Digitized by Göogle ;ayi:;’• .;. ....;:f Digitized by Coogle £)(er«0^mttaftum Dr. /ran3 Qlii 3ir% in €fxt ringr&nt(filnn $ol^d)ni((ni. ^' / ’ ' %A:yy\ (:; i-.MM A -v \ r ;V oÄ.| niil 324 in ixn (Ent (inijeiitiiflUfn ^or^ff^nillfli 3»eitf »mnc^tte Äuflage. -MSHÄSB«-— Serlag »on 6arl @eroI^. 1851. S)tu(( ton (SatI ®(Tott nnb 6o^it. Digitized by Google 3ur ^n8 fl) fc^nfU fingetrettne JBeburfnip fintr jü)dtfn Stuflage biefrä !^e()rbiid^e8 mailte e8 mir nid^t möglt^, bie beim (Srfc^einrn bft erften Stuflage öerfbroc^ene Sanimtung öon Se^rfä^en uub Stuf» gaben bt8 jefet In ®nicf ^erauS^ugebcn. 9tu(^ gtaube Id^ , bafj jene ©ammtung öieflei^t ganj entbei^rntb n.'erben fönnte, »nenn td^ in bev öortiegenben Stu^age am @nbe eitifä feben StbfibnltleS fogtei(b aud^ ble barauf bejügtid^en Se^rfAge unb Stufgaben jur ©etbftubung im ®en)cifen unb Stupbfen beifüge. Stuwer biefen 3*ifä§en jiHb In bem Sei^rbud^c feine mefentlid^en SSerdnberungen öorgenommen mor» ben ; nur bei ber fp^Arlfdben ^Trigonometrie ^labe i(^ eS für nöf^lg erachtet, bie ^Atte, in benen ein fp^Arifebefl ®reierf nid^t »oftfom* men beftimmt ijl, in nA^ere Unterfud^ung ju jie^en. iOtmä^f am 15. 3)(jeni6er 1850. ®erf«ffer» * Digitized by Goog[e 1 i Digrtized by Google 3ttr erflfn llcier bif ffle^nnbfiinijStofife bcä ßecmctüfd^cn Sr^rfloffeS in bcn ®fambdrici;iilcu :^cn|d;«ii, »uic aiiö bcn jafjlnivt) cvf(i^eiiieiibfn ?ef)ibü(^)cin üOcv Ökomctvie für @»;mnaficn iiiib SKcnlfc^iifrn iiiivet» ffunbar i^cvüorflc^i , fcf)v nbii'etdjenbc Stufui^tcn. ein gro^fv T^eü b«r Jtuiürcn f^dii äiigfllic^ nn bie S>ictf;obe, wcfc^f ßuflibeä in feinen Gfcinenten mit eben fü üiel ©d^arffinn afä Gonfeqnenjj buvd^» geführt f;nt; (.«rfUuungen, Slrimiie, ?e^v« unb ^ofgrfd^e, 5lnfgaben tuerben in natiirgemäjjevDvbnung an einanbev gereift, bei benSebr» fä^en iSovanSfe^ung, töefiaubtiing nnb SeweiS, bei ben 5lnfgaben 9tuf[£>fung unb öemeiä fdjnrf von einanbev gefc^ieben So fe^r am^ biefe ä)iet()obe geeignet ifi, ben ©c^nfev an ein grünblit^eä, fotgeric^tigeä Senfen ju gemö^nen unb barnm beim llntevvid'te affe tBerurf» fic^tigung verbient; fo lä^t ftc^ auf ber anbern ©eite bo(^ nid^t »er* fennen, unb bie ©rfa^rung ]^at e§ jur @euüge befiv'itiget, ba§ eine folc^e bogmatifr^e Se^vfovm buvd; ifjre ©<^rofff;eit unb 3!rodfenl^eit viel baju beitrügt, bev Siaumtel^re jenen 9ieij jii beuefjmen, burr^ tvel» d)tn man fic^ bei einer jlnerfmdpigen töe^anbfung fo umviberfie^Iid^ JU i^r j^ingejogen füf;(t. JDiep veranlagte bie ^t^dbagogen, fiatt ber ^ GufUbifr^cn fDiet^obe bie fogenannte e u r i fH f cb » g e n e t i f e 8ebrform einjufüf;ren; babei tvirb nid^t juerfl ber Sebrfafj ober bie Stuf» (öfung ber Stufgabe angeführt, fonbern man ge^t von anbern bereits ertviefenen ©dben auS, jiebt au8 ihnen ^otgerungen, combinirt bie= felben unb arbeitet fo auf beu ©n^ ober bie Stuflöfung t;in, bie ber ©(büter bann atä ein felbfigefunbeueS JKefuItat in ber bunbigflen gorm aufjleflt. Diefe 3)?ethobe, »vetebe ben Serneuben auf bem für» jeflen SBege jur f^orftbung auteitet unb bamit tuiffenfcf>aftlidb fetbjlfJdnbig ma4>t, meftbe, ba fie bie©fjannung ber Stufmerffamfeit fort» ti'dbrenb jieigert, bem ©egenfianbe eigentbümticbeö Seben unb 3n» tereffe verleibet, bemdbrt fidb alS ganj Vorjügtidb in ber S^rigonome» trie unb anafbtifdien ©eometrie, ja fie ifi babei meifienä bie allein antoenbbare SKetbobe. 35a jebe ber angebeuteten jtvei ä)?etbobni fo Digitized by Google VI ent|'(!^iebenc Sort^cile bartiftet, unb c8 für brn Sernenben nur nnregenb fein fann, tocnn er auf mannigfaltigen S®egen gn ben etoig teal^rcn Oefe^cn ber 9Jaumgr6§en fiingefü^rt »irb, fa l^iett ic^ c8 für angemeffen, in bem üorliegcnben 9e^rbiu^c biefen ÖJücffl^tcn bie @in» ^cit bcrSOJctl^obc gumCbfergii Bringen nnb je nad^ ber 9tatnr be§ ®c« gcnjtanbeS Balb bie eine Batb bie anbeve ©e^anblnngSmeife angumenben. ®aS ben ©toff anbeiangt, ^abe id^ mit^ innerl^atb ber bnr^ ben neuen @i;mnaftalbt(in gejtecfien ©rengen auf bie »uefenilid^en Se^« ren ber ©eometrie, bie einerfeitS für baS »eitere mat^ematifc^e ©tu» bium, anbeverfdtä für bie 9tn»enbung auf SWei^anif unb 5Hflronomie unentbe^rli^ finb, gu befd^rdufen geglaubt. Um übrigens bie eigene unb fefbftfiänbige ^E^ätigfeit beS ©d^üferS gu förbern, »erbe id^ biefemSe^rbud^e balbigü eine ©ammfung üon anbern »id^* tigen Se^rfd^en unb Stufgabeu gur©elbfiauffinbung ber ®e»eife unb Stupöfungen nad^fotgen taffen. aSegüglid^ ber dfegelfdj)nitt8finien fönnte man öietlei^t 3lnfto§ baran nehmen, bap biefetben an g»ei öerft^iebenen Dvtrn be^anbett »erben, in ber ^fanimetrie bei ber Sel^re bon ben frummen Sinien, unb in ber anah;tifd^en ©eometrie. Slffein abgefe^en babon, bap e8 für ben ©d^üter fel^t bitbenb ifi, benfetben ©egenftanb bon oerfd^ie» benen ©eiten unb mit2ln»eubung berfi^iebencr^ilfSmiltet gu erfaffen, bürfte bie bon mir ge»d^tte töebaubtungSmeife aud^ nod^ burd^ eine anbere tRudfftd^t gered^tfertigel erfe^einen. Sie anatbtifebe ®etra^tung ber Jfegeifc^nittSlinien fdfft erfi in bie ©d^fu^monate ber 3. dtfaffe be8 Dberg^mnafinmS, »dl^renb bieSemegungSgefe^e unb bieC^tif, »etc^c beibe ©egenfidnbe bie Jtenntni^ ber J^aubteigenf^aften jener Sinten f^on borau8fe|en, in ben erfien SRonaten biefer Jltaffe borgune^men finb ; für bie mat^ematifd^e töegrünbung jener Steile ber ifi e8 halber unertdflid^, f^on in ber grab^ifc^en 93ef»anbtung ber fvummen .ßinien , »elcfie für bie evjie Äiaffe beS DbergbmnaruunS borge» fd^rieben ifl, bie ^aubteigenfe^aften ber ©flibfe, rabet in fo »eit in tBetrad^tung gu giel^en, al8 fid^ biefetben auf bem 2Bege ber (Sonfiruction abteiten taffen. iOtmüf, am 15. Qtu^ug 1850. ©ct SJetefaffw* Digitized by Coogle Seit (itiinltiluiia 1 9tHtt yityittnimtlrit grfter Stbfd^nitt. gcggfct fiinitw nnft ttegflbUnlflt I. 9iii^tuii9 uiib(S)tiptbtt(8 ttttbnt St 1. fltic^tunfl btt (Bnabm — 8. Origt bet (Bttabm 18 II. CtnStunfttn anb btfonbttt Siam tn btt attttblini* Btn Siautt« 13 1. !Dtt< a)rtit(f , , . . , . , . . . , . , . . — 2. I>a« IBitttJ . 15 3. S>ae SOitltd . . . . . . IS Hl. Xottgruettj btt attabliniaen giaurm 80 1. Itonatiitiij btt Pttittft . — 8. Slnwtnbuna bet jtonatncnifille . 84 a) St^trifee \ion btn iPrtitJen übtrl^aabt . . .... — b) Säfet »Olt btii altii^fi^nitliatn iPreintm inrttfoiibttc .... 87 c) @ä^c »Dn bf« $atttfltloan>n'»ct »wb btn batotttltii tinim . . . 29 <1) (Safe »on btn rtattma^iatn Sitltcfui . 31 3. JtonetiitBi bet IBitltcft 38 4. gufaabea, toe'djc niicQ b,t Ibonatudijlt^rt aufaeiöftt tt'ttbfii föiiiiiti . 34 6. g[^tfä|e unb gufgabtn juc ®fl6(}ttu[(inbuii9 bet SBtU'tift uiib frwfttn . : 40 IV. btt attflHlniatu giautcii 42 1. Stt|ällniffe unb !|lrii|)otjlDneii — a) iBtr^ältnijfe — b) $tobotjioiicii . . 44 2. btt iSrtitrfe 46 3. ge^Bli^ftit btt iBittecfc 51 4. Slufaabeii, na(^ btr Stc^nli(^ftiU14i:t aufaeiafrl tettbui fgiiutu 52 5. Sc^efä^e unb Slufoabtn )ur Sdbflübuna im äJontifen unb SluflOfen . 57 V, glSc^tnin^ttltbtrattttblittiatnffiauttn 56 1. iStti^ijtit btt gläi^tn — 8. gtw^nuna brt 8Ui(^tninl^U(g 61 Digclizad by Google €cit< 3. 93tt^äHiiig bti glätten 4. äOttwaiiblMiifl flftabl niflet gitturm 88 5. il^tiluna flctabliniatc SiaUttn , . 7^ 6. uiib glufgASm aut StlbffStung 3 tiu i t f r 91 6 f n i 1 1. Arummc Sitiien unb »on l^nfti bcfltenjtf ^iouren. I. ® i f Jl r f i « I in i 75 1 . Sttni’t giiiitn , bit in Stiiicbunfl °nf »cttiiiiiiini .... — 8. üBinfel, bit in jBnitbiinfl auf l)fn Jtttl4 »ottcmmtn 79 3. ®nn .Rrtift tinfltf(brirttiie unb umfibiictiiic fflieltift 83 4. Saflt itttiet Jtttift Atfltn [inaiit>tt . • b9 5. Kutnifffuiifl iet ,)titirc 6 a) giiiijit biC J?rriffiiiit b) gltt^tniiifjalt b.g 6. 7. gt^rfttfet unt gufaabtii jut ®tl6 (tauffiiitaii 9 btt gtlBtift unb funflcn ]|. ®lt SlliDft 100 III. ®it ^BbtVbtl ^b4 IV. ®lt garabtl 107 Pic 9sl(r(«m(tti(. eifier 9l()f(^nttt. (Bftabt giiiitn unb SBetitn im Stanmf. I. (Btrttbt8iiiiMiim3taumt II. ©erabtSinltnmftbji'Sf'tnfDctglitbtn III. 66tntiimit(56tiifn>)trali^cii IV. 3t5cgttwlnftl »a V. tlctunflgattfflatun ßtotiter fiaryer. (tTfläciiiifleii uiib (itfoiibttt Sigtnftbaflfn btt Jtätytr . . . 186 1. Stfige a) ®a« b) ®i« ?3vramibe , .... 188 c) DltgflaiäSig« 2. SRunbt Jtär|)»t • a) ®(t Digitized by Google IX €titc b) S>tv 'Rcflct 132 c) !Pic .guacl 133 3- Ucbiinfl8aufflal’»i 135 II. D6trfIä(Qt i)cr .Rürtifr 137 1. SPtignitt — 2. Uhiramibc utib $i)ramii'aipu^ — 3. SHeflutävt Jtötyev 139 4. >40 5. JtcflcI iiiib • — 6. jtuatljoiit un» .Riigtt 143 7. gtljrfäfec uiib MufiVi&cit juc Sdbjiuhiiij} 145 III. ,%u6ifiiil^alt bet Jtütbct 14fi 1. (5j(cit^f;cit bet .Rötl’ct — 2. IBectt^nttiia itcrptriiiljaltfä 152 n) jiliHtinbalt cinca »(^tlrinflifleii $ataI[eltl)ibcH iinb diitg UBiitfelg — b) .Riibitin^alt cincg j|3rigma 154 c1 Jtubifinbatt einer i|3);rflmi^c iinb eiiicg . • . 155 (1) jtiiHfinbalt linra Sitintnrii 157 c) .Riibifinbalt tinta .Rcflfig unb tintg 158 0 .RuHTinbalt tiiitt JluflcI 139 3. gfbrfäfet iint Miifgaben jiit Sclbjiut'uiig 101 iDritter Sftcil. Pit^rinanoiiulcit 163 G V jl c r 3t 6 f n i 1 1. Pie ebene Slciflotipmctrif. I. S:ti9i!iiDiiifttlf<^cgiinfjioiini uiib i^rSufamnicn^aiig 164 1. Sinus uni) Cosinus — 2. itanaciitc iiitb Sccgnlc 1G3 3 CotflnL^ellte luib gofccantc 168 4. gicfttjioncii üWifdjcn tini tcigciiomctviftbcn’Siiiif^iDntii bcfffttcti SHjinfcle j(i7 5. SRclajioiieii üwif(f;tn bcii liiflonornftrifcbm Sunf,;ioiini ticrftbiclxntr gBiiiffl 1C8 6. fformcin jiir Scltflütung im S(6fcitcn 172 II. ?I lim enbu n g b cv eben e n Üit i 3 0 n um 1 1 r ic 173 A. StiijbJfuiig icc ebenen !Dreie(fe — a) äRetblminflige SJreierfe 174 b) ©ebiefminflige Sreierfe 176 B ISetecbmtng regelmäßiger fflielecfe 183 C. Uebiingbaufgoben 187 DigitiZL-J by Google X 3 c i t e r 9t b f n 1 1 f. @.'cmcnte ^cc fv^ävif^cii S^iigonomctrie. I. SÄ 1 1 <1 j t D II c n j w i f c n b t n ® e i 1 1 n ii n b ffi i ii f 1 1 ii c i ii ( ä f b ^ ä-- rif(^cn®rciccfei! IM II. Sluflöfung bet rcit'lit'iiiffigcn fV’Ijätifrfjcn ®tcierfc . . IM III. STuflifung bet f^icfw in fügen fb^äriftfieii Ißreieefr. . Ml lü,Ue(iuiig«oufgabeii 2ü7 9$iccier SS^cit. ^nmenbung ber .Algebra auf bie 6eanietcie 21Ö 6 V fi e V 9t i f ^ n i 1 1. ^ntoenbuiig ber Algebra auf bie ifbfiing geemetrifd^n' Aufgaben. 211 I. ®teirf)atfigfci(bet?(iibbriitft . . . . 213 II. .ftongrufjisn ber ®(ei(bungen bea etjicn unb jiveiien ®rabc« 2l4 1. ®[eiebuiigen bcS etfleii @rnbe« 213 2. ®fciibuiigcn beä jlDeitcn ®ra>c« 21Z Hl. 81 1 g e b t a i f(b c SÄ u f lö f u n g l' 0 n g e D m e I r i f (b c n ?i u f g a 6 e n . 219 IV. U e 6 11 II g « n u f g a b e 224 3 U’ e 1 1 f r 9t 6 f iii 1 1. (ffemente ber analt)tifdben ©epmetric in ber 6beiie, I. 81 n a 1 1) t i f (b e SB e n i in m 11 n g b e « S)l II n T t e ä 223 a) SHeibllniliflige .ßmbiiiateii — b) SPoIntfectbinalcii 222 r) Jtangfoiniajion ber .Äoerbinaten 22S II. SÄnatntif (bc SDarfftlüing ber aeroben gin-ie 231 a) 6'inc einzige ®erabc — l>) 3niri ©erabe . 241 c) ®rei gerabe Binien 24Ü ri) tlebiiiigganfgabm 250 III. 81naüitif(be S a t fl elüi n g ber ginieii ber jmeittn Otbnnng 251 al SDie Ureiatiiiie — bl Sie ©llirfc 2fiO c) lEie • • • 2M il) !Bie SParabel 211 e) SSeibfelfeitigc SUcjiebungeii ber iriiiren jlreiter Drbniing .... 225 f) SBerfibtuiig« « iinb Oli'riiiaflinieii ber .Rmi'eii jireiler Otbiiiing . . 222 1. SBcrübvniig am Jlreife 278 2. SBeintiviing an bet (jflibfe 2M SBeriibtiiiig an bet 4. SBerübmng an ber ^arabel . ^ 284 g) Uebunggaufgabeii 285 Digiii2ed by Google Einleitung« ©egenpanb ber Oeomeftie. §. 1 . !^ie ©eomefrie ij! bte 583i(Tenf(baff »on ben 91 aum großen, b. i. »on jenen ©vößen , wefebe fidj im 9laume anöbe^nen, ober barin au«, gebe^nt gebacbt merben fönnen. Sa« 2(u«gebebntfein fann nach b re i ^a u p t r i ^ f ii n g e n 0tatt finben: in bic l'änge, in bie © rei te iinb in bie J?6pe (Siefe, Sicfe). Sepnt |Tdj) eine 9?aumgr69e nur nach einer 9{i(btung, in bie Sange au«, fo pei^t fte eine Sinie; eine Diaumgrö^e, melcbe jroei ?(u«be()nungen pat, in bie Sänge unb in bie ©reite, nennt man eine 9Jaumgrö9e enblicb, irieicbe ftcb nad) allen brei 9Jicbtungcn au«bepnt, in bie Sänge, in bie ©reite nnb in bie ^cpe, roirb ein Äörper ge. nannt. 3ur ©orflellung eine« geometrifcben Äörper« gelangt man, menn man bei einem in ber SEirflicbfeit borfommenben Äörper nur ben 9{aum, ben er einnimmt, in ©etracptung jiept, alle übrigen Sigenfcbaften aber, al8 @emiif(ßen iroei fünften gejogen werben fann. ®te bient baßer audf baju, um ben 2(bftanb ober bie Sntfernung jweier *})unffe »on einanber anjugeben. Da eä *»«» fünften nur eine einjige gerabe ?inie geben fann, fo folgt, baß burcß j w e i u n f t e fowoßl bie 01 i dß t u n g al« bie gig SÄnge einer ©eraben »oHfommen beßimmt iß, — Um bon einem beßimmten JL ß fünfte reben ju tSnnen, feßt man neben baSSeitßen beS fünfte« einen S3ucßßa> Si9- 2- ben ßin; um baßer eine gerabe 8inie ^ auSiubrüÄen, brauet man nur ißre Snb« 71 fünfte mit a5u(ßßabenju be|ei(ßnenunb biefe aufammen iu ßeUen. 00 ßeißt bie , ©erabe a»if<ßen ben «fünften A unb B ”'®bie ©erabe AB ober BA. 3ebe 8inie, oon melcßer fein Sßeil gerabe iß, ßeißt f r u m m ; Wie a. bie 8inien CD unb EF (5i9-2, 3). §. 3. Unter ben frummen Sinien iß bie Jf r e i g I i n i e bie wi^tigße. 0ie ßat bie (Sigenfcßaft, baß aUe ißre fünfte oon einem innerßalb berfelben liegenben fünfte gleicß weit entfernt ßnb. Diefer ^unft ßeißt ber SRit» teipunft ober ba3 3<" “f " auOgebrürft; 85® 56' 30" bebeufet alfo- 85 @rab 56 SDHnuten 30 0etunben. Slawen. §. 4. Die QIä(ben werben in ebene unb gefrAmmte eingetbeiit. Sine ebene Slä^^e, auch bloß S bene, ifl eine Siücbe, beiweU (ber i'ebe @etabe^ welche )wei fünfte ber Släibe oerbinbef, gan^ in bie< fdbe bineinfaQt. Da buT^ brei nicht in berfelben @eraben liegenbe fünfte eine ein« jige Sbene gelegt werben fann, fo folgt, baß burcb brei nicht in eU net @etaben liegenbe fünfte bie SUchtung einer Sbene ooS» fommen bejlimmt ifi. Sine$[dche, wovon fein %b^>((<3o€bone i|T, bript eine gefriimmte 5Iäche. 3ebe begrenzte (fläche wirb eine $igur genannt. Sine ebene Sigur i{f entweber gerablinig ober frummlinig, je nadbbem fie von ge« raben ober frummen Linien eingefchiojfen wirb. Die .SreiOfläche ijf eine frummlinige $igur. Die Sinien, von benen eine $igur begrenit wirb, nennt man bie 0 eiten berfelben, unb bie 0umme aller ©renilinien ben Umfang. Die @rbße bet Stäche , welche eine Sißur einfchließt , wirb ber S I ä ch e n> raum ober SI^>halt. SWeffen ber Slaumgrößen. S. 6Sine @röße meffen hfipt unterfuihen, wie oft eine anbete be« fannte @röße berfelben ^rt in ihr enthalten ifi. 3ebe Staumgröße fann nur burch'eine gleichartige diaumgröße gemeffen werben, alfo eine Sinie nur burch eine 8inie, eine Stäche nur burch eine Stäche, ein Äörper nur burch einen .Körper. 1* oogl 4 gottn unb Cagt. §. 7. 2)ic ©eomefrie befroc^fef an ben SÄaumgrbfen nic^f nur bi<@t6§ei b. i. bad ber 2(u$bebnung, fonbern au^ bie gorm ober ©eftaltr b. t. bie ?(rt, nie bie einzelnen Steile an einanber georbnet finb, unb bie Sage, b. i. bie @rö^e ber (Snffernungen »on betannten iebene ©rft^e bat’fnSRaumgrSfen , »elcbe biefelbe ©rb^e buben, beiden gleid); wenn bie SRaumgröben biefelbe gorm buben, fo beiden fie äbniieb; buben fte enblicb gleiche ©ro^e unb gleiche gorm, fo nennt man fte tongruenf. Um aiijujeigen, bab jmei ©roben gleich wirb bajmifeben bab Seiten = (gleich) gefegt; bie 2lebnlichfeit roirb bur^ baS Sri^rn ~ (öbnlich), unb bie Äongruenj burch bie 93erbinbung beiber nüm« lieh biir ©tü^t j»tr ©(roJ>tn, I. dlid^tiing fcer ®eta^ctt. ^atallfle unt> ni4>t parairele 8inien. §. 9 . s welche in einer gbene gejogen werben, ^aben enfme= Der Diefelbe aticptung, ober fie weichen in i^ren SRic^fungen oon einanber ob. 3mei gerabe 8inien, meiere in ber nämlichen Slid^tung foitlaufcn, fo ba^ fte überall glci(^ weit »on einan= ®‘fl' ber entfernt finb, b“^«n ijarallelj j : B i- ®. bie Cinien AB unb CD (5ig. 5). Da^ AB mit CD parallel i(l, wirbburc^ ba6 bajwif^en gefegte 3ficf)en || (paraD C 2> angejeigt, nümli^ AB|1CD. SBenn jwei ©erabc in ipren 9licf)s tungen von einanber abwei(|)en, fo baf (ie fic^ auf einer 0eite näpern unb auf bet anbern entfernen, fo nennt man fie n i (f) t p a r a 1 1 e I , unb jwar peilen jie naep ber 0eite pin , wo fte fiep nüpern, fonuergirenb, unb na^ ber 0eite, wo fie auö ein. anber gepen, btoergirenb. MN unb ®'8- 6PO (Sifl-6) finb niept parallel, naepber regten 0eite pin finb fie bioergirenb, na^ ber linfen fonoergitenb. 3wei parallele 8inien fönnen, weil fie immer gleiep weit »on einanber entfernt bleiben, nie jufammentrefen, wenn man fie ainp no(p fo weit »erlangert ; jwei nid)t parallele ©erabe aber muffen pin* längli^ »erldngert, in einem fünfte jufammenfommen , unb jwar auf berjenigen 0eite, naep welcper fie fonoergirenb finb. iöian fagt oon i|wei ©eraben , weltpe in einem fünfte {ufammenfommen , bap fie fid; in bie* fern fünfte burdpfepneiben. Digitized by Google 6 93 i n f « I. §. 10. ®ie bet SÄid^tungtn jweier ©traben, bie in einem fünfte iufommcntrcjfen, »itb ein 9B i n t e 1 (2) genannf. Den^unft, in welchem bie beiben@eraben jufammenfommen, nennt man ben eitel ober bie 0)7 ife, unb bie }mei ©eraben fetbjt bie 0d|)enfel beO 9BinfeI6. Sin aSinfel »irb entmebet mit einem einjigen ©u(^paben, ben man in feine Oeffnung fe^t, benannt, ober mit bem ©uc^ftaben am 0c^eitel, ober mit btei ©uc^jtaben, inbem man {uerfl einen iBu(^|laben an bem ei« nen 0cbenfel, bann ben 95ud)(!aben am 0«^>eitel, unb enbli^ einen ©uc^ftaben am anbetn 0c^enfel au6f))ti^t. 3n bem nebenliegenben 9BinfeI S<9 7. (gig. 7) ifi 0 bet 0^eitel, OA unb OB flnb bie0d;enfel; ber9BinfeI b^ift ent« webet bet SBinfel m, ober bet SBinfel 0, . , ober bet SBinbel AOB ober BOA. Sin 9BinM ift um fo gtbfer , je mebt bie Diicbtungen feiner 0d)enfel von einanbetabweicben. Um habet jwei 9Bin« fei binftaftli(ben liegen, fo müffen oudb biefe anbetn 0(^enfel netbwenbig jufammenfatten. Sie 8ange bet 0cbenfel bat auf bie ©röbe eines SBinfelS feinen Sinflub; bcnn wenn man audj) bie 0cbenfel oetlangert ober berfütit, fo bebalten biefe no^ immer ibte frübetn Otic^tungen , eS bleibt aifo au BOC, eben fo DPE unb EPF. 9ig. 14. '/ B O J) ~W 83on ben SfJcbenwinfeln giH ber 0a^: Die ©umme iroeier 9?ebenwinfcl ifl glei«^ jroei «Rechten. «Beweis. 3« ^^cbenwinfef finb enfmeber gfeidj) ober unälei(^; finb fie fo oon ihnen ein rechter, aifo befragen beibe ju» fammen gewi^ jwei Siechfe; finb bic beiben Dlebenminfef ungleich, fo be^ trägt ber flumpfe um eben fo oiel mehr, als einen rechten, afS ber fpi^ige weniger beftägf, fo bah fi^ t’O'be jufammen wieber genau ju sweiSRe^fen ergänjen. 2tuch finb folgenbe ©ä^e »on felbfl ttar; 1. 3UIe SBinfel, wel^e auf berfelben ©eite einer ©e» raben um benfelben ©cheifel herum liegen, befras gen jufammen jwei rechte SBinfel. 2 . Die ©umme aller SBinfel, weld;c um benfelben ©cheifel rings herum liegen, ifl glei(h »icrlRcchfen. S. Die JjalbirungSlinien jweier Diebe nwinfel fdhlies hen einen rechten SSßinfel ein. SBcnn eine ©etabe mit einer anbern ©craben jwei gleiche Dieben« winfel bilbef, fo fiehf ftc auf ihr fc n fr e d) f, fonfl f ch ief. ©o ifl BO fcnfreeifelwinfel. 8 14. Swei SIBinfef, wef(he oon benfelben jwei geraben Pinien auf entges gengefehten ©eiten ihres Durd;f^nitfSpunfteS gebilbef werben, hfipfu ©unfte b^tum ac^t SBinfel. Sie 3Bin< fei c, d, m, n, »eicbe ben bet» ben gefcbnittenen ©eraben Hegen, b«i-ß i n n e t c ; bie SBinfel a, b, o, p ba» gegen Äußere SBinfel. ein dunerer unb ein innerer SBin» fei auf bet ndmli^en 0eitc bet Sutcbf^nif tölinie unb an »erfcbiebenen 0cbf'* teln forrefponbirenbe 3B i n f e I ; wie a unb ni , b unb n, c ^unb o, d unb p. 5t»«i äußere SBinfel ober aud> jwei innere ®infel auf ben enfgegcngefebfen ©eiten ber ©urcbfcbnittS» linic unb an eerfcbiebenen 0d)citeln werben SBecpfefwinfel genannt ; wie a unb p, b unb o, c unb n, d unb m. 8 e b * f ^ M§. 16. 1. 2Benn jwei parallele »on einer britten ©eraben 1. ie jwet forrefponbirenbe SEBinfel gleid), 2. )ciwei3Be(bfelwinfcIglei^, 3. bie0umme »on je jwei innern ober äußern SEBin» fein, weIdbeaufberfelOen0cifebcr0ur^f(^nitt6» linie liegen, ifiglei»ci3lccpfen. 93 0 r a u 8 f e b u n g. SS fei AB *‘9- t7. II CD(gig. 17). 3u beweifcn ijl er(llicp, ba& je jWci forrcfponbi^ renbe SCBinfel gleitb finb. — SCBenn bie beiben burcbfcbnitt enen@eraben AB unb CD parallel finb, fo miiffen fiebicfe(be9li(bfung haben, folglid; muffen fie »on ber gemeinfchaftli(^en ©urchf^nittslinie EF nach berfelben ©eite pin gleich flart ab^ weiten ; biefe ?lbwei^ungcn aber bilben eben bie forrefponbirenoen SBSintcI; folgli^ finb je jwei for» refponbitcnbe SOBinfel gleich, alfo a=m, b =n, c = o, d = p. gernet ifl ju jeigen , bap je jwei SBcchfelwinfel glei^ finb. — SS ifl eben bewiefen worben, bap a = m ifl; allein eS iff auch p = m, weil biefe aßinfel ©d)eitelwinfel finb; folgli^ ifl auch a = p. Sben fo fann gejeigt werben, bapb = o, c=n, d=mifi. Digitized by Google 10 Snblic^ lifit benxifen , baf jttxi innere ober jwei Süßere SBtn> fei auf ber nämli^en 0eite ber Durc^fcbnitttlinie jufatnmen iwei Siebte betragen. — 2>ie SBinfel c unb a finb mebentoinfel , baber c-|-a=2R; fiatt a fann man ben ibm glei($en forrefponbirenben SBinfel m fe$en, wo« but(f> man erbält : c -f m =2R. 3Iub d + b = 2R unb b = n folgt eben fo d-{-nEs2R. 2(uf äbnlicbe 3(rt fann man {eigen, ba^ aunitten werben, bap bie 0 umme oon jwei innetn ober oon Swei äupernSinfeln aufberfelben®eite ber©ut<^» fcpnittblinie §wei JRe^ten gleicp ifl, fo finb bie beiben burcpf^nittenen ©etaben porallel. 3fi $. SB. c+m=2R, fo mup wegen a+c=2R, ou(p a-|-c=c-fm, ober wenn man beibetfeitSc pinwegnimmt, a =m fein; ftnbet aber biefe« 0tatt, fo finb , wie früpet bewiefen würbe, AB unb CD parallel. 2luf gleicpe Seife fann gejeigt werben, bap AB ff CD fein muffe, wenn a-f-o==2R angenommen wirb. §. 18. 5. Senn|wei ©erabeoon einet britten fo gefcpnitten werben, bap bie 0 ummeber innetnSinfel auf einet 0 eite ber SurcpfcpnittSlinie fleiner ifl aU jwei aiecpte, fo finb bie beiben burcpfcpnittenen ©etaben nicpt parallel, fonbern fie fonoerg fr en nacp betjeni» gen 0eite pin, auf welcper biebeiben innern Sinfei liegen, beten 0 um me fleiner ifl als {weiStecpte. SQotauefepung.a+b <2R(gig. 18). . / SBepauptung.2)ie©e» / taben AB unb CD müffen gT nacp bet recpten 0eite pin fonoergiren. I; / " SB ew ei 8. AB unb CD fPnnen erfllicp nicpt parallel JLIA j) f«in , weil fonfl a-j-b=2R ^ fein raupte, was betSöorauö» / f«pung »oiberfpticpf. ÜRan Digilized by Coogif 11 (af nuc nod^ na4))un»tfen , baf AB wtrflid^ nac^ b» 0ei(( B ^in mit CD fonoergitf. tBtil atte innern SBinfel a, b , n, APQ iufammengtnom» men 4R betragen unb a-fb<2R ifl, fo mn^ APQ n > 2R fein. Denft man fic|) nun non bem SEBinfel APQ einen fotzen APE binmegge« nommen, ba^ bann m + n =2R wirb, fo mug EP || CD fein. Sie®erabe BA entfernt ft(b nun natb ber 0eite A bin »on ber @eraben EP , baber binergirt jte nach berfelben 0eite bin auch mit bet @eraben CD , welcb« mitEP parallel ift; fomitmubABmitbiefer@erabenCDnacb bet entgegen« gefegten 0eite, nämlicb in ber 93erl4ngerung über B binaub fonnergiren. 6. 2)ur^ einen ^untt fann )u einet @eraben nur eine einzige parallele gezogen werben. di fei bie burcb A(iJig. 19) gejogene ©etabe DE || BC , fo fann feine anbere but(b A ge« mjogene ©etabe, j. S8. bie FG mit BC paraBel fein. — SDtan (jf jiebe non bem fünfte A )u bet BC eine beliebige ©etabe AH, ^ fo i|l GAH ^ GAH+AHC biefe in einem *J)unfte fc^neibcn. . ' SReffen bet SSinfei. §. 20. Um bie SBinfcl ju me|fcn, nimmt man irgcnb einen befannten 3Binfel aI8 9Rop on unb unfcrfucbj, mie oft biefer oIO gin^eit angenommene SBinfel in bem gegebenen entOalten ip. 3(18 Sin^eit bcSSGBinfelma» ^eö roirb bet ncuiijigflc 3:fiei( eines rechten 9BinfeI8, wcld^en man @rab nennt, angenommen. 5Son einem asinfefgrabe mac^t mon ftef) am leicbte» jien eine ridjtigc 53or(letInng, wenn man ftc^ bie q)eriferie eines ÄreifeS in ihre 360 (Stabe gefbeift unb ju jebem ShfUnngSpunfte einen .^albs mejfet gejogen benft. Sabiitd] entjlcben um ben ÜRittelpunft 360 Heine SBinfei, rodele, ba fte übit einanbet gelegt, |t(b oodfommen beefen, un* ter einanbet g(ei^ finb. Sin foI(^ct SBinfei nun, bet einem töogengrobe entfpticbt, mirb ancb ein @rab unb jroat ein SB in felgrab genannt. 3ebet SKinfelgrab miib in 60 ÜRinuten unb jebe SOfinute in 60 ®efunben eingetbeilt. Die SBejei^nung für bie Stabe, ÜRinuten unb 0efunben i(l bei ben SBinfeln biefelbe, roie bei ben ^ijgen. 3um SOfejfen unb 93etjeicbnen bet sfeinfel bebient man fief), toenn feine gtope ©enauigfeit erforbetf mitb, bcSSranSporteurS. TluS bem SÖegriffe eincS ®infe(grabeS ergeben fi^) folgenbe 0a|e : 1. ®in geraber SBinfei enthält 180“, ein ^ofiler weniger, ein erhabener me^t olS 180”. 2. gin tecfjtcr SBinfei b«t 90”, ein fpigiger weniger, ein fiumpfer mehr alS 90”, aber weniger alS 180". 3. 3ejwei Ulebenwintel befragen jufammen genom^ men 180". 4. Die 0umme oller SBinfei, welche um benfelben 0^eifel auf einer 0eiteeinet ©eraben neben eins anber liegen, ijl gleich 180”. 6. Die 0umme allerSBinfel, weli^e um einen ^unft rings Return neben einanbet liegen, beträgt 360®. 3. ®rö^c brr ®erabcn. §. 21 . Um jwei gerabe Binien bin|t(^fli4> ib«t ©r&§e ju »ergleii^en, benfe man ji^ biefelben fo übet einanbet gelegt , ba^ fie einen gnbpunff gemeinf^aftlicb ^aben. 0obann febe man auf bie anbern jwei gnbpnnfte; faden fie nicht jufammen, fo finb bie beiben ©eraben unglei^, unb jwar ijl biejenige Heiner, beren jweitet gnbpunft jwifchen ben gnbpunffen ber onbern ©eroben liegt. SBenn aber bie gnbpunffe ber beiben ©eroben ju» fammen fallen, fo finb biefe ©eraben einanbet gleich; unb umgefefirf; wenn jwei ©erabe einanbet gleich finb, mu^ mon fich biefelben ou^h fs porfieden fönnen, ba^ ihre gnbpunfte in einanber faden. Digitized by Google 13 §. 22. Um bie geroben £inien ju m<|fen, b. i. um i^te 8dnge ju bejlim* men, nimmt man irgenb eine befannte @erabe ald an unb unter' fuc^f, wie oft biefe al« (Einheit angenommene ?inie in ber gegebenen @e' raben enthalten ifl. (Einheit teö ginienina^eS nimmt man einen guf ober ®d)ub an unb theilt bcnfelben, um au^ Heinere 8inien meffen jn fon» nen, in 12 Soll unb einen 3otI in 12 Si n ien. 6 gug nennt man eine iilafter. Die Älafter, 5u^, 3^ 11 , Cinieii rcetben folgemeife burc^ bie 3cl^en II, i'i auSgobrücft. .^äufig merben bie Gängen aud^ nach beftimmt. (Ein üRe« ter ift ber lOOOOOOOfie Sbeil eines EDIeribianquabranten ; er enthält 3-16345 äBiener «$u^. ®ebr gro^e Entfernungen roerben na^) EOleiien gemeffen. Eine öflerreichifcl);’ Weile hot 4000 Älafter. Eine auf Rapier, .^04, &lai ober SWetatl oufgetragene unb gehß« rig eingetheilte Sänge mirb ein Wa^Pab genannt. Um eine gegebene (Eierabe mirfli^ auöjumeffen, trägt man auf ihr, je nachbem fie gröhrr ober fleinor ijt, eine filafter, einen gup, ober einen 3oQ fo oftmal auf, al8 eS möglich i|1. «leibt nach bem 2luftragen fein Stell, fo gibt bie 3ohl/ oft bie Einheit in ber ©etaben enthalten i(l, bie Sänge jener ©etaben, unb jmar in ber Benennung ber aufgetragenen Einheit, «leibt ein SKejl, fo trägt man auf bemfelben bie nädijl niebrü gere Einheit auf. It. (ErKlärnngen unb brfonbtrt (£igcnfci)aftm brr gtrablintgcn /iflurtn. 1. DeiS Tittita. §. 23. Eine »on brei geraben Sinien begrenjte gigur mirb ein Dreiecf genannt. ©ei jebem Dreiecfe hat man auf fechö 0t liefe Siiicfficht ju nehmen, auf brei 0eitcn unb auf brei SBinfel. 3ebe ®eite, j. ©.AB (gtg. 22 ) hat jroei anliegenbe SBinfel A unb B „unb einen gegenüber liegenbenC; jeberSöinfef, ©. A, mirb oon jraei ©eiten AB unbACein = gefchloffen, bie britte BC liegt ihm gegenüber. $ 24 . 93on ben ©eiten eines DreieefeS gilt ber ®ah: 3mei ©eiten jufammen genommen finb immer grb' per als bie britte. Die Slichtigfeit biefeS ©afieS i|l leicht einjufehen. 3^be ©eite näm« lieh, J- 2^- AB, i(l als eine ©erabe bie fürjelle Sinle jmifchen jmei Ecf' punftenA unb B; bähet muh biclöerbinbungSlinie jmifchen biefen ^unf-- ten A unb B, melche »on ben beiben anbern ©eiten AC unb CB gebilbef • «ig 22- C Digiiized by Google 14 »itb, not^menbig laiiflet fein, aI6 bie@etabeAB; foinit t|l AC+BC>AB. gben fo folgt AB +BC>AC unb AB + AC>BC. 2(u« AC + BC> AB folgt, wenn man beiberfeit« BC abjie^t, AC>AB —BC; b. b-: 3n jebem ®retedfe ijl eine ©eite gtSfet, al« bet Unterfcbteb bet beiben anbctn ©eiten. 3n .^infidbt bet ©eiten werben bie Steiede in unglei^' feitige, glei^fc^enflige unb gletcbfeitige eingetbeilt. Big. «3. Big. 84. Big. 25. 6in Dreied, worin jebe ©eite »on jeber anbern ©eite »etf(bieben tf!, bei^f ungleicbfeitig (5ig. 23); ftnb in einem Dreiede jwei ©ei-- ten glei »ierBlec^ten. Set S5ewci8 wirb bem gleife be8 'Jlnfanger8 überlajfen. ?!g. 30. S- 26. 2(u8 bem SSor^erge^enben lajfen fi^ nun au(<) fotgenbe Sü|e be» weifen : 1. SSon einem fünfte auferMif* einer getaben Binie fann auf biefe nur eine einjige Senftec^te ^erab» gelaffen werben. Digitized by Google fann au6 C auf bie AB feine jweite SU nie, i. 95. CE, fenfrecf)f geführt roer« ben. Denn im Dreicrfe CDE ijl ber gßinfel in nad) ber 93orau6fe|ung ein re^ifer, fomit n ein fpi^iget; bie CE olfo auf AB ni^t fentrec|>t, fon* bern f<^ief. 2. 3n «iiiem fünfte einet ©eraben fann auf biefe nur eine einzige 0enf« re^teerrid^tet werben. 56 fei Ci)_LAB(gig. 32), fofann inC auf bie AB nicfit iioci) eine jmeite Sinie, j. !8. CE fentrc^f erridjfet »erben. Denn ber SCBinfelBCD ifl na<^ ber?(ns nafime ein recbter, folgticf» mu^ ECB ein fpi^iger aBfnfel fein. CE fiefjt aifo nic^t fenfredjt auf AB. 3. 3rcei fpi^ige ober j»ei pumpfe Sffiinfel, beren 0tf)enfel auf einanber »e^felfeitig fe nfrecfjf pe^en, finb einanber gic icf). 58 fei 0MJ_AB unb OPj_AC dgig- 33), fo ip ju jeigen, bap ber '>ß SBinfei A = 0 fein muffe. 3" Dreiecfen OPR unb AMR pnb bie SBinfel m unb n a(6 0cf)eifef»infe[, unb bie SBinfel p unb q aI6 recf)fe einanber gieicf) ; e« muffen baper aud? bie britteii SGBinfel 0 unb A gieicf) fein. 9Bie »irb ber s&e»ei6 gcfüpri, »enn bie SBinfcf, beren 0c^enfci auf einanber fenfrecf)f pcpen, beibe pumpf pnb» §. 27. SBenn man irgenb eine ©eife eine6 Dreicife8 ai6 ©runblinie anniinmt, fo iieipt bie ©enfredpte, roeicbe oon bem gegeiiiiberliegenben ©d)eitel auf bie ©cunblinie gcfciilt »irb, bie .^öpe be8 Dreiedce. 3m gleic^fcbcnftigen Dreiecfe peipf immer bie brüte oerfe^ie» bene ©eite bie ©runbtinie; bie beibcn anbern ©eiten nennt man © e n f e l unb ipren Diirdt)fd)nitt6punft ben © e i t e ( ober bie © p i p e be6 gleic^fc^enfligen Dreiedfe8. Die Sage ber.^6pe eine8 Dreiedeö pangt »on ben SEBinfeln an ber ©runblinie ab. I. ©inb beibc 9Binfeianber@runbIinie fpipig, fo mup bie .^bpe innerpalb be6 Dceiedfeö fatten. Digitized by Googl 17 8>9. 34. i rr 4\ / \ /L..± \ X, J ii J5f Sinb im S>rei«dEe ABC (Jig- 34) bie SBintel A unb B , fo liefen AC unb BC auf AB fcf)ief auf, unb eS fann olfo bie erfHtcf) ni^t in eine bet 0eifen CA ober CB falten; bie ferner auch nid^t au^et^alb beS 2)teiecfe8, j. SB. na^ CE binfallen, »eil ber SBinfel CAB na4 ber iöorauSfe^ung fV'i^ip, habet fein BZebenwinfel CAE jluinpf, unb forgli(^ im Dteietfe ACE bet Sßinfel AEC fpi^ig ifl, ba et b 0 ($ ein re^l f — diagonale. 0o ifl AD (gig. 85) eine Dia* / I gonale be8 SSierecfeS ABCD. / I 3n ^>inficbt ber gegenfeitigon / \n ?age bet 0eiten »erben bie SBierecfe in Srapeioibe, Stapeje unb ^arallelo* gram me eingetbeilt. giB- 36. StB- 37. giB. 38. Sin Srapeioib ifl.' ein SSieredE, »orin feine 0eite mit einer an* betn parallel ifl, »ie (gig. 36). Sin Srapej (gig. 37) ifl ein SJiered, tn »eicbem nur i»ei gegenübetflebenbe 0eiten parattel, bie anbern|j»ei Mocnik, nidjmttrir 2. äiiji 2 Digitized by Google 18 Seifen o6er ni4)f Jxffatler |inb. ®in^aratleregtamm (Sig. S8) ijl ein föieretf , motin je jroei gegenüberjfebenbe Seifen parallel jlnb. Senn man bei einem Parallelogramme aufbie mecbfelfeifige ©r&fe ber Seifen unb Sinfel Slüdfic^f nimmf, fo ifl baSfelbe enfmeber ein JRpomboib, ober ein SRpombuS, ober ein Slec^fed, ober enbli^) ein Cluabraf. Big. 39, Big. 40. Big. 41 . Big. 42. sin Parallelogramm , in welchem Weber alle Seifen, no(^ aCe ffiinfel gleicp finb, pei^f ein Stpomboib (5ig- 89). ®>n ParaHelo« gramm, in welchem alle Seifen gleir^ finb, peif f ein 91 p o m b u 8 (5ig. 40). Sin parallefogramm, beffen alle Sinfel gleic^ finb, mirb ein 9le^fedC genannf (gig. 41). Sin paralletogramm enblicp, in welchem aCe Seifen unb alle Sinfel gleicp finb, bei^f ein Cuabraf (gig. 42); ba8 iOua« braf »ereinigef bemnac^ bie Sigenf^affen be6 9?bombu8 unb be8 9ie^f» eefeS in (icp. §. 29. 3n .^infid^f ber Sintet eines PieredfeS gilf ber Sa^: 3)ie Summe aller Sinfel eines löieretfeS ifi gleidb Di er 9le^fen. Um biefeS einjufepen , benfe man fiep in bem Piereefe eine 3)iago» nale gejogen; baburc^ jerfaUf baS Piereef in j»ei Xireiecfe, unb eS be-- fragen bie »ier Sinfcl beS PieredteS gerabe fo oiel als bie ffiinfel ber bei»ben Dreiecfe jufammengenommen ; bie ffiinfel eines 3)reiedEeS befragen nun jroei 9le^fe, aifo bie ffiinfel beiber Dreiedfe »ict SReepfe; mifpin ifl au^ bie Summe aller ffiinfel beS PieredeS gleicp »ier 9lei$fen. 3)a in jebem paratTelogrammc bie beiben ffiinfel, roeldje an einer Seife liegen, alS innere ffiinfel jroifdjen jroei gefepniffenen parallelen JU' fammengenommen jroei Dlecpfen gleich finb; fo folgf: 1. ffienn in einem Parallelogramme ein ffiinfel ein reifer ifi, fo muffen auch bie anbern ffiinfel reepfe fein; roie im Blechtedfe unbjQuabrafe. 2. 3fi ein ffiinfel beS Parallelogramms ein fchiefer, fo finb eS auch bie anbern , unb jroar finb je jroei gegenuberliegenbe ffiinfel gleich ; roie im 9ihomboib unb im 9lhombu8. ffian pflegf barum baS 9lhomboib unb ben 9?hombu8 auch fchiefroinflige paraHelo» gramme ju nennen. 5. 30. ffienn man in einem Parallelogramme irgenb eine Seife alS ® r u n b. linie onnimmf, fo pei^f bie Scnfredhfe, roelche »on irgenb einem punffe ber gegenüberfiehenben Seife ouf biefe ©runblinie gefallf roirb, bie ^>&h« beS Parallelogramms. Digitized by Google 19 8ig- 43. man in bem q>arattefe. gramme ABCD (gig. 48) bie ©eite Aß al9 ©runblinie an, unb ifi bit ©crabe DE fenfrcc|)f auf AB, fo jleHt DE bie .^öbe »or. 3n einem 9iecbtecfe befiacfitet man »cii jnjei jufammenpofenben ©eiten bie eine aI6 ©runblinie, unb bie anbere oI8 3m iluabrafe finb bie ©runblinie unb bie^öbe einanbet gleich, unb 5 »ar »irb i’ebe bur^ eine ©eite be6 Cuabrafcö »orgepellf. Unter ber eines SrapejcS »erjlebf man bie ©enfrechte, »eiche non einem fünfte ber einen b^raUelen ©eite auf bie anbere )tarallele ©eite gejogen »irb. •. SBei Srabejoiben enblich fann non einer ©runblinie unb .^Sb* ^«ine Siebe fein. 3. iBaS 9$t(Iecf. §. 31 . 3ebe non mehreren gcraben Sinien eingefchloffene gigur »irb ein iöieletf ober ein ^olpgon genannt. (Sine ©erabe, »el^e jmei nicht unmittelbar auf einanber folgenbe Scfpunfte beS ^olpgonä ncrbinbct , beipt eine © i a g o n a l e. 3Sie niel ©iagonalen finb in einem nfcitigen iöieledb mbglich? OTit SRucffi^t auf bie 2IniabI ber ©eiten »erben bie iSielecfe in breifeitigc ober ©reiecfc, nie'rfcitige ober löieretfe, fünffeitige ober günfedfe, u. f. ». eingetbeiif. i nfi ch t li ch ber » ech f cl fc i t ig e n ©r&be bet ©eiten unb SEB infei untcrfcheibet man rcgelm obige ober regulöre, unb untegelm obige ober irreguläre 'pofiigone. £in iöielerf, »orin aHe ©eiten unb alle ®infei gleich f>nb, h^iht regulär; jebeS anbere iöielecf iji irregulär. SBeifpiclc »m regelmäbigen ^olpgonen bot man an bem glei^feitigen ©reieefe unb am O.uobrate. I. 32. ©ic ©umme aller 583 in Sij. 44. el eines 58ielecfeS i(l gleich fo »ielmal jmeiSlechten als baS «polpgen ©eiten b<»f, »eiliger hier Siechten. Um bieSlichtigftitbiefeS©aheS einjitfcben, nehme man innerhalb beS iQielecfeS itgenb einen 9^unft 0 (Jig. 44) an, unb »erbinbe bens felbeii mit oHen (Sefpunften beS QJoIpgonSburchgerabe Pinien, ©obutch jerfällt baS ^olpgon in fo oiele ©reieefe, olS eS ©eiten breicden betragt fo »ielmaf jmei Siebte, al# baä yoipgon ©eiten ()at ; bie ©umme bet SBinfcl um ben ^unft 0 Return beträgt vier Steckte. X)ie©umme aUet SGBinfel beS^oIpgonö ift alfo gleid^ fo »ielmal jmeiSRec^ten aI6 baä^ofpgon ©eiten ^at, roeniger riet Steckten. X>ie ©umme atlet SBinfel eine« günfedfe« ijt gleicf> 5x2R — 4R = 6R = 540”, „ ©e4)6ecfe8 „ „ 6x2R — 4R = 8R = 720”, „ ©iebeneefeS,, „ 7 x 2R — 4R = lOR = 900”. ®ie gro| ifl bie ©umme aller äufeven SBinfel einc6 IQielecfeS, bef» fen innere SBinfel oHe f)of)l finb? 35a in einem regulären SJielecfe oHe innetn SBinfel gleid^ finb, fo ftn* bet man bie ©rb^e eitieS folcf)en SBinfelS, menn man bie ©umme aller SBinfel bur^ bie Tlnjafil betfclben bioibirt. ©o ift 180* ber SBinfel eine« regulären 35teiecfeO —— = 60", O ff ff ff „ SSiereefe« = 90”, ff ff " ff ^un^edtS— = 108", ö ff ff ff ff ©e(^8etfed-^— = 120”, u. f. m. 6 HI. ^angtnenj ber gerablinigeu /igurtn. I. ^oitgtue«) bec ICreiede. §. 33. 3mei 35reiecfe jinb fongruent, menn jie gleidjegotm unb gleicf>e ®r66e ^oben. kongruente 35rciecfe fßnnen nur butdj ben Drt, an bem fie fid) befinbeii, eon einanber untevfe^eiben, unb muffen haftet über einanber gelegt ft(^ ooHfommcn beefen. 35amit biefeS mbglicf) fei, muffen in ben 35reiecfen alle fec^S ©töcfe, nämlicl) alle brei ©eiten unb aHe brei SBinfel, »ec^felfeitig gleicf) fein. 3u foiigrucnten 35teiecfeu finb alfo bie ©eiten, melcffe ben gleid^en SBinfeln gegenüber liegen, einanber gleid), unb eben fo finb bie SBinfel, rcelt^e ben gleichen ©eiten gegenüber liegen, glei^. SBegen beä innigen äufammenpangeS jroifd^cn ben ©eiten unb ben SBinfeln eines 3)rciecfeS ifl eS oft erlaubt, fd;on au8 ber »e^felfcitigen ©leic^^eit breiet ©tücfe in gwei 3)reiecfen auf beten Äongrueng ju fdjlic^ ^en. 35ie gälle, in benen biefeS gefd^ie^f, ftei^en k o n g t u e n g fä Ile. 8- 34. 1. kongruengfall. SBenn in gmei ©reieefen eine ©eite unb bie beiben anliegenben SBinfel mc(^felfeitig glei^ finb, fo finb bie groei ©reieefe fongruent. S3 0 r a u 8 f e ^ u n g. 58 fei (5ig. 45) bie ©eite AB = DE , bet SBinfel A = D, unb B = E. Digitized by Google 21 Sie. 45. F h / B ö -- 5 0 ( 3 e V u n g. mu^ b«6 l\ ABC ss DEF fein. ®eroei6. 5Wan lege ba§ ^ DEF fo ouf ABC, bajj bie fünfte D unb E ouf bie fünfte A iinb B fallen, roo6 möglich iff, weil AB = DE jfl. SBeil bet SBinfel A = D ifl, mu& DF längs AC fallen; eben fo muf »egen B =E bie0eiteEF längs BC ju liegen tommcn. 9Benn aber bie ©eraben DF unb EF längs ben ©eraben AC unb BC fallen, fo mu^ auch bet j5ut4)fd)nitfSpnnff F bet er|lern ouf ben Durd)fcbnitfSpunft C bet le^fern fallen. Sie beiben Steierfe ABC unb DEF beefen fi^ alfo, über einanber gelegt, »otlfommen , folglid; finb ftc fongtuenf. 2(uS biefem Äongtuenjfalle folgt; a) 3n)ciSrciecfe, lueld^e einc0eite unb ivgenb jrofi gleid)liegenbeS83in» fei roedjfelfeitig gleich bobtn, finb fongruent. b) 3»ci red)t»intlige Sreieefe finb fongruent, wenn fie eine Äatbete unb ben anliegenben ober ben gegenübetliegcuben fpt^igen UBinfel gleicf^ haben. c) Broei rechtwinfligc Sreieefe (inb fongruent, wenn fie bie ^»hpothenufe unb einen anliegenben äBinfel gleich buben. §. 35. 2. Äongruenjfall. SHJenn in jwei Sreieefen jwei ®ei« ten mit bem eingefchloffenen SBinfel wechfelfeitig gleich finb, fo finb bie beiben Steieefe fongruent. ^nnol>me. SS fei (5i9- 46) AC = DF, BC = EF, unb C = F. g 0 1 g e t u n g. (SS muh baS ABC as DEF fein. Big. 46. C F iöeweiS. 9Kan lege baS Sreieef DEF fo auf baS Sreieef ABC, boh FD längs CA, unb FE längs CB falle, waS mbglicf) ifi, ba nach bet aSotauSfehung bic ®infel F unb C gleich finb. SBegen AC == DF muh ouch bet epunft D auf A, unb wegen BC = EF ber 'Punft E auf B, folg» lieh bie 0eite DE auf AB fallen Sic jwei Sreieefe ABC unb DEF finb alfo fo befchajfen, bah Ü« über einanber gelegt fich ooUfommen beefen, b. h- bie beiben Sreiedfe finb fongtuenf. Digitized by Google 22 daraus folgt : 3t»ei te^freinflige I)teiecfe finb fongruent, wenn jte bie beiben Äa» treten glei(^ bot>en. §. 36. 3. Äongrucnifair. aBeiin in jroei SreiecJen jwei 0ci. fen mit bcm ber großem 0eite gegenübertiegenben aSinfel roedbfelweife gleid) finb, fo finb bie beiben ®teiede fongruent. «lg. 47. «öotauSfe^ung. g8 fei (gig.,47X AC =DF, BC = EF, ferner BC>AC, WO bonn aud) EF>DF fein rau^, unb ber'SCBinfel A — D. ©ebauptung. X>ie Sreiccfe ABC unb DEF muffen fongruent fein. © e ro e i 6. 5D?an befcbreibc qu6 C mit bem ^»albmeffer CB ben Ärei6bogen mn, »eleber bie ©eite AB in B burd)fdbneibet ; mit bem Jjatbmeffer FE befcbreibe man eben fo au6 F ben ÄreiSbogen pq, meicber burcb ben ^unft E gebet. 8egt man nun ba6 ^ DEF fammt ben ©ogen pq fo auf bad 2>reiei ABC, bab bie gleichen SBinfel D unb A genau in einanber fallen, fo wirb ber ©cbenfel DE IdngS AB, unb DF longS AC ju liegen fommen. fEBcil AC = DF ijf. fo fdtit ber^unft F auf C: bann mub aber oucb ber ©ogen pq auf ben ©ogen mn fallen, weil beibeau6 bemfelben ÜJfit» telpunffe mit ben gleiten .^albmeffern FE unb CB befcbrieben erfcbeinen. SBenn aber bie binien DE unb pq in biebinien AB unb mn fallen, fo mub ou^ber J>ur(bf(baiii®panfi E bererjlern auf ben Durcbfdbnittepunft B ber lebtern ju liegen fommen; habet bedft a.icb EF bie ©eite CB. ©ie jwei Dreiedfe ABC unb DEF fallen alfo ganj in einanber, folglich ftnb fie fongruent. ©Senn in jwei ©reiecfen jwei ©eiten mit bem ber fleinern ©eite gegenübetliegenben SBinfel wecffelfeitig glei(h finb, fo ifl e6 ni^t erlaubt, auf bie Äongtuenj bev beiben Xreiecfe ju f^lieben, Big. 4». Digitized by Google 2B b« e» {ft, ba| bie jteei Sreietfe ni(^t fon^tuent jtnb. 0o l^aben bie ®reierfe ABC unb DBF (ijig. 48) bie 0cite AC = DF, BC = EF, wo ACnitt6punft F ber SBogen rs unb tu ouf ben ©urcbfc^nittepunft C ber SBogen mn unb pq ju liegen fommen. gaHen aber bie <3)unfte D, E, F auf bie fünfte A, B, C, fo beden jid) aud> bie bajwifc^en liegenben Dreiedfeiten ; folgli(^ jinb bie 2>teiede ABC unb DEF fongruent. §. 38. ®o fongruente Dreiede in gorm unb @to^e übereinflimmen , fo folgt, bap bie 0tüde, aud beren ©leidibeit in jwei Xsreieden man auf bie Äongruenj biefet lejtern fc^liegen fann, bie gorm unb bie @r5ße eine» Dreiede» ooHtommen bejlimmen. ®ie ein Dteied oollfommen beflimmenben ©tüde jinb alfo: 1) eine ©eite mit ben beiben ibr anliegenben SBinfeln ; 2) }wei ©eiten mit bem eingefdsloffenen SSBinfel; 3) jwei ©eiten mit bem ber größetn ©eite gegenübetliegenben SBinfel ; enblicb 4) olle brei ©eiten. Unter ben be|iimmenben ©tAden eine» Dreiede» mu| ficb immer wenigjjen» eine ©eite bepnben. Digitized by Google 24 2. bec ttar^ergrl^etiben ^ou0ruen}fäf((. §. 39. 3)lit .^ilfe bet in bcm iQot^jergc^cnbeii cntroicfelten .Ronätuenjfäffe laffen lul; mcbrere roi<^ti3e abteifen. a. Se{)tfci^c »on ben Stciecfen übcrt'aupt. §. 40. I. äßenn in einem DveiedEc jmei £S5infeI gleid) finb, fa muffen oucb bic i^nen acgenübetflefjenbcn @eiten einanber gieic^ fein. Bifl- / /' 50. C / A/_ \ 68 fei bet SEBinfel A = B (gig. 50), fo i|l iu bemeifen, bot «ucf) bie 0eitcn AC unb BC gleicl) fein muffen. — SWon brom^t nur ju jeigen , bot bic 0eifen AC unb BC in tongruenfen J)teiedCen gleichen ®infeln ge» genübet liegen. 3» biefem 6nbe benfe inon fiel) ten C ouf AB bie @enftecbfe CD ge* \ H SOfl<^n. 3" Srfiteben ACD unb BCD * jiiib nun bie SBinfel A unb B noc^ bet iQotouSfe^ung gleich, bie 3ßinfe( m unb n finb ol8 3iect)te gleich; oIfomüf> fen oud^ bie btiffen ffiinfel c unb d glei^ fein. SicDteiedEe ACDunbBCD toben botet eine0cite CD gemeinfctoftlict. unb bie itc onliegenben Sin» fei mectfelfeitig gleich ; folglidt finb fie fongtuent» 3« fongruenten 0teieden liegen gleieten Sinfeln ouct gteicte0ei(en gegenübet ; ben gleicten Sinfeln m unb n ficten bie 0eiten AC unb BC gegenübet, oifo iji AC = BC. 2) Senn in einem0teiecfeju)ei0eitengIeid)finb, fo müf» fen ouct bie ifien gegenuberliegenben Sinfel gleict fein. iti.1 ti Zf »ia- 51- r 93 oro u Sfe^ung. 68 fei bie 0eife AC = BC rgig. 51); ju bemeifen ifi, bot ouct bic Sinfel A unb B gleict finb. — 5ü?on mut t'f>^ Sfigen, bot A unb B in fongtuenten Dreiecfen gleicten 0eifcn ge^ genübcrjieten. San nimmt on, bot D bic Sitte bet ©ctoben AB ifi, unb jietl ß bie CD. 3o ben 35teietfen ACD unb BCD i(i nun AC=BC, AD = BD unb CD — CD; botet ^ ACD ai BCD. 3n biefen fongtuenten Drcicdten liegen bet gcmeinfctoftIicten0eiteCDbieSinfeI A unb B gegenübet; aifo ifJ A=B. 2(u8 biefem 0ote folgt : a) 3n einem gleictfctennigen Steiede finb bicSins fei on bet ©runbfinie einonbet gleict. b) 3n einem gleitfeitigen iteieefe finb olle Sin» fei gleict, botet feber 60“. §. 41. 3. Senn in einem Steiedte jtoei Sinfel ungleict fo finb ouct bie itnen gegeniit erliegen ben 0 e i te n Digitized by Google 25 ungleich, unb jwat liegt bem grö^ernSBinfel auc^ eine größere @eite gegenüber. n \ \ ./ /// ®'9- 5*' g« fei c5ig. 52) ber SSinfel BAC> fj ABC, fo ijl ju jeigen, baß auc^ bie «Seite BC > AC fein mü|je. — Um biefeS ju erroeifen , fei bie ©erabe AD fo gejogeit, baß ber SBinfel m =B mirb; e6 muffen bann im Srciecfe ABI) aud) bie biefen SBin-- fein gegeiu'iberliegenben Seiten BD unb X « AD gteid) fein. g6 ifl nun im Sreiecfe ^ ACD bie Summe AD CD > AC ; ba» ber aud) BD4-CD>AC, ober BC>AC 2tu8 biefem Sa^e folgt: a) 3rt* recbtminfligcn Sreiccfe ijl bie .^ppotbenufe größer al8 febe .Satbete. b) 3ro ßumpfroinfligen Sreiecfe iß bie bem ßumpfen SCBinfel gegeniiberßebenbe Seite bie größte. c) 3mei recbtrcinfligc Sreiecfe finb tongruent, menn fie bie ipppotpenufe unb eine Äatbete gleicp ba*’«*'- 4. SBenn jmei Seiten eine8 Sreiecfeö ungleich finb, fo finb auch *>i« ihnen gegeniiberliegenben SCBinfel un. gleich, unb jmar liegt ber großem Seife auch ein größerer SOBinfel gegenüber. 9ig. 53. fr g6 fei (5i9- 53) bie Seite AC>BC; fo loßf ßch bcroeifen , baß auch ber SBin» fet B > A fein muffe. SBürbe 3«tnanb Iciugnen, baß B>A iß, fo müßte et behaupten, baß entmeber B = A, ober baß B < A iß. 5T?iin fann B nicht gleich A fein, weil bann auch AC = BC fein ß müßte, maö ber a3orau8fe|ung AC>BC »iberfpricht; eben fo wenig fann BA fein. 5. Unter allen ©eraben, welche »on einem fünfte ju einer gegebenen ©eraben gezogen werben fönnen, iß bie Senfre^fe bie fürjeße. ffig. 54. c gg fei (5ig 54) CD J_AB, unb CE irgenb eine ju bet AB fchief ßebenbe ©erabe. 2)a8 Sreiecf CDE ißrechtwinflig, folg» lieh barin bie Äatbefe CD fürjet al6 bie .^ppofbenufe CE. gben fo folgt, baß CDunffe {u einet ©eraben gezogen »erben fonii, fo bient DFE; fo ijl ju bemeifen , ba^ aud) AB > DE fein müjfe. — Um ben ©emei« ju lüjjren, nehme man ben 9BinFel ACG = DFE an, mad^e CG = FE, nnb jiehe AG. Die Dreiedte ACG unb DEF hoben nun jroei 0eiten mit bem eingefchloffenen 503intel gleich, fie finb hoher fongruent, unb e6 müf. fen auch brüten ©eiten AG unb DE gleich f*'”- ®ian brouchf aifo nur ju jeigen, bo^ AB > AG ifl, ober boh, »enn man bie BG jieht, im Dreiedte ABG bet SBinfet AGB>ABG fein müjfe. SBeil BC = EF, unb GC = EF, fo muh ouch BC = GC, unb hoher bet SCBinfel CBG = CBG fein. 9lun ifl offenbar her äBinfel AGB grober aI6 fein %hcÜ CGB, cilfo auch gröber als her mit CGB gleiche äBinfel CBG, bähet um fo mehr gröber aI6 ein Stheit beS lehfern, nomlich alS bet SSlinfel ABG. SBenn ober AGB > ABG ifl, fo mub oudh AB > AG, ober AB > DE fein. 7. aCenn in jmei Dreiecfen jtoei ©eiten »echfelfeitig gleich, bie brüten ©eiten ober ungleich finb; fo finb auch bie non ben gleichen ©eiten eingefchloffenen SOBinlel ungleich, onb {wariflberjenige^intelgrö« ber, roeldher her grobem ©eite gegenübertiegt. Digitized by Google 27 21 n n a ^ m e : G8 fei (5t8. 56) AC = DF , ßC = EF , unb AB > DE; ju beiücifcn i)l, bap ouc^ ACB > DFE fein mup. — 9Set nid^f jugibf, ba^ ACB > DFE ifT, ntu& behaupten, boh enftcebet ACB = DFE, ober bap ACB a8 erfiere i(l nic^f tnöglitb; benn roenn ACB = DFE wore, fo hätten bie Sreieefe ABC unb DEF i»ei Seiten unb ben bon ihnen eingef^IoffenenSBSinfel gleich, müßten baher fongtuent fein, unb e6 wäre auch AB = DE, wa6 ber 2tnnohme AB > DE wi» berfpri^t. Sö tann aber auch nicht ACB <; DFE fein; tenn bann mühte wegen AC = DF , BC = EF unb ACB < DFE ouch AB < DE fein, woö ebenfaHd ber iöorauöfehung wtberjlreitet. 