\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=154mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}

\usepackage{times}


\newenvironment{zad}{\smallskip\par\noindent {\bf Příklad}.$\,$}{} 
\newenvironment{res}{\smallskip\par\noindent {\it Řešení}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{navod}{\smallskip\par\noindent {\it Návod}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{otazka}{\smallskip\par\noindent {\it Otázka}.$\,$\it}{}
\newenvironment{poznamka}{\smallskip\par\noindent {\it Poznámka}.$\,$\it}{}

\def\brem{\begin{poznamka}\rm}
\def\erem{\end{poznamka}}

\def\bot{\begin{otazka}}
\def\eot{\end{otazka}}

\def\ind #1{{\it #1}{\index{#1}}}

\def\R{\mathbb R}
\def \C{\mathbb C}
\def\N{\mathbb N}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\begin{document}
 
\begin{center}
{\bf  2. cvičení z LA II - afinní geometrie, 2025}
\end{center}

\bigskip
%příklad 1
\begin{zad}{\bf 1.\ }
V $\R^3$ najděte přímku $p$, která protíná mimoběžky $r:\ [1,2,-1]+s(1,-1,1)$ a $q:\ [0,9,-2]+t(1,0,0)$ (taková přímka se nazývá příčka mimoběžek) a je rovnoběžná s~vektorem $v=(1,2,0)$.
\end{zad}
\begin{navod} Přímka $p$ leží v rovině určené přímkou $r$ a vektorem $v$.\end{navod}


\bigskip
%příklad 2
\begin{zad}{\bf 2.\ }
V $\R^4$ najděte přímku $p$, která protíná přímku $q:\ [1,2,0,0]+s(1,1,1,0)$ a rovinu
$\rho:\ x_1+x_2-x_3-x_4=2,\quad x_1+x_3=7$ 
a prochází bodem $B=[1,3,2,1]$.
\end{zad}

\bigskip
%příklad 3
\begin{zad}{\bf 3.\ }
V $\R^4$ jsou zadány dvě roviny
\begin{align*}
\pi:&\  x_1+x_2+x_3+x_4=1,\quad x_2-x_4=2\\
\rho:&\ x_1-x_3=3,\quad x_2+x_4=5.
  \end{align*}
  Najděte přímku $p$ rovnoběžnou s rovinou $\rho$, protínající rovinu $\pi$ a procházející bodem $A=[0,0,1,2]$.
\end{zad}
\begin{navod} Přímka $p$ leží v rovině rovnoběžné s rovinou $\rho$ a procházející bodem $A$.\end{navod}
\begin{res} Průsečík roviny $\pi$ s přímkou $p$ je $[-1,2,0,0]$.
\end{res}

\bigskip
%příklad 4
\begin{zad}{\bf 4.\ }
V $\R^4$ jsou zadány rovina a dvě přímky
\begin{align*}
\theta:&\  x_1+x_2-x_3-x_4=1,\quad 2x_1+x_2+2x_3+3x_4=9,\\
q:&\ [3,2,3,8]+t(1,2,-1,-2),\\
r:&\ [1,1,9,5]+s(2,1,-2,-1).
  \end{align*}
 Najděte přímku $p$ rovnoběžnou s rovinou $\theta$ a protínající obě přímky $q$ a $r$.
\end{zad}
\begin{navod} Testujeme, zda je vektor $Q-R$, kde $Q\in q$ a $R\in r$, rovnoběžný s rovinou $\theta$.\end{navod}



\end{document}

