2. cvičení z lineární algebry II - afinní geometrie
Příklad. 1. Rozhodněte, které z podmnožin jsou afinní podprostory. Pokud jsou, najděte jejich zaměření a dimenzi.
(1) M = {(x.y) E R2: y2 = x3 + 1} C R2.
(2) J\í = {p e R5[x]; p(2) +p(3) = 5,1/(20) = 21} C R5[x].
(3) P = {C e Mat3X3(M); h(C) < 2} C Mat3x3.
K důkazu, že nejde o afinní podprostor lze využít charakterizaci afinního podprostoru jako podmnožiny obsahující s každými dvěma různými body i přímku, která jimi prochází.
í
Ž>íT
2   sts^C,    o    & '^f<e$^ street'
ízo) -0}
5"
erf/?   plfa)-** úteyu
'é£*dd±h£ut>) = kúty)
j[^SUxA<^    p*t**L etyl''
A       I   0     ° 0
A - ( 0  / 0
3>-
4 0 v & O o
& o o
A (B) -4
/
Příklad. 2. Napište nejdříve parametrický a potom implicitní popis nejmenšího afinního podprostoru v IR4, který obsahuje body
A = [5,2,1,0],   B= [4,1,0,0],   C = [-3,1,0,1].
l O 4 & o
0 O D 1 A   O v O
o o  * o
o o o 4
o -i io
0
1
-i	-4 l		\
0	i		\
0		3	
0	0		)
	-i -	■A	/
1	e?		o
	0	0	
0	0	0	
T-1 -Ví
7-y
9
-3 Ä_4
3
Příklad. 3. Pomocí afinních kombinací dokažte, že se těžnice v trojúhelníku ABC protínají v jediném bodě.
4
Příklad. 4. Najděte průnik a spojení afinním podprostorů M a N v IR5: M : [2,3,4,3,6] + a(l,l, 1,-1,1) + 6(0,0,1,0,1) M : [2,2,4,4,6] +c(l, 0,0,0,1) +d(0,0,1,0,0) +e(2,l, 1,-1,1).
- 12,2,4,+ cUwtP, t)-Ht(0,P, tfieS<■ eÍ2,ťf/rý
<2>
-C
í 4 0
\
-l
0
1
0
1
-/ 0 ~2 e>  p -f
0 - ( - 1
0  0 j
-10-
f
o\
- / 0
4
o 4 0 -i
o o
o 4  O -1 o
V o 4 -1 o ů
1 v 1
4
I-
\
1 O
0 -i
0 4
o o
o 0 -1
-1
o -i \ 4
-10 0 O
0 -i
4 4 4
rM O O 0 4 O 4 O O 0  0-14 Ol
o
a.   &   c M
d? 4 o -10 \ O 0   O M*/
d
ÍJ
a.
O O -4 9-l\ i
b ■■-1-b
/
= - fc ■= h-1
-3 /Vy, - r>ť) (0,0, t,$     h ( 2,1tir í ŕ)
Příklad. 5. V IR4 určete vzájemnou polohu rovin
7T : 3:ri + x2 + 2x3 = 5,    hxx — x2 + 2ir4 = 3, p : xi + 5a;2 — 4rr3 = —3,    2a:2 — x% -\- a:4 = —2.
2^   C 2rfp) £ ^
o -7 * o
í 3  i   Z & 0   1 -i A
0    l? O «
■9
$n -        2Yu ^C/
2(^/1 řřp) * M a*
2 c?
o
I J   s~ - k D
Q C?  4 4 Ô O O A 2r(Jf) ižŕf)
O
10
6
Příklad. 6. V IR4 určete vzájemnou polohu roviny
o: [3,-l,0,0] + S(-l,l,l,0)+r(2,l,0,l) a přímek p, q ar, které mají parametrická vyjádření
a) p
b) q
c) r
[7,4,2,3]+a(5,-2,-3,l), [1,2,3,4] +6(1,5,3,2), [1,2,3,4]+c(l, 1,1,1).
f 4 0 3
o o o ^ o & o
^ /SLA***"****'
/t&Sl£,/»l ' Otílii Wf ' A*A.        4 f&Ls«A*tt/Ct4{/ j
4
o
As---- /V
y 0 -3
O 0
o
3 \
í-/
J
4 v	-3	0
O 4	-Z	0
oo	c?	0
c? o	a	. o
"N.
£j*t'KZ>L,     (€> II tys ÍM'wái'TtsUe. [s)      4,   -    Q i- CAs
í ^ ^ IM
/Ľ"
O 4 O 0 0-4
V
^ A 1   ^ (j)
ŕ-'	2	--f	e?
	/	- 4	o
	C?	"f	0
1 í?		-1	o
As
ú
Příklad. 7.-V M3 najděte přímku p, která protíná mimoběžky r :  [1, 2, -1] + s(l, -1,1)
a q : [0, 9,-2] + t(l, 0, 0) (taková přímka se nazývá příčka mimoběžek) a je rovnoběžná s vektorem v = (1, 2, 0).
Návod. Přímka p leží v rovině určené přímkou r a vektorem v. □
^   +      7> i- s/u -t atr
1      D3fflf^l + >t<2t0)
AT
-£\     / 4 í|-2\ s"1-.
0 /
-3 4
y Í1-2
F
/l A/
Příklad. 8. V IR4 najděte přímki^/která protíná přímku q : [1, 2, 0, 0] + s(l, 1,1,0) a rovinu p : x\ + x2 — x3 — rr4 = 2,    :ri + rr3 = 7 a prochází bodem B = [1,3, 2,1].
f o f * ^7 fiý^"^    fUf^oL 4P^^^
(A
0t = ý> uH>
|6 C
A ~f
S -t s-t Z-t
^ Ér
- 2-
s - Zk Zs ■* zt
= --1
= 6
( í -Á:
3
9
Příklad. 9. V IR4 jsou zadány dvě roviny
7T : X\ + x2 + 3?3 + X4 = 1,    rr2 — ^4 = 2 p : x\ — x% = 3,       + 2:4 = 5.
Najděte přímku p rovnoběžnou s rovinou p, protínající rovinu n a procházející bodem A =
[0,0,1,2].
Návod. Přímka p leží v rovině rovnoběžné s rovinou p a procházející bodem A. □ Řešení. Průsečík roviny n s přímkou p je [— 1,2, 0, 0]. □
10
Příklad. 10. V IR4 jsou zadány rovina a dvě přímky
9 : X\ + x2 — x3 — rr4 = 1,    2x\ + x2 + 2x3 + 3x4 = 9, q : [3,2,3,8] + ŕ(l, 2,-1, -2), r : [1,1, 9, 5]+ S(2,l,-2,-l).
Najděte přímku p rovnoběžnou s rovinou 0 a protínající obě přímky g a r.
Návod. Testujeme, zdaje vektor Q — R, kde Q E q a R E r, rovnoběžný s rovinou 9. □