35et SBinfel ACB fann aifo webet bem SOSinfel DFE gleiche noch fann et fleinet aI8 DFE fein; mithin ijl ACB > DFE. b. 0ähe pon ben gleichf(h«ntligen Steieden in6« befonbete. §. 43. 1 . ffienn übet betfelben ©tunblinie iwei gleichf4l*nfs (ige JJteiede aufliegen, unb man »etbinbet ihre Scheitel bued) eine gerabe 8inie; fo halbirtbiefe ©etabe et)lfich bie fSBinfel an ben Scheiteln, jwei* tcn6 halbirt fie bie gemeinfchaftliche ©runblinie, unb brittenS jleht fie auf ber ©runblinie fenfrecht. ÜSorauSfe&ung: (gig. 57) AC = BC, AD = BD. 3u beweifen ifi erfllich, bah bie ©e« rabe CD bieSBinfel an C unb D halbirt, bah nämlich a = b unb c =d ifl. 3u biefem Snbe »er* gleiche man bie SreieeJe ACD unb BCD; fie haben ollc brei Seiten wechf^elfeitig gleid), ftnb bemnach fongruent; folglich liegen barin ben gleichen Seiten ouch gleiche SOBinfel gegenüber. Den gleichen Seiten AD unb BD liegen bie SBintcl a unb b gegenüber, alfo ifl a = b; eben fo müffen bie SBinfel c unb d gleich fein, weil )le ben gleichen Seiten AC unb BC gegenüberjlehen. gerner i|l ju jeigen , bah bie ©runblinie AB halbirt wirb, bah «am» lid) AO =BO i^. Die Dreiecfc ACO unb BCO finb fongruent, weil fie jwei Seiten unb ben eingefchloffenen ®infel gleich haben; baher müffen auch bie britten Seiten gleich AO = BO. Digitized by Google 28 Sig 58. Auf berfelfren 0eife ©rutiblinie AB liegen? Blun i|l nod(> }u beweifen, ba^ CD J_ AB , ober baf bet SBinfel m = n ijl. Diefe« folgt au6 bet Äongtuenj bet Xiteiedfe ACO unb BCO, »eil batin bie SJinfel m unb n ben gleiten 0eiten AC unb BC gegenübetliegen. SBie »irb bet IBeweia gefü^tt, »enn bie beiben glei^fcf)enfligen Dteiecfe ABC unb ABD (gig. 58) §. 44. 2. SBenn nton in einem gleic|)fd)entligen Dteiede bie 5!Äiffe bet ©runblinie mit bem ©c^eitel burcf) eine ©erabe »erbinbet, fo fle^)t biefe ©etobe auf bet ©runblinie fentre^t, unb ^albirt ben aßintel am 0 e i t e I. Sig. 59. D B (i9 fei (5ig. 59) AC = BC, unb D bie ajtitte »on AB ; fo ift ju bemeifen, ba^ CD J_ AB , obet ba^ bet ffiBinfel m = n ifi, ferner, bap bet ®infei C palbirt »irb, bop alfo p =q iff. — 3)ic0reietfe ACD unb BCD ftnb fongruent, »eil pe affe brei 0eiten i»ed)felfeitig glei^) paben ; baper muffen bie ffBinfel, meldpe ben glei» epen 0iiten gegenüber liegen, glei(^ fein, mitpin m = n unb p=q. 3, Die 0enfred>te, »el^e »on bet 0pipe eines glei^fcpenfligen DreiedfeS auf bie ©runblinie gejogen »irb, palbirt bie ©runblinie unb ben IBinfel om 0 cp e i t e I. gig. 60, e aSotauSfepung: (fjig. 60) AC =BC unb CDXAB; ju be»eifen pat man, bap AD=BD, unb bet SCBinfel p=q i)l — DieDteiecfe ACD unb BCD poben j»ei 0eiten, unb ben bet gropern 0eite gegenübetliegenben SBinfel glei^, pnb bemnaep fongruent; folglicp mup auep AD = BD unb p=q fein. 4 . ®enn bev SBinfel am 0cpeis tel eines gleicpfcpenfligen DreieefeS biird) einc©erabe palbirt »irb, fo palbirt öiefe audp bie ©runblinie unb pept auf bet ©runb* linie fenfre^t. Digilized by Cooglf 29 8ifl. 61. S8 fei (Sig. 61) AC = BC, unb bie ©erabe CD fo gejogen , ba^ ber 3Bin« f(f p==q i|l; fo lä^f fii^ bcrocifen, ba^ AD = BD, uiib CD _L AB ober m = n t|l. — Sie Steiede ACD unb BCD ftnb fongruenf, weil fie itoei ©eilen unb ben eingef(^Ioffenen SEBinfel »ec^)felfeitig gleich f)oben ; ba^er mn^ auc^ AD = BD, unb m =n fein. c. 0ä^e oon ben giatallelogramnien unb ben parallelen 8inien. §. 45. 1. 3n jebem yaraHelogtamme finb bie gegcnübcrfiepenben ©eiten einanber gleic^. 6« fei ABCD (gig. 62) ein ^a* S'8- 82. taHelogramm , aifo AB |1 CD unb -](7 AD|1BC; ju beroeifen pat mon, ba^ AB = CD unb AD =BC i(1. 9J?an jiepe bie Siagonalc BD, fo wirb babur($ ba§ Parallelogramm in jmet fongrucnfc Sreicrfe ge» tpeilt; benneS ijlBD=BD, m=n al§ ®ed)fel»infel, unb p=q eben= /m rZ »'/*/ falls als SBecbfelwinfcI ; eS müjfen baper aud) bie ben gleichen SBinteln gegenflberfle^enben ©eiten gleir^ fein ; ben gleid^en IBinfeln m unb n liegen bie ©eiten AB unb CD gegenüber, alfo ijl AB =CD; eben fo mu^ wegen p =q audp AD = BC fein. Sen pier bewiefenen Ceprfa^ pflegt man aud) fo auSjubruden ; Parallele jioif^en parallelen finb einanber glcir^. 2. ffijenn in eineml8icredebiegegenöberflel;enben©eiten glei^ifinb, foiflbasasieredeinparallclogramm. gig. 63. ®Sfei(5t0.63)AB=CDu.AD=BC, fo mup AB II CD unb AD |1 BC, olfo / f' ABCD ein porattelogramm fein ÜJlan iiepe bie Siagonale BD, fo finb bie Sreiede ABD unb BCD fongruent, weil jte alle brei ©eiten wedjfelfcifig B gleid) paben; eS miiffen baper ben gleichen ©eiten aucp gleicpe UBinfel gegenüberliegen, alfo m =n unb p = q fein; wenn aber bie SCBecpfelmin» fei m unb n gleicp finb, fo muffen bie ©eraben AD unb BC parallel fein ; eben fo folgt wegen p = q aucp AB || CD. SaS 93iered ABCD ifl bems nacp ein Parallelogramm. 3. SCBenn in einem iöietede jwei gegen übevflepenbe ©eiten gleid; unb parallelfinb, foiflbaSlQiered ein Parallelogramm. Digitized by Google 30 Sig. 64. ®enn (gig. 64) AB =CD unb jß ^ - ,^'juglei^ AB || CD ifl, fo mup ABCD' / ein^oraUcIogrammfein. —SicHwan / V / bie 2>tagonaIc BD; foi|lAB = CD, / / BD=BD unb p = q als SEBccbfcIroin^ / / fei, baber mu^ ABD^BCD, unb mI fcinif m = n fein; ou6 ber@Ieicbbcif bet 2Bed>feI»infeI m unb n aber folg!, bab AD II BC, unb habet ABCD, weil auch AB || CD angenommen würbe, ein ^orallelogramm i|l. 4. 3n jebemq)araIIeIogramme baH-iren fi(^ bie bciben Diogonalen in ihrem X>urcbfcbnitf Spunffc. ®6 fei ABCD (gig. 65) ein ^araHelogromm , aifo AB || CD unb AD II BC, fo Idibt fiep jeigen, bab bic Siagonolen AC unb BD im fünfte 0 balbirt werben, bab nämlicb AO =CO, unb BO = DO ifl. — Sie Xireiedle ABO unb CDO bobfi «iti« ®«it« ^ unb bie beiben anliegenben SBinfel gleich, baper jinb fie fongruenf; e6 müffen alfo ou^ bie 0eiten gleich f«*n, weldhe ben glei(hen 2BinfeIn gegenüberliegen; mitbin Aö =CO unb BO=-DO. §. 46. 5. SBenn in einem Sreieefe eine 0eife in mebv«t< gleiche 3;beile getbeilf, unb burch jeben Sb e il u ng§p u nf t eine parallele mit einer jweiten @eite gejogen wirb, fo wirb baburch auch bie britte ©eite in eben fo Diele gleiche Sbeile getbeilf. GS fei (gig. 66) AB j. S8. in Dicr gleiche Sbeüe getbeilf, nämlich AD = DE=EF=Fß, unb ed feien bur^ bie 'Puntfe D, E, F bie ©eraben DG, EH, FJ parallel mit J3C gejogen; fo i(l ju beweifen, ba^ auh AG=GH=HJ= JC fein mub- — ÜRan benfe fleh bic .^ilfeiinicn GK, HL, JM parallel mit AB gejogen, fo i(i, weit parallele jwifchen *paralleten gleich finb, GK=DE, HL = EF, JM = FB. X)a nun nach bet 93orau§fehung AD =DE =EF =FB, fo ifl auch AD =GK=HL=JM. DieDreiecfe ADG, GKH, HLJ, JMC haben alfo erfllich eine ©eite gleich ; fie haben überbieb au^ bie biefet ©eite an» liegenben SBinfet gleich , benn a, b, c, d ftnb al6 torrefponbirenbe Iffiinfel, unb e, f, g, h al6 9Bins fei, beten ©chenfel parallel finb, einanber gleich; »'itbin A ^ GKH HLJ ^ JMC, unb baber O AG = GH = HJ = JC. gig. 66. A Digitized by Google 31 d. »[on ben tegelmdpigen QSieleden.’ §. 47. ' 9Benn in einem regulären iSielede jmei auf einan« ber fo|Iflenbe fEBinfel bur<^ gerabe Cinien ^olbirt finb, fo ifl ber 35urdbfd>nitf8punft biefer .Ool^irungälinien non allen S(f|)unften beS^o(pgon6 gleic^meit entfernt', unb eben fo »on allen Seiten gleicbroeit entfernt. 8ia. er. f« ABCDEF (5ig. 67) ein reguläre« qjotpgon, aifo AB=BC=CD=DE=EF=FB , unb / A=B=C=D=E=F. Sinb bie SlBinfel A unb B fialbirt, fo baf a = b unb c = d ifl, fo müffen ba A-1-B<4R, aIfo b-|-c<2Rifl, bie Jjalbiä ft rung6Iinien AO unb BO in einem fünfte 0 fc^neiben; unb cS i(l er(llicf> ju beroeifen, ba^ biefer ^unft 0 »on affen (Scfpuntten be« ^olpgon« gteid)i»eit abficbt, ba^ nämlic^ AO=BO—CO=üO =EO=FO fein mu^. 3u biefem 6nbe braud)t man nur ju jeigen, ba^ bieDreiede AOB, BOC, COD, DOE, EOF, FOA fongruent unb glei4)f^enflig finb. 3n ben Xivcicdteii AOB unb BOC ij! AB=BC, BO = BO, c==d; baber A AOB^BOC, unb fomit b = e. Um bieÄongrueni berDteicde BOC unb COD nacf)sui»cifen, ifl etfllicb BC = CD unb CO = CO, e« braucht nur au(f) e = f ju fein, i»a« pcb teicbt errceifen läft; weil nämlid> b =e unb A = C ifl, fo folgt A c c r au« b = - auch e = -; wenn aber e = -, fo ifl au(^ ^=ii2 2 2 2 bober e = f; bie Dreiede BOC unb COD finb bemnacb fongruent, folg, lieb au(b d =g. 2luf biefelbe 2lrt lä^t ftcb jeigen, bab A COD ^DOE, A DOE ^ EOF, AEOF ^FOA ifl. Da bet fflinfetb =c, fo ifi ba« A AOB glcicbfcbenflig, unb c« müffen bober audb bie übrigen Dreicde, ba fte mit AOB fongruent finb, gleicbfcbenftig fein. Sinb aber affe biefe Dreiede fongruent unb glcicbfcbenflig, fo mub AO=BO=CO=DO=EO =FO fein; aifo flebt 0 »on affen gobpunften be« yolpgon« gleicbloeit ab. Um ju jeigen, ba^ 0 auch »on affen Seifen be« ^olpgon« glei^. roeif abjlebf, feien bie@eraben OG, OH, OJ, OK, OL, OM fenfreebf auf bie Seifen be« ^olpgon«, fo ba^ fte bie gntfernungen be« fünfte« 0 »on ben Seifen be« ^^olpgon« »orjlcffen. Da bie Senfreebfe, melibe »om Scheitel eine« gleicbfcbenfligen Dreiede« ouf bie ©runblinie gefällt mirb, bie ©runblinie b«tHrf, fo ifl B6 = ^ unb BH = weil nun AB <=BC, fo i|l au^ BG=BH. 3» Dreiedn BOG unb BOH ifl nun Digitized by Google BG =BH, BO =BO, c =d; aifo ijl A BOG^BOH, nnb folglich OG =ÖH. 2Iuf biefeltc 2(rf fann man tcmeifen, ba^ OH = OJ, OJ = OK, OK=OL, OL=Oi\I, OM=OG ij^. Ser ^unft 0 ifl aIfo non aHcn 0eU ten bc8 regulären ^orpgonS gleid;njeit entfernt. Siefer *})iintf 0, melier non allen ISdpunften nnb non aßen 0ci« fen be8 regulären ^olngonS gleic^rceit obfieftf, rcirb ber SWitteljJunf f be8 ^oIngon§ genannt. 2(uS bem bict geführten sBetneife folgt: SBenn man bcn aRittetpunft eines regulären 93iel* cÄcS mit alten Sdpunften bur»^ gerabeSinien nerbin^ bet, fo «erben baburcb atte tBielecfroinfel palbirt, nnb baS regutäretßieled felbjl jerfältt in fo niete fongruente gteidpfcbenftige Sreiedfc, atS eS 0eiten t;at. 9 . ^pit^riien} ^et 93telecfr. §. 48. Somit i«ei töietedfc fongruent fein, b. b- cinanber getegt fic^ notlfommen berfen tbnnen, fo muffen jie oHe 0eiten in berfetben Drbnung gteicb bflben, unb jinifcben gteicpen 0eiten autb gtei^e ®infet entbatten. Stnei töietetfe finb bemnacf) fongruent, »nenn fie atte 0eiten unb atteSBinfet nad) berDrbnung m ecb f«l fei tig glei^ bem eingcf^icfcnen aßinfel glei(j baten ; b«ber muffen au(^ bie Sreicdfe BCD unb FGH fongruent fein ®enff man fiol 9 gonen fongruent fein müflfen. — ®egen AB=GH, BC=HJ, B=H i|f crjllic^ baS dreietf ABC ^GHJ; bafier AC = GJ unb a =m. Sffieil C=J unb a=m, fo ifl au(^ C—a=J—m ober b=n, ferner AC=GJ, CD=JK, baber ACD^^GJK, unb AD = GK, c = p. 2luf biefelbe 9Beife tanu au^ bie Äongruenj oon je jmei folgenben dreierfen nad;geroiefcn metben. 4. SfnffloBen, b«t «onfltiictijfeibte «ufflelöfet ivftbrtt fiinnen. §. 51 . 1 . g« foll ein SÖinfel »erjei^net merben, ber einem gegebenen SBinfel BAC (5i9- 71 ) g lei cf) i(i. »>3- 7 |. 3lufl8fung. SOfan jjebe eine ©erabe DE, befdb«'^« o“® ^ einem beliebigen .^albr.ufl-er «inen SBogen, melier bie 0d)enfel be« gege= benen ffiinfel« in M unp n fc^neibef ; mit bemfelben J?albmeffer man auc^ au8 D einen ®ogen, welcfier bie ©erabe DE in R burcbfcpnei» bet; enbli^ faffe man j|N, unb burcbfcfineice R ben non D au8 befct)tici,enen Söcgen in S; Hebt man nun burc^ D unb S bie ©erabe DF, fo i(l gßinfei EDF = BAC. , a? e m e . 8. Um bie JRiebtigfeit biefer ^luflöfung eiujufebf n, jiebe man b.c ©eraben MNunbRs,in;boergleicf)ebiedreiedeAMNunbDR.S. daAM=DR, AN=DS unb MN=rs, fo i)l A AMNs^DRS, unb fomitber Sßinfel a=D. 5® foll ein dreieef oerjei^net merben, motin eine Digiiized by Googlc 35 0eite mit ben beiben anlitgenben iBinttln geg«: ben ip. i?iB- 72glcic^ ip, unb fcnpniitc in bfii Rupften A unb B jnifi Sffiinffl, »eicbc bon gegebentn SOßinMn x unb y gfei^ pnb; ifjrc ©c^cnfcl AC unb BC »erben (idj in einem fünfte C fc^neiben, unb baä »erlangte Dreiecf ip »erjeidjnet. G8 »erpebt pc^ »on felbp, bafi bie Tiupbfung biefet 2(ufgobe nur bann mbglicb ip, »enn bie ®umme ber Sßintel x nnb y Meiner ip al«^ i»ei SReebfe. 3. Sin Dreicct }u »erjeiebnen, »enn }»ei ®eifen mit bem »on ihnen eingefc^loffenen SBinfel gegeben finb. ÜWan »erjeiebne einen 9Binfel ACB (5ig. 73), »eld>er bem gegeben nenSJBinfei x gleich ip, fc^neibe »on feinen 0chenfefn ®fücfe CA unb CB ab, »eiche ben gegebenen ®eiten a unb b gleich pnb, unb jiebe bie @erabe AB. 4. Sin J)reiecf ju »erjeichnen, »orin j»ei ©eiten mit bem ber gröpern ©eite gegenübetliegenben SBinfel gegeben finb. m- 74. Digiiized by Google 36 SW«n fonflrulte einen gBinfef BAC (Sifl. 74), weichet betn geaebe-- nen Sffiinfel x gteic^) ifl, tna<^e AC gleit^) bet «einem 0eite b, bef4>teibe aus C mit ber gtßpern ®eife a al§ ^albmeffer einen SSagen, »elc^jet ben 0c^enfel AB in B but(^f(^neibet, unb jiebe bie ®erabe BC. 6. S8 fcM ein SreieÄ fonjlruirf »erben, wenn atle btei 0eiten gegeben finb. »ig. 76. 5K«n jie^e (gig. 76) AB = a, bef^teibe au6 A mit bem ^«Ibmef» fet b einen Sagen, nnb au8 B mit bem ^albmeffer c ebenfallö einen ©o-- gen »elcbet ben ftübern in einem 9>unfte C bur^febneibet j iiebt man nun bie ©eraben AC unb BC, fa if! ba« »erlangte Sreied »etjeicbnef. Unter wetcber ©ebingung ijl bie 2iuflßfung biefet 2iufgabe nur mßgli^t ©efanbete gäHe biefet Mgol»« finl»: gin gtei^f^entlige« Dteiecf ju »erjei^nen, wenn bie ©runbtinie unb ein ©cbenlel befannf finb. gin glei^feitigeS DteiedE ju »erjeicbnen, wenn eine 0eite gegeben ijl. »ig. 76. 6. g6 fall ein gejeicbnct werben, weicbed mit einem gegebenenX)teie(fc ABC (gigur 76) f an» gtuenf ijl. ^ ÜWan mad^e juetjl DE=AB, bef4>reibc aus D unb E mit ben .^alb» mefern AC u. BC ÄreiS» DEFasABC. §. 52. 7 gin g>«tallelegtamm ju »crjeiebnen, wenn jwei 0eiten mit bem »an i^nen eingef fet Äuflöfting einjufeben, benfe man ficb bie ©eraben MN, DM, DN gejogen, wo» bureb übet betfelben ©runblinie MN jwei gleicbfcbenflige Sreieefe tonftruirt erf^einen ; bie ©etabe AD, welche bie beiben Scheitel oerbinbet, mup ba» ber ben SBinfel am Scheitel A balbiren. 9. gine gegebene ©erabe AB (Jig. 79) ju balb>t‘n. 9Ran befebreibe au6 ben gnbpunften A unb B nach oben unb unten mit bemfelben 4<*lbmeffet Äreibbßgen, welche ficb 9>unften C unb D but^febneiben ; bie ©erabe CD bolbirt nun bie gegebene ©erabe im fünfte E. :Der Seweib ergibt ftcb aub bet l&ettacbtung ber Sigur ton felbjl, Digitized by Google 38 gifl. 79. r ''' I \E gig. 80. XU"' J) 10 . 95 on einem fünfte A (Sig. 80 ) ou^er^olfc einet @cta> ben BC auf tiefe eine 0 enfred)fe ju fällen. ÜRan bcfdjreibe ou6 A einen Äreiabogen, roeld)er bic ©erobe BC in S»ei g>unflen M unb N burcl)fd)ncibct j auSbiefet bcfcf)teibe man mieber mit bemfelben .^atbmeffer jmei ©&gen, »el4)e fic^ in D fd)neibcn; »etbinbef man nun A unb D bur^ eine gerobe £inie, fo ijl biefe bie »erlangte 0enfred)te. Die^tuflofung betu-- ^ei auf bem 0a^e: wenn übet berfelben ©tunblinie jmei gleic^fd^entlige r>reie(fe aufliegen, unb man »erbinbet ipte 0c^citel butc() eine ©trabe, fo )le^t biefe auf ber ©tunb» linie fenfre(^t. II. 6a [oll in einem gegebenen fünfte A ($ig. 81) einet ©ctaben BC auf biefe eine 0enftecf)te errichtet nj erben. gig. 81. J} B M l ;r a) Ciegt bet gege» bene g)unft gegen bic (Bütte bet gegebenen ©eraben. SRan fc^neibe »on A aua JU beiben 0eiten gleict^e 0tüde AM unb AN ab , befd)teibe aua ben fünften M unb N mit bemfelben .^alb' meffer ©ogen, roelcfic fii^» in D fiijneiben, unb jie&e bie AD, »elcjje, wie leiefit iu beweifen i|l, auf BC fenfred^t )le^t. b) Ciegt ber gegebene Q>unft mejt gegen b«^ 6nbe bet gegebenen ©eraben. Digitized by Google 39 Sig- 82. aXan 6efc^rei6c auö irgenb einem^unfte D cSiä- 82) mit bem .^albmeffet DA einen ÄreiS, wettet bie BC in E fc^neibef; jiej)e bie ©etabe ED, unb »crfängere fte bis «n bie Äteietinie in F ; jietit man AF, fo i[i biefe @erabe bie gefugte @enfcec^te. SBemeiS für bie 3liclS>» tigfeif. 3ni gleic^f^enfiigen ^ AED i|l m =p, im gleich» fc^entligcn ^ AFD eben fo n = q, bafiec in -|- ^ = n + q> nun iji in -}- n-|-q -}- P = 2R, bafiet m n = R, alfoFAj_BC. 12 . §. 53. Surd) einen ^unft A (gig. 83) au^er^alb einet tabeii BC mit biefet eine parallele ju jiefien. @e= 83. JB JO 9Ban faUe non A auf J5; BC eine 0entrec^te AD, ets ricfjte auf biefe in A mieber eine 0enfred)fe AE, fo i|l AE II BC. Sö gibt nocft betfcftie: (j bene anbere 2(uflijfungen biefet 3tufgabe, beten 2tufs finbung bem eigenen ©c^atf)mne be6 ücferd übetlaffen mitb. 13. (Sine gegebene ©etabe in me^tete gleite Sfieile ju t fl eilen. ®8 fei (gig. 84) bie gegebene ©etabe AB i. in 7 gleicf>e Steile ju t^eiten. Wan jie^t butd) A eine beliebige ©etabe AC, ttdgt batauf 7 gleiche ajjeile auf, unb »erbinbet ben lebten Ä^eilungöpunft D mit B; baburc^ erfiaff man ein A ABD, roorin eine ©eite .\D in 7 gleicfje Steile get^eilt iji; bamif auc^ bie ©eite AB in 7 gleid)e Sfieif« get^eilt werbe, batf man nur butc^ jeben S^eilungSpunft bet AD mit DB eine 'parallele jie^en. Digitized by Coogle 40 S. 54. Bi«. 85. B 14. DenSRit(eI))untt ei« nee tegelmdf tgen (öieledee ju ftnben. ÜRan ^olfcite (gig. 85) jmei 93ieIedEewtnfeI A unb B burc^ bie @eraben AO unb BO, roelc^e fic^ in 0 fc^neiben; ber g)unft 0 i|l ber gefuc^te SKifteFpunft bee reguldten ^olpgone. 15. Sin FQieIed }u fon« firuiren, bae mit ei> nem gegebenen 93iel< etfe ABCDEF (gig. 86) fon g tuen t if!. üRan jetlege bae gegebene FQieletf but($ ZFiagonaten in Dreiedte, befc^teibe milfelj! bet X)utd>f4)nit(e oon Äteiebögen eben fo eiele in berfelben Otbnung liegenbe Xteiede, reelle mit benen bee gegebenen FQieletfee fongrnent finb. Die babutcb entflcbenbe gigur GHJKLM ijl mit bet gegebenen foiigruenf. — ®e ij) bi«« ni>tbi9, bie Diagonalen njitfri(b ju jieben ; biefelben f&n-- nen in bem gegebenen wie in bem entjlebenben iöieletfe bloß gebockt wetben. 5. Sefftfä^e nttb ainfBabcn jitt 0rIbflanffiitbttn0 Brt BSemeife nnb 91nflöfuti0cn. A. 8ebtfÄ|e. §. 55. 1. 3roei glei^feitige DreiecEe finb fongtuent, wenn |te gleite .^oßen haben. 2 . 3»«t gIeidbf4>enriigeDreietfe finb fongtuent, wenn fie gleiche @runb* linien unb gleiche .^ßpen hoben. Digitized by Google 41 3. X)t( au3 btn Snb))unlten be au6 einem fünfte an eine gegebene @erabe ju beiben 0eiten bet 0en!re(^fen fc^ief gejogen »erben, »on bet 0enfrecbfen gteic^ »eit objlefien , fo finb bie beiben fd)iefen ©etaben einanbet gleicf). 5. iQon i»ei fcbiefen ©eraben, »elc^e au8 einem fünfte an eine ge> gebene ©etabe fo gejogen »erben, ba| fie »on bet 0enfrec^ten ungleiche jlbftänbe b ten Einfeld mit bet 3)iitte bet J?9))otbenufe but^ eine ©etabe oer> binbet , fo ip biefe bet halben ^>9botbenufe gleich. 7. Sin iöieteÄ, beffen diagonalen pc^ halHten, ip ein ^atattelo« gramm. 8. 3» jebem SRechtecfe pnb bie diagonalen einanbet glei^. 9. 3«be8 q>otaneIogramm , beffen diagonalen gleich pnb, ip ein Dlechtedt. 10. 3n jebem P^h^n bie diagonalen fenfred^f auf einanbet. 11. 3vei iQuabrate pnb Tongruent, »enn pe gleite diagonalen haben. 15. Swei Stapeje pnb Tongruent, »enn pe alle eiet 0eifen einjeln gleich ho{>«n. 16. 3»ei 93ierecfe pnb tongruent, »enn pe brei 0citen nnb bie j»ifchen ihnen fiegenben SBinfel »echfelfeitig gleich h«f>fn. 17. 3»ei 93ierecfe pnb Tongruent, »enn pe j»ei 0eitcii unb aHe 2Bin» Tel gleich heei ^olhgone pnb Tongruent, »enn pe aPe 0eiten unb bieff3in> Tef auper ben btei lebten gleich poben, Digitized by Coogle 42 B. 3(ufgaben. §. 56. 1 . Sinen rec^ttn SBintel in brei glci($e Steile ju f^eiien. 2. 3(uf einer ©eraben einen ^unft ju pnben, ber »on jn>ei gegebenen «punffen gleiibrccit abjbe^>et. 3. Sin rec^twinfligeS Steieef ju fonjlruiren, wenn gegeben finb: a) bie beiben Äat()eten, b) bie 4’Ppofbenufe unb eine Äaf^ete, c) bie .^ 9 pof{>enufe unb ein anliegenber SBintel, d) eine Äat^ete unb ber anliegenbe fpi^ige SBintel, e) eine Äat^efe unb ber gegenüberliegenbe SBintel. 4. ein glei^jfc^entligeS »reieef ju oerjeii^nen, wenn gegeben finb: a) bie ©runblinie unb ein onliegcnber SSinfel, b) bie ©runblinie unb bet SBintel am Scheitel, c) ein 0cf)cntel unb ein SBintel an bet ©runblinie, d) ein 0c^entel unb ber SBintel am 0c^eitel, e) bie ©runblinie unb bie ^o^e, 0 ein 0cf)entel uilb bie g) bie ^bi)c unb bet SBintel om 0cbeitel. 5. ein glei^feitigeö Drciccf ju fonfltuiten, wenn bie ^obe beSfetben gegeben ijt. 6. ein Sicebfeef jii tonflruiren, wenn gegeben finb : a) eine 0eitc unb eine diagonale, b) eine 0eite unb ber ibr gegenüberliegenbe SBintel ber beiben diagonalen. 7. einen Stbombuö ju tonflruiren, wenn gegeben finb: a) eine 0eife unb bie .^öb«, b) eine 0eite unb eine diagonale. 8. ein ^ataltefogramm ju »erjeiebnen, wenn gegeben finb: a) jwei 0eiten unb eine diagonale, b) eine 0eife unb bie beiben diagonalen, c) bie diagonale unb bet »on ihnen eingef^loffene SBintel, d) bie ©runblinie, bie jweite 0eite unb bie ^obe. 9. ein Srapej ju tonflruiren , wenn gegeben finb : a) aOe »ier 0eiten, b) brei 0eifen unb ein SBintel, IV. JlebnlitbKeit bet fltrablinigtn /tguren. 1. ^eotnetrifobr* 9$crbä(tniffc nnb ^cptivrtioneit. a) SSerbnllniffc. §. 57. die Säetgleicbung jweier SRaumgröben, um ju feben, wie oft bie eine in bet anbern enthalt en ifi, wirb ein geometrifcbeSSSerbnlt' ni| genannt. SSergleicbt man j. ®. bie©etaben AB unb CD (gig. 87), Digilized by l->i > 43 Sia- 87. um iu fe^en, wie oft 1— 1 CD in AB enfjifllfen ijl, fo etfiolt man baS 58er» ,2? AB; CD. 5!Sie ]ebe$ 58erf)ältni^, mirb audj) baö 58er^ältniß jioeterdtaumgröfen burt^) 3 « H « n ®u8gebrü(ff. Um ba6 58erH(tni^ jweier@eraben AB unb CD in 3aHen bnriujtenen, trage man bie fleinere @crabe CD auf ber gr&^eren fo oft auf, aI8 e8 möglicf) if!. iSIeibt nac^ bem mef)rmaligen 2tuffragen fein 5Refl übrig, fo ifl bie tfeinerc ©erabe felb|l ein SDfa^ »on ber gröfern. £>a nun baS 5!Jfaf CD in AB 8mal, unb in CD ima( ent» halten ijt, fo »erhalten fich bie ©eraben AB unb CD mie 3 : l. gig. 88. ober bie o ti r fleinere ©erabe MN ( —' 1— (^gig. 88) in ber 1* Tir großem KL nicht jrt 1 H genau enthalten, fo bah nach bem smaligen 2(uftragen noch bleibt, ber natürlich fleiner ifl ata MN, fo mühte man einebritte Sinic fuchen, metche ein g e m e i n f ^ a f 1 1 i ch e a 5D? a h »on KL unb MN i|1. Siefea gef^ieht auf folgenbe 2trt. Blachbem man bie fleinere ©erabe MN auf ber gtöhern KL aufgetragen hat, unterfucht man, mie oft ber 9te|l OL in ber fleinern fiinie MN enthalten ifl, inbem man OL auf MN fo oft auftreigt al8 e8 angeht; e8 fei OL in MN 2mal enthalten, unb e8 bleibe PN ata 3?efl. ®iefer Siefl mirb wieber auf bem frühem 8lej]e OL aufgetragen; e8 fei biefea imat möglich, mit bemSfefle QL. SerSKeif pL mirb ferner auf PN fo oft aufgetragen, al8 e8 möglich ijl; e8 fei QL in PN genau 4mal ent* halten, fo bah fein SRejl übrig bleibt. OL ijl nun baa gröhte gemeins fchaftliche ÜRah jmif^en ben beiben ©etaben KL unb MN. Um baa 3«h* lenoerhältnih jmifchen biefen jmei geraben Sinien aufju|1ellcn, h«t mon PN = 40L, OL = PN + OL = 50L, MN = 20L + PN = 140L, KL = 3MN 4- OL = 470L. 3)a alfo baa fDlah OL in KL 47mal, in MN l4mal enthalten ijl, fo haben bie ©etaben KL unb MN ba8 «öerhaltnih 47 : 14. 3)a brr nach bem 2tuftragen gebliebene 9tejl jroar fleiner al8 bet Borhergehenbe JÄejl fein muh, bemfelben übrigena feine ©uiije »otge« fchrieben ijl; fo ifl ea möglich, bah baa 'Jtuftragen be8 jebeamaligen 9te» |le8 auf bem »orhergehenben 9tejle of;ne Snbe fortgefeht miib, unb hoch immer ein SHejl übrig bleibt. 3n biefem galle haben bie jmei ©etaben fein gemeinfchaftlicheä 9Kah, unb e8 läht ih» 58erholtnih ju einanbet ni^t »oUfommen genau in 3al;len auabrütfen. 2>a jeboch buch miebers bol tea ^(iiftragen ber 9te|l fleiner gemacht merbm fann, a!8 jebe noch fo fleine gegebene Cinie, fo fann man ihn enbli^ al8 eine »erfchmins benbe ©rohe anfehen , unb fomit ganj »ernachlahigen. 5SBitb bann ber lejte aufgetragene 0{ejl aia gemeinfchaftlicheä 5Ölah ber beiben ©era* Digilized by Coogle 44 ben angenommen, fo «c^ält man ein angenäbetteS QSev^ättni^ imifd^ett benfelben. 3mci ginien, bie ein gemeinf4)affli(^e6 ÜRa^ fo l>op ©erbältnil ju einanber burcb 3«Men »oHfommen genau bejlimmen läft, beiden fonimenfurabet; fonft ftnb jie infommenfurabel. ®a baS angenäberte iöerbältnib jroifcben jmei infommenfuroblen ©röfen bejlo genauer roirb, je tleiner man baö iKaß annimmt, fo barf man $mei infommenfurable @rö^en als jmei fommenfurable betracbten, beten gemeinfcbaftlicbeS «Kab uiunbticb flein ifl. @ilt habet itgenb cin@efeb füt je jmei fommenfutable Stößen , fo mub eS auch füt je jmei infommenfutable tatt ftnben; fo baf man bei bet 2lu6mitt(ung oon 93etbültniffcn }n)ifd)en ben SRaumgtöben fiefS nut ben gaU ju betücf» ficbfigen btaud>t , roo biefe 9laumgt5b«n fommcnfutabel ftnb. b) ^topotjionen. §. 58. 3mei iöetbältniffe, »eicbe baSfelbeSablonbotböItnib geben, ftnb ein* anbet gleic^. Sig- 8». Sie SSetbaltniffe AB; CD r- >JB EF ; GH (gig. 89) finb einanbet gleich, weil beibe ^ 1 ^ 3ablen«etba(fnib 3:2 geben. Sicl^leicbfleffung »on E' —^ — •E' jmei gleiten geomeftiftben iöctbolfniffen wirb nun eine gf i I geometrifcbe ^ropot* iion genannt, j. ©. AB:CDr=EF;GH Sine ^ropotjion, in wi'Id)er bie beibcn mittletn ©liebet glei^ finb. beipt eine fietigeyropotiion; baS mittlere ©lieb wirb bie mitt» lete geomettifcbe proportionale jwifcben ben beibcn üubetn ©liebem, unb baS »icrtc ©lieb bie brittc fletigeptoporjio* nale ju bem ctffen unb mittlern ©liebe genannt. ffienn jwei 2(rtcn bon SKaumgroben fo oon einanbet abbängen, ba^ baS IQerbültnib twifeben je jwei ©r&ben bet einen 3(rf gleich 'P bem iöets bültniffe bet beiben jugebörigen ©röb«>' bet anbetn^ltt, in berfelben Orb* nung genommen; fo fagt man: bie beiben Titten »on 9taum* grbpen fteben in gerobem 93 c r bÄ 1 1 n i ff e, ober fie finb g e* rabe proporsionirt. 9Benn hingegen jmei Titten »on SKaumgrö^en fo »on einanoer abbangen, bab baS löerbälfnib jwifcben je jwei ©rb^on bet einen Tlit gleich ift bem 93erbaltniffe bet jwei jugcb&tigen ©röben bet anbi'tn Tltt, aber in iimgcfebrfer Drbnung genommen; fo fagt man; bie beiben Tlvten »on 0laumgröben flet;en in »et* feb^ftem IQetbaltniffe, ober fie finb »erfebtt ptopotjio* nitt. Digitized by Google 45 gifl. 90. §. 59. bet ^roborjionanfät bcr Drcicctfciten finbbefonbetö folgenbe 0ä^e I. Sßenn man butc^ irgenb einen^unft einer IDreiecl« feite eine ^aro II eie mit einer anbetn ©eite ji«M> fo finb bie ©tücfe ber beiben gef^nittenen ©eiten fomofil unter einanbet. al$ mit ben ganien ©eiten gcrabe fjtoporjionirt. \fr 53 0 r a u S f e $ u n g : (So fei DE II ' BC(5ig.90). » e f» 0 u f) t « " 0 AD ; DB = AE ; EC, ferner AB : AD = AC ; AE, unb AB : DB = AC : EC fein. 3uno(^ji ijl ju bcroeifen, ba^ bie q^toporjion AD ; DB = DB : EC ©tatt finbet. 66 fei AM ein gemeinfc^aftlicbc6 Smifc^en AD unb DB, unb jroar AD =mAM, Dß =nAM, fo ifl AD:DB =m ;n. ®enft man fic^ burdf jeben SfieilungOpunft bet AB eine reiede6. fei im ©reiedfe ABC 92(gjg. 92) ber ffiinfel C buri^ bie ©erobe CD ^lol» birt, alfo ra = n; ju be« weifen iji, bap bie 'ptopor. jion AD ; DB = AC : BC ©tatt ftnbef. — 9Jian »er. längere BC unb jiepe bur^ A mit DC eine ^orallcle, Jl roeicbe bie aSerlnngerung ber BC in E fc^nicibet. @0 i|l nun m = p als 9Bed)feln>infeI, n =q alS forrefponbirenbe aßinfel, unb wegen m =n oiic^ p =reiedE mit bem neu entpanbenen deinen ®reiedte 5bnlid[). ffig. 94. fei RE II BC (5ig. 94) , fo i|l ju bemeifen, ba^ baS ^ ABC ~ ADE. — ®ie beiben I>reiecte ABC unb ADE ^aben er{1Iic^ glei(^e äßinfel, benn ber SlBinfel A ijl in beiben Dreieclen gemeinfcbaftli^i , unb bie SBinfel B unb C finb i^ren forrefponbirenben JCBinfeln m unb n glei^. 91un ijl nod) ju {eigen , ba^ aiic^ je {toei 0eifen, meld^e ben glei(^en ^infeln gegenüber liegen, boäfelbe Söerböltnip {u einan-- ber haben. SDBeil DE || BC ijl, fo finbet bie 'propor{ion AB:AD =AC:AE @taft. 3iebt man EF || AB, fo mu^ ain^ AC: AE = BC:BF, ober weil BF = DE ijl, AC:AE = BC:DE fein. IQerbinbet man biefe ^ropor{ion mit bet erjlen, fo bat man AB: AD = AC: AE = BC: DE. X)ie jjteiecfe , ABC unb ADE haben alfo gleiche SBinfel unb propor{ionirte 0eiten, folg, lieh finb fie ähnlich. §. 63. 2. SGBenn in jmei Xlreieden alle btei UBinfel mechfelfei» tig gleich finb, fo finb bie beiben ®reiedCe ähnli^. Sa fei (gig. 95) in ben Dreiecfen ABC unb DEF bet 9Binfel A=D, B = E unb C =F. SDSäre AB =DE, fo müßten bie beiben Sreiedfe ton. gruent fein , mad hiDE. ®lan fchneibe »on bet AB ein 0füÄ AG=^DE ab, unb {iehe GH II BC i fo ijl baa A ABC ~ AGH. ®aa lehfere Steied AGH ijl nun mit DEF tongruent; benn bie 0eite AG =DE, ber SBinfel m =E, »eil beibe bem SBinfel B gleich SBinfel A=D. SBenn aber baa JJreiecf ABC mit AGH ähnlich, unb AGH mit DEF fongruent ifl, fj mufi au^ A ABC ~ DEF jein. 2{ua biefem ^lehnlichfcita« falle folgt : a) 3m«i Sreieefe finb ähnlich, wenn fie {mei SBin«. fei mechfelfeitig gleich haben; weil bann auch bie briften SBin« fei gleich f«'n muffen. b) .3weil)reiecfcfinb ähnlich, wenn alle btei 0ei> ten raechfelfeitig parallel finb ober aufeinanberfenf« recht flehen; benn in beiben gälten haben bie Sreieefe alle btei SBin< Digilized by Googif 48 fei gteii^, ba SlBinfel, beten ®c^enfel pataffel laufen, obet auf einanbet f«nfted)t flehen , einanbet glei^ ftnb. 3n folgen Dteiedlen ftnb bie talieten obet auf einanbet fenfted^ten 0eiten bie gleid^namigen, ba^er ein« anbet {»topotiionitf. §. 64. 3. 98enn in {wei Steiecfen ein SBinfel segenfeitig glei4> iil, unb bie iM einfc^Iiefenben 0eiten ba6^ felbe iöetbfiltnif ju einanbet ^aben, fo finb biebei« ben CDteiede gig. »6. feit bet ^reiecfe ABC unb AGH folgt / \ AB;AG = AC:AH. ®iefe unb „/ 93orau6fe|ung aufO ge(leHie ^topot^ion paben bie etjien btei ©liebet gleicp, aifo müffen jie au^ bad eietfe ©lieb gicicp pa» ben; folglicf) AH =DF. SCBeil nun bie 4»ei Sreiecfe AGH unb DEF jroei 0eiten unb ben eingef(f>Iofenen IBtnfel glei^ haben, fo ftnb fte (ongtuent. X)a6 0reiecf ABC, toel^eö mit AGH ähnlich ifl, muß bähet ou^i mit DEF ähnlich fein. §. 65 . 4. ®enn jwei Drciecfe jroei 0eiten »echfelfeitig pto» potjionitt, unb ben bet gtbßetn oon biefen0eiten gegenübetliegenben iSinfel gleidh hoben, fo finb fie ähnlich. Bia- 97. 66 fei (5ig. 97) AB : DE J) =AC;DF, AC>AB, DF> \ DE, unbB=E. ÜRachtmon AG==DE, unb jieht GH || BC, fo ifl ba6 X)teiect ABC ~ AGH , unb bähet AB ; AG = AC : AH. fSetgleicht man biefe ^topotjion mit bet in bet IBorau6fehung enthaltenen, fo fteht man , baß in beiben bie etflen btei ©liebet gleich ftnb ; e6 muffen alfo auch bie oietten ©liebet gleich fein, nämlidi AH =DF. Sie Steiede AGH unb DEF hoben nun j»ei 0eiten unb ben bet gthßetn 0eite gegenübetliegenben fffiinfel gleich, mithin finb fie fongtuent. 66 ij! alfo A ABC ~AGH, A AGH s« DEF; fomit auch A ABC ~DEF. 4^ §. 66. 6. SBSenn in jmei Sreiecfen alle brei©eifen »ec^felfeir tig piopor jionirf finb, fo finb bie bciben Steiecfe ä b n t i c^. 98- g§ fei (5ig. 98) B AB : DE = AC : DF, unb AB : DE = BC : EF, \ 5Kan moebe AG=DE, unb jiebe GH II BC, fo ifl ba6 A ABC~AGH ; baber AB : AG = AC : AH, unb AB : AG = BC : GH. 3n ber brif len unb erjlen ber hier »otfommenben ^ropotjienen finb bie brei erflen ©lieber gicid), aifo mu^ barin aud) ba6 nierte ©lieb gleich fein, nämlid) AH = DF ; eben fo haben bie »ierte unb jiDeite ^^roporjion brei ©lieber gleid;, alfo muh in benfelben aud) ba8 oierte ©lieb gleid) fein, nämli^ GH==EF. Sie beibcn Sreiede AGH unb DEF haben alfo alle brei ©eilen gleich, falglid) finb fie fongruenl. SCBeit nun baS Sreiecf ABC mil AGH dhnlidh ijl, fo mup e8 au* mil bem Sreiecfe DEF Äh"» lieh fein. §. 67. f'h ab'r^l enlividellen 2lehnlichfeil8fällen laffen fich folgenbe 8ehr= 1. 3n ähnlichen Sreieefen »erhallen fich bie J?äh*n fo tuie bie ©runblinien. »ig- 99. S6 fei (5ig. 99) ba§ A ABC ~ DEF, unb man nehme BC unb EF al8 bie ©runblinien, AG unb DH al8 bie .^öhen ber beiben Sreieefe anj iu beiueifen hal man, ba^ AG:DH = BC:EF i(}.' — Sie Sreieefe ABG unb DEH haben jroei SBSinfet roed)felfeilig gleich, finb bähet ähnlich; milhin finbel bie qjropotiion AG : DH = AB : DE ©lall. SBeil nach ‘ Per Einnahme A ABC ~ DEF, fo ift auch BC : EF = AB< DE. 2lu8 ben beiben firoporjionen fotgl nun AG : DH = BC : EF. 2. fSBenn man in einem rechlminfligen Sreieefe oom ©cheilel be6 r ed) I e n S3i n f el ö ein e ©enfrech le auf bie .Oppolhenufe fällt; fo ifi a) jebeS ber babutch enfpehenben fleinen Sreieefe mil bem gegebenen ähnlich, baher bie fleinenSreiede auch unter einaiu Modnik, Stcomctcic. 2. Äufl. ^ ^ t Digitized by Google «ig. 100 g« fei (gig. lOO) lierSCBinfel BAC ein regier, unt>ADj_BC. a) 3n ben S)reietfen BCA | unb ABD ijl bet SBinfel B=B, BAC =ADB = R, eö ifi baf>er ff .r. , ouc^ bet btiife SEBinfel C =m, ^ :ff unb baS A BCA ~ ABD. — , Die DreiecEe BCA unb ACD {laben ben SHJinfel bei C gemeinfc^iaftlic^ , bie | SBintel BAC unb ADC finb alo recfjte gieicf), ba^er au^ B = n, unb A BCA ~ ACD. — ®enn aber A ßCA ~ ABD, unb A ~ ACD ift, fo niu^ auc^ A ~ b) SBeit A ßCA ~ ABD \\1 , fo folgt BC : AB = AB ; BD, unb weil A ®CA •— ACD , fo ift au(^ BC ; AC = AC : CD. c) ®egen A ABD ~ ACD i|t BD ; AD => AD ; DE. 2(u« bem jroeiten Sjieile beö fiiet bewiefenen 8ebtfafe8 (ü§f ii(^ ein febt merfwütbiger 0a$ abfeiten , ber »egen feiner SBi^tigfeit weiter un» ten no(b auf eine anbere 2(rt be»iefen »erben fofl. inimmt man irgenb eine Sangeneinbeit an, unb ftnbet man, nach* bem bie Äatbeten beO recbtminfligen Dreiedeö, bie Jjppotbenufe unb beren ^fbf(^nitte barait geraeffen »urben, AB = a, AC =b, BC =c, BD =p, DC = q; fo ergibt fic^ au8 ben unter b) aufgefteHfen ^roporiionen c:a = a:p, c; b = b: q bapet cp = a*, cq = b*. 2(bbitt man biefe festen ©fei^ungen , fo erbäft man cp -j- cq = a* + b*. 2fHein e8 ift cp cq = c (p + q) = c . c = c® ; bober c* = a* + *•*» b. b- i" jebem recbtminfligen Dreietfe ijt baöOuabrat ber .^ppofbenufe gfeid) ber ®umme au6 ben £luabraten b er beiben Äatbeten. Diefer ®a^ b«'bi feinem' grjtnbet ^ptpogct«* tbagorüifcbe Seprfaf. • , gjtit J?ilfe biefe« 0abe6 fanii'man, »enn j»et 0eiten eine« recpf»infligen 2)reiedPe« befannt finb, butcb blofe SRecbnung bie britte 0eitc finben. • . ®enn bie beiben Äatbeten befannt finb, fo erpebt man lebe «atpetc {um Cfnabrate, abbirt bie duabrate, biefe 0umme gibt ba« öuabrat ber .^ppotpenufe ; um ba^et bie Jpppotpenufe felb)l ju erpalten, barf man nur au« jener 0umme bie jQuabratmurjef auSjiepen. g« fei j. tö. bie eine Äatpete 240<', bie anbete 44", »ie grop ijl bie .^ppotpenufe? Digitized by Google 51 240* = 57600 44® = 1936 •^9t>0f^enufe = >/59536 = 244". 3B«nn bie ^ppotbenufe unb «ine Äotbete befannt finb, fo erbeb« nton beibe jum üuobrofe, jiebc »om öuabrofe ber .^9pofb«nufe baöiCiua' brat bet Äalbete ab, ber Slefl gibt ba6 jQuabrat ber anbern nodj) unbe» fannfen Äafbetej roia man biefe Äafbcfe felbjl finben, fo barf man nur au6 jenem SRefle bie Xiuabrafrourjel aubjieben. 1) (£6 fei j. Sb. bie .^ppotbenufe 117", bie eine Äatbete 45"; mie grob ijl bie jrceite Äaf bete! 117® == 18689 46® = 2025 bie jmeite Äatbcte = \/i i664 = 108". 2) 5DJan fuc^e bie .^öb« h «ine6 gleicpfeitigen X)reiecfe6, beffen@citc s iji. 3. b(t SBiele^r. §. 68. 3«>«i SSieletfe finb ab n lieb, rcenn ihre SCBiiifel ngtb ber Orbnnng gleich, unb bie gleiibliegenben @eiten gerabe proporiienirt finb. »ig. 101. SOJenn (Sig. 101) ber SSBinfel A = G, B = H,C = J, ' D = K, E = L, F = M, unb ab : GH = BC : HJ = CD ; JK = DE : KL = EF ; LM = FA : MG ijl, fo ifl ABCDEF ~ GH.IKLM. 3roei regelmäbig« SQieiecfe »on gleich »iel 0ei(on finb einanber äbn» li^. ®arau6 folgt , bab fich in regelmabigen SBiefeefen »on gleich »iel 0eiten bie Umfänge foju einanber oerbalten roiejn)eigleichIiegenbe0eiten. §. 69. 3roei iSieieefe, meldb« au6 gleich »ieien bet Orb» nung nach ähnlichen SDreierfen jufammengefebt finb, finb äbnli4>- 4* Digitized by Google 52 8tß. 102. 68 fei (5ig. 102) ba8 ^ ABC~FGH, AACD-~FHJ, ^ADE~FJK bicfer aSorouOfeßung jtnb je jwei glei^Iiegenbe Sreiecfroinfel glei(^ unb je jreei glcic^liegenbe ©eiten |)aben baOfelbe SSer^älfnift ju einanbet. — l?6 iji juerj) ju beweifen, ba^ au(^ je jwei gleit^liegeitbe tOietedtewinfet einanber glei^ finb. Dq^ B = G, E = K i|i, liegt f^on in bet 3bnnabtii« ; ra = t, n=u, o=vijl oiic^ m + n + o = t + u + V ober A = F; eben fo folgt p + q = w -f* ober C =H, unb r 8 = y + z ober D = J. STlun i|l noc^ ju jeigen , ba^ bie Qleiebliegenben 93iele(f6feiten froborjionirt finb. 9lod^ ber 2lnnabme ift AB ; FG = BC : GH; ferner finb bie 58erbaltnijfe BC:GH unb CD :HJ einanbet gleic!), weit jte beibe einem brittcn 93erbältniffe AC;FH gleich finb; eben fo folgt au8 CD;HJ = AD;FJ unb DE:JK = AD:FJ ou^ CD:HJ = DE:JK; enblicft ift nadi) ber 93orau6febung DE: JK =EA:KF. gj?an bot bnbet AB:FG = BC;GH = CD:HJ = DE;JK=EA:KF. ®ie beibcn 53ielerfe ABCDE unb FGHJK hoben alfo in bet Dtbnung gleiche ftBinfel unb proporjionirte ©eiten ; fie jtnb beranoch Umgefebrt Idbt bemeifen ; SBenn man in jmei dboI'<^«o ^olpgcnen non i»ei glei^tliegenben fünften ju ben übrigen gdfpunften ©io» gonalen jiebf? fo jerfallen babur^ bie beiben ^olpgone in ©reietfe, welche ber Orbnung na* dbnlich finb. 4. Slafflnben, wcld^c iiadi bet SlehnHcBfeitSfelhK oufflelöfeb loetbcn fünnen. §. 70. 1. g6 foll eine©etabe mitteljiSranöBetfalen in mehrere gleiche Äheile getheilt werben. ffig 103. Digitized by Google 53 e« fei j.©. bie@erabeAB (Sig. 103) in 20 gleiche Sl^eUeju tMlenü»an ierlege 20 in swei Solforen 4 unb 5 , tbeite bie ©erabe AB in tHet gleid)e %()eiie, in ben ©nbpunften A unb B errichte man 0enf: r«(t)fe, trage barauf 5 gleiche Sb^ile auf, uerbinbe bie lebten !£^ei(ungOs punfte C unb 0 butc^ eine ©erabe , wel^e ber AB gleicf) fein muf , unb tbeile aureiede CLM unb CAE bot man nümlicf) L.H : AB CL ; CA , aber CL = | CA , affo aud^ I-M == J AE ; nun tf! AE ber eierte t’on AB; fomit mu^ LU ber iwanjigfle %b^Ü )»>n AB fein, alfo LM = iAB. eben fo foigt, baf NO = ^AB, P0 = iAB, RS = aaB NT«^AB, . . . PÜ =l|AB, . . . ifl. Die ©eraben CB , HF , JG , KB beiden Sranbeerfalen. eo i|l eon feibfl einleiicbtenb , bof bie Sb^iiong einer ©eraben in mehrere gleiibe Sbtüt mitteifl SranOeerfafen nur bann 0tatt finben tann, menn ft(!b bie 3obi bet eerlangten <« jmei Saftoren ^erlegen Idßt. Der eincSaftor jeigt an, in nie eiet gteidje %bo>l£ bie ©erabe unmittelbar ju tbeilen ifl, ober teie eiete SranSeerfalen man ;u }ieben bat; unb ber anbere Saftor, mie viele gleich^ Sb^üo man auf ben 0enfre^ten aufjutru' gen bot. Die Sbeilung einet ©eraben mitteifl SranOeetfalen mirb inObefon-- bere bei bet Jionflrufjion eon eerjungten SRabflaben angeteenbet. Unter einem verjüngten Slabflobe eerflebt man nämlicb einen Sla§flab, auf weicbem bie in ber üBirfiitbfoit tiblicben ÜRafe fammt ihren Unter> abtbeiiungen nach ataDrelen in bet 0enf» rechten 400 fieft; wäre biefe ^aroUele mit 3 bejeichnet, fo entfält bie geraefene ©erabe 463 Sfeile. Um umgefefrt oon bem ÜXaffiabe eine gegebene Sänge, j. IB. 300 abjufafen, fege man bie eine SirWfpif« 300* «obere in o ein : um 320 abjufoffcn, fefe mon bie eine 3irf«lfpife in 300, bie anbere in 20 ein; um 327 abjutragen, fucfe mon bie burcf 7 gefenbe parallele auf, fefe auf berfelben bie eine 0pife in bie 0enfrechte 300, bie anbere in bie Sranaoerfale 20. 3. (Sa foll ein oerfüngter aXa^flab oerjeichnet werben, auf welchem 1 3oH a Älafter oorflellt, unb oon bem man noch b .Klafter abtragen fann. ü)lan unterfuche, bet wieoielte S:feil oon a bie abjulefenbe ©töfe b ifi, inbem man a bur^) b bioibirt, fobann jerlege man ^ in jwei gaf» toten m unb n, tfeile einen 3oU *n m Sfeile, unb trage auf ben 0enf« rechten n Sfeile auf. 0aa weitete SJetfaften ifi baafelbe, wie bei jebem Sca laoetfaUSKaffabc. 55 SCBoau mon j. ®. »on einem öetiüngten ü)tfl&flabe, mo i 3oC lo Äloffet »otjlefa, nc($ 5u0 abfefcn , fo müpte mon, bo b'«* a = 10, b = |, olfo j = 10 X 6 einen 3oH in 10 gleiche S^eite t^eiten, unb auf ben 0enfrec^ten 6 2:fieile auftragen. §. 72. 4. Sine gegebene ©erabe nac^ einem beflimmtenaSet/ bältniffe ju tfieilen. 66 fei }. Sö.bie ©etobe AB (gig. l05)inbreiSbti< le ju t^eilen, meU <^e fidj) {u einons ber Der^alten, mie 2:3:6. 5Kan jiebe burd) A eine »itttürltd>e ©etabe AX, tröge barauf »cn A bi6 C 2 gtei^e Sbeife, »on C bi6 D 3 eben folc^e Sbeile, »on D bi6 E 6 5beile, unb jiebe EB. 3iebt man nun CFI DGIIEB, foiflAF:FG: GB = 2:3:6. 5. 3u brei©eraben bie »ierteqjroporjionole jufinben. . S>8- 106. l 3»an fonjltuire einen njittfürficljen ®infel ABC (gig. 106), mac^e AD = a, DE = b, AF = c, jiebe DF, unb bamif parattel bie EG, fo i|l FG bie »ierte^roporjionote ju a, b, c. g6ifl nümli*, wegen DF || EG, AD:DE =AP:FG, ober a:b = c:FG. Um )u ben Cinien a unb bbie britte fletige proportionale tu finben, barf man nur b = c, unb fomit DE = AF ma^en. 6. 3»if(f)en t»ei ©eraben bie mittlere geometrifdbe Proportionale tu finben. Stig 105. gig. 107. 1) Digitized by Google 56 ®lan frage (5ig. 107) auf einer ©eraben AB = a, BC = b auf, unb errtd^fe in B eine ©enfrcd^fe. 2« ^anbelf nun barum, in bicfer 0cnfrecf)fen einen foldjen ^unff D auSjumiffeln, ba^ ba§ Sreiccf ADC bei D recbtwinflig werbe, weif bann bie ®enfrecf>fe DB bie miffterc ^roporjionnle jwifdjen ben bei* ben 2ibfc^nilfen AB unb BC ber ^ppofbenufe fein mu^. Um jenen ^unft D ju jinben , palbire man AC in 0 unb befd)reibc au8 0 mit bera ^alb* raeffer AO = OC einen SBogen; ber Durd^f(^nift biefeS ®pgen8 mit ber früher erriefuefen ®enfrec^fen ij) ber gefud)te^unff I); benn e8 i(l m = a -J-C = 2a, n=b-|-A = 2b, alfo m -j- n = 2 (a -)- b), folglich a-}-b = m + n=2R, fomit a + b = B; berSJBinfel ADC ifl alfo ein rechter. 3fi aber ba8 ADC bei D recbfrointlig, unb DB fenfrec^t auf bie ^ppotbenufe AC, fo mu^ AB : BD = BD ; BC , ober a : BD =BD : b fein. X>ie BD i|t alfo bie geflickte mittlere ^roporjionale jTOifct>en a unb b. §. 73. 7. 2 i n ® r e i e ct j u » e r j e i n e n , ro e I dp e 8 mit b c m X) r e i* eefe ABC (gig. 108) äpnlicp if), unb beffen Reifen ju ben ©eiten be8 anbevn X)rciecfe8 ein beflimmfeS 93erpältni^ paben. gifl. 108. 28 fei m:n ba8 iUerpältnip jmifepen ben ©eifen be8 gegebenen unb bene» be6 »erlangten ©teiedfcS. 50tan fuepe ju m, n, AB bie »ierfe ^ro. porjionate; |le fei DE. 3« ben 2nbpunften biefer ©craben DE fonflruire man iioei SOBinfel, »elcpe beii aSinfeln A unb ß gleicp finb; ipre ©epen* fei fepneiben fup in F, unb e8 ij) DEF bn8 »erlangte ©reiedP. 8. 2in asieledt ju fonjlruiren, ba8 mit bem iQieletfe ABCDE f gig. I09)äbnlid) i|f, unb beffen ©eiten ju ben ©eiten be8 gegebenen 93icle(fe8 ein beflimmte893er. pälfni^ paben. «ia. log. Digitized by Google 57 0oHen bie 0eitcife unb 3Inf{(lfungcn. A. 8ebtfa^«. §. 74. 1 . SJci^twintligc dreieefe finb a^nli^i, wenn fie einen fpi^igen SBinfel gleich hoben. 2. töfei^fchenflige dreieefe ftnb ühnltch/ njenn fie ben 9BinfeI am 0cheite( , ober ouch ben SBinfel an ber ©runblinie gleich hoben. 3. SBenn jwei parallele ©erabe »on mehreren ou« einem fünfte ge^o» genen ©eraben gefchnitfen werben , fo finb bie 3lbf(^niffe bcr ^a» raßelen iwifchen jenen ©eraben prcporjionirt. 4. SBenn in einem dreiedfe burd; ben 0cheitel eine« SBinfel« eine @e» rabe ju ber gegcnüberlicgenben 0eife fo gejogen wirb, ba| jtch bie 2(bfchniffe biefer 0eite wie bic ihnen onliegenben dreiedfeiten «er» halten , fo wirb ber SBinfel burch jene ©etabe holbirt. 5. SBenn jwei ähnliche dreiede fo gc(lent werben, ’ba^ ihre gleichlie» genben 0citen parallel finb, unb man jieht bur^ bie gleichliegenben g>unfte gcrabe Linien , fo müjfen fich biefe in einem unb bemfelhen fünfte fchneiben. e. die diagonalen eine« Sropeje« fchneiben fich fo, baf ihre2(hfchniffe einanber proporjionirt finb. 7. SBenn mon in jwei dreieden, welche biefelhe ©runblinie hoben, unb jwifthen benfelben g>oraßelen liegen , mit ber ©runblinie eine ^a« rattele jicht, fo finb bie 0tüde biefer parallelen, welche in bie bei» ben dreiede faßen , einanber gleidh 8. 3n ähnlichen giguren »erhalten fich hie Umfänge fo wie bie gleich» licgenben 0eiten, ober auch wie bie gleichliegenben diagonalen. 9. 3« ähnlichen dreieden werben bie ©runblinien »on ben .^ohen pro» porjionirt gcfchnilten. 10. 3n jebem rechtwinfligen dreiede »erhalten fi^) bie jQuabratc ber .Katheten fo ju einanber, wie bie ihnen anliegenben Tlbfchnitte bet .^ppothenufe. 11. da« Cuabrat bcr .^ppothenufc »erhält jum öuobrate einer Äathcte, wie bie . 09P»th«nufe ju bem biefer Äathetc anliegenben 2lbf(hnitte ber .^ppothenufe. 12 . SBenn jwei rechtwinflige dreiede ähnlich finb, fo i(l ba« probuft ihrer .^ppothenufen gleich bec0umme au« benprobuften ber gleich» liegenben Äatheten. Digilized by Google 58 B. 31uf9at»«n. 8- 75. 1. Sine @erabe ju »erjcidjmen, welche — einet gegebenen ©etoben beträgt. " 2. Sine ©erobe in jreei Steile ju freiten , welche jtc^ ju einanbet »etbalfen, wie jnjei gegebene ©erabe. 3. Sine ©erabe fo in sroci Steile ju fbcilen, baß eine anbere gegebene ©erabe bie mittlere ^roporjionate jitiifdjeii beiben Stbeilen i|l. 4. 3n einem fpigigen SSBinfel ein JReebteef einjufc^reiben, beffen Seiten ein gegebene« QSerßältniß ju cinanber haben. 5. 35urch einen gegebenen ^nnft jtuifchen ben 0chente[n eine« S03in« fei« eine ©erabe fo ju jiehen , baß bie baburd> an ben 0d>enteln abgefd)nittenen ®tfldEe ein gegebene« 93erbältniß jii einanber haben. 6. ®urch einen jmifchen ben 0chenfeIn eine« ®infcl« gegebenen ^untt eine ©erabe fo jii jiehen, baß ße in biefem ^nnftc nach einem gegebenen 5Serhättniffe gctheilt wirb. /(äihtniiihalt btr gerablinigcn ^fißnrtn. 1. @(ei4>hett ^(ädhen. Sehrf«he. §. 76, 1. 3roei qjarallelogtomme, welche biefelbe ©runbli-- nie unb gleiche ^«he haben, finb einanbet gleich, aßegen bet gleichen 4>6he bet Parallelogramme mfijfen erßlich bie ber gemeinfchaftlichen ©runblinic gegenüberßehenben 0eiten in einer ge= raben Sinie liegen. 3ai ©croeife finb bann brei 5äUe ju untetfeheiben. a) 9Benn bie ber ©rnnblinie gegenüberßehenben 0eiten ein0tiicf gemeinfchaftlich hai’en, wie in ben Parallelogrammen ABCD unb ABEF (Jig. iio). Die Dreictfe ADF unb BCE / !i0. HO. JT c 7~~Y / B ßnb fongrnent; benn e« iß AD = BC, AF ^BE, Digitized by Google 69 nietnf4>aftli4 f>a6en, wie in ben Parallelogrammen ABCD unb ABEF (Sig- 112). SS i(l ba6 ^ ADF as BCE. Stimmt man »on febem biefer gleichen Dreietfc ba6 A CFG hinweg, fo müffen and; bie 3tejle g(ei(^ fein, aifo baö Srapej ADCG = BEFG, unb, wenn man ju jebem biefer Svapeje bad ABG abbirt, ftnb audj bie 0um* men , nämlic^ bie paratlelo-^ gramme ABCD unb ABEF gleidj. Mu6 bem eben beroiefenen 0a^e folgt: 3ebe6 Parallelogramm ifl einem 9led)fectc glei^, welche« mit bemfelben eine glei(i^e@runblinieunb.^i>^e ^at. §. 77. 2 . Sin 0teietf ifi bieJpalfte eine8para((cIogrammc8, wel(^e8 mit if»m gleid>e ©runblinie unb .^o^e fjat. ' gjg. 113. ißetrad)tet man baö ^ ABC ^ 2} (5<9. 113), unb iiefjt burd^ bie ^ ' Punfte A unb C mit ben gegens über|tef)enben 0eiten parallele Sinien, melcfje fi^) in D f^nei. ben ; fo entließt ein paraÖelo-- gramm ABCD, baS mit bem 0reiecfe ABC gleite ©runblinie unb .^b^e ^at. 0iefed Parallelogramm befielt nun aud ben {wei fongruenten 0reieden ABC unb CDA; fotglid) i)l baS 2)reied ABC mirfli^ bie.^4lfte eines Parallelogramms ABCD, baS mit i^m gleid^e ©runblinie unb ^at. 3. 3felroinfcl ; bapet auep BF = CD. 2lbbirt man ju jebem bet gleichen Sreietfe CED unb BEF baS «öiered ABED, fo muß aucp ^ CED -f- ABED = BEF -|- ABED , ober Srapej ABCD = ^ AFD fein. Die l>iuntten A unb D auf EG bie 0enfredfen AH unb DJ; fo finb bie reebtroinfligen Steieefe AHE, EJD, CFD unb ABC, reelle mir nad> unb d bejeiebnen motten, fongruent, meil fte ein« gleiche ^?)»potb«nuf« poben, unb bie ber .^ppotpenufe anliegenben SBmfel al 6 SBintel, beven 0cbenfel entmeber parattel finb ober ouf einanber fenfreepf jlepen, ebenfatta meepfeffeifig glei^ 0«bf mannun ju bem günfedfACDJH einmal bie Dreieffe a unb b, ba# anbere SBal aber bie 0reiecfe c unb d pinju, fo muffen bie 0ummen gleicp fein , oifo ACDJH 4- a + b = ACDJH + c + d , ober ACDE = ABGH + GFDJ. 3^un i)l ACDE = AC ; ferner ijl leidpt einjufepen, baf ABGH = AB, unb GFDJ =nBC ijl. Wan pal baper AC == AB + BC. 0iep i)l ein geometrifeper ©emeiä beS ^plpagorüifcpen 8eprfape9, ben mir oben auf olgebraifcpem ®ege abgeleitet poben. 5. SBenn baS öuabrat einer 0eite eine« Dreiecfe« fo grop ijl als bie 0 umme beröuabrate ber beiben an» bern 0eiten, fo ijl ber SBinfel, melcper ber erjlern 0 «ife gegenüberlieat, ein reepter. aSenn (jjig. 116) AC 15%. 116. A \ B = QAB + DBC ijl, fo mug ber SBintel ABC = R fein, .^onjlruirt man in B ben reepten aBtufel ABD , maept BD =BC, unb jiept AD, fo' ijl in bem retptminfligen 0relec£e ABD Q AD = QAB + GBD, ober GAD Digitized by Google 61 =®QAB-l-nBC; ülxt tio4> ber 95otou«f<^n^ ijl ««d> AC=QA8 -j-QBC; eö tfl bemno^ AD = A€, unb fomit ou(^ AD <=x AC. SSerglei«^)* mon nun bie btiben Sreiecf« ABC unb ABD, fo finbef man, bo| fie aQ< bm@(tfen w«d;fdfeitig gleid) hoben, bap fte folgli^ tongruent finb , eö muffen bohet auch bie ben gleichen 0eifen gegenflberliegenben SBinbel ABC unb ABD glei^ fein ; ab« ABD ifl noch b« 3tnholt(A. §. 79. Um ben SlöcheninhoU einer Sigur ju meffen, nimmt man irgenb eine betannte gläche al8 ginheit bc§ üRafeö an, unb unterfucht, mie off biefc al6 ginbeif angenommene glä^ie in ber gegebenen giguc enf» holten ijt. 2Ü8 ginhoit be8 glächenmaheS mirb ein jQuabrat an« genommen , beffen jcbe 0eife ber fängeneinheit gleich i)l , unb eine cDuobrainofferi Q") , ein ii a b r a f f u h (QO cQ u o b r a f« j 0 n (") , . . eine £i u a b r o t m e i I e (Q Weile; h^i^f / K nachbem bie tätige einer 0eite eine Klafter, einen guh^ BoO^ • • eine Weile be: frfigt. X)ie Ttußmeffung einer gidche follfe eigentlich miffeljl beS mirlli^en 2tuftragen8 ber jQiiabratffaffer, cQuabrotfuh, . . . gefchehen; allein ein fo'cheS SBetfohren rodre ju fd;roierig unb in ben meiflen gdllen auch gar nicht aue^fhtbar; baher foHen hier bie0dhe abgeleitet werben, nach be« nen man, rcenn bie 8dnge ber Sinien, »on benen bie @r&h« ber gigut obhdngt, befannf ijt, barau8 burch blohe Siech nung ben gldcheninhalt beflimmen fann. j §. 80. I. gldcheni nholt eineß Slechtedeß unb eineß cQuabrateß. JC 117. g8 fei A6CD (gig. 1 1 7) ein Slechfect , beffen ©runblinie AB = 7“, unb bie .^öhe AD = 4° i|l. ( Um ben gldcheninhalt bie« fe9 SiechtecfeS ju be|limmen , follfe man , bem üßegtiffe bes Weffenß (u golge, eine £lua» brat'Älafter wieberholt auf bem Slechtetfe umlegen, unb beftimmen, wie oft biefeS Ttuftragen möglich i|l. ?dng8 ber ©runblinie AB Id^f jtch eine Quobrotflafter 7mal ouftragen, biefe Sleihe eon 7 Ouabrattlaffer gehört jur J^Öhe AE; jur .^öhe EF ge» hört eine jweite folche Sleihe, welch« ebenfoUß 7 cQuobratflafter enthält; eben folche Sleihen gehören ju ben 4><^h^n unb GD. Won erhalt alfo 4 Sleihen non Quobrofen, beren febe 7 cQuabratflafter enthalt; eß finb ali^o jufammen 4mal 7 = 28 Q®. — Wan fiehf foglei^, bah, wie groh auch bie ©runblinie unb bie Jpöhe fein mögen; hoch immer fo viele . _„,l L i"! L 1 i 1' . 1 1 . > ! 1 ! i i *’1 \ i I .... 1 J_L i i 1 ; Lff Digilized by Google 62 von jQuabratflafurn vot^onben finb, aB bie Alaftoc ent>HU, unb baß in jeb» dteiße fo viele jQuabratilafter votfomtnen, alö bie @runblinie klaffet enthält ; baß man aifo in jebem Salle bie gan^e ^n^ }aßl £tuabratf(aftec {inbet, wenn man bie beiben 3aß(en, wel^e bie ®runblinie unb ^oße in Alaftet auObtüden, mit einanber multiplijirt. tBei bec tSeflimmung ber glä^e eines SiecbtedeS brauest man baßer nicßt erji wirflicß bieSinßeit beS SläcßcnmaßeS felbfl batauf aufjutragen; man batf nur mit ber Sängeneinßeit bie @runblinie unb bie Jpöße mejfen, unb bie babei erßoltenen Bsßicn mit einanber multiplijiren. SRan ßat fomit ben 0a|: Der Slä^eninßalt eines SlecßtecteS wirb gefunben, wenn mon bie ©runblinie mit ber ^8ße muftiplijirt. Die t&enennung beS SläcßeninbalteS ßängt von ber ^Benennung ber ®eiten ab; ßnb j. ©. bie 0eiteu in guß auSgebrfltft, fo wirb bie 3aßl, welcße man als glä^eninßalt befommt, jQuabratfuß bebeuten ; ßnb bie 0eiten in 3vtl gegeben, fo erßält man im glocßeninhatte Ouabratioll. Da iebeS Ouabrat atS ein StecßtedC betrautet werben fann, worin bie @runb(inie ber ^bße gteicß ifi, fo ßat man folgenben 0aß; Der gtä(^enin halt eineSCluabrateS wirb gefunben, wenn man eine 0eite mit ficß felbjl multißliiirt, ober ium Ctuabrate erhebt. ^uS biefem 0aße folgt: IQ" =6x6= 36Q', !' = 12 X 12 = 144Q', IQ« = 12 X 12 = 144Q», 1 gReile = 4000 x4000 = 16000000 Q°. (Sine glocße, wel(hc 1600 Q” enthält, wirb ein 3o^ genannt; ein 3o^ ifl aIfo einem Quabralc gleich, bejfcn jebe 0eite 40" enthält. 1 ®eile = 10000 3o^. IQenn ber glächeninhalt eines jQuabrateS gegeben iff, unb man wiQ barauS bie ?änge einer 0eite ßnben, fo borf mon nur eine 3ahl fuchen,' welche mit ßch felbfl multiplijirt ben gegebenen glä^eninholt gibt, b. i. man barf nur aus bem glä^eninhalfe bie Cluabratwur^et auSjiehen. iBeifpiele. 1 ) Die (Srunblinie eines SXe^tedeS ijl 23', bie l«'» »»>< 9*0^ ifl ber gläcßeninhott? 23 X 10 = 230 2) SDSie groß ijl bie glacße eineS Sle^tecfeS, bejfen ©runblinie 5* 3', unb bie .^bße 3" 4' ifl? 5" 3' = 33' 33 X 22 = 726Q 3"4' = 22' = 20P"6P'. 3) gin ©arten ifl 21" 4' lang unb 13" 5' breit ; wie groß ifl fein gläcßenroum? eänge = 2I"4' = 130' 130 x 88 = 10790Q «Breite = 13"5' = 88' = 299Q"26Q'. 4) 9Äan beflimme ben glS^eninßalt eines DuabrateS, beffen 0eitc 3" 3' 7" ifl. 4® 3' 7" = 331" 331® = 109661 "= 2ip"4Q I21P". Digitized by Google 63 5) ®ie gte§ ifl bie ©eite eine« Quabtafe«, beffen glä^enraum 37 Q® ISQ' 64 " ip? 37 p® 13 ' 64 " = 193744 " v/f93744 = 440 16" = 6®816". §. 81. 2 . glac^eninbalt eine« fi^iefrointligen'Patallelogramra«. 3ebe« fc^^iefroinftige paraHelogtamm ip einem Slec^tecfe gleich», met» dje« mit bemfciben eine gteit^e ®tunblinie unb bat- Daran« folgt; Der glädjenin halt eine« fcbiefen Parallelogramm« ip glei(^ ber ©runblinie multiplijirt mit ber -^obe. 3P j 93- bie ©runblinie = 12 ", unb bie .^ftb« = 7", fo ijt 12 X 7 = 84Q" ber glacbeninbalt. 3. gläcbeninbalt eine« DreiecCe«. Da jebe« Dreietf bieJjälfte eine« Parallelogramm« ip, ba« mit ibm einerlei ©runblinie unb-^öb« bat, [o mup man, um bie gläc^e eineSDreis ecEe« ju erbalten, auc^ bie ©runblinie mit ber ^> 6 be multiplijiren , aber non biefem probutte nur bie .^älfte nehmen. Darau« folgt: Derglä^eniiibalt eineODreiedte« ip gleich bembal« ben Probufte au« ber ©runblinie in bie t. 3.©- bie ©runblinie eine« Dreiedfe« ip 3® 4' 5", bie .^öb* 2 "l' 6"; n>ie grop ip ber glächenraum^ r-'= «’><*' =* ® * = 4p®6Q27Q". 3m re^tminfligen Dreiecfe nimmt man gerobbnli^ eine Äatbete al« ©runblinie an , roo fobann bie anbere Äatbete bie .^bbe oots PeHt; baber ipberglächeninbalt eine« rechtroinfligenDreieefe« gleich bem halben Probufte au« ben beiben.Patbeten. 3- ©• SBie grop ip ber glächenraum eine« rechtroinfligen Dreiecfe«, bepen Äatbeten 7® 4' unb 5® 3' pnb? = «; _ «3 X 33 _ ,3»D.5 3 — 33 2 ^ §. 82. 4. glächeninbalt eine« %rapeje«. Da ein Srapej einem Dreiecfe gleich ip, be^en ©runblinie bie ©umme ber beiben paraPelen ©eiten , unb beffen -Oob« bie -Oobe be« Srapeje« ip, fo folgt: Der glacheninbalt eine« Srapeje« wirb berechnet, wenn man bie ©umme ber beiben parallel feiten mit ber-^öb^ntultiplijirt, unb ba«probuftburch 2 bioibirt. 3. ©. bie parallelen ©eiten einc«Stapeje« betragen 5" 4' unb 4® 2', bie .^öbe 2® 4'; wie grop ip ber glücheninbalt? 5® 4' = 34' 4" 2' == 26' ©umme = 6 O' = 480 ' = 13Q®12Q'. 2"4' = 16' X,".!. • f 6« X 16 .. glacheninbalt = = 60 x 8 Digitized by Google 64 810. 118. E!- C \ iH yjF K a B Det glüdtwnin^alt eines Sra= ijejcS fann nu(^ noc^ auf eine an=^ tcre 2(tt befiimmf luerbcn. Jpalbiil man in bemSrapeje ABCD ( 5iä- 118) bie jroei nic^t })arallclen ©eilen, jicpl burc^bie ^albirungSpunfte E iinb F eine ©etabe, ferner GH || AD, fo ijl G« ifl nun, wenn DK bie Spo^eba« A BPG ^ CFH, bab« BG = CH. beS SrapejeS eorflellt, ber Släc^cninbalf f beS ärabejeS = (AB + CD) X — . 2(ber ^ 2 AB + CD = (AG + BG) + (DH — ( H) = AG + DH = 2EF ; DK bab« f = 2EF X Y = BF X DK, b. b- Jtäcbeninbalt eines SropejeS ifl gleid) ber ®e= raben, tt>el(be bie jrcei nicht baiaHelen ©eilen bul*>irt? mutiplfjirt mit ber .^bbe. §. 83. 5. Slacbeninbalt eines regur lären SSielecfeS (Jig. 119). Sie gluil)« fin«* regulären mecfeS wirb man fidjer ftuben, rocnn man non berÜRitte ^u offen Sdpunfs ten gerabe 8inien jiebt, unb bie ba-- bur^ entjlebenben ©reiecfe berechnet ; ba aber biefe ©reiede fongru-- ent ftnb, fo braucht man nur eines ju bejlimmen, unb bie gefunbene Stäche mit ber Tlnjobl ber ©reiccfe JU multiplijircn. ©er Slächenins halt eines ©reiedes AOB ifl gleich ber ©runblinie AB multiplijirt mit ber bol^tti Ip&b« OH; baber bie Stäche affet m ©reiede gleich -AB muttiplijirt mit ber b<>i6«u.^6bc OH; mmat AB ifl ber Umfang beS töiet-- edeS, OH ifl berltbflanb beSSDlittelpunfteS »on einer ©eite bes töietedeS. ©ab« b«t 1”«" ©et Slächcninbott eines tegelmäbigenißieledeS ifl gleich bem Umfange multiplijirt mit bem balbcn ?lbflanbe beS SlittelpunfteS »on einet ©eite. ©eifpiele. 1 ) 3ii «««>” vegelmäbigen Sebnede beträgt eine ©eite 2® l' 3", unb bet 2lbflanb bcS SKittelpunfteS »on einet ©eite 2" 5' 7"y- roie grob ifl bet 5<äch«ii'i^aO? @eite 2° r 3" = 159" 1590 x: = 795 X 21I Umfang = 1590" = 167745Q" llbjlanb 2" 5' 7" = 211" = 32G®12Q'129Q'. Si0. 119. Digitized by Google 65 2) 93ie <;ro^ i|1 bie Släc^e eines tegulären ®ec^Secfe6 , beffen jebe ®eife 3' 4 ' beträgt? 9Ran überjeugt (td) leicht, ba§ im Drciedfe AOB jeber SBinfcI 60" be^ trägt, ba^ fomit biefeS SreiedE glei^fcitig i|t. gür ein glei^fcitiges Sreied* aber, »orin eine 0eite 8' 4" i(l, finbet man bie = 2' 10 6". 9J?an ^at ba^er 0eite 3' 4" = 40" 240 x 17-3 = 4I52Q" Umfang = 240" = 28 ' 120Q" ?lbflanb V 10-6" = 34-6" §. 84. 6. glä^enin^alt irgenb einer gerablinigen gtgur. ?ig. 120. Fr E V/ \ /.. dXI9 /> \ i / 1 /' \ I / , / € AD = 207“, Bb = 9-5", IDtan fiat nun AABD = ABCD = AADE = A AEF = - ß BC = 17 8”, Dd = 3 9”, AD . i Bb _ 20 7 X 2~ 9-5 _ BC . Dd _ 17-8 X 3-9 _”2 2 Ai: . De 21-3 X 7 2 2 AE . Ff _ 21-3 X 8-8 _ 2 2 Den gläc^eninfalf einer gerab= linigen gigur fann man »orjüglicf) auffolgenbe jtBei2lrten beflimmen: a) ÜRanjerfege bie gigur burcf) Diagonalen in lauter Dreiecfe , be> rechne jebeß biefer Dreiede, unb obbire affe Dreiedöfläcf)en. es fei j. ©. bie glädje be« 0e<^«ede8ABCDEF(gig. 120) au8. jurec^nen. 9Kan jerlege badfelbe in Dreiede, unb eS fei AE = 213”; De= 7”, Ff = 8-8” = 98-32 “ == 34-71 = 74-55 = 93-72 0ed>Sed ABCDDF =301-3Q” b) fOEan jie^e bur<^ 2 Sdpunfte eine ®erabe, unb fäffe barauf non affen übrigen Sdpunften 0enIrec^te, fo jerfäfft bie gigur in lauter rec^t> minflige Dreiede unb Srapeje, roei^e einjeln bereef^net unb bann abbirt tuerben. Dabei betra<^tet man bie 0en(re4>ten alS ®runblinien ber Dreiede ober als parallele 0eiten ber Srapeje, bie 2lbfc^nitte ber burc^ bie IDlitte gejogenen.öeraben aber atS .^open. SS ifl babei ni^jt notpig, bie cinjelnen für bie Dreiede unbSrapeje erpaltenen ^robuftc burep 2 ju bioibiren; man abbirt »ielmepr fogleii^ bie ganjen ^robufte, unb bioibirt erfl bie 0umme burep 2. Um {. >B. ben glä^eninpalt beS iöieledeS ABCDEFGH (gig. 121) ju bereepnen, jiepe man bie ©erabe AE, unb fäffe barauf bie 0enfrecpten Bb, Cc, Dd, Ff, Gg, Hh. Moenik 9«m(tri(. 2. ätufl. * Digilized by Coogle 66 Sie- 121 . g« fei nun . _ Ab=5 - 7 »' bh=3-8«, hc=5 S", cg= 5“, gd=4-5", (lf=2 3-> fE^T-e»; Bb=6-2° Cc=IO® D(i=9'9“, Ff=8-8“, Gg==6-5'’, Hh=l 1-7“ Die «Kec^nung tonn auf folgenbe 2ttf jufommengejlcat roerben. «efionbtbeile ber gigur. gottoven. ^robuffc.©runblinien ober @um= men ber ^orattclfcitcn. Dteiecf ABb Bb= 6-2» II o 35-34 atopei BbeC Bb + Cc==l6-2'' bc = 9-l'> 147-42 „ CedD Cc4-I>‘l = JS!»“ cd = 9'5° 189-05 Dreiect DdE Dd= g-g“ dE= 9-9 » 98-01 „ FfE Ff= 8-8” fE = 7-6 “ 66-88 Xropej FfgG Ff-f.Gg= I5-3» fg = 6'8» 104-04 GghH Gfr4.Hh= 18-2» gh =10-3« 187-46 Dreiect AbH Hli=ll-7» Ah= 9-5" 111*15 'Tsö^l 5 gigur ABCDEFGK 469-57 “ 3 . SSetbÄUnt^ bei: fftaeben. §. 85. ßeißt P bie glcidje eines ^otaaelogrommS , beffen ©runbUnie G, unb bie H ifl, fo b«t man P =GxH. .^oben p, g, h bufelben SBebeutunacn für ein stvoifeS^potoaelog^mtn, fo t|t ou(f> P=gx»>- 53icibitlmon nun bie beiben 3(u6bnitfe bur^ einonber, fo erbolt mon P:p = GxH;gxh, b b bieSioAen j tu e ic r ^ or o tlel o gr om m e ocrbolfen fi^ fo röie bie ^robufte ouS ben ©tunbiinien tn bte i?6ben. güt H = h wirb P: p = G ; g, , - . b. bgJoraUclogrommc »on gteiÄcr .^of'c oetboUen fi(^ fo wie ibr« ©runblinien. 67 gflt G = g i|l P : p = H : h , b. ^ y aröllelogtammc oon glei^er ©riinbUnie petHl' ten fic^ fo wie i^ire ^6^en. göt G = g unb H = h ijl enblid) P = p , b. 'Patallelogtamme »on gleicher ©tunblinie unb i?H« finb einanber glei^. 58 i|l eon felbfl flnr, ba| bie {ii«r für bie q>ataaeIogramme überhaupt abgeleiteten tOerbaltniffe au^ für bie Steehtcd« ©iltigfeit haben. §. 86 . atennt man D unb d biegiadjentoume jroeietSteiecfe, beren@runblinien G unb g, unb bie ^»6h' einanber, wie bie ^robufte au8 ih«en ©runblinien in bie .^bhen. gut H = h wirb D:d = G;g; für G = g h«‘ >««n D;d = H:h; für G =g unb H =li enblidp ijl D =d; welche brei Slelajtonen jich (eicht burch ®orfe au8brüden (affen. 3wei Sreiede, welche einen gleiten 9BinfeI hoben, oerha(ten fich fo wie bie ^robufte au8 ben @eiten, bie ben gleichen SBinfel einfchlie^en. Die Dteiede BAC unb DAE (gig. 122) hoben ben SEöinfel A gemeinfchaftlich, unb e6 ip ju beweifen, ba| bie 'proporjion BAC ; ADE =AB. AC; AD. AE ®tatt finbet. — 5Kan jiehe bie .^ilfSIioi« BE 5 ®reiede BAC unb BAE hoben nun, wenn AC unb AE al8 ©runblinien betrautet werben, gleiche .^ohe, bähet ijl ^BAC '.BAE= AC;AE; eben fo hoben bie ‘^Dreiede BAE unb DAE, wenn man AB unb AD al8 ©runblinien annimmt, biefelbe .^öpe, folglich auch BAE : DAE =x= AB : AD. SKultiplijirt man nun bie glei^namigeu ©lieber biefet beiben ^toporjionen , fo erholt man A BAC : DAE = AB . AC : AD . AE. »fg. 122. §. 87. 3wei ähnliche Dreiede »erholten fich fo wie bie jQuabrate ihrer gleichliegen ben ®eiten. 56 fei (gig. 123) A ABC ~DEF. Tiagemein ijl A ABC : DEF = AB . CG : DE . FH. SJlun ijl AB : DE = AB : DE unb au^ CG : FH = AB; DE, baher burch 9Rultiplifajion biefet beiben «ptoporjionen AB. CG ; DE . FH == AB* : DE*. (Qerbinbet man biefe ^toporjion mit bet erjlen, fo erhält man A ABC ; DEF = AB* ; DE*. SBBegen^AB : DE = 5 Digitized by Google 68 AC : DF = BC : EF ifi au^) AB* : DE* = AC* : DF* =BC* : EF* ; folgli* ^ ABC : DEF = AB* : DE* = AC* : DF* = BC* : EF*. gig. 123. jT ' I I V Ji \ 3roei QSicIetfc »erhalten fic^ fo roic bie ßuabvate i^vcr glcicbnamigen 0eitcn. »ig. 124. Ey~ - A E/::: -r-)H / \ \ X X / fj Ji Sä foi (Siä- 124) boä ajidfrt ABCDE ~ FGHJK. man bic Diagonalen AC, AD, FH, FJ, fo i|l baä A ABC~FGH, A ACD — FHJ, A ADE ~ FJK ; baraiiä folgt A ABC : FGH = AB* : FG*, A A' D : FHJ = CD* : HJ* == AB* : FG*, A ade : FJK = DE* : JK* = AB* : FG*, fomit au^ (ABC+ACD+ADE) : (FGH+FHJ-f-FJK) = AB* : FG* ober ABCDE : FGHJK = AB* : FG*. 2(uä biefem 0a&e folgt: 3roci regelmä5*9*^'*l*<^* oielen0citen »erfiatten fir^ fo rote bie Diiabrate ihrer 0eiten. 4. S^rrttfoiibltiitd gcraMin{(|CV ^ignrcit. §. 88. I. Sin febeä Drelrtf in rin gleich grofeS rechtroinfli. ged {u oerroanbeltt. Digitized by Google 69 Um bas /\ ABC (Sigur 125) in ein red)tminf(igeö ju termanbeln, ettic^iteman 111 A a.if bic AB eine 0fnf. unbjic^e burc^ Cmit AB eine parallele, welche jene 0enfrec^fe in D trift. die^t man nun bie BD, fo ijl baö rec^twinfUge^BAD = BAC, roeil beibe ireietfe biefelbc ©runblinie uiib eine gfeidSie ^Sjie ^oben. 2 . [oK einXireied ABC ($ig. 126) in ein gfeic^ großes Siec^tedC oermanbelt metben. IDlan erric(jfe in A unb B 0cnfrec^fe ouf AB, ^albire bie 0eile AC in D unb jiejie burd> biefen Q3untt eine parallele mit AB, i»e(d)e jene ©entree^)» ten in E unb F fdbneibet. 35aS 9?f(^(ecf JABFE i|l nun bem ©reieefe ABC gleich), weil je» be6 bie Hälfte bc6 9{e(bte(fe6 >It ABHG i|T. §. 89. 3. (£6 foll einSöieredf ABCD (Sig. i27) in einXireietf »et* loonbelt werben. Ws- 127. ^D^an jie^e bie BD, unb bamit burc^ C eine ^araltele, welche bie iSerlängerung ber AB in E fibneibet. 3ir(>l man nun bie DE, fo ift ba6 AED bem SSicreefe ABCD glei^. Denn c8 i|l DDE = DBC, weil beibe biefelbe (^runblinie unb gleid^e jpo^e ftaben; aobirt man beiberfeitö ba6 ^ ABD baju , fo erhält man ^ ADE = iöieteif ABCD. 4. (£in jebed iBierecf ABCD (Sig. 128) in ein 91eci[ite({ }u ueiwanbeln. Digitizsd by Googif 70 @tn Sted^tedC ABCD manbeln. Won iie^ie bie Diagonale AC, unb butd^ B unb D bamit patol* leleCinien, butd^ A unb C jiepf man auf AC 0enfte(^te, wel^e mit jenen jmei parallelen baS aiecptecf DEGF bilben. Siefe6 SRc^tetf ijl offenbar boppelt fo grotal6ba893iered ABCD, ^al» birt man baber DF in H, unb , jicbtHJ II DE, foifibabSRedbteÄ l ^DEJH gleich bem«ierede ABCD. 129) in ein jQuabrat ju oer. sig. 129, Fy W SWan berlangere bie AB über B hinaus, unb mache BE==BC; bierouf polbire man bie AE im punffe 0, bef(hreibe aus 0 mit bem .Oalbmcjfet AO einen ÄreiS-- bogen, welcher bie BC in F trifft, unbfonpruire überBFbaS Quas brat BGHF. Da BF bie mittlere proportionale jwifchen AB unb BE ifl, fo hat man AB: BF=BF ^ 1 :BE, ober AB:BF==BF:BC, bo» BO G Jg' her BF*=AB.BC, ober BGHF= ABCD; BGHF ifl aifo baS »erlangte jQuabraf. §. 90. 6. ein 93ielecf ABCDEF (5ig. 130) in ein Dreied ju »er^ wanbeln. gig. 130. j\ CJ// - ' •.'l ,, 1 .'v .r) r,/n J y yXL' y :^/ - : ' 1 ' . . Ä'-'f' : j/ cx‘/' •''ly \, *'' 1 '. ja “i ',1 'i jüf, ’-JE •, *i IDian jiehe bie Diagonalen AC, AD, AB. fffun Perwanbelt man bas 93ierodf ABCD In baS DreieÄ AGD, fo erfcheint baS ABCDEF in - Bigtteed-by IjOOgJc 71 ein SünfedC AGDEF »erroanbert. 0obonn »erwanbfe man ba« ajieted AGDE in ein Steiedf AHE, fo bat man flatf be§ gegebenen 0e^6e(fe« baö «öietedE AHEF. SBitb enblicb biefe« le^te iöieretf miebet in ein Dreietf AHJ »etmanbeU, fo enffiälf biefeö ©veieef AHJ benfelbenSIadbcnraum wie ba5 gegebene 0e^8etf. 0a ficb jebeö 0rciedE in ein iRe(^tecf, unb biefeS in ein xiuabrat »cts wanbeln lä^t, fo folgt, baf auct> jebeö beliebige IQieledt in ein fRe(^ted( ober ein Cuiabtat »erwanbclt werben fann. 5. S^eUaitfl fletoWinifle» 1. §. 91. (£in 0teiecf in ineb«‘’te glcid)« S:beile f» ju fbeile"» »ab alle Sbeilungeiinien in bemfclbcn gdEpunfte 5 ufam men laufen. Um boö SreiedE ABC (Sig. 131) i. S8. in »iet gleidb« J» tpeilen, fo bab bie Sbeilungölinien burdp ben ^unft C geben, tbeilc man bie gegens übcrbeb«nbe 0eife AB in »iet gleiche Stbeit«, ^tbeilung«» punffe bie ©erabcn CD, CE, CF. 0ie »iet Steiccfc CAD, CDE, CEF, CBF ftnb nun wirtlidb einanber gleich, weil fie gleiche ©tunblinie unb biefelbe ^ibb« haben. ABC nidpf in gleiche, fonbcrn in Sbeil*/ BB \E SOBoUte man baS 0teiecf welche unter einanber ein be)1immfe6 löetbaltnib Men, tbeilen, fo bürfte inan nur bie ©runblinie AB nach ienem Söetbältniffe tbeilen unb bie Äbei» lungSpunfte mit C b'urch gerabe ßinien »ctbinben. 2. Sin 0teiecf in brei gleite Sbeile fo ju tbeilen, ba| bie $beilung6linien »on ben SÄM^^^^^.o^^S^hen unb in einem gemcinfchaftlichen qjunftc innerhalb bca 0reiecfeö }ufammentreffen. »ifl. 132. ajlan tbeile (5ig. 132) eine 0eite AB in ben fünften D unb E in 3 gleiche $beile, jiebe DF H AC unb EG 1) BC; bie »om 3)ut(hf'9®Hnien. Um fi^ »on bet Blichtigfeit ju übers äeugen, jiebe man bie ^lüf^Iinien CD .fi unb CE. Sa i|l nun ACH sz= ACD, weil beibe biefelbe ©runblinie AC unb glei*e .^öpe b«&en ; eben fo i[l BCH=BCE, bähet mu^ auch A ABH= CDE fein. S)lun fnb bie 0reicdle ACD, CDE, BCE unter einanber gleich, folglich muffen au^ bie 0rciecfe ACH, ABH, BCH glci^ fein. .^ätte man AB nicht in brei gleiche, fonbern in brei burch ein gege« benea iOerbültnip befUmmte Sb«tU setbeilt, fo mäve bftburch audh baa 4 Digitized by Google 72 ABC in bret Steife gef^eilt worben anbec jle^ien. 3. 6in JJteiecf in Bier fei 813 . 133. c 2)reiecfc fcngruent. welche in ienem ^er^ältniffe }u ein« gruenfe ®reiedte ju f^eilen. a»an ^albire (gig. 133) jebe 0eite unb jie^e buri^ je §»ei birungSpunftc eine @erabe. ®ie (Berobe DE, welche bie '0al()irung6punfte D unb E Berbin« bet, mu| mit BC poraHel fein ; eben fo ifl DF II AC unb EF 1| AB. 3n ben Sreiecfen ADE, BDF, CEF unb DEF finb nun oQfe brei ®eiten als , ^arattele iwifdjen gJaraHelen we^« felfeitig gleich», fo!glid> finb jene Bier §. 92. 4. Gin ^oraUetogramm in mehrere gleiche fo ju tbeiien, ba^ alleSheiiunsölinicn mit einer@eite p a r a II e I laufen. R'd. 1.34 Gö fei (5ig. 134) baS ^oraHelogramm ABCD 3 . iS.in fünf gletihe Äbeile fo jii tpeilen, ba& bie Shciliiiigbliiiicn mit ber 0ei(e AD poraUel loufeii. 50?aii tbeile bie 0eite AB in 5 gleief'e Sbcile, unb jiehe burcf) bie Sbeilungepiinfte E, F, G, H bie ©erabcn EK, FL, GM, HN parallel mit AD; fo ifi bie^lufgobe gelcjl. S)ie bobur^ fntllefifnben^^araUelogramme haben namlieh gleiche ©runblinien unb eine gemeinfchaftliche .^ 6h*f finb baher einanber gleich. Sheilt man AB nicht in gleite Shcile, fonbern nach fion« ärsebe» neu ajcihältniffe, unb iieht burch bie 5hrilu«a8punfte parallele mit AD, fo wirb baburct) auch Parallelogramm ABCD in Äheile getpeilt, welche in jenem ÜQcrhöItniff’e ju einanber flehen. .1 . Gö foli ein Sropej in mehrere gleiche ^heüe fo flO' theilt werben, ba & jebe SheilungSlinie bie beiben Parallelen biir^fchneib gifl. 135. e t. Um baS Srapei ABCD (gig. 135) auf bie Berlangte SBeife, i- in Bier gleiche Speile ju theilen, theilt man jebe ber bei: ben Parallelen in Bier gleiche Sheile; bie ©eraben EH, FK, GL finb, wie leicht ju geigen ifl, I bie gefugten Sheiiuoä^Iinion. Digitized by Google 73 O. Selirfä'tc iini ^nfgobut }iir 0rlbfitntrfä^c. 8- 93. • 1 . 9Benn jwci 55reiedc, >t>elct)e üfcer ber/clbeu (Brunbliiiie aufliegen, einanbet glei^ (inb, fo müftcn i^rc ©c^citcl in einer jur ©runblinie poraUelen ©eraben liegen. 2. S3enn man in einem 2)reieJe bie .^albitiingSpunffe jroeier ©eiten nic^t nur unter einanbet ccrbinbet, fonbern non i^nen audf) jioei beliebige parallele nac^ ber britten ©eite jiebt, fo entfielet ein ^a* rallelogramm, meldjeS bie .^alfte beö ©reierfeS i)l. 3. SSßenn man in einem 58ierede bie J?albirung8punfte ber »iet ©eiten burcf) ©erabe terbinbet , fo fd)lie^en bicfe ein ^Parallelogramm ein, u’elcbeS bie .^ölfte beö 53ierccfeS i|1. 4. SBenn man jmci gcgenübevliegcnbe ©eiten cine6 93icre(fe6 ^albirt, unb ben i?albirung6punft einer jebcn mit ten enbpuntten ber an» bern ©eite rerbinbet, fo finb bie beiben babuid) entflanbenen ©reiecfe iufainmen fo gro^ al6 ba8 93ierc(f. 5. SBenn man burc^ ben ^lalbirungSpunft einer 2)iagonaIe eines ^a» rallelogramm« ju ben ©eiten beSfelben parallele jie^t, fo wirb ba6 ^araOetogramm in vier tongruente Sbeile getbeilt. 6. ©aS Ciuabrat einer 2)reietf«feite, rceldje einem fpifigen SBinfel ge» genüberliegt, i|l gleit^ bet ©umme ber jQnobrate ber beiben onbern ©eiten, meniger bem hoppelten SKecfjtedfe au« einer biefet ©eiten unb bem 2lbfcpnitte berfelben, ber jwifdjen bem ©cfieitel jene« SCBin» fei« unb bem Jn^piinfte ber auf biefe Untere ©eite »on bem ge. genüberflcbenben ©(Reitel gefällten ©entrechten liegt. 7. iba« Cuiabrat einer ©reiecf«fcite, welche einem ftumpfen SBintel ge» genüberliegt, i|l gleich bet ©umme bet jOuabrate ber beiben anbern ©eiten , mehr bem hoppelten SKechtedfe au« einer biefer ©eiten unb bem 2lbfchnitte berfelben , ber imifchen bem ©Reitel jene« SBinfel« unb bem gu^puntte ber auf biefe lehtere ©eite pon bem gegen-- überfiel;enben ©cheitel gefällten ©entrechten liegt. 8. aßenn man »on einer SBinfelfpihe eine« ©reiedfe« jur 9Ritte ber gegenüberliegenben ©eite eine ©erabe jiel;t, fo i|l bie ©umme ber 0,uabrate ber beiben anbern ©eiten gleich hoppelten Quabrate bet halben getheilten ©eite, mel;r bem hoppelten jQuabrate ber 2hri* lung«linie. 9. 3n jebem QJarallelogramine i)l bie ©umme ber jQuanate beiher diagonalen gleid; ber ©umme her xiluabrate ber »ier ©eiten. IO. SBenn mon übet ben ©eiten eine« rechtminfligen dreieefe« ohn» liehe SSielecfe fo fonflruirt, bah bie ©eiten be« rechtmintligen drei» ede« bie gleichliegenben ©eiten bet 93ielecfe bilben, fo i|l ba« üSielecf über bet .^ppothenufe gleich ber ©umme bet IQietcde über ben .Katheten. Digitizec by Google 74 B. 2(tif gaben. §. 94. 1 . (Sin 2)teiecJ jn fonjlrniten, beffen glaifferenj bet glätten jroeier 35teiedfe »on gleichet Jpöbe. 2. (Sin jQuabrat jn ieid;nen/ beffen gläc^e gleich i(l a) bet 6nmme mebretet önabtafe, ' b) bet Diffetcnj bet glädben jtecict jQuabtate. . 3. (Sin 0nabrat jn fcnfltniten, wetcbeg - cinea gegebenen iQuabta: tea ifi. 4. (Sin 'iBieledE jn netjeidbnen , wel^ea - einea anbern iSieledea nnb biefem öbnli($ ifl. 5. (Sin ©teiedf jn »etwanbeln a) in ein onbetea Dteiecf mit einem gegebenen ®infel, b) in ein ®teiecf nbct berfelben ©tunblinie, »elcbea glei^= f^ienftig ifl, c) in ein glei^feitigea JJteietf, d) in ein anbetea 2>teied »on gegebener J?6be, c) in ein ^atollelogtamm mit einem gegebenen ®infef. 6. (Sin yaroHelogramm jn »enirnnbeln a) in ein anbetea Parallelogramm, worin ein SBintel gegeben ifl, b) in ein pataßclogtamm eon gegebener J?bbe» c) in ein Parallelogromm über einer gegebenen ©runblinie, d) in ein 2>teiecf übet berfelben ©runblinie, e) in ein (Dreiecf »on berfelben .^öbe, f) in einen 9lbai"bua 7. (Sin 3:taf>ej in ein Parallelogramm ju oerwanbeln. 8. Sin Sreied bureb ©erabe, welche mit einer 0eite (javaüel laufen, in gleiche aber nach einem gegebenen (Gerbältniffe ju tbeilen. 9. Sin ®reiecf in mehrere gleiche Äbeile ju tbeilen, fo bab bie S^bei' lungeiinien in einem Punlte einer 0eite jufammenlaufen. 10. Sin Stapei butch ©erabe, welche mit ben parallelfeiten parallel laufen, in mebtete gleiche ab«l«, aber nadb einem gegebenen S3er= bältniffe $u tbeilen. Digitized by Google 3»i>citcr yibfd^nitt Jlruutme ^tttiett tmb t^oii i^nen ibegveitite ^igUKen* 1. |itc Artislinit. §. 95. ®ic Ärei6(tntc ober ber Ätei6 i)l, wie fc^on in bet Sinleitung gefügt würbe , biej'cnige frumme Cinir, in wcld;er feber ^unff non einem gegebenen fünfte, bem 2Ri f t e If)u nf t e ober 3ent rum, biefelbe @ntfernung ^of. 2>iefe (Sntfernung {leipf ber .^olbmeffer beS Äreifeö. 2nic fünfte, bereu (Entfernung »om Senfrum fleinet ijl ol6 bet .Oalbmeffcr, liegen innerhalb ber ÄreiSIinie; unb alle fünfte, beren HU jlanb oom 3<«ttura größer aI6 ber .^albraeffer ifi, aufer^alb ber Äreiö= linie. ®amit ein Ärei9 noUfommen bejiimmf fei, mu^ mon ben fDJittel» puntt unb bie Snngc beö .^olbmefferö fennen. 1. ®etab« Sinieti, bie In SSejicbung auf ben Areid notfommen. Sine ©erabe AB (gig. 136), werd>e jwei fünfte be6 UmfongeS ocr* binbet, pei^f @e^ne, Chorda. Diejenige 0ef>ne AC, wel(f>e burct» ben Sig. 136. 9Riftelpunff gept, ijl ber Dur 4) me ff et fj be6 Äteifeö. (Sine ©erabe DE, weld^e ben ÄreiSum« \ fang in jweiyunftenbut^fc^neibef, fo baß \- f ' ' fie $bei(e au^erpalb unb innetbalb beS // Q \ \ Äteife« pat, peiff eine Dutdpftpnei» Af \ bungölinie, 0efante. (Sine ©etabe \ EG, weltpe mit ber ÄteiSlinie nur einen \ // , ' 9>unft gemeinfcpaftli^i pat , fo bap affe Q anbern fünfte außetpalb be6 Äteifeß lie» gen, pei^t eine ©etüptungältnte, Tangente. Dartp ben ®(pnitt be« Äteife# mit bet ©eraben entjlepen fofgenb e L. Digitized by Google 76 * ® ® n i 1 1 ® eg ment, b. i. ein foIc()er a{>eil bet •Sreiöfläcbe, mefc^er jinifc^en einet 0el)ne tinb bem batu gebörigen söogen liegt, mic ABMA. o » y s u ® i 1 1 ,• 0eftot, b. i. ein fofc^eö ©tiicf bet Ätei6flad;e, welches »on jmei ^glbmeffetn unb bem bajroifcben lie» genben SÖogen begrenjt mitb, wie AOHA. Se^tfä^e. §. 97. * ^«IHrt bie Äteiefidcjje unb bie^e* S'3 137. Denft man ficb ben ÄteiSobfdjnitt ACB (gig. 137) fo übet ben ÄteiSab-- fc^nitt AUB gelegt, bap AB aI8 0ebne beS 2ibfi^nifte6 ACB auf AB alS 0ebne beS ^(bfc^nitteö ADB falle, fo loirb aucf» bet ®cgen ACB ben SBogen ADB »oll« ^ , fommen becfen muffen, meif fonfl ni^t f'’i 0\ alle fünfte bet beiben ÄreiSbögen »om 1 ^ / 3enttumO gleid; weit entfernt fein fönnx / ten. Die beiben .Rrei6abfd)nifte fallen / alfo in allen ©renjen »oDtommen ju. fammen, fomit finb fte fongtuent. Der Durcf)meffer AB f)albitt ba^et fomo^I bie ÄreiSfldcbe, nlä ben ÄreiSumfang. Sifl. 138. 2. aSenn man baS 3enttum beS Äreifed mit bem .^aD biriingSpuntte einet0ebne burcf) eine@erabe »erbinbet, fo fle^t biefe auf bet 0epne f e n f r e d) t. (J8 fei (gig. 138) AC=CB, fo mu§ OCj_aB, ober m = n fein. — aSetl \ / AO=BO, AC==BC unb OC = OC ifl, H fo mup bo9 ^AOe^BOe, unb bo» ^er bet £B5infel m = n fein. 3. Sßenn man »om SDJittelpunfte eines Äreifeö ouf eine 0ebne eint 0enfrecf>te jiebt, fo roirb babut* bie0e^nebalbirt. 3ft OC _L AB, fo mu§ AC = CB fein. — 3n ben Dteiecfen AOC unb ßoe |lnb jwei 0eiten mit bem bet giojiern 0eite gegenüber)lel;enben aBinfel gleidj, folglich Hub bie beiben Dreiecfe fongruent, unb fomit auch bie britten 0eiten AC unb CB gleic^. 4. Sffienn man in bet SWitte einer 0ebne auf biefelbe eine 0enfrechte errichtet, fo mu^ biefe butei) ben SOlittelpunft beS Äteifeö gehen. Digitized by Google 77 %ie. 139. ea ffi (Srg. 139) AC = CB, unb CO -L AB; fo i)l ju bemcifen , ba^ CD / X biird) ben SDJittcIpunft bc8 Ärcifca burc^* ' \ gejjfii muffe. — ®drc bicfea nicfjf bet ii V \ SBittcIpunTf bea Ärei* ! feä oii^ctpalb bcr 0ciifre(^lcn , 5 . S8. in ' ; ® lici^en; baraue ober mürbe eine lln^e« / reimtpeit pernergepen. 3 / \ fen ßcp biefe 0enfrecpten in einem fünfte / F. E\ \ 0 burepfepneiben. ©etraeptet man nun / , ^ \ A, B unb C aia fünfte einea Äreifea, Jl fomit AB unb BC aia ©epnen beffeiben, l ^ (0 muß berSBittelpunft biefeä Äveifeä fo\ €r . '^ ! mopl in ber 0enfrecpten DF aia in EG, \ / D fclgliip in iprem 0urd)f^nitt3pmifte 0 liegen; ber .^albmeffer biefe8 .Rreifea ifl " Aö. 0urd) brei fünfte, bie nid;t in ei= ner geraben 9inie liegen, ifl alfo foroopf ber OTittcIpunft ofa ber.^albmef= er einea ÄreifeB, fomit ber Äreia felbfl ootlfommen beßimmt. §. 98. , 6 . SSon 5 m ei 0 epncn ifl fene bie größere, bie ben flei* nern Kbßanb 00 m SBittelpunftc pat. gig.. 141. gig. 140. (Sa liege bie 0epne AC (gig. I4l) näper am 9)littelpunfte aia jene AB , e8 fei namliip bie 0enfreipte OE < OD; fo laßt fiep jeigen, baß AC > AB ifl. — SOlan jiepe AO, fo ifl AE = v/AO^OE* unb AD = \/A0^ — OD*. SBegen OEAO* — OD», OIfoAE>AD; fomit aiicp 2AE> 2 AD, ober AC>AB 2(ua biefem 0ape folgt, baß bie Digilized by Google 78 Ungjle @e{ine tm Äteife bieienige ijl, bie biird^ ben OMÜfeTpunft felbjl burc^ge^f , b. i. bet Surd^mefTer. 7. S03enn man imSnbpunfle cineg^albmefferö barauf eine ®enfred^te erridjjfet, fo ifl biefe eine Sangente be6 Äteifeö. g« fei ABJ_A0 (5ig. 142). Blimmt man in bet ©etaben AB itgenb einen ^unft D, unb jiebt bie OD, fo i|l in bem tet^tminlligen /\AOD bie.^bt)0tbenufeDOgt8ßet alö bie Äat^efe AO^ bet g>unft D liegt aifo, weil feine gntfetnung oom aRittelpunfte gtö^et ijl aI8 bet ^)a(bmejfet, au^etpalb be§ Äteife«. I)a«felbe fann nun oon jebem q>untte bet ©etaben AB, ben ^unft A ausgenommen, gejeigt metben ; bie ©etabe AB pot aIfo mit bet Ätei8> linie ben einzigen ^unft A gemeinfdpaftlic^ , rcübtenb atte anbetn fünfte betfelben au^etpalb be« Äteife« liegen; foIgIicf> i|t AB eine Sangente be« Äteife«. 8. 3Benn man in ben gnbpunften eine« IBogen« auf bie bapin gejogenen .^olbmeffet ®enfte^te ettic^tet, uiib benS)ut($f^nitt«punft mit bemSenlt««* but<^ eine ©etabe »erbinbet, fo roitb babutcf) bet 95ogen p a l b i 1 1. 143. A 3|1 (5ig. 143) ACJ_A0 unb BD J_ BO, WO bann AC unb BD Sangenten be« Äteife« ftnb, fo muffen fic^ biefe in einem fünfte E fe^neibcn; jiept man nun bie ©e» tabe OE, n>el4)e ben SBogen AB in F fcpneibet, fo lä^t {tcf> jeigen, baf biefet ©ogen in F palbitt witb. — Die te^tmindigen Dteiecfe AEO unb BEO haben bie .^ppothenufe OE ge« meinf^aftlidp, fetnet bie Äatpeten OA unb OB gleich, foIgIid> finb fie fongtuent; wenn abet bie Dteiecle AEO unb BEO übet einanbet gelegt fi^ »oHfommen beeten, fo muffen audp bie asogen AF unb BF, ba aBe ipte fünfte »on 0 gleich weit abflepen, in einanbet fallen ; fomit ifl bet asogen AF = BF. D 'E \ C Digilized by Google 79 #. SSinfel, N« in ^egieimni) niif ^en Sittii votfpmmcn. Sin SCBinfcI, gig. 144 e / /J/'"' ' \\ —-V k !/'• / ' y §. 09. beffen 0dj»eitcl im SKiffelpunffe be6 Ärcife9 liegt, bef* fen ®c^enfel alfo jroei .^albmeffcr |tnb, ein ÜWittelpunftSminfel; ein SCBinfel bagegen, befen ®d)eifel in bem Umfange bed Äreifea liegt , bejfen S^en» fei alfo @efinen finb, mitb ein U m f a n g 8» minfel genannt, SBenn bie S^enfel eines UmfangSroinfetS bur^ bie @nb» punffe eines 3)urd^mcfferS gepen, fo peipt berfelbe ein 9Binfcl im .^albtreife. AOB (gig. 144) ifi ein 3JlittdpnnftS» »infel, ACD ein UmfangSminfet , EFG enblicp ein Sßinfel im ijalbfreife. 7/ C e p r f Ä p e. §. 100. 1. 3u 8tei'l>«n ®liftelpnnftSnjinfeln gepören in bem^ felben .Steife au(p gleite 0epncn unb SBögen. 68 fei(gig. 145) ber SBinfel AOB= COD. ®enft man ft(^ ben ÄveiSauSfcpnitt COD fo über ben ÄreiSauSf^nitt ADB gelegt, bap bie .^albmeffer OC unb OD auf bie .^albmeffet OA unb OB fallen, maS moglicp i(l, »eil nad; bet SQorauSs fepung bie SBinfel COD unb AOB gleicp jinb; fo müffen, »egen ber (Blei^peit bet .^albmeffct, auch bie^unffe C unb D auf bie fünfte A unb B fallen, fomit mup bie @epnc CD = AB fein. SBenn ober bie ®epne CD auf AB fällt , fo müjfen aui^ bie .SteiSbSgen CD unb AB oollfommen iufammenfaaen, »eil fonjl ni^t ade fünfte betfelben »omaJlittelpunfte gleicpegntfernung paben mürben; alfo»ogcn CD=AB. 2luf apnlicpellrt laffen au($ biejmei umgefeprten 0äßeetmeifen: a) 3« gleiten SBogengep&rengleicpegJlitte'lpunftS» minfel unb gleid>c ®epnen. b) @lei^en0cpnen entfpreepcn gleiepe'WittelpunftSminfel unb gleiepe IBogen. gig. 146. Iß 8. 101. 2. 3« bemfelben .Steife »erpalten fiep bie SWittelpnnftS» minfel gerobe mic bie .SteiSbögen, auf melepen fie fiepen. Digitized by Google 80 gi9. 146. ®6 fei AM C5ig. 146) ein aemcinfc^aftlic^esaRaf betSrciSs bijgen AB unb CD, unb jwar ©ogcn AB = m . AM, ©ogen CD =n.AM; [omif ©ogen AB: ©ogen CD = m : n. 2)cnff man fi4> nun ju jes bcm S^cilungSpuntte ber beiben ÄreiSbogen .^albmeffcr gcjogen, fo roitb baburdb bcriJRUfelpunft«» minFel AOB in m , unb COD in n Steife gclbeiff, beten feber bem SCBinfef ACM gfeic|> ifi; man bat ba^cr < AOB = m . AOM, < COD == n . AOM , folglich emferbenÄreifc »erbalfen ficb biegJ^iffeIpunrt6-- nMn^cI gctabe fo, miebiejugebbrigenÄreiöauSfcbnitte. §. 102 . 3. SerUßitfelpunftOwinfel ifl boppeltfogro^, alOber UmfongSminfef, wenn beibe auf bemfelbcn ©ogen auffieben. ©eim ©emeife biefc6 0abe§ finb brei gaffe ju unterfd>eiben. a) SßJenn ein ©(genfer beS UmfangSroinfelö butcb ba6 3«ntrum burcbgcbf (5ig. I47). AOB i|l ein (Sumerer SBinfel be63)reiecfe6 BOC, habet AOB = BCO +CBOj aber bet ffBinfet BCO = CBO, roeil ba6 A BOC gleii^fcbenflig «|t, fomit i|l bet SKiffefpunftöroinfel AOB == OCB + OCB = 2ACB. gig. 147. Digilizcc by Citio^Ic Hl Sig. 148. c Sig. 14!). V b) SBenn bie beiben' 04) 4 nfer b«6 UmfanaSiDinfcIS auf ben «nt* aegengefc^f cn ©eit«n beö SWit. telpunttca Hegen (gig. I48>. SDfan jic{)e bcn Durcf)meffer CD, fe ijt naif) a) bcr SGSinfel A0D = 2ACD, unb BOD = 2BCD, ba{>er aiicb AOD 4- BOD =2 fACD -)- BCDJ , ober AOB = 2ACB. * c) SBenn bie beiben ©c^enf^I bes UmfangSwinfefa auf berfel» ben ©eite bc8 SW i t f e I p u n f t e« liegen (gig. 149 ). ... 3ieH man ben ©uni;mcffet CD/fo iß naef) n) ber SeßinFer BOD = 2BCD, unb AOD = 2ACD; fomit and; BOD — AOD =2 (BCD — ACD), ober AOB = 2ACB. ©a aaellmfangäminFer, roelt^e auf einem gleichen SÖogen onfilepen, gleich ßnb bem pat* ben SOFiffclpunFfroinFel über einem eben fo gropen Sogen, fo folgt: Umfangaminfel, mel^e in bem» fei ben Äreife über gleichen ©ögen auflicgen, finb einanber glei(^. §. 103. H.. 8ig. 150. c / / A\- io 4. 3eber SIBinfer ACB(gig.i50) im .^dlbfreife iß e,in rechter. 9Kan jicbe ben ©urebmeßer CD, fo iß ber 3BinfeI ACD =i AOD, unb BCD = i BOD, baper ACD+BCD =i(AOD+BOD), oberACß =i(AOD+BOD); aber A0D4B0D==2R, folglich ACß=R. \ / 5. ®cnn man bie Jpppotpenufe cinca rechfminfligen ©ret» «£*ea balbirt, unb aua bem ^atbirungapunffe mit ber fi. • , ,^“ft’cn^)9pofI;enufe aIe.OaH»' biefea Äreif,/h'‘^ ber Umfang fera geben ^ rechten SBin» Moenik, ®wmetrie. 2. 8u(t, . * D Digitized by Google 82 ffi«- 151- e« fei (giß. 151) ba« ^ ACB bei C t«4)froinflig, unb AO = BO, fo mu^ bie au5 0 mit bem .(palbmeffer AO befc^riebene ÄreiSIinie burcf) C burcbgeben. ®ürb< bie Ätcidlinie nie^f butcb ben ^unft C geben , fo mugfe fie entmeber bie BÄatbefe BC in einem q)unfte D, ober bie QSerlängerung berfciben in einem fünfte E fc^neiben. 3m erfien goffe iiebf mon AD, unb e« müßte ADB aI6 SBinfel im ^alb» freife ein rechter fein ; e6 rcoiren bobet »on A auf BC jroei ©enfrecbte gejogsn, ma« nitbt fein fann. 3m iweiien gaOe jiebe man AE, unb e5 müßte wieber AEB al« fflSinfet im ^albfreife ein rechter fein 9Ran bütte alfo mieber non A auf BC jiuei 0enfrechte, wa5 unmöglich i|). Da alfo bie ^rei6> linie »eher bie Äatßete BC felbft, noch ‘bre SJerlangetung in irgenb einem fünfte fchneiben fann, fo muß ße burch ben bet, iß gleich bem UmfangS. minfel über bem tBogen, ben bie 0ebne abfchneibet. g« fei (gig. 152) AB ^ AO, fo iß ju beroeifen , baß ber SBinfel BAC = ADC iß. 3n bem rechtminfligen Dreiecfe ACD iß ADC-|-CAD = R; allein eö iß auch BAC + CAD = R; folglich BAC -f CAD ADC-fCAD, unb »enn man beiberfeitö CAD megnimmt, BAC=ADC. Big. 153. §. 101 . 7. 5EBenn in einem Äreife jwei 0ebnen fich fchneiben, fo ße» ben ihre Ttbfchnitte in »er. febrtem QSerbaltniffe. ge fchneiben ßch (gig. 153) bie 0eb* nen AB unb CD im fünfte E , unb man jiebe bie 0cbnen AC unb BD. 3n ben Dreietfcn ACE unb BDE ßnb bie ffiJinfel m unb n gleich, meil ße beibc über bem» felben 95ogen BC aufßeben ; eben fo iß o =p; baber [\ ACE ~ BDE, unb fomit AE : DE = CE ; BE, ober roenn man bie nnern ©liebet »erwechfelt, AE : CE =DE; BE, m. j. b. m. 8. lEBenn man von einem fünfte A (gig. I5l) außerhalb be5.Ereifee;u biefem jmei 0efantenAB unb AC liebt, Dl i 'i.by Google 83 fo flehen biefe mit i^»ren auget^alb be6 Äteif<5 licgenben 2tbfc|)nitten AD unb AE in »erf eptf fante AC gejogcn finb, fo ijt bie Sangente bie mitt* fere geometrifil)e ^roporjionale jroifc^en ber 0e* gig. 156. fante unb bem au^er* halb be6 ÄrcifeS liegen; ben 2tbfc^nitfe berfelbe£ 9)fan jiebe bie 0ebnen BC unb BD. SerSBinhl n, ben bie Sangente mit ber 0ebne bilbet, Bi glei^ bem UmfangSminfel m. SieSreiecfe ABC unb ABD haben aifo A =A, unb m = n ; baher ift A ABC ~ ABD, unb AC; AB = AB:AD. 3. Greife einoefcBtiebcnc unb tintfc^rieBene fHitlttfe. §. 105. Sin 9SieIerf, bejfen affe Scfpunfte in bem Umfange eines ÄteifeS liegen, beffen 0eifen aIfo 0ebnen bc8 ÄreifeS finb, beißt bem Äreife eingefcbrieben; ber ÄreiS ijl bann bem töieleffe umf^tieben. Sin iöiclccf, bejfcn affe 0eitcn ben ÄreiS berühren, ht'ht beni Äretfeumfchrieben; bet ÄteiS ijl bann bem SSielecfe einge* fchrieben. !2(m micfjHgjien finb bie regelmäßigen, bem greife eingefcbtiebenen unb umfd)t«benen 93ieietfe, < 6 * Digitized by Google ( 84 Ce^tfa^e. §. 106. 1. 3«t>em SreiedEe lä^t fic|) ein Äreiö umfc^)rei6en. Sig. 156. AC.BC CF ober wenn man ^albirt man (Jig. 156) jwei ®rei= edfeiten AB unb AC, unb erricbfef in ben .^albiningSpuntten D unb E ©entrecbfe, wel^e |l4 in 0 fcbneiben, fo ifl 0 ber ÜKiffelpunfi be§ bem Sreiedfe ABC um= fi^riebenen ÄreifeS. Um ben ipalbmcffer bicfe§ ÄreifeS ju be(iimmen, falle man »on C auf AB eine ©enfrecbic CF, jiepe ben 35urcl)meffer CG unb bie 0cbne BG. 2(u8 bet 2lebnli(f)feit bet tecbtwinfligen Srcietfe CBG unb CFA folgt CG:AC =BC:CF, bafiet CG 3ablet unb BJennet mit AB mulfipliiitf, CG = AB. AC.BC AB . CF 0e|tmon nun BC=.a, AC = b, AB = c, unb f ber 5lacf>en-- in^olt beS 35reiedEe6 ABC, unb R ber tjalbmclfer be8 ipra umfcfjtiebenen Xreife8, fo ifi, ba mon AB.CF = 2f fejcn tonn, „n abc _ abc 2R = —, olfo R = b i. ber ^Oättmeffer be8 einem Srciecte umfcbtiebenen XreifeS ifi gleicf) bem ^robufte oller brei ©eiten bioi> bin bitT4l ben bierfa^en lä ^ en i n p o 1 1 be8 CDreiecfeS. 9. Sebem 2>teiedEe Idft fit^ ein Ärei8 einfcbreiben. »ig. 157. aWon polbirc (gig. 157) iwei Dreiedt8roinfe[, j. SB. AunbB; ou8 bem fünfte 0, wofi^bie.^albitung8» linien fcpneiben, falle man oufirgenbeine0eite, }. SB. AB, bie 0entrecbte OD. 68 lä^t ficb nun jeigen , ba^ ber au8 bem TOittelpunfte 0 mit bem^ialbmejfer OD befdjricbcne ÄreiS bem Xsrciccfe ABC eingcfcf>rie» ben i|l. ' SWan ffiffe »on 0 0enfred>te oudp auf AC unb BC. "MuS bet Äon» gtueni bet Sreiede AOD unb AOE folgt nun OD = OE, unb weil ^BOD as 80F ifl, fo b«t mon autb OD = OF. S>a alfo OD = OE =OF, fo wirb bet Umfang be8 ou8 0 mit bem .^albmejfer OD befcfjriebenen Ärei» .. . C. qlc 85 f(6 burd) bie <))unfte D, B, F $)e()en, unb w«i[ in bUfen ^uirffen bi« 0eiten AB, AC, BC auf bi jebem SBierede, wel. cbe8 einem Äreife einge. fcbrieben i(l, betragen je sroel gegenüberflebenbe SBJintel {ufammen )mei 91 e (b f e. SRan jiebe (gig. 158) bie X)ia* gonalen AC unb BD; eß if! bann ber ®infei p =r, q =s. SnbemDreietfe ABD ijl nun in + n +r -f- 8 = 2R, baber auch m4-n +p4-q = 2R, ober A-}-C=2R. einea Söietedfea gleich iP Siecbten, 8ig- 158. 0a bie 0iimme aUet SEBinfel fo mub auch B-fI) = 2R fein. 86 G, H, J, K, L, M ge^en, unb ba bie 0eifen beö aSiefedCeS Sangenfen itt biefem Greife finb, fo ijl biefet b«m iöiefecfe eingefc^tiebcn. SBef^reibt man eben fo ou6 bem SWittelpunffe 0 mit bcm Jjolbmeffcr OA eine Ärei6s linic, fo mu^ bieftlbe bur^ aHe Sdpuntte A, B, C, D, E, F ge^en, unb ifl fomit bem iSiefede iimfc^tieben. 5. ginem Äreife läßt fic^ jebeS »erlangte regelmäßige QSieIed ein: unb umf^reiben, »oraudgefe^t, baßber Umfang beö Äreife6 in iebe »erlangte 2(njaßl glei* (^erSßeilegetßeilt werben fann. ; . Sig. 160. g« fei (Sig. 160) bie ^erife« rie in fo »iele gleii^e Sßeile ge< tßeilt, a(6 ba6 iöieied 0eiten ßa« ben foH, nämlicß bet ©ogcn AB =xBC = CD = ..., unb mon jieße bie 0eßnen AB, BC, CD, . . . 3n bem %ielede ABCD . . . finb nun aUc 0citen AB, BC, CD, . . . oI6 0eßnen, weldpe ju gleichen Söögen geboten, einanber gicicß, eben fo ftnb bie SBinfel A, B, C, . . . glei(^, weil ße auf gleichen Söogen oufßeben ; ba6 bem Greife einge» i-t fcßriebene aSieIed iß bemnac^ ein regelmäßige«. 3ießt man bie .^albmejfer OA, OB, OC, . . ., fo ßnb bie 9RitteI» punft6»infer AOB, BOC, COD, . . . gleicß; au^ werben biefe SBinfel burcß bie 0cnfrecßten OG, OH, OK, . . ., welcße ouf bie 0eßncn AB, BC, CD, . . . gefällt werben, ßalbirt; worau« folgt, baß aud> bie SOBintet GOH, HOK, KOL, . . . bur($ bie J^albmejfer OB, OC, OD, . . . ßalbirt werben. ÜRan jieße nun bureß bU fünfte G, H, K, . . . 0enfre(ßte auf bie betreffenben .^albmeffer, fo muffen ßcß je jWri auf.inanber folgenbe 0enfred)te in einem fünfte feßneiben, unb man erßält ein bem Äreife umfeßriebene« a« beni Greife umfeßriebene Vieled PQRS . . . ßat alfo jleidße 0eiten unß gleitße SBinfel, iß fomit regelmäßig, I 87 §. 109. 6. 3n regelmäßigen iOielecfen non gleich fid Seiten vergalten ficb bie Umfänge mie bie ^albmeffet bet biefen SSielecfen eingefd^riebenen ober urofc^ciebe* nen .greife, unb bie Siäc^eninßalie mir bie jQtt«< brate eben biefet .^albmeffer. gig. 161. S6 feien (Jig. 161) bie beiben SSiefctfe ABCDE unb FGHJK regef. mäßig; ißre Umfänge beißen l' unb u, ißre gfäcbenräume F unb f. ia bie beiben regelmäßigen iöielecfe gleich »iel0eilen ßaben, fo ßnb fie abniicb, baßer b«t U;u = AB:FG unb F;r=AB*:FG*. 2(u8 ber ^iebnlicßteit ber 3)reiecfe ABO unb FGP folgt aber AB : FG = OM : PN = OA: PF; baß« ijl U : u = OM : PN unb F : f = OM* : PN» = OA:PF =OA*:PF*. §. 110. 7. 3)ie 0eite beb regelmäßig en einem .Greife eingefcßriebenen 0e(ß6ecfed i|1 gleicß bem^ ib« meffer bed Äreife8. C6 fei baä ©ecßbect ABCDEF (gig. 162) regelmäßig. 3er SDBintel eines regelmäßigen 0e(ß9» 70A® ecfeb ijl gleicß -*— = 120", alfo ijl A*B = 120", unb m = n = 60", baßer muß aucß p = 60", unb baßer baS 3reiect ABO gleicßfeitig fein j folglich ijl AB=AO. §. 111 . 8. 2lu6 ber 0eite eineö bem Greife eingefcßriebenen regelmäßigen SQiclecleö fann bie ®eite eines bem» fefben Äreife e i ii gef cß r ie be n n n regelmäßigen 93iel» ectes von bojjßelt fo oiol ©titen ßejllwmt Wdbtw, * Digilized by Google 88 163. ‘ XE6 fei AB (gig. 163) bie 0eife beS bem Äreife cingefc^tiebencn nfeitigen regu» lärcn SQietecfeä. giefjt mon fenfrcd)! bars auf ber. .^albmeffer OD, fo tfl bie @e^ne »AD bie 0cife be6 eingefdjtiebenen 2nfeiti» gen regclraafigen iOielecfeS, unb e6 f)an> beit (ic^ barum, biefe 0eife AD ou6 AB unb bem Jjalbmeffer OD ju bejlimmen. •Ofan fe^e AB = s„ unb DO = r, »er» längere ben DO bis E, unb jicfjc bie ©crobcn AO unb AE. 3IuS bem sr, red^fmintligen ®reiecfe ACO folgt CO* = AO* CO = -[/'i 2 unb fomit CD = DO — CO AC* = r* — bafier 4 ==r-li/4 s; 2(uS bem bei A rec^ticinfligcn 35reiccfc DAE {mt man ferner DE;AD = AC'.CD, «Ifo AD’ = DE.CD; ober trenn man für DE unb CD ifireSOBer» tfie fubflifuirt, AD* = 2r(r — ^ 4 - = r* ^2 - \/4 — jS) , ««t» .\D = r 1^2 — V^4 —^ . gßirb AD bure^ s.„ auSgcbrüeft, fo i)1 alfo 5,„ = r|/ 2 — \/4—^. •JIuS ber 0eitc eines bem Greife regelmäßigen iöicIecfeS läßt fic^ bemfciben .greife umf^ri ebenen «deSoonebenfo eingef^riebenen bie 0eife eines regulären Sßicl. Sig. 164 riet 0eiten beflimmen. ©6 fei (gig. 164) AB =s„ bie 0eife beS einem Äretfe cingefcßriebenen nfeifigen regeC mäßigen 93ieIedeS, unb ber Jpalbmeffer biefes ÄreifeS AO=r. gäHt man »on 0 auf AB eine 0enfredßte, trelclte bie ^eriferie in D trifft, unb errietet in D auf ben Jjalbmeffer OD eine 0enfred;te, weld)e bie »erlängerten tjalb» mcffer OA unb OB in ben fünften E unb F fcßneibet, fo ijt EF bie 0eite beS umfdßriebes nen nfcitigen regulären ^olpgonS. )(uS ber 21eßnlid>feit ber Sreiecfe EFO unb ABO folgt nun EF:AB =DO:CO, ober weil Digitizssf^V 89 CO = \/A0^ — AC* = V^r* — I tfl, EF : s„ = r : i/^r* — j, »otau« mon EF = = i- er{)dlf. Vi-$ Dtiicff man EF biitc^ S„ au6, fo bcjle^f bemnacb bie gorm«! 4. Sage ittfeiet Greife cinanber. gij. 165 § 112 . 3n©csicbungauf bie gegenfeifigeCage iweierÄreife finb jmei.^aupl. falle ju untcrfc^dben; entroeber fiaben ftebenfcIbenSKittelpunff, obetni^f. Äreife, melcbe bcnfelbcn ÜKiltelpunft haben, nennt man f enjenttifd?, wie in gig. 165. 2)ie gldc^e, »eicbc imif^en ben <35etife» tien jroi'iet fonsentrifebet Äteife enthalten ijl, mirb ein 3ling genannt. 3mei Äreife, welche »erfchiebene SRittel» punfte haben, nennt man ersenttif^, unb bie ®erabe, wel^e biefe SRittelpunfte netbinbef, bie 3cntrilinie. 3mei ei* jentrifche Steife fonnen fleh entweber beruh» t e n, ober | .1' n e i b c n, ober e8 i |1 feines »on beiben ber gall. 3wei ilreife berühren fich, wenn ihre Umfange nur einen ^unft gemeinfchaftliih haben. Sffienn bet eine SreiS innerhalb beS anbern liegt, wie in gig. 166, fo fagt man: bie Steife berühren fi(h »on innen; im entgegengefe^ten galle, wie in gig. 167, gefchifht bie Berührung »on au^en. gia. 166. gig. 167. Digilized by Googl 90 SroeiÄrfife butc^fd^ n eiben reenn i^re Umfänge jmei g>unffe gemeinfcbofflicb Nbe". 3n me^t alö jroei fünften fonnen bie qjeriferien gmeiet Äreife nic^t jufömmentrefen ; benn bätfen fie brei gcmeinfcbafUicbe q>unfte, fo müßten fie gong gufammenfalfen unb mürben nur eine einjige JtreiMinie hüben. 9i0. 168. ®a« gemeinf^oftli^e @füd ACBD (5ig. 168) ber beiben ÄrciSfla. (^en beift «ine Sinfe; jebeö ber nic^t gemeinfcboffIi*en 0tucfe, mie AEBC unb AFBD, ein ÜRonb. ®rgentrif(be Äreife, bie ficf> »eher berühren nod^ f^neiben, fonnen wieber in einanber ober «uper einanber liegen. 8 e b r f 0 b §. 113. 1. Kenn bie Sentrilinie gmeier Greife gfei OP — BP, ober OB > OA , b. b- ber ^'unft B liegt außerhalb be6 erflen ÄreifeS. Doö» felbe gilt oon allen fünften be6 gmeiten ÄreiSumfangeä, b>n q>unft A ouSgenommen, ben beibe ^erifetien geroeinfcbaftlicb haben. Die gwei äCreife berühren fich alfo oon außen. Big. 169. 91 2. SBtnn bie3tntri(inie }toeiet Steife ift bent Unterfc^febe tbre« ^albmeffer, fo berühren fic^ bie 6« fei (5ig. 170) OP bie 3 bie beiben .greife oon innen. 5. 9In9meffnn0 bed jfreifeft. S. 114. 3ebcS SDleffen fe^t eine Söergleicbung bet jit meffcnben @r6b< >nU ber SDiabeinbeit »orauS. Die ginbeit be98inienmabe« ifi eine gctabe8inie, bie ginbett beO SläcbenmabeO eine oon geraben Cinicn begreiiite Slacbe, baSjQuabtaf. SJBegenbcr »erfcbicbenartigen SUatur ber geraben unb frum« men Cinien, ber getab* unb ftummlinigcn giguren fann nun aber »ebet bie üreiblinie mit einer ©eraben, no(b bie.Srei9fIäcbe mit einem Cuabrate unmittelbar oergiieben roerben; manmuf baber bei ber OTeffung beSÄtei« fe« ju einem mittelbaren Söerfabren 3uflutbl nehmen , melebeS auf fol» genben SBetraebtungen berubet. SSenn man bem Äreife ein regelmä^igeö g>ol 9 gon cinfi^reibt unb ein anbere« ton eben fo »iel ©eiten umfebreibt, fo ift, fo grob nutb bie linjabl ber ©eiten eine« feben ^olpgonä fein mag, flctS ber Umfang be# eingeftbtiebenen Söielecfeö fleiner, ber Umfang beS umfebriebenen SUielecfeO gröber aI9 bie ^>etiferie be« ÄreifcS. ^ei^en s. unb S„ bie ©eiten, u„ unb U„ bie Umfänge beS eingefoIpgon8, unb r ber .^albmejfet bc6 Äreife6, fo bot man u„ = ns„ unb U„ = nS„ = ns„ . , rocif S„ = — . = iji. 1^4-4r r* 3e mehrere ©eiten bie beiben SQielecfe haben, befio tieiner wirb s„, bejlo mehr nähert ficb bann ber STJiiBe, bah« bet SBrut^ bem2fu9* ' V^4-^ Äreife »on innen, gig. 170. Digitized by Google 92 2 btudfe -— = I, fclglid; U„ bct®r&pe ns„, bie juglcid) bcn Umfang u„ \>tV 4 jeid;nef. 50?an fann a(|o, itenn bic 2(njabl bet Seifen n binlanglicf) groß angenommen roirb, ben Unferfebieb sroifeben bem Umfange beS eingefdjrit. bencu unb umfebriebenen ^olpgonS fleincr machen, al« jebc noch fo tieine angebbare®rc^e. 2)ic ^criferie beSÄrcifeS liegt aber immer jwifeben ben Umfängen beä eingefebeiebenen unb umfebriebenen ^olbgonö, unb fälif habet mit ihnen jufammen, roenn beten Scifenanjobl unenblicb grop an. genommen wirb. Satauö folgt: Der ÄrelS fann al6 ein tegelmäfsigeS ^^olpgon »on unenblicb »iel Seiten betrautet »erben. 3luf ©tunblage biefeS Sa^ee fann nun fomobl bie Cänge bet ^eti. fetie al8 bet Äteifeö bejlimmt »erben. a) Sänge bet Äteiaiinie. § 115 . 35a lieb bie Umfänge j»eiet regelmäßigen SSieledfe »on gleich Seiten, »te groß auch ibt« 3lnjal;l fein mag, fo ju einanbet »erbalfen, »ie bie Jpalbmeffet bet ihnen eingefebtiebenen ober umfebriebenen Äteife, fo folgt : Sie Umfänge jmeiet Äteife »erhalten fi^ »ie ihte J?albmeffer, ober »ie ihre Surebmeffer. .Reißen alfo P unb p bie Umfänge }»eier Äteife, beten Jjalbinejfer R unb r, unb beten Surebmeffer D unb d finb, fo i|l P ; p = R : r = D : d. SarauS erhält man P : D = p : d , b. h- baä aSerhältniß bet fpetiferie jum Surebraeffer i|l in allen Äteifen eine unb biefclbe @voße. Sic 2Ra. themafifet bcjeicbiicn biefeSrbßc burdh ;r, fo baß a: ißi. Satau6 folgt p = d TT ober p = 2 r ff , b. h* bie q)etifetie eine« Äteife« i(l gleich bemSutebmef» fet ober bera boppelfen .^albmeffer multipliiirf mit ff. Umgefehrf folgt ^ “ ""b ~ b. h- bet Sutebmeffer ifi gleich bet *3)etifetie bi»ibirt bur^ ff, unb bet .^alhmeffet ijl gleich bet ^ertferie bi» »ibirt butd) 2 ff. €« fommt nun bloß no4> barauf an, ben numetifeben SBertß bet ®rcße ff, »eiche auch bie Subolfifcße 3<>hl genannt »irb, au«ju-- mifteln. fUimmf man al8 .^alhmeffcr be« Äteife« bie Sinheif an, fo i|l r=l, d= 2, unb = “• Sie ®töße n fann alfo al« bet halbe Umfang eine« Äteife«, beffen .^albmcjfer =l i)l, befrachtet »erben. Um nun ben Umfang eine« folcben Äteife« ju berechnen, bejlimmt man bie Umfänge be« eingeföb.riebenen unb umfebriebenen regelmäßigen ^olpgon« »on glei» Digilized by Google 93 <^«t0eifenan jaMf «n Sejimalen; bifienigen Sejimalfiellcn, in btnen bie Umfange bet beiben q)ol 99 one übeteinpimmen , beiet^neii mit »eiliger 0i(^erf)eit au^ bie Cängc ber qjeriferie be« Äreife«. 35a nun bet Unferfdjieb jener beiben Umfänge mit ber Sunabme ber 0eifenanja{>t im» met fleiner wirb, unb be^b«!!’ beiben Umfänge immer mehr Dcstmalen gemeinfcboftli^ jioben, fo fann auf biefe 3lrt bie Säuge ber ^eriferie fo genau ald man miU beflimmt werben. 9facb ben Sormeln S2„ = r V^2 — i — % unb S„ = V r »elcbe für r = 1 in bie felgenben S2n v^2 — \/i — unb .S„ übergeben, erhält man »egen = r = l , nai^folgenbe 2ßeribc 8g = 1-000000000 . . 8,J = 0-517638180 . . Sjt = 0-261052384 . . = 0-130806258 . . s,jg = 0-06.5438173 . . == 0-032723463 . . = 0-016362279 . . 8,gg = 0-008181208 . . Nsifi = 0-004090613 . . »3072 = 0-002045307 . . Sg = 1-154700538 . S,j = 0-535898478 . «24 = 0-263304993 . S„ = 0-131086925 . S„^ = 0-065473230 . vo S,g„ = 0-032727844 . = 0-016362827 . S^gg = 0 008181276 . .S„ 3 g = 0-004090621 . 830,2 = 0-002045308 . 5ür bie Umfänge u.. unb U erhält man bie IScrtbe; = 6-000000 . . »’g = 6-928203 . “l2 = 6-211658 . . l’.2 = 6-430782 . “2 * = 6-265257 . . •^2* =z= 6-319320 . = 6-278700 . . = 6-292172 . "•JG =r 6-282065 . . b'oG = 6-285430 . *'192 = 6-282905 . . l'.92 = 6-283746 . “3 s t = 6-2831 15 . . ^^38 4 = 6-283325 . “708 = 6-283168 . • l'7G8 = 6-283220 . ^^15 3C == 6-283181 . J||536 = 6-283194 . **3072 = 6-283183 . . *-3072 = 6-283187 . 35ie Umfänge bed eingefd)tiebenen unb umfi^ricbcncn regelmäjiigen 93ielecFc8 »on 3072 0eifcn unterfebeiben ficb erflin ber fed)Sfcn Dejimolej ba nun bie q>eriferie be6 Ärcifeö j»ifd;cn jenen beiben Umfängen liegt, fo mu^ nofb»enbig ber gcmcinfcboft[i(be Xbeil obiger S^blen bie Q)eriferie felbjl ouSbriufen, fomit i(i p == 6-28318 . . unb baber ;r = = 3-14159 . . . 2 910 ^ bem eben angegebenen IQcifabren fann bie 3abl »r mit jebet beliebigen ©enauigfeit entroicfelt »erben. Digitized by Google 94 Ser kfannfe ^opfr«^nec 3ac^ariaS2)afe au9 .^amSutg ht^ ted^neU bie3l » unter ^(nleifung be6 ^rofcfforS 0c^uljb. 0traß» ni^tp in SBien auf 200 Sejimalen. @ic finb X t= 3*14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 31211 70679 82148 08651 32823 06647 09384 46095 60582 23172 53594 08128 48111 74502 84102 70193 85211 05559 64462 29489 54930 38196 ®ie^nja^( ber Sejimolen, bic man für « beibepcilf, fiöngt »on bem ©rabe bet ©enauigfeit ob, reelle man »erlangt. 2)ie fe($6 erjlen 35eji» malen, melc^e für bie meijlen praftif4)en gaHe au6reidpen, ftnbet man, roenn mon bie erflen brei ungeraben 3n()Ier gotmel fi* auS bem’ it gläc^enin^alte beS JtreifeS ber ^albmeffer berechnen läßt. ®a r = fo folgt aiiS f = r** au* f =-^ . » = tmb 2« An An barauS p = 2 v/f © e i f p i e I e. 1) Sä fei r = 5'; wie groß ijl f? f = r*jT = 25 X 3 14159 == 78-53975Q'. 2) Sä fei d = 18"; man berechne p unb f. p = 18 X 3-14159 = 56-54862" f = 56-54862 x 4j == 254-46879 Q'. 3) Sä fei p = 20'; wie groß ifi f? f = p* : 4ir = 400 : 12-56636 = 31-83101 4) SBie groß ijl r, wenn f = lOQ' i|lt f : jr = 10 : 3-14159 = 3 1831 r = v/3-1831 = 1-784'. 5) SDlan beregne p, wenn f = i “ 15 ' 37Q-< ijl. f = IQ® 15Q' 37 " = 7381 "f» = 7381 X 3-141593 = 23188 097933 \/fT = \/23188-097933 = 152-276 p «= 2v/f>r = 304-552" = 4® 1' 4". •Reißen F unb f bie Släcfienroume jweier Greife, beren ^a(bme|fet R unb r jinb, fo bat man F = R® * unb f = r* >r, baber F ; f = R* : r®, b. b. bie gicidien jmeier Äreife oerbalten fidb fo wie bie Ouabrote ihrer ^^olbmeffer. Um ben glocbeninbalt s eineä Äreiäauäf^nitteä, bet bem SJJiftel« punftämintel o entfpricbt, iu beteebnen, bot man bie ^roporiion s:t*x = a:360, woraus r*jta T'Ka r 36Ö "liö ' 2 folgt, ober wenn man fiatt bieCänge I beä jugcborigenÄreiäbogenS fe|t, 1 80 b. b- ber gläcbeninbalf eineä Äreiäauäfcbnitteä ijl gfeieb bem im Längenmaße auägebrüdten ©ogen multiplijitt mit bem halben Slabiuä. Digilized by Google 96 h 2. 3. 6. ältifgai^ett. : ' 0 §. 117. i 95« benjcnigcn 'Mufgabcn, welken piet feine ?{ufl6fuiig beigegeben ,i|l, i|l biefelbe bereits in ben öorbcrgefienbcn Sc^rfägen entbnifen. 1. ®urd) brei fünfte, bie nicbf in einer geraben ?inie liegen, einen ÄreiS jn bef^reiben. Sen ÜJ?i tf elj)u n f t eines ÄreifeS ober ÄreiSbogenS iu finben. Sutd^ einen ^unff ber gjerifetie an ben ÄreiS eine Songente ju jteben. , Sur^ einen g)untfA (gig. 171) aufjerHIb beS ÄretfeS an biefen eine Sangente ju sieben. ÜRan Berbinbe ben gegebenen ^unff A mit bem Sentrum burdb eine @erabe AO, bef^ircibe über bie= fer als Stir^mejfer einen ÄreiS, roelcfjer ben gegebenen ÄrciS in ben fünften B unb C fc^neibet, unb jiebe bie®eraben AB nnb AC, fo finb biefe S^angenten beS gegebenen SreifcS. Siet;t man nämlicb OB unb OC, fo finb bie 9ßintel ABO nnb ACO als SBinfel im .^albfrcifc redete, bie ©eraben AB unb AC fleben aifo auf fenfre^t, fofglicf) finb )ie 93erübrungSImien . / " —-t' bie ^albmejfer OB unb OC beS ÄreifeS. 5. Sine ©erabe AB QSer^ültniffe ju §. 118. (3'ig. 172) im äußern unb mittlern t b e i l e n , b, b- f» f ba& fief) bie gnn je ©e= rabe jum großem 2lbfd)nitte »erhält, roic biefer größere 2lbf^nitt jum fleinern abfe^nitte^ gia- 172 y' 7' BF ; AB — BD. c // ^ AB : BD SS i|l aber SÜJan erri(bfc in A eine 0enfä rechte auf AB, fci)neibe bauen 'AC = iAB ob, befchreibe aus C mit bem .^ntbmeffer CA einen ÄreiS, unb jiebe burdf) B unb C eine ©erabe, luelche ben ÄreiS in jmeiq)unften D unb F fchneibef; ma^t man nun BE = BD , fo ifl bie ©erabe AB im qjunfte E nach ^«11 äujjern unb mittlern IQerbaltnilfc getbeilt. SS i(l nämlich AB eine Tangente unb BF eine 0efonte beS Ärei* fi'S, baber finbet bie q)roporjion 0tatt, baber auch Aß : BF — AB = BD : AB Digitized by Google 97 BF — AB = BF — DF = BD = BE, •, AB — BD = AB — BE = AE, mithin, wenn man in ber Ie|ten 'proporjion biefe Sßert^e fubflifuitt, AB : BE = BE : AE. Die ©crabc AB ifl alfc in bem fünfte E im Äußern unb mitttern iöerßalfnifl'e gcißcilt. 6. Sincn ÄrciSbogen AB (Jig. 173) ju ßalbiren. gig. 173. $Wan bef4>reibe au6 ben gnbpunften A unb B mit bemfelben .^olbmejfer ©5gen, JJ mcld)c jtc^ in C fcpneiben, uns jiepebieCO, ,. A melcpe ben gegebenen Kreisbogen in D fc^neis bet, fo i(l biefer©ogen im fünfte Dßolbirt. ' /» SJlacl> ber Konprufjion ctf(^eint nÄm« ber SSinfet AOB ßalbirt, oifo AOD = BOD ; baßer muß aueß ber SBogen AD=BD ''-N, / fein ' Dur^S .^albiren eine« jeben ber jwei B glei(ßen Sogen AD unb BD roirb ber So» gen AB in »ier gteieße 2ßeite getßeilt, unb bur4) fortgefeßteS Jjialbiren fann er eben fo in 8, 16, 32, 64, . . 2» gleicße Äßeile getßeilt werben. §. 119. 7. Die ^eriferie eine« Kreife6 in jwei gleidße t:ßeife JU tßeilen. SDlan jieße einen Dureßmeffer, fo ifl babutdß bie ^eriferic ßalbirt. Dureß fortgefeßtes .^albiren tann ber ÄreiSumfang in 4, 8, I6, 32, 64, . . 2" gleicße Sßeile getßeilt werben. 8. Die ^erifetie eineS KreifeS in fe^S gleidße Sß^ile JU tßeilen. SDtan trage ben .^albmeffer alS @eßne im Äreife ßerum. Uiimmt man pei folcße Sägen für einen einjigen , fo ifl ber ,«rei9 in brei gleicße Sßeile getßeilt. Dur^ wieberßolteS .^»albiren ber ©ßgen fann ber Umfang na^ unb nad> in 12 , 24, 48, 96, allgemein 3’2“ gleicße Sßeile getßeilt werben. 9. Den Umfang eines KreifeS in jeßn gleicße Sß ei le ju tßeilen. ÜRan fßeile ben .^albmeffer AO (fjig. 174) im fünfte B im Su» ßern unb mittlern SSerßoItniffe, unb trage ben gräßern 2ibf(ßnitt BO als 0eßne im Äreife ßerum. , Um bie Slicßtigfeit biefer 2iuflöfung no^juweifen, brau(ßt nur gejeigt ju werben, baß wenn man AC = BO maeßt, ber Sogen AC wirfli^ ber lOte Sßeil ber ^eriferie ifl. SHa^ ber SQorauSfeßung ifl AO : BO = BO : AB, baßer aueß AO : AC = AC : AB, folglicß ftnb bie Dreiedfe AOC unb ACB üßnlicß, weil ße ben ®infel A gemeinf^aftli^, unb bie ißn einf^ließenben 0eiten proporjionirt baten; Moenik, atemettie- 2. «ujt 7 j'Xi by Google 98 tB iji baj« bet Sffiinfel m »= p. ®a ba« A AOC gleid^fdjjenflifl, fo muf au^ baa A (»flig / aifo BC e= AC, folglich aud^ BC = BO, gia- 174. unb ba^«t SinW n = p fein. 68 tj! fomif m + n = 2p , unb wegen A^m-f-n, A-|-m-f-n = 4p. I)a ferner COD = A m -f- n , fo muf au^ COD = 4p fein. Steift man baber ben ®infel COD in »iec gleiche abeile, fo mu| COE == EOF = FOG = GOD = p = AOC fein, baber finb audb bie ©Sgen AC, CE, EF, FG, GD einanber gleich. iBogen AC ifl fomit bet 6te abeil ber halben, unb folglich ber lote abeil bet ganjen ^eriferie. »efra^fet man jmei fol^e SBbgen jufammen für einen, fo ijl bie Jtreiaiinie in 5 gleiche abeile getbeilt. Xiurch aHmäligeS .^albiren fann man bann ben Umfang auch in 20, 40, so, . . . 5.2» gleiche apeile tbeilen. V. Scbtfä'te imb jut Sefbflübung im $Batv({feit nnb 3InfIBf(tt. A. 8 e b t f ^ b <• §. 120. 1 . 58en einem fünfte, bet nicht ÜJlittelpunff eines ÄreifeS ip, laffen jtch }um Umfange beSfelben {letS nur je jmei einanbet gleiche @e> tabe lieben. 2. 9Benn man von einem fünfte aubetbalb eines .^reifes mehrere @e> tabe an bie ^eriferie jiebt, fo ijl biejenige bie fütjcpe, welche oer« Ifingert bur^ ben SKittelpunft gebt; jebe anbere i|l um fo lünger, einen je gröbetn SBinfel jie mit bet fürjejlen ©traben bilbet. 8. ©leicht ©ebnen finb gleichweit »om Senfrum entfernt. 4. ©ebnen, bie gleichweif »om Senftum abflebcn, finb einanber gleich. 6. 93on jwei ungleichen ©ebnen liegt bie grbfere näher am ÜJliffef. punfte. 6. ffienn ftch Jwei ©ebnen eines ÄreifeS fentrechf burchfchneiben, fo ifl »on ben oiet ©&gen , in bie fie bie q>ctiferie tbeilen, bie ©umme iweiet gegenübetliegenben gleich ber ©umme ber beiben anbern. Digitized by Google 99 7. Sine @erabe, U)el(^e auf ber Tangente eine6 ^leifeS im iBetü^* rungapunfte fenfre($t fiepet, gepet biir^ ben SRittelpunft bea ÄreifeS. 8. Sin SCBinfel, bejfen 0^eifel innetpalb bea Äreifed liegt, i(l glei(^ ber0umme jmeier ^eriferieroinfel, bie auf ben trögen fiepen, weldpe von ben 0dpenfe(n fenea gegebenen unb feinea 0(peitelR)infeia ab« gefcpnitten werben. 9. Sin SBinfel, beffen 0cpeitet aupetpalb b<6 Äreifca liegt, tfl gleicp bet Siffcreiii iweier qjerifetiewinfel , bie auf ben SSPgen auffiepen, meld>e von ben 0d)enfefn jcnea SBinfeia abgefcpnitten werben. 10. aSenn man um ein gleicpfeifigea Dreiecf einen Äreia befcpreibt, bie ju iwei 0eiten bea Z>reied(ea geporigen tSÖgen palbirt, unb bie .^albirungapunfte bur^ eine 0epne »erbinbet, fo wirb biefe bur($ bie von ipr gefepnittcnen SrciedEfeiten in brei gleicpe Speile getpeilt. 11. 2Benn in einem iCierccte jwci einanber gegenüberlicgenbe SBinfef ju« fammen glei^ jwei SHedpfen finb, unb man befcpreibt bur^ brei Sctpunttc beafelbcn einen Sreia, fo mup biefet aucp burep ben vier» teil Scfpuntt gepen. 12. Söefcpreibt mon um jebcd bcr Vier Steierfe, in wel^e ein SSierecf burd) feine beiben Diagonalen getpeilt wirb, einen Äreia, fo bilben bie SDlittelpnnfte bcrfclben bie Sctpunfte einea ^oraHelogramma. B. 2t uf gaben. §. 121 . 1. 2tua einem gegebenen fünfte einen Äreia ju befcpreiben, a) ber eine gegebene ©erabe betüptf, b) bcr einen gegebenen Äreid berüprt. 2. SOlit einem gegebenen .^albmeffer einen Ärcia ju befepreiben, a) ber burcp jwei gegebene fünfte gcpef, b) bcr bur4> einen gegebenen g)unftgept unb eine ©erabe bertiprf, c) bet burcp einen q)untt gept unb einen gegebenen Äreia be« rüprt, d) bet jwei gegebene ©erabe berüprt, e) ber eine ©erabe unb einen Ärcia berüprt, f) bet jwei gegebene Äreife berüprt. 8. Sinen Äreia ju fonflruiren, a) ber burcp jwei ^untte gept unb eine gegebene ©erabe berüprt, b) bet burd; einen gegebenen ^unft gept unb jwei gegebene ®e» rabc berüprt, c) ber einen Äreia in einem beflimmten fünfte unb eine ©erabe berüprt, (I) ber eine ©erabe in einem beflimmten fünfte unb einen Äreia berüprt, e) bet jweiÄreife unbjwar ben einen in einem beflimmten fünfte berüprt. 4. Sinen Äreia ju befcpreiben, a) ber jwei ©erabe unb einen Äreia berüprt, 7 * Digilized by Google 100 b) bet eine ©erabe unb einen Ärei6 unb but(^ einen je« gebcnen ^unff burc^jejjet, c) bet eine ©erabe unb jroei Äteife berührt, d) bet burc^ jaei fünfte ge^ef unb einen Ärciä berührt, e) bet bur4) einen q)unff ge{>ef unb jwei Äreife betu^rf, f) bet brei Äreife betü^rf. 5. 3n einet gegebenen ©eraben einen *3>untt ju fuc^en, »on weldjiem man an jmei Steife gleiche S;angenten jie^en fann. 6. Än jmei Äreife eine gemcinfi^aftlic^e Sangente ju iiejien. 7. iöon einem Äteife einen ÄreiSabfe^nitf abjuf^neiben , fo b>if bet in bemfelben liegenbe ^eriferieroinfel gleid) fei einem gegebenen SBinfel. 8. Uebet einet gegebenen ©eraben einen ÄreiSabfe^nift ju beft^teiben, beffen ^eriferieminfel gleich ijl einem gegebenen aBinfcI. 9. 3n einen ÄrciS ein ®reietf ju bcfd)teiben , baS einem gegebenen DreiedCe dbnlic^ if!. 10. Um einen Äteid ein J)teietf ju befd^teiben, ba6 einem anbetn ©teiedfe ä^nlic^ ifl. II. Pit QEUipfe. 8- 122 . I)ie gllipfe ijl jene frumme Sinic, in meldet bie ®umme bet gntfetnungen eines ieben ^>unfteS bon jmei gegebenen fünften einet gegebenen ©eraben gleid|j i|l. ffig. 175. ©inb A unb B (5ig. 175) bie jmei gegebenen fünfte, unb RS bie gegebene ©erabe, fo liegt ber ^unft M in bet gDipfe, wenn AM-f-BM = RS ift. X)ie jmei gegebenen fünfte A unb B peilen bie ©renn« punfte; bie ÜUitte 0 i^reS JibpanbeS AB wirb baS Sen t rum, unb bie gntfernung OA = OB bie gr^entri ji td t bergaipfe genonnt. Die ©eraben AM unb BM nennt man bie ? eit prahle n ober iöeftoren beS fünftes M. Digiiized by Google 101 ^albitt man bie fle^fbene ©ecabe RS im ^unft« T, unb trägt bU ^»älfte RT auf ber 93erlängerimg ber AB »on 0 biä C unb D auf, fo finb C unb D g)unfte bet gaipfej benn e6 ifl AC + BC = AC + AD = CD = RS unb AD + BD = AD + AC = CD = RS. X)ie ©crabe CD nennt man bie gro^e 2(re bet Stiipfe, unb if»re (Srbpunfte C unb D bie ©c^eitel. ®8 i|i aifo in bet eilipfe bie 0umme ber geitjlra^len eines jeben fünfte« ber großen 2(te gleic^. SBefcfjreibt man au« beiben ©rennpunften A unb B mit bet palben großen 2(k CO nac^ oben unb unten ©ögen, fo liegen bie Surc^fct)nitt65 puntte E unb F au^ in bet (SHipfe, »eil bei jebem bie 0umme bet beiben feitfirafilen ber großen lixt gieidp i)“}. 3't^ wo" E unb F eine @e= tabe, fo mu| biefelbe, »eil übet AB na<^ oben unb unten ein gleid)* fc^enflige« SreiedE gebac^t »erben fann, butef) ben ^unft 0 geb«n “"b auf AB fenfred)t fein. I)ie @etab« EF peipt bie f I e i n e i e bet SQipfe. §. 123. Die 0umme bet gntfetnungen eine« au^et^alb ber eilipfc liegenben fünfte« »on ben beiben ©rennpunf« ten i|l jlet« gtSger al« bie gro^e 2(re. Die 0umme bet gntfetnungen eine« innerhalb bet Sllipfe liegenben fünfte« »on ben b ei b e n © t e n n p u n 1 1 e n ifl fleinet al« bie gro^e 2(te. gig. 17«. e« fei N (5ig. 176) ein qJunff aufer^alb ber Sffipfe; »erbinbet man ipn mit ben ©tennpunften A unb B bur^ bie ©ernben AN unb BN, beten etflete bie Sffipfe in M febneibet, unb jiebf bie BM, fo i(! MN BN >B.M, folglicbau^ AM + MN+ BN>.\M + BM ober AN + B\>AM + BM; allein ba M ein ^unft bet Sllipfe i|l , fo ij^ AM-f-BM = CD bapetmuf AN + BN>CD fein. Sür ben ^unft N', »et(f)et innerhalb bet Sllipfe liegt, jiebe man eben fo AN' unb BN', »etlangete bie le|tere, bi« fie bie Sllipfe im fünfte M' f^neibef, unb iie^e bie ©eräbe AM'. fWan hat nun AN' < AM' -JM' N', d by Google lOS bfl^er au(i|> AN' + BN' < AM' -f M'N' + BN' ob« AN' + BN' ilfe eines gabenS in einem 3uge ju befepteiben. £Kan fepe in bie (Brennpunfte A unb B jmei 9labeln , unb lege 103 tim biefe[6en einen ^aben, beffen Sänge gleich ifi AB-}-CD> unb bejfen Snben jufammengebunben ftnb. SHimmt man nun einen 3r|leiren, bet Sänge bet gro|en "Uxe CD gleit^. 3. Sine getabe Sinie ju Riehen, meiere bie Sllipfe in einem gegebenen fünfte M (gig. 178) hetüht*gifl. 178. B ÜWan jiehe an ben ^unft M bie Seitflrahfen AM unb BM, unb netlängere B.M bis E, fo baß ME — AM i|h <0obann jiehe man bie ©erabe AE unb halbite fie in F; bie buri^ F unb M gejogene ©etabe FM ifi nun bie nerlangte Sangente. Stimmt man in ber ©eraben FM außer M irgenb einen ^unll N, unb jieht bie Sinien AN, BN unb EN; fo ijl megen ME = MA ba8 2)reiecb AME gleichfc^enflig, baßer bie au8 bem 0cßeitet H jur UBitte ber ©runblinie gejogene ©etabe MF fenfred)t auf AE. SDBeil nun FN = FN, AF = EF, unb AFN == EFN = R, fo i)l A AFNe^ EFN, baßer AN = EN. 3tbbirt man beiberfeitS BN baju, fo i|l AN + BN =EN 4* BN ; aber EN + BN > BE , baßer oudß AN -f- BN > BE , ober weit BE = BM + ME = BM + AM = CD i(l, aueß AN 4- BN > CD ; ber ^unft N liegt baßer außerßalb ber SUipfe; unb ba biefeS non je« bem fünfte ber ©eraben FM, ben einjigen ^unft M ausgenommen, bemiefen »erben fann, fo folgt, baß FM bie Sllipfe im fünfte H berührt. 2luS ber 2(u|l6fung biefer 2lufgabe ergibt fieß ber 0aß: 3ebe Sangente bet gllipfe mo^t in bem tBerüß« rungSpunfte mit ben beiben Seit|lrahlrn glei^lolSintel. 68 i|I nämlicß in brm gleicßfcßentligen A AME ber IBBinfel a = b, aber a =c, baßer au^ b = c. Oigilized by Google 104 ' in. |lit gppctbrl. §. i25. Die ^»pperbel i(l eine fnimme 8inie, in roel(^et bet Unfetf4>ieb bet Snffetnungen eines jeben qJunJteS »on jnjei gegebenen fünften einer gegebenen ©eraben glei<$ ifl. ®inb A unb B (gig, 179) bie gegebenen ^^unffe, unb RS bie gegebene ©erobe, fo liegt bet q>unft M in bet J?BBerbef, wenn AM — BM = RS ifl. Die fünfte A unb B beiden bieSBrennpunffe, bie SKUfc 0 ibteS ^ibflonbeS AB baS 3«ntri:tn, unb bie gntfetnung OA == OB bie erjenf tijifäl bet .^Ppftbel; bie ©eraben ,\M unb BM finb bie C e i t fl t a b I e n bcS ^unlteS M. SCBitb bie gegebene ©etabe RS in T balbirf, unb bie .^alfte RT Bon 0 ttu6 bis C unb D aufgetragen, fo finb C unb D jtuei q>unfte bet .^bpetbel ; benn man b«t BC — AC = BC — BD = CD = RS Die ©etabe CD nennt man bie a u p t a j e ober e r (l e 3t ; e , unb ihre enbpunfte C unb D bie bet Jjpperbel. 3n bet .^ppetbel ijl oifo bieDiffetenj bet 8eit)ltab* len eines feben g)untteS bet erflen 3(te glei^. SBefebreibt man aus ben beiben ®cbeiteln C unb D mit bet gjtjen. Hrijitfit AO als Jjalbmeffer naef) oben unb unten 93ögen, mclctje fiep in ben 7>unften E unb F burcfifdjneiben, unb jiebt bie ©etabe EF, fo mu^ biefe butef) baS Sentrum 0 gepen unb auf bet etflen 3tj'e CD fentreept fiepen. Die ©etabe EF mirb bie f o n j u g i 1 1 e ober j w e i t e 3t ; e ber .§p. petbel genannt. §. 126. Siegt ein u nf t>u per pa l b bet Jjpperbel, fo i|l bie Diffetenj feinet 3tbflÜnbe Bon ben beiben ©tennpunf« Din;: W. t .1 I I , -^ Ic 105 fen fftinet alS bie «tf!< Hxe. 8iegt bagegen ein ^unft innerhalb ber^pperbel, fo ifl berUnterfd^ieb feiner2lb' (länbe «on ben 93ien n p u nf t en gr&^ev al6 bie etfle 2(jce. Ria- 180. liege bet ^unft N ('5ig. 180) außerj>alb ber ^pperbel; jicßtman ju ben Srcnnpunften A unb B bie ©eroben AN unb BN, beren legiere bie.^Opcrbcl in M f4>neibct, fo ijl, wenn man nod) bie AM jießt, AN—MN AM' jießt, AN'> AM'— M'N', unb »enn man beiberfeil6 BN' abjießt, AN'—BN'>AM'— M'N'— BN', ober AN' — BN' >AM' —BM'; nun i(f AM'-BM'=CD, baßer muß AN' — BN'>CD fein. 2(u6 ben »orßergeßenben ®eißen folgt: 3BennbieI)ifferenjberSnffernungeneinee'Punf» te6 oon ben SÖrennpunften einer .^ 9 P«tbel fleiner ijl al§ bie erfie^re berfelben, fo liegt bieferpunft außer, ßalb ber Jppperbel. bagegen bie Differenj ber Tlb* flanbe eine6 punftea eon ben jmei SB r e n n p u n f t en einer •^ppetbel größer al6 bie erfle^lre berfelben, fo muß bie. fer punft innerßalb bet Jppperbel liegen. ,’l II f g a b e n. §. 127. 1 . aöenn bie erile ilre unb bie beiben Sörennpunfte ge» geben finb, beliebig oiele punfte bet .^pperbel ju b e jH m m e n. "Digitized by Google Gö fei CD (5ig. 181) bi« ctjle 2(re bet ^t)})ctbel, A iiiib B feien bie 93renn))unfte. SWan nehme in bet ©etaben BX itgenb einen ^unft V, unb befd;teibe mit bem ^albmeffct CV oii6 ben beiben ©tennpuntfcn nad> oben unb unten SBögen, hietauf eben fo mit bem ^»albmejfet DV; fo met-- ben bie Sutchfchnittbpunttc M, N, M', N' biejet SÖftgen in bet ^hpetbel liegen , bcnn eö iff 95. füt ben ^untt M AM — BM = CV — DV = CD. BJimmt man in bet ©etaben BX »etf(^iebene anbete fünfte unb »etfahtf auf bie eben angegebene SCBeife, fo fann man babutch beliebig »iele fünfte erhalten , reelle aße in bet Jjppetbel liegen. 2 . ® u r ^]|e inen ^ u n f t M (5ig. 182) an bie.^t)petbel eine Tangente ju führen. gig. 182. 9Ran jUh« ju bem fünfte M bie Ceitflrahlen AM unb BM, fchneibe ME =BM ab, »erbinbe E unb B burch eine ©erabe EB unb halbire biefe in F; bie burd) F unb M gezogene ©erabe FM ijl bie »erlangte Sangente. SBimnit man in bet 8inie F.M anher M irgenb einen qjunft N an, unb jicht bie ©etaben ^N, BN unb CiV, fo ifl EN=BN; benn im gleich* fchentligen Sreiecte BME i)! bie ©erabe FM fenfrccht auf BE; in ben S)reiecfen EFN unb BFN finb bähet jroei ©eiten mit bem eingef^Iojfenen SBinfel gleich, fomit A EFN^BFN unb EN=BN. ®S i(i nun ANunft eon einem gegebenen fünfte eben fo weit entfetnt ifl, aia bon einet gegebenen ©etaben. gig. 183. 3P A (5ig. 183) bet gegebene ^unft unb BC bie gegebene ©etabe, fc liegt bet arabel fleht »om ©rennpuntte weitet ab aia »on ber Slichtungaiinie. 3e» ber yunft innerhalb ber «porabel fleht nähet am ©tenn» punfteaiaanbetStichtungaiinie. 3|2 N (5ig. 184) ein ^unft oujjerhalb bet ^arabd, fo jiehe man »on N auf BC bie 0entred;fe NQ/ welche »erlängert bie ^arabel im fünfte M fdineibet. Sieht man nun AN unb AM, fo ifl AN-|-MN>AM, unb wegen AM=MQ auch AN-fMN>MO, folglich AN>MQ—MN, obet AN > NO. 8iegt bet ^)unft N' innerhalb ber Parabel, fo fälle man wiebet auf BC bie0enfredhte N'O', welche bie QJarabel in M' fchneibet, unb man hat, wenn bie ©etaben AN' unb AM' gejogen werben, AN'ie Parabel in einem 3uge ju befdjreiben. 819. 188. B € ÜRan ne^me ein ^bljerne« tec^)t»inflige« 3)reiedf EDF (gig. i86j unb einen geben bon bet 8dnge DE, befepige ba6 eine Snbe be« geben# im ©rennpunfte A unb ba# anbere in E. Dann Idpt mon baSDreied mit berÄatbete DF Idng# bet 9li(^tung8linie fottgleiten, unb fü^tt iugleid> ben Sci^tnpift M ldng§ ber Äatftetc DE fo fort, bap bobei ber gaben im= met praff gefpannt bleibt; ber ®tift M befc^reibt baburrfj ben obetn 2lp ber Parabel. Denn e8 »irb bei jeber Fege beö DreietfeS bie gabenldnge AM bem abge»ictelten 0tütfc DM ber Äatpefe DE gleid; fein, b. p. eS »irb in ieber 2agc ber ^unft M 00m ©rennpunfte eben fo »eit abpepen al« »on ber SRicptungeiinie. Um eben fo ben untern 2(p ber q)arabel ju er» palten, »irb man ba# Dteied fo umbrepen, bap bie Äatpete DF in bie 9li(ptiing GC fdllt. 3. Dur^ einen q>unft M (gig. 187) ber Parabel an biefe eine Sangente }u fiepen. 9Jlan fade non M auf bie SRicptungSlinie BC bie Senfreepte MP, jiepe bie ©erabe AP unb palbire pe in D; bie burep D unb M gejogene ©erabe DM ip bie »erlangte Sangente. Digilized by Google 110 ffifl- 187. SKan neunte in b« ©erabcn DM ouper M irgcnb einen q>unff N an unb jiebe AN, PN unb NOJ_BC. SBcil baS Dreiedt AMP gleic^fcbcnflig ifl, fo ipMDJLAP. ®ie Dreierfe ADN unb PDN jinb nun fongruenf, ba fie i»ei 0eiten mit bem eingcfcblojfcncn 9Binfe( glei(^ bat*«» ; habet ifl AN =PN, 66 ij] nun PN > NQ, habet mub auch AN >NQ fein ; bet ^unft N liegt alfo aubctbalb bet ^atabei. I)a6felbe fann »on jebem 'punfte bet DM, ben einjigen ^unft M au6genommen , bemiefen »erben; aifo ifi DM eine 3;angente bet ^atabel. Da bet UBinfel a = b i(l, fo folgt: ®ie Songente einer ^atabel balbirt ben SBinfel, ben bet Seitflrabl be6 a5erübrung6pun!te6 mit einer butdb biefen ^unft batollel mit bet Hxi gcjogenen @e= taben bilbet. 910« r Digilized by Google cBmettec ®|)cU. i^ie @teteometrte. 6rfler ätbfc^nitt. Gerate li^ititett itttl^ ^betten im 9taum«* §. 131 . 3n>ei @erabe im Oiaume fünnen eine breifa^e Sage gegen einonber ^oben: enfroebet finb fie p a t o Ile I , »enn fie nomIi(^ in ber» felben SUc^tung fortloufen, fo ba^ fie überall biefelbe gntfernung »on einanber ^aben , ober fie treffen fiinlüngli(^ verlängert in einem QJuntte jufammen; ober e6 ijl feine« von beiben bcr gaff, bie ©e-- raben ge^en an einanber vorbei, o^ne f>araUeI jii fein nnb ofine lief) iu f(f)neiben. 3n ben erfien jivei gäHen müffen bie beiben ©eraben in ber nämlichen ®bene liegen , im britten gatte befinben fie (i^ in jtvei verf^iebenen fibenen. §. 132 . Sine gerabe Sinie im Slaume fann gegen eine Sbene eine jtveifa^e Sage ^aben, entmeber ifl fie mit i^r ))ataller, tvenn fie überall bie nümlic^e Sntfernung von ber Sbene paf, ober fie ifl gegen bie* felbe geneigt, wenn fie fi(^ na^ einer 0eite ^in ber Sbene näf)ert, unb naef) ber anbetn 0eite von ipr entfernt. Sine ©erabe, «vel^e mit einet Sbene forattel ifif fann, ba fie von bcr Sbene fietä gleich weit entfernt bleibt, mit ber Sbene nic^t jufammentreffen, wenn fie and) noef) fo weit verlängert wirb; eine gegen bie Sbene geneigte ©erabe bagegen mu^ ^inlünglid^ verlängert bie Sbene in einem q)unfte fc^neiben , unb jtvar auf berjenigen 0cife, nad) welcher fiin fie fic^ ber Sbene nähert. Ser ^unft, in ivelci)em eine gegen bie Sbene geneigte ©erabe mit berfelben jufammen« trift, ^ci^t bcr g u ^ p u n 1 1 biefet ©eraben in bcr Sbene. Sine gegen bie Sbene geneigte ©erabe fann wieber fenfrec^t ober f4)ief auf berfelben auffle^en. Sine ©erabe ^ei^t auf ber Sbene fenf« rcc^t, wenn fie auf allen bur^ if)rcn gufpunft in biefer Sbene gejoge« nen ©eraben fenfrcd)f fie^t; im entgegengefe^ten gatte ifl fie auf bet Sbene f ^ i e f. Digitized by Google 3Benn eine@erabc auf einet Sbene fcf)ief jlefit, unb man fällf »on einem ^untt betfelben eine ©enfrecbte ouf bte (Ebene; fo fieipt bie gerabe Cinie, welche bcn Suppunft jener (Seraben mit bem guppunfte bet ©entrechten »erbinbet, bie ^rojefjion jener ©eraben in ber (Ebene; unb ber SBin« tel, ben bie fc^iefe ©orabe mit iprer ^rojetjioii bilbet, ber Steigung 6« min fei ber ©eraben gegen bie (Ebene. ©tept AB (gig. 188) fc^ief auf ber (Ebene RS unb ijl BC j_(EbeneRS, fo ijf AC bie ^rojetjion ber ©eraben AB in ber (Ebene RS, unb BAC ber SleigungSminfel ber AB gegen bie (Ebene RS. §. 133, föergleichf man jmei (Sbenen hinfichtltc^) iptet gegenfeitigen Cage, fo jtnb biefelben entroeber einanber parallel, wenn alle fünfte ber einen ®bene »on ber anbetn glei^ weit abßepen; ober e6 ftnb biegbenen gegen einanber geneigt, wenn ße ßcp auf einer ©eite nÄpern, auf ber anbern entfernen. 3n>ei parallele gbenen fönnen, ba ße ßet§ benfel< ben tlbjianb »on einanber paben, aucp nocp fo »eit erweitert, nie jufom= menfrejf^en. 3»ei gegen einonber geneigte gpenen muffen pinlänglich er. »eitert einonber burchf^neiben , unb s»ar iß ber ©urchfdpnitt eine g e« tobe Cinie; benn »äre bie ©urchßhnitteiinie nidpt gerabe, fo müßte ße burch btei fünfte gepen, »elcpe nicht in betfelben ©eroben liegen, unb es TOÜtben olfo bur^ jene brei gjunfte j»ei »etfchiebene gbenen gelegt fein, was ni^t mSglich iß. 3Benn man in einem fünfte ber ©ur(h= fcpnittSlinie i»eiet gbenen ouf biefelbe in le-- bet gbene eine ©entrechte errichtet, fo peipt ber SBinfel, welchen biefe ©entred;ten ein* fcpliepen, ber Sl ei g u n g 6 w i n t e l ber bei* ben gbenen. 3ß (5'3 189) C0J_AB unb DOj_AB, fo iß COD berSteigungSwintel ber jweigbenen BR unb BS. 3»ei Sbcnen ßepen auf einonber fent. red)t, wenn ibr SReigungSwintel ein recbter iß; im enfgegengefebten goHe ßepen ße fh'ff gifl. 189. B auf einonber. B A §. 134. Die gegenfeitige Steigung »on brei ober mehreren in einem fünfte jufammenßopenben gbenen wirb ein Ä 6 r p e r w i n t e 1 , oticp .Ü b r p e r e d. Digilized by Googl 113 genannt. Set ^unft, in welchem alle (Sfcenen jufammenfreffen , ^eifjt bie 0pi^e ober bet getaben Sinicn, in benen fte^ je iwei nad) einanbcr folgenbe gfcencn burdjfc^neibcn , nennt man bie Äan» ten, unb bie SBinfel, welche je iroei auf einanbet folgenbe Äanten bil» ben, bie .San tenw infei. gig. 190. Um einen ÄStperroinfcl anjugeben, nennt man entmebet blo^ ben I8uc^|faben an bet 0pi^e, ober pglcicf; aud^ einen tBucb|laben an jebet Äonte, fo fcboc^, bag bet Söu^jlabe an bet 0pi|e babei bie erfle 0telle cinnimmt. 3n bem Sorpermintel 0 ober OABC (g. 1 90) finb OA, OB, OC bie .Santen, unb AOß, AOC, BCC bie Santenminfel. 4>inficbtlid^ bet 2(njapt bet Santen i|l ein SBtperminfel brei*, »icr» obetmcptfan* tig, je nac^bem et btei, oier ober mefjrere Santen b«t. I. dS^erabt l'inirn im Hanme. §. 135. SBenn bie 0^entel eines SBinfelS im Blaume mit ben 0c^enfeln eines anbern IBJinfelS gleidje 9iicf)tung paben, fo mu^ au^ bie ?(bmei> (^)ung bet JRicptungen in beiben SBinteln bicfelbe fein. 6S gilt alfo aucp in SÖejug auf ben Staum ber 0ap: fflintcl, beten 0(pcnfel nacp berfelben 0eite pin parallel laufen, finb einonbet gleicp. 11. (Bcrabe hinten mit bet (Ebene oerglidjen. Ceprföpe. ''> 1 §. 136. 1. SBenneineÖerobe auf jmeiSetoben, »el^eburcp ipren guppuntt in einetgbenegejogen »erben, fenf. reept fiept, fo i(l fie auep auf jebet anbetn butep ip« ten gufpunft in biefer gbene gesogenen ©eraben, unb fomit ouf biefet gbene felbji fenfre^t. gS fiepe (5ig. 191) bie@etabe MO auf ber gbene RS fo auf, ba^ fie mit ben in biefer gbene burep 0 gesogenen ©eraben OA unb OB reepte SBSinfel bilben ; fo ifi s'i bemcifen , bap fie auf jebet but^) 0 »iUfütliep gesogenen ©eraben, s- oof OC, »elcpe bie 93erbinbungSIinie AB in C fepneibet, fenfreept fiept. — llüon »erlongete bie ©crobe MO unter bie (Sbene RS, maepe ON = OM, unb siepe MA unb NA, fo finb bie recptminfligen Sreieefe MOA unb NOA tongruent , »eil fie bie Uiben Satpeten »ecpfcifeitig gleicp paben ; folglicp i|i auep MA = NA. Siept mon MB unb NB, fo finb auS bemfciben (Srunbe au(p bie teept-- »infligcn Sreiede MOB unb NOB fongtuent, baper MB == NB. Sie MoSnik, ewmcuit. 2. nu|t. 8 Digitized by Google 114 ©teiunfte fenfted;f ffeben, fo miiffen fie in einer unb betfelben Qgbene liegen. ®e feien (gig. 192) bie@eraben OA, OB unb OC fenttec^t auf OM, fo mflffen fie in bet nämti^en ®bene liegen. SWan bente fief) butcb OA unb OC bie ®benc AOC gelegt, auf wer» dbet na^ bem eben bewiefenen ©age bie ®etabe OM fcnftccbf ffebt , fo muff au^ bie OB in biefet 5bene liegen. SGBätc biefeS nicht bet galt, fo muffte ffe übet ober ^1 unter biefet ebene ju. liegen fommen. Blebmen wir etfflidff an, bie OB liege über bet ebene AOe, unbbenfen mit un8 burdb benfffiinfel MOB eine ebene gelegt, welche bie ebene AOC in bet ©etaben OD butchfeh” eiben würbe, fo mügte betSCBin» fei MOB <; MOD fein; allein ba bie SutebfebnittMinie OD in bet ®bene AOC 115 »erauf OM fenf«^fi(f, fo möffe MOD = R, femit MOB t tnSgli^ fein, Sben fo fann gejeigt »erben , baß OB nic^t unter ber 5bene AQC liegen tiane, folglich) muß OB in ber Sbene AOC felbfi liegen. 8. 137. 3. 3n einem fünfte einet Sbene fann auf biefe nur eine ein> $ige 0enfre(^te erri(^tet wet< be n. 66 fei OAXRS (Sig. 193), fa fann nicf^t noch eine jmeite ©erabe, ). 03. OB, im fünfte 0 auf RS fenfrec^t fleßen. IDenft man fu^ nümli^ bur ben SBinfel AOB eine Sbene gelegt , »el(be bie Sbene RS in einet geraben Sinie OC f(^neibet, f» i|i ofenbat bet ®infcl BOC <; AOC ; aber nach ber lQorau6febung ijl AOC = R, baßer BOC < R, mitßin fann OB nicßt fenfre(^t auf RS fein. 4. IBon einem fünfte außerßalb einet Sbene fann auf biefe nur eine einjige 0enfre^te ßetabgelaf« fen »erben. »lg. 193. ' 56 fei OA _L RS (Sig. 194), fo fann au6 bem fünfte 0 nicßt nocß eine )»eite @e< rabe, j. ©. OB, auf bie Sbene RS fenfrecßt ge» führt »erben. X)enft man ßcß nümlidß burdß ben ®infel AOB eine Sbene gelegt, »el(ße bie Sbene RS in bet geraben 8inie AB f^neibet, fo iß in bem Dreiecfe AOB nacß ber ?8otau6» jefung bet ®infcl A ein recßter, baßer muß B ß'9 f*i” , e6 fann baßer OB auf bie Sbene RS ni^t fe.' recßt ßeßen. 5. 3)ie 0enfrecßte iß bie fürjeße ©erabe, »el^e »on einem fünfte außerhalb einet Sbene auf biefe ge» jogtn»erbenfann. i 3ß nomlicß OA J_RS, unb OB irgenb eine f<ßiefe ©erabe, fe muß in bem recßtninfligen 2)reie(fe AOB bie ^atßete OA tleiner fein al6 bie .^Pbolß^nufe OB. ^u6 biefem ©runbe bient bie 0enfre<ßte «on einem fünfte auf eine Sbene, um bie Sntfernung biefe6 ^unfte6 oon ber Sbene |u be» A* ' ßimmen. §. 138. 6. ®enn man bon einem fünfte außerhalb einet Sbene ju biefer btei gleicß lange gerabe Sinien fießt, unb burrß bieSußßunfte berfelben einenÄtei6 befcßreibt, fo füllt ber aBittelpunf t biefe6 Äreife6 mit bem 8 * Digitized by Google 116 Supt)unfte b«t 0enft(($r ten, »eltbe »on ienem fünfte auf bi« Sben« b«f’ abgeraffen wirb, iufam» men. ®e fei (5ig. 195) AO =BO =CO, unb OPxRS, fo muf P bcr SDJitfer* jJiinff be6 buron ber gJrofefjion AC Bet» fdjiebene ©crabe AD=AC, ferner noe^ bie CD unb BD, fo i|t baS SreiedC BCD bet C rccbtwinflig, baberBCa6 SJreiedE BDE ifl aifo gl(i(bf(b<>’l(ig , unb e8 mu| bie ©erabe BA, melcb« barin btn 0cbeitel B nit bt ">'1 AB , fo mügten biefe beiben ©etaben binlänglid) verlängert, ba fte in berfelben ©bene liegen, nofb» menbig in einem q>unffe, j. 93. in 0 jufammenfreffen. 3)a aber CD, fomit aucf) jebet ^unft ihrer 93etlängerung in ber ©bene RS liegt, fo mfigte bie ©erabe AB im fünfte 0 mit ber ©bene RS jufammentrefcn, »ab bet Annahme AB || RS miberfpricht. ©0 mug folglich CD || AB fein. IS. SBenn eine aufethalb einet ©bene liegenbe ©erabe mit einer ©etaben, mel^e in ber ©bene liegt, lel ifl, fo ifl bie etflere ©erabe mit bet ©bene felbfl t>atallel. Big. 202. H K 1 Ti ®« fei (gig. 202) AB || CD , fo mug au^ AB || ©bene RS fein. S3äre AB nidgt bataUel mit ber ©bene RS, fo mugfe bie gehörig vets längerte ©erabe mit ber hinlänglich ermeiterten ©bene in einem fünfte 0 jufammentreffen. liefet fpunft miigte nun, ba er fleh fowohl in bet ©bene ABCD, in meldet bie 93erlängerung bet AB liegt, al8 au^ in ber ©bene RS befinbet, nothwenbig in bet 2)urchfchnitf8linie CD bet beiben ©benen liegen ; AB unb CD mürben alfo verlängert fich in einem fünfte 0 fchnei« ben, maS nicht fein lann, meil AB || CD angenommen mürbe. ©8 ifl bem< nach nicht mSglich, b«g AB mU btt ©btiw RS ni*t vataUel märe; folglich »ug ABI RS feil», 7 r Digitized by Google 119 2( u f 9 0 b e n. §. 140. 1 g 6 foK »on einem fünfte A (gig. 203) au^et^alb einer ebene RS auf biefc eine [entrechte ©etabe ge» fällt werben. !Olan jiebe in ber ebene RS eine beliebige ©erabe BC, fälle in ber burc^ A unb BC gelegten ebene »on A auf BC bie 0enfrecf)te AD5 in D erriete I '\ Jfy / man in ber ebene RS auf BC bie 0en(» ! ' /^ / rechte DE, unb führe barauf in ber burc^ ' V ' Ax / ben SCBintel ADE gelegten ebene »en A auS bie ©enfrec^te AF ; fo jfeht AF and) fenfred)t auf ber ebene RS. gifl. 20.3. — / \a -/n p j' / /EUm bie 9lid)fi9teit biefer 5lufl6fung ju erweipn, iiefie man in bet ebene RS butd> F bie FG ]| DB. Da bie ©erabe DB auf DA unb DE fenf» recht fleht, fo ifi fie auch fenfrecht auf ber burci) bief' beiben ©eraben ge» legten ebene ADE, unb weil FG || DB, fo mu^ aucp FG auf bet ebene ADE unb fomit auf ber ©eraben AF fenfrecfft flehen. 2Benn aber bie ©e» rabe AF foroohl auf FG al8 auf DF, welche beibe in ber ebene RS liegen, fentrecht fleht, fo ifl fie audh fenfrecht auf ber ebene RS. 2. es foll in bem g>unlte A (gig. 204) einet ebene RS auf biefe einefentrechte ©erabe ertich» tet werben, ÜRan fälle oon einem beliebigen au» herhalb ber ebene RS liegenben fünfte B auf biefelbe eine 0enfrechte BC, unb jiehe in bet burch A unb BC gelegten ebene butch A bie AD II BC; fo mup au^ biefe ©erabe -AD auf ber ebene RS fenfrecht flehen. 3. es foll burch einen ^unft auherhalb einet ebene mit biefer eine parallele ©erabe gezogen werben.^ 5Dlan lege but^ ben gegebenen ^unft eine ebene, wel^e bie frü» here in einer ©eraben fi^neibet, unb jiel;e burdh jenen ^unft eine g>atal» leie iu biefer ©eraben ; fo wirb biefelbe auch mit bet gegebenen ebene pa» rallel fein. 111. CSbenen mit (Ebenen uerglithen. SchrfäM" jR/~ >1 B l *77 §. 141. 1. 2Benn jwei parallele ebenen »on einer britten ge« fd;nitten werben, fo finb bi« chf(hnHthlini(R Digitized by Google 120 0fi8. 20Ö. g« feien (gifl. 205) bie gbeneii AR uiib CS fiarnllel, unb man fcbneibe fte butcf> bie gbene ABCD, fo muffen bie ^ 3)urd)fc^niti8Iinien AB unb CD parallel fein. SBciren bie 8ir nien AB unb CD nic^t pataN lef, fo müßten fte gepotig »et» länger», ftcp in einem ^unhe, j. 58. in 0 fcpneiben. 2>iefer ^unft müpte nun foiüopt in bcr gbene AR aI8 in ber gbene CS liegen, roaS nicpt fein fann, »eil biefe Sbenen nadp ber 93otau6fepung parallel finb unb fomft feinen gemeinfdpaflli^en gjunft paben fbnnen. QS mup aifo AB || CD fein. 2. aScnn eine ©erabe auf einer gbene fentrecPt fiept unb man legt bur^bie®erabeeinegbene, foiflbiefe auf ber erfletn gbene fenfre^t. ffig. 206. A fei ABJ_RS (gig. 206), fo muft au^) bie gbcne ABCJ_RS fein. SWan jiepe in ber gbene RS auf bie gemeinfcpaftlicpe 2)urcpfd)iiitt6(inie BC bie 0enfrecpte BD, fo ifl ABD ber fReigungSroinfel ber gbene ABC gegen bie gbene RS. Ser SÖinfel ABD aber ifl megcn ABJ_RS ein realer; folglicp ifl bie gbene ABC XRS. §. 142. 3. SBenn eine ©erabe auf jmei gbenen fenfredpt fiept, fo muffen biefe Sbenen parallel fein. Sa fei AB (5ig. 207) fenfrecptauf . ben gbcnen AR unb BS, fo mup AR || BS fein. 9Bären biefe beiben gbenen nicpt parallel, fo müpten pe pinläng< licp crmeifert in trgenb einer gera» ben Cinie PQ fepneiben. Blimmt man in biefer Pinie einen beliebigen ^unft 0 an, unb jiept OA unb OB, fo erpält man ein Sreietf ABO, roorin jmei recpte SBinfel OAB unbOBA »orfämen, »aa nicpt fein fann. Sie 2lnnapme, bap pcp bie beiben gbenen AR unb BS burtpf^neiben, füprt alfo auf eine Ungereimtpeit; folglitp mup AR II BS fein. 4. SEßenn eine ©erabe auf einer »on jicei parallelen gbenen fenfreept pept, fo ip fie au^ auf bet anbern fenfre4><> Sig. 207. Dhj:;;-- by Googk 121 Sig. 208. u Fj^ R / bet ebene BS fo auf, b< forflIicf> i(l ABJ_BS. 69 fei (gig. 208) AR || BS, unb ABx AR, fo mup au^ AB J_BS fein. SD?an jiepe Outc^ B in bet ebene BS jwei beiiebige @e< tabe BC unb BD. 2)enft man fief» nun burd^ A unb BC eine ebene gelegt, mel^e bie ebene AR in betSeroben AE ft^neibet, foijt AE || BC, baper BAE-f ABC=2R, unb wegen BAE =R, au(^ABD =R. Senff man jTdj) ferner auc^ bur^ A unb BD eine ebene ge> tegf, mefdSje bie ebene AR in ber Oeraben AFburc^fc^neibet, fo i)l AF || BD, baperBAF +ABD = 2 R, unb wegen BAF=R auc^ ABD=R. 3)ie@erabe AB fiept bemnaepauf fte mit BC unb BD reepte SBinfel bilbeti, 6. eine ©erabe ifl gegen jwei parallele ebenen gleicp geneigt. »ifl. 209. F -- AI, 'ir —'C' 69 fei (gig. 209) PQ || RS. gollt man bem fünfte 0 ber ©eraben BO auf bie ebene RS eine 0enfrecpte OC, melcpe bie ebene PQ im fünfte D fepneibet, fo mup au^ OD_LP0 fein. 8egt man nun bur^ ben jßinfel BOC eine ebene, melcpe bie ebenen PQ unb RS in ben ©eraben AD unb BC fepneibet, fo mup AD || BC, bapet bet SCBinfel DAO =CBO fein. ®er5GBinfel DAO i|l aber ber fUeigungOroinfel bet ©eraben BO gegen bie ebene PQ, unb CBO ber Bleigungdwinfel ber BO ge» gen bie ebene RS; aifo ifl »irffi^ bie BO gegen bie beiben parallelen ebenen PQ unb RS gleicp geneigt. Aufgaben. 8. 143. 1. eo foll butdp einen qjunft in ober auperpalb einet ebene auf biefe eine fenfredbte ebene gefftptt werben, ÜJlan iiepe burep ben gegebenen ^unft auf bie ebene eine fenf» re^te ©erobe unb lege bobur* eine ebene, fo ifl biefelbe auf bet erfien ebene fenfreept. • . . . i 2. eo foll burdp einen g>un*f A (gig. 210) auperpalb et n er ebene RS mit biefer eine parallele ebene gelegt; werben. Digitized by Google i22 SKan fdffe »on A eine ©enfred^te AB auf bie ebene RS, jiel^e »on B au6 in biefer ebene jwei beliebige @etabe BC iinb BD, fü^re fobonn in bet burd> ABC gelegten ebene bie AE || BC, unb in bet bureb ABD gelegten ebene bie AF || BD. Segt man nun burd^ ben SEBinfet EAF eine ebene , fo mu^ biefe mit bet ebene RS bocadel fein. QS ifi nämtid^ wegen AE || BC unb ABC =R, auef) BAE =R; ferner me« gen AF I| BD unb ABD=R , autf) BAF = R. ®ie ©erabe AB jle^t aifo auf AE unb AF , ba^et auef) auf ber burd) ben SBinfel EAF gelegten ebene fenfred;t. lEBenn aber AB auf bet burc^ EAF gelegten ebene unb jugleicf) auf bet ebene RS fenfrec^t jte^t, fo müjfen biefe ebenen parallel fein. IV. ^Srptrminktl. 8e^rfd|e. §. 144. 1. 3n jebem bteifantigen Äörpermintel ijl bie ©umme »on ie iwei Äantenwinfeln großer aI6 bet britte. Um bie 9lid)tigteit bie^ fe8 ©ogeS nad^juroeifen, foU (5ig. 211 ) aus ben brei ebenen SBinfeln AOB, BOC unb COD, »on benen BOC bet größte ijl, ein Äotperwinfel gebilbef wer» ben. 3u biefem enbe wirb man bie ebenen AOB unb COD um bie ©eraben OB unb OC fo lange gegen einanbet bteften, bis bie ©etaben OA unb OD in einanbet fallen. SButben biefe ©etaben gar ni^t, ober in bet ebene BOC jufammen fallen , fo entfldnbe fein Äfttperwinfel. Damit ein Äörpetwinfel ent)lc^e, muffen bie ©etaben OA unb OD augerfialb bet ebene BOC jufammenfaHen , was nur m5gli(^ ijl, wenn AOB +COD > BOC ifl. es ijl aber, ba BOC ber grbfte unter ben brei gegebenen SBinfeln ijl^ offenbar aud) AOB + BOC >-COD unb BOC -j- COD > AOB. 3" einem bteifantigen Äötperwinfel ijl alfo witflic^ bie ©umme oon je jwei .Santenwinfeln großer als bet britte. 2. 3« jebem Äorpetwinfel ijl bie ©umme allet Äflti' (snwinfel Knnti; aI$ bitv dfsdßtf, gig. 211. O Digilized by Google 123 iBefrod^ttn »tt ben bceifanfigen perwinW 0 (gig.212) unb legen butd^ einen beliebigen ^unft A bet ^ante OA eineSbene, TOei($e bie beiben anbern Kanten in ben ^unf» ten B unb C but(^f$neibct, fo bilbef bie Durcbfc^niftaftgut baö Sreietf ABC, in welchem A + B 4- C = 2R i|l. 0e|f man bet Äurje palbet AOB =x, BOC =y, AOC =z, fetnet OAB =m, OBA =n, OBC =p, OCB = q, OCA = r, OAC = 8, fo ifl, ba alle biefe äßinfel bie ffiinfel »on btel ®reierfen »orfleUen, x + y+ z + m-}-n + p4-q-f-r-l-s = 6R. 2(n ben breifantigen Kbrpetminfel A, B, C ifi fetnet m4-s>A, n + p>B, q4-r>C, bapet audj> m4-n+p + q + r + s>A + B + C m + n4-p + q-l-r-j-8>-2R. Biefif man nun bon bem er|len Steile bet ©leic^ung bie @t(j§e m + n-fp + q-f-r + s, unb »on bem jroeifen Speife 2R ab, fo wirb bie erfiete ^ifercnj, wobei eine grßpete 341 fubtrapitt wirb, Weinet aubfallen al? bie lepfere; man »itb bemnacp x + y + z<4R paben. 2iuf gleidpe SBeife fann bie Stidpfigfeit biefeö 0ape9 bei »iet» obet meptfantigen Kßtpetwinfeln etwiefen »erben. §. 145. 3. 3»ei bteifantige Äßrpetwinfel finb fongtuent, wenn fie alle btei Äantenwinfel na* bet Drbnung wecpfelfeitig gleidp paben. Big. 213. o s di fei (Sig. 213) bet Äantenminfel AOB =DSE, BOC = ESP, 40C«P5F, fo möjftn ÄStjxwinW Q «nP 5 fpnjtuwf ftin, Um Digilized by Googl 124 bieftd )u iietoeifen, f^neibe man auf allen kanten von ben 0))i^en auS gleiche @tü(fe ab, man mac^e nämlid) OA = OB = OC==SD =SE = SF, unb lege burdb bie fünfte A, B, C unb D, E, F bie Sbcncn ABC unb DEF. «•Ol' nun non ben 0pi^en 0 unb S ouf jeneSbcnen bie 0enf» rechten OP unb ST, unb bef4)teibt um bie Steiecfe ABC unb DEF Äreife, fo follen ibte SDiiffelpunfte genau in bie gufpunffe P unb T jener 0enfä te^ien. SBeii nun, wie leicht ju fef»en, A AOB ^ DSE, A BOC ss ESF, A AOC DSF iß, fo folgt barauS, ba^ aucp AB = DE, BC =1 EF, AC = DF, unb fomit ba6 Sreied ABC as DEF iß. 0inb aber biefe beiben Dreiede fongtuenf, fo müjfen aucf) bie um bicfclben befcfiriebenen Äreife gleid[) fein, folglich ber .^albmeffet AP = DT. 3n ben rechtreinfligen ®reieden APO unb DTS iß nun bie .Oppotpcnufe AO = DS unb bie .Rotpefe AP = DT; bafiet A APO^DTS unb PO==TS. Senff mon ßch nun ben RStpet SDEF fo in ben Äbrpet OABC gc-- legt, boß ß^ bie fongruenfen 0reicde DEF unb ABC beden, fo »erben auch bie um biefe Dreiede befchriebenen Äreife, folglich ouch ihre «Kiffet» punffe T unb P, in einanber fallen; ba ferner in P auf bie (Ebene ABC nur eine 0enfrechfe möglich iß, fo föOf bie TS in bie Kichfung ber PO, unb »egen TS == PO auch ber ^unff S in ben 9>unff 0 ; baper muß’en auch bie (Ebenen DSE, ESF, DSF mit ben (Ebenen AOB, BOC, AOC jufammenfallen, ober eö ßnb bie Jförper»infel S unb 0 fongruenf. 5. 2ehvfii'he nnb 3fufoaf»ett jnt 0eIh^jiBungi im IBemriffit unb Slußüfen. A. 8ehtfähe. §. 146 . 1. 3«)unffe ju einer ebene fchief gejo» gen »erben, ßnb einanber gleich, nienn ihre gußpunfte von bem gußpunffe ber 0enfre^fen gleich»eit abßehen. 2. alle oon einem Q)unffe ju einer ebene gejogenen ©etaben, »eiche mit ber ebene gleiche 9leigung8»infel bilben, ßnb einanber gleich. 8. IQon i»ei ©eraben, »eiche butch benfelben ^unff ju einer ebene gejogen »erben, iß biejenige größer, »eiche mit ber ebene einen fleinern Keigungöminfel bilbef. 4. iöon 5»ci ©eraben , »el^e au6 bemfelben fünfte ju einer ebene gezogen »erben, bilbet bie größere mit ber ebene einen fleinern Dleigung6»infet. 5. 5£Benn eine ©erabe auf einer ebene f^ief ßehef , uub man fölif au8 mehreren fünften ber ©eraben auf bie ebene fenfrechfe Pinien, fo müffen biefe in einer uub berfelben ebene liegen. 6. parallele ©erabe $»if4>en parallelen ebenen ßnb einanber gleich. 7. SBenn man burch einen ^untf j»ei ©erabe jiehf, bie ju einer ebene parallel ßnb , fo iß bie butch biefe ©eraben gelegte ©bene felhß jur gegebenen ©bene parallel. Digilized by Google i2S 8 . Bn’ti Svenen fielen fenfrec^t auf einanber, wenn bie auf bteDurd^^ fc^nUtSIinie in ber einen Sbene errici^fete 0en{rec^te auf bie anbeie Sbene fenfreebf jlcfif. 9. 3Benn {wei (Ebenen auf einanber fen!recf)t flehen, unb man fällt oud einem fünfte bet einen auf bie anbere eine fenfrec^te @erabe, fo mu^ biefe gan} in ber erftern (Ebene liegen. 10. SBcnn sroei (Ebenen auf einanber fenfredit flehen, unb man errief» tet in einem fünfte ber 2)ur(^f<^nitt$Iinie auf bie eine (Ebene eine 0enfre^tc, fo mu^ biefe ganj in bie anbere (Ebene bineinfallcn. 11 . Sßenn jwei (Ebenen auf bcrfelben brüten (Ebene fenfred)t fielen, fo ijt auef) il;te Sur^fcbnittSlinie ouf biefet (Ebene fenfreebt. 12. SKäenn brei ©erabe in bcmfelbcn fünfte auf einanber fenfre^t fleben, fo muffen aud) bie bntcb fie gelegten (Ebenen auf einanber wecbfelfeitig fenfre^t fein. I3..fflcnn bur linien auf einanber gegenfeitig fenfreebt. 14. 9Benn {wei parallele (Ebenen non einer britten gef^nitten werben, fo bilben bie beiben ebenen mit biefet britten gleiche 9?eigung6< winfel. 15. 3wei breifeitige Äbrperwinfel jtnb fongruent, wenn fte jwei Äan» tenminfel we^felfeitig gleid) hoben, beten ebenen gegen einanber gleich geneigt finb. B. Aufgaben. §. 147. 1. (Durch einen gegebenen ^unft einet ©erabeu auf biefe eine fenf» rechte ebene ju legen. 2. einer ebene einen ^untt }u befiimmen, welcher oon brei aufet--. halb bet ebene liegenben fünften gleichweit obfiebet. , ; 3 Durch einen ^unft eine ebene iu legen, welche mit jwei nicht parallelen ©eraben parallel ifi. , 4. eine ebene ju befiimmen, wel^c non jwei fleh nicht fchneibenben, ©eraben gleichweif abflebef. j 5. eine ©erabe ju jieben, wel^c jwei nicht in einerlei ebene liegenbe ©erabe fenfrechf fchneibef. 6. eine ©erabe ju jieben, welih« öon jwei gegebenen fi^ fchneibenben ebenen gegebene 'Jlbfiänbe bat. 7. Diir^ eine ©erabe eine ebene ju legen, »on welcher ein gegebener ^unft eine gegebene entfernung bat. 8. Durch einen gegebenen ^unff eine ebene ju legen, welche mit brei anbern fich fenfrechf fchneibenben ebenen gleiche Steigung«* winfel bilbef. Digitized by Google 3tt>eiter I. (firWärnnflfn nn> btfönlit« (Eigenfdjafttn btr ^Jitptr. 1. @dff0e .^dtper. 8. 148. Sin ^btptt, welt^et bon lauter Sbenen begrenit wirb, pei^t ein etf iger Sötper ober ein ^olp eher. Drei ebenen fc^Iie^en einen 9taum ni(^f noHflanbig abj jur 93e» grenjung einea edigen Jt&rpera finb baber wenigfiena hier ebenen etfotbcrIi(^. Die ebene, auf weither ein .Sbrper oufflebenb gebac^t wirb, feine @runbfl5(^e ober Söafia. Siegt biefet gegenüber au^ eine Stücke, fo wirb biefelbe bie obere ©runbftci^e bca Äörpera genannt. Die übrigen ©renjebenen nennt man 0 eiten ftcicben bc8 Ä&rpera. Die Durcbfc^nittaiinien {weier ©renjebenen beiden .Ranten, unb awat bie Durcbf^nittaiinien aweier 0eitenflücbcn inabefonbere 0eiten* lanten bea Äürpera. ÜRit 0tüd|icbf auf bie SBefcbaffenbeit ber ©renaebencn tbeilt man bie edigen .Kbrper in regelmüßige unb unregelmäßige jtbrper ein. Slegelmößig bei&t ein Äorper, wenn er »on lauter regelmäßigen unb fongruenten iöieleden eingefcßloffen wirb; im entgegengefegten goffe un» regelmäßig. Unter ben unregelmäßigen Äftrpern fommen awei 3irten befonbcra baußg »or: Äörper, beren alle 0eitenfanten paratTel ßnb, unb Äbrper, beren alle 0eitenfanten in einem qJunfte aufammenlaufen. Die Äbrper bet erjleren 2trt nennt man priamatifcbe, bie Äbrper ber Unteren 3(rt ppramibale .Kbtper. a) Daa g)riama. §. 149. ein ediger Äbrper, weldber awei paraffele ©runbfla^en unb lauter parallele 0eitenfanten b<»tf ein ^riamo. Digilized by Google 127 :t)er ABCDEFGBJK (St«. 214) i|l ein menn bie (Sbene ABCDE n FGHJK, unb t»enn . AFUBG0CH||DJ||EK i|!. 3(u$ betStflärun« etne9$ri9ma «ebt b^tnor, baf feine beiben ©tunbfiddben fongtuente % i e I e d e fein müffen ; benn fe jwei «Iei(blie«enbe 0elten finb aB ^atadele {toif^en iwei bataHelen 0eitenfanten glei^, unb fe iwei 9lei(^Iie9 enbe ®ins fei jlnb oB äsinfel, beten ®dbenfel paroHel finb, ebenfoW gleicb. 2Iu^ ifl eon felbfHIar, ba^ alle @ei(enflM«n ^tibnia qJatallelogtomnte, nnb alle 0cifenfanten gleidj lan« finb. 6ine 0enfred)te, »el(i)e »on itgenb einem bet obetn @tunb« flä^e auf bie unfete ©tunbfläcbe geffiHt »itb, b<<6t bie ^ b b * be8 ^ti6ma. Sine Sbene, mel^e burcb jmei nicht unmittelbat auf einanbet fol« genbe 0eitenfanten beS ^tiSma gelegt mitb, beift einDiagonaIfcbnitt bejfelben. ffiitb üon einem ^tiSma butch eine mit bet Safi« nitbt patattele Sbene ein Sbeil abgefcbnitfen, fo b^t^l betSlefl einabgelüt)teb^tt$ma. ÜRit SRötfficbt auf bie Jlnjabl bet 0eitenfonfen b«tbt eiu ^tBma ein btei», eiet» obet mebtfeitigeö, je nacbbero e8 btei, eiet obet mebtete 0eitenfanten bat. SOlit Släcfficbt auf bie Sage bet 0eitenfanfen gegen bie ©tunbflä» d>en unterfcbeibet mon getabe unb fc^iefe Q)ii9men. SBenn bie 0eitenfantenaufben@tunbfId(ben fentte^t auffleben, fo beipt bab ^tBma ein getabeö; fonfl ein f^iefeö. §. 150. Sin ^tiama, beffen ©tunbfldtben ^atallelogtamme finb, »itb ein *}>atallelebtbt^ genannt. Sin ^ataUelebibeb fann fo wie febeO ^tigma getabe ober f^ief fein. Sin getabeO ^ataHelebipeb, beffen @tunb» Rächen ^ecbtedle finb, beipt ein techtwinfligeS ^ataUelebipeb. Sin tedbtwinfligeO ^atattelepipeb, beffen alle Äanten gleich ein.Eubu6 obet SBüt fei genannt; jebe .Kante peipt auch ^ine0eife be« SBötfeB. 3ebe« ^ataKelepipeb witb »on fe^« qjatallelogtammen , ein te^t* winfligeg ^otaHelepipeb »on fech« Sle^teden, ein SBütfel »on fecpa öna» btaten begtenjt. ' 8 e b t f M eS. 151. 1. SEBitb ein ^tiöma burcp eineSbenegefchnitten, welche mit bet ©tunbfldthe patallel ifl, fo ip bie X)utch» l^nittöfigur mit bet ©tunbfld^e fongtuenl- , 128 I I ! I Sie öUiti^Iiegenben 0eiten bet Soft6 unb beS ®(^nitteJ finb altf ^«affete iwifc^en parallelen gleich; bie gleic^Iiegenben SBinfel Jaben paraHefe 0d^enfcl, (inb aifo auc^) glei^; folgli^ i|l bet ®^nitf mit bec ©tunbfläd^e fcngruenf. 2. S»ei Prismen finb fongruenf, wenn in beiben ein ÄSrpetwinfel rortommt, weldjet »on btei f engtuen» ,j' fen in betfelben Dtbnung auf einanbet folgenben . ’ ebenen,gebilbef »itb. fflg- 216. es feien (St0- 215) bie ebenen, welche bie ÄStpetwinfel A unb K einf^Iie^en, in betfelben Dtbnung fongruenf, nämfic^ ABCDeiKLMN, ABFE Sä KLPO, ADHE sä KNRO. SHa«^ biefet 93orau8febung i(l bet ®infet BAD = LKN, BAE = LKO, DAE=NKO, habet bet ÄSt» petwinfel A^K. Senft man ficb nun ba« priSma KQ übet baS ptiSma AG fo gelegt , ba^ bie fongruenten Äßtpetwfnfel K unb A jufammenfal» (m , fo mfiffcn ficb fongruenten ebenen KLMN unb ABCD , KLPO unb ABFE, KNRO unb ADHE oollfommen betfen, habet bie pnnfte K, L,.M, N, 0, P, R folgeweife auf bie punffe A, B, C, D, E, F, H fatleti. ®enn abet bie obern ©tunbflacben, weI4)e mit ben unfern, unb hübet auch unter einanbet fongruenf finb, in brei punften 0 unb E, P unb F, R unb H jufaramenfatten, fo müffen fie fi^ ootifommen becfen, habet au^ bet punft 0 üuf G fattt. Sie beiben ptiSmen laffen fi^ alfo fo. Uber einanbet legen, ba| atte ihre ecfpunffe, fomif auch atte 0eitenpac^n jufammenfatten ; fotgli^ finb fie fongruenf. b) Sie Pbta mibe. 1 §. 162. ' ''' (Sin erfiget Ä&rpet, beffen ©runbflÄcbe irgenb ein Piefedf ifl , unb beffen 0eifenfanten aKe in einem punfte jufammenlaufen , be«p( pbtomibf. Digilized b j( > Äorpct OABCD (5iä. 216) ijl eine ypramibe. Der QJunfi 0, in Webern alle @ei* fenfanfen jufammcnjlo^cn , wirb bet ® (Reitel ober bie @^)i^e ber g>bta* mibe genannt. 3tu6 bet grflärung bet ^ptamibe folgt, ba^ i^re 0 eitenfIäcf)enDreU eefe finb. Sine 0enTre(^te oon ber auf bie ©runbfläcfje Jeift bie .^ 6 ^e ber ^9 * ramibe. 98itb eine ^iiramibe bur^ eine mit ber ©afi6 parallele gbene gefdpnitten , fo fiei^t ba8 jwifdjen ben beiben parallelen gbenen liegenbe 0tüc{ eine obgefürjte ^pramibe ober ein ^ p t a m i b a t {i u inac^ ber 0eitenaniapl ber ©runbflä^e tpeilt man bie ^pramiben in btei», »ier* unb meprfeitige ein. gine ^pramibe, in »elcpcr alle 0eitenfanten glcicp finb, wirb eine gerabe genannt; jebe anbere ijl fepief. 3" einer geraben ^pramibe finb baper alle 0eitenfIäcpen gleicpf^enflige Dteiede. 3(1 bie ©runbfläepe einet geraben ^pramibe ein regelmäßige# IQielerf, fo wirb bie ^ptamibe felPjl regelmäßig genannt. 3u einet reget* mäßigen ^pramibe ßnb bemnaep alle 0eitcnfläcpen fongrpent, unb bi, .^ßpe fällt in ben SDlittelpunft bet ©runbfläcpe. S e p t f a $. §. 163. 9Bitb eine ^pramibe burep eine mit ber S3afi8 pa» rallete gPene gefepnitten, fo i|i ber Durepfepnitt eine mit ber S3afi# äpnticpe gigur, unb ipre Släcpentäume oerpalten fiep wie bie Ouabrate iprer gntfernungen oom 0 ^eitel ber ^)pramibe. g# fei (gig. 217) bie gbene FGHJK |1 ABCDE. Da biefe Peiben gbenen oon ben 0eitenfIä^en gefepnitten werben, fo muffen bie DurepfcpnittSIinien FG unb AB, GH unb BC, HJ unb CD, ... parallel, unb baper bie fflinfel F unb A, G unb B, H unb C, . . . gleiep fein. ®eil OFG~OAB, fo i(l FG : AB = OG : OB, unb weil A OGH ~ OBC, fo i)l au^ GH ; BC = OG ; OB ; batoii# folgt FG : AB = GH:BC. iluf biefelbe 2(rt fann man beweifen, baß au^ GH:BC = HJ ; CD, u. f. w. ijl. Der Durepfepnitt unb bie Ißaß# paben alfo naep bet Drbnung gteiipc SBintel unb propotjionitte 0eiten ; fotglicp pnb fie äpniiep. gäHt man oon 0 auf bie 93aß8 bie 0enfrcepte OP, fo muß biefe auep auf bet gbene FGHJK fenfreept fiepen. 8egt man nun burep ben Mocoik, Otsmcttic, 2. Slu^. 0 ffia- 216- o Digilized by Google 130 ivS '.:}ö ji; ,0 • ^ o';;« , nü^'jftn'nHtiftiü,; ,'^'i '»SMT'V T)''' / ffiinfel AOP eine (Ebene, njcld^e bie ©ait6 iinb b.ic bic bamit jjaratTele ®utcbf(^)nitf6cbene in ben®eraben AP iinb Fy fdjncibcf, fo muj) AP || F(}, unb baber,O0;OP = OF:OA fein; aber c6 i)1 aiK^ FG:AB = OF:OA; habet OQ : OP = FG : AB. 2Beil.nun bic iSielocfc FGIIJK unb ABCDE abnli4) finb, fo bat man FGHJK ABCDE ='FG" ; Aß'; folalid) au* FGHJK : ABCDE = OO* : OP*. c) SKegelmapige Äotber. 8 154. ’ • ' ’ e e b t f a b. 1 (ESgibfnnrfflnfregelmä^igeÄotper. •* töemeiö. (Die 0umme bet Äanfenroinfcl, bie an einem Äorbereef t>otfommen, mu^ {(einer a(8 4R ober 360” fein: 3n einem regelmäßigen (glei^feitigen) (Dreiecfe beträgt jeber SBinfel 60“; »on foicben SBinfeln fbnnen brei, »icr ober auch fünf, aber nie mebt an einem ®*e jufam* menfloßcn, nj«[ bie 0umme »on fe^s ober mehr foI(ben SOßinfefn febon 360“ ober bariibet beträgt. 93on gleicbfeitigcn 3)reiecfen fbnnen baber nur brei reguläre ÄSrper gebilbef werben, nämtid; baS Setraöber, Dt« {aebetunbSfofaöbcr. Saö Stet raebet (Sig. 218) wirb bon »ier gleicbfeitigen ®teiecfen begrenjf, bon benen je brei in einem gefe jufammen|loßen, c8 bat 4 6dEc unb 6 Santen. ®a8 Df faeber cgig. 219) wirb bon acht gleicbfeitigen Sreiedfen eingcfcbloffen, bon benen je hier ein Sorpcrccf bilbcn; c8 b«t 6 fol*c ßde unb 12 Santen. 131 gig. 220. 35a8 3fofaeber (Jig. 220) wirb »on jwanjig gleic^feitigrn 35rei* ftfen begrenjt, »on benen ie fünf einen Äftrperwinfel bübcn; e8 b«f >2 dde unb 80 .kanten. ffig. 221. /t 71 3n einem regelmäßigen iöieredEe (Ouabrafe) ifi febcr SBinfel ein rechter. 93on fofcben ilBinfefn F6nnen nur brei in einem ®dEe jufammcnjloßen j eier foicbe SCBinfel geben fct)on »ier SJecbfe. @8 gibt baßor einen einjigen oon £lua= braten eingefcbloffencn regulären Äorfer ; er beißt fernes ber, Äubuö ober ®ürfel, bot 6 0eitenflä(ben , 8 breifanfige Äbrperedfe unb 12 Äanten (gig. 221). ' »ig. 222. ®er SCBinfei eine® regelmäßigen günfeefeS be= trägt 108". QSon foId;en SBinfeln Fbnnen iriebev nur brei in einem Sefe jufammenfommen. Sö gibt baßer nur einen einjigen oon regelmäßigen Jünfeeren begrenjten Dörfer; biefer ijl baö X)obefaeber (gig. 222) unb bot 12 ®eitenfTäd,'en , 20 gefe unb 30 Äanten. 3m regelmäßigen ®ecb6ec!c ifl jeber SBinfe! 120". 53on folcßen SSBinfeln fann fein Äftrpereef gebilbet werben , weil feßon brei berfelben 360® betragen. 3)a8felbc gilt um fo meßr oon ben ffiinfetn eines regelmäßigen ^olbgonS »on meßr al8 feeßs ©eiten. ß8 fann atfo nur fünf reguläre Äbrper geben. a. 9Ittnbe jüörixr. > ' §. 155. Äbtper, welcße tbeil8 »on ebenen, tßeilS eon gefrümmten Släcßen, oberoon einer einzigen gefrümmten gläd[)e begrenjt werben, beißen runbe Äbrper. SÖei benjenigen runbenSorpern, bereu ©renjflä^enjumSbeilSbenen ftnb, werben biefe ai8 ©runbfläcßen betrachtet, wei( man ßcß bie Äörper barüberaufgeri^tetoorfletlcn fann; bie gefrümmte gläcijc wirb bie 'XI? an» telf loche genannt. JJier foffeu nur jene runben Äbrper in Betrachtung gejogen werben, welche mit ben oben angeführten eefigen imSufammenbangc flehen. 3)em Prisma entfprießt nämlich bet SÜinber, ber ^pramibe bet Äegel, ben regulären Äbroern bie Äugei. ; <) Digitized by Google i3e a)[^Sev Sifinber. , §. 156. ®cr Sitinber ij! ein Ä&tper, »cldbet »on iroei gleichen unb poratlelen ÄreiSfläd^cn unb einet feieren geftümmfen Stacke, bie »on jebet bureb bie SWiftelpunlte jener Äteife ge» legten (Ebene in getaben fiinien gefc^nitten wirb, begrenjt ijl. 5)ie beiben Äreife ABC unb DET (§. 223) (inb bieCStunbfläcbcn be6 3il>nber8 ; bie ©erabe OS, wel^e bie SKiffelpunfte »erbins bet, nennt man bie 3(re, unb ben Ttbftanb SP ber beiben ©runbficicben bie be6 3ilinbet6. 3(1 bie Tixt eines 3iI'”betS auf ben ©runbflä^en fenfreebt, fo bet Silinbet ein ge r ab er, fonjl ein febiefer. 3n einem gcraben 3i* linber fieat bie 3tre jugleicb bie 4>öl)e »or. 2)ie geraben fiinien AD unb BE, in benen bie ÜKantdfläcbe »on einer bur^ bie 2txe gelegten (Ebene gef^nitten wirb, 0eiten beS SilinberS. (Ein geraber Silinber, beffen Seite bem Sur^mejTet ber ©tunb* fr5(be gleich i(i, wirb glei^ifeitig genannt. (Ein Äbrper, welcher swifeben ben 50iantelfld(ben jweier 3iii*'ber, bie eine gemeinf^aftlicbe lixt hoben , eingefcbloffen wirb , h«pf «i« o « gehßhlterSilinber ober eine j i l i n b r i f cb e 91 6 1; * oDa (idh bet ÄreiS als ein regelmäßiges ^olpgon »on unenblicb »iel 0eiten betrauten läßt, fo fann man fagen: Der Silinber ijt ein q>tiSma, beffen ©runbflä^en regelmäßige IQieletfe »on unenblicb »iel ©eiten finb. Daraus folgt mit Sejiig auf bie für baS ^riSma erwiefenenSähe: 1. 2ÜIe ©eiten beS3iIinbetS finb gleich unb parallel. 2 . SBenn einSilinber burebeinetSbene, biemitberSBa» fiS parallel i(t, gcfd;nitten wirb, fo ifi berSebnitt mit beröafis fongruent, fomit einÄreis »on bem» felben .^albmeffer. « b) Der Äegel. §. 157. Der Jlegel ifi ein Äorper, welker »on einer ÄreiSflä^e unb einet in einem <3>unfte jufammenlaufenben gefrümmten gläcbe, bie »on jeber bureb biefen ^unft unb ben iKittelpunft beS ÄreifeS gelegten (Ebene in geraben 8inien gef^nitten wirb , begrenjt ifi. «ia- 223. Digilized by Google 133 Der ÄreiS ABC (Jig. 224) i(l bie @ t u n b» flache be6 ÄegelS; bet ^unff 0, in wel» e^cn bie 9)?onteIfIci4)e ouSIauft, bcipt bet 0c^eitel ober bie 0pi^e, unb bie @e* rabe OR, roel^e ben 0d^eitel mit bem 3en» tnim bet ©ninbfld^e eerbinbet, bie 2t te beä^cgelö; bie ®eiifredj)fe OP öcm0(^eifel auf bie ©runbfidcfie i|i bie ^6be. tffienn bie 2(re auf bet ©runbfldcbe fenftec^f jtebt, bei^f bet Äegcl ein g e t a b e t, fonfl ein f ^ i e* er. 3n einem geraben Äegel jletTf bie 2(tc jugleicb bie »»fSBirb ein Äegcl burci) eine mit bet ©runbfldcbe parallele (Ebene ge» fcbnitten, fo fieibi t’äö jroifcben ben beiben parattelen (Ebenen liegenbe 0töcl ein abgefüriferÄegel ober ein Ä e g e I (i u bSie ©eraben AO unb BO , in meieren bie SKantelfldcbe bön einet butcb bie 2(re gelegten (Ebene gcfdjnitten wirb, nennt man bie 0eite» beS ÄegelS. 3« einem geraben Äegcl finb aHe 0eitcn glei(^. gin gerabet Äegel, beffen 0eite bem Sut^meffet ber ©afiö gleid^ ijt, b«i?t glei(^feitig. 0D roie fic^ bet 3ilinl>er al8 ^riSma betracf)ten ld|t, fp fann au^ ber Äegel al8 eine ^pramibe, beren ©afiS ein tegelmd* ^igeö g)olpgon ton uncnblic^) biel 0eiten ifl, betradj)* tet werben. SarauS folgt mit Sßejug ouf ben dfmli^en für bie ^ptamibe er» wiefenen 0a| ; 9Benn ein Äegel butc^ eine mit ber@tunbfldd^e pa» rallele gbene gefc^nitten wirb, fo ifl bieSurcbfdfinitt«» figur einÄreiS, unb e8 berbaltenficfjbieSläc^enrdume ber beiben Äreife wie bie Ciu abrate ifirer gntfernungen bom 0cl)eitel beS Äegel«. c) Sie Äugel. §. 158. Sie Äugel ijl ein bon einer gefrümmten Sld^e fo begrenitet Äor» per, baß alle fünfte bet Obetfldcf)e bon einem innerhalb liegenben fünfte gleicf) weit abjleßen. Siefer innerhalb ber Äugel liegenbe ^unft beißt bet 9)1 i 1 1 e l p u n f t ober baS 3e n t tu m. ginc ©erabe, welche bom SWittelpunfte bi« an bie Oberfläche gejogen wirb , beißt ein J? a I bm e ffe r ; eine ©erabe, welche but(^ ben ^ittelpunft gebt unb jwei fünfte bet Oberfläche berbinbet, ein Surchmeffer ber Äugel. 9)lan fann bie Äugel burch Umbrebung eine« .^albfreife« um ben Surchmeffer entflanbcn benfen. Siefer Surchmeffer beißt bann bie 2(re unb beffen gnbpuntte ßnb bie ^ole bet Äugel. gig. 224. Digitized by Google 134 'Benii. man eine Äugel but($ eine @bene f4)neibet, fo bad ba» biitdj afcgefdjniffene 0fudE bet Äugel ein Äugelabf^nift iinb feine ijefvümmfe Dberfloctje eine Äutjclmu^e obet Äalofte. aSitb eine Äugef biircl^ jmei f'arallelc (Sbenen gefc^niffen, fo ^eipt bet baiwif^en befinblic^e S^eil bet Äiigeloberflodbe eine Äugeljone. ^ , . Gine ©evabe, meiere mit bet Äugelobetflädbe einen einjigen ^unft gemeinfc^affli4> \>at, eine Stongenf e bet Äuget. G6 ijl »on felbfi flat, baf bic Xangenfe auf bem juni t8eiü^tung6}>unftc gezogenen mejfet fenfte^f fiepen müjfe. Gine Gbene, rcctcpc mit bet Äiigclobetfldcpc nut einen ^unff gemein^ fcpaftlid; paf, wltb eine SÖctüptungSebenc bet Äuget genannt. ? e p t f a p. §. 159. 9Bitbbiev«ugelbutcp eine Gbene gefepnitten, foi]! bic SutepfepnittSfigut ein Äteiö. gig. 225. G6 fei ABCD (55i3- 225) bet Sutepfdpnift einet Gbene mit bet Dberftäcpe bet Äuget. S)a bic fünfte A, B, C, D, . . . in bet Dberfidepe bet Äuget liegen , fo ftnb bie ®cj taben AÖ, BO, CO, DO, . . . aI8 fet bet Äuget glci^. Sdtit man nun »on 0 auf bic Gbene ABCD bie ©enftcepte OP, fo finb bie rc^twinfligen Dteietfe APO, BPO, CPO, DPO, . . . fongtuent, bopet AP = BP = CP = DP = . . .; e8 Hegen otfo bie fünfte A, B, C, D, . . . in bem Umfange einc8 ÄteifeS, beffen 9Kittetpunft in bet au6 bem Senttum bet Äuget auf bie Smtcpfcpniftöcbenc gefällten 0enfrecpten liegt. 2tu6 bem teeptroinftigen Steiede APO folgt AP = \/AO* — OP*. ®a nun AO aI6 .^albmeffct bet Äuget eine befiänbige @t6pe i|l, fo »itb bet .^albmeffct AP unb fomit ouep bet ÄreiS ABCD bcjlo gtöpet fein , je ffeinet OP ifl. 3c ndpet am aRittetpunffe bet Äuget otfo bet ©cpnitt ge« füprt mitb, beflo gropet roitb bet Ätci6; om gtijpten mitb et, wenn bie fepneibenbe Gbene butep ben ÜRittelpunft fcibfl gept ; ein folcpet Ätei§, beffen aRittetpunft im Senfrum bet Äuget liegt, beffen .^albmeffer aifo fo grop ifl al8 bet .^olbmeffer bet Äuget, peipt ein gr&pterÄreiö berÄu-- gel. 33eim bagegen OP junimmt, fo mirb AP unb fomit nuep bet ÄreiS ABCD immer tteiner. SSenn cnblicp bet Itbjlanb OP bem .^albmeffet bet Äuget gleicp mirb, fo »erfcpivinbcf jener ÄreiS; bic Gbene pat in biefem gatte mit bet Äugeloberfidcpc nur einen ^unff gcmeinfd)affli(p, fie mitb eine ©etüptungSebene bet Äuget. Di9itizBd,ti5rGoogt( 135 §. 160. äBcnit fid; b(ci ätbptc i^ujclfreifc ABD, ACD unb BCE (Sig. 226) burd)f*neiben, fo bet »on brei »ögen AB, AC unb BC 1«««* 9«P* ' ^ ten Äteife begtenite a{>eil ABC ber Äugelobetflo(|e ein fpH-* rif^eS 2>reiedE. X>ie Äteiö. tagen AB, AC unb BC werben bie 0 eiten be9 fptätifc^en 0reiedfe6, unb bie «neigungS* winfel bet ebenen ücn je jwei 0eifcn bie fflinfcl bejfelben genannt. 0oi|!j. SB. bet fptö* rifc^c ®5intcl A bet SJJeigung6. winfel bet ebenen ABD u. ACD, unb fomit ibentif^ mit bemSSBin» fei TAT', weld)en bieSangenten bet ©ogen AB unb AC in A bilben. Siebt man bie ^lalbmeffetAO, BO, CO, fe jinb bie 0eiten AB, AC unb BC alö ©egen »on gro^ teil Äugelfreifcn bie 9Babe bet enirbted)®fiffetpunft6winfcl AOB, AOC unb BOC, beten ebenen am «IRittelpunfte 0 einen breifeitigen fotberlicben SBinfel OABC bilbem Au3 ben eigenf^aften bet Äatpetwinfel ergeben ficb habet für ein fbbatiWeö Sreieef, beffen 0eiten cinjeln nicht großer alö 180® finb, folgenbe jwet 0äbe: 1. 3ebe0 eite i)l Heiner al6 bie0ummebetbeiben anbei n. 2. Die 0 umme aller btei 0 elten ip fleinet al6 360 °, ober fleinet olö ein grobter Äugelfrei«. 3. SeBrfate niib 9f«fööBcii jut 0clbftubmio fm ®et»dfett mtb , A. Seb^f^M* §. 161. 1 3ebet Diagonaifcbniit eineä ^risma itl ein ^ataffeiogtamm. 2 SBenn man ein breifeitige« ^riöma butcb eine ebene febneibet, weli^e mit einet ©eitenflä^e baraHel ijl, fo i)l bie DutcbfcbnitfSjtgut ein Parallelogramm. 3. aSenn in einem breifeitigen ^vi6ma jwei ©eifenflai^en einanbet glei^) finb, unb man legt butcb ibte gemeinfcbaftlicbe Äante eine gig. 226. iitU by Googk gbene, welche auf bet btiffen 0citenfIäcf)e fenftecf>t fielet, fo wirb babur^ fowo^I bet SlleigiingSwinfel fenet jwei Seitenflächen , aI6 ou^ bie briffe 0eitenflici)e halbitt- 4. 2Benn inan butch bie ®cifenfantcn cined breifeifigen ^rUnta gbe» nen legt, welche auf ben gegenuberliegenben 0eitenfIächen fenfred>t flehen , fo fcfineiben fich biefelben in einet unb betfelben ©eraben, welche ju ben 0eitenfanten parallel ift. 5. 3)ic »ier diagonalen eines ^araUelepipcbS fchneiben fi(h in einem fünfte. e. SBenn man in einem ^aratlelepipeb bie ^albitungSpunfte pon je ^wei gegenuberliegenben Äanten burd; ©erobe ecrbinbet, fo fchneiben bie fec^S ^aare aSerbinbungSlinien in einem *3>untte. 7. SCBenn bic gcfpunfte bet ©runbflä^e einet ^pramibe in bet ^etife« rie eines ÄreifeS liegen , unb eS fällt bie ^o^e in ben SKittelpunft biefeS ÄreifeS, fo ifl bie ^ptamibe eine gerabe. 8. Iffienn man burcp bie0eiten eines regulären ^olpgonS gbenen legt, welche gegen bie gbene beSfelben gleich geneigt finb, fo bilben biefe mit bem gegebenen ^olpgone eine regelmäßige ^pramibe. 9. 3n jebem ^olpeber ifl bie 0ummc aus bet Jlnjahl bet glächen unb jener ber gefen um 2 gräßet olS bie 2(njahl ber Äanten. (gulet’fcher 0ag »on beii ^clpebetn.) 10. reguläre ^olpeber hat einen yuntt, ber »on allen 0eiten-- flächen unb eben fo »on aßen gdpuntten gleichweit abflehef. 11. 3lUe »on einem fünfte na* bet Äugeloberflädie gelogenen Sangen» teil finb einanber gleich. B. 2(ufgaben. §. 162. 1. den SRittelpunft eineS regulären .^orpevS ju ßnben. 2. durch »ier gegebene fünfte, welche webet in einer ®eraben noch in einet gbene liegen , eine .Sugel ju legen. 3. 2(n eine .Kugel eine Sangente ju jießen, weld;e a) mit einet gegebenen ©eraben parallel ifl, b) eine gegebene gbene unter einem gegebenen SBinfel fchneibet. 4. Kn eine Äugel eine ©erühtungSebene ju legen, welche a) einer ©eraben parallel ifl, b) eine gbene unter einem gegebenen Sßinfel fchneibet. 5. durch eine ©erabe außerhalb ber .Kugeloberfläche eine gbene {u le» gen , weld;e biefe Oberfläche in einem Äreife »on gegebenem .^alb» meffer fchneibet. 137 IJ. ©bcrfläd)« bcr I. ^ttSma. §. 163. fl. 227. // Die Dbetfid^e eine« ^rtöma finbet man , wenn mar» iuerjl bie @eifen» jK 1 flcii^en aI8 ^araaelogramme berec^ncf, but^) beten 0untmitung bie ®eitenoberfläcbe er» Ralfen wirb, unb no^> bie bojjpctfe @tunb-- fläc^e baju abbirt. 0 bie Oberfläche, S bie ©eitcnoberflciche unb B bie »oft«, fo i|l 0 = S+2B. Da beim geraben ^riöma bie @ei» fenflädhen 3teri«ma wirb gefunben, wenn mon ben Umfang berSBafiS mit einer ©eitentanle m u r t i p I i i i r f. -i ' . '1 i 93 e i f p i e r. ®ie groh i(l bie Oberfläche eine« re^tioinfligen ^araHclepipcb«, beffen Cänge 2“ 4', bie 95reife 1°5', unb bie l®3' ifl; Cänge = 16' Umfang bet SSaft« = 54' 95afi« = 16x11 SBreife = ll' 0eitenfante = 9' = 176Q' .^6he = 9' 0eifen Oberfläche = 486 Q' boppelle ©afi« = 352 „ Oberfläche = 838 ' = 23 Q® 10 Q. S. ^tiratnibe un^ ^tirawibalfhiii. 8. 164. Um bie Oberfläche 0 einet ^ptamibe ju erhalten, be» rechnet man juerfl bie 0eitenflächen ald Dreiecfe, ihre 0umme gibt bie 0eitcnoberfläche S; baju abbitt man noch ben fjlächeninhalt B betSBafi«; alfo 0=S + B. 3)^ bie ^ptaraibe eine regelmähig«/ fo wirb bie 0eitenober» fläche S gefunben, wenn man nutein 0eitenbteied berechnet, unb bef» fen Släche mit btt ^njahl btt Srnttnlgnttn multihliiitt. Digitized by Google 138 - fl ? . y / / :i '>xJE \ Ai ' ' f,._— . ö Xi aff fl ifm SP OP (§13 . 228) bie ^6 |)e b«6 ®reietfc8 OAB, fo ijl A OAB = AB .-y, bab«r wenn bie ^pramibe nfeifig i|l, S = n . A OAB = n . AB . . X)ic 0eifcnoberfla4)e ei’ net tegelniä^igen ^ptamibe wirb bemnad^ gef unb eil, wenn man ben Umfang bet ©tun b« flä^e n . AB mit bet palben 0enfrei^fen OP, wel^e eom 0 ^eitel auf eine 0 elte bet ©runbflacfje gefällt wirb, m u 1 1 { p l i i i 1 1 . ©ei bet abgetiititen ^ptamibe bercdjnet man juetjl bie 0umme S affet 0eitcnflä^en, wel^e Stapejc finb, unb abbitt baju bie beiben ©runbflä^en B unb b ; alfo 0 = S + B + b. (Sntficpt bet ^pramibalflul biiv^l ben 0d)nitt einer regelmäßigen q>pramibe, fo finb bie 0eitenflä 4>en fongruente Sra» peje; man braucht baper, um S jh et» palten, nur ben glä^eninpalt eines fol« ^en ^rapejeS mit bet 2lnjapl betfelben ju multiplisiren. SBitb eine 0eitenfante AF (Sig. 229) beS ^ptamibalflupeS in L palblrt, unb butdp biefen ^untt eine mit bet ©aßS parallele ®bene gelegt, fo palbitt bicfelbc aucp affe übrigen 0eitenfanten, unb bet 0cpnitt LMNPQ ifl ein regelmäßiges ^0 » Ipgon. @S fei nun bie ©aßS nfeitig, unb RS bie ^ope beS StapejeS ABGF, fo tfl Srapej ABGF = LM.RS, bapet S = n. 3)ie 0eitenoberflä^e einet abgefürjten rege Imä« ßigen^pramibeiflalfo gleidp n.LM, b. i. bem Umfange beS mittlern X)u t cp f(p nit t e 6 LMNPQ multiplijirt mit bet ^öpe RS einer 0eitenfläcpe. © e i f p i e l e. §. 165. 1) X)ie ©aßS einer qjptamibe ifi ein £Uiabrat, beffen jebe 0eite 10' beträgt, bie bet 0eitenbteietfe finb 15', 14-6', 16’8', 16-9'; »ie groß ifl bie OPetflä^e biefet t39 Dreiedi 1 = 10 X 15 2 = 75 ' „ 11 10 X 14 6 73 2 — U „ Ul = 10 X 16-3 2 = 76-5 n « IV s= 10 X 15-9 79-d tt ©apö ISS 10* = 100 u Dberfloc?>e = 404 2) T)te ©afid eiiut tegelmaligen qjptamib« tjl ein Cluabtai, worin jebe ©eite 12' beträgt, bie ^6^e berfelben i(i V-, wie groß iji bie Ober, pä^e? _ ®ie Ä6be eineO 0eitenbteie4e8 ip = \/6* + = V®* . = 9 22' Umfang bet 95ap8 = 48' ®eitenobctpad)e = 221-28 Q' »ap8 = 12* = 144 „ Dbcrpa^e = 365-28 Q. 3) 3n einer obgetütiten, breifettigen regdmöpigen trägt bie ^lofic einer ©citenpäcfte 1“ 5' 2", unb eine ©eite beS mittlern ©ur(f)fc^nittc6 3' 10" j wie grop ip bie ©eitcnoberpäc^e? ©eite beö mittlern X>ur^f^nitte8 = 3' 10" = 46" Umfang „ „ = 13®" ^6()e einet ©eitenpäd^e = l®5'2'' = l®l" ©eiten oberpäd^e = 18492Q" = 3 “ 20 ' 60 3. Reguläre §. 166. Um bie Dbetflät^e eine« regulären Äftrperö ju er^al* ten, berechne mon ben gläc^enin^alt einer ©tenjebene, unb multiplijire benfelben mit ber 2in 5 a^l ber ©renjebenen. © c i f p i e I e. 1 ) S5ie grop ip bie Dbetpä^e eine« 3Bürfel8 , beffen jebe ©eite 4' 6" beträgt? ©eite = 4' 6" = 54". ©ine ©renjpäc^e = 64* = 2916 Q". Oberpäd;e = 17496 " = 3Q“ I3Q 72 Q'. ^ 2) 3n einem Sfofaebet beträgt jebe ©eite 8''; wie grop tp bie Dberpäc^e? . ^ , Der gläc^eninpalt eine» gleii^fcitigen Dreiedie», roorin eine ©eite 8" beträgt, ip 27-72 bie Oberpä(|e be« 3fofaebet8 ip baper 27-72 X 20 = 554-4Q" s=? OQ' 122-tiQ". Digitized by Google 140 4. 30ln^cr. §. 167. ®eim Bifinber beted^iict man juerj! bie SDlanfeIfIä(^c M, unb abbirl baju bie boppelfe «oftS 2 B; aifo 0 = M + 2 B. 3" einem geroben Silinber la^f fi(^ bet SDJantcI in ein SHe^tedE abmicleln, welches mit bcm 3ilinber einerlei ^ß^e N*» beffen ©runb. linic bcm Umfange bet S8afi6 beö SUitibetS glei^ i)l. S)ic SKanfeU fldcf)e eines geraben SiliubcrS mirb baficr gefunben, menn man ben Umfang bet 58 a ft 3 mit bet 0eitc muItU blijirt. Diep ergibt f?(^ anc^, »enn bet gerabe 3iUnbet aI6 ein ge» rabeS ^riSma, beffen S8afiS ein regelmäpigeS ^ol9gon Bon unenb(icf) Biel ©eiten i|t, betra^ttet mitb. 3)1 s bie @eite eine« geraben SiUnberS, beffen ©afiS r jum ^alb» meffec pat, fo i|l bie 2KanteIfIäd;e =» 2sr7r, bie SafiS , baper bie ganje Dbetfldcpe 0 = 2sra- + 2r®;r = 2r«(s-|-r). 3m gleidpfeitigen SUinber ifl s = 2 r, bapet 0 = 2t7r.3r = 6r®/r. 95 e i f fj i e l c. 1) 2Bie gtop ifl bie Dbetfidepe eines geraben 3iIii't>«rS, beffen ©riinbfTdcpe 3'4" ium .^albmcffet pat, unb beffen ^>6pe 4' 8" ifl? Umfang bet «afiS = 80 x 3-1416 = 251-328" SDlantelfldcpc = 251-328 x 56 = 14074-368Q' SBafiS = 251-328 x 20 = 5026-56 "Doppelte 95afiS = 10053-12 " Oberfld^e = 24 1 27-488 Q' = 4Q‘> 2SP' 70n". 2) aSJie grop ifl bie Dberfidepe eines gleicpfeitigen 3iliubetS, wenn bet ^albmeffer ber ©runbfldc^e 2 ' 5" betragt? S8aps = 29® X 3-14159 = 2642-078Q" Dberfldcpe = 2642-078 X 6 = 15852-468 "= 3Q'>2Q' 12P". 5. ftegcl unb §. 168.' Die Dberfidepe eines ÄegelS wirb gefunben, wenn man }uerfl bie iDlantelfläcpe M, bann bie 58apS B berechnet, unb beibe abbirt ; fomit ifl 0 = M-f-B, 5Bei einem geraben Äegel wirb bie a)lantclfld<$e bere^inef, wenn mon ben Umfang bet SBapS mit bet palben0eite beSÄegelS multiplijirt. Denn wenn man pep bie Sflanteipdcpe beS geraben ÄegelS abgcwidelt benft, fo erfepeint ftc als ein ÄreiSauS)'cpnitt, beffen 95ogen bem Umfange bet 93afiS, unb beffen ^albmeffet ber ©eite beS ÄegelS gleitp ifl; nun ifl bet Slocpeninpalt eines ^reiSfeftorS gleicp ber Sänge beS Rogens multi» Digitized by Google 141 mit bbtaw>ibe, beten SßafiS ein tcguläteö^olpgcn een unenbti^ eiel Seiten ifl, betrautet, .^eißt s bie Seite eines geraben ÄegelS, unb r ber .^albmeffet bet 93a(iS, fo iji bie ÜRantelflä^ie = 2r* = tax, bie SBaftS = i*x, ba^et bie gatije Oberfläche 0 = T8x + >** — rsr(s + r). sesäre bie h mit bem .^albmejfct r befannt, fe ifl 8 = \/h* -f'* bafier 0 = r«-|r + \/h’' + r®|. gut ben gleichfeitigen Äegel ijl s = 2r, bah« 0=r;r.3r = 3r®ff. §. 169. 33eim .^egelfluh berechnet man bie ÜJlantelflä^e M, unb abbirt baju bie beiben ©runbflachen B unb b; aifo 0 =M4-B-f-b. Sa ein abgefürjtcr getaber Äegcl aI6 eine abgcfürjte reget» mäßige ^pramibe »on unenblid) »ie( Seiten betrachtet werben fann, worin bie Seite beS ÄegelfiuheS alS .^bhe -eines SrapejeS erfcheint; fo folgt: Sie SOlantelfläche eines abgefüriten geraben Äe» gels ifl gleich bem Umfange beS mittiern Surchf^nit« teS multiplijirt mit einer Seite. Jpeiht 8 bie Seite, R ber .^albmeffet bet untern, r bet .^albmeffet bet Obern äBaftS, fo ifl 5^^ bet .^aibnteffer beS mittiern Sut^^fchnit« teS, bah« fein Umfang (R + r)>r, unb fomit bie SDlantelflä^e CR + 0 8 Sie ganje Oberfläche ifl gleich R*n- + r®)r + (R + r)8s-. GS fei AMB (gig. 230) ein JjalbfreiS. ÜWan nehme in bem Um« fange irgenb einen ^unft M, jiche butch benfelben bie Sangente CD, mache CM —DM, unb fäffe oon ben fünften C, M, D auf ben Surch» meffer AB bie Senfrechten CE, M-N, DF. Senft man fleh nun bie ganje gigur um ben Surchmeffet AB herumgebreht, biS fie wieber in ihre ur« fpriingliche Sage jurüdilommt, fo befchteibt bet .^albfteiS AMB bie Obet» flä^e einet Äuget, unb bie Sangente CD bie tülantelfläche eines abge* fiirjten geraben ÄegelS, beffen ©runbflä^ien bie Senlre^ten CE unb DF ju .Oalbmeffetn haben, unb beffen aRittelburchfchnitt, jugteich ein Sur^« fchnitt bcr Äuget, bet mit bem .^albmeffer MN befchriebene Äreis ifl. Gin folchcr Äcgel^uh hcihl bet Äuget umfehrieben. 3ur Berechnung ber ÜÄantetfläche M eines folchen abgeförjten Äe* gelS hat man als Umfang beS mittiern SurchfehnitteS 2 . MN . ?r unb als Seife bie Sangenfe CD; bähet ifl M = 2 ^ . MN . CD. Siefe ©rÖhe läpf fleh nun noch auf eine anbete litt barfietten. Sicht '«an CGj_ DF, Digilized by Google 14^ fo flnb bi< ®reiedt« MNO unb CGD «bnlic^ , weil i^te ®etten ouf einan* bet we^feffeiti 3 fenfrec^t flehen, ba^et tji MN : CG = MO : CD, obet gig. 230. JO MN . CD = MO . CG. 0utjli(ultf man biefen SBetfb in bem frübet ffir M etbaltenen Äu6brudEe , fo bat man M = 2 >r . MO . CG. Da nun 2 jr . MO bie ^eriferie eined grbbKn Sreifeö bet Ängel , unb CG bie .^5b« be8 ÄegelflubeS BorjleUf, fo gilt bet 00^: Die üRantelflM« Äugcl umf^riebenen ÄegelflubeS ifl glei^i bet q)eriferie be8 größten ÄreifeS bet Äugel mulfibliiitf mit bet ^>bbe beS Äegeljlnbc6. © e i f b i e I e. §. 170. 1) ®ie gto^ ijl bie Dbetfla^e eine« getaben Äeget«, beffen 0eite 2' 5'' ifl, unbbejfen @runbflä(be l'8" jum ^)albmeffet bat» Umfang bet ©afi« = 40 x 3-1416 = 125-664" 29 ÜRanfetftä(be = 125-664 x y — 1822-128 Q" ©afi« == 125-664 X 10 = 1256-64 Q" Dbetfldcbe = 3078-768 = 21 ' 54-768 2) ÜRan fu(^e bie SRanlelflä^e eine« Äegel«, beffen .^äb« 3' 9" ift, unb beffen ©tunbflä^e 8" jum .^albmeffer b«t. Umfang bet ©aft« = i6 x 3-1416 = 50-2656" 0eite be« Äegel« = \/45* + 8* = 45-706" SKanfelfld^e = 1148-70" = 7Q 140-7O". Digitized by Google 143 3) SEBi« ijl He Dbetflcid^« eine« gW^ftitigtn Äegelö , beffen ®e = 31-416 x 6 = 167*08 6. Augel}pne unb ^ttQcI. • §. 171. ®ie ftutntne Dbetfldcf) e einer Äugeljone ip glei(b bem Umfonge eine« gr&pten ÄreifeO muUiplijirt mit bet Sig. 231. A W \ j/ & .A Vf JL A rj 1 ö A i ©ewei«. m«« (5ig* 231) ben Kreisbogen MN in mef»» rere Stbrüe MC, CD, DE, . . )iebt bann auf ben Surcbmejfer bie ©enlrecbten MP, CF, DG, . . ., unb brebf ben .^olbfreiS AMN6 um ben ©urebmeper AB, fo be» f($reibt ber ißogen MN bie aKon= feipdcbe einer Kugeijone, beren ©runbpäcben bie .^albmeffer NQ unb MP haben, unb beren Jpbbc PO ip. ®iefe ÜHantelpdcb« ip of* fenbar bie ©umme aus ben SJlan« telpdcben, wel^e bon ben SBbgen MC, CD, DE, . . . mdbrenb beS .^erumbrebend befebrieben werben. 3e Keiner nun biefe Sogen pnb, um fo mehr ndbern p(f> bie bon ihnen be= fcbricbenen giddben ben SKanteipdcbcn bon abgefürjfen ber Kugel um» fcbricbenen Kegeln, unb fallen mit ihnen jufammen, wenn jeneSügen un» enblieb Kein pnb, b. i. wenn ber Sogen MN in unenblieb biele Sbeile ge« fbeitt wirb, ©ie SIRanfeipdcbe eineö folc^en Kegeipu^eö ober ip gleich bem Umfange eines gtöpfen KreifeS ber Kugel multiplijirf mit ber beS KcgelpubeS; eS ip baber, wenn bie ^eriferie eines gropten KreifeS ber Kugel biirch p auSgebtücft roirb, bie bon MC befebriebene gldch® = P-PP» // n CK „ „ =z= p.FG , n V DE ,/ „ = p.GII , «. f. ns Digilized by Google 144 « ^ 2ü>birt man alle Wefe gW(^n, fo bcfoinmf man bie frumme Ober» pä4>e bet »en bem Sogen MN bcf^riebenenÄiigcIione; blefe ip aifo glei(^ p(PF + FG + GH + . . .) = p.FO, w. j. b. w. Denff mam eben fo ben^albfreib AMB, burd^ beffen Umbrebung bte ObetpAd;« o bet ganzen .Kugel bef^rteben wirb, in unenblidb uiele 2bIü|Te {u bem Siefulfafe 0 = p.AB, b. b. bte Dbetflfien jmeier Äugeln uerbalten fitb fo mie bie Ouabrate ibtet .^albmeffer. © e i f p i e l e. §. 172. 1) aSie groß ip bie Obetpä^e einet Äugel, beten ^olbmeffet l'6" ip? 0 = 4.18®.3*1416 = 4071-5Q" = 28Q 39-S 9) SBie groß ip bie Cberpli(i>e bet Stbe , wenn man biefelbe als eine Äugel befracbtet, beten Jjalbmeffet 859-0909 geogtapbiftbe 9Rei-- len beträgt ? 0 = 4. 859-0909®. 8-141598 = 9274537QÜReilen. 3) Sine Äuppel, weldbe bie getm einer .^albfugel bat, foH mit Äupfet« blecb gebccft werben ; wie oiel ©ledp ip baju etfotbetlitb , wenn bet ' Sutcbmeffet bet Äugel 4‘’3'tft? — 1 145-12 Q' Äupferbled). 4) Sie Oberpä^e einer Äugel beträgt 20Q'; wie groß ip bet .^alb» meffet? 4;r = 12-566; ^ = 1-591 ; r = \/l-591 = 1-261' == 1' 3-132". 5) Sin jilinbrif^er Sampffeffel mit jwei balbfugelförmigen Snbpildfen ip 3' weit unb 21' lang, fo baß bie Cänge beS SiüobetS 18' be» trägt; wie groß ip bie Obetpä^el Digitized by Google U5 5D{antelfF(S(^e be« 3ilinberd = 1 69-646 Q' Oberfläche ber (änb)lücfe (Äugel) = 28-274 » ©anje Dberpdche = 197-92 9*. Uehnnodanfgabcn. A. Üehrfdje §. ITI. 1. 3>«ht >n4n in einem regulären ^öielccfe oon gerabcr ®eifenjahl burch jinei gegenüber|lehenbe Scfpunfte «ine ©erabe, unb brefjet um biefe ba§ halbe asielcif h«um, fo ifl bie baburch erjeugte Umbrebungd« flache gleich bem ^robufte au6 bet ^etiferie be6 eingefchtiebenen ÄreifeS in bie UmbrebungSare. 2. aßenn in einen gleichfeitigen B'Iinbet eine ^uge( befchrieben mirb, fo »erbalfen jich bie Oberflächen bicfer jmei Ä&tpet roie 3 : 2. 3. Sine ^ugelmühe i|l einem Greife gleich, roelche bie 0ehne be6 haU ben vriougenben Äreiöabfchnitfcö jum ^albmejfer bat. 4. Der Jlächentnbalt eined fpbärifchen Dreiecfeö ijf gleich bem .^alb* me)]er bet .^ugel multipiijirt mit bet Sange eine6 größten .^reiSbo« gen6, ber fo viel ©rabe bat, al6 ber Ueberfchup ber ©tabe aller btei fpbarifchen SJinfel über 180“ betragt. B. Jlufgaben. §- 174 . 1. 3n rin« breifeitigen regelmäßigen ^ptamibe ijl a eine 0eite bet ©runbßäche unb s eine 0eitenfante; man beflimme bie Oberfläche. 2. Die Oberfläche eines babirn fenfrechtenSilinberS ju berechnen, menn ber .^albmejTer R beS ganjen SÜinberS, bet .^albmeffer r beS auS» gefchnittenen SüinbetS unb bie Jpöbe h gegeben |tnb. 8. Den JpalbmejTer eineS ÄreifeS ju ftnben, ber fo groß i|l, alS a) bie fülantelfläche eineS gegebenen geraben BÜinberS, b) bie fUlantelfläche eineS gegebenen geraben .!üegelS. 4. Die .tpbbe beS geraben Segels ju beßimmen, bejfcn SKantelfläche bem fUlantel beS umfehriebenen geraben BÜinberS gleich i|l. 5. Die.^öbr b‘8 abgefürjten geraben Segels ju beßimmen, beffen HRan« telßäche bem fUlantel beS umfehriebenen geraben BilinbetS gleich i(l- 6. Den .^albmeffet einet Sugel ju ßnben, beten Oberßäche fo groß iß, als a) bie Oberßäche eines gegebenen geraben BÜinberS, b) bie Oberßäche eines gegebenen geraben Segels. 7. fOBie muß ein gegebener gerabet Segel abgeßußt merben , bamit bie Oberßäche beS 0tuheS gleich werbe bet Oberßäche einer gegebenen SugeH Moenik awmctilt. 2. tlua. 10 Digitized by Google 146 III. ^nbihiiiljatt ber ßdrprr. I. @I(ieb(eit ^et ^ött>er. 8e^rfä|e. §. 175. I. 3»ei ^aroHefepipebe finb gleich, roenn fie biefelbe @runbfläd)e unb glcidpe J? 6 pe paben. SBcnn jirci ^arattelepipcbc auf bcrfciben ©tunbfläcpe aufftepen unb gicicpe .^öpc paben, fo muffen bte obern ©runbfläcpen notpmenbig in einer unb betfelbcn ebene liegen. 3m ©emeife felbfl jtnb bann jroei gälte ju unterfepeiben : a) 255 e nn b ie ober n ® r u n b f I ä ^en jmifepen benfelben parallelen EM unb FL liegen (gig. 232). »18- 232. Der Äörper AEJBFK ijl ein breifeitigeS priSma, weil feine ©runb* pädpen AEJ unb BFK parallel liegen , unb au(p bie 0eilentanten AB, EF unb JK parallel f?nb. gben fo i|l ber Äörper ÜHMCGL ein breifeitige» Pribma. Diefe beiben pribmen (Tnb nun fongruent, ba bie Äörpcrroinfel bei F unb G non brei in berfelben Drbnung fongruenten ebenen einge» fcploffen roerben. iJlimmt man »on beiben pribmen ben Äerper NHJPGK pinmeg, fo müffen auep bie atefle, nämlicp bi, «örper AEHNBFGP unb DKJMCPKL gleicp fein ; unb obbirt man 511 biefen beiben ben Äörper ADNBt'P, fo miljfen auep bie ©iinimen, nämlicp bie parallelepiptbe AG unb AL gleicp fein. b) 9ßenn bie obern ©runbfläcpen ni(pf jmifepen ben‘ filben parallelen liegen, roie in ben Pavallelepipeben AG unb AL (gig. 233). Digitized by Googl 147 Stfl. 233 ©«rlcingcrt man bte ®eiten EF unb HG, unb eben fo bie Seiten MJ unb LK, fo muffen fit man, baß burcb jene 3>urcbfc^ntttti6ma iß in beiben ^pramiben gleich groß, weil jroei breifeitige ^viSmen oon gleicher @runbßäct)e unb ^öße benfelben Äörperraum einfcbließen. 2(uS bcmfelben ©runbc iß jebeS nächßfolgenbe^aar »on umf P, > E , unb U > Pj > E Subtrahirt man bie 2lii8brücfe P, < U unb Pj >E, fo erhält man Pj — P^ < U — E d) Da jebeS umfcbriebene ^riSma bem nächß untern eingef^riebenen ^riSma gleich iß, fo iß bie Diferenj U — E gleich unterßen umfchriebenen ^nSma BCDJPO, welche« ber Äurje halber p heißen mag; baßer iß Pi — P» < P- 3n je mehrere $heile bie J?6he ab gefbeilt wirb, beßo fleiner iß p; ba ßch nun bie .^öße in beliebig oiele $heite theilen läßt, fo fann baS ^rißma p fleiner gemacht werben, alß jebe noch fo fleinc bentbare @röße. 2lber fo flein auch p werben mag, fo iß bie unoeränberliche Differenj P, — Pj ßetS noch fleiner; waS nur 0tatt ßnben tanii, wenn P, — Pj c=o, ober P, = Pi iß. §. 178 r 5. 3«be# breifeitige ^rißma fann in brei gleiche ß) ps ramiben {erlegt werben. Digilized by Google 151 8egt man (gifl. 258) btir* bi« fünfte A, E iinb CbeSbreifeitigcn ^ttSma ABCDEF eine gbene, fo ietfäUf babutei) bad ^riöma in jmei Q)pcamiben, eine breifeitige EABC unb eine oierfeifige EACFD. SBirb ferner in biefer Bierfeifi» gen ^promibe burd> bie fünfte C, E unb D eine Sbene 9 - legt, fo fdjneibet jie jene ^pramibe in bie jmei br«ifeitigen ^pra» miben EACD unb ECDF. ®ie beiben ^>pramiben EACD unb ECDF finb nun einanber gleid), weil fie einen gemeinfcl)aftlic^en 0cf)eitei E unb ba= 5erg(eicf)e^&^e haben, unb oiic^bie @runb= flachen ACD unb CDF al6 ^älffen be6 g)aratlelogramm0 ACFD gleicf) finb. SÖttrac^t.t man in ber ^pramibe ECDF ben ^unft C al§ 0c^eitelä unb DEF oiö @runbfl genommen, welcher Äu bi fjoll (Jfliib.''), Ä ub i f f u h (Äub.'), ..Äu* bifmeile h'ißl, j« nachbem eine 0eite beOfdben einen 3<>n, guh, . . eine ÜJfeile beträgt. Sem ©egrife beb Weffenb ju golge follte mar, um ben 3nhalt eineb Äörperb ju brjlimmen, barin eine Äubifflafter, einen Äubitfup, . . fo oft neben unb über einanber legen, alb eb möglich i|i. Siefeb weitläu» pge unb in ben feltenjlrn gäHen aubführbare (Berfobren wirb übrigenb in ber SEBirtlichfeit fo wenig ongewenbet, alb man ben gläcbeninbalt burch wirtlicheb 2(uffragen ber glächenmahe fu^t; eb laffen fleh nämlich ®ä$e ableiten, nach benen ber fubifclje 3uboi( oub bem ÜRafe ber Linien ober glächen, oon benen bie ©röh« beb Äörperb abhängt, burch Blechnung gefunben werben fann. a) itubifinhalt eineb rechtwinfligen ^arallelepipebb unb eineb 2öürfe(b. §. l«l. Sb foll (gig. 240") ber .Äubifinhalt eineb rechtwinfligen ^aratlelepi« pebb, worin bie Fänge AB = 5', bie SBreite AD = 3', unb bie .^ohe AE = 4' ijl, bepimmt werben. gi«. e40. Di- hy Google 153 ffletl ble @runbfld(^e ABCD 5x3=:15Q' enteilt, fo fic^ barauf (in ^ubiffu^ I5mal auftragen; baS ^araUeteftipeb entfiält aifo big ju einer .Ocbe non r eine 0c^icf)te von 16 Mubiffu^; ju ber Jpo^e KL geftört eine neue 0(^id)tc »on 15 Äubitfu^, eben fo ju ber ^öbe LM, MH; ba6 ganje ^arailelepipeb pat baf>er 15x4 = 5x3x4 = 60 iiubitfuß. JUIgemein laffen ftcb auf ber ©runbfladje febeSmal fo »iele 2BürfeI aufjletlen, alS biefetbe /iuabrafe, ober cl@ ba« q)robuft au6 ber ?änge unb ©reite fiinbeiten enfbalf ; unb eS erfcbeinen fo oiete folt^er ®cbicbten con SBürfeln über einonber, alö bie ^6f)e tJiiibeiten entbalt. ÜRan muf baber, um ben ÄörperinbaH eines recbfminfligcn ^aratlelepipebS ju er. halten, bie 8änge, ©reite unb ^öbe mit einanber, ober maS gleicboiel ifl, bie ©runbflacbe mit ber 4>öb< multiplijiren. SarauS folgt: SerÄubifinbolt eines re(btroinfligenQ)araIIelepi» pebö ijt gleich ^robufte auS ber ÜÖnge, ©reite unb J?öbe, ober bem ^robufte auS ber ©runbfläthe unb 5 b e. X)ie ©enennung beS fubifchen fisngt non ber ©enenniing ber 0eiten ab; finb biefe in Älafter auSgebrücft, fo bebeutet bie welche ben £örperinbalt anjcigt, ^ubifflafter; u. f. m. §. 182. 5in SCBürfel fann olS ein recbtmintlige« ^oraOelepipeb , worin ?5nge, ©reite unb ^)6be einanber gleich finb, betrachtet werben; bober ifl ber .ftubifinbalt eines SBürfelS gleich (iner 0eite, breimal als gaftor gefegt, ober jur britten g)oteni er« hoben. JJeiht K bet Äubitinbalt eines 2BürfelS, bejfen 0eite S ifl, fo b«* man K = S®. 2luS biefem folgt: 1 Äub." = 6» = 216 Äub.', 1 Ällb.' = 12® = 1728 Äub", 1 Äub.» = 12» = 1728 Ätib.'«; 1 Äub Weile = 4000» = 64000000000 Äub.® 9Benn man umgefebrt auS bem fubifchen JnboHf eines SDBürfelS bie fänge einer 0eite finben wiH, fo barf mon nur jene 3abl fuchen, welche breimal alS gaffor gefegt ben Äubifinbalt gibt, b. b- man braucht nur aus bem gegebenen Äubifmba'te bie Äubifwurjel auSjujieben. §. 183. © e i f p i e l e. I) 9Bie grob ifl ber .Äörperinbalt eineS rechtwinfligen ^aratlelepipebS, in welchem bie Cönge = 4' 6'', bie ©reite = 3' 5'' unb bie .^bbe = 2' 8" ijll eänge = 4' 6" = 54“ 54 X 41 X 32 = 70818 Äub.“ ©reite = 3' 5“ = 41“ = 41 Äub.' ^bb< = 2' 8“ = 32" Digitized by Google 154 2) ®i< grel i|l ber Äiibifin^alt eines ©etteibefaflenS , bei melc^em bie Cänge i“ bie ©reife 4' 3" unb bie 4' 6" beträgt; «nb loie »iel ©efreibe fann er aufne^men, wenn ein SRegen 3865 Äub.'< enthält? 8änge =1" = 72" 72 x 51 X 54 = 198288 Äub." ©reite = 4'3" = 51" 198288 : 3365 = 58-9, olfe nobe = 4' 6" = 54" 69 aRegen. 8) 2Bie »ief beträgt bet Äörperinbalt eines SEBürfelS, beffen jebe 0eite = l"3'3" ijt? @eife = l''3'8" = 111"; 111* = 1867681 Äiib." = sÄiib." 148Äub.' 783 Äub." 4) ®ie (ong i|l bie ®eite eines SBürfelS, beflen Äiibifinholt I2^iib.' 1216 Äub." beträgt? 12Äub.' 1216 Äub." = 21952Äub." 3 v/2l952 = 28" = 2' 4" @eite. b) Äubifinhutt irgenb eines ^riSma. §. 184. 1 . 25o i'ebeS gerabe ober fc^iefe ^araHelepipeb einem recpfroinfligen, baS mit ipm gleiche ©a(iS unb foigt: Der Äbrperinbolt eines jeben ^ a r a 1 1 eie p i pcb 8 i|l gleich ber ©runbfläclie multiplijirt mit bet Jjbhe. 2 . 3<^i>eS breiieifige ^riSma ifi bie .^älfte eines ^oradelepipebS »Oll boppelf fo gtoper ©aftS unb gleichet .^bpe; bap.r i|l bet Äbt* perinbnlf eines breifeitigen ^riSma gleich ber halben ©riinbfläche beS '"parallelepipebs, b. i. feiner eigenen ©runbfläche, multiplijirt mit ber .^bpe. 8) meprfeifige ^riSma ABCDEFGHJK (5i9-24i) läpf fich bur^ XMagonalburchfchnitte in lauter breifeU tige ^riSmen jetlegen .^eip nun h bie Spe^e beS mehr» feitigen T^riSma, fo ifl - ^rioma ABEFGK = ABE.h, „ BDEGJK = BDE.h, „ BCÜGHJ = ^ BCD . h ; baper burcp 'Ubbijion ABEFGK + BDEGJK + BCDGHJ = (ABE + BDE + BCD) . h ober , ABCDEFGHJK = ABCDE. b ; b. p. bet Äubi?inpalt irgenb eines ^riSma i)l gleich ©runbfläche, multiplijirt mit ber .^bpe. Digitized by Google 155 © e i f |> i e l «. 1) Die ©af?8 eine« ^riäm tjl 3Q' 65Q", bie ^»6^e l' 8"; »ie gto^ i(l ber ÄÖrperinbalf t ©oii« ^ $' 65Q" = 497Q ' = 1 ' 8 " = 20 " Äubitin^alt = 497 x 20 = 9940 Äub." = 5 .«ufc.' 1300 .«ub." 2) 2Bie gro^ i|l bet Äbrperinbatt eine® gerabcn ^riSma, beffen J?6b« 3" beträgt, unb beffcn ©a)l8 ein regelmäßige« ®e(^8ect iji, worin eine ©eite 8" 9änge bat? Der Slädjeninbalt ein.« regelmäßigen ®ec^«ede8, bej^en jebe @eite 8" beträgt, ij? 1 66-32 baßer Äubifinßalt be« 'J)ri«ma = 166-32 x 216 = 35922 Äub." = 20 .Rub.' 1362 Ä'ub." c) Äubifinbalt einer ^ptamibe unb eine« ^prami« b a 1 11 u b e «. S 185. - 1 . Da eine breifeitige <})pramibe ber britte aßeil eineo breifeitigen <3>ri«ma »on gleicher ©nnibfläche unb J?bi;e lO, fc' folgt: Der Aorperiiißalt einer breifeitigen ^pramibe i|l gleid) ber ©runbfläcße, miiltiplijirt mit bem britten abcilo ber ^)öbe. 2. 3cbe mebrfeitige ^pramibe OABCDE (S^g. 212) läßt ßcß, wenn man burcß ben ®cßeitel unb bie Diagonalen ber ©runbfläche gbcnen legt, in lauter breifeitige ^pramiben jerfallen. .^eißt nun h bie ^loße ber mebrfeitigen 9>pramibe, fo ij? ^promtbe OABE = ABE . , OBDE = BDE , O „ OBCI) = BCD . ^ ; baßer burcß ?lbbijion OABE + OBDE + OBCD = (\BE + BDE -tBCD) - 3 ober OABCDE = ABCDE . - , 3 b. ß. ber Äubifinßalt irgenb einer ^pramtbe i|l gleich ber ©runbfläcße, multiplijirt mit bem britten Sßeif ber 4*oße. §. 186. 3. Um ben Äubifinßalt einer al'gefurjten «ppramibe cn ßnben, be= flimme man bie Äörperinßalte ber beiben 'Ppramiben, beren Unterfcßieb 8ig. 242. Digilized by Google 156 ttr ^9ramiboI|Tu$ tfl, unb jie^e ben Sn^alf b« fleincrn ^pramibe »on jenem ber großem ab. < @inb (jifl. 243) bie beiben (Srunbficicben ABCD =B unb EFGH =b, unb bie .^Öpe h be6 ^pramibatflupeö gegeben, fo la^t fiep ber Äu» bifinpalf K beSfelben auf folgenbe 2irf be|limmrn: Sifl. 243. ü)?an enueifere bie 0eitenfIäcpen be§ g>pramibaIflupi'S, bis fie im fünfte 0 jufammenfrefen , unb eS ifi K = qjpr. OABCD - qjpr. OEFGH. 3ifpl man oon 0 auf ABCD bie 0enf* reepte OP, mclcpe audp auf EFGH fenf* reepf fein mu^, fo paf man PO = h, unb wenn 00 =x gefegt roirb, OP = h + x. ®S iO nun qjpr. OABCD = B(h+x) 3 unb bx bx T q)pr. OEFGH = y , bapet K = Sur SBefiimmung »on x pat man bie ^rcporjion; B : b = (h -|- X)* : X* ober y/B : v/l» = Cb -f" *) • *• 3)arau8 folgt (\/B — v/b)t\/b=h;x, unb fomit x = -4'—** — . y D — y U Durep ©ubjlitujion biefcö SBertpeS erpält man fofert !!'’ _l (B—b) = '*'’ + - (v/B + v/b) = T + + y = (B + v/Bb + b) . ®cr 2iuSbrutf K = B . ^ -f\/Bh . - b . ^ gibt ben Sag: Gine abgefflrjte ^pramibe i(i gleicp brei ^pramiben, bie mit ber abgetürjten gleicpe Jjope paben, unb beren ©runbftäcpen bie beiben ©runbflacpen bet abgetürjten ^pramibe unb bie jmifepen ipnen mittlere geometrifepe ytoporjionale finb. §. 187. 93 e i f p i e 1 e. I) 2Bie gro^ ifl bet Äörperinpalt einer ^pramibe, beren sSafiS 3Q' 72Q", unb beren 4><>pf S'3" ifl? SBafi« = sn'72Q" = 504Q“ .^ijpe = 5' 3" = 63" it&rperinpalt =: 604 x 2l = i0S84Jlub." =< 6^ub.' 216 üub " 167 2) 3n «in« reflelmä^iflen oierfeitigen 'p^ramibe ijt jebe®eite ber®afi« 3' 4'^ unb jebe 0citcnfante 7' 3"; roie gro^ ij! bet Äubifin^aU? SBafiS = 40* = 1600 "Diagonale bcr SBaflS = v/40* + 10* = S6-57'' ^ü(>e bet ppramibe = \/67* — 28-285* = 82-2737" Ä6tpetin()0U = 1600 x 27-4246 = 43879-36 Äub.' = 25Äub.' 679 Äub." 3) 3n einem Ppramibalflu^ i|l bie ^o^e 5', bie ©runbpäc^en finb gleii^fcitigc Dreiecfe, beren 0eiten l‘ 6" unb 1' 2" betragen; roie gro^ 1)1 ber ^ubifin^altv Untere ®afl6 = I40 22Q" Obere „ = 84-84 „ SWittlere proporjicnalc = 108 07 » 334-13 "ÄÖrperin{>aIt = 334-13 x 20 = 6682-6 Äub." = 3 Äub.' 1599 Äub." d) jtubitin^alt eineö 3 iünber 6. §. 188. Sin Siiinber fann ald ein priSma, beffen ©runbfläc^e ein itrei6 ifi, betrachtet merben; baber gilt ber 0a^: Der ^ubifinbalt e i n e 6 3 > I > n be r 6 i{t gleich ©runbfläche, multiplijirt mit ber ^oh«. .^eibt h bie .^ö^e unb r ber jpalbmeffer bet ©afi«, fo i(l bcr Ä6t» perinhalt k = r*hT. gür ben gleichfeitigen 3>Iinber, roo h = 2r ijl, hoi nian k = 2r*;r. © e i f p i e I e. 1) Sffiie groh ip ber Äbrperinhalt eine« 3ilinber6, beffen ©runbfläche 2' 4'* }um .^albmeffer f)ot unb beffen .^6^« 1' 2" i)1? ©a(i6 = 28*. 3-1416 = 2463-0144Q" Äubitinhalt = 2463-0144 x 14 = 34482 .fiub." = 19 Äub.' l650Äub-" 2) Der Durdjmeffer eincö gleichfeitigen 3ilinbet6 i|l 1' 4"; nie gro| i|l ber Äcrpetinhalf? ©runbflächc = 8*.3-I416 = 201-0624Q" Äörperinhatt = 201-0624 x 16 = 32 16-9984 Äub." = 1 Äub.' 1488 Äub." 3) Sine jilinbrifchc SRöhrc i(i 3' lang, bie SCBeite im 8ichten I', bie Dide 1 wie oiel beträgt ber Äubifinhalt? gür ben großen 3iltnber bat man ©a|i« = 6*. 3-14= 113-04 "Äubifinbalt = 113-04 x 36 = 4069 Äub." baber Äubifinbalt ber jilinbrifchen Stöbe« «=> l470Äub." Digitized by Google 158 e) eined Itcgeld unb eined ^egel)lu|ed. §. 189. 1 ) Der Äegel fann alö eine ^pramibe, beren ©afl6 ein Ärei§ ijl, an. gefeben roerben. Der Äörperinbnit eineöÄcgelS roitb bab«r gefunben, »enn man bie ©runbflocbe mit bem britten ^6be multiplijirf. ^ei^t h bie i^öpe unb r ber .^albmeffer bet ©aft6 , fo iß ber .Ä6t» . , r’hn perinpalt k = —^— . 3ß ber Äegel ein gerorer unb pei^t s eine 0eite beffelben, fo iß h = \/s® —r*, boper k = —r*. gut ben gieicpfeitigen Äegei iß s = 2r, folgliep h = r\/3, unb k = ^;vs. 2) Den aPgefürsten Äegei fann mon oI8 eine aPgefürste^promibe, be« ren ©tunbßacpen Steife ßnb, Petracpfen. Daraus folgt: DerSBrperinpait eines aPgefurjtenSegelS iß gleic|> ben 3npolten breier Segel, bie mit bem aPgefiirjten gleicpe 4>He paPen, unb beren ©runbfldcpen bie Peiben ®runbflöd)en beS SegeIßupeS unb ipre mittlere ^ro» porjionate finb. ^ei^en B unb b bie ©runbßöcpen beS SegeIßupcS, unb h feine ^üpe, fo iß ber Sörperinpait K = B ^+b.^ + X/Bb.^ = (B + b+ v/Bb) . 0inb nun R unb r bie JjalPmeßer ber ©runbßäcpen B unb b, fo iß B=R^x, b = r*«-, v/Bb = Rr>r} baper K = + r* + Rr) . 3 S8 e i f p i e I e. 1 ) Die '^oßS eines Segels pot i'S" jum^alPmeßer, bie.^6pe iß r9“; mie groß iß bet SuPifinpoIt? ®oßS = 15®. 3-1416 = 706-86Q“ SuPitinpalt = 706-86 X 7 = 4948-02 SuP.“ = 2 SuP.' 1492 SuP." 2) SEßic groß iß ber Sftrperinpalt eines geroben Segels, beßen 0eife 1 “ betragt, unb bcffen iBaßS 4' jum Durcpmcßer pat? gSaflS = 2®. 3-1416 = 12-5664 ' .^Öpe = v/6® — 2® = 5-6569' SuPifinpalt = 12-5664 x 1-8856 = 23-6951 SuP.' = 23 SllP.' 1201 SuP. • 3) ®S fei 2' 8'' bie 0eite eines gieicpfeitigen SegeiS ; man Peßimme ben SuPifinpalt. Digilized by Google 159 ©Ofi« = 16*. 3 1416 = 804-2496Q' J?5j)e = l6v/3 = 27-7128" Äubifin^a« = 804-2496 X 9-2376 = 7429-33 Äub." = 4Äut).' 517 Äub." 4) S6 ijl bet Äubifin^alf eines 3' 6" JoJien ÄegelfiufcS ju berec^jnen, beffen untere tÖojiS 2' unb bie obere ©afiS r 8" jum meffer |>af. R* = 625 (R* + r* + Rr) )T = 4790-92475 Q' r* = 400 Äubitinj)alt = 4790-92475 X 14 Rr = 500 = 67072-9465Äub." = 38Ä-' 1409Ä." TS25 f) Äubifinjialt einet Äugel. §. 190. 5S fei AB (Sig. 244) ein 3)urcl)mejfet unb 0 bet ÜRiftelpunft bet Äugcl. Dentt man jic^ nun burd> AB fe^r »iele (Ebenen gelegt, roelc^e »ig. 2*4. A bie Äugeloberflcic^e in grft^ten Greifen fd^neiben, unb ferner fenfre<^t auf AB mef)rere (Ebenen geführt, roelc^e bte Oberfläd;e in parallel [aufenben .greifen burcpfc^n eiben , fo jerfciUt baburd) bie ganje Oberfläche in lauter 35rei« unb iöierecfe, melcpe man alS eben unb gerablinig anfepen tann, menn bie 2lnjapl jener 0cpnitte iinenbli(^ grop angenommen wirb. Sicpt roon.nun ju allen ^urcpfcpnittSpunften ber Dberfläd'e J^albmeffer, unb bentt fiep burep biefelben (Ebenen gelegt, fo erfepeint bie gugel auS lauter ^pramiben jufammengefept, melcpe aHe iprelBafiS an bergugeloberfldcpe, unb ipren ©cpeitel im SKittelpunfte paben , fo ba^ ber J?albmeffer ber Äugei ipre gemeinfcpaftlicpe 4>öpe Borjfellt; eine folcpe ^pramibe ijl }. SB. Oabcd Der Äubifinpalt einer ^pramibe aber mirb gefunben, wenn man Digitized by Google 160 bi« ©runbfificb« mit b«m britlen Steile ber ^6^« mulffplijirf ; ba^er ijl bet Äörpcrin^alt aßet jener ^Ppramiben jufammengenommen , b. i. bet 3nt>alt ber «^aniien £uge[, gleich ber 0umme aller ©runbfläc^tn , b. i. ber ^u^eloberfKu^e, multiplijirt mit bem britten Speile ber gemeinfe^aft* licken ••Job«, b •• beö ^albme^erS. Ser Äubitinpalt einet Äuget i)l aifo gicicb ber Ober» f(dd)c, mulfiplijirt mit bem britten Sjjeite beS ^alb» mefferS. ^eijit r ber ^atbineffer ber Äuget, fe i|t bie Dbetflöc^e o = 4r*>r ba^er ber Ä6rperint>att 3 Ar* f i It 2tu8 k = 1 folgt r = y mittelfi roeld;er gormel man 3 4?: auö bem gegebenen ÄÖrperinbalfe ber Äuget ben ^albmeffer berechnen tann. Jpei^en K iinb k bie jroeier Äugeln, beten ^albmeffer K unb r (tnb, |o hot man j 4r* it ~T' bah«r K ; k = R* : r®, b. h- bi« Äbrperinholte jmeiet Äugeln »erhalten fich fo wie bie britten ^otenjen ihrer ,^olbmeffer. SB e i f p i e I e. 1) JCBie gtoh i(l bet Äubifinhalt einer Äuget, beten i?albme|fer 3 6" i(l ? 0 = 4.42*.3-l4l59 = 22 1 67-05904 "k = 22167-05904 x 14 = 310339 Äub." = 179Äub.' I027Äub.» 2) 3Kan be|limme ben 3nhoIt einet Äuget, beten Sutchmejfer 3' 8" beträgt. 0 = 4. 22*. 3-1416 = 6082-IS76Q" k = 6082-1376 . 7i = 44602 Äub." = 25.«ub.' 1402 Äub." 3) SBie gto| i(t ber .^atbmejfer einet Äuget, beten Äubifinhalt 48Äub.<' beträgt 1 *1 l£ — = 1 1-459153, in 3 r == \/ll-459l53 = 2-26". 4) Sin Sampffeffel ijt 3' weit, bet Silinber i)l 18' 6" lang unb h«t ju beiben 0eiten jwei holbfugelformige Snb|lücfe; man fu^e ben Äor» pennholt. Äubifinhalt be6 3ilinber6 s= 225969 Äub." 3nhalt ber Snbflücfe (Äuget) = 24429 » Äubifinhalt b«6 Äeffelö = 250398 Äub/^ = 144Äub.< 1566 Äub." Digilized by Google 161 8. ttc6ntt0daufga6en. A. 8e^tfa$e. S. 191. }-1 !: ••/» •..'..1 .. -h;; l f'. j 1 i.it*» ' . iil • ' • ) ,:;-:r HS .b 1 . 2>et ÄStferin^oft eineö regulären ^olpebet# tfl glelc^ brt' iÖfce?* fließe beefelben mulfiptiiirt mit bem britten Wjli»nbe8 einet 0eitenflä(be »om SHiffelpunffe. ^ ' 2. 5E3enn man in einem regulären ^olpgone non geraber ©eitenanjabl jtcei gegenüberpepenbe (S^punfte biirdp eine ©erabe eerbinbef, unb um biefe lepfere bo6 patbe 'polpgon perumbrepet, fo ip ber 3npalt be6 baburcp PcfcpriePenen Äorpcrö glei(b bet boppelfen gläcpe beS eingefcpriePenen Äteifc6 multiplijirf mit bem britten Speile ber Um» brepungSarc. 3. DerÄörperinpalt eine« Äugelfettora ip fo grop aI8 berÄSrperinpalt eine« Äegel«, melcper bic Dberpäcpe bet Äugetmüge jut ©tunbpäcpe unb ben ^alPmejfer jut ^>öpe pat. 4. Ser Ä&rperinpalt eine« Äugelfegment« ip gleicp bem Snpolte eine« Siltnber«, ber bie J?6pe bet Äugelmüpe jum .^albmejfer unb ben .^albmeffer ber Äuget jur Jpope pat, weniger bem 3np4ite eine« Äegcl«, bcjfcn .^öpe unb ^albmeffer ber ©ap« bie ^6p« ber Äu« gelmü^e ip. 5. IPSenn man einem gleicpfeitigen 3i(>nber eine Äuge! unb einen Äe> gel einfcpreibt , fo oerpalten pcp bie 3npalte biefer brei Äörpet wie 3 : 2 r 1. B. Aufgaben. §. 192. 1. Sen Äubifinpalt eine« Setraebcr«, beffen 0eite a ip, |u pnben. 2. Sie Dberpäcpe einer Äugel iP gleicp ber Oberflä(^e eine« SBürfet«; welcpet Äbtpcr pat einen gtöpern tubifcpen 3npalt1 3. Sen .^albmeffer einer Äugel ju pnben, beten Äubifinpalt fo groß, ip alö a) bet 3npalt eine« gegebenen 3ilinber«, b; ber 3upalt eine« gegebenen Äegel«. 4. Sin geraber 3ili"ber »cm .^albmeffer r ip bur^ eine Sbene fepief bur^fepnitten; bie Cänge bet tleinpen 0eite ip a, bie ber gegen» überliegenben gropten b. ®ie gtop ip ber Äörperinpaltl 5. 5« foff in bet 0eitenfante einer geraben ^pramibe ein ^unft oon folget ©efepaffenpeit gefuept werben, bap wenn man burep benfelben eine ®bene pamllel mit ber ©ap« legt, bie abgefürjte ^praroibe ^ »on ber ganjen ^pramibe betrage. Moioik, 9ccRUtTi(. 2. 9(ufl. 1 1 Digitized by Google 162 €. 9Xan foQ in itt 0(ife eines geroben itegelS ben ^unft beflimmen, burc^ »eichen eine mit ber $8oftS )>atat(ele Sbene gelegt metben muß, bamit bec abgefcbnittene ^egelflub — beS ganzen JtegeiS befrage. n 7. 9Bie muß ein gegebener geraber .Kegel abgeßu$t werben , bamit fein 8lauminbalt fo groß werbe, alS ber 3nbAit einer gegebenen Kugel? 8. iOon einem ÜRetall, beffen fpejißfcßeS @ewi(ßt s iß, foQ eine boßle Kugel oom .^albmeffer r oerfertigt werben, wel^^e unter bem iSaf* fer fe^toimmf ; wie groß wirb ber .öalbmcffer ber .^bplung fein mflf» fen, wenn man biefe aI6 luftleer ännimmt? -atOtrDigilized by Google J>ritter ÄljfU. , (Cte ^tt0onomcttie. 3(beS «bene ober f)>bärif(^( Drcirtf enthält fcc^S 0td(fe, brei ®ei* ten unb btti SBintel. Stefc flehen in einem fo innigen 3Qfamnten()ange, baf man im 21IIgemeinen aub biei gegebenen ®tütfen, motunfet jebo^ bei ebenen 2)reiecten wenig()en6 eine 0eite fein mu^, buteb einfache ^on< flTufiionen au(^ bie übtigen btei ®tß(fe befiimmen, unb fo ba9 1)reied oev« jeic^nen fann. 2(aein bie geomettifc^e ^onfimfjion ^at ben Uebeifianb, baf fte wegen bec UnooQfommen^eit bet babei benötbigten S^flrumente jletS nur angenüberte unb unjureicbenbe 2(uflöfungen liefern fann ; man fab f! einbeiten )U @runbe liegen, ©lüdlichet iSeife fanb man , bab ed gewiffe getabe 8inien gibt , weliht mit ben tSSinfeln in einer fotchen UBe^fetbejiebung fieben, bab fich bie @rbfe eines jeben IBinfelS bur^ bie 8ünge jener 8inien unb umgefebrt barjietlen Ifift. Diefe 8inien, welche bie ©rÖfe bet SBinfel auf eine un^weibeutige 2(tt beflimmen , bi bet ©eomettie, wel> Cher ihre gegenfeitigen 9felajionen unterfu^t unb biefetbenanwenben lehrt, bie % t i g 0 n 0 m e t r i e. 3e nachbem fich bie Srigonometrie mit ber Berechnung ber ebenen ober fpbärifchen giguten befch^ftiget, wirb fie bie ebene. ober fpbSrü f ch e Ätigonometrie genannt. 11 * Digilized by Google ®ri1:er 3lbfc^nitt Sie eibene Svidonpmetrie. I. €tig0n0mrtrif4)e /nnK3t0ntn nn>r i()t J^nfamnun^ang. 1. @inu3 unb ßoftmig. ' ' ’ §. 194. ' ' - " SBtnn man non bem einen 0cbenrel cine6 ÜBinfelS ein 0tütf ab« fc^neibet, meI4><0 ber Sinbeit bed (ängenma^eb gleich if^r vom Snb« punfle eine 0enfrechte auf ben anbern 0chenfel fäUt, fo b(i^t bie Sänge biefer 0enfrechUn Sinus jenes fSBinfelS, baS 0tüc{ beS imeiten 0: 3Iimmt man (5ig. 245) BObsL.oä unb '.43,./ p-."- iiebtBCj_AOf fo ifi BCsasin.« unb COi=>^ , • r.'i 'Nv"’ t'.fi»' 008 *“* ) ' ,T . ; ivN. »’''! ..'»f ' ' ®en“ bet SBinfel a änbett, fo metbw / • h: nv ojfenbot au.^) bie Sinien BC unb CÖ, n«m«, r-i luh'Sina unb cosa änbetn. Um ben 3ufom* S Al,, jmifi^en bem ä^infel unb beffen Sinus ”?i: '/./): 4// . ; “l'b Cosinus ifür jebe @tb|e beS SGBintelA flat • • . . ii» etfeben, nehme mon (Sifl.246) ben 0chen« •• gig. 846. Digitized by Googl 105 Ul AO be0 9Binfe($ a ald uniewrgTic^ , ben 9ut ergebe« v,ftch folgenbe Bletaiionen ; 1 ) 3« Meinet her 5E3infel a, beflo Meiner i|l auch ber ^us, wShtenb fich ber Cosinus ohne Snbe ber Sinheit nähert; für a=:0 ifl bähet sin a s= 0 , coi « = -}- 1 . 2) Cä^t man a oon 0 bib 90° wachfen , fo nimmt sin « %u , wühtenb cos a abnimmt, beibe finb hofltio. gut a =*loo° iji sin o = -f- l, cos a = 0. ' ' ‘ S) SBächfl a. oon 90° bib 180°, fo ifl ber Sinus hbfitio ünb nimmt ab, ^ ' , bet Cosinus bagegen i{} negatio unb wöchfi. tOSirb a = 180°, fo hot . , man sina b o, cos« =3 — 1 . , 4) SBährenb « oon 180° bib 270° junimmt, i|l sin« negatio unb nehmenb, cos« auch negatio aber abnehmenb., gut «=>270° wirb . I ' sin X B — 1 , cos « = 0. I ’j 5) SEBirb «>270° abeti<:360°, fo ifl ber Sinus negatio unb abneh* menb, bet Cosinus pofitio unb wachfenb. gür a=>360°iO tnbliih sinx.aO, cos« «=* + 1. 2. a^angente unb ©efantt. ' • 8- 195. • ' ; ‘ ' , QBenn man oon bem einen 0chenEeI eineb SCBinfel9 ein 0tücf gleich 1 abfdhneibet, imSnb|»unMt barauf eine0enfrechte errichtet, unbbenanbern 0chentel oerlangert, bib et biefe 0enfrechte burchfchneibet, fo hript bab baburch abge« fchnittene 0tü<( bet ^entrechten bie San* gente, unb ber oerlängerte 0chenfel, 00m ^ . 0(heitet aub genommen, bie 0efante je» ' neb ffiinfelb. “ - 3Racht nian (gig. 247) AO =± 1 unb AC I _LA0, fo i|lAC =lahga unb OC=*seco. 0ie ilbhängigfeit ber Sangente unb 0e* fante eineb SBinfefb oon ber ©röfe bebfelben erpeht man aub bet gigut 248. 0ie Sangenten nach aufwärtb werben alb haptio angenommen, ba* her fene nach abwärtb negatio pnb. Biimmt man eben fo bie 0eranten, wenn ber {weite 0chenfe{ in feiner eigentli^en SMchtung oerlingert wirb, »ig- 2*7. {tr mi 1- “•in Digilized by Google ' 166 gffl. 248. «i8 ^ofttiv an, fo mü|f(n fie atd negofb b«tra(ij)tet werbofitib, bie0efante negativ, gär a>=270® ftnb Sangente unb 0efante unenbti^ gro^. ' S) «übet 270® bi« 860®, fo nehmen Sangente unb 0efante ' ab, bie Sangente ijl negatlb, bie 0eFante fofiti». ©irb enblii^ ” ’ ' a = 360®, fo ip lang» = 0, seca = 4- 1. ^nt^ '.':i 3. öotanocnte unb 6ofefante. ,» !^j . r s. loo. : ' ©enn man im 0<^eitel eine« ©infel« auf ben einen 0d^enfel eine 0en{recbte, jieht, von berfelben ein 0tüd = l abft^neibet, im Snbpunfte eine {»eite 0enfeecbte errid^tet, unb ben anbern 0^enfel beriangert, bi« er biefe burc^fcbneibet, fo hoipt ba« baburc^ abge« f4>nittene 0tüi{ biefer (eitern 0enfrecbten bie Sotangente, unb ber oerlüngerte 0cbenfel vom 0^eite( an geregnet bie Sofefante iene« ©intel«. - t 3i«bt wo» (5ig. 349) OCj_AO, fc^neibet OC = i ab, unb raac^t CD 4^ pC'/ fo ip CD — cota unb OD » coseca. Digilized by Google 167 8fifl. 249. ®ie S3«fc^a|fen^eU btt SetMjtnU unb Sofefanfe für bie »on o 6i9 360* «oac^fen» b(n SBinfel läßt ftcb auf biefelbe 2(rt ab(et< ten, wie jene ber Sangenfe unb 0efante ^ nac^gewiefen würbe. 2)ie birr angefufirfen Sinten, nämlidb Sinus, Cosinus, Sangente, 0efante, Sofaa< gente unb (Tofefante jinb jene trigonome* ttifcben Sun fj tonen, welche bie @rbf« eines SßinfetS unjweibeutig beftimmen. I)ie iu bell oerfcbiebenen SSinfeln gebbrigen trigonoraetrif(b cosec a. Sig. 250. \ EB 'L . JD ^C o 2(uS ben redbtwintligen S)reiecfen BDO, EAO, FCO folgt BD* + DO» = BO», AE» + AO» = OE», CF* + CO* = OF*; ober sin*a cos*a t= 1 . . . 1), iang*a -f- 1 == sec*a ... 2), cot* a -|- 1 = cosec* a . . . 8). SOBegen ber 2iebnli(bfeit ber Sreiede AEO unb DBO ift AE : BD = AO : DO unb EO : BO = AO : DO ober lang« : sin« = 1 ; cos« unb sec« ; 1 = 1 ; cos«, . . sin® .V 1 woraus lang « = . . . 4) , sec « = ... 5).° cos « cos « ^uS ber 3iebnli(bbeit ber X)reiede CFO unb DOB folgt eben fo . cos« 1 cot. a = . . . 6) , cosec « =a . ' • • . 7). sm a un a Digilized by Google 168 V b«« ftjeiben 2(u«brürfeit 4) unb 6) folgt no(^ uberbief tang a = ... 8). cot a •nr •n v 1 . 5. fRelajionfn jtütfd^en bfn higonomotriftficn gutiftionen berf*iebe- neräBtnffl. «.5 »( .. II c £. • • t ' §. 198. a) Äomplementäro ®tnfcl. r. •. fitt» i“ 90“ «gänicn, j. SB 60“ unb So“, Bnpen fomplemcntdro. 3>*5«i foId)e SBinfel fSnnen allgemein bur* « '^nnb 90— a ouOgebtörff werben. ^ 25a (5ig. 251) BD =8ina, BG =sin(90 — a), DO = cosa, GO = cos (90 —a), 6r AE = lang a, CF = lang (90 — a), OE=sec.t, OF = sec(90 — a), CF=COta, AE =: cot (90 — n), OFracosecfl, OE =cosec(90 — n) D, i » sin (90 — a) = cos a . . 9 ) tang (90 — a) =a cot« . . 11 ) sec (90 — o) =='coseca . . is) O ijl, fo folgt cos (90 — o) = sin a cot (90 — a) = tanga cosec (90 — u) = sec a 10) 12) 14) S- 199. b) ©upplementäre SJBinfel. 3»ei sasinfel, beren ®umme 180“ beträgt, werben fupplemenä täre SEBinfel genannt, j. SB. 126“ unb 54“. 3wet fupplementäre StBtnfel werben im^Mgemeinen burdj ,< unb ISO — a bejeic^net. 25a (gtg. 252) ‘ fP ,,BD = siqa, OD = — cos a , '!*/ fo ergibt BD = sin (180 — a), OD = cos (180— a) Digitized by Google 169 «in (180 — o) tang(180 —a) sin o... 15) cos (180 «in (180 - g) _ sing cos (180 — g) —cos« _a) sg* — CO«g . . . 16) = — tango ... 17) §. 200. c) SJlegafiee SBintel. SBerbcn bie SBinfel, wel^e enljle(ien, wenn bet bewegUcjie ®cl^enf«I BC (gig. 253) Bon bem unbeieeglii^en AO ou6 na^ eben gebrebt »itb, aI6 pofiti» betradbtet, fe raüffen bie fflinfel, welib* bunJ^ bie Drepung be6 beweglichen ®^enfel6 nach unten enfjleben , al6 negati» angefepen werben. A 3|1 bet SEBinfel AOB = AOB*, fe^t man AOB = a , unb benft bie SEBinfel but^ bie Drehung bon AO au6 entjlanben, fo muß A0B‘= — a angenommen werbe«. 2Ra$f man nun OB==OB*»=l, unb iiebt een B unb B‘ auf AO 0enfre^te, fo muffen bie ba» burch entjiebenben Dteiede fongruent fein, unb habet jene beiben ^entrechten in bem» felben fünfte C jufammentteffe«. Sa nu« BC =sina, B‘C== —sin(— a), unb 0C = cos a =COS (—a) ijl , fo folgt . . . 18) COS(— a) = COSa . . . 19) lang(— a) «in ( — g) CO* ( — g) — sin g cos g lang a . . . 20) §. 201 . d) Sie ®umme unb bie Siffetenj jweiet SBinfel. Sig. 354. c 3|l (5ig. 254) AOB = g, BOC =ß, fo i|l AOC = a +/ 3. ÜRacht man nun OB=OC = 1 , unb jiebt BDJ.AO, CEJ_B0, CFX AO, fo ijl BD =sin a / CE = sin ß, CF = sin (a ß), D0 = C3Sa, EO=COSß, FO ==C08(a-f- ß). 26 foll nun 8in(a +i^) unb cos(a +ß) butch ben Sinus unb Cosinus bon a unb ß au6» gebrudlt werben. 26 ijl, wenn man EGj_AO unb EH_lCF ii«bl> 8in(a-}-ß) = CF = HF + CH = EG -f- CU, cos(a +ß) = FO = GO — GF = GO'— EH. 21u6 bet 2(ebnli^feit bet Sreieefe EGO unb BDO folgt EG : BD == EO ; BO, GO ; DO = EO : BO, obet EG : sin« = cosß : 1, GO ; cosa = cosß : 1, habet EG =» sina cosß, GO = cosa cosß. Digilized by Googl 170 I ®a b« SBinW ECH =B0D ifl, inbem bi< ®d>enfcl beibet Söinfel auf einanbet fenfre(f)t (leben, unbbafomit bieDreietfeEHC unb BDO Äbn» lidb ftnb , fo bol man aucf) CH : DO = CE : BO, EH : BD = CE : BO, ober CH ; cos a = sin ß : 1 , EH : sin a = sin ß : 1 ; habet CH : cosa sin|3, EH = sina sin (3. ®ub(lituirt man nun bie für EG, GC, CH, EH gefunbenen 3Bcttbe in ben obigen 3iuebtürfen für sin(a + /^) ‘'"b cos(a-f-ß), fo erbalt man bie gormeln I- 'i sin (a-fß) = sin« cosß + cosasinß . . . 21) I, cos(o-|-ß) = cosa cosß — sin u sin/3 . , . 22) Jjiet mürben a unb ß al8 fpilige SBinfel unb aI6 po|ifio oorausgefe^t. Die ©iltigfeit bet erhaltenen 3lu6brücfe lÄbt ficb übrigens auf gleiche 3lrf für feben beliebigen SBertb »on a unb ß na^meifen , felbfl bann , menn « ober ß negatib mare. ©egt man in ben lebten gormeln —ß jlaff ß, fo merben baburch, ba sin(— ß) = — sinß unb cos(— ß) = cosß i(i, nur bie 5Qor|eidben betjenigen ©liebet geänbert , in benen sinß oorfommt; man erbält alfo " ' sin (a — ß) = sina cosß — cosa sinß . . . 23) . cos(a —ß) = cosa cosß sin a sinß . . . 24) Da lang(a +ß) sin (« + ß) sin a cos ß + cos a sin ß cos (a 4- ß) cos a cos ß — sin a sin ß fo erbält man , menn man 3«blet IHenner be8 lebfern ®ru4>e8 butdb cos a cosß bibibirt, lang(a-l-ß) = sin a sin ß cos a ^ cos ß 1 — ober sin g sin ß cos a cos ß tang(« +ß) • 25) 3(uf biefelbe 3ltf pnbet man lang(a —ß) lang a — lang ß 1 4- lang a lang ß §. 202. 3tu8 ben gotmeln 2 i), 22), 23), 24) erbalt man butdb 3lbbijion unb ©ubtraFjion , sin “I" ®m (a —,ß) = 2 sin a cosß, sin (a 4- ß) — sin (« — ß) = ^ cos a sin ß, ( cos (a -j- ß) -j- cos (a —ß) = 2 COS o COS ß, cos(a4-ß) — cos(a — ß) = —• 2sin « sin ß} Digitized by Google i71 otxr »enn OM» ' « 4. ß = 9, 9 + t ba^tt , “ — ß == ^; ,0 _ V — 4' sin y 4- s*** ^ " 2 sin ^ * cos ^ sin 9 — sin ^ 2 cos 2 2 9 + 4' • 9 — 4>^ sin I 1 cos f 4- cos ^ = 2 cos t cos ^ 2 2 cos? — cos^ = — 2 sin?-i-^ sin LZLI 2 2 Äu« 27) unb 28) folgt burc^ bie 3)i»ifton . . '. 27) . . . 28) . . . 29) . . . 30) sin 9 + sin ifi sin 9 — sin i|> ober sin?JLi ^IT-J2 - 2 cos ^+-1 sin 2 2 lang ^±1 cotO n rt sin 9 + sin 4' sin 9 — sin f -tsng 9 + 4' 2 lang L_J: . . . 31). d). 3)jo»eft< unb {lölfce ©in fei. §. 203. ®e^f man in ben Sormeln 21 ) unb 22) /3 =o, fo ermatt "man sin 2a.:« 2 sina COSa . . 1 . . 32) ' cos 2a = C08*a — sin*a . . . 33). ®a nun cos*« + sin*« = 1 nac^ 1 ) -unb COS* a —. ^in* « t= cos 2« nac^ 33), fo fnbef man, »—1 — 008 2« oot’g — 1 Dilii'zed by Vj( 179t 17) 18) eoiä« 1 4* *ü>2a eoi3« taBf (45’ft--a). 1 — sin 2« 19) tang« langes = cot (46® —o).. sra (a ± P) coß a cos.p • .« •, ( 20) COta ± cotß = - * - ' -^3^ . . . • sina siaP 21) COta ± tangß =*= , ® sm a cos p ’ ' - - 22) 8ln®a — sin*/^ = cos*ß — cos*a = sin (a ß) sin (a —ß). 25) ^ C0S* a — sin*ß == cos (a ß) cos (« —ß). 24) sin (a-f-ß*j-y) ->^8is (a-|-ß—y) —sin (a—ß-f-y) -j* sin (a—ß —y)^te , . , =— 4 sin a sin ß sin y. 2ft) sin (ß-f-y—o) -|..sin(a-^y—ß) -}- sin (a4~ß—y) —sin («4"ß”l"y) 03 46inasinßsiny. 26) cos (a-|-ß-f-y) -J- cos (ß+)'—«) + COS («+)’—ß)+COS(a-|-ß—y) =''' =4cOSaCOSßCOSy. » H. Jlmotn^ung Irtr tbtiien €ttflonomttrie. . ' -A. ftnfldfung ^(r c&cncn 3)tcic(fe. ®in DteisdC aiifl&fen ou9 benjenlgcn ®füteiede. —' ' i 8eptf4^(, aue benen fi(|> bie aufl&fenben ©leid^iingen etjeben. ' - ~ §. 2Öfl. 1. Ser befannte ^btbador4if(^e 8ebtfa$, beffen k' reits an jwei Orten angefAkt würbe, gibt bte ©leittfung , c* — a* 4* b*, wo c bie ^9 ipotbenufe, a unb b bte .Katbei^n bebeuten. 2. 3ebe^atbrte ifl glei^ brr .^ppotbenufe muIfibU' {irt mit bem Sinus beS jener ^atpete gegenäberlio« 9ig. 256. genben, ober mit bem^ Cosinus bed ibr an-^ liegenben SBinbel9. @6 feien (gig. 255) bie .Katheten BC=a, AC=b, unb bte .ObP'^ibrnufe A6 =c; bie ben .Katheten a unb b gegcnflber'. liegenben $83infe( foOen a unb ß brikn. «Dlacbt man AD = l, unb jiebt DE_L AC, fo ijl DE =«n a, AE = cosa; unb bo a4-ß = 90®, auch DE =cosß, AE =sinii. ^u5 ber 2tebnli(bfeit ber Sreiede ABC unb ADE folgt nun BC : DE = AB : AD unb AC : AE = AB : AD ober , a : ein o == c : 1 unb b : sin /3 =s c : 1 , , a : coaß = c : 1 „ b : cosa = c : l, , , hoher . , a 3= c sin 0 unb b = c sin |3 , t= c COS|3 = CCOSa. ,8. 39potb«nuf* c. ' - 2(u8 a = b langa = b cotß folgt langa = cot/3 = " woraus ft«b bie beiben fpi^igen SBinfel a unb ß bere(^nen raffen. 3ur ©ejHmmung ber JJppot^enufe menbef man bie ©lei^ung c*=s3 a* + b- ober a = csina an, woraus bejie^ungSweife c = \/a* 4- b® ober c = sin a folgt. Sa fei J. ». a = 825', b = 418'. 2(ua langa = ^ folgt log lang a = loga — logb. «Kan ^af aifo loga = 2-511 8834 logb = 2-621 1763 loglanga = 9-890 7071 — 10 = log lang 37® 51' 56" a = 37®51'56" ba^cr ß = 52® 8' 4". g - , . r.„l aSeil nun c = —, fo bat man , sin o loga = 2-511 8834 log sin a = 9'788 0334 — 10 logc = 2-723 848T = log 529-48 c = 529-48', welcher ®erfb ficf) auch au6 ber gotmel c=\/a* + b® ergibt. 2)33ie .^ppotbenufe c unb eineÄotbete a finb gege* ben; man fudje bie SBinfel a unb ß, unb bie jweite .Katbete b. 3ut ©ejlimmung ber flßinfet folgt auS a = c aina = c cosß bie , Sormel sina — cos ß — Die Äafbete b ergibt ftcb au6 einer bet gormefn b = \/c* — a® ober b = Sa fei j. 58. c == 1234' unb a = 765'. a c loga = 2-883 6614 logc == 3-091 3152 logsin a = 9-792 3462 — 10 « = 88®18'41", habet ß = 51° 41' 19". tanga ' !Kan bat b = tanga loga == 2-883 6614 loglanga = 9-897 6685 — IQ logb = 2-985 9929 b = 968-26' Digitized by Google 170 8) ©(geben finb eine itat^efe a unb ein SBinlel, j. f8. o; ju fucfien ftnb bet anbete SBinfel /3, bie ^bpot^enufe c, «nb bie zweite itat^ete b. Snt JOetec^nuug bienen bie SenneTn ß = 90° ~ a, 3jl j, ». a =7l4 S' unb C O b " sin o ' lang a ’ o =68®43'80", fo ^atman i3 =3I®;i6'30“ a C 5= sma loga = 2-853 8807 log sin a = 9-931 8063 — 10 b a lang a loga E= 2 853 8807 loglanga = 0-216 5165 löge = 2 922 0744 c = 935-75'. logb = 2-637 3642 b = 433-86'. 4) ©egeben finb bie .^ppotbenufe c unb ein iBinfely ©. a, ju fueijen bet anbere SßinM unb bie beiben Äatbefcn. 2(ufi6fenbe ©lei^ungen: ß — 90® — a , a = c sin itv unb in bem golgenbcn BC = a, AC = b, AB =c, unbbrücff bie biefen®cifen gcgtn« ubetliegenben SBinfel butd^ «, ß, y aus, fo t)l c : b = sin y : Bin ß, ba^et au^ (c +b) : (c — b) = (sin y + sin ß) : (sin y — sin ß). Ulun ifl na^ gormd 3i) V -f” $ */ — ß (siny + sinß) ; (siny —sin ß) = tang-^-^ : lang ba^er (c+b) : (c — b) = lang tang^^^, 3) 3« jebem ®teiede ifl baSQuabratber «inen®eite gtei^ bet 0umme bc r du ab ra t e bet beibenanbern Seiten mcniger bem bopjjeltcn ^lobufte biefet beiben Seiten muUiblijitt mit bem Cosinus beS üon i^nen eing e f ^lo [fen en SCBinf e I S. (5 a t n 0 t’f^er ?efrfa|.) gfg. 259. Sie^f man AD_LBC (gig. 269), fo ijl BD = c . cos/3, unb CD = b . cosy, ba^et BD + CD = c . cosß + b . cosy, ober a = b . cos y + c . cos ß Sben fo erhält man b = a . cosy + c . cos«, c = a . cosß-j- b . cos«. lB!utti)>Iiiid man bie erjle biefet btei @Ieicf)ungen mit n, bie |weit< mit b, unb bie btiffe mit c, fo finbet man a^ ES ab . cosy -j- ac . cosß, b® = ab . cosy -j- bc . cos«, c® = ac . cosß -j- bc . cos«. Mocnik, CMmcttic. 2. Stuffage. ] Digitized by Google 178 ®ub(rA^irf man nun non ber erflen @[ei4)ung bie 0umme ber bei« ben Ie$tern, fo erhält man a* — b* — c® = — 2bc . cos fo i(l lang ^ ^ ^ Mannt, unb eS laßt fid) mittel)! bcr Ickten ©leic^ung au(^ beftimmen. Äennf man aber unb fo finb babur^ aiK^ ß unb y gegeben ; beim e6 i)l L+J + ^ unb ^_±J^ 2 ' 2 ' 2 2 ‘ Die brifte 0eite a finbet man bann au« ber ©Icictjung b sin a a = sin p 2(u8b, c unb « fann man unmittelbar auc^ ben gtad^eninßalt f bc8 Dreietfe« bepimmen. 3)1 nämlicb CD ± AB (gig. 260), fo bat man f c CD 2 2(bct CD = b siniT, baper r bc . ~ ’a b-b ber gtddieninbalf eine« Drei, etfe« ip gleich bem bniben q>ro. bufte jmeier @citen, munijjli.— jirtmitbemSinusbeSnonibnen eingefchloffenen SOßinfel«. e« fei i. SB. b = 748', c = 375', a = 63"35'30". 9)!an bat folgenbe Bteebnung: ß-\-Y = 116" 24' 30" = 58” 12' 15" 2 b + c == 1123' b — c = 378' (b —c) lar lang ? =^2 b + Iog(b — C) =2 571 708f log lang ^ ?!=z=0 207 660^ ß + y 2 2 779 3692 •og: (b + c) == 3 050 3798 logtang^J^= 9-728 9894 — 10 ^-i^ =28” 10' 54" 2 ^—'^ '^ = 58” 12' 15" 2 fotglictj ß = 86"23' 9" y=:30" r21" 12 * Digilized by Google 180 b aina sin ß logb = 2-873 9016 logsin« = 9-952 1369 — 10 2-826 0385 logsinß = 9-999 1354 — 10 loga = 2-826 9031 a = 671-28' r 6c f = — Sin « 2 logb = 2-873 0016 löge = 2-574 0313 logsin« = 9-952 1369 — 10 5-400 0698 log 2 = 0-301 0300 log f = 5-099 0398 1 = 125615Q'. §. 211 . S)®8 feien jnjei Seifen b unb c, roo b>c, unb bet bet gr&fetn Seife gegen nbetliegenbc £B3infeI ß ge* geben. 2(ii8 b ; c = sin/3 -. sinj- etfiolf man Siefe gormel gibf ben Sinus »on j-. ®a aber ju jebem Sinus jwei ffiinfel gefibren , ein fpigiger unb ein ffumpfer, fo mürbe bet SBerfp »on y unbefiimmf fein, wenn nief/f befannf märe, ba(j ß bet großem Seite gegenüber (iegf, Siefe Unbe^irnrnfpeif »etfi^roinbef , fobalb man mei^, ba^ b>c, aifo auc^ ß>y i|l, weil bann y fpi^ig fein muf, meieren SCBetfp auc^ ß f)aben mag. Sa nun ß unb y befannf ftnb, et^alf man « = 180® — 03 + r)Sie Seite a ftnbef man au6 bet ©leic^ung b sin a a = sin ß «Kenn ©. b = 1238', c = 519', ß = 78" 17' 20" ijl, fo ergibt ftdl folgenbe 2(uflöfung; c sin 6 8,ny = __ löge = 2-715 1674 logsinß = 9-990 8640 — 10 2-706 0314 logb = 3-092 7206 logsiny s= 9-613 3308 — 10 y = 24"14'10" ß e= 78" 17' 20'' a — logb = log sin a =z log sin ß — loga = a = b sin a sin ß 3 082 7206 9 990 5394 — 10 3-092 2600 9-980 8640 — 10 3-091 1960 1234 23' 102"31'30" ba^et a = 77"28'30" §. 212 . 4) SBenn alle brei Seifen a, b unbe befannf finb. 3ut SSejlimmung bet brei SBinfel fonnfe unmittelbar bet d a r n o t’fe^e Ceprfa^ angewenbet werben ; au8 bet @Ieid)ung Digitized by Googl« 181 folgt nämlidj a* = b* b’ H- c' — a’ eos bcr 2Binfel a finbon lä^t. GS fann jii« fein Swfifot obmal» teil, ob a ein fpi^iger ober ein |1umpfer aßinfel ifl; benn für b* + c® > a® i)l cos « pofiti» , bafier « fpi^tg ; b® -j- c* = cos a = 0 a = 90 ; b® 4- c* < a® „ cos« negafie, „ « jlumpf. 2luf biefclbe:jlrt fönnfen au^ bie «SBintet ß unb v beflimmt metben. SiefcS iöerfabren, bie «ffiinfet ju beregnen, i|l übrigens unbequem, rocil bie gormeln jur logaritbrnifctjen Söerec^nung ni^t geeignet finb. GS follen baper pier gormciu enfmicfelt werben, roelcpe fi^i logaritpmifcp be» panbefn (affen, ^(bbitt unb fubtrapirt man bie beiben ©leidpungen cos« 1 = 1 b’ + c’ fo erpäft man 1 -fCOSa = 1 — cos« = 3bc 2bc + b’ + — a’ _ (b~+ c) • — a* 2bc 2bc ^ 2bc — b’ — c’ + a’ _ a* — (b c) 2bc 2bc ober fomit , (b + c + a) (b + c — a) 1 4- cosa = — , I ' 2bc (a + b — c) (a — b 4- c) 1 — cos« = ’ 2bo \/^l 4- cos o I — cos « 1/^(b4“c4*a)(b4“C — a)^ ^ ^bc ' (a 4- b — c) la — b 4- c) 2 * 4bc ' ober, weil naep 34) unb 35) 4- cosa = COS - unb 2 cos a sin- ifl. « 1 /^(b 4- c 4- a) (b 4- C — a) COS- = V TT 1 2 4bc . a l / fa 4- b — c) (a — b 4- c) .Sill - = l' TT , 2 4bo Srütft man nun ber Äürje palber bie palbe0umme bet brei 0eiten a, b, c butep 8 aus, fo bafi >> ^ “I" ^ ® K gefept wirb, fo erpalt man, wenn »on biefet ©leiepung natp bet Dtb« nung 2a, 2b, 2c aPgejogen wirb. ligitized by Google i82 — H —|- b —|— c — 2 (s a — b -|- c = 2 (s — b), a + b — c = 2 (s — c). Tmrd; 0iil'f(itiijicm biefer ®ertb« in obige Sormeln man enblic^ cos SU) a I XS (s — a) « ~ ^ bc — b) (s — c) 2 ' bc aSenn man biefelben sivrciljnungcn in ©ejug auf ß unb y bur(^> fübtt , fo finbct man .ß , /S (S - b) ^2 ab y _ (j — a) (s — b) | = \/i in| = Vi8 — a) (s — c) 8in ' ab 3(uö bif feil 5oimc(n cr„ibf fid) wegen = lang y aud) lang“ = lang^ =^ 2 * s (s — a) ' ^2 ' s (s — b) ' lang Z = v/1 (s — a) (s — b) s (s — c) 3n Söejug auf bie öebculung ber SBinfel | beflimmtbeit eintreten, ba fie atS halbe StciccfSroinfel notbmenbig fpifig fein muffen. ^(u 8 ben gegebenen brei @eiten cincö Sreiedfeö läff fid) unmittelbar auch ber glncb^ninbalt berei^nen. 66 i )1 f = — . sin y = —. 2 sin- cos -/ morauö 2 ' 2 2 2 f = V^s (s — a) (s — b) (8 — c) folgt, b. I;. ber gldcbeninbalt cine 6 55rciedfe6 ijt gleich betiO. uabratiüurjelauö bem^robufte »on »iergafto. ren, beren einer bie bnibe ®umme ber 0 eiten i|l, bie brei anbern aber bie Untcrfchiebc jioif(hen biefer halben 0 u m m e unb j e b e r e i n 5 e I n c n 0 e i t c f i n b. fP an nebme j. SB. a = 328 5', b = 412 3', c = 37I-4' an. 2Benn man jur SBellimmung ber SEBintcl bicgormeln für ben Sinus ber halben SÖBinfel anmenbef, fo hat man a = 328 5 sin “ =2 bc b = 412-3 c = 371-4 a-f-b + c = 1112-2 s = 556-1 8 — a = 227-6 s — b = 143-8 s — c = 184-7 log (s — b) = 2-157 7589 log (s —c) = 2 266 4669 4-424 2258 log b = 2-615 21331 log C = 2-569 8419/ 19-239 170-6 — 20 Digitized by Googli 183 log sin - == 9-619 5853 — 10 2 - = 24° 36' 43-33" = 49“ 13' 26-6" 8in ^ -a) (s — c) .7 \/(8--a) (s — b) ac — S'" 2 ab log (s — a) = 2-357 1723 log (8 — a) = 2-357 1723 log (8 ~ c) = 2-266 4669 log (S —b) = 2-157 7589 4-623 6392 4.514 9312 log a = 2-516 5354) 8419/ log a = 2-516 5354) log C = 2-569 log b = 2-615 2133/ 19-537 2619 -- 20 19-383 1825 — log sin - = 9-768 2 6309 -- 10 log sin 1 = 9-691 2 5912 — t = 35“ 56- 2 1 37-4ol9gon6, bejfen SWittelpunft jt($ inO bcßnbet unbOPJ_AB. Offenbar iffbann betSJBinfel AOB = , baber AOP = . n n 3m rec^troinfligen 0reierfe APO iff nun OP = AP . cot AOP = 5 cot J n Digilized by Google 184 fomit bet Släd^enin^alt bed 2>teie(fe6 ABO=AB . OP s , ISO" s .-cot —4 n =— cot 4 180* Ar •• 11 nun f bet gldc^eninbalt be6 gonjen ^olpgone, fo ^af man woraus fofott , ns' , 180" f = — cot i 4 n = V'^-1 , lang 180" folgt. Wit ^ilfe bet etften gotmel fann man auS bet befannten ®eite bc8 regulären aSieletfcS bejfen 5ldd)enin^alt, mitteljl bet jweifen au6 bem gla^cninbattc bie ©eite bete4»nen. © e i f j) i e I e. 1 ) SS fei bie ©eite eines regetmdpigen 3«bnedteS 15< bet gldc^eninfialt? wie gto| ifl ... 180" .^tet i|l n = 10, n 18”, 8 = 15; habet b<»t man logs = 1176 logs* = 2-352 log n = 1000 log cot — = 0-488 n 0913 1826 ] 0000 I / 2240 I log 4 = 3-840 0-602 4066 0600 log f = 3-238 3466 ' f = 1731-2Q" 2) ©er gldcbeninbalt eines tegelmdbigen 3»ölfedeS fei 140 nton fucbe bie ?dnge einer ©eite. .^iet ijl n = 12, = 15“, f = 140; man b«< fontit log 4 = 0-602 0600 ' log f = 2-146 1280 ^oaO log lang _ = 9-428 0525 — 10 2-176 2405 log n = 1*079 1812 1-097 0593 log s = 0-548 5296 s = 3 536". §. 214. 2. 7t US bem .^atbmeffet eines Ä reifes bie ©eite unb ben gtd^eninbalt beS bem Äreifc ei ng eft^ti ebe» neu ober umfcbtiebenen regetmdbigen töieledeS ju bepirnm en. Digitized by Google 185 es fei 0 (gi^. 262) bet SOiitferpunft eines / JÄreifeS unbAB=rsbic ©eite beS cingef^tie* / \ bener. regelmäßigen neefeS. 3>cf)t wan OQX / \ AB, bur^ 0 bie aangente CI) iinb Bcrlängert f 0 I bie'jjalbmeffer OA unb OB, bis fie jene 3;on-- l / \ i gentc in C unb D fct)nciben, jo ifi CD = S bie \ / \ / @citc beS umfc^vicbencu regelmäßigen nfeitigen p\B/ q)cIpgonS. ^ ^^^7} 2(uS ben tecbfmiiibligen Sreiedfen APO unb Q. CQO erbält man AP =AO.sinAOP unb CQ = 0O . taug COQ, baßer AB =-2AO . sin AOP unb CD = 2QO . lang COQ , ober, mennAO = QO = r gcfe|t »irb, s = 2r sin unb S = 2r taug gür bie Umfänge u unb U beS eingefeßtiebenen uub umfeßriebenen regelmäßigen neefeS ßat man fofert • VI „1u = 2nr sin unb li = 2nr lang - . I) ^ Sur SSeflimmung ber glä^eninßalte f unb F ßnbet man iun®4)fi 01’ ^ fo A AOB = AB . A unb A COD = CD . , A A v-vr» . lOU I A A0B=2r sin . ober A AOB = A sin4-a 2 unb barauS folgt . - cos unb A COD = 2r lang 2 n unb A unb F 180“ nr* lang — • n cs fei j. ber ^'‘''•bmeffet eines ÄreifeS 4'; man be|limme bie 0eite, ben Umfang uub ben gläcßeuinbalt beS eingefdiricbenen unb bcS umfeßriebenen 3(cßfecfcS. aWan ßat folgenbe Sießiiiing; s = 2r sin r = 4, 11 = 8, = 22‘> 30', ~ = 45° s = 2r sin S = 2r lang 11 " log 2 = 0-301 0300 log 2 = 0-300 log r = 0-602 0600 log r = 0-600 1 flO® IKO* logsin 9-582 8397 — 10 log lang = 9-617 2243—10 logs = 0^85 ^29^7 logS = 0-520 3134 s = 30-615' S = 3-3137' baßer u = 24-492' U = 26-5096' Digitized by Google 186 - nr . f = — Sin 360 * log sin logr log r* logn 360 ° 2 n = 0-602 0600 = 1-204 1200 = 0-903 0900 = 9-849 4850—10 F = nr 1 956 6950 log 2 = 0-301 0300 log f = 1-655 6650 f = 45-255 ' logr == logr* = 1-204 logn = 0-903 log lang— logF = , 180 * lang u 0-602 0600 1200 0900 9-617 2243 — 1-724 4343 F = 53-019 ' §. 215. 3 . 3(u« ber 0eite ober bem NH« eineO xti gelmö^igen ^olpgon« ben .^olbmeffer be 8 einges f<^rie 6 enenunbbe 6 umf(!^riebenenÄreifc 8 jufinben. @6 fei 8 bie 0eile unb f bet gläc^enin^alt eines regulären nfeiti» gen aSielccfeS; r fieife ber .^olbmeffet beS eingefc^tiebenen unb R jener beS umfdjtiebenen ÄreifeS. ®a8 gegebene ißiefcdf i)l bem eingefc^riebenen .Steife umfd^tieben, bo^er 180° s = 2r lang , r 2 . 180° f z= nr* lang - D Sem umfdiriebcnen Ärcife bagegen etfdieinf bo8 gegebene ^olpgon eingefc^rieben ; folglii^ tjl »D • 180° 8 = 2R sin , ' n iill’ . 360° — Sin 2 n 3(u 8 biefen hier ©leii^ungen ergeben fi^ bie gotmeln r = - col 2 !!?:, r _i/f . 180° cot , n u 2 sin 180° R = IZ-A-,r n sin mittel)! melcfier man im 0tanbe i(l, auS ber 0eite ober bem gläc^enin. halte eines regelmäßigen iöiefecfeS ben .^albmeffer beS eingefcf>riebenen ober umfd)riebenen ÄteifeS ju berechnen. 18 e i f h i e l e. 1 ) @6 fei bie 0eite eines regulären gunfedEeS 20 "; man fui^e r unb R. 180* .^ier i)i 8 = 20 , n = 5 , —- = 36 °; baßer ßat man n 187 I r = cot 180* R = logs = 3-101 0300 log cot— = 0-138 7390 1-439 7690 log 2 = 0-301 0800 logs = 1-301 log 2 = 0-301 180* » 180“ 2 Sin n 0300 0300 logsin = 9-769 2187—10 I logR = 1-230 7813 R = 17013“ log r = 1-188 7390 r = 13-764“ 2) ®er gI(id>enin^aU eine« rcgelmöpigcn 3>völfetf6 )reiecfe6 jn ber gegenüberlie. genben 0cUe eine beliebige ©ernbe jiepf, fo wirb biefelbe in jroei ‘ ^(bjcpnifte gctpeilt, roeli^e (id; fo ju einanbet »erhalten, roie bie^ro^ bufte aus ben ipnen aniiegenben @eifen in bie Sinus ber ipnen ge« geiuibcrliegenben SEßinfel. b. 31 uf gaben. §. 217. 1 . 3 » rei^troinffigen 3)reietfe, in roeldjem c bie .^ppofpenufe, a unb b bie Äatf)efen, a unb ß bie biefen gegenüberliegenben SEBinfel »orjtetlen, i|! ii) a=17'8', b = 37 5'; man fu^e «, ß, c; b) 0 = 38*7*’, b = 25’8*’; man fuc^c a, ß, a; c) b = 947", « = 33*’ 33' 33" ; man fu^e |j, a, c; (1) C = 413'8‘’, /ä =48*’15'; man fiK^e n, a, b. 2. Sie J?ohe li eines ©cgenjlanbeS auS ber Cänge 1 feines 0cf)attenS unb aus ber .^ope baS ©cgcnt^cil bemcrft roirb, fo ifl immer baajenige fpbärifd)e 3)reiecf ju »erflehen, »elc^ca Heiner ifl ol6 bie ^albe Äugeloberfldctie. Ueberbiep 0ef>6rt ju jebem feieren fp^drifi^en Dreiecfe ein jmeiteS, roel» ^e$ baa gegebene {u btr bolben .Kugeloberfldc^e ergdn{f, unb welc^ea man barum baa Srgäniungabteie^ bea erflern ju nennen pflegt. 2iua ben ©eiten unb SGBinfeln einea fpbdrifdjen Sreieefea ergeben fie^) öbrigena fogteid) auc^i bie ©eiten unb ffiinfel [einea Srgdnjungabreiedea ; baper wir bei unfern folgenben Unterfuepungen fleta nur fo^e [ppdrifc^e 2>reiedte »orauafefen woHen, bie Heiner finb a(a ber eierte Stpeil ber Äu> geIoberf(äd)e, in benenolfo fomopi bie ©eiten aia bieSCBinfet einjeln Heiner fnb aia 180“. (Sa fei 0 (Sig. 263) ber SWittelpunft einer Äugel, beren .^oibmeffer ber Sinpeit bea edngenmafea gleit^ ifl, unb AB, AC, BC feien ©6gen »on »ifl. 263. C Digitized by Google 191 brei größten Äteifcn biefet Äu^el; fo i|l ABC ein fp^ärifc^e« JJreietf. ©e^en reit ben Sinfcl BOC ober bcn ©ogen BC =a, ben SBinfcI AOC ober ©ogcn AC=b, unb bcn aSinfcI AOB ober ben ©ogen AB =c; fer» net bejcic^nen reit bie Steigung bet ®6enen AOB unb AOC butc^) A, bie «Jleigung bet ebenen AOB unb BOC bur^i B, unb bie JBeigung bet ebenen AOC unb BOC but^C, fo fletTen ofenbar A, B, C bieSCSinfei not, reeiclje im fpf)ätif4)en Dreiede ABC ben ©eifen a, b, c gcgenöberliegcn. Um nun bie 9lelajioncn abjuteiten, reelcf)e jreifc^en ben ©eiten unb ben aSinWn bcd fpHr'fd>en ®«iecJe8 ©fatt fnben, fäffen reit »on C auf bie ebene AOB bie ©enfrecljtc CD, jie^en DEJ_ AO unb »etbinben C mit E but^ bie ©crabe CE. jfeeil DE bie ^rojefjion bet ©etaben CE in bet ebene AOB if, fo flebtbieAO, reelf)e auf bet ^tojefjion DE fenfte^jt if, au<^ auf bet ©etaben CE fenfte^t unb man bat, reegen OC = l, CE = sin b , OE = cos b unb in bem bei D recbtreintligcn ^ CDE, reotin auf ber ©eraben CF fenfreebt fein. SUan bat fomit CF = sin a, OF = cos a, unb in bem bei D ren A sin Ccos b, cos C =— cos A cos B -f- sin A sin B cos c. ; Sic 2(u8brü(fe in I). II), III) unb IV) enthalten nun bie widhtigflen Slelajionen jmifdicn ben 0citen unb {©infein eine« fphärif^en I^reiedfeS, unb bienen baju, um aus benjenigen 0tücfen, welche ein fphärifcheS3)teiecf ooHfommen bejiimmen, bie noch fehlenben ju beregnen. Digitized by Google !93 ©e»or TOir icbovi^ jiit irnmciibuiig biefet 3JeIojioncn auf bie 2(ufl6* fung bcr fpbärifcbcn Sreiccte fc^reiten, mitb cS nöf^ig fein, ben ©leic^un« gen in ben 0pflemen I), III) iinb IV) eine jii (ogatifftmif^en ®ete(|»nun-- gen geeignete gotm ju geben. .r-,-.; §. 219 . Um au6 ber etflen ©lei^uiig in i) cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A für cosa einen 2(u6btutf ju erholten, welcher ftd) logaritfimifcf) be^anbetn lägt, binibire man bie @leid;ung burc^ cosb; man b«t COS a cosb = cosc + langb sine cosA. Sübrf mau nun einen .^itförninfel o ein, inbem mau langb cosA = lang 9 fc^t, fo erbalt man cos a ... , . Sill o = cos c -j- sin c lang 9 = cos c -j- sin c . — ^ COS « cos ^ sin c sin ^ cos (c — y) cosb baber COS 9 cos y cos I) COS (c — 9) cosn = n ®ben fa finbet man cosb ^ OOS 9 cos c cos (a — '4.) > la) cosc = cos t cos a cos (1) — fc) roenn lange cosß = tangi/i unb langa cosC = langeo gefegt reirb. Um aber au6 ber ©teiebung cos a = cos b cos c -j- sin b sin c cos A für ben aBinfel A eine logaritbinifd) brauchbare gormel abjuleiten, bat man juncicbfl . COS a — COS I) cos c cosA = — , -ti. .|('i . , siii D Sin c baber .. i , 1 _|_ cos A = g — cos b cos c + cos a cos a — cos (b + c) sin b sin c sin b sin c ' j COsA = sin I) sin c + cos b cos c — cos a cos(b —c) — cos .1* .sin b sin c SBebenft man nun, bah sin b sin c t + cosA = 2cos*-, 1 — cosA = 2sin*unb aUgemein cos« — cos/3 = 2 sin sin ^— i)l, fa'geben bie lebteren ©ieiebungen über in a-|-b + c . b-f-c sin sin -I- — cos*- = Moenik, lütinnctric 2, 9lii|l sin b sin c 18 Digilized by Google 194 . ,A 8in*- = ober _]/!A C08- 2 a + b — c . a — b + c sm sin 2 2 sin b sin c a4-b"l“C . b-f-c — a 8in 2 8in si n b sine + b — c . a— b + c Sin sin b sin c (Eben fc erhalt man auch -I - K- =|/^ C08 c cos - 2 + b+ c . a — b + c sin a sin c ' b + c — a . a + b — c Sin Sill - 2 2 : : / sin a sin c a + b + c . a + b — c Sin —! Sin 2 2 sin a sin b ' b + c — a . a — b + c Sin Sin Hb) sin a sin b §. 220. ÜRif ^ilfe biefer lebten gotmeln mirb c8 nun reicht fein , auch bie ©leichungen beO ©pjlemO III) burch logavithniifch brauchbare ju erfe|en. SO ifl nämlich + b + cA B COS - cos- =S 2 Sin. a 4* b + c sin "\^i . b + c — a . a — b + c Sin sin sin a sin b Sin sm c . a + b — c Sin . A . B 2 Sin - sin - = —: 22 sin c . a + b — c sin 2 ' 1 /.b + c — a.a I / sin sm - 1/ 5 ' 'sin a sin b a — b -f- c • *‘" 2 -' b«h« Oigitizcd by Googld id5 a “I“ b -f» c . „ . .. AB . A . B 2 COS - COS Sin r 8>B , == : — 2 2 2 2 sin c . • + b — e SW Sin ?{un i|l ferner unb oUgemein foIgli4> ober A B . A . B A +B COS - COS sin - sin - = cos , 2 2 2 2 2 » • c c sin c = 2sin - cos 2 2 sm • J „ a + p . a — P a — sin i3 = 2 cos sin ; 2 2 « a+b . c . . „ 2 cos sin A+B 2 2 . C cos = — sin - 2 » • c c 2 2 sin - cos - 2 2 A+B c a+b.CCOS cos - = COS sin - . 2 2 2 2 (Eben fo fann man finben A — B c ,Ä + b . C 2 2 2 2 ' A + B c a — b C sm COS - = cos cos - , 2 2 2 2 . A —B . c . a — b C sm sin - = sin - cos - . 2 2 2 2 35ieibirt man non biefen ©fcidjungen bie britte bur^l bie erfle, unb bie ttierfe burc^ bie iweite, fo erjialt man a — b C06 «ang^= * cos a + b • '"S-' 2 . a — b . „ Sin , A — B 2 C 'Obg —X— = r-r • cot-. ® 2 . a+b 2 sm ma) 9Bitb bagegen bie jmeife ©(eic^ung bur(|i bie erjle, unb bie bierl* buri^ bie britte bioibirt, fo befommt man 13 ' Digilized by Google n 196 a + 1) lang— = cos- cos lang a — b sin A — B 2 A~B ^IlFb) sm 2 , c Ä + B • '«"8^ 2 ' X)ie Ic|teii »ier ©Icic^unjitn |tnb unter bem Spanien ber 9i c p e r’f « n ^(nalofli en befonnf. > §. 221 . ®ir bat'cti mm nocp bic Sovmciii beö 0pfiem8 IV) logatitfimif* einjuric^tcn. 3ßir tvoHen au8 ber ©[cicbunj» cosA = — cosB cosC -} sin B .«iinC coaa junäcp)! einen (ogaritj'mifc^ tuaud;l'arcii 2ßerf(i fiiv A fn^en. Qiö folgt barau8 ---- — co.s C + sinC lanffB co.sn. cos B ©epen reir nun litngB cosa = col.\, unb beilimmen x fo , baf biefer ©leicpung ©eniige geleitet luirb, fo babcn mir cos A cos B — cosC -f sinCcoIx cosC sinx -f sin C cos \ siii(C — x) ba$>et cosA = cosB . sin (C X) eben fo finbet mau j cos'B = cosC . > IV a) SUl V cossC = cosA . wenn langC cosb = coly unb langA cosc = colz gefegt wirb. Um enblid) au6 ber ©leicpung cos A = — cos B cos C -j- sin B sin C cos a für a eine logarilpmifcp braudjbarc Somiel nbjufeiten, pat man cos B cos C - 4- cos A cosa = sin B sinC I sin B sin C + cos B cos C -J- cos A sin B sin C baper 1 -fcosa = ‘ sin R sin C — cosB cosC — cosA — cos(B-f-C) — cos A 1 — cosa = cos (B — C) + cos A sin B sin 0 ' sin B sin C sin B sin C Digitized by Google 197 9liin ijt unb adgcnuin I -p cos a == 2 cos* - , 1 — cos a = 2 sin® - , . 2 ' 2 cos a (- COS ß ~ 2 cos o „ a + ß a — i iß = 2 COS cos -— - •’f *.*' Uie fcffern jioei ©Ific^ungen gelten fomit in bie fotgenben libn: A + B-C A — B + 0 cos — cos .a 2 2 , cos*- = L-_L_, 2 sin B sin C A + B + C B-fO — A — COS COS . -a 2 2 . Sin* - == ; 2 sm B sioC • - - ii.'T? a 1/^°«COS - = p/ A + B — C A — B,+ C C08 -.»i. . 1^:,/. ; . ' 1i:u 2 2 .... 1 : r 1 sinB sinC ,i. . I. ' . J . i A+B + c«, *.B+c-A.;;; . . ,.! cos cos . , . , 2 2 -f* sibB sin C ' eben fo ^nbct man 1 /” B + c - b l/cos ^!08 - = 1/ ~ 2 ^ 8i l / A + B b I /-cos Bin - = 1/ z. 2 ^ 8il 1 / B + C — c \/ 2 ;os - = 1/ 2 ^ sii sin' = 1/ ^ 0 ~ üii B + C — A A+B — C cos cos 2 2 ; . o-'i •_ sin A sin C ' > lYb) , .1 B + C A - B + C y . . 2 2 ! , \r . -5 sin A sin G ' • ^ B + C — A A — B + C cos COSa 2 sin A sin B • ' A+B+C A+B— C COS cos a ’ 2 f. ,:i sin A sin B §. 222 . Mub bnet fein muffen. Süt a==b ifl sinl^ = 0, ba^et muf auc^ = 0, unb * * »eit jlefä fteiner ol8 180° ifl, - —— = o, oifo A=B fein. @ l e i» 4)en0eifen liegen aifo au(^ gleiche tSSinfel gegenüber. Umgefe^tt läft ficf) folgern; menn A = B ifl, fo muß auc^ a=b fein , b. 5. gleid^enfSBintelnfle^en gleite 0eiten gegen, über. 3fl a>b, fo ifl sin pofifie, b.)^et mup auc^ sin po, fiti», unb fomit A >B fein. 2)et großem ®eite liegt oIfo 0 u ein gr&fcter9BinfeI gegenüber. Umgefebrt lä^t Pdl i«>9‘n* »«nn A>B i(l, fo mu^ oucf) a>b fein, b. b- bem grSfetn SBSinfet flefit eine gtbfete 0eite gegenüber. 2tu8 bet imeiten bet beiben obigen Sormeln folgt, boß oueb cos^.i-? unb cos^-i-^ (let6 gleicbbejeicbnet fein müffen. 3fl bajer a-f-b = 180“, alfo cos = 0, fo muf auch cos—^- = 0, fomit A-f-B = 180“ fein. SBenn alfo bie 0 umme jmeier 0eiten gtSber, glei80“ ifl, fo miif au(b a -f- b = 180“ fein. II. ^u^üfung bet ted)ln)inKUgcn fpt|acifd)en PrtieeKe. §. 223. (Sin fpbürifcbeb SreiedC Fann einen, {mei ober au^ btei rechte SIBin-- fet enthalten. 0inb affe brei aBinfet eine« fpbärifcben 25reiede8 rechte, fo finb bie brei 0eiten Cluabranten ; Fommen jmei reung cos B = .'in C cosb folgt, bap cosB unb cosb fleta glei4)beäcid^ncf fein muffen. SJenn oifo b = 90®, ba^er cosb^O ijl , fo mu^ au(f) cos B = 0 , fomit B = 90" fein. eben fo folgt : SBcnn B = 90" i|l , fo mup auc^ b = 90" fein. 2(uffbfung8fäne. §. 224. 1 ) 28 feien bie beiben Äat^cten b unb c gegeben; man fud)e bie Jpppotbenufe a unb bie SBinfet B unb C. .^ier geben bie @Iei(^ungen J), 6) unb 7), nämtid) cos a = cos b cos c , cot B = cot b sin c , cot C = cot c sin b bie Bertangten brei 0tüdfe. 28 fei 93. b = 27" 28' 36" unb c =51" 12' 8". SRan b«t logeosb = 9'948 0210 — 10 logeotb = 0-283 9553 logeose = 9-796 9721 — 10 logsinc = 9-891 7393 — 10 logCOsa=^744 9^1 — 10 log cotB = 0-175 6946 a = 56"13'21" B = 33"42'51" log cot c = 9-905 2537 — 10 log sinb = 9-664 0657 — 10 log cot C = F56'9 3194 — 10 C = 69"38'51". §. 225. 3n ben folgenben gtitten motten mir, ohne bie ohnehin einfa^e SXe^^» nung an befonbetn söeifpielen burd)jufübren , un8 mit ber bloßen ^Infübs rung ber auflofenben ©leicfjungen unb mit ber Unterfucfiung , ob ba* DreiedE in bem febeamaligen gatte BOtttommen befUmmt ijl, begnügen. [ilized by Google 200 .'•2) Die ^ 9 pot^enuf< a unb eine .Äat^efe b feien gege. ben; bie anbere Äatbete c unb bie SJBinfel B unb C ' . KU finben. \^ier ftnb bie ^fritieln l), 2j unb 4) anjureenben, and benen cosc = ß _ cosC = cola langb COS b sin a folgt. Obroobt ju sin B im Allgemeinen jroci SBinfel ge[;cven, ein fpigiger unb ein pumpfer, fo fäUf boep pier jebe Unbepimmtpeit pinroeg, ba B^90" angenommen merben mup, je naepbem b^90" gegiben ip. 3) ©egeben finb eine Äafpefe b unb ipr gegen überlie» genber ®intcl B; man foH a, c unb C finben. Auis ben Sormefn 2), 6^ unb 9) erpälf man »in a = ober aud i) unb 4) * sin B ’ sin c = cot B cot I) ' sinC = cos B cosb COS C = cos a cosb cos C = cot n lang b. 5SBenn a gefiinben mürbe, fo fönnen barauS mittolp bec ©[eicpungeii für cosc unb cosC bie Sffiertpe für c unb C unjmeibfutig bepimmt merben ; allein jur ©epimmung bon a fennt man mir ben Sinus »on a, batum ifl biefe Aufgabe eine unbepiminte. 3ebocp fann auep pier in befonbeni gaffen bad Dreiecb »offfommen bepimmt fein, ivad mir fofort unterfu» epen moffen. 3PB = 90'’, fo ip A -J- B = 1 80'*, baper aiicp a + b= tSO“, unb roeil b = 90‘* ip, auep a = 90‘*, fomit bad Dreiecf bepimmt. aßenn B<90", aifo A ß < 180" ip, fo mup auep a + b < I80", bapec roegen b<90", a^oo" fein; bad Dreietf ip fomit iinbej^immt, audgenominen, menn für bie Annnpme, bap a pumpf ip, a-f-b^ 180" atidfaUeu mürbe, in melipcm gaffe man a nur fpipig annepmen tann. 3P enblicp B>90", alfo A -1- B> 180", fo mup auep a-|-b>l80° fein, megeii b>90" tann bann a ^ 90" auefaffen unb bad Dreicct ip unbepimmt, aiidgenommen, menn ber fpipige SBintel a fo tiein ip, bap ar^-b < 180" aiidfaffen mürbe, mo bann a notpmenbig pumpf angenom» raen meiben müpte. 4) @ e g c P e n f i n b e i n e Ä a t p c t e b n n b i fj r a n I i e g e n b c r 98 i n f c ( C ; man f u cp e a , c unb B. Diegormeln 4), 7) nnb 9) geben . cos C . COU, _ • r, , cot a == r , cot c = —r > cos B = sin L cos b. lang b sin b 5) Die Jpppotpenufe a unb ein antiegenber SBJintel B feien gegeben; man foll b, c unb B finben. ,Aud ben gotmefn 2), 5) nnb S) folgt • . . . . n . cos B . „ cos a sinb = sin a sin B, lange = — colC = —-. “ cola coiB j^icv if! b but^ sinb »oUfommen ba man b^90° an» net)inen mu^, je nac^bfni 90“ ifl. 6) ®ie beibcn fcfjicfcn SlBiiifel B unb C feien gegeben; man finbe bie 0eifen a, b, c. 2RitfeI|l ber Slelajicncn 8), 9) unb 10) erhalt man . _ . . cos B cos C cos a = cot ß cot c , cos b = -r—;r , cos C =: . E n C s n B III. ^uflüfung btr fcljicfroinkligen fpl)ärif(^(n ^rt etke. §. 226. l.gall. Gö fei einc0eife c mit ben i^t anliegenben SSBinfeln A unb B gegeben; man foU a, b unb C finbe n. Die jmei 0eiten u unb b ergeben fic^ au6 ben @[eid)ungen bfö0f)' flem6 III b) A — B COS —: — a + b lang- taiig a — b cos sin sin -5 A + 2 A — B 2 . c lang - . A + B “2 3ur S8e)limiming be3 a^infe!6 C ev^älf mau au6 bem ©pjleme II) . ^ ' sin A sin c Mii C =r - - — , sin .1 cbev au$ bem 09| 1 emc lila) a -i- 1) A - B Sill cot - =2 . a — b Sin lang ®öfei j.!8. A== I58“14'16", B == 21“ 17' 22", c = 73“15'20". lOban bat A -f B = 179"3r38" A — B = 136“66"54' -=36“37'40" 2 "f" B , —— — 80^45' 180“ enblicf), roo nud; a4-b>l80“, unb fomif b>-90“ fein muß, iß bie 7(ufgabe glei(bfaff6 bepimmt. 26 fei ferner a< 90“. gür A + B ^ 180 “ mup au^ a -f- b ^ 180“, fomit b>-90® fein, fo bap bieÄufgabe nur eine Äupofnng julöpt. gür A + B< 180 “ aber, unb fomif a -|- b < 180“, fann b $ 90“ fern , unb ba6 ©reieefjP unbepimmf, wenn niept bet pumpfe SCBintd b fo grop ip, bap a -f- b ^ 1 80“ mare, ma6 immer eintriff, roenn B < A ip ; in biefem gaffe barf aIfo b nur fpigig genommen »erben. 3p enbfic^ a > 90“, fo paf man für A + B ^ 1 80“ atii^ a -f b ^180“, unb fomif b<90“; ba6 Dreieef ip aifo bepimmf. SBenn bagegen A + *80“ unb baper aiicp a b> 180“ ip, fo fann b ^ 90“ fein, unb ba6 Dteieif ip unbepiinmf, au6genommen, »enn bet fpipige SBinfel b fo flein ip, bap a + b< 180“ »üre, »a6 für B^ A gefepiepf, in »el-- fpem gaffe bann b nur Pumpf fein fann. X)a6 Xireieef ip aifo in biefem ?(upofiing6faffe unbepimmf, »enn a<90“, A + B<180“ unb A90®, A-fB>l80o unb A>Bip. 3P einmal b bepimmt, fo etpälf man für bie ©eteepnung oon c unb C au6 ben 0ppemen lllb) unb lila) bie Äu6brüde A + B 2~ . a — b sm — lang; 810 A — B lang- lOiyv, 203 4 "f" b ,C cot- = e« fei J. ». A=57®38', B = 31®12", a = 104® 25' 30". ®?an f»at juetjl log sin B = 9-714 3524 log sin a = 9-986 0883 9-700 4407 log sin A =! 9-926 6714 log sin b = 9-773 7693 b = 36® 26' 23". 35a ^ier a>90®, A + BdSO®, femit auc^ a-l-b<180® i)l, fo rau§ b<90® fein. Seiner ^at man A -1- B = 88® 50' A — B = 26® 26' ^-t-5 = 44® 25' 2 = 13® 13' 2 a -I- b = I40®51'53" := 70®25'56'5" 2 a — b = 67® 59'7'' . A + B - = 33® 59' 33-5' a b n.AT j log sin — = 9-845 Qigj (ogsin-^^ = 9*974 1647 lüg lang = 9-828 7625 log lang = 9-370 7994 9-673 7806 9-344 9641 logsin = 9-359 1409 logsin— = 9-747 4789 log lang - = 0-314 6397 - = 64® 8' 46-9" 2 c = 128® 17' 33-8" log cot ^ = 9-597 4852 j == 68® 24' 21-3" C = 136®48'42-6" §. 228. 3, Satt' 3roei ®eifen a, b iinb bet »on einge» fc^loffene SBinfel C finb gegeben; man feil c, A, B f i n b e n. 35ie SOBinfel A unb B ergeben fic^ auS ben Oleic^ungen be9 @9 » fleme lila) a — b COS , A -I- B ''"-2 . C lang—— 3= —— . cot-, Digilized by Google 204 lang: A — B sin a — b sm —r—r • cot - . a + b 2 gür bic @eite c etficitt man bann au8 bera 09)leme II) bi« ©leis ^uiig sioC sin« siu A ' ober au8 bem ©pflcme lllb) bie ©lei^ung A + B sine >sin lang- = sin B . lang a — b . iß. a = 97“ 30'20 b = 55®l2'10", C==39®58', a 4- b = 152® 42' 30" * - j- K __T._ = 76» 21' 15" 2 a — b = 42® 18' 10" ~ = 19® 59' ---- ==21® 9' 5" log cos lo log cos log lang a — b geota + b ~ A + B 2 A + B 2 A — B 9-969 7095 logsin — 2 = 9-557 X 3068 0-439 3273 log cot j = 0-439 3273 0-409 0368 9-996 6341 9-372 7639 log sin — + b 2 = 9-987 5647 1 036 2629 lüg lang— - B 2 = 0-009 0694 84® 44' 39-1" A — B 2~ = 4'5®35'53-6" 45® 35 '53-6" A = 130® 20' 32-7" B = 39® 8' 45-5" log sin C = 9-807 7662 log sin a = 9-990 2630 9-804 0292 log sin A = 9-882 0628 log sine = 9-921 9664 • c = 56® 40' 19". < §. 229. 4. gad. 3wei 0eit«n a, b unb ein gegenüberliegend beräßinfel A feien gegeben; man foll c, B unb C finben. gut ben UBintel B gibt ba« 09jlcm ll) ben 2tu6brucf . _ sin A sin B smB : . sina 205 aSerf^e ton c unb C geben bann bie ©feid^ungen bet 09jleme III i)) unb lila) sin A + B 2 sin sin A — B 2 a + b * 2 3)iefc )(ufgabc biefef, ba ß nii6 sinB jii befiimiiu'ii i)l, nur in befonbevn gatten eine bepimmtc 'Jiiiflbfung. gilt A = 90" unb a 4-1) =180" ifl aiict> A4-B= 180", unbfomit B = 90", alfo baä 3)reiccE beflimmt. 3ll A < 90", unb a -f b ^ 180®, fo ill au 90"; bet SBerfb ton B ijl alfo unjitcibcutig Eeflimmt. SBarcaber a-f b<;i 80", alfo aud) A-l-B<; 180®, fo tonnte B fpi^ig ober fluinpf fein, aujjet luenj^bcv flumpfe SBintcI B fo grop i|l , ba^ A4-B^ ISO® loäve, inaö für b^a eintritf; in biefem gatte fann nut_B<90® fein. 2^un enblicb A>90" t)f, fo bat man für a4-b^l80® au^ A-1-B<180", habet BOO"; bie2(uflofung ifl alfo in biefem gatte be» jlimmt. gür a-f b>180" bagegen bat man auch A4-B>180", alfo B^90"; baä Sreiedifl fomit unbe)1immt, auOgenommen, wenn bcefpifige SBiiifel B fo wöre, bab A4-B< ISO® auOftele, weIcbeO immer ein* tritt, wenn b> a i)l; in biefem gatte fann für ß nur bet (lumpfe ffiin-- fel angenommen werben. 3n biefem 3lufl6fungSfatte i|l bemnaeb baO fpbarifebe JJteicdE unbe* fiimmt, wenn ober A<90", a + b<180", unb a90", a4-b>180", unb a>b ijl. Dlimmt man *.©. a = 45", b==25", A = 92" i» 9-8'< an, fo pn* bet man butib abnlicbe ttlecbnungen, wie im jweiten gatte, B = 36" 40' 36 8'', c = 37" 47' 19-7“, C = 60". t 1 §. 230. 5. gatt. S6 feien alle btei 0eifen a, b, c gegeben; m an fu ebe bie SSBinfcI A, B, C. aifan wirb pcb bierju ber gormeln beS 0pPemS I b) bebienen. 3)1 J. SB a = 50"54'32", b = 37®47'18", c =74"5r50"; fo bat man a -f b -f c = 136® 33' 40", ® == 81® 46' 50", — a b + c — 61" 44' 36", ® _ 30® 52' 18", Digilized by Googl 206 a — b + c = 87* 59' 4", a + b — c = 18*50', a — b + c a + b — c = 43* 59'32'^ = 6*55'. But iBm^nung von A ^at man nun bie Formeln A cos- 2 . A Sin - 2 y/ii j/! 4-b4“® . — a-f-b + c _1 Sin sin b sin c a — b + c . a + b — c Sin sm I . a + b + c logsin = 9-995 5157 . . — a + b —c logsin = 9-710 2163 9-705 7320 log sin b == 9-787 2806 log sine = 9-984 6660 9-933 7854 sinb sine logsin = 9 841 7118 logsin ^ == 9-080 7189® 2 9 922 4307 log sinb = 9-787 2806 log sin c = 9-984 6660 9-150 4831 log cos- = 9-966 8927 - = 22® 5'20-4" 2 A = 44® 10' 40-8" logsin^ = 9-575 2415 t = 22® 5'20-4" 2 A = 44® 10' 40-8" X) 9-889 9425 logsin c = 9 984 6660 9 962 6190 B log cos- = 9-981 3095 - = 16®4r21-8" 2 B = 33® 22' 42-6" 8-790 9352 logsin a 9 889 9425 log sine = 9-984 6660 8-916 3267 logsin^ = 9-458 1633 - = 16® 41' 22-4" 2 B = 33* 22' 44-8" Digitized by Google 207 3>a bet ffiinfel j < 45® ijl, fo fann man ben au5 bem Sinns ^er* »orgebcnbcn 9Betf{) »on B aI8 ben genaueren onfe^en. 3ut SSepimmung »on C ^at man .. 5 = c cos -• 2 a+b + c a + b — c sin — sin sina sinb — a + b + c Sin — b c logsiii-'* ^ = 9 995 5157 logsin^^—- = 9 080 7189 9-076 2346 logsin a = 9 889 9425 log sinb = 9-787 2806 9-399 0115 log COS“ = 9-699 5057 - = 59“ 57' 33" 2 C = 119"55' 6" sin a sin b — a + b 4- c = 9 710 2163log sin logsin- = 9-841 7118 9-551 9281 log sina = 9-889 9425 logsinb = 9-787 2806 9-874 7050 . . C log Sin- = 9 937 3525 ^ = 69”57'33-6" C = 119“55' 7-2" ^ier 5 > 45“, bo{»er bet au6 bem Cosinus ^letoorgejienbe fHlerf^ »on C bet genauere. §. 231. 6. Soll. feien bic brei SBinfel A, B, C gegeben, unb bie Reifen a, b, c ju fuc^en. Die gefugten @tüde ergeben ,jii$ auö ben äjotmeln be8 ®9(leme8 IV b), unb }i»ar burd) Unliebe BJeebnung, wie im »orfiergebenben gaUe. Blimmt man j. ». A = 107“48', B = 62“80', C = 38“58'30" an , fo finbef man a = 70“22'42-6", b-= 51“42'26" c = 38“28'48-8", IV. IKebungeaufgnbtn. §. 232. 1. ein tecbfminfligeS fpbärifd)e8 Dreietf, worin A ben tedjfen JEBinfel »orjletlt, aufjulofen, wenn gegeben finb a) b = 127“ 58' 32", c — 63“ 15'48"; b) a = 154“ 8' 15", c = 81" 18'27"; c) c = 74“ 23' 8", C » 105“ 17'35"; Digilized by Google 208 d) b = 51® 50' 2", B = 78® 41' 19«; C) c = 83° 12' 38«, B = 65® 55' 55«; f) a = 95® 6' 42«, C = 70® 49' 25«; g) B = 88®13' 9«, C = 58®59<22«. 2. Sin fc^icfminfligeS fp^ärifc^eö JJrcietf aufiulßfen, wenn gegeben fino a) a = 85® 13' 58«, B = 64« 35' 32«, C= 71® 17' 53«; b) b= 67°35'30«, A=88®13'23", B= 151® 11 ' 12 «; c) a = 48 23' 57", A = 59® 17' 44", B = 75 ° 15 ' 32" ; d) b = 83® 48' 40«, c = 72® 13' 13«, A= 108® 5' 28" ; e) a = 102® 13' 24«, c=75®51'21«' B= 65 ® 31 ' 54 «; 0 b = 126® 8' 19«, c = 83® 38' 7 «, B =-- 96® 52' 41 « ; g) a= 137® 28' 37«, - b = 55° 57' 8 ", c = 88® 17' 35"; h) A = 70® 18' 15«, B = 48® 17' 10 «, C = 94 ® 40' 27« . 3. 3Benn bie J? 6 be li, baS 3(jimuf& w cincä ©cflitiiS unb bic f beS S8eobad;fung6 orfcS gegeben finb, bnre h unb w. 5. ©egeben finb h, unb 9 ; man fucf)c s unb w. 6. Sic geogropbifcbc Cage bveierDvfe ber Stbe i)l gegeben; man fuc^e bie 0ei(cn, bic Sßinfcl unb ben g(cicf)eninbalt bc 6 burep jene Ditc gclcg=ten fpfiatif^cn SreiccEeö 7. 2lu8 ben brei jufammcnito^cnben 3?anfen a, b, c eines fd)iefroinfli« gen ^araClelepipebS unb ben SBinfeln a, ß, y, meiere jene 0eitcn mit einanbec bilben, ben Supalt beS yaraHefepipebS jii beflimmen. 5»tan finbet P = 2abc . 8. Sin reguläres ^ofpeber mirb non p nfeitigen ^cipgenen, non benen je m in einer Sefe jufammenfiepen, unbbcren0eife aiji, eingef*tof* fen; man fu^e a) bcn9ßinfel 9 jmifdjen jluei ©craben, mel(^)e »om SOiiftelpunfte beS Q)oIpeberS jum Sdpunlfe unb jur SSRiffc einer 0cifc gejogen merben; b) ben SBBinfel i|> i»ifcf)cn jmci®crabcn, meldje jur 50?iffc einer 0ei» tentanfe unb jum SWittcIpunffc ber ba^u gebbrigen 0eifcnfIäon einet Sefe; Diaitized by Goc-^Ie / 809 g) bie Dberft5^e 0 ; h) btn Äörperinbalt K be« ^olpebetö. iD^an finbet a) cos 9 = 180” cos —n Sin 180'i t COS- m 180* b) cos ^ sm 180® cos ta SS COS 9> COS ^ JN d) sin — = cos =2 ^ cos- 180* , ISO* cot-— cot m o 180* Sin 2 u ® 2 ' 180Ö f fs n « . 180'' . Nf) R = -lang— lang-, g) 0=£^coll^, h) K 4 npa* n 180' n -jj-cot^cot-li^ lang?. 24 in n ® 2 MoAnik, (SremctTie. 2. Itiifl. 14 Digilized by Google / Sltttoen^ung SU^el&ta auf Me C^eometrie. §. 233. ®ur^ ba8 aReffen bet SlaumgrSpen wirb bo8 iOer^filtniß berfelben ju ben gleic^artisen ajtafein^eiten gefunben. 2)araud folgt, ba^ (t<^ bie Simen, Släc^en unb .Körper but^Bofllen auöbräden laffcn, wel^e allgemein butc^ iöu^jloben borgejleBt werben. @o ijl j. 83. \/2 bie .^ppotpenufe eine« recf>twinfligen Steiede«, beffen jebe Kathete i ifl; 3 . 4 = 12 bie Städte eine# .IRec^tedeö , beffen 0eifen 8 unb 4 finb; 3 . 4 . 5 = 60 ber Snpalt eine« rec^twinfligen 9>atoffeIepipeb8 , beffen }ufammenf!ofenbe 0eiten 3, 4, 5 ftnb. SntpÖIt bie 0eite eines äBürfelO a Sängeneinpeiten , fo ifl a* eine 0eifenflÄ^e unb a* ber Sn^alt beS aBürfels. @inb a, b, c bie welche an|eigen, wie oft bie Sängen« einöeit in ben iufammenflo^enben 0eiten eines rec^twinfligen ^aralleU epipebS enthalten iff, fo finb ab, ac, bc bie 0eitenfIädf?en unb abc ber 3nöfllt eines folc^en Körpers. Saffen ficf) aber bie SRaumgtö^en algebraifcf) borfietlen, fo ifl eS bon felbfi flar, ba^ mon geometrifc^e ©röpen in algebraif(^e äXe^nung jie^en unb baburef) auc^ bei geometrifc^en Unterfuc^ungen bie2tlgebra anwenben rann. 2>ie Sirigonometrie felbfi fann f^on alS eine fol^e 3Inwenbung ber 2ügebra betrachtet werben. 9Bir werben unS in bem Sia^folgenben mit ber 2(nwenbung ber Tllgebta aufbieSöfung geometrifcher^tufgaben, unb was bon befonberer aBi^tigfeit ifl, auf bie 83eflimmung ber Sage ber ERaumgröfen befc^äftigen. 3)iefe le^tere 2(nwenbung bilbet ben ©e« genfianb ber analptifchen ©eometrie, bon welcher wir jebo^ in biefer 2(bhanblung nur jenen Speil bornepmen werben, welcher fi^ mit bet ©eflimmung bet fünfte unb Sinien in bet (Sbene befaft. % Digilized by Google I erfter 5Ibfd)nitt. 3ltttoettbtttt0 3l(a«]6ra auf tie !^pfutt§ geome» triftet Sittf^abett. §. 234. ®ie 2(n»enbun9 bet Jügcbra ouf bie ?&fung geomcfrifd^et 2(ufga« ben ifi oft fo lefc^t, baf eS gar nic^t befonberer Siegeln bebaif, nie »ir biefe6 fogleic^ an folgenbem 85eif})iele fe^en roolTen. S6 foU eine gegebene ©erabeAB (Sig 264) im Supern unb mittiern iQer^Itniffe getbeilt »erben. 8i0. 264. ^ Um biefeJtufgabe algebtaifd^ auf. iulöfen, mu^ iuerji bie 8inie AB burd^ eine Bubi auögebrüdCt werben. @3 fei a bie Bab'? »elcbe anjeigt, wie »iele \ fiangeneinbeifen bie@erabeAB enfbÄIt; ^ ^ ber gröbere 3(bfcbnitt enthalte 8än> ^ E ^geneinbeiten, fo werben ihrer auf ben fltinern 2lbfdbnitt a — x fommen. ®er ®ebingung ber Aufgabe ju golge mub nun ober fein, wotaue a : X — X ; a — x X* = a* — ax folgt. ®a nun ber gefuebte gröbere 2tbfdbnitt offenbar nur eine pofitice @röbe fein fann , fo iff »on ben beiben 5B3ertben »on x bet gweite nicht brau^bat, unb bie 2lufgabe führt auf bie cinjige 2luflöfung — x + V^ ®* + VSübrt man nun bie in biefem 2lu6btudle angejeigten Rechnungen aus, unb trägt bie für x gefunbene Babl Sängeneinbeifen »on B bis E ouf, fo i(l E ber ^untt, in welchem AB im mittlern unb äufern iöetbält* niffe getbeilt wirb. _ 6S iff übrigens gar nicht nötbig, jene Rechnungen wirflich auSju. fuhren, was (ich of* nur ndberungSweife tbun labt; man barf nur bie geometrifche töebeutung bes für x erhaltenen 2(uSbrucfeS inS 14* Digitized by Google Üt2 2fufle faffen, um foforf ben q>untt E burd^ eine ganj einfod^e geometrU fc^)e Äonjlrutjion ju erhalten. ®ie @r6^e W'a® ^ bebeufef befannttic^ bie .^ppof^enufe ei> ne« rec^frofnfligen Dreiecfe«, beffen Äol^eten a unb ^ finb. gerichtet man baber in A eine ®enfre^te, trägt barauf AC = ^ auf unb jiebt CB, fo i|l CB = \/Aß» + AC* =• 4 93on biefer ®r&^e ifi, um ben aBertp »on x ju erfialten , nod) * ' ^ 2 abjujieben. ®efcf)reibt man aifo au« C mit bem ^albmeffer CA = - ben SSogen AD, fo if} CD = ^, habet BD = CB — CD = V^a® + ^ — i = x. IBtan barf nun blo^ noch auf ber @eraben AB ba« ®tüd BE =BD obfcbneiben, fo i)l E ber gefuc^te ^unft. 9Ran fiebt, ba| bie algebraifcbe 2tufl6fung biefet Aufgabe ouf biefelbe Äonjtrufjion führt, meicbe wir in ber Planimetrie au« ben gigenfcbaften be« .Greife« abgeleitet haben. §. 235. 9Bie man au« bem oorbergebenben tBeifpiele fiebt, fommt bei ber jtnwenbung ber 2(Igebra auf bie ©eometrie ein breifacpeS ©efc^äft oor; 1 ) müffen bie SBebingungen ber 2(ufgabe in bie algebraif(be3ei£b«afptacbe überfeit, ober burdb eine ©leicbung au«gebrü(tt werben; 2) wirb biefe ©leidjung aufgelofet; unb 3) muh bie geometrU fdjeSebeutung ber gefunbenen garmel brrgejleHt, ober ber für bie Unbefannte erhaltene 2tu«brucf geometrifcb fonjfruirt werben. gür bie Ueberfehung einer geometrifcben iiiifgabe in bie aigebraifcbe Seichen fbraanbrln, wirb cS n&t^ig fein, Sinigeb Aber bU ©Uic^artigfrit berfelben ooraub fc^iden. 1. @(cid)artigktit ber ^nsbrfidir. §. 236. SBir hoben oben bemerft, ba§ bie @r6ßen a, b, c bie Sange einer Sinie, ab, ac, bc, a* eine StAc^e, abc, a* einen Ä6r})ctinholf bebrüten, ga^t man bei biefen @töfen bie yofenjerponenten ber SBuchflaben in« ?(uge, fo fieht man fogleich, baß bie 0umme ber (Srhonenten in einem fofehen 2(u«brucfe bei ber Sinie l , bei ber gläcbe 2, bei bem .tbrher 3 if). Die Summe ber Srponenten eine« einfachen algebraifc^en 2(u«brude« wirb beffen Dimenfion genannt; babei werben aber bie Srponen^ ten ber barin etwa oortommenben befonbern gaßlen nic^t berAcIfiebtiget. 93ei einem iBruebe bejlimmt man bie Dimenfton, wenn man bie DU menfton be«3äbler6 bureb jene beSJJlenner« bieibirt. DieDimenfion einet ^otenigrAße wirb gefunben, wenn man bie Dimenfion ber SBurjel mit bem ^oten}erponenten multiplijirt; unb bie Dimenßon einet 98 ur« jelgrbße, wenn man bie Dimenfion bet (Stoße unter bem SBurjeliei» eben bureb ben 9Bur{e(erponenten bioibirt. Diefen (Srflätungen ju gotge haben bie @rößen a, 2b, eine Dimenßon; bie ©roßen ab a* 3ax’ 0 ' bc ' 4bc ,b, Sbo, «>, i', fi)’ l/sm a \ p y , b )wei Dimenßonen; enblicb 2(u«brAde •b., .«•, iii:, . . « \3byy, py bret Dimenßonen. ®tehr aI9 brei Dimenjionen fJnnen geomettifebe ©tÜßen niebt h«* ben; wohl aber fann biefe« bei rein algebraifcben 2(u«btAcfen ber gatt fein. 00 ijt j. ©. bie ©röße 3a* bx* ein ^tu«brucf bon 6 Dimenßonen. §. 237. (Sine ©leicbung ober ein 2fu«btucf heißt in ©ejiehung auf gewijfe ©uebfiaben gleichartig ober homogen, wenn äße ©lieber in ©ejug auf biefe ©u^hPaben gleich oieleDimenponen haben. 0o iß bie©Ieichung X* — 2ax + a v/i>o = ©ejiehung auf bie ©uebPaben a, b, c, X gleichartig, weil febe« ©lieb jwei Dimenponen hat. ffißenn man bie Cinien bureb ©uchpaben a, b, c barpefft, unb e« wirb feine befonbere Sinie al« (Einheit angenommen , fo ijl bie ©ieiebung, auf wel^e man bur^ bie 2(nwenbung ber 2(lgebra auf bie ©eometrie ge> führt wirb, immer in ©ejiehung auf biefe ©uchPaben gleichartig. Digiiized by Google 2i4 2)iere ©leic^actigfeit bet ©leit^ung finbet ni^t me^t 0tatt, fobalb eine gegebene 8inie al$ Sinbeit angenommen wirb , benn bann oerf(bwin> ben bie Safteten unb welche biefet fiinie gleich finb. @o j. SB. erbärt man jlaff bet gteidbartigen ©lei^ungen x = wenn • . ID D m aI8 Sinbeit angenommen wirb, bie ungleiibarfigen ©leicbungcn x = abc, X = g8 ijl übrigens immer leicbf, bie ©leicbartigfeit berju* IlelTen; man barf nur bie Sangeneinbcif bur(^ einen SBucbllaben o auö» brücten, unb biefen in bet nöfbigen ^otenj in ben ungiei^artigen 2(u8* btudf als S^ftot ober Sb^Üct einfübren. Um j. SB. ben 2tu6brucf x = ab glcii^arfig ju ma^en, bioibire man ab but:^ ben SBucb)laben a, welker als Cinieneinbeif ju ©tunbe ge« legt witb; man erbalt x =—, Sie SBucbftaben x, a,b haben iebocb nic^t a mebt bie ftübete SBebeufung ; benn früher nahm mana = i an, fo baf X, a, b bie äHabe bet?inien bebrüteten, wabrenb jebt bie ginbcit a ganj unbeflimmt bleibt, fo bap man fi(b iiatf x, a, b bie ©töpen | benfen mup, woburcb bet frühere ungleichartige 2(uSbtucf x==ab ln jenen ^ ^ ^ ober X = — übergebet, welker glei^artig ijl. SBÜte bet JTuSbrutf X = gleid)artig ju madpen, fo bebenfe cm man, bap x eine^ginie borjleOft, fomit eine Simenjton bat; bamit nun bet SBruch ^—^auch eine Simenfion erhalte, mup man, ba ber SJlen» cm net iwei Simenfionen bat, bem 3übfer brei Simenftoncn geben, inbem man.a mit a* unb b* mit a multiplijirt, wo a bie noch unbejiimmteCän» geneinbeit borfteDt; baburch erbült man aa* b’o X = . cm gigentliih ba^«« »it 6ei biefer Umformung nichts anbereS getban, als jiatt X, a, b, c, m bie ©ropen X a b c m eingefübrt; benn burch biefe 0ubfUfufion gebt bet 2(uSbrud a b* a — b’ „t X a X = übet tn - = c m a a ober X: aa’ — b’« Digitized by S1& II. |l0nflcnk3i0n ktt VUictittngen kc0 tcfitn nnk 3n>tit(n ®ra>(0. §. 238. ‘ Sine ©lei^ung geometrifc^ fon|Iruiten, ^eift ben für bie Unbefannte erjidfenen olgebraifc^en Jfuftbrudt mit ^ilfe beö 3ir» feI6 unb SinealS bur^ eine Cinte barfleHen. SGBir moHen unS auf bie befiimmten ©leic^ungen beS erflen unb jweiten @rabe6 befcf^ränfen , unb überbiek nur glei^aTtige @Ieicf)unden in ^Betrachtung jiehen , weil fich bie anbern auf folche jurüdführen faffen. 1 . ®I(i(f)unectt b(ö ctflen ®rabed. §. 239. SBei biefen wirb ber SBerfh bet Unbefannten butch fauter 3>ut^> fchnitte non geraben Sinien gefunben. 3ebe gleichartige ©leic^ung beS erften @rabe6 läßt ftch auf eine bet folgenben ©runbformen iuröctföhren : x = a + ß» x = a — b, x = — , bie wir ber dteiße nach tonflruiren moUen. Sig. S6S. A B »ig 266. a c 1 L . V Ä c B ^ »ig. 267. * ' I ^ 1 1 7/ !C, AC =b, AD =a, unb DE || AB ; AC = AD : AE ab 1. Um bie ©leichung x = a +b ju ton|lruiren, nehme man auf einet unbeftimmten ®era< ben AX (5ig. 265) baä 0tücb AB==a, BC =b; fo ijl AC=s AB BC =a b =X. "I'; , 2. Um bie ©leichung x=a— b )u fonfiruiren, nehme man in ber ©eraben AX (gig. 266) einen beliebigen ^unft A an, fchneibe AB =a ab, unb trage von B gegen A jurüd BCa=b auf, fo i|l AC = AB—BC = a —b =» X. 3. 0oabie@lei(hung xs= &I) — fonjltuitf werben, fo batf man, ba au6 biefer ©leichung bie ^rohotjion c:b = a:x folgt, nur {u benSinien c, b, a bie bierfe ^rohotjionirte X 3|i bähet (gig, 267) AB BC, fo hat man ober c ; b = a : AE, fomit AE = — = X. Digitized by Google «16 © e I f ^ I e I *. 1) foD bie ©letcfiung jc<=a-|-b —c-j-d — e f onflruirt »erbtobotjionaIe beßimmen. ßig. 268. €$ 1 »oraua AD = i’ == X folgt. b 5üt b>a fann auch bie fol» genbe Äonßrutjion febt »ot* tbeilbaft angemenbet werben. SWan mache (gig. 268) AB«.b, befcbreibe übet AB aia t)urcb» mejfet einen .^albfreia, trage aua A bieCinie AC=a auf, unb fätte »on C auf AB bie @enf. rechte CD, fo iß, wenn auch BC gejogen wirb, in bem rechtwinf» ligen Dreiedfe ACB AB : AC = AC ; AD , ober b : a = a : AD, 8) SWan fonßruire bie ©leichung x ga iß X == ^ . i. ÜRan fonßruire habet juerß j = m, fo iß bann x= welcher 2tuabrucf ßch nun fonßruiren lü|f. 4) ga foC X = —— fonßruirt werben. dei SKan bot x = Äonßruirt man habet »uerß ^ = m, d e I d ^ = n , enblich fo iß biefe lebtere 8inie x felbß ; benn nc mc e ab o c abc* f c " f d e ’ f def *' 5) SDian fott x == fonßruiren. e gö i)l X 1 = m 4- n. SD?an fonflruirc ba{>er juer|l 6 6 4 -- = m, bann — = n, unb enblich m 4- n = x. e e äb 6) Um ben 2luabrud x = —^ iu fonßruiren , fuche man juerß sb c — d = m unb fonßruire bann x = — . m Digiti.! ed by Google ji ei7 ’ \ «• — b* 7)'^ei bie ©Ific^ung xv c + d (a + b)Ca-b) 9Ran bat x c + ll {u fon{!ruir" ~ °* 2a’ + ab — c* göifi X a^2a-{-b — 2a + b-- SKan fonpruire nun bie ginien ^= m, - =n, - =p, ferner a ' a* a ' a — 2b4-in —n =q, 2a + b — p =r, unb enbliib » =^- 9. &(elibattßett te« iWeitta ®tabt». S. 210. a. ®ie reinen qnabratifcben ©teidbungen rajfcn (icb immer auf eine ber folgenben Sormen bringen ; X = \/ab, X = \/a* + b*, x = >/a*— b*. 1. 3d ber ©leicbung x = \^/ab bebeutet x bie mittlere geometrifcbe 9>roporjionaainie jmifiben a unb b, unb bann aiS fotcbe fonfiruirt werben. 2. Der ÄudbruÄ x = \/a* -|- b* i|l bie .^ppotbenufe eines recht» »tnfltgen Dreiedfe«, beffen Äatbeten a unb b (tnb. 3. Der britte 2(u6brud x = \/a* — b* jlefff bie Äatbete eine# recbtminfligen Dreiecbe# »or, baS a jur .^ppotbenufe unb b jur anbern Jtotbete bot. 9»an fann auch \/a* — b* in v/'a + b) (a — b) jerle« gen, unb x fomit al# bie mittlere yroporjionale jroif^en a-f-b unb a — b fonfiruiren. ® e i f p i e l e. I) üRan fonflruite bie ©teichung x =1/^—. ' C g# ifl X = \/^ • b = \/inb, wenn ^ = m gefegt wirb. Digitized by Google 218 ÜRan fonjlruite alfo juetji eine Sinie m unb bonn x =v/mb. 2) ®ei X = yli® ,+ bc ju fonfiruiten. 3Won fonfituire notläuftg m = \/bc, fo ifl bc = m*, unb x = v/ä®- + m*, welket 2(u8bru(f nun leicht ju fonjltuiren ijl. 3) SWan tonjlruire x = \/a* + b* — c® — d* + e®. @e|t man a® + b® = m*, m® — c® = n®, n® — d® = p®, unb fonflruitf m = v/a» -)- b®, n = \/m®—>c®, p = \/n® — d®, fo braucht man jule|t nur no(f) x = \/p® -f- e* }u fonjituiren, 4) 58 foH bie ©Ieicf>un 9 x = \/aF+_cd — ef fonflruirt »erben. 5Kan fonjlruire »orldufig m =\/ab, n =\/cd, p=\/ef; fo ijl bann x = \/ra® + n* — p®, »ooon bie Äonjlrufjion betannt ifl. 5) Um bie ©leic^ung x = ju fonflruiren, fuc^ie man ® 8 juerjl bie Cinie = m, bann = n, unb fonjlruire f— g f— 8 baraud x = v/m® -f- n®. S- 241. b) 3*be eonflänbi 3 e©Ieid>ung beS i»eiten@rabe8 lä^t unter bie gorm X® + ax = + p bringen, gübrt man, um biefe ©leic^ung bomogen ju matten, jlatt p bie ©rbfe pa =b* ein, fo b«l man folgenbe oier gormen: . , .. ^ X® — ax = b® . . . 1) X® -fax = b® . , . 2) X® — ax = — b® . . . 3) ' , X® + ax = — b* . . . 4) 2>ie aßgemeine gorra, unter melc^er bie beiben SBurjeln iebet biefer »ier ©leit^ungen enthalten finb, ijl , . , x=±|±V^^±b®, au8 welchem 2lu8bructe erftcbtlich ijl, baß bie SBurjeln einet »ermifch' ten quabratifchen ©leichung fc^on nach ben ootbergebenben Eingaben ton» flruiten laffen ; man braucht nur i. 4- b* t= m ober L _ b* = n }u fonflruiren , unb bann X = ± I + m ober x = ± | ± n iu fuchen. Digitized by Google 2t9 93iel «info(^et laffen f(4> iebo<^ bte 6«tben SBurjeln j'ebet b« »tet obigen ©feic^ungen butdj eine einjige Äonflrufjien erbolfen. 1) 2(u6 bet ®Iei(bung x* — ax = b* folgt X (X — a) = b*. ÜRan fiebl nun, baß x unb x —a jmei Ofnien finb, beten I)ifetenj a ifl, unb beten 9le(^tetf bem jQuabtafe b* gieicß fommf. ©cfcbteibt man Sifl- 269. baßct (Sig. 269) über bem ®utcbmef» fcr AB = a einen ÄteiS, jicßf bieSan» gentc BC = b, unb eon C auö but tße »on X. Senn wenn jebet betfciben in bie ©leicbung x(x — a) = b* an» patt X gefeßt roitb, fo mitb bet ®Iet» c^ung ®eniige gcleipet , meii man in beiben gällen ju bet ©fcicbung CD . CE = BC* gefübtf mitb, beten Ki^tig» feit in bet Ceßte »om Äteife bemiefen mutbe. 2) Sie ®Ieicbung x*-f-ax =b* gebt au§ bet frübetn x* —ax = b* bttoot, »enn man in biefet —x patt x fe$f ; pe bat aifo bie 3ButjeIn bet früb«n ®fei (ängerung ber AB über BßinauS ein punFt E' fo beßimmt werben, baß BE' bie mittlere proportionale Digitized by lOOg 2Zt AE' tinb bfr gegebenen Cinie AB fei; fo man, wenn BE' =x, baber AE' = a + x gefegt wirb, bie ©leidbung X® = a (a -f x) , roorauS X = ^ ± l^a® -j- 1 folgt. 5)er iwettc biefer ©ertfje ifl negafi» unb eignet fitb bab« nic^t fflt biefe Aufgabe. Der etfle llBetfb bagegen tfl pofiti» unb flellf bie ?inie BE' = BD' bar, »eldbe le^tere man erhält, wenn bie in ber frübern Tlufgabe fonpruirte 8inie BD biSjum iwei« ten 2>urcbf(bnitte mit bem Umfange beS auö C mit bemßalbme^er CA=: - befdjriebenen Äreifeö »erlängert wirb; benn e8 tfi BE' = BD' = CD' + BC = ^ + 9Ban fiebt, ba^ bie beiben bwt betra tioen SSJertbe »on x inbererfien2(ufgabe, für beren PSfung er ni(bt brauch* bar war, betleiten la^t, wenn man nur ba$ iOorjeicben änbert. @8 ent» balf fomit bie algebraifcb« 2luflbfung ber erflen Tiufgabe auch f^en jene ber {weiten in ftcb, fobalb man ben negativen a03ertb oon x auf ber AB non B au8 rec^tb auftragt, wäbrenb ber poftiioe auf AB non B au8 linfb aufgetragen wirb; fie liefert aifo alle 2iufl6fungen ber in folgenber SBeife allgemein gepellten Jlufgabe: 3(uf einer unbegren{ten ©eraben, welche burch {wel gegebene fünfte A unb B gebt, foll ein ^unft bejiimmt werben, beffen2lbpanb non B bie mittlere g>robor{ionale {wif^en feinem 2tbpanbe non A unb ber gegebenen gnt» fernung AB fei. aSitb überbaupt bie 2llgebra {ur 2tup8fung einer geomeftifchen 2fuf. gäbe angewenbet, unb man nimmt al8 Unbefannte auf einer gegebenen 8inie eine ®ntfernung , bie non einem fepen fünfte nach bepimmten Biiehtung aubgebt , fo müffen bie negatinen I03ertbe bet Unbetannten nach einer ber frühem entgegengefehten Btichtung genommen werben. Zugleich pebt man , bap bie negatinen £88ertbe {ur 2lufbebung ber iBefchränfung, bie in eine Tlufgabe gelegt würbe, fomit {ur noHpünbigen Sofung biefer 2lufgabe bienen. §. 243. 2. ®8 foll in einemÄreife eine®ebne AB (gig. 272) non bepimmtetCange ge{ogen werben, bie mit einerber Sange nach gegebenen ©eraben PO parallel lauft. Digitized by Google Ü2i6 9ig- 872. SKan iie^e ben Durc^meffet CD baraQel mit PQ, unb fäOe t>on 0 auf PO bie 0enfte(^fe OE, fo mu^ biefe auch auf bcr gefuchten 0ebne AB fenfrecbf jfeb«n, unb e« aut »oDfommentn SBeflimmunfl bet Sage »on AB nur barum , btn 2ib» flanb 06 auöaumitteln. 0e|t man 06 =x, ben .Oalbmeffer OA =a, fo bat man, wenn AB bie Sänge p, aifo A6 bie Sänge ^ b«**«« fott» »egen 06* = OA* — A6* ©tbneibet man habet »on bem .^albmefler OC ein 0täÄ OH = ? ab, aiebt tmt^ ben yunft H bie 0ebne AA'XCO, unb butcb bie fünfte A unb A' bie 0ebnen AB unb A'B' pataHel mit bet PQ, fo flnb 06 unb 06' bie beiben SBertbe bon x, unb e$ leifien beibe 0ebnen aIb unb A'B' bet borgeiegten 2(ufgabe Genüge. S. 244. r E 8. 3« ein gegebeneSDteied ABC (gig.273) f oll ein Ctu a> brat eingefcbtieben werben. «ig. 873. A ajlon benfe bie 3tufgabe gelSfl , unb e8 fei DEF6 ba6 berlangfe jQuabrat. 3P AH =a bie .^b^e be6 35reietfe8 , fo banbeit e6 fi^ offenbar nur barum, ben q>unft P au bejlimmen, bur^ welchen bie mit BC paral» leie ©erabe DE geaogen werben muf , barait DE =DF werbe. SKan fege ttifo PH =DE =x, bober AP =a —x, unb bie0eite BC =b. Daftcbin ähnlichen Steiecfen bie ©runblinien wie bie .^bben berbalten, fo bat man bie yropotaion BC:DE =AH:AP oberb;x =a:a — x, »otau8 Digilized by Google / 223 felgt ; X ifl btf vierte 9rot>or)ionaIe ]U a -f- b, a unb b. Um bie ^enjlrufjion in ber Signr felbft V0T}unebmen, verlängere man BC über C binauü, maa abtr «on R aud no(^ eine zweite Sangenfe RP' an ben greift geiogen werben fann , fo gibt ti au^er M nod^ einen {weiten ^unft M', weicher ber 2(ufgobe ©enüge leiflet, unb weichet burc^ bie ©efonle AP< befiimmt wirb. s . IV. Kebungsanfgaben. S 246. ]. Sin rec^twinfrigeb Dreied }u fonfiruiren, non welchem bie .^ppo« tbenufe unb bie 0umme ber beiben Katheten gegeben finb. 2. Sin rechtwintligee Dreiecf ju fonflruiren, »on welchem bie 0umme beiber Katheten unb bie oom 0^eitel beb rechten 9Binte(6 auf bie .^ppothenufe gefällte 0enfrechte gegeben ftnb. 3. Sin gleichfchenfiigeb 0reiecf auS feinen beiben .^5hen ju fonjiruiren. 4. Sin Diechtecf ju fonflruiren, wenn bie gläche unb hi« Diagonale gegeben ftnb. 5 . Sin Slechted ju fonflruiren , beffen Diagonale boppelt fo lang ifl, aI6 bie Diagonale eineb gegebenen 91echtede6. ' 6. Sine ®erobe »on unbeflimmter 8dnge unb {wei fünfte außerhalb berfelben finb gegeben; man foll benjenigen ^untt bet ©eraben fin» ben, ber »on ben beiben fünften gleiche Sntfernung hot. 7. 2Cn bem einen Snbe be« Durchmeffer6 eine» Äreife« ifl eine San» gente gejogen; man foff »on bem anbern Snbe beb Dur^meffetb ‘ eine ©erdbe fo jieben, ba| baS jwifchen bem Äreife unb bet San» gente liegenbe 0tud berfelben eine gegebene Sänge hat. 8. S8 finb jwci fonjcntrifche Äreife gegeben : mon foH butch einen ge» gebenen 5>unft be9 äußern Äreifeö eine ©erabe fo {iehen, ba| bie 0ehnen ein gegebene6 iOerhältnif hoben. 9. 3o einem gegebenen Greife butch einen gjunft, beffen Wflanb be- • fannt ifl, jwei auf einanbet fenftechte 0ehnen {u jiehen, »on benen ' bie eine baS mfache ber anbern ifl. ' 10. Die 0eittnfanteh einer breifeitigen 'JJpramibe ftnb a, b, c; auf ben Äanten a unb b werben »om ©cheitel an« bte Sängen a unb fä ab» gef^nitten, unb burch bie Snbpunfte bet le|tetn eine Sbene gelegt ; man foll ben ^unft in ber brüten 0eitenfante beflimmen , butch welchen jene Sbene burchgehen muf, bomit fie ben mten Sh«il bet ^pramibe abfchneibe. Digitized by Google 3n>eitcr 5lbfd)nitt QUmentt anal^ttfdbeit ®eomeitU in 9betir. §. 247. X>ie Cflgc ber i^Junffe unb 8inien in bet gbene ouf eine uniroeibeus tige 2(Tt burc^ au6brüden, ^eißt biefelben anafptifc^ be: ft im men. eine 8inie »oH(ommen bejlimmt ifl, wenn man bie 8age jebeS einzelnen ibcet fünfte fennt, fo bnnbelt e8 fid) iiinäc^ft barum, bie Sage eines ^unheS in bet (Sbene analptifc^ bat{uftellen. I. ^nalQ‘ifd)t ^t|ltmmung bc» ^nnktee. a)9ted^twin(Iige .ftootbinaten. §. 248. Um bie Sage eine« fünfte« M (jjig. 275) in einet Sbene ju bejlim men, (iefit man in berfelben }wei auf einanbet fenfrec^te ©etabe XX' unb »ig. 276. Digrtized by Google 22G YY', rodele ft4) in 0 fc^nciben, tinb fallf auf biefeifcen non M bie 0enf» reebtf" MP MO; fennf man nun bi«3(bfJänbc ÜP unb OQ, fo i(l ba» burcf) bic ?age bfS ^iinffp§ iM i'onfommcn befliminf. 0fnn finb bie 3(b» päntic OP unb 00 befannt, fo finb aud> bic 'punftc P unb 0 9f 9«bcn; baburd) aber iji bei ^unft M bc|limmt, ba man nur in P eine 0enfretbte auf XX' unb in 0 einc0enfred)te auf YY' erridjten barf, um butef) beren ®urd)fd)niH ben 'punff M ju crf;alten. Die Cän^e ber ©craben OP t*ie 2( b f c i f f e, bie ?önge ber @e* raben 00 = MP bie Drbin atc be6 ^untfeS M; beibe jufammen f>eigen Äcorbinafen unb jmar r e cb f ro i n f 1 1 g e, rceil ficb bie ©eraben XX' unb YY' linier einem reebfen Sinfci febneiben. 0ie Xbfeiffe brüeft mau attgomein buveb ben S8ud)|labcn x, bie Drbinafe bureb y au§; für ben ^untt M ifi aifo x = OP, y = MP. 15ic ©erabc XX' roirb bie 3(bfcif» fenare, bie ©erabe YY' bie Drbin aienare unb ipr 35urcbfolarore liegen, ifi v = 0; für ben g)oI felbfl ijl fowoßl Y = 0 aI8 r=0. 15 • Digilized by Google 228 c) Ätan^fotmoiion bet Äootbinafen. §. 251. Oft ifl (9, um eine einfad^ere Ste^nung )u etitelen, tort^eilbaft, bie jlootbinaten eineö ^un!te$ in bem einen 0t;)f)eme in bie itoorbina: ten eine5 anbetn 09|lemed $u netmanbern. X)amit biefe %ran6forma}ion m&glieb fei, muß bie Coge be6 neuen 09flem 6 gegen bae ölte gegeben fein. 1 . SJermanblung eine5 te^twinfligen Äootbinafen* fpfiemS in ein anbereö te(^ tw infligee. 8ifl. 278. ®6 feien c5ig. 278) OX unbOY bie alten, O'X' unb O'Y' bie neuen 2tren, x, y bie alten, unb x', y' bie neuen Äoorbinofen be6 fünfte« M alfo x =OP, y =MP, x' = 0'P", y' = MP'. X)ie beiben Äootbinatenfpjleme feien fo gegen einanber gelegen, bo^ bie Äoorbinaten be8 neuen 2(nfang8buntte6 0' in IBejug auf ba8 alte 09| 1 em a unb b finb, nümlicb OD =a, 0'D = b, unb bec SEBinfel, ben bie beiben Jtbfcijfenam bilben, glei^ a ifl. punft 0 (5ig. 279) fo i(l a = b =o; bab« bat man unftt biefet ^orauSftbung bie einfacheren SranSformajionögleichungeit X = x' cos« — y' sin “ ) y = x' sin o -|- y' cos« / ' gig. 279. iSieiben bie neuen llxtn ben alten barattel unb wirb nur ber 2(n> fangflpunft geänbert, wie in §ig. 280, foi|l« = o, babersina =o, cosB=i, unb man bat jut Sraitaformajion bie noch einfacheren @Iei< chungen X = a 4- X'» y = b + y'. / 3) 8i0. 280. t)ie ©leichungen 2) unb 3) laffen (ich au8 bcn barunfer jieb«nben giguren auch für (ich befonbera ableifen. §. 252. 2) iQetmanblung einea rcchtwinfiigen €5bH»jna in baa Q>0lat:fhfiem unb umg(fth<^f> Digitized by Google 230 »•8 281. g§ feien (Sig. 281) OX unb OY bie ^ren bc8 rec^lrointligen Äoorbinatenf»)|lem§, für melc^e6 bet ^unff M bie Äoovbinafen X unb y ^at, aifo x=OP, y= MP; ferner fei 0' ber unb O'Z bie 2(re be6 ^ofarfpflemS, in ioe(cf)em ber 9iabiu8nettor r = 0'M be6 ^unfte6 M mit _^ber 3(re ben SOBinfel v = MO'Z bilbet ; enbli;^ feien bie Äpor» VW j/v.w w ivjfsiia uu| uHt> re(^ttt)infticbe 0pftem OD =a, O'D = b, unb ber «EBinfcI jinifcfien ber QJorarare unb ber 2£bfciffenaxe gleicf) nSiebt man non 0' auf MP bie Senfre^te O'R, fo bat mon X = OP = OD + DP = a 4- O'R, y = MP == RP 4- MR = b 4- MR. iJliin if] O'R = O'M cosMO'R = r cos(™ -f- v), MR = O'M sin MO'R = r sin (.» -|- v); baber x = a -)- r cos(a + v), \ . y = b 4- r sin (« 4“ v). / iRimmt man an, bab ber Äommt baju noch bie "Hn* 0 (5ig. 282) im 3(nfang6t.ninfte nabme, bab bie ^olarare mit bet beS red)fminfli!}cn ©ppem« liegt, ^tb^iffena« OX (gig. 283) jufam» fp i|l a = b — 0, unb man • bat X = r cos(.r + v), \ y = r sin 0* 4~ '') / 5) menfallf, fo bat man auch « = 0, unb fomit X = r cosv, y == r sin v. } 6) gig. 282. o 5)te ©iciebungen 5) unb 6) laffen |Wb ouS ben baruntet fJebenben giguren au^ für ftcb befonber« febr reicht ableiten. §. 253. UmumgeFebrtDonbenQJotarfoorbinaten auf biere^jtminfligen über» iugeben, mub man au8 ben obigen ©leidbut’Ö®” * “ub v bur;^ x unb j Digllized by Googlq 231 «uSbrüdEen. 95etrat$fen h)it bfo^ bie ©feidj^utiäfti 6) afs bie eiiifad^flen, fo folgt batou6 X* x= r* cos* V y® = r® sin ® V habet X® -} y* = (cos®v -{ sin®v) = r® unb r = v/x® + y® ... 7) Sernet tjl sin V cos V MP OM OP ÖM y r X r y + >>' X v'x* + y*' t 8) II. ^nalqtifd); |)ar|lcUung btc gtcabtn §. 254. 9Benn man baS @efeb (cnnf , welchem bie Sage affet fünfte einet einie, aber oud> nur bie Sage biefer fünfte unfctliegt, fo i(l baburd) bie einie oofftommen beflimmf. Sa nun bie i'age fineö ^unfted in bcrSbene burcb bcffen Äoorbinatcn auSgcbrücff wirb, fo ift eine l'inie aI6 boDtom» men faralteriftrt ju betrachten , menn bie dtela^ion befannt ift, melche jrcifchen ben Ä'oorbinatcn offet fünfte biefer liinie, aber auch nur ber ^'uutte biffer Sinie ®tatt finbet. Siefe JXflajion jei^t bann bie ©leichung ber Sinie , unb biefe Cinie bet geometrifche Ort ber © I e i ch u n g. Surd; bie ©leicfiung einer ?inie merben affe ^unfle bcrfelben »off« fommen befiimmt ; jie ifl ber analptifche 0icpräfcntant berginie, berge« fiolt, bap jeber Sinie nur eine ©leichung »on be^immter got«', «nb jeber ©leichung eben fo nur eine beflimmte Sinie entfprechen fann. a) Sine einjige ©erabe. §. 255 . 1. ©leichung einet ©erabe n, melcheburd) ben 2(nfangö» funft bet Äoorbinaten geht. gig. 284. Digilized by Googlc 232 Q8 fei AB (Sig. 284) eine beliebige @erabe , welche biit^ ben Tim fongöbunft 0 gef»t, unb mit bet 2(bfcijfenate OX ben fpi$igen SBinfel BOX = a bilbef. Stimmt man in bie er ©eraben roißfürli^ bie fünfte M, M', M", . . . an, ju benen folgemeife bie Orbinafen MP, M'P, M"P', . . . unb bie 3(bfciffen OP, OP', OP", . . . geboren, fo ift in ben red^fwinfligen Drei« ecfen MPO, M'P'O, M"P"0, . . . MP = OP tanga, M'P' = OP' tanga, M"P" = OP" langa, . . . ©S i^ habet bie Otbinate eines jeben ^untteS gleid) bet jugebbtigen 2(bfcijfe, multiplijitf mit lang j. x y b'« Äootbinaten itgenb eines ^untteS bet ©traben AB, fo i(l y = X . lang«, ober, menn lang« = a gefegt mitb, y = ax bie © I e i 4) u n g bet ©traben AB. ®iefe ©etabe mirb but^ bie ©leicbung y = ax fo beflimmt auSgebrücft, bab, menn man batin für x beliebige SIBertbe OP, OP', OP", . . . fegt, barauS bie enlfbrecgenben SBerfge »on y berechnet, unb biefe auf ben in P, P , P . erri^teten 0enfrc ben AB liegen. X^ie unenbficb »ielen jufammengegbrigen Äoorbinafenmer» tge, mel(^e biefe ©fcicgung beftiebigen, entfprei^en eben fo bielen berfeb.-e» benen fünften bet ©etaben AB; bie ©leitigung y = ax ijf bemnacg bet boQfommene analptifcge 9{epröfentant bet ©etaben AB. 2(u8 bet ©leicgung y = ax folgt , ba| man jut »ollfommenen ©e« pimmung einer burcg ben 2(nfarigSpuntt gegenben ©etaben nut bieörbfea, fomit ben fflinfel jii tcnnen brauet, melden bie ©itabe mit bet 3Ibfcif» fenare bilbet. Xiefer SBinfcl mirb immer »cn bet gofitiocn 2tbfciffenti(g» tung angefangen gegen bie gofitioe Orbinatenricgtung gin gerecgnet. ©etracgten mit nun aucg eine ©trabe AB (gig. 285), meftbe mit bet 2(bfciffenate einen fiumpfen fIBinfel BOX =a bilbet. Sig. 285. lY ®inb M, M', M'', . . . beliebige fünfte in biefet ©etaben’, MP, MP', MP", . . . igre Orbinafen, unb OP, OP', OP", . . . igte 2lbfciffen, fo ergalt man aus ben rere(henben 2Cbfciffe multt« prijirt mit lang (180 — u), mo jeboch nicht ju überfeben ifi , ba| bU Or< ^ binaten unb bie 2(bfcijif'rn entgegengefebte hoben. 2)rädt man bie atlgemeine Orbinate biirch y« bie2(bfcijfe burc^ —x au8, unb bebenft, ba^ lang (180 —a) = — lang a ijl, fo jot man y = — X . — langa, ober y «= x langa aI6 bie allgemeine Stelajicn jmifchen ben JCoorbinaten ber ©eraben AB, folglich ihre ©leichung. SBan fiebt, ba| bie ©lei^ung y = x tang a jebe ©erabe farafferi» ftrt , »»eiche burch ben 2(nfang6huntt gebt unb mit ber 21bfcijfenare ben ffiinfel a bilbet, mag biefer SGBinfel ein fhibiger ober ein flum^fer fein. ©ejeichnef man im lebtern Sötte, roo ber Sffiinfel a ftumpf ifl, unb baber eine negatice Tangente bot, biefe bur^ — a, fo erhält bie ©leis chung ber ©eraben bie Sorm y = — ax. ®ie allgemeine ©leichung jeber ©eraben, »eiche burch 2lnfang«. punft gebt, i|l bemnach y = a x, >»o a bie trigonomefrifche Sangente be« SEBinfeie « bebeutet, ben bie ©erabe mit ber 2lbfciffenare bebeutet, unb pofiti» ober negatio ifi, je nachbem o fpi|ig ober (iumpf ifl. © e i f p i e I e. 2) S6 fei eine ©erabe, »el^e bnreh ben 2lnfang9punft gebt, unb mit ber 2lbfci|fenare ben ttBinf ,I 65° bilbet, fo i|l bie ©leichung berfelben y = X . tang 65° ober y = 2*144507 x. 2) Die ©leichnng einer burch ben 3lnfang6punft gebenben ©eraben, »eiche mit ber 3lbfciffena« ben SBinfel 46“ bilbet, ifi y = X lang 45° ober y = x. 3) Die ©leichung einer ©eraben, »el^ie bur^ ben 2(nfang6punft gebt, unb mit ber 2lbfcijfenare ben SBinfel 132 ° 25' bilbet, ifl y = X lang 132° 25' ober y = — 1*0945 x. SBenn iimgcfebrt eine ©leichung oon ber Sorm y = ax gegeben i(l, fo Ijl e6 febr leicht, bie baju gehörige ©erabe ju fonflruiren. ©ebenfi man, bap bie Page einer ©eraben »ottfommen bejlimmt ifl, »enn i»ei fünfte gegeben finb, bur^ »eiche bie ©erabe bur^gebet, unb baß b'« einer ber j»ei q>unfte, nämlich ber 2lnfang6punft ber Äeorbinaten bereitO befannt ifl; fo bonbeit e6 fich nur barum, noch jmeiten in ber ©e» raben liegenben ^unft $u beflimmen. 3lm beflen »irb fich baju ber ^unft eignen, beffen Tlbfciffe x = i , unb bie Orbinate fonach y =a ifl. 2Ran barf aIfo nur bie Tlbfciffe x = l nehmen, burch ben Snbpunft eine @enf» rc^te jieben, barauf bie Orbinate y = a auftragen, unb ben ouf biefe 3lrt beflimmten ^unft mit bem Tlnfanggpunfte burch eine ©erabe »er» binben ; fo flettt biefe bie burch bie ©leichung x = a x ou6gebrüctt« ©erabe »or. Digilized by Google 234 A' feil, fo fal man langa == 2, bafiet a = 6ben fo geben bie ©leic^ungen Um i. SB. bie ©leic^ung y ~ 2x ju fonjlruiren, fiaf man für x = l , y = 2 ; man f^neibet aifo (5.286) OP=l ab, mac^t bie0enf. rec|)fePM = 2 , unb jic^t bucc^Ounb Mbie @erabe AB, mellte fomif betOlei» ^ung y= 2x enffprii^it. man ifire Steigung gegen bie 3(bfciffena« roif= 63“26'6'<. y = folgcnbe gerabe Pinien (5ig. 287, 288). gia- 287. gia- 288. , 2. @Ietd^ungeiner®eraben, welche nidf)t butd^ benJins fangSpunft ber Äoorbinaten ge^. fei AB (5ig. 289) eine gerabe Pinie, »el^e mit ber 2(bfciffenare Sig- 289. Digilizecb, ' nig 235 bcn SBinfel u bilbet, unb bie Dtbinaf«nare im^unfUD [(^neibft, fo ba^ DO = b ifl. 0inb M, M', M", . . . beliebige ^uiiüe in ber ©eraben AB; MP, MP', MP", . . . i{ire Drbinafen, OP, OP', OP", . . . i^re Jlbfciffen, iiiib jiebf man buri^ D bie mit OX paraHe ©etabe DE, fo ifl in ben vecptroinfligen Dreiecfen MpD, M'p'D, M"p"D, . . . Mp = Dp . langa, M'p' = Dp' . langa, M"p" = Dp" . lang«, . . . ober MP—b=OP.tanga, MP'—b=OP' . lang«, M"P"—b=OP" . lang», ... ijl affo bie um b »evminbetfe Drbinafe eines jeben fünftes ber ©eraben gleid) ber jugeporigen 7(bfciffe multiplijirt mit lang», ©ejeic^s net man baper bie Äoorbinaten irgenb eines fünftes ber ©eraben AB biirep X unb y, unb fept lang » = a, fo ifl y — b = ax ober y = ax -j- b bie ©leicpung ber ©eraben AB. 3tuf gleiche SBBeife fann man audp bie ©leicpitngen für folcpe ©erabe ableiten, melcpe mit ber 3(bfciffenare einen jliimpfen SBinfel bilben, ober melcpe bie Orbinatenare unterpalb beS 3(nfangSpunfteS burepfepneiben. 33ie ©leicpungen merben mit ber früpetn biefelbe gorm paben unb fiep »on ipr nur nur burep bie IQorjeicben »on a unb b unterfepeiben. (Ssmirb nämlicp a poiltic, menn ber Hßinfel a fpipig, unb negatio, menn a ein llumpfer SBinfel i|1. (Sben fo i)1 b pofiti» ober negatio, je na^bem bie Orbinatenare oon ber ©eraben oberpalb ober unterpalb ber TIbfeiffenaxe gefepnitten teirb. 9Ran pat bemiiacp, toenn(gig. 290) D'0=D0 ifl, wenn ferner bie ©eraben AB unb A'B' mit ber 2(bfciffenare ben fpipigen UBin» tel a, A"B'' unb A' 'B'" bagegen ben jlumpfen SlBinfel 180 — « bilben. gig. 290. Digitized by Google CEine für bieÄonflrufiien fe^r geeignete gorm erhält bie @reic|)ung y = a.\-)-b, wenn man barin - = c fe|f, wo bann c =. _ cO a lang a if?; bie ©leic^ung »ermanbelt (icl[) babur^) megen a = - in biefolgenbe y = j + b, ober, roenn man bur^ b bioibirt, unb ba« mit x bet» bunbene ®(ieb auf bie etpe 0eite übertrdgt, Sie Kennet bon x unb y bebeuten ojfenbat bie0tucfe, welcfje bie ©etabe AB an ber ^Ibfciffen» unb an bet Ocbinatenaie bom Utfptunge angefan. gen abfd^neibet. © e i f p i e I e. 1) (Sine ©etabe fd^neibe bon bet Orbinatenare ba« ®tödt b=2 ab, unb biibe mit bet2(bfciffenate einen aSinfel bon 45°; fo ift bie ©leicbuna biefer ©etaben y = X lang 45° 4" 2, ober y = x + 2. 2) ®enn eine ©etabe bie Orbinatenare unterhalb be6 UrfptungeS im 2(b)Tanbe — 3 fcfjneibet unb mit ber 'Mbfciffenare ben ®infel 128° 28' 28" bilbet; fo i(t i^re ©leictjung y = xtang 128°28'28" — 3, ober y = — 1-25832X — 3. 3) Sie ©Ieict>ung einet ©etaben, ibelcf>e bie 2(bfcifl‘en. unb bie Dt. binatenate in ben 2(b|Tänben 4 unb 2 burc|;f^neibet, ifi i ^ = 1 f y = — ^ + 2. 4) Sie ©leic^ung einet ©etaben, welcfje bie Jtbfciffen. unb bie Dt. binatenate in ben (Sntfetnungen —3 unb +6 f(f>neibet, i|! — ^ + I = 1/ ober y = 2x + 6. iSBenn man umgefe^tt ju einer gegebenen ©lei^iung y =ax -\-b bie iugebbtige ©etabe fonflruiten miH, fo i|l e6 am bejlen, bie ©leii^ung iuetjl auf bie gorm ~ _j_ ^ = i ober, wenn - = c gefegt wirb, a auf bie gorm ——1- ^ = i ju bringen. 0^neibet man bann »on bet —c b 2(reber xein0tücf = —c, »on bet strebet y ein 0tücf == b ab, unb »etbin» bet bie beibenSnbpunfte butcf) eine ©etabe, fo i|l biefe bie gefuc^te ©etabe. Um i. ©.bie@reicf)ung ^ ^ = 1 ju fonflruiten, ma^t man (5>9- 291) OC = 3, OD = — 2 , unb jie^t butc^ C unb D bie @etabe AB. Digitized by Google 837 8ig. S91. (Stien fo jltlltn bie beiben @Ui(|>unden y = — 8x 4 unb y s= 8x 2 ob gafitfein, fo jl«Hf y==ax4-b jebe beliebig« ©etabeoor, welche nic^t bur^ ben 2lnfa n g9)) unf t bet .Kootbinaten ge^et. Digllized by Google 238 9limmf mon b = 0 an, fö u6eräe|jcf jene off^emcine ©Icic^ung in bie folgenbe y=ax, mcidje jebe burc^ benJinfangS^Junft gcj>enbe @ er obe »or(le(I«n fanit. 0oH bie@crabe, »elc^)e burc^ ben 2(iifang8punff gc^f unb beren @feidi)ung y=ax i|l, mit ber 2(bfciffenarc jiifammcn faden , fo mii^ man benSBinfel a unb femii auc^ a glei^ iJluil fe^en, moburcb jene ©leicfjung in y = o übergebt j man erbüft aifo y=0 als bie ©Icic^ung für bie2(bfciffcnare, wa6 (tcl> aiicb fonjl »on felbj! ergibt, men n man bebentt, bag für alle 'fünfte ber 2lbfciffenare y—0 ifl, bap alfo y=0 bie SÄelajion i(i, wetcpe allen, aber auc^ nur ben ^unffen ber jibfciffenare iufommt. 0oll jene ©erabe mit ber Drbinafenare jufammenfalTen , fo muf) a = 90“, baber langn = a= « gefegt mcibcn; aiiö y =ax ergibt fi(b bann x = ^ == -^ ober x = 0 al6®leicbung ber Orbinaten* a no are, ma6 ebenfalls ganj flar i|!, ba für ade fünfte ber Drbinatenare x = 0 fein miib* 0od bie ©erabe mit ber 2lre ber x, unb jmar in bem ?lb)lanbe b faradcllaufen, fo mub man in ber adgemeinen ©leidjung y==ax-|-b ben SlBinfel «, alfo au(^ a gleich 9dud fefen, moburcb man y — b alä ©leicbung einer mit ber2(bfciffenare parallelen, ober maS einerlei ijt, einer auf bie Drbinatenare fcntrccbten ©er a ben erbalt. ©ebt bie ©erabe mit ber Drbinatenare, unb' par in bem'ab)lanbe c paradel, fo i)l in ber ©leicbung y = ax -|- b , mie oben gejeigt mürbe, c =-, fomit b=ac, ferner ber SSinfel a = 90”, fomit tangtt=a==oo; a jjie ©leicbung y =ax-f b =ax -f-ac ober x + c gebt, alfo in bie folgenbe x=—4-c ober x = cüber, meIcbeS fomit bie ©leidjung oo einer mit ber Orbinaten are parallelen, ober auf ber ^Ibfcif» fenare fenfre^fen ©eraben iff. ÜRan fiebt, baß bie ©letcfning y =ax + b mirflicb ber adgemeine 9{eprafentant ader moglicben ©eraben i|1. Jür eine be|limmte ©erabe pa» ben auch a unb b ganj bejtimmte ffierfbe, mabrenb x unb y für feben an-- bern ^unft biefer ©eraben anbere SBertpe annebmcn. 0ie ©röben x unb y ftnb bemnadb eariabel, bie ©rbb«n a unb b bagegen bejtünbig ober fonflanf. 0a bie adgemeine ©leicbung einer geraben Oinie jmei .Sonflanfen a unb b ^at, fo folgt, bap jur »odfommenen iSejtiinmung ber 8age einer ©eraben jroei ©ebingungen, an mepe biefelbe gebunbcn ifl, erforberlicf) finb. SOBenn bie ©lei^ung y =ax nur eine einzige .^onftante entpait , fo mup man bebenfen, bab bei ber ©eraben, melcpe ju jener ©lepung gcpört, eine ©cbingung fd;on baburcp angegeben ip, bab biefe ©erabe burep ben 2tnfangSpunft gepen mup. 2(uS gleiten ©rünben entpalten bie ©lei> (pungen x =b unb y =c nur eine, unb bie ©teiepungen x=0 unb y=0 gar feine .^onflante. Digilized by Google 239 §. 258 4. ©Ifii^iing einet® etaben, wel^e b u r jro ei g egeben« q>unffe ge^f. $a feien bie Äootbinafen jroeiet fpunffe M' unb M" (5ig. 294) ge* geben, unb jroar fei fut M' , . OP' = x', M'P' = y'; „ M". . OP"= X", M"P"= y". 56 fcH nun bie ©leit^ung 3ig. 294. 0 Ml einer ©eroben cnfmicfcii n;cr-- ben, ipeTd)c burcf) bie beibcn ]\f " ' ^ ^iinffc M' tinb M" gefit, bie man ber^Uirje f'aiberau^ bie ^iintte X' y' unb x" y" ju nennen pflegt. 2>ie oetlangfe ©Uid^ung --r wirb jebenfatI6 bie gorm P' P" ^ y = ax + b . . . I) paben , unb e6 fommt nur barauf an, bie nccfj unbe* bannten ©rbpen a unb b ben 95ebingungen ber 2tufgabe gemäß ju be|limmen. Damit bie ©erabe burcf) ben 'j)untt x'y' geßc, muß ißret ©leic^ung ©cniige gefcf>eßen, roenn man barin x' unb y' anflatt x unb y fegt ; e6 muß bemnadg bie tBebingung6gfei^ung y' = ax' + b , . . 2) erfufft »erben. 0oa bie ©erabe aud) burd) ben q>unff x"y" ge^en, fo muß ißrer ©tei4)ung anc^ ©enüge gefeillet »erben, »enn man x" unb y" (iatt X unb y fegt, ober e6 muß bie S8ebingung6ieic^u'ng y" = ax" + b . . . 3) ©tatt ßnben. aii6 biefen beiben «ebingung6g(ei4)ungen lajfen |i^ nun but(^ Sfi* minajion bie noc|) unbefannten ©roßen a unb b bejlimmcn} man erßälf y" _ yx“ - I-' b = y' — y" — y' X" — x' ©egt man nun biefe für a unb b gcfunbenen SOSertge in bie ©leicbung n fo ßnbct man y = . X + y' - llZLi: x" — X ‘ ' X" — x' X' 4) ai6 bie gefüllte ©ieicgung einet bur^ bie fünfte x'y' unb x"y" geben* ben ©eraben. Diefe ©leicgung »itb fiirjer gemögnticg auf fotgenbe Mrt abgeleitet, ©ubtragirt man bie ©teicgung 2) »on l), unb bann non 3), fo er. gärt man y — y' = a (X — xO . . . 5), y".— y' = a (x"— x') . . . 6). Diqitized by Googte 240 2(u6 b«r ©Uid^ung 6) folgt nun welc^tt SBett^ in 5) fufcjlituitt, y - y' =5^' (X - xo . . . 7) aie bie »erlangte ©leidjiung gibt. Diefe Ie|tere gorm, »clc^c |i^ fefir reicht auf iene 4) jutüdffübren Iä|f, i)l in bet ^tnwenbung bequemer, unb rä§f ft^ aucf> leichter bemöe* boe^tnijfe einprägen. tö e i f p i e I e. 1) SOlan fu(f)c bie @leid)ung einet ©traben , rceidje burc^ ben ^unft X' B= 2, y'= 3 unb but^ ben ^unff x" = 3 unb y" = 4 gc^t. gg ijt y// _ y' = 1 , x" — X' = 1 , bafiet y — 3 =x — 2 ober y=x-|-l bie gefu(^te ©leic^ung. 2) Die©etabe, welche butd> bie g)unfte x' = — 2 , y' = 1 unb x“=0, y<' = 5 gejt, ^at bie ©leic^ung y — 1 = 5(x + 2) ober y = 2x + 5. §. 259. 5. oIargIti(f)ung fütbie@etobe. Um bie ©leic^ung ber ©traben AB (gig. 295) für bie g>oIarfootbi. naten ju etbalfen, nehmen wir ber (Sinfacbbrit baibet ben ^oI im 2(n* fang6})nnffe ber rec^fminfligen Äoorbinaten, unb bie TIbfciffenoxe OX aI3 bie ^olarare an; für ben ^unft M ijl bann r = OM, y = MOX, unb man barf nur in bet für re^trcintlige Äoorbinaten entmidelten©iei(|ung y =ax +b bie ®ub(lifuiionen y =r sinv unb x = r cosv »oflfubren. 3Ran befommt fflg 295. Ü 41 ^ sin V = ar cos V -f b, r (sin V — a cos v) = b, r (sin V — lanj: n cos v) = b, sin V cos ct — cos v sin i r. = b, * COS .... c b cos a r . sin (V — fl) =s b cos t tinc* r = - . sin (v — a man CO=e, fo iilb = clangn oter b cos i = csin j ; c sin a sin (v — a) bie ^olavgfeicbiinä b« ©crabfii AB. 35icfe ©fcicbiinfl faiin man türjcv finbcn, wenn man »on 0 auf AB bie ?cnfrcd)(« ON fätU ; cö i)1 bann OiV = ÜCsini = csiiio unb 0^^=i= t—- — ober r =sin \’ 5 I() sin (v — 7) @i’bf bie ©crabc bind) bni 'l)cl, fo ijl v = .1 bic <)?elaiicn, iccid'c aDcn ^iinftcn ber ©craben jiifcmmf, a’fc bic «poiaralcid'Hiut ber ©erä« ben, ^ic aH^cmcinc ^Mar()ffid)iina v = —Hcbf mcacn c = n nnb •iii (v 9) ' ' sin (V — ..) =sino =o in r = ^ üt’fr, tvcfitcv nn(n-|1immtc ?lii6bnicf anbeufef, bap r alle möglicfjfn SBctlbc annebmen Fonnc. b) 3wci ©crabc. §. 260. 1. Dut(f)fcf)nift«punffiweicr@craben. So feien y = ax -j- b ... 1 ) y = a'x -f- b' . . . 2) bte ©leic^iingen ber beiben ©craben AB iinbA'B' (5 g 296); man fudje bie Äootbinafen ipreS ^urcbfcbnüfOpiinffc?. yiij. 296. Moinik, «tcinttrii 2. «n|. 16 Digitized by Google 242 gür alle fünfte bev ©evaben AB ift y =ax + b/ für alle ^unffc bet ©crobeii A'li' i|l y = a'x -f- 1>' ; für ben Q)iinff, ber in ben beiben ®cra= ben liegt, unmlicl) für ben 2>urd)fdiniff8punff M, innf? baf»cr y = ax+l> unb jiigleid; niid; y = a'x-l-L' fein. Sem 'punfte M »erben aifo jene Äoorbinaten x unb y jufommen , biird; »cld;e beiben @Ieid)iingen jugleid) ©cnüge gcleiflet »irb; biefe aßerffjc erhalt inan ofenbar burcf) 2luf=^ Ibfitng jener j»ei ®lcicl)iingen , man befommt namlic^ b — b' a'b — ab' X = , y == —; a — a a — a Äennt man bafier bie ©leidjungen jmeier ©ernben, fo fann man aii8 biefen, aud> ofme alle Äonftriifsicn ber Sinien, bie 5l^oorbinaten ifireS Sur*= fcl)niftövunrfe§ finben. 0eicn j. Sö. y = 2x — 3, y = 3x -|- 4 bie gegebenen ©leicfitingen, fo ifl a'=3 1) = — 3 a'b=— 9 a = 2 1 ji = 4 ab' = 8 a' — a = 1 b — b' = — 7 a'b — ab'= — 17 bol;er finb bie Äoorbinafen bc6 SurdifdiniftöpnnfteS ber ä»ei ©etaben X = — 7; y = — 17. SBcirc in ben jmei gegebenen ©Icic^ungen a' = a, fo mürben bie ffierfbe für x unb y uuenblidi grof; »erben, b. b. ber Surcfifi^niftdfmnft ber ©eraben mürbe in unenblid;c Entfernung binauSfallcn, ober, bie bei» ben ©eraben mürben üd; gar nicht fd^neiben. Siefe6 ifl ganj natürlicl); beim menn a'=a.ift, fo bilben bie beiben ©.raben mit ber ^(bfcifcnarc gleid;e aBinfel, finb fomit parallel, unb fönnen peb nicht f^neiben. §. 261. 2 . fJBinfel jmeier ©eraben. Ge feien bie ©Icidjungen ber ©eraben AB unb A'B', meldie mit ber 3(bfcifcnare bie Sßinfel « unb a' bilben, y = a\- -j- b . . . I), y = a'x -j- b'. . . 2), »0 alfo a = langa, a' = lang«' i)l; man feil ben Iffiinfel bepimmen, ben biefe beiben ©eraben cinfcfjliefien. ajejeidmet man biefen aSinfel AMA' burdf V, fo pat man langv = lang (< — "') tanj? 5 — lang o' 1 4- lang a lang a' ober langv — a — a' 1 4- aa ' ' bnrc$ mcldje gormel unferc iJtufgabe gel6)l ip, ba biirdi bieStangente be8 SBinfeie biefer fclbp bepimmt ip. gjlan fudfc j. ®. ben iEBinfel, meieren bie ben ©leic^imgen y = 2x — 3, y == — 3x + 2 entfpre^enben ©eraben bilben. G§ iP a = 2 , a' = — 3, Digilized by Google 243 fomif V = 135°. ®te ©leic^ung tangv = ^ - ^ gibt ein fc^t einfache« Äennjei<^ ä)tn on bie .^anb, nac^ roeicbem man unmittelbar au8 ben @(ci4iungen jtoeiet ©eraben beurtbfilen fann, ob biefe mft einanber parallel ober auf einanber fenfrecbt finb. 0ollen bie beiben ©eraben AB unb A'ß' mit ein= onber parallel fein, fo mu^ bcr SBinfel v = o, baper anc^ langv '= 0 , folglich a' = a fein. ®otlen bagegen bie ©eraben AB unb A'B' auf einanber fcnfredpt flehen, fo muf ber SGBinfel v = 90“, baher langv = qq, unb fomit l -f- aa' = 0 , ober a' = — - fein. a §. 262. 3. ©leichung einer ©eraben, »eiche burch einen gegebenen g>unft geht, unb mit einer anbern gegebenen ©eraben parallel ifi. 66 feien x', y' bie Äoorbinaten bed gegebenen fünfte», unb y = ax -t- b . , . 1 ) bie ©leichung ber gegebenen ©eraben ; bie ©leichung ber gefuchten mit ihr parallelen Sinie »trb ber $orm nach y = a'x + b' . . . 2) »0 a' unb b' ben SJebingungen ber Jlufgabe gem^h ju beflimmen jtnb. Damit bie gefuchte ©erabe burch ben nrcbfcbnitt0)nintte6 barf man nur bie@(eicbungen 1) unb 2) al8 jufammengebetig betrad;tcn, unb barauö x unb y bellimmen; man erbolt ^ _ X' + ay' — ab „ _ a (x' + ay) + b 1 + a* ' ^ ~ 1 + a' ' Digitized by Googit i 245 Äeotbinafcn mir bet Unfcrfc^eibiing fjalbetburd) x" , y" bejei^nen süoCIen. Äennt man aber bie Äoorbinaton x' , y' iinb x" , y" jtreicr fünfte, fo bat man füt bie 35erecbnung ibreS Ttbflonbe«, ben mir hier d nennen rooHen , ben ^rubbruct 5Hun ip = \/(x" — X')* + (y" — yO*= 1 + a* ' habet d = ’/l + a* SaS boppelte 3ei>ben, meIcbeS hier megen bet SBurjeTgtobe peben faun, beufef auf bie jroeifocbe ?age bet 0enfre^fen, )e nac^bem bet ge. gebene «puiiff auf bet einen ober bet anbcrn 0eite bet gegebenen ©eraben ficb bepnbet. gig. 297. 3P bet ^unft M (Sig. 297) obctbafb bet ©eraben AB, fo ip y' — MP, ferner »egen bet ©fei^ung y = ax + b für ben ^uuft Q. PO = a . OP + b, aifo »eil OP = x' ip, ax' -j- '» = PO ; man f;at bemnacb y/ _ ax' — b = MP — PO = MO ; bet 3ablet in bem Sßcrtbc »on d , »etcber legiere nofb»enbig popti» fein imip, fciat alfo poptio an«; habet miif) man auch bie im »Icnnet etfcbet. ncnbe aBurielgrope poptio annebmen. 8icgt hingegen bet gegebene q^unft M' unterhalb bet ©etaben AB, fo ipy' = M'P', ferner füt ben ^)unttO'. bet in bet ©etaben AB liegt, P'O' = a . OP' + b, ober »eil OP' =x' ip, ax' +b =P'0'; man bat bab« y' — ax' — b = M'P' — PQ'=Digitized by Google Ü46 — M'O'j b« Sollet in il mitb orfo bei biefet ?age beS fünfte« M' ne« goti», unb man imi§, bamif d pofiti» »erbe, auch bei bet SButjelgrö^e be6 S^ennerS baö Scit^^n — nehmen. 3il M bet 2(nfang6piinft bet Äootbinafen ; fo I;at man wegen X' = y' = 0 d \/l + a’ 3. 23. bie 0enftei^te, bie »om q>unfte x' = 3, y'= l auf bie @e» rabe, beten ©leichung y =x + 3 ifi, gefättf mitb , bat bie Sänge j 1 — 3 — 3 — 5 \/r + 1 ' ~ \/2 roo negafi» ju nehmen i|t. gut bie 0enftechfe, welche »om 'JlnfangSpuntte bet Äootbinaten auf bie ©etabe, beten ©[eichung y = 3x — l ijt, gejogen witb, ftnbef man bie Sänge wo bie SOButjcIgtbhe pofifi» genommen wetben muh. c. ®tei getabe Sin ien. §. 265. 0rei getabe Sinien, welche fid; wechfelfeitig fchneiben , fchliefen ein getablinigeS 0teicif ein, unb biefeS i(l eö, welches wit hi*c ana» I t)t(fch bar|1ellen wcflen. 1 . Sage unb Sänge bet0eiten, unbglächebcöJlteiedeS. gig. 298. /il J ^ L. ^ C' B' SBejiehen wit bn« Dteiecf ABC (gig. 298) auf baS rechfwihriigc Äoetbinafenfphem XOY, unb eS feien bie Äootbfnafen Digilized by Google 247 b«:Ö 'Puiificä A . . . x‘, y', tf u ^ y t! u C . . . X'", y'". ^in|ui)t(i4> bei- 'Ja^e bec oeitoii ift biiiiii y — y' 'i — y X" — X y“' - y' — X' (x— X') bic (Sleic^un^ bev oeite AB, - (X —X') „ „ „ „ AC, y" == (-x-x'O „ X - X BC. 2>rücft man bie Sängen bcr 0eiten BG, AC, AB fo(genjei)e burd) s', s", s'" au6, fo ifi s' = v/(x'" — -X")" + (y"' - r')-, s" = v/(x'" — X')" + ly"' s" = Vtx" - 'Yf. un i|l ^eipt enblic^ f bic 5Iäd;c beS Sreiecfeä ABC, |'o ift oifenbar f = AA'C'C + CC'B'B - AA'B'B ; AA'C'C = CC'B'B = AA'B'B = (y' + y'")(x'"-x') 2 (y" + y"')(x'‘- X'") (y' + y") fx" — X') nnb bat>cr f =; x'(y" — y"') — x' (y‘ - y'") + x"'(y‘- y") §. 2(36. 2. 0 entrechte, meldje »on ben 0 d) ei f e f p u ii f i e n auf bie g c g e n n b e r )1 e () e n b c n 0 e i t e n gefällt m e v b e n. ffig 299. Digitized by Google X»« ©orabe AM (gi^. ivcfc^f biir^ beii ^iinft A [x y'] ge^t unb auf BC [y — y« = L_ 1~ (x — x ">] fcnfrfd)t i)l, (lat bie ©Icid)un9 y ~r == (X - xo • . . 1) Sbeii fo fnib bie ©feic^>ungcii bcv ©eraben BiN unb CP, njelc^c burc^ bie Q)unfte B imb C auf bie 0eiten AC unb AB fenfre^t gezogen werben, y ~ y" = y" _ y C* — • • • 2; y _ ylll = ~J. ' . (X — X"0 ... 3) y' - y" 0ucbt man nun bie .^oorbtnafen beS 0iirct)fc^niffdpunfte8 D jwifc^en ben 0enfrec^ten AM unb ßiV, fo er{)ält man bafür, wenn man bie ©Fei« cbungen i) unb 2) aFä Foenilirenb befradj)tet , unb barau« x unb y burc^) (ilimajion fudjf, X = (y “‘—y'0(y'"— y')(y"-v') -f X- x'" )(y-"—y‘)-x"(x'—x"')(y-"- y»; (x" — x'“) (y"‘ — y') — (x' — X'") (y'" — y") __ x'Kx"' x'Kx"— x'j f y'(y"—y‘")(x'*'—x')-y"(y‘—y"0(x"'—.V '> y ~ (y‘ _ y-'j (x" — x') — (y' — y'") (x'" — X-) 3l(Ifin biefeiben Äcorbinaten erhali mon aucl; für ben 0ur(^fd)nitt6« piinft jwifd)en ben 0enfred)tcn AM unb CP, fo wie jwifcf>en BN unb CP; woraus {»eroorge^t , baf fia; bie0eufrec^ten, welche »on ben 0d)eitclpunften eine« SreiccfeS ouf bie gegenüberfle« ben ben 0eiten gefallt werben, in einem unb bemfelben fünfte f (t) ne iben. §. 267. 3. FBerbinbungSlinien iwifcften ben 0chei t e I f> u n f te n unb ben .^albirungSpunften ber 0eifen. gig. 300. Digilized by Google 0inb M, N, P (Si^. 300) bie Jpalbiiungäpunffe bet 0eifen BC, AC, AB, fo ^at man |iir biefflbeii folgcnbc Äoorbinafen : füt ben bie QJunfte (x', y') unb y" + y" y o,< - ^ ge^enben ©eraben, ifi 2y' - y" 3— (X — X') . . . I) 2l‘ — X" — X" gben fo finb bie ®Ieic^)unden bet ©erabcn BN unb CP , 2x‘ — V' — y'" y — y = (X — X") . • • 2) 2x' — X' — X ' ' y — y'" 2y“'— y — y" 2x' ' — x‘ — x" rx — x"0 ... 3) 0u(^t man nun bie Durd)fcf'nittapunfte ton je jitei bicfcr®etaben, fo erl)ölt man füt ade btei fünfte bie ndmlid)en Jtoctbinafen, namlic^ X' + X" + x'" = y' -4- y- 4- y"‘ ^ 3 Datau« foigi, ba^ fid) bie ®etaben, meldje bie .^albi*^ tung«punfte bet 0eiten mit ben gegenubetfle^enben 0d) ei telpun t te n terbinben, in einem unb bemfelben fünfte fc^neiben. Diefet metfmutbige ^unft wirb bet Schmer« punft be« Dteiede« genonnf. $. 268. 4. 0enfred)te, welcfiein ben 4*oi^itung«punften bet Seiten aufbiefe etricfitet werben, giß 301. c r\ Um in bieju enfwicteln. bengotmeln mebt ßinfacfifieit ju bringen, wollen wir (gig. 301) bie 0eite AB=cjut ?tbfciffenare, unb ben 0cbei-- telA jum 2(nfong«punt(e bet .äoorbinafen annebmen , unb bie Äootbinaten be« fünfte« C burcf) a unb ß ouSbtücfen. Unter biefer S8orau«r fe^ung finb Digitized by Google 250 x' =» 0 , y' = 0 bie Äoorbinaten be6 fünfte« A, x“ = c, y" = 0 ff 1t 1t B, X'" = « , y'" = ti It 1t V n C, ferner a+c ß 2 ' 2 If 1t // .^albirungSpiirifteö M, « ß 2' 2 U w 1t H N, c -/ 0 2' tt // ff " P; fobann y = 0 bie ©leichung ber 0eite AB, y = -^x a ff ff / . AC, y _ ß a — c (x —c) ff // II II BC, unb c x= ß C — a bie ©leic^iing bec in P auf AB 6enfrccf)tcn, ^ ^ II n II II ^ II AC „ II II ti u M II BC I) 0ucf)t man nun bie Äoorbinafcn für bie ®urcf)fc^nitt8punfte {mi« f(^cn je jmci biefer @cnfrecf)fcn , fo finbct man für alte brci fünfte bie» fcibvn ©ropen, ncimlicb * = 2' ^ ? 1 « (« — c) . 2 2? ’ iüorau6 folgt, ba^bie in ben JjalbirungSbunften betSreiecf-- feiten errichteten ©entre^ten fiel) in einem unb bemfel» ben fünfte fdhneiben. d. Uebungöaufgaben. §. 269. 1. 55?an fonjiruire bie ©leic^ungen a) y = 3x, c) y = -3, e) y = 8x + 7, g) y = — 2x + 3, b) y = — 4x, d) 5y = 2x, f) y = X — I, h) 3y = — X 6. 2. SWan fu(he bie ©leichung einet ©eraben, welche burch bie fünfte a) X' = 1, y' = — 1, X« = — 2, y« = 2; b) X' = — i, y' = 3, X" = 3, y" = 0; c) -X' = 4, y' = — 2, x" = — 4, y = — 3 3«h«t. Digiiized by Google 'iä 1 3. Gä i)l bie iöcbinaund69leict)unä anjugebcn, luclc^« ji»ifc|>en ben Äoorbinakn breier 'punfte 0totf finbcn mujj, baniit bicfe in einet iinb betfelben ©erobcn lieflcn. 4. aJion fuc^c bie Äoovbinafen be§ Surt^fc^nittSpunffcS, fo wie ben SBinfel bet beiben ©craben a) y = — 3x + 5, y = 2x — 4; b) y =r ^ 3, 4y = — 2x + 3. 5. Qi finb gegeben a) bet ^nnft x' = i, y'= - i unb bie ©crabe y = 5x-j- 1; b) „ „ x' = -3, y' =0 » > " y =—3x+4; c} if t! x^ = 0/ y* = 0 II n if y = - — 3, 3 ÜKan fu4>e u),bie ©Iei4)nng bet ©eraben, wcldje biir4> ben gegebenen ^unf( gept unb mit bet jugeporigen ©eraben parallel i)4; (•<) bie ©leiefjung ber ©eraben, welche bureb jeben biefer fünfte gept unb auf bie jugeporige ©erabe fenfreept i(l; bie Gntfernung eines jeben biefer q)unfte »on bet entfpreepen* ben ©eraben. 6. tlBenn man in einem gerablinigen ^reiecle non ben 0cbeitelpun!ten auf bie gegemiber)4epenben ©eiten 0enfrcipte faßt, bie JpalbirungS* punfte ber ©eiten mit ben gegenüberllepenben ©cpeitelpunften »et* binbet unb -in ben JpalbirungSpunften ber ©eiten auf bicfe ©enf* redite errieptet, fo liegen bie brei fünfte, in benen fiep je brei je* ner hinten burepfepneiben , in einer geraben 9inie. 111. ^nalptiftpc |)ar|ieUnng bet l'initn ber 3mtittn (Dtbnnng. §. 270. Sei bet analptifcpcn ©arfießung ber brummen Üinien roerben wir un« auf jene Ä'uroen befcprdnfen, beren Sigenfepaften wir fepon in ber «Planimetrie auf fpntpetifcpem ®egc unterfuept paben, nnmiiep auf bie .Vlreiölinie, bicGßipfc, Jjpperbel unb «Parabel. ©a biefe Sinien burep ben ©cpnitt eincä ÄegelS mit einer Gbene ent* llepcn, fo nennt man jie unb inSbefonberebie lepten brei, ÄcgclfcpnittS» 1 i n i c n. 2tucp werben jiel'inien ber j w eiten Drbnung genannt, weil ipre ©leiepungen, wie wir fpäter fepen werben, fdmmtlicp bcS jwei* ten ©rabeS pnb. a) ©ie Äteiölinic. §. 271. Um bie ©Icicpung beSÄrcifeS ju crpalten, batf man mir bie.^aupf* eigenfepaft beöfelben, bap nämlicp aße feine «punfte eom «Ölittelpunfte gleicp weit abflepcn , in bie analptifcpe 3eicp«nfpracpe übertragen. Digitized by Google 252 1. ©feidjung eines ÄreifeS, be ff c n 9R i 1 1 e I|> u ii f t im2(n« fangSpunffe bet Äoorbinoten liegt. es fei 0 (5ig. 302) bet SWiffefpuntf eines ÄreifeS, beffen.^(ilbnieffet üM=a ijl, unb juglei^ bet JtnfangSpiintt bet Äootbinnfeit, OX fei bie 5(bfciffeiiare, foba^ füt einen be. liebigen ^iinft M bet ÄrciSs linie x=OP, y = MP i|l. Da mm in bem red^tivinfligen DreiecfeMPO, OP*-t-MP*=OM* ift, fo bat man x’ + y* = a*. 3)er ^iinftM i|t abet ein mitlä fütlit^et ^unft be>^ •^'f'^tinie, habet gilt bie für x unb y beS.^unffeS M abgeleitete SKetaiion füt bie Äoorbinaten altet fünfte bet Äreialinie; bie SÄelaiicn x*4*y* = “*'l^ 3«fucbte ©!eid)ung beS ÄreifeS. 3)iefe ©teidjung fatafterifirt ben ÄreiS bergejlalt, ba^ maii fie nur unter »erfc^iebenen ©efiebtSpuntfen ju betrachten unb bie jebeSmaligen ergebniffe in bie gemobnlichc sasortfpracbe ju überfeben braucht, um bie ©efiatt unb ade onbetn eigenfchäften biefet frummen Pinie beeauSiulcfen; fie enthält baS noOfommene tSilb berfelben. 1) ie räumliche Deutung einet ©ieichung pflegt man ihre ^iSfuf: fi on ju nennen. §. 272. 2 . DiSfuffion bet © I e i ch u n g x* -fy* = a*« 1. ®ucht man auS biefet ©Ieichung ben SHJetth »on y, fo hot raan y = ± v^a* — X*. 3tuS bem hoppelten 3®id)en bet SBurjelgrope erfteht man, bah jebem SBerthe »on x, füt meldien überhaupt y möglich i|l, jmei gleite aber ent. gegengefebte SCBerth »on y entfpre^en; roorauS folgt, bah ft^h t*'« ÄreiS. linic oberhalb unb unterholb bet 21bfciffenaxe gleichförmig auSbehnt. 2. Pö|l man bie ©Ieichung beS .^reifes nach x auf, fo erhält man X = + \/a* — y*. GS gehören aifo auch ju jebem SBerfhe »on y, für ben überhaupt x mög' lieh ijt, i»ei gleite enfgegengefebfe ’iBerthe »on x; bie ilreiSlinic erjiredt fich bemnach auch ju beiben 0eiten bec Orbinatenar.' in jioei fpmmetri* fchen TIejten, melche fo übet einanber gelegt merben tonnen, bah f*« f>a airb y imaginär, uiib für)>-a airbx imaginär; ber größte 'Bcrfb ; ben man für x ober y feben fann , i)1 aifo ber Jyalbmeffcr a. Srvidjtet man fcaber biird; bie riet Durd;fcbnitt6punftc bet Äreiölinfe mit ben beiben Jtren ein jQuabrat, beffen ®eiten mit biefen 2(ren paradet laufen , fo fcf)liefjt biefeä ben ÄreiS rodtommen ein. ®er ÄreiS ifl fomit eine gefd^loffene frumme Sinie. §. 273. 3 . ©leiebung eine« Äreifeö, beffen ^Jeriferie bur(^ ben Ttnfangöpunft bet .Soorbinaten gept, unb bef« f e n fÖt i 1 1 e I p u n 1 1 in bet 2( b f c i f f e n a r c liegt. gifl. 30’. r fei C (gig. 303) bet ÜWittefpunft eines ÄreifeS , beffen StabiuS CO=a i|) ; 0 fei ber ?(nfang6punft ber Äoorbinaten, unb OX bie ?(bfcif* fenare. 3|i nun M ein aidturlicf) angenommener ^unft ber ÄreiSfinie, fo ifl für benfelben x = 01’, y = MP, unb man bat in bem redftainfligen Dreiecfc MCP bie@[eicbungMP*4-CP* = CM*, ober y* + (x — a)* =a>, aorauS y* + x* — 2ax = o als bie jaifdfcn ben Äoorbinaten jebed be» liebigen fünftes ber ÄreiSlinie rorbertfdbenbe SÄelajion, fomit alS bie ©leii^ung biefer ÄteiSIinie berrorgebet. 2(u6 y*-j-x* — 2ax- 0 folgt y* — x (2a — x), ober auf bie gigur bejogen, MP* = OP. PA, b. b. jebe auf bem ®urd)meffer fenfreebte Dtbinate ifl bie mittlere geometrifd;e ^ropotjionale jaifeben ben beiben ?(b-- fcbnilteu beSfelben. §. 274. 4. Jlllgemcinc ©lei^ung beS ÄreifeS. g8 feien (gig. 303) OD = p, CD =q bie Äoorbinaten beS üRittel» piinftes C in SBejug auf ba« reelftaintlige 0p(lem XOY, M irgenb ein be» Digitized by Google 254 litbigeV unffe M unb C bie ©lei^iing (X — p)* + (y — q)® 2)n M ein roiffturlicber^unft ber ÄreiSlinie ifl, fo giff bie für x unb y be6 ^nnttea M anfgepeHte 0?elajion für bie Äoorbinafen oUcr fünfte ber ‘yierifcriej fteififomif bie airgcmcine @Icicf)ung beS ÄreifeS. Sie ©Icicbung i) entbälf brei fonpanfe ©ropen, roa8 anjeigt, bap jur eorifommenen SÖepimmung ber Sage unb ©ropc eine§ ÄreifeS brei ©ebiti: gnngen erforberlidb pnb. aWan fatin biefc brei Äonpanfen p, q, a beliebig änbern , fo bebeutef bie @leid)ung immer mieber einen ÄreiS, wenn and) beffen Sage unb ©rbpe eine anbere mirb; bie JJ^afut ber frum-- men Sinie mirb buref) bie ?benberung ber Äonpanfen burebauS ni^t gc-- ünberf. Sie jmei früher enfmicteiten ©(eidjungen bcS itreifeS pnb in ber ©leid^ung i) a(6 befonbere geiffe enthalten. 9limmt inan nämlich ben Surchmeper jnr 3(bfcipenare unb ben’Jtn» fangapunft ber Äoorbinaten in ber ^eriferie bea Ärtifea an , fo ip p = a, q = 0, unb bie ©(cicljung l) geht über in (x — a)® y® = a®, ober X® -j- y* — 2ax = 0 ... 2) JJlimmt man ben ajjitte(punft felbp jum 3tnfangapunfte ber Äoor-- binafen, fo ip p = o, q = o, unb man erl;ä(t aua l)bic ©ieiefjung X® + y* = Sie ©leidhnngen 2) unb 3) enthalten nur eine einjige Äonpante, waa gani natürlich ip, ba bon ben brei im 2ltlgemeinen nhthigen SBebin« gungen jroei bereita burd; bie 58orauafehungcn, unter melchen jene 03Iei(hungen Statt pnben, auagefprochen pnb. 33 c i f p i e l e. 1) Sa feien p = l, q = 2 bie Äoorbiiiaten beä Sliittelpunftea unb a = 3 ber .^albmePer bea Ärcifea, fo ip (X — 1)® + cy — 2)® = 9 ober X® -f y® — 2x — 4y = 4 bie ©leidhung beafelben. 2) 3» einem Greife, für welclien p = o, q = — i unb a = 3 ip, gehört bie ©(eicliung gig. 304. Digitized by Google 255 X® + (y + D* = 9 ober X- y’' -j- 2y = 8. 3. Gin Äroi6, für wcidjcn p = — 2, q = l, a = ® ip, ^atbicSlci* (X + 2)= + (y - D* = 4 ober 9x- -1- 9y* + 36x — 18y + 41 = o. 2Beiui man umgefcfjrt ben Ärei8, jii bem eine ©lei^ung gcporf, fcnpruiren miH, fo bringe man biefe juerp auf bie Sorm (X — p)® + (y — q)® = a®/ tro fobann miUcip bcr gefunbenen ®erfbe p, q, a bcr ÄreiS Ieid)t ju oerjeid^nen ift. 93 e i f p i e I e 1 ) Um ben fireiö, beffen ©leid>ung X* + 4x + y* — 6y = 3 ip, ju fonPruiren, abbire man ju x*-f4x baSiOuabratbeSfialbcnÄcePi» jicnfen rcn x, ncimlid) 4, nnb ju y- — 6y ba8 Quabrat be§ halben .«oeffi» jienten oen y, namlii^ 9; fefie aber bie Sahlen 4 unb 9, bamif bie®Iei^= beit niibt gepcrt merbe, aiicf) auf bcr jrceiten 0eite bajti; man eibiilt x- + 4x + 4 + y== — 6y+9 = 3-f4 + 9 ober (X -l" 2 )® 4" Cy — 3)* =16G5 ip fomit p = — 2, q = 3, a = \/\6 = 4. Um nun ben ÄreiS jn fonpniiren, fmbe man juerp einen ^nnh C 3/' XSflj. 305. , i > iN, i \ 1 ; ! V A (Sia. 305), beffen Äootbinafen — 2 unb 3 pnb, unb befd>reife auS bie ^ ’ä m»i a iCl fein ^HiUfe alö Sentrum einen ÄreiS, beffen 9?abiu6 CM 2) Um bie ©Icicbung 36x- + 36y’= — 36x + 144y + 89 ^u fonpniiren, erbalf man X® — X -|- y- + 4y ober X® — x4-4 + y" + ^y + ‘*~~3o + (X - A)® + (y + 2)® = 8^ == 4 ip. + 4 Digitized by Google a$ ifl bie ÜÄiUeIpunf{6»2lbfci||\' p => i, „ „ Drbinateq = — 2, bcr 9fabiti8 a = — j, aii8 »errett S>flfen fic^ fofotf bet Äreig tciijiruircn la^f. §. 275. 5) ©leic^ung eine« ÄreifcS, roelc^er burt^ brei bene q)untfe ge^t. (?ä feien M', M", M''< (5. 306) bie brei ^iinffe, beren Soorbinatenx',y', X') y", X'", y'" gege. ben |Inb, unb man fitere bie @Ieict)ung be6 bnre^ biefe brei fünfte geleg-- fen Äreife«. S;ie gefugte @Iei. ^ung U'irb offenbar bie 5otm (-' P)®-h(y-q)*=a®...l) Ipaben, mo p, q, a no(^ unbefannt finb. Sa mir bie ?age ber recf)f«)infligeii Soerbinafen beliebig »dblen fonnen, fo rcoHen mir, um bie jjiiflöfung iinferer ?(ufgabe ju oereinfae^en, ben ^unff M' fe(b|) aI6 :?(nfang§punf(, unb bie burc^ M' unb M" gejos gene ©erabe M'X aI6 2(bfci(fena« onne^men ; eö ftnb bann bie Äcorbinaten be6 ^unffeS M' ... x' = o, y' = o; „ t, ff ff M'' . . . x'>, y« z= o; ff ff ff ff M"'...x"', y". Samif ber Äreiö burd) ben ^unft M' ge^e, muffen bie Äoorbinafen biefeS g>untte6 flafb x, y in bie ©(cicf)ung i) fubflituirt berfelben ©enüge leifien, e6 nuifj aifo p*-fq* = a* . . . 2) fein, unb oetmöge biefet 9?efajion nimmt bie ©feicf)ung i) bie einfac^jere 5orm an 2ig. 306. X* -fy* — 2px — 2qy = 0 ... 3) Samif ferner ber .RreiS burcf) bie fünfte M", M "gepe, mfiffen au(^> bie 93ebingung6glei(^ungen X"* — 2px" = o ... 4) y'1‘4 — 2px"' — 2qy"' =r o . . . 5) erfuOt metben, au$ benen ftc^ P q _ . . . 6) X'"* + y'"’ — x"x" 2y“- 7) Digitized by Google 257 «0itt unb butc^ ©ubjlitujion in 3) X* + y* — x'x — + y'"* - r" y'” y = 0 '! . 8) oI6 bie ©rei^mng be8 gefuchten Äwifc6. > . biefflerf^e für p unb q, bo^et »ermSgc 2) auch a =\A^-La*Nnnt, fo fic^ mit ^ilfe biefet ©ropen bet Ärei8, »elcbctbur* bie ^”*1! fonfiruiren. ®iefe Äonßrur übrigen« fefir iufammengefe|t ^erouafletten, baber e6 iwecfmd-figer fein wirb , jiir ®efcf>teibung be« fragiit^en Äreifrt einen anbemeinfachem ffieg einiufi^lagen. Offenbar fommt e8 nur barauf an bSfi "'“s C beS ju bef^reibenben ÄrcifeS ftnbe; biefcr' aber unb P q. riJ> aus bell ©leicbiiLn 71 ben ©rcicbungen 7) unb 6) ergeben, beftimiiit Sie ©lei^ungen 7; unb 6) geboren nun, »enn man bartn p unb a al6 Ä Seraben Pinien an, unb Larbat ibt Dur^f^ittSpunft bie au6 bcr iScrbinbung beiber ©leicbunaen beroorgebenben aSerfbe Don p unb q, aifo gerabe bie Sßerfbe in 7) unb 6) ßäfanSe r‘i"' ,e" MittefpuSft be6 ÄreifeSes banbertjicb alfo nur barum, bie ju ben ©leicbungen 7 ) unb 6) aebo^ tllpUn®"“ *“ i(l bann ber gefucbte üKit, Die erjlere ©leicbung p = ^, »o p bie 2(bfciffe borfleBf, gebürt einer ©etaben an, weldbe auf ber 2(bfciffenare M'Y in bem TfbjTanbe _ M'M" 2 ^fenfreibt flebt ; |ie ifl alfo bie ©leicbung ber ©eraben NN' wenn ni ^albirungspunft berM'M", unb NN' j_ M'M" iff IJeanbereÄii?« eTwelche (leb auch fo barffeBen täft: 'ranoereiäMeicbung 6), * V y"V 2J' brüeft eine®erabe aii8, welche butabet ber 2(0[gemein^eit bet ^(ufsabe 0 afd 2(nfanddt>unft bet jtoörbi« nafen, unb bie butc^ 0 unb Q gebenbe ©etabe OX al# Ttbfcijfenate on* nebmei^; bann ftnb bie ©leicbungen bet beiben Jtteife X* _|_ y* — R® unb (X —d)® -j- y* =3 r*. Die ^oorbinaten eines jeben, ben beiben itreiSIinien gemeinf^aftli« ^ben fünfte« muffen biefen beiben ®Iei/4d®R* — (d® + R® — r*)®. Die ©leicbungen bet beiben Kreife laffen aIfo nur {wei Xuflöfun« gen {u, woraus folgt, bab {wei Kreislinien, wofern fie nicht in eine {u» fammenfaHen , nicht mehr olS pei fünfte gemeinfchaftlich haben fönnen. Da bie beiben DurchfchnittSbunfte M unb N eine gemeinfchaftliche Xbfciffe OP, aber {wei gleiche einanbet entgegengefebte Dtbinafen MP unb NP haben, fo ergibt fidb barauS bet 0ab; SBJenn fich jwei Kreislinien fchneiben, fo fleht bie lOerbinbungSlinie bet DDlittelpunf f e fentrecht auf ber ÜRitfe bet 0ebne, wel^e bie Durd^fchnittSbunfte oerbinbet. 1 ) Damit wirflid) ein Dur^fchnittSbunff 0faff finbe, muff y teel , folglich bie ©röffe unter bem 5But{e[{eichen pofifio fein. Um {u erlennen, wann biefe ©ebingung einfrift, wollen wir ben 3(uSbtucf für y auf eine anbere gotm bringen. Da nämlich bie ©töffe unter bem ffBut« {el{eichen bie Differen{ {weiet £luabtate ifl , fo fann man auch ffh<^^iöen y = ± ^ V/^R + d® + R* — r*) (2dR — d* — R* + r*) ober y = ± 1 v/[(d + R)* - r®] . [r* - (d - R)*] ; unb ba hier i'ebet gaftor felbfl wieber eine Diffeten{ {Weier cQuabrate ifl, fo bat man au^ y = ± — v/(d +K-|-r)(d +H — rj(r-f-d —R)(r^— d +R). SS ifl uns immer geflatfet , ben SlnfangSpunft bet Koorbinaten in ben 9)littelf>untt beS gröfferen KreifeS {U oerfeffen, wo bann d pofitit) unb R ^ r wirb. Unter biefet 93orauSfe|ung finb bie gafforen d +R + r unb d +R — r immer pofitib, unb bamit y teel fei, muffen bie beiben 17» Diij:!: Sri by Google anbtrn $oItot«n en(w R r -j- R > d, ober r -j- d < R unb r -j- R <; d ^aben. Ceftere« ijl nic^t mogfi^, ba fon|l dR fein mäfte, wa9 einen SBiberfpru^ enthalt- X>ie iSebingun^en für ben Surc^f^nitt }weier Greife finb alfo r + d > H unb r + R > d, unb b« immer auc^ d4*R>r i(!, fo folgt, ba^ fi^ i»ei Äteife nur bann fc^neiben, nenn non ben brei@rbfen d, R, r je jmei jufammen grb^er Qnb aI6 bie britte, aifo nur bann, wenn fi(b au6 ben brei Linien d, R, r ein Dreied fonjlruiren last- 2) ©ollen ftcb bie beiben Äreife berühren, fo muffen bie jmei fünfte M unb N in einen einjigen jufammen faden, fomit oodfommen gleiche Jtoorbinaten haben, wa6 aber nur bann mbglic^ ifl, wenn y =0 ifl, b. i. wenn bie Orb^e unter bem SBurjeljei^en oerfcbwinbet. 2)iefe6 f«nn nun, ba wir bie erjlen jwei gafforen nach ben früheren SSemertungen fletS al# pofiti» anfehen bürfen, nur bann ber gad fein, wenn entweber r -f- d — R = o ober r + R — d = o if}, wenn aIfo eine ber jwei 93ebingung$glei(hiingen d = R — r, d = R-f-r eeffldt wirb. 3wei itreife fbnnen fi(h aifo nur bann berühren, wenn bie Cfntfer« nung ihrer fDUttelpunfte gleich ifl bem Unterfchiebe ober ber 0umme ihrer .^albmejfer. b) Die 6 n i h f e. 8. 278. 9}ei ber2ibleitungber®lei(hung für bie SUihfe wirb man ihre.^auht-- eigenfehaft, ba| namli^ bie 0umme ber (Entfernungen jebeb ihrer^unfte von ben beiben 83rennpuntten gleich i|i einer gegebenen @eraben, tu ®runbe legen. 1 . ©leichung einer (EUihfe, beren SDtittelhunft im Ur< fhrunge unb beren grofe "Hxt in ber 2(bfciffenaxe liegt. 8fig. 309. Digilized by Googl 261 68 fei/AP* + MP*, BM = \/ßP* + MP*, obet wenn OA = OB = e gefegt »irb, AM = \/(x -f- e)* + y*, BM = \/(x —e)* + y*. Da nun M ein ^iinft ber 6Qipfe fein foQ, fo mu^ bie 0umme bec beiben 8eitflra^fen gleich fein einet gegebenen ©etaben, beten fifinge 2a ^eipen mag ; man bat habet \/(x + e)* + y* + \/(x —e)* + y* = 2a, . unb menn biefe ©leidbung tajional gemalt witb, (a® —e®)x* -j- a®y* = a*(a* —e*). 3m Dteieie ABM ijl nun AM -f BM > AB, qlfc 2a > 2o, obet a >• e, habet auc(> a® >• e®, unb fomif btt Untetfebieb a* —e® pefltiB. DrucCt man nun a® — e® burcb bie gemif pofitioe ©rb^o b® au8, inbem man a® —e® = b* fe^t, fo bat man b®x* + a®y® t= a®b® aI8 bie Btelation, weicbe ^wif^en ben iloorbinafen be8 in btt 6Ilipfe miQtütlicb angenommenen fünftes M 0tatt finbet, folglttb aI8 btt ©ieicbung ber 6(Iipfe fefbfl. Diefe ©leicbung Idpt flcb auch fo batfletlen: §. 279. 2. DiOfuffien bet ©teicbung b®x® + a®y® = a*b®. 1) 8ö|l man biefe ©leicbung na(b y «uf , fo etbält man y = ± ^s/a® — x*j »otau« b/b® — y* folgt füt y = 0, x = ± «} unb Digitized by Google 262 4u§ y = ± ^ y'a* — x* für x =0 , y = ± b. Die (Sffipfe fc^neibet atfobie 2(bfci|fenaje in ben 3ib(ldnben -f a unb — a, unb bie Drbinoten» ojce in ben 2i6fidnben -|-b unb — b bom 2infang$b>*nfte. 4) Der größte SQert^, ben x annebmen fann, ifi a, unb bet gt&fte SlBetlb Bon y ijl b; für x>a wirb y, für y>b wirb x imogindr. 3i«{it man baber mit ber Ctbinafenare in ben 2tb|!dnben -fa unb —a, mit ber 2ibfciffenare aber in ben 2ibfldnben -|-b unb —b parallele ©erabe, meldbe ein SKeebtect bilben, fo mirb bie ganje SKibfe innerhalb biefeb Otecbfecteö enthalten fein. Daraub folgt, bah SDibfe eine gef(bIoffene frumme 8inie i|}. 6) 3j^ y =a'x bie ©lei^ung irgenb einer burdb ben 3infang8))unft 0 gezogenen ©etaben MM', fo erhalt man für bie Durcbfcbnittöpuntte betfelben mit bet Sßipfe, beten ©leic^ung b*x* -f- a®y* = a*b* ijt, bie .Koorbinaten , ab . aa'b * ^ “ ^a'* + b*' ^ * \/a*a'*+b*' mobei bie obern 3«i4>«« bem fünfte M, bie untern jenem M' entfpre^en. Die Äbfciffen bet fünfte M unb M', eben fo bie Drbinaten berfelben, b«» ben aifo gleite numerif^e iSertbe, e8 iji ndmlidb OP =OP', MP=M'P'; baber finb in ben recbtroinfligen Dreiccfen MPO unb M'P'O auch bie brit* ten 0eiten OM unb OM' gleich, ober e8 mirb bie 0ebne HM' in 0 bal' birt. Da MM' eine mißfürliche burch 0 gezogene 0ebne bebeufet, fo folgt, bah aße butch ben Utfptung 0 gezogenen 0ebnen in biefem fünfte hat* birt merben. Der ^unft 0 beiht baber ber iDti 1 1 e I p u n f t, unb jebe burch ihn gebenbe ©ebne ein Dut^meffer ber Sßipfe. 6) Driidt man ben halben }u bem ^unfteiM gehörigen Durchmeffer, auch d = b* + —^[T— • **• Da nun biefer 2Iu6brudt für x = 0 ben lieinfien SGBetth annimmt, fo i|l ber fleinjle halbe Dut^meffet d = \/b® = ± b == OE = OF. Dagegen nimmt jener 2lu8brudl ben gröhten SBerth an, menn x ben gröh* ten Sßertb, beffen e8 fdbig ifl, erreicht hat, aIfo für x = + a; bafüt erhdlt man fomit ben gröhten halben Dur^raejfer d = v/a® = ± a = OD = OC. S6 iß bähet unter aßen Durchmeffetn ber Sßipfe jener CD bet gröhte unb EF ber fleinße. Den Durchmeffer CD = 2a nennt man barum bie grohe ober erfie, jenen EF = 2b bie Heine ober jmeite "Hxt ber Sßipfe; bie fünfte C unb D heih«n bie ©cheitel. 7) 3ut ©effimmung bet Page ber SBrennpunfte A unb ß gegen ben lOtittelpunft 0 folgt au8 a* — e* = b®, OA = OB = e = \/a* — b®, mel^e ©töh« bi« ® J i e n 1 1 i i i t d t bet Sßipfe iß. Digilized by Google 263 3n bet 2((lronomie »etjle^f mon unter bet gtjenttijitäf jeab^nlic^i bfl« aSetJidlfni^ jwifc^en e unb bet {lalbcn gtofen 2tjce a, oifo unb briitft biefe« butc^ e ou«, fo ba& 8) 3e ffeinet bie etjenfrijitat f|t, befio roenfäct i|! a »en b unter» fc^ieben, unb bejlo mebt ndM Greife; für e == 0 roitb a = b unb bie ©leidbung bergüipfe b*x* + a*y* = a?b* gebt übet in bie ©leicbung beö «reife« x* +y* =a*. Der Ärei« fann habet al« eine gaipfe betrachtet »erben, beten grientnjitat 3iun i|!, beten betbe 2iren habet gleich finb. 9) ©eieichnet man bie SeitjlrobUn be« g^unfte« M, AM unb BH but^) r unb r', fo b<»t man r = AM = v/(x + e)* + y* == V' (x +e)* + ^ (a*-x*) ^ V/'a* + 2ex + ?:^ r'= BM *= \/(x — e)* + y* = (x— e)® + (a*— x*) = a® — 2ex + cbet r = a + — ( a 10) Um bie butch bie ©rennbunfte gebenben Ürbinaten ju etb«l* ten, fe|t man in y = ± ^ \/a® — X®, X = e = \/a® — b» moburdb man y = ± - = BR = BS erbdit. Die burch einen ©rennpuntt fenfred)t auf bie grob« 3ire gejegene 0ebne RS bci^t bet g) a r a m e t e r bet gHipfc , unb reirb bur^ 2p be» jeichnet. g« if! habet bet halbe Parameter P = »otau« a ; bc=b :p foigt, b. b. bet halbe yarameter i|l bie britteiletige q>ro-' potiionaleiu bet halben gtofen unb bet halben Ileinen Hxt. §. 280. 11 ) 2lu« bet ©leichung bet gßipfe in ©etbinbung mit jener be« Äteife« ergibt |i(h folgenber 0ab : Digiiized by Google 264 Sßenn man »bet bet großen 2(te einet Slli^ife al6 35ut4)mcffct einen ÄteiS befc^teibt, fo »etbalttn bie betfelben 3(bfciffe entfptedjenbcn Dtbinafen beS .«teifeSunbbetiSnipfc, roiebie ^aIbegtofejut^«J*><*> Fleincn "Hxe. gij. 310. 0e|t man (gig. 310) OP = X , MP = y unb NP = y', fo i|l y'* =a* —X®, bobet y" a’ ^ ~ b’ unb y' : y t= a b. 12) 9Rit -f^ilfe biefe« 0abe8 ia|t nun auch bet 5 1 ä ^ e n i n b fl f < bet enipfe beflimmen. 0inb MP unb M'P' bie Drbinaten bet (Snipfe, NP unb N'P' bie Dtbinafen be§ übet CD befcbtiebcnen ÄrcifeS , roelcb« ju ben Jibfciffen OP unb OP' gefibten, unb »iebt man M'O "Ob N'R patallel mit bet 2(rcCn, fo paben bie 9{c(bfe£fe M'P'PQ unb N'P'PR biefelbe@tunb-- linie unb »ctpalten fiep bapetfo roie ipre -^öpen; fomit i|l M'P'PQ: N'P'PR =M'P':N'P' =b: a. Senft man fiep nun bie Drbinaten NP unb N'P un« enblicp nape an einanber, fo fönnen bie TireieSe MM'O “"b NN'R ai8 unenblicp ffein tiernacplöpigef , unb folglicp bie SJeepteefe M'P'PO “'>b N'P'PR als (Siemente bctCSlIipfe unb beSÄreifeS betraeptet roetben. 0teut man fiep bie gllipfe unb ben ÄreiS au8 laufet folipen Sfementen bejiepenb oor, fo »etpält )icp jebeS ^fement bet Stiipfe ju bem entfpreepenben Sie» mente be8 .RreifeS, unb fomit au(p bie 0umme allet Slemente bcrSDipfo jur 0umme aHer .SrciSeIcmente, mie b ; a. 'Jlber leptcre 0ummc ifl bie Ärei8fläcpe, folglicp = a®.T, etflete 0umme bie glfltpc bet SHipfe» peipt biefe f, fo pat man aifo f: a®*- = b ; a, rcorau8 f=abT folgt. ®er Slfltp^fltnpflll einet Sllipfe ifl bemna

citel liegt, unb bie ?Ibfciffen an bet gropen2Irc gejaplt me eben. SRimmt man ben 0cpeifel C aI82(nfnng8puuft berÄoorbinaten, nnb bie gtofe 2(te CD o(8 Jibfeiffenare an, fo roetben füt biefe8 neue Äootbi» ec5 natfnfpjlem bie Drbinalett biefelbtn bfeiben, wie in bem früher ^^unbe gelegten ®9(leme, bie neuen Jlbfciffen bagegen werben fämratlit^ um bie halbe grafe 2lre a gtbfer auSfaHen al« bie fnihern. «Kan batf bafet in bet oben entwitfelfen ©leithung y = ± ^ \/a* — x* blof x — a fia« X fchen unb y ungeanbert taffen , um bie ©leicfung bet (SOipfe für ba# neue 0p(iem ju erhalten. Diefe nimmt bähet falgenbe ©effalt an y = ± ' \/2ax — X* a b* i’ b* ebet y*= -7 (2ax-x*), unb wenn ^ " P y* = 5 (2ax— X*) a / aber ’ y* = 2px _ §. 282. 4. QJalargleichun g bet ®llipfe, ff8 fei A (5ig. 311) ber ^al unb AC bie ^alarare; fe ifl föt ben ^unft M ber KabiuSöeftar r = AM, unb bet fpelarwinfel v= MAC. 3lu6 bem Dreiede ABM falgt nun ?ig. 311. aber BM* = r* -)- 4e* -{- 4er cos y. SBegen AM -}- = 2a ifl auch BM* = (2a —r)* = 4a» — 4ar 4- r», baher r* + 4e* + 4er cosv = 4a* — 4ar 4- r* woran« ' a’ — e’ r = ... 1) a + e cos V aI8 bie ^olargleidhung für bie ffttipfe folgt. Digitized by Google 266 • 3n bet ^(nwenbunä auf 3(|lranömte, reo - =a reirb, nimmt bie ®Iei^ung bie gorm an ober r = a — a’ »• a + ae cos V ^ a CI — »*) 1 + t cos V 2) t, alfe e ae gefegt SCBottte man in biefet ®Ie{(^ung jlatt a ben boH**« Parameter p = L einfä^ren, fo etj^fill man ou6 e* =a* — b*= a*£, a*(l — t*) = b*, ober a (1 —£*) = L => p. ®ie,@lei(^un9 2) aefiet alfo in bie a fofgenbe übet r = E ... 3) 1 4- C COST 5üt bie »etfdjiiebenen ®«tbe non v =0 bis v=z360® et^ült man aHe mSglic^en SBett^e futr=sAM, unb babutc^ ade mbgli^en fünfte bet (Sdipfe. c) Die .^bpetbel. e. • • * . ' ' > ’i I u § 283. .. Die J^pt>etbel bat bie Sigenfdbaft, ba| bet Unterfdbieb bet 3(bfiänbe eine« jeben i^ter fünfte »on ben beiben ©rcnnbuntfen einet gegebenen ©eraben glei^ ifl. Diefe Sigenfcbaft in bie analptifcb« 3eii^enfpta 4>e über» feft, gibt un« bie @Iei(l)ung für bie .^9)>«6el. 1. @(ei (bung bet .^9petbel, reenn bet SKittelbunft im Urfprunge unb bie etjle 2ire in b.er 2t bfciffenat e liegt. 5« feien A unb B (gig. 812) bie SBrenn|)unfte bet .^ppetbel. bitt man ben 2(b|ianb AB in 0/ unb nimmt biefen g>unff al« 2(nfang6» 267 )>un(t bet Kootbinaten unbOX alSbieXbfctffenajce an, foifl färben ^»nff M x = OP, y =MP. Samif bet ^unh M in ber ^ppetbeF liege, mu^ AM —BM gleich fein einer (Seiaben oon gegebenere Songe, bie butch 2a aubgebrücft »erben fott. 3Ran bat nun, »enn OA =OB =e gefegt wirb, AM = \/(x + e)* + y*, ''(X — e)* + y» baber mub 'tx + e*) + y* — v/(x — e)* + y* == 2a fein, ober »enn bie Olei^ung rajional gemacht »irb, (a* —e*) x* + y * =®* (®*,— 6*)* 3m3)reiede ABM i(f AM — BMa angenommen, fo erhält man für y jmci gleiche aber entgegengefebte 5f5ertbe ; bie Tibfciffenare b«Ibirt habet äße auf ihr fenfrechten 0ebnen ber .^ppetbel. 2. ?6(l man bie ©leichung ber ^»pperbet nach x <*“f, f® ergibt fich X = ± j \/y» + b*; woraus folgt, ba^ ju jebem ßBertbe pon y {»ei gleite unb entgegengefebte Xbfciffen gebSren; bie .^Ppetbel erjlredt f»ch alfo in fongruenten Xeflen )u beiben 0eiten bet Drbinatenare. 3) gär y = 0 »irb x = ±a; bie .^pperbel f^neibet alfo bie Xb» fcijfenare in i»ei fünften D unb C, beren 3lbjlanb 2a beträgt. 3)ie ©e» rabe CD«= 2a iß bieerße oberJ.^auptare ber .^pperbel; C unb D nennt man bie 0 ch e i t e l. 4) X'a X unb y jeben noch fo großen ßBertb annebmen fbnnen, fo folgt, baß bie .^pperbel nicht fo, »ie ber ÄreiS ober bie gßipfe, in ßch felbß jurücffebrt, fcnbern baß ßch ißre 2leße inS Unenbliche auSbeßnen. 5) Um bielBebeutung oon b auSjumitteln, befchreibe man auS bem 0cheitel D mit OB=e als Jpalbmeßet einen ÄreiSbogen, »eichet bie Dt» binatenaxe in ben fünften E unb F fcßneibet unb jiebe DE. j®s;iß,nun [ EO* = FO® =DE* —DO® = e* —a* c= b®, baßer EO=FO =b, unbEF=2b. aWan nennt nun, analog mit her Digitized by Coogle 268 9Uipft, tHe ©erobe £F 3b aud; «ine Vie unb ^mar bie $n»eil( ebtt ton) ugirte 71 xt. 6. ^erbinbet man mit ber@Iunft 0 bet SKittelpunft, unb jebe burcf) 0 gejogene ©ebne ein J>ur(bmeffer bet.^ 9 pcrbel genannt. ?Iu8 ben obigen SBertben »en x unb y folgt, ba^ ein ®ura*a'* ober a' < - ijl; wirb a' > -, fo fallen bie ffiertbe oon x unb y ima> ginüt aua. ' - 7) Befonbera merfwutbig ftnb jene ©eraben, für wel^e aifo b* =a* a'* i|l; für biefe werben bie SCBertbe oon x unb y unenblicf) grob, »’^a anjeigt, baß bie beiben ©eraben mit ber .^ppetbel }u beiben Seiten erfi in unenbii^er 6ntfernung jufammentreffen. Um biefe }wei geraben Sinien ju fonflruiren, errichte man im 0chei: tel D eine ©enfre^te , trage batauf DG =DG' b auf, unb iiepe burcf) ben SJiittelpuntt 0 unb bie fünfte G unb G' bie ©eraben GOH' unb G'OÖj man fßt biefe in bet Sh«* 269 lang GOD unb lang HOD *= — -•b — unP *“''B a\ju = — a * 0(tta(^tct man nun tine bitf« ©etoben, j. GH'» fo ijl^^nttnn OP = x, MP=y, NP = y' 8ef«|t »itb, y' = ; * Y'* = 7.' b* ferner ba M ein g>unft bet^pperbel y*= ^ (** ~ «*) > I* _y* = b*, ober (y' +y) (Y' — = b’ Y'-Y=y-rqry fofat 2)a b* f&r biefelbe Jppperbel eine unoeränberlid^e @t&ge ijb, y' unb y bogegen, fomit au<^ ihre 0ummey' +y in6 Unenblid?e fort iune{»men fann; fo wirb bet ®tuc^ mithin auc^ ber Unfetfd>ieb y' - y, »elcber bie 8inie MN »otjletlt, be(lo Heiner »erben, je größer Me pfeife 0" ifl, ebne jeboeb jemals »oKtommen in 9fJulI ju ubergeben. ®ie ©erabe GH' »irb bobet bet ^ipperbel, je »eitet man beibe »erlongert, immer niber fommen, jie jeboeb nie »ontommen erreichen. 2)oSfeIbe gilt non ber ©eraben G'H. X>ie i»ei ©etaben GH' unb G'H »erben »egen biefet 61» aenfebaft ^Iffpmp toten ber ^»pperbel genannt. ^ . 8) 3nr ®ejlimmung bet Page bet ®rennpnnfte A unb B gegen ben ÜRiftelpunft 0 b«‘ m«" OA = OB = c = >/a* + b*. v/a* + b* Die ©r&^e e ober auch \ ‘ ~ trijitSf bet ^ippetbel genannt. »itb bie Srjen« 9) gut bie Peitjlrablen r unb r' beS fünftes M bot man = AM «= \/(x +e)* + y* = (x+ei* + (^t* —«*) “ ^ + 2ex -f- a*, V' (X —e)* + ^ (X* — a*)r' => BM = v"(x — e)* + Y’ 2ex + ®* > ober + «c 10) ^iu<* btitte fleliflf q>tepotiionale jmifcben bet erjlen unb bet halben jmef ten "Uxt, II) Söt a =bwttb bte ^ppetbel eine glei(bfeitige genannt; ibte ©leicbung tjl y z=z ± \/x* — a* ' < §. 285. 8. ©lei^ung bet .^bpetbel, nenn bet 2(nfang8punf t bet Jtootbinafen in einem 0(beitel liegt. Stimmt man ben 0cbeitel D aI9 Utfptung unb| DX oI8 bie 2(bfcif» fenate an, fo bleiben bie Drbinafen gegen ba9 frübete 0|)|lem ungeinbett, bie ftübeten tibfciffen abet flnb fdmmtlicb um a gtbfet als bie neuen ; um habet bie neue ©leicbung ju erbalten, batf manin betftäbetn®Iei^ung y = + ^ V'x» — a* nut x + a flatt x fe|en; man befommt babut^ y = ± ^ v/x* + 2ax, ober y®== (2ax + x*) .. b’ unb wenn man — = p fe^t, d . ober y® = H (2ax + X*), y* = 2px + Pi’. a §. 286. 4. g>olatgIei(bung bet 3fi B (5ig. 314) bet ^ol unb BD bie ^olatate, fo b«t man ben ^unft M r = BM, v =MBD. 3(uS bem 0reie(fe ABM folgt nun AM* = BM® + AB* — 2BM . AB. cos ABM ober AM* = r* -}- 4e* — 4er cosv. SBegen AM — BM = 2a i{l aber au^ AM® = (2a + r)* = 4a* + 4ar -J- r*. für Digitized by Google E71 9tS- 3U. a + e cos V al« bie gefuc^te g>olar9reic^>ung. . 1 ) 9Börbe man " = « f® erhielte man a (c» — 1) i 1 + c cosv . . . 2) ob«, wenn bie ®r6^e p «= iL = « (t* — i) einaefu^tf »irb, man für v aHe mSglic^en ÜBert^e «on 0 bi9 360o, fo er^dlt man für ben JRobiuSoeMor r = BM bie entfpte^enben fffiert^e, »obut(^ affe fünfte bet ^ppetbel beftimmt werben. i- i d) 3>ie 9>ar abel. ’fi * §. 287. 2)ie farafieti|1if(be 2px. 1 ) 2(u# biefet ®lei(|»ung ergibt jl(^ y= ±\/2px. 3« i*b*nt pofiti« ben SBert^e von x geübten jwei gUic^^e , abet entgegengefe|te Orbinaten ; bie 9>atabel be^nt (tc^ aifo bom 3(nfang#punfte an ju beiben Seiten bet ^bfciffenate in )wei bngruenten 2(e{len au# , unb }war, ba x unb y jebe beliebige @ti>be errei(|>en fbnnen, in#Une»Micbe fort. X)ie @erobe OX beift barum bie Xre bet Parabel. 2) S&t X =3# wirb auch y =0; bet Xnfang#punlt bet .Kootbina« ten i{! alfo ein ^un(t bet^atabel, et b^ibt bet Scheitel. 8) $üt ein negatibe# x wirb y imaginär; negatiben Xbfciffen entfptecben habet feine fünfte bet Parabel. 4) Sejt man x =5 =0C, fo wirb y=CE = CF= ± p; bab«4B iflEF=2p. X)ie Grope 2p fieHt alfo bie bur^ ben ißtennpunft fenN lecbt auf bie 21« gejogene Sebne EF bot, unb ifl bet Parameter bet ^atabel. Digitized by Google 273 3 1 5) 0inb x‘ unb x" bie ^Jbfciffen, y' unb y« bie juge^Srigen Dtbi* nafen jroeicr fünfte einer qjarabel, beten Parameter 2p ifl, fo ^af man y'* = 2px< unb y"'“ = 2px", ba^er y'* ; y"* = x‘ : x", b. in ber Parabel eerbalfen fid) bie Xiuabtate ber Orbinaten, fo wie bie juge^ötigen 2(bfciffen. 6) Wit -f^ilfe ber ®leicf)ung ber Parabel ifi man nun au^ im 0tanbe, bie $la(^e eines von {mei jufammenge^brigen Aoorbinaten ab* gefdjnitienen 'parabetflüefes ju beflimmen. 5ig. 316. Sd fei AM (Sig. 316) ein parabolifdber SBogen unb AX bie Hxe bet QJarabel ; eS fotl bie gläcbe beS ^arabeljlilcfeS AMP gefunben werben. SKan jiebe AY J_ AX, unb fdKe ron ben fünften M, M' auf AX bie 0entted)fen MP, M'P' unb auf AY bie Sof^e MQ» M'O'- ^>ei^en nun x, y bie Äoorbinaten beS <})unfte« M, unb x', y' jene be« fünfte« M, fo iji, »enn man bie ®ebne MM' jiebt, arapej MM'P'P = (y+y') . cy+yO • Stapej MM'0'0== (x+xO • , (y + y')’ 2p y—y' 2 ' habet Star. MM'P'P _ (y + y')’ Stap. MM'Q'Q “ 2p(x + x')’ Sä^t man nun bie fünfte M unb M' unenblicb nabe an einanbet legen, unter roel(bet 2(nnabme y + y' in 2y unb x +x' in 2x übergebt, fo fann man baS Srapej MM'P'P ats ein gtement beS gefuchten ^arabel-- flücfeS AMP, unb baSSrapej MM'O't^ alS ein Slement bet auberbalb ber ^arabel liegenben glacbe AMO betrachten, unb eS ifl MM'P'P _ 4y’ _ y^ _ 2 MM'Q'Q 4px px ' alfo MM'P'P = 2MMQ'Q. 0tedt man ftch nun bie gldchen AMP unb AMO o«3 lautet folchen Moinik, Oieonuteit. 2. 9u|I. 1 8 Digitized by Google 274 eiemenfen befle^enb »ot, fo i|l jebeS ®lcmenf bet AMP bo|>t)ert fo sro6 aU boS cnffpre^enbe Element bet gla^e AMP, unb foralt au(^ bie gaitje glöcpc AMP boