Autonomní systémy
Zvláštnosti nelineárních systémů
Petr Liška
Masarykova univerzita
07.03.2025
Petr Liška   (Masarykova univerzita)
Autonomní systémy
Nulová reálna cast je opravdu problém
Dva podobné, ale různé systémy Dokazte, že nulová řešení následujících systému mají různou stabilitu:
x — y — x{x2 + y2) Vf = -x - y{x2 + y2)
x = y + x(x + y ) Vf = -x + y{x2 + y2)
Petr Liška   (Masarykova univerzita)
Autonomní systémy
07.03.2025
Existence „zvláštního" cyklu
Limitní cykl
Ukažte, že následující systém má jako trajektorii alespoň jeden cyklus
x' = —y + x(l — x2 — y2) I
yf = x + y(l - x2 -y2)
1
V čem se liší systém
x/ = -7/(1 - x2 - y2)2 + x(l - x2 - y2)3 - y3 y' = x{l - x2 - y2)2 + 2/(1 - x2 - y2)3 + xy2,
který „numericky" vypadá „stejně"?
Petr Liška   (Masarykova univerzita)
Autonomní systémy
07.03.2025        3 /7
Uvažme opět náš systém
x' = f(x) (1)
Definice ((Asymptoticky) stabilní cykly)
Cyklus Cu rovnice (1) se nazývá stabilní, jestliže pro každou otevřenou množinu V C IRn, která obsahuje Cu, existuje otevřená množina W C V taková, že každé řešení, které začíná v bodě xq G W v čase nula, zůstane v množině V pro všechna t > 0.
Cyklus Cu se nazývá asymptoticky stabilní, jestliže navíc existuje množina X C ]Rn taková, že každé řešení, které začíná v bodě xq G X, se asymptoticky blíží k Cu pro ŕ —> oo.
Petr Liška   (Masarykova univerzita)	Autonomní systémy		07.03.2025        4 /7
Jak poznat, že cyklus neexistuje?
x' = f(x,y) v' = 9(x,y)
(2)
Věta (Dulacovo kritérium, Bendixson-Dulac)
Nechť Q je jednoduše souvislá oblast ve fázovém prostoru. Existuje-li spojitě diferencovatelná funkce (j)(x,y) taková, že výraz
d d
(/>(x,y)f(x,y)] + — [(/>(x,y)g(x,y)]
dx
dy
nemění znaménko v Q a není identicky roven nule v žádné otevřené podmnožině množiny fž; pak v Q neexistuje uzavřená trajektorie systému (2).
Dulac, H., Points singuliers des équations différentielles^ Memoriál des Sciences Mathématiques, fasc. 61, Paris : Gauthier-Villar, 1934.
Petr Liška   (Masarykova univerzita)
Autonomní systémy
07.03.2025
5 / 7
Důsledek (Bendixsonovo kritérium)
Nechť Q je jednoduše souvislá oblast ve fázovém prostoru. Nemění-li výraz
f(x,y) + -z-g(x,y)
dxJ v 1 tyj dy
znaménko v Q a není identicky roven nule v žádné otevřené podmnožině množiny fž; pak v Q neexistuje uzavřená trajektorie systému (2).
Bendixson, L, Sur les courbes définies par des equations différentielles, Acta Mathematica 24(1), 1901, 1-88.
Příklad
Ukažte, že daný systém nemá žádné uzavřené trajektorie
x' = y
y' = -x - y + x2 + y2
Petr Liška   (Masarykova univerzita)
Autonomní systémy
07.03.2025
6/7
Jednoduché rozšíření
Věta
Nechť Q je otevřená souvislá oblast ve fázovém prostoru. Existuje-li spojitě diferencovatelná funkce (j)(x,y) taková, že výraz
d d
y)f(x, y)] + — [0(x, y)g(x, y)] ^ 0   pro   V(x, y) e Q
dx
dy
Má-li Qc (doplněk Q) k komponent, potom (2) má nejvýše k cyklů v íí.
Příklad
Ukažte, že van der Polova rovnice
x" + e(x2 - ľ)x' + x = 0 má nejvýše jeden limitní cyklus pro e ^ 0.
Petr Liška   (Masarykova univerzita)
Autonomní systémy
07.03.2025 7/7