násobení čísel mohou do operace vstupovat všechna data. 1.4. ALGEBRAICKÉ STRUKTURY 13 Komutativnost operace vlastnost K Pro každé dva prvky a, b E A. platí: a o b = b o a. Pokud platí komutativnost, nemusíme sledovat pořadí, resp. to, zda je další veličina přeřazena do operace zleva nebo zprava. Pokud např. násobení matic není komutativní, mluvíme o násobení zleva nebo o násobení zprava. Asociativnost operace vlastnost A Pro každé tři prvky a,b,c G A platí: (a o b) o c = a o [b o c). Existence neutrálního prvku vlastnost N V množině prvků existuje takový prvek e G A , že pro každý prvek a G A platí: aoe = eoa = a). Neutrální prvek je tedy takový, že v operaci nemění hodnotu prvku druhého. Pokud se jedná o sčítání, označujeme takový prvek jako nulový: 0, v případě násobení jako prvek jednotkový: 1. Existence inverzního prvku vlastnost I Pro každý prvek a G A existuje prvek inverzní ä G A takový, že platí: a o ä = e. Prvky a, ä označujeme jako vzájemně inverzní prvky. Jedná-li se o sčítání, označujeme inverzní prvek jako prvek opačný —a, u násobení jako prvek převrácený neboli reciproký a-1. Je-li operace asociativní, pak ke každému prvku a G A existuje nejvýše jeden prvek inverzní ä G A vzhledem k dané operaci, a platí: (a) = a. Existence inverzní operace vlastnost L, P Pro prvky ve vztazích: existují takové operace, že platí: a l ď b P a Prvou inverzní operaci | L | nazýváme jako pravou inverzi a druhou P jako levou. Je-li původní operace komutativní, pak jsou obě inverzní operace - pravá a levá - totožné. Mohou nastat následující situace: existují obě inverzní (pravá i levá) operace, existuje pouze jedna z nich a nebo neexistuje žádná z nich. Pokud inverzní operace existují, mohou existovat NA nebo V množině, tj. jsou definovány pro všechny prvky nebo jen pro prvky některé. Existence inverzní operace umožňuje řešení rovnic s danou operací. Jedná-li se o operaci sčítání, je inverzní operací odčítání, jde-li o násobení, je inverzní operací dělení. Distributivnost jedné oprace vzhledem k operaci druhé vlastnost D Distributivnost vyjadřuje vztahy mezi dvěma operacemi, např. © a 0. Je-li operace 0 distributivní vzhledem k operaci 0, pak platí: (a © b) 0 c = (a 0 c) © (b 0 c) a 0 (b © c) = (a 0 b) © (a 0 c) 1.4 Algebraické struktury Algebraická struktura je neprázdná množina prvků A, na níž je definována alespoň jedna algebraická operace. 1.4.1 Struktury s jednou vnitřní operací Grupoid je neprázná množina prvků, na níž je definována jedna operace s vlastností E. Pologrupa je grupoid, jehož operace je asociativní. Grupa je pologrupa, jejíž operace má i vlastnosti N a I. Definicí je zajištěna i existence inverzních operací na grupě. Pokud má grupoid, pologrupa či grupa i vlastnost K, nazývá se komutativní neboli abelovský grupoid, pologrupa či grupa. Í4KAPIT0LA 1. KVANTIFIKACE DESKRIPTIVNÍCH ÚDAJŮ A ZÁKLADNÍ ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Vlastnosti operace Algebraická struktura E K A N I neomezenost komutativnost asociativnost neutrální p. inverzní p. Grupoid nekomutativní • - - - - komutativní • • - - - Pologrupa nekomutativní • - • - - komutativní • • • - - Grupa nekomutativní • - • • • komutativní • • • • • Tabulka 1.1: Algebraické struktury s jednou vnitřní operací. E - neomezená existence operace, N- existence neutrálního prvku, I- existence inverzních prvků. Algebraická Vlastnosti první operace Vlastnosti druhé operace Vzájemně struktura Ei Ai Ni li E2 K2 A2 N2 I2 D Polookruh • • • - - • (•) (•) - - • Okruh • • • • • • (•) (•) - - • Těleso Tabulka 1.2: Algebraické struktury se dvěma vnitřními operacemi. E - neomezená existence operace, K-komutativnost, A- asociativnost, N- existence neutrálního prvku, I- existence inverzních prvků, D - distributivnost druhé operace vzhledem k první. 1.4.2 Struktury se dvěma vnitřními operacemi Polookruh je neprázdná množina, na níž jsou definovány dvě vnitřní operace, první (sčítání) a druhá (násobení). První má vlastnosti Ei, Ai a Ki a druhá E2 a dále mají společnou vlastnost D druhé operace vzhledem k operaci první. Okruh je polookruh, jehož první operace má ještě vlastnosti Ni li. Platí-li komutatinost a asociativnost, příp. odě vlastnosti druhé operace, nazývá se polookruhh nebo okruh jako komutativní, asociativní, příp. asociativněkomutativní. Těleso je asociativně-komutativní okruh, kde druhá operace má navíc vlastnosti N2 a I2 pro všechny nenulové prvky. Kapitola 2 Základy vektorové matematiky 2.1 Základní informace o vektorech Etymologie Vektor = přenašeč (z místa na místo), cestovatel. Definice Vektor je složená veličina, určená jak velikostí, tak i směrem. Její složenost se vyjadřuje při zápisu zpravidla polotučným písmem, obecně se užívají malá písmena, např. a. Souřadnicové soustavy Pro numerická řešení studovaných problémů užíváme téměř výhradně pravotočivé ortogonální ekvidistantní souřadné soustavy: • ekvidistantní - na všech osách je stejné a rovnoměrné dělení. • ortogonální - mezi souřadnými osami jsou pravé úhly • pravotočivá - kladný směr rotace je pravotočivý. „Točivost" souřadné soustavy určíme pomocí pravidla pravé ruky: „Natočíme-li palec pravé ruky do kladného směru osy, pak ostatní prsty ukazují kladný směr rotace kolem ní. " Tento kladný směr určuje zároveň vzájemnou pozici obou dalších os: kladná část osy +z je orientována o 90° v kladném směru rotace od osy +y. Směry souých os označujeme pomocí jednotkových vektorů ei, e2 a e3 (tzv. ortonormální báze). Geologické souřadnice Geologický souřadný systém je určen klasickou konvencí: • osa x je vodorovná a její kladná část směřuje k severu • osa y je vodorovná a její kladná část směřuje k východu • osa z je vertikální a její kladná část směřuje dolů Směry souřadných os jsou určeny jednotkovými směrovými vektory x, y a z. lyj = (2.1) Složky vektorů určené v geologické souřadnicové soustavě jsou označovány indexy x, y a z. Při některých postupech potřebujeme určit, která část prostoru je kladná. Konvenčně si ji definujeme s ohledem na historický vývoj takto: hodnota na ose: část z y X poloprostoru + libovolné libovolné + libovolné kladná část + 0 0 0 vektor nulové délky neurčuje směr — libovolné záporná část - libovolné libovolné Za kladnou část prostoru tedy považujeme její spodní (dolní) polovinu, u vodorovných směrů jejich východní část a konečně u severojižních vodorovných směrů za kladnou část považujeme směr k severu. 15 16 KAPITOLA 2. ZÁKLADY VEKTOROVÉ MATEMATIKY Formy zápisu vektorů Vektor v trojrozměrném prostoru je uspořádaná trojice čísel, kterou zapisujeme do složených závorek (vektorový tvar): a = a = {ai; a2; a3} (2.2) K zápisu můžeme použít i matičkové matematiky. Potom všechny vektory považujeme za sloupcové, avšak při potřebě jejich zápisu v řádku používáme transponovanou podobu (maticový tvar): a2 as [ai a2 a3] (2.3) Pro některá odvození je vhodný algebraický tvar zápisu vektoru: a = a1.e1 + a2.e2 + a3.e3 (2.4) kde ei, &2 a e3 jsou vektory báze vektorového prostoru. Poslední tvar můžeme označit jako goniometrický či eulerovský tvar: a = a.(cos ai.ei + cos «2-e2 + cos «3.63) (2-5) a = a. (cosi — bi a2 - b2 «3 - ^3 = («i - &i)-ei + (fl2 - b2).e2 + (a3 - b3).e3 (2.10) Je-li výsledný vektor odčítání c = a — b, pak pro jeho složky Cj platí: q = at - bi (2-11) Základní vlastnosti vektorového odčítání Existence operace - odčítat lze pouze vektory téhož významu a rozměru, jinak je existence operace neomezená. Komutativnost - odčítání není komutativní operací: a — b =/= b — a, je antikomutativní: a —b = —(b —a). Obrácením pořadí při odčítání je výsledkem vektor stejné délky, stejného směru, ale v opačném směru - výsledkem je tedy vektor opačný. Existence neutrálního prvku - existuje nulový vektor (0 = 0), který původní vektor v operaci nemění: a — 0 = a. Příklad Skládání pohybu litosférických desek, výpočet vzájemného pohybu dvou desek prostřednictvím desky třetí. 2.3 Skalární násobek vektoru Opakovaným sčítáním (při platnosti asociatívnosti sčítání) těchže vektorů můžeme dospět k představě skalárního násobku vektoru: a + a + aH-----h a = n.a (2-12) Skalárním násobkem vektoru je vektor, který má stejný směr jako původní vektor a velikost danou součinem skaláru a absolutní velikosti vektoru. Součin vektoru a skaláru vypočteme jako součin každé složky vektoru a dané skalární veličiny: k.a. = {k.a\, k.a2; k.a3} k.CL\ k.a2 k.a3 k.ai.e1 + k.a2.e2 + k.a3.e3 (2-13) 18 KAPITOLA 2. ZÁKLADY VEKTOROVÉ MATEMATIKY Základní vlastnosti skalárního násobku vektoru Pro násobení vektoru a skaláru platí komutativní, asociativní i distributivní zákon, násobení číslem 1 původní vektor nemění: Existence operace - do operace může vstupovat jakýkoliv skalár a vektor, existence operace je tedy zcela neomezená. Komutativnost - skalární násobek vektoru je komutativní operací: k.a = a.k Asociativnost - skalární násobek vektoru je asociativní operací: (k.a).i = k.(al), resp. k.(i.a) = (k.tj.a, závorku tedy nemusíme psát. Distributivnost vzhledem ke sčítání skalárů - (k + i) .Sl — k .Sl + i.a Distributivnost vzhledem ke sčítání vektorů - k.(a + b) = k.a + k.b Existence neutrálního skalárního prvku - existuje jednotkový skalár (k = 1), který původní vektor v operaci nemění: l.a = a. Neutrální vektorový prvek nemůže existovat, neboť výsledkem operace není skalár. Existence inverzního skalárního prvku - každému prvku k existuje inverzní prvek (k 1), pro něž platí: k.k^1 .a = a. Inverzní vektorový prvek nemůže existovat, neboť výsledkem operace není skalár. Existence inverzní operace pro vektor - existuje inverzní operace pro určení neznámého vektoru x, která umožňuje řešit rovnici: fc.x = b. Prvek x je určen jednoznačně: x = h/k. Inverzní operace se nazývá dělení skalárem. Existence inverzní operace pro vektor - inverzní operace obecně neexistuje. Inverzní operace pro určení neznámého skaláru x z rovnice x.a = b je možná pouze v případě rovnobežnosti vektorů a a b. Prvek x je potom určen jednoznačně. Nejsou-li vektory rovnoběžné (obecný případ), nemá rovnice žádné řešení a inverzní operace neexistuje. Další vlastnosti skalárního násobku vektoru Násobení nulou: O.a = 0 Násobení nulovým vektoremu: k.O = 0 2.3.1 Dělení skalárem Dělení číslem k =/= 0 provádíme jako násobení vektoru jeho převrácenou hodnotou l/k: a k a>i/k a2/k a3/k al . a2 . a3 T'ei + T'e2 + T'e3 (2.14) Záporný vektor vzniklý vynásobením vektoru a číslem — 1: -a2 -a3 -ai.ei — a2.e2 — a3.e3 (2.15) nám umožní realizovat odčítání, neboť ax — bx a b = a + ( b) = Cly -by Clz -bz (ai - 6i).ei + (a2 - b2).e2 + (a3 - b3).e3 (2.16) 2.3. SKALÁRNÍ NÁSOBEK VEKTORU 19 Jednotkový směrový vektor Jednotkový vektor je vektor jednotkové délky |a°| = 1. Ke každému vektoru s výjimkou vektoru nulového můžeme jednoznačně určit jednotkový vektor: a a" = — = a ai/a a2/a a^/a = — ei a a2 ■e2 «3 ■e3 (2.17) Jednotkový vektor určuje pouze směr daného vektoru, proto jej také označujeme jako směrový vektor. Výpočet jednotkového vektoru označujeme jako normování a výsledný jednotkový vektor jako vektor normovaný. Původní (nenulový) vektor můžeme psát jako skalární násobek jeho velikosti a směrového (jednotkového) vektoru: (2.18) (2.19) a = a.a° = a.aj.ex Vlastnosti jednotkového vektoru: 1 a.ag.e3 Velikosti jednotlivých složek odpovídají směrovým kosinům: a2 «3 = cos a± = COS a2 = COS Qí3 kde úhly oij jsou úhly mezi i-tým vektorem báze (souřadnou osou) a daným vektorem. (2.20) (2.21) (2.22) Lineární závislost vektorů Platí-li lineární závislost mezi vektory ai, a2, a3 ...an vyjádřená vztahem: fci.ai + k2.8L2 + k3.a3 an = 0 (2.23) kde k\, k2, k% .. .kn jsou libovolná nenulová čísla, pak vektory ai, a2, a3 .. .an označujeme jako lineárně závislé. Jedná-li se o dva vektory, říkáme, že jsou kolineární a jsou navzájem paralelní. Jedná-li se o tři vektory, říkáme, že jsou komplanární a všechny tři potom leží v jedné rovině. Více než tři vektory jsou v trojrozměrném prostoru vždy lineárně závislé, proto také každý vektor v trojrozměrném prostoru můžeme rozložit na maximálně tři lineárně nezávislé vektory (složky). Jsou-li vektory lineárně závislé, lze ze vztahu ref linearnizavislost vyjádřit jeden z vektorů (ai) pomocí skalárních násobků zbylých vektorů: ki k2 k3 kn a; = -— ■ ai - — ■ a2 - — ■ a3-----— (2.24) Obrázek 2.1: Odvození vektorové rovnice přímky. *Vektorová rovnice přímky Přímka daná polohovým vektorem jednoho bodu ri a směrovým vektorem 1: r = ri + fc.l kde r je polohový vektor jakéhokoliv bodu přímky a k je libovolné reálné číslo (parametr). Přímka daná polohovými vektory dvou bodů přímky: r = n + fc.(r2 — ri) 20 KAPITOLA 2. ZÁKLADY VEKTOROVÉ MATEMATIKY 2.4 Skalární součin Skalární součin je součet součinů odpovídajících složek. Je to skalár (číslo), jehož velikost je dána součinem velikostí obou vektorů a kosinu úhlu 6, který svírají: a.b = a\.b\ + ÍX2.Ď2 + »3-^3 = ob. cos 5 (2.25) Skalárního součinu s výhodou užíváme k testování vzájemné orientace dvou vektorů. Pro kolmé vektory platí: a.b = 0 (2.26) a pro paralelní vektory: a.b = ab (2.27) Jsou-li oba vektory jednotkové délky, pak je posledně uvedený součin roven jedné. Součin libovolného vektoru a a vektoru jednotkového b° je roven délce průmětu prvního do směru druhého: a.b0 = a. cos ô (2.28) Tak můžeme určit i složky vektoru v dané bázi vektorového prostoru: ai = a.ei (2.29) a2 = a.e2 (2.30) a3 = a.e3 (2-31) Poznámka: Zde je uveden vektorový zápis skalárního součinu. V textu je užíván maticový zápis: a.b = aT.b (podrobněji viz níže). Pravidla pro skalární součiny Pro skalární součiny platí komutativní a distributivní zákon. a.a = a2 (2.32) |a| = Va2" (2.33) a.b = b.a (2.34) k.(a.b) = (fc.a).b = a.(fc.b) (2.35) a.b = aĎ.a°.b° (2.36) (k.a).(i.b) = ki.(a.b) (2.37) (a+b).c = a.c + b.c (2.38) (2.39) Poznámka: V maticovém zápisu není násobení komutativní, platí však: aT.b = bT.a (viz níže). Řešení rovnic se skalárním součinem Řešením rovnice se skalárním součinem a • x = 0 jsou všechny vektory x, které jsou kolmé na vektor a. Řešením rovnice se skalárním součinem a • x = k jsou všechny vektory, pro něž platí |x|. cost>xa = Jsou to všechny vektory, které mají stejný průmět na vektor a (terminopolární vektory). Jsou to všechny vektory, které mají počátek v počátku vektoru aa konec ležící v rovině kolmé k vektoru a a ležící ve vzdálenosti j^j-. Obě rovnice mají tedy nekonečně mnoho řešení. Je to proto, že se při skalárním součinu ztrácí informace o složce vektoru x, která je kolmá na vektor a. Proto také nelze vytvořit inverzní operaci ke skalárnímu součinu vektorů. *Vektorová rovnice roviny Rovina daná polohovým vektorem jednoho bodu ri a normálovým vektorem roviny n: (r — ri) • n = 0 kde r je polohový vektor jakéhokoliv bodu roviny. 2.5. VEKTOROVÝ SOUČIN 21 Rovina daná polohovými vektory tří bodů (ri, r2, r3): r = n + fc.(r2 - ri) + £(r3 - ri) kde r je polohový vektor jakéhokoliv bodu přímky a k a í jsou libovolná reálná čísla (parametry). 2.5 Vektorový součin Vektorový součin dvou vektorů v třírozměrném prostoru je vektor, který je kolmý na oba činitele a jeho velikost je dána součinem velikostí obou činitelů a sinu úhlu 6, který svírají: a x b = a x b = a x b la x b| «2&3 - «3^2 a3bi - ČI1&3 ai&2 — «2^1 ei e2 e3 dl CI2 ťJ3 h b2 b3 a|.|b|.a° x b° = ab.a° al.lbl. siná = ab. sin S (2.40) = (a2b3 - a362)-ei + (a3&i - <2i&3).e2 + (<2i&2 - a2b1).e3 (2-41) (2.42) (2.43) (2.44) Základní vlastnosti vektorového součinu Existence operace - vektorově násobit lze pouze vektory téhož významu a rozměru, jinak je existence operace neomezená. Jako binární operace (tj. do níž vstupují právě dva činitelé) existuje pouze v trojrozměrném prostoru. Komutativnost - vektorový součin není komutativní operací: (a x b) = —(b x a). Obrácením pořadí při vektorovém násobení je výsledkem vektor stejné délky, stejného směru, ale v opačném směru -výsledkem je tedy vektor opačný. Platí tedy rovnost pro délky: |a x b| = |b x a|. Asociativnost - vektorový součin není asociativní operací: a x (b x c) = (a.c).b — (a.b).c (a x b) x c = (a.c).b — (b.c).a (2.45) (2.46) (2.47) výsledky nejsou stejné - závorku tedy musíme psát. Distributivnost - vektorový součin je distributivní vzhledem k odčítání a sčítání vektorů, a to jak při násobení zprava, tak i při násobení zleva: ax(b + c) = axb + axc (a+b)xc = axc + bxc (2.48) (2.49) Existence neutrálního prvku - neexistuje vektor (x), který původní vektor v operaci nemění: a x x = a, pokud vektor a není nulový (a = 0). Existence inverzního prvku - neexistuje inverzní prvek, protože neexistuje neutrální prvek. Existence inverzní operace - neexistuje ani inverzní operace. Další pravidla pro upravování vektorvých součinů Opakované vektorové násobení - při vektorovém násobení opakovaně týmž vektorem je výsledkem nulový vektor: a x a = 0. 22 KAPITOLA 2. ZÁKLADY VEKTOROVÉ MATEMATIKY *Vektor plochy Jako vektor plochy označujeme vektor, který je na danou plochu kolmý (normálový vektor) a který má velikost rovnu velikosti dané plochy. Např. vektor plochy tvaru obecného kosodélníku omezeného dvěma vektory a a b je roven vektorovému součinu obou vektorů. Nebo vektor plochy tvaru trojúhleníku omezeného dvěma vektory a a b je roven: np = ^ a x b = ^ b x (b — a) = ^ a x (b — a) = i (a — b) x a = ^ (a — b) x b (2.50) Vektor povrchu tělesa je vektorový součet všech ploch stěn tohoto tělesa, které tvoří jeho povrch. Pro uzavřené povrchy je tento součet roven nule. 2.5.1 Složené a vícenásobné součiny vektorů Vícenásobný součin vektorů je takový součin, kde jsou různé operace násobení. Kombinace vektorového násobení a skalárního násobku L(axb) \k.(a x b)| (k.a) x (£.b) (k.a) x b = |fc|.|a x b| kl . (a x b) (k.b) (2.51) (2.52) (2.53) (2.54) Smíšený součin Smíšený součin je součin tří vektorů, mezi nimiž se uplatňuje jedno vektorové a jedno skalární násobení. Výsledkem skalární veličina d, jejíž geometrická interpretace je objem hranolu s hranami odpovídajícími třem jednotlivým vektorům vstupujícím do součinu: d d (a x b).c = (a, b, c) = abc. sin S cos 7 (2.55) aib2c3 - aib3c2 + a2b3ci - a2bic3 + a3bic2 - a3b2ci (2.56) a>i a2 h b2 ci c2 a3 h C3 kde úhel S je úhel mezi vektorem a a b a úhel 7 je úhel mezi vektorem c a kolmicí na vektory a a b. Pravidla pro používání smíšeného součinu: smíšený součin není komutativní, tvoří-li trojice systém pravotočivý je součin kladný, jedná-li se o levotočivý systém, má součin zápornou hodnotu. a.(b x c) = (axb).c = (a, b, c) (a, b,c) = (b, c, a) = (c, a, b) (c, b,a) = (a, c, b) = (b,a, c) (a,b,c) = (c, b,a) (2.57) (2.58) (2.59) (2.60) Další násobné součiny vektorů (a.b). c = ab. cos 5. c (2-61) (a.b).c ^ a.(b.c) (2.62) (a x b) x (c x d) = (d, a, b).c — (a, b, c).d = (c, d, a).b — (b, b, c).d (2.63) a x [b x (c x d)] = (b.d).(a x c) - (b.c).(a x d) (2.64) [(a x b) x c] x d = (a.c).(b x d) - (b.c).(a x d) (2.65) (a x b).(c x d) = (b.d).(a.c) - (b.c).(a.d) (2.66) 2.6. VZTAHY MEZI SMĚROVÝMI VEKTORY 23 2.6 Vztahy mezi směrovými vektory 2.6.1 Obecné vztahy mezi vektory jednoho souřadnicového systému Jednotkové směrové vektory souřadnicových os mají jednotkovou délku, pro vztah geografických a napja-tostních souřadnic pak platí tyto vztahy: x\ + x) + x2k = l x\ + y\ + z2l=l (2.67) Směrové vektory souřadnicových os jsou na sebe kolmé, tj. jejich skalární součiny jsou rovny nule: xtXj + ytyj + ztZj = 0 xtyt + Xjyj + xkyk = 0 (2.68) Všechny tyto vztahy vedou k závislosti složek matice transformace R, která má sice devět složek, avšak pouze tři jsou na sobě nezávislé. Uvedené vztahy využíváme také k vyloučení parametrů s indexem 2, např. pomocí vzorců: n\ + nl + n\ = 1 odkud získáme n\ = 1 - n\ - n\ (2.69) n\l\ + 712I2 + = 0 odkud získáme TL2I2 = — n^l^ (2.70) 2.6.2 *Reciproké vektory a rozklad vektoru do libovolné báze K systému tří nekomplanárních vektorů ei, B2 a e3 lze vytvořit systém tří reciprokých vektorů e^, ej a . Vlastnosti reciprokých vektorů: • skalární součin daného vektoru a k němu reciprokého (inverzního) je roven jedné: ej.ei = 1 (2.71) e*2.e2 = 1 (2.72) e^.ea = 1 (2.73) • každý reciproký vektor je kolmý na některou ze stěn rovnoběžnostěnu vymezeného původními vektory, tj. e{.e2=0 e{.e3 = 0 (2.74) e;.ei=0 e;.e3 = 0 (2.75) e3.ei = 0 e3.e2 = 0 (2.76) Z druhého požadavku vyplývá, že vektor eí bude paralelní, tj. skalárním násobkem určitého čísla fci a vektorového součinu B2 x e3: eí = fci . e2 x e3 (2.77) eí.ei = fci . (e2 x e3) . ei = 1 (2.78) fcl = -,---r = -,---r (2.79) (e2,e3,eij (ei,e2,e3J Potom lze vyjádřit reciproké vektory jako: » e2 x e3 „ e3 x ei » ei x e2 = -,-r, e a = (ei,e2,e3)' (ei,e2,e3)' (ei,e2,e3 (2.80) Reciproké vektory lze s výhodou použít pro rozklad vektoru do systému tří nekomplanárních vektorů. Máme-li rozložit vektor u do složek daných vektorovou bází ai, a2 a a3 podle vzorce: u = Mi.ai + ii2.a2 + 113.a3 (2-81) Jednotlivé složky u\, U2 a 113 lze vyjádřit vztahy: iii = u.aí, U2 = u.a2, uz = u.a3, (2.82) KAPITOLA 2. ZÁKLADY VEKTOROVÉ MATEMATIKY Kapitola 3 Základy maticové matematiky 3.1 Matice 3.1.1 Základní termíny Matice = tabulka čísel. Řádek matice - vodorovná řada čísel v tabulce. Sloupec matice - svislá řada čísel v tabulce. Rozměry matice jsou dány počtem řádků a sloupců: [mC„] = [Cmn] - m-řádků a n-sloupců. Obdélníková matice m 7^ n. Čtvercová matice m = n. Pozici prvků určuje dvojice čísel, která určuje na kolikátém řádku a v kolikátém sloupci prvek (číslo) leží, např. zápis c34 = 5 informuje o tom, že na třetím řádku ve čtvrtém sloupci je umístěno číslo 5. Hlavní diagonála je řada čísel, která začíná v levém horním rohu matice a jde šikmo doprava dolů, při čemž platí, že každý její prvek má stejné číslo řádky a sloupce: en, c22, c33, ... Symetrická čtvercová matice je taková matice, pro níž platí Cý = Cjí, je tedy symetrická podle diagonály. 3.1.2 Transponování matice = prohozaní řádků za sloupce a naopak: Determinant matice det[T] Í12-Í33 + Í13-Í22 + Í23-ÍH ~~ Í11-Í22-Í33 — 2.íi2.íl3-Í23 3.2 Základní operace s maticemi 3.2.1 Sčítání matic 3.2.2 Odčítání matic [C] = [A] - [B] 3.2.3 Násobení matice skalárem 25 26 KAPITOLA 3. ZÁKLADY MATICOVÉ MATEMATIKY 3.2.4 Násobení matic [m Cn] — [m Ar J. [r BTj,J 3.2.5 Inverze matice [C] = [A]-1 Ci3 ~ detA kde je doplněk k prvku clíj, počíta se jako subdeterminant matice vzniklé vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce a násobený znaménkovým koeficientem (—l)l+3. Inverzní matice k matici ortogonální (např. matice rotace) je rovna matici transponované. 3.2.6 Rozklad matice na sloupcové a řádkové vektory Jednotlivé sloupcové vektory A = [ai,a2,as] lze vypočítat podle vzorce: slí = A ■ e4 (3.1) Jednotlivé prvky matice v daném souřadném systému lze vypočítat podle vzorce: Cl %j — G % ' ' G j ^3.2^ 3.2.7 Invarianty matice 3x3 Invarianty jsou hodnoty matice, které nezávisí na zvoleném souřadnicivém systému. První invariant První invariant = stopa (trace) matice: h = trA = au + a22 + a33 Druhý invariant Jakou hodnotu má první invariant inverzní matice? Protože první invariant inverzní matice i determinant matice A jsou invarianty, musí být i součet subdeterminantů k prvvkům hlavní diagonály (výraz v závorce) invariantem. Třetí invariant Jaký je objem rovnoběžnostěnu vymezeného třemi sloupcovými vektory matice T = [a, b, c]? V = (a,b,c) = detT (3.4) Je tedy determinant invariantem (objem se nezmění při změně souřadnic). 3.2.8 Rozklad tenzoru na symetrickou a antisymetrickou složku Libovolný tenzor vyjádřený maticí T lze rozložit na dvě složky, jednu symetrickou Ts a druhou antisymetrickou Ta: T = Ts + Ta (3.5) Pro symetrickou složkuku platí: TST = Ts (3.6) A podobně pro antisymetrickou (antimetrickou) složku: TaT = -Ta (3.7) Tyto dvě složky lze vyjádřit vztahy: Ts = i (T + TT) = til |(íl2+Í2l) ■§ (tl3 + Č3l) |(íl2+Í2l) Í22 |(Í23+Í32) = ^(T-TT) (3.8) (3.9) |(íl3+Í3l) |(Í23 + Í32) Í33 0 |(íl2 — Í2l) !(tl3 — Í3l) |(Í21 — í12) 0 |(Í23 — í32) |(Í31 — í13) |(Í32— í23) 0 a pro transponovaný tenzor a jeho složky platí: TT = Ts Ta (3.10) 3.2. ZÁKLADNÍ OPERACE S MATICEMI 27 3.2.9 Rozklad symetrické matice na matici diagonální a matici rotace (spektrální rozklad matrice) Matici [3T3] s prvky Uj lze spektrálně rozložit pomocí charakteristických čísel a vektorů na tvar: til ti2 í13 Í12 Í22 Í23 Í13 Í23 Í33 Ti.[ti].[ti]T+T2.[t2].[t2]T+T3.[t3].[t3]T Charakteristická čísla vypočteme řešením kubické rovnice: kde: t3 + A.t2 + B.t + C = 0 A = -tr [T] = -(tu + í22 + í33) B = Í11.Í22 + til.Í33 + Í22-Í33 — í12 ~~ Íl3 ~~ Í23 C = det[T] = ti2.Í33 + Í13-Í22 + Í23-Í11 ^ Í11-Í22-Í33 — 2.ti2.tl3-Í23 (3.11) (3.12) (3.13) (3.14) (3.15) Postup řešení kubické rovnice: P = Q ~- cos íp = — r = 2. a jednotlivé charakteristické hodnoty matice jsou rovny: 2.A1 27 + c Q '|p|3 LPÍ r.cos--- r,- = —r. cos - Tfe = — r. cos i/> - 180° A 3 3" ^ + 180° _ A 3 3 (3.16) (3.17) (3.18) (3.19) (3.20) (3.21) (3.22) Složky charakteristických vektorů vypočteme např. ze vztahů: E = tu — n F = (t22-Ti).E-t212 G = -E.Í23 — Í13-Í12 txi = Í12-G — Í13.-F tyi = G.E (3.23) (3.24) (3.25) (3.26) (3.27) (3.28) Druhé dva charakteristické vektory t3 a tfc získáme dosazením dalších charakteristických čísel matice r3 a tu-Nakonec charakteristické vektory převedeme na jednotkovou délku. KAPITOLA 3. ZÁKLADY MATICOVÉ MATEMATIKY Kapitola 4 Transformace souřadnicových systémů Transformaci jednoho souřadnicového systému vyjadřujeme maticí rotace [pR„], která vyjadřuje transformaci ze souřadného systému p (původní) do systému n (nový). Za systém p, n si lze dosadit geografický, napjatostní nebo zlomový systém. COSQíii COS OL\2 COSQÍ13 COS QÍ21 COS QÍ22 COS QÍ23 COS QÍ31 COS QÍ32 COS QÍ33 rí2 ri3 í"21 í"22 r23 T3i r32 r33 (4.1) Uhly dij jsou úhly mezi souřadnými osami, první index i určuje původní souřadnici, druhý j novou. Řádky tvoří složky vektorů nových souřadných os v původní souřadnicové soustavě, sloupce tvoří vektory vyjadřující orientaci původních souřadnicových os v nové souřadnicové soustavě. 4.1 Rotace veličin 4.1.1 Rotace vektoru Transformaci souřadnic libovolného vektorového prvku v původní souřadnicové soustavě ap do nové souřadnicové soustavy a„ počítáme podle vzorce: [a„] = [PR„].[ap] (4.2) a pokud známe matici pro obrácenou transformaci [„Rp], můžeme snadno provést i zpětnou transformaci: [aP] = [„RP].[a„] (4.3) Matici pro obrácenou transformaci [„Rp] matici lze určit podle vzorce [nR„] = [PR„]-1 (4.4) avšak výpočet inverzní matice [pR„]_1 je poměrně náročný (viz matematická příloha). Matice rotace je zvláštním typem matic - je to tzv. ortogonální matice - a pro tento typ matic platí: IpRn]-1 = [PR„]T (4.5) kde [pR„]T je tzv. transponovaná matice, tj. matice, v níž jsou oproti matici původní zaměněny řádky a sloupce. Zpětnou transformaci vypočteme podle vzorce: [ap] = [pR„]T.[a„] (4.6) 4.1.2 Rotace tenzoru Transformaci souřadnic tenzorových veličin (např. napjatosti) provádíme podle složitějších vzorců. Tenzorová veličina určuje vztah mezi dvěma vektorovými veličinami a a b v původních i v nových souřadnicích (např. vztah orientace plochy a napětí na ní působící): [bp] = [Tp].[ap] (4.7) [b„] = [T„].[a„] (4.8) 29 30 KAPITOLA 4. TRANSFORMACE SOUŘADNICOVÝCH SYSTÉMŮ Chceme-li zjistit vztah jak tenzor T„ v nových souřadnicích získat transformací tenzoru Tp z původní souřadnicové soustavy, postupujeme podle následujícího odvození. Vyjdeme ze vztahu pro rotaci (transformaci) vektoru b z původních do nových souřadnic (4.2), který upravíme dosazením 4.7 a 4.8: [b„] [T„]. [a„] [T„] . [pR„] . [ap] [pRn] ■ [bp] [PR„]. [Tp]. [ap] [PR„]. [Tp]. [ap] [PR„]. [Tp] (4.9) 4.2 Vlastnosti matice rotace 4.2.1 *Matice rozdílu orientace Rozdíl orientace je tenzor AR, který lze určit jako součin tenzorů rotace, které určují orientaci obou prvků - nejprve rotujeme z orientace prvk A do referenční soustavy souřadnic a pak rotujeme do orientace prvku B: AR = RB.RTA (4.10) 4.2.2 * Charakteristická čísla matice rotace Charakteristické hodnoty a vektory lze určit z rovnice Ra = A.a (4.11) kde R je matice orientace, a je charakteristický vektor a A je skalár. Potom: (R-A.I)a = 0 (4.12) K získání netriviálního řešení (a nerovno 0) musí být determinant roven nule: det(R-A.I) = 0 (4.13) To vede k řešení kubické rovnice a ke třem řešením. Avšak při uvážení, že charakteristický vektor musí být stále zachováván při transformacích - bude charakteristickým vektorem osa rotace. Ta musí být zachována i při zpětné rotaci a tak R 1 musí zachovávat tentýž vektor. Můžeme tedy psát: R.a (R-R_1).a (R RT).a R 0 0 (4.14) (4.15) (4.16) Zbytková matice má tvar: R — R 0 r12 - r2i r13 - r31 r2i - ri2 0 r23 - r32 í"3i - fi3 r32 - r23 0 (4.17) Matice rotace má charakteristické číslo rovno ±1. 4.3. *OPERACE SYMETRIE 31 4.2.3 * Charakteristické vektory matice rotace Matice rotce má jeden charakteristický vektor a= [a1; a2, a3]T, který odpovídá vektoru osy rotace: a2 a3 Uhel rotace je pak roven: í"23 - - í"32 V (r23 -r32)2H h (r3i í"31 - -ri3)2H - Í"13 - (ri2 - í"2l)2 \/(r23 -r32)2H ri2 - -ri3)2H - r2i - 0"12 - í"2l)2 \/(r23 -r32)2H h (r3i -ri3)2H - (ri2 - í"2l)2 (4.18) cos 9 tr R- 1 Matici rotace můžeme zapsat jako: R = (I — nnT). cos uj — (n x I). sin uj + nnT (4.19) (4.20) 4.3 *Operace symetrie Pojmem symetrie je míněno to, že po provedené operaci je výsledek tentýž, neměnný. Matice rotace je určena kosiny úhlů mezi novou a starou souřadnicovou soustavou, které jsou ve vztahu k referenční soustavě určeny pomocí matic: R = R Sil cn2 Si3 ■X-pl i ~X-p2 i ^p3 (4.21) cos(x„i,xpi) cos(x„i,xp2) cos(x„i,xp3) cos(x„2,xpl) cos(aľ„2,2ľp2) cos(x„2, xp3) cos(x„3,xpi) cos(x„3,xp2) cos(x„3, xp3) Matici rotace určíme porovnáním orientace souřadné soustavy před a po rotaci. Například při zrcadlové symetrii, kde plocha zrcadla odpovídá ploše xix2 = [x3), existuje pro každý bod P[xi, x2, x3] symetrický ekvivalentní bod P'[xi, x2, — x3]. 4.3.1 *Symetrie podle rotačních os Identický tvar získáme otočením kolem osy o určitý úhel. Požadavek je, abychom na konci - při otočení o poslední díl - dosáhli původní pozice (otočení o 360°). Počet úhlů otočení do 360° označujeme jako četnost osy rotace a osu rotace jako n-četnou osu rotace (A: n-fold rotation axis). 4.3.2 *Středová symetrie Středová symetrie se někdy označuje jako symetrická operace druhého druhu (vytváří zrcadlově identický obraz, zatímco rotace vytváří identický obraz). Determinant matice transformace detT = — 1. R = -10 0 0-10 0 0-1 (4.22) 4.3.3 *Zrcadlová symetrie Matice transformace při zrcadlení podle zrcadlové plochy (x): R = -10 0 0 1 0 0 0 1 (4.23) KAPITOLA 4. TRANSFORMACE SOUŘADNICOVÝCH SYSTÉMŮ Kapitola 5 * Odvození matic rotace 5.1 Matice rotace kolem základních souřadných os 5.1.1 Rotace kolem osy x Rotace kolem osv x o úhel uj: 1 0 0 0 cos uj — sin uj 0 sin uj cos uj 5.1.2 Rotace kolem osy y Rotace kolem osy y o úhel uj: cos uj 0 sin uj 0 1 0 — sin uj 0 cos uj 5.1.3 Rotace kolem osy z Rotace kolem osy z o úhel uj: cos uj — sin uj 0 sin uj cos uj 0 0 0 1 33 34 KAPITOLA 5. *ODVOZENÍ MATIC ROTACE 5.2 Rotace kolem obecných os 5.2.1 Rotace kolem libovolné horizontální osy Rotaci kolem osy La^/Oo úhel uj provedeme tak, že nejprve rotujeme osu do směru x, provedeme rotaci o úhel uj kolem osy x a nakonec osu totace vrátíme do původní polohy: ÍR1 cos a sin a 0 — sin a cos a 0 0 0 1 1 0 0 0 cos uj — sin uj 0 sin uj cos uj cos a — sin a 0 sin a cos a 0 0 0 1 cos a — sin a cos uj — sin a sin uj sin a 0 cos a cos uj — sin uj cos a sin u; cos u; cos2 a + sin2 a cos uj sinacoscií(l — coscj) sin a sinu; sin a cos a (1 — cos u;) sin2 a + cos2 a cos uj —cos a sinu; — sin a sin uj cos a sin uj cos u; kde b.xy b = 1 — cos u; x = cos a c.y 1 - b.y2 b.xy 1 — b.x2 —c.x —c.y c.x 1 — b c = sm uj y = siná. (5.1) 5.2.2 Rotace plochy do horizontální polohy Plocha S as/f s je rotována kolem směrnice do vodorovné polohy. Ostatní směrové prvky se rotují pomocí stejné matice rotace. Rotaci provedem tak, že nejprve rotujeme zpět o azimut sklonu, takže osa rotace-směrnice se ztotožní s osou y a kolem ní rotujem o velikost sklonu ip, nakonec azimutálně vrátíme do původní pozice: [R-] = [aR-zMipR-jíM-aR-z] cos a sin a 0 — sin a cos a 0 0 0 1 cos ip 0 sin ip 0 1 0 — sin p 0 cos p cos a cos p sm a cos p — sin a cos a — cos a sin p — sin a sin p cos p sm p 0 cos a — sin a 0 sin a cos a 0 0 0 1 cos2 a cos p + sin2 a — sin a cos a(l — cos p) cos a sin p - sin a cos a{\ — cos y>) — cos a sin y> sin2 a cos y> + cos2 a — sin a sin p - sm a sm p cos y> kde 1 — b.x2 —b.xy c.x —b.xy 1 — b.y2 c.y —c.x —c.y í — b b = 1 — cos p x = cos a c = sm p y = siná. (5.2) 5.2. ROTACE KOLEM OBECNÝCH OS 35 5.2.3 Rotace kolem libovolné osy Rotaci kolem osy L / Pl ° úhel uj provedeme tak, že natočíme osu rotace do směru osy z (nejprve azimutálně a pak sklonově), provedeme rotaci a osu rotace vrátíme zpět do původní polohy: [R-] — [QRZ] ■ [90-Al - [w^z] - [^-9oRy] ■ [-qRz] Protože některé matice se nevejdou na šířku papíru, jsou jejich sloupce vypsány pod sebou a odděleny tečkou. cos a sin a 0 — sin a cos a 0 0 0 1 sin p 0 — cos p 0 10 0 COS íp sin p cos uj — sin uj 0 sin uj cos uj 0 0 0 1 sin p 0 — cos p cos 0 sin p cos a sin a 0 — sin a 0 cos a 0 0 1 cos a sin p — sin a cos a cos sin a sin cos a sin a cos — cos p 0 sin p cos a sin cos uj + sin a sin uj sin a sin p cos oj — cos a sin oj — cos p cos cj cos a sin p sin cj — sin a cos cj sin a sin sin cj + cos a cos cj — cos p sin cj cos a cos sin a cos sin cos a sin2 cos uj + sin a sin p sin cj + cos a cos2 sin a sin2 p cos cj — cos a sin sin uj + sin a cos2 p — sin cos p cos cj + sin p cos cos a sin p sin cj — sin a cos cj sin a sin sin cj + cos a cos cj — cos p sin cj — cos a sin cos p cos cj — sin a cos sin uj + cos a sin p cos — sin a sin cos cos uj + cos a cos p sin cj + sin a sin cos p cos2 a sin2 cos uj + cos2 a cos2 p + sin2 a cos uj sin a cos a sin2 cos cj — sin p sin cj + sin a cos a cos2 p — sin a cos a cos cj — cos a sin cos p cos cj + cos a sin cos + sin a cos sin uj — sin a sin p cos cos uj + sin a sin p cos — cos a cos sin cj — cos a sin cos p cos cj — sin a cos sin uj + cos a sin p cos — sin a sin cos cos uj + sin a sin p cos + cos a cos sin uj cos2 cos cj + sin2 p cos cj + cos2 a cos2 ip(l — cos uj) — sin uj sin + sin a cos a cos2 ip(l — cos uj) sin cj sin a cos + cos a cos sin p(l — cos cj) sin uj sin + sin a cos a(l — sin cj) cos uj + sin2 a cos2 p(l — cos cj) — sin uj cos a cos p + sin a cos p sin ip(l — cos uj) — sin cj sin a cos + cos a cos sin p(l — cos cj) sin uj cos a cos + sin a sin cos p(l — cos cj) cos uj + sin2 ip(l — cos uj) a + 6.x2 — c.z b.xy + c.z a + ř>.j/2 ř>.:rz — c.y b.yz + c.x ř>.:rz + c.y b.yz — c.x a+ b.z2 a = cos uj b = 1 — cos uj c = sin uj x = cos a cos p y = sin a cos p z = sin ip 36 KAPITOLA 5. *ODVOZENÍ MATIC ROTACE 5.3 Geometrické prvky určené maticí rotace 5.3.1 Lineace určená maticí rotace Vycházíme z předpokladu, že lineace je osa x rotovaná do dané polohy: [l] = [AL].[x] Vlastní výpočet matice rotace provedeme tak, že osu x rotujeme kolem osy y o úhel p v záporném směru a pak kolem osy z o azimut sklonu ai: kde cos al — sin ai 0 sin a i cos a i 0 0 0 1 cos (pi 0 — sin pi 0 1 0 sin (pi 0 cos ipi cos OLi cos ipi — sin cti sin ct i cos ipi cos a i smpi 0 cos ctism L sin cti (5.3) První sloupec matice rotace je přímo vektor 1. 5.3.2 Plocha určená maticí rotace Vycházíme z předpokladu, že normála plochy je osa z rotovaná do dané polohy: [n] = [As].[z] (5.4) Vlastní výpočet matice rotace provedeme tak, že osu x rotujeme kolem osy y o úhel p v záporném směru a pak kolem osy z o azimut sklonu ctg: [As] = [asRz}.[-VsRv] kde cos as — sin as 0 sin as cos as 0 0 0 1 a x cos ps 0 — sin ps 0 1 0 sin ps 0 cos ps cos as cos ps -S111Q5 sin as cos ps cos as sin ps 0 x.a -y —x.c y.a x -y-c c 0 a COS ps cos as Slil cos p sin p cos p cos p cos a—sm p sm a cos p cos -sin p cos a -sin p sin a cos y> (5.6) Kapitola 6 * Goniometrické vzorce a sférická geometrie 6.1 Základní hodnoty goniometrických funkcí 6.1.1 Znaménka goniometrických funkcí v jednotlivých kvadrantech kvadrant I. II. III. IV. sin a + + - - cos a + - - + tana + - + - cot a + - + - 6.1.2 Hodnoty goniometrických funkcí základních úhlů a 0 30 45 60 90 sin a VO VT s/2 s/3 s/4 9 9 9 7, 9 sin a cos a tan a cot a u 2 v/2 2 1 i s/Š s/2 1 n 2 2 2 u 0 7f 1 ^ oo oo VŠ 1 ^ 0 6.1.3 Převod goniometrických funkcí do I. kvadrantu /3 = —a a+ 90° a - 90° 90° - a a + 180° a - 180° 180° - a sin P — sin a + cos a — cos a + cos a — sin a — sin a + sina cos P + cos a — sin a + sin a + sin a — cos a — cos a — cos a tan P — tana — cot a — cot a + cot a + tan a + tan a — tan a cot /3 — cot a — tan a — tana + tan a + cot a + cot a — cot a 6.2 Součin a součet úhlů a goniometrických funkcí 6.2.1 Převody goniometrických funkcí na jiné goniometrické funkce l 1 + cot2 a cot2 a 1 + cot2 a tan a cot a 1 + tan2 a 1 1 + tan2 a sin a 1 cos a cot a sin2 a 1 1 — sin2 a cos2 a cos a 1 sin a tan a 1 ^ cos2 a sin2 a 1 — cos2 a 39 40 KAPITOLA 6. * GONIOMETRICKÉ VZORCE A SFÉRICKÁ GEOMETRIE 6.2.2 Goniometrické funkce součtu úhlů sin(a ± /3) = sin a. cos /3 ± cos a. sin /3 (6-7) cos(a ±/3) = cos a. cos /3 =p sin a. sin /3 (6-8) . , tan a ± tan/3 .„ „. tan(a±/3) =--i-- (6.9) v ' 1 =p tana. tan/3 v ' , , cot a. cot /3 t 1 .„ „ „. cot(a±/3) = -n , ^ (6.10) ^ ' ' cot /3± cot a y ' 6.2.3 Součet goniometrických funkcí , • a o • «± /3 sin a ± sin p = 2.sm-.cos- (6.11) cos a + cos p = 2. cos—-—.cos—-— (6-12) a „ . a + P . a-P , . cos a —cos p = -2. sin-.sin- (6.13) sin a + cos a = V1 — sin a (6.14) cos a —sin a = V1 + sin a (6.15) sin(a ± P) ,n _ „. tan a ± tan/3 = -i-'-j- (6.16) cos a. cos p sin(/3 ± a) . cot a ± cot /3 = —v—-£ (6.17) sin a. sin p tanaicot/3 = ±S2E^±ň (6.18) cos a. sin p 6.2.4 Součin goniometrických funkcí cos a. cos/3 = i ( cos(a + /3) + cos(a — /?)) (6.19) 2 ' sin a. sin/3 = i ( cos(a — /3) — cos(a + (6.20) sin a. cos/3 = i ( sin(a — /3) + sin(a + (6-21) tana + tan/3 .„ „„. tana.tan/3 =---£ (6.22) cot a + cot p cot a + cot /3 cot a. cot /3 = -^ (6.23) tan a + tan p tana + cot/3 ,„„,n tan a. cot /3 =---^ (6.24) cot a + tan p 6.3 Goniometrické funkce dvojnásobného a polovičního úhlu 6.3.1 Převod kvadrátů a součinů téhož úhlu na dvojnásobné úhly . 2 1 sin a = -2 2 1 cos a = -2 sin a cos a = — sin 2a (6.27) 2(l-cos2a) (6.25) 2(l+cos2a) (6.26) 6.4. SFÉRICKÁ TRIGONOMETRIE 41 6.3.2 Goniometrické funkce dvojnásobného úhlu Moivrova věta: cos na + i sin na = (cos a + i sin a)n sin 2a = 2. sin a cos a (6.28) (6.29) 2 tan a tan 2a =--=— (6.30) 1 - tan2 a y ' cot 2a = - (6.31) 2 cot a K ' 6.3.3 Goniometrické funkce polovičního úhlu a /1 — cos a 1 sin — = \ - = - V1 + sin a--\J 1 — sin a (6.32) 2 V 2 2 2 K ! a /1 + cos a 1 cos — = \j- = - V1 + sin a H—\J 1 — sin a (6.33) 2 y 2 2 2 a sin a 1— cos a /l— cos a ,„,,n tan- = - = - = W- (6.34) 2 1 + cos a sin a V 1 + cos a a srna 1+cosa /1+cosa .„ cot — = - = - = * - (6.35) 2 1 — cos a sin a V 1 — cos a 6.4 Sférická trigonometrie 6.4.1 Pravoúhlý sférický trojúhelník A ABC Značení: c - přepona; a, b - odvěsny; a, P — úhly protilehlé odvěsnám. Pravý úhel 7 leží při vrcholu C (c-/3-90 — a— 90 - b-a). Pro řešení platí Neperovo pravidlo: Kosinus libovolného prvku je roven: - součinu sinů dvou prvků protějších - součinu kotangent dvou prvků sousedních Např. cos c = sin(90 — a). sin(90 — fe) (6.36) cos c = cos a. cos b (6.37) sin a = sin a. sine (6.38) sin& = sinß. sine (6.39) cos c = cos a. cos b (6.40) cos a = sin/3.cosa (6.41) cos ß = sin a. cos & (6.42) sin a = cot ß. tan b (6.43) sin& = cot a. tan a (6.44) cos c = cot a. cot ß (6.45) cos a = cot c. tan b (6.46) cos ß = cot c. tan b (6.47) 42 KAPITOLA 6. * GONIOMETRICKÉ VZORCE A SFÉRICKÁ GEOMETRIE 6.4.2 Obecný sférický trojúhelník A ABC Věta sinová sin a sin b Věta kosinová Věta sinuskosinová Další vztahy sin /3 sin 7 (6.48) cosc = cos a. cos b + sin a. sin b. cos 7 (6.49) cos 7 = — cos a. cos /3 + sin a. sin /3. cos c (6.50) cos a. sin/3 = — sin a. cos/3. cos c + sin 7. cos a (6.51) cos a. sin b = sin a. cos b. cos 7 + sin c. cos a (6.52) cot a. sin 6 = cos 7. cos b + sin7. cot a (6.53) cota.sin/3 = — cos c. cos/3 + sin c. cot a (6.54) Vztahy pro ostatní úhly a strany získáme cyklickou záměnou prvků. Kapitola 7 Souřadnicové soustavy Používáme tři základní souřadnicové soustavy: • (místní) geografická souřadnicová soustava (G - geography) • napjatostní souřadnicová soustava (S - stress) • zlomová souřadnicová soustava (souřadnicová soustava ortogonálního strukturního prvku - zlomu, Z) Pomocí indexových značek G, S a Z můžeme vyjadřovat, v které souřadnicové soustavě jsou složky vektoru vyjádřeny. 7.1 Definice souřadnicových soustav 7.1.1 Geografické souřadnice Geografický souřadný systém je určen klasickou konvencí: • osa x je vodorovná a její kladná část směřuje k severu • osa y je vodorovná a její kladná část směřuje k východu • osa z je vertikální a její kladná část směřuje dolů Směry souřadných os jsou určeny jednotkovými směrovými vektory x, y a z. [y] = (7.1) Složky vektorů určené v geografické souřadnicové soustavě jsou označovány indexy x, y a z. Při některých postupech potřebujeme určit, která část prostoru je kladná. Konvenčně si ji definujeme s ohledem na historický vývoj takto: hodnota na ose: část z V X poloprostoru + libovolné libovolné + libovolné i kladná část 0 0 + 0 vektor nulové délky neurčuje směr — libovolné záporná část - libovolné libovolné Za kladnou část prostoru tedy považujeme její spodní (dolní) polovinu, u vodorovných směrů jejich východní část a konečně u severojižních vodorovných směrů za kladnou část považujeme směr k severu. 43 44 KAPITOLA 7. SOUŘADNICOVÉ SOUSTAVY 7.1.2 Napjatostní souřadnice Napjatostní souřadnice jsou určeny směry hlavních normálových napětí o\ (maximální komprese), er2 a 03 (relativní extenze). Tyto osy však mají axiální charakter, proto je nutno určit, která část os je kladná. Proto konvenčně volíme za kladnou část osy o\ a osy 03 tu, která směřuje do kladné (spodní) části prostoru geografického. Kladnou část směru ct2 určíme tak, aby souřadnicová soustava byla pravotočivá. Směry napjatostních souřadných os jsou určeny jednotkovými vektory e1; e2 a e3, které odpovídají směrům o\, cr2 a 03: ei = e2 = [e3] = (7.2) Složky vektorů, které jsou určeny v napjatostní souřadnicové soustavě, mají indexy 1, 2 a 3. 7.1.3 Souřadnicová soustava zlomu Plocha zlomu s lineací tvoří ortogonální směrový systém, který je definován pomocí tří jednotkových vektorů 1, m a n: • osa n má směr normály k ploše zlomu, její kladná část směřuje do kladné části prostoru (tj. do podložní, resp. východní, severní kry), • osa m leží v ploše zlomu a je kolmá k rýhování na ploše zlomu, její kladná část je určena tak, aby soustava byla pravotočivá (m = n x 1), • osa 1 leží v ploše zlomu a odpovídá rýhování na zlomové ploše, její kladná část je určena podle smyslu pohybu kry, z níž směřuje vektor normály. Např. pokud normálový vektor plochy směřuje dolů, pak kladný směr vektoru 1 určuje směr pohybu horní kry, tj. jedná-li se o pokles, pak směřuje dolů, u přesmyku nahoru. (7.3) Ve zlomové souřadnicové soustavě jsou speciálně označovány i souřadné plochy: plocha zlomu - Z, plocha kolmá k ploše zlomu a paralelní s lineací - M (movement), plocha kolmá k lineaci - A (auxiliary). Složky vektorů určené v souřadnicové soustavě zlomu označujeme indexy l, m a n. 7.1.4 Směrové vektory os jednotlivých souřadných soustav Jednotkové směrové vektory jedné souřadnicové soustavy lze vyjádřit pomocí jejich složek určených v jiné souřadnicové soustavě. Indexy pak přehledně ukazují, v jaké souřadnicové soustavě je ta která složka vyjádřena. Vektory geografických souřadnic: " 1 " X x ' lx [x] = 0 = = mx 0 G . X3 _ S " 0 " Vi ly [y] = 1 = V2 = my 0 G . yz. S ny " 0 " Zl h [z] = 0 = Z2 = mz 1 G . Z3 . s z z 7.1. DEFINICE SO UŘADNICOVÝCH SO USTAV 45 Vektory napjatostních souřadnic: " 1 " h [ei] = 0 = Vi = 0 s Zl G ni " 0 " x2 ' h [e2] = 1 = V2 = 0 s Z-2 G n2 " 0 " x-í ' h [e3] = 0 = V3 = m3 1 s . Z3 G n3 (7.5) Vektory zlomových souřadnic: " 1 " ' lx' ' h ' [1] = 0 = ly = h 0 z G S " 0 " mx m\ m] = 1 = my = m2 0 z . mz G . m3 s " 0 " nx ni [n] = 0 = Tly = n2 1 z G . n3 S (7.6) Poznámka: pro složky geografických a zlomových souřadnic bychom mohli použít též variantní označení xi = lx, xm = mx, xn = nx, yi = ly atd., avšak zde bzdeme využívat pouze výše zavedeného zančení. 7.1.5 Matice transformace jednotlivých souřadnicových soustav Transformace z os geografických do napjatostních a z napjatostních do geografických: xi yi zi x2 y2 z2 x-í Vi z3 [5RG] = [GR5]T Xl x2 x3 Vi V2 V3 Zl z2 z3 Transformace z os geografických do zlomových a ze zlomových do geografických: lx ly lz " lx mx nx gRz] = mx my mz [zHg] = [GRz]T = ly my ny nx ny nz mz nz Transformace z os zlomových do napjatostních a z napjatostních do zlomových: Zi m\ ni l2 m2 n2 h m3 n3 sR-z\ — [z^s\ — h h h m\ m2 m3 ni n2 n3 (7.7) (7.8) (7.9) 7.1.6 Inverze složené matice Předpokládejme, že potřebujeme invertovat symetrickou matici X: 1X1 [A] [B] [B] T [C] [D] ÍE1T [E] ÍF1 (7.10) pak můžeme využít inverzí jednotlivých matic a tím výpočet zjednodušit: 46 KAPITOLA 7. SOUŘADNICOVÉ SOUSTAVY [D] = ([Ai-pncrwr [f] = ([q-pHAr^B])-1 [e] = -[djibiic]-1 V případě, že [c] = [0], vztahy se ještě zjednoduší: [d] = [A]-1 [f] = [c]-1 [e] = [0] 7.1.7 Vektorový součin matice a vektoru Máme-li matici A danou dyadickým součinem vektoru a a b: [3A3] pak můžeme definovat vektorový součin matice A a vektoru c: Au A12 A13 ' 0L\b\ aib2 aib3 A21 A22 A23 = a2bi a2b2 «2^3 A31 A32 A33 a3bx «3^2 «3^3 HM1 (7.11) (7.12) (7.13) (7.14) (7.15) (7.16) (7.17) [3A3]x[c] = [a].[b]Tx[c] = [a].([b]x[c])T = a\b2C3 - aiĎ3c2 &2&2C3 - a2b3C2 a-íb2C3 - a3Ď3c2 A12C3 - A13c2 A22C3 - A23C2 A32C3 - A33C2 ai a2 a3 &2C3 - b3c2 63c1 - 61 c3 b\c2 - b2cx ai^3ci — a\b\C3 a\b\C2 — ai&2ci «2&3Ci — a26ic3 a26ic2 — a262ci «3^3Ci - a36ic3 a36ic2 - a3b2c1 Ai3ci-,4iic3 Anc2-Ai2ci A23C1 - A21C3 A21C2 - A22C1 A33C1 - A3ic3 A3ic2 - A32Cl (7.18) (7.19) (7.20) Kapitola 8 Krystalová symetrie 8.1 Základní pravidla 8.1.1 Krystalový tvar Euler-DesCartesova rovnice dává do vzájemného vztahu počet ploch p, počt rohů r a počet hran h krystalu: p + r = h + 2 (8.1) 8.2 Millerovy symboly Pravoúhlá mžížková buňka (kosočtverečná) daná body O ABC zobrazená na obr. 8.1 má mřížkové parametry a, b a c. Rovina (hkí) je obecně orientovaná, její orientaci určují směrové vektory nx = cos dhke, ny = cos Phki a nz = cosjhke- Rovina utíná úseky O A' = |-, OB' = -| a OC = |. cl ľ A C o B' b B A' -7/ <'-/ ŕ> b/k B' A' N -ž O Obrázek 8.1: Odvození základní rovnice mřížkové roviny. Vzdálenost roviny od počátku určuje mezirovinnou vzdálenost dhke- Vzájemný vztah mřížkových parametrů a, b, a c , orientace roviny (hk£), směrových kosinů vektoru normály k rovině nx = cosa^ke, riy = cosfthke a nz = cosjhke a mezirovinné vzdálenosti dhke rovin (hkí) lze určit podle vztahů: COS olhM cos j3hM cos ^hkt h a k b i dhke dhke dhke (8.2) (8.3) (8.4) Odtud lze vyjádřit základní rovnici roviny: dhke = t ■ nx h k ' % ~ i ' nz (8.5) 47 48 KAPITOLA 8. KRYSTALOVÁ SYMETRIE nebo ve tvaru: dhkí (8.6) 8.2.1 Značení orientace • (hkí) = symbol označení roviny • {hk£} = symbol označení souboru rovin (zmnožených operacemi symetrie) • [hk£] = symbol označení přímky • < hki > = symbol označení souboru přímek (zmnožených operacemi symetrie) 8.2.2 Počítání s Millerovými symboly Pásmová rovnice: rovina h = (hkl) patří do pásma u = [iíhw], pokud platí: h • u = h.u + k.v + í.w = 0 Osa pásma o, k němuž patří jak rovina h = (hkl) , tak i rovina u = (uvw) je rovna (8.7) k.w - l.v o = h x u = l.u — h.w h.v — k.u Komplikační pravidlo: sčítáním a odčítáním různých násobků symbolů orientace rovin h = (hkl) a u = (uvw) lze vytvářet další symboly rovin o, které patří k témuž pásmu. o = í.h + j.u = i.h + j.u i.k + j.v i.i + j.w (8.9) 8.2.3 8.2.4 8.3 Izotropie Izotropie je invariantnost (neměnnost) vzhledem „ Izotropní tenzor druhého řádu musí mít stejné složky na diagonále a ostatní nulové k operaci rotace. Izotropní vektor je jen vektor x.E nulový. (8.10)