1. cvičení z lineární algebry II - afinní geometrie, 2024
Příklad. 1. Zopakujte si definici afinního podprostoru ve vektorovém prostom jako součtu bodu a vektorového podprostoru. Ze znalosti vektorových podprostoru v IR2 a v IR3 popište všechny afinní podprostory v IR2 a IR3. Ukažte, že každý afinní podprostor s každými dvěma body A a B obsahuje i jejich afinní kombinaci
tA + {l-t)B.
Příklad. 2. Rozhodněte, které z podmnožin jsou afinní podprostory. Pokud jsou, najděte jejich zaměření a dimenzi.
(1) M = {(x,y) e R2; y2 = x3 + 1} C IR2.
(2) J\f = {p E IR5M; p(2)+p(3) = 5,p'(20) =21} CM5N-
(3) V = {Ce Mat3x3(M); h(C) < 2} c Mat3x3.
K důkazu, že nejde o afinní podprostor lze využít charakterizaci afinního podprostoru jako podmnožiny obsahující s každými dvěma různými body i přímku, která jimi prochází.
Příklad. 3. Napište nejdříve parametrický a potom implicitní popis nejmenšího afinního podprostoru v IR4, který obsahuje body
A = [5,2,1,0],   B= [4,1,0,0],   C = [-3,1,0,1].
Příklad. 4. Najděte průnik a spojení afinním podprostoru M. a J\í v IR5: M : [2,3,4,3,6] + a(l,l, 1,-1,1) + 6(0,0,1,0,1) ÄÍ: [2,2,4,4,6] + c(l, 0,0, 0,1) + d(0, 0,1, 0,0) + e(2,1,1,-1,1).
Příklad. 5. V IR4 určete vzájemnou polohu rovin
7T : 3xi + X2 + 2x3 = 5,    5xi — X2 + 2x4 = 3, p : X\ + 5x2 — 4x3 = —3,    2x2 — ^3 + x4 = —2.
Příklad. 6. V IR4 určete vzájemnou polohu roviny
p: [3,-1,0,0] + S(-l,l,l,0)+í(2,l,0,1) a přímek p, q ar, které mají parametrická vyjádření
a) p: [7,4,2,3]+a(5,-2,-3,1),
b) g : [1,2, 3,4]+6(1, 5, 3, 2),
c) r : [1,2,3,4]+c(l, 1,1,1).
Příklad. 7. Pomocí afinních kombinací dokažte, že se těžnice v trojúhelníku ABC protínají v jediném bodě.
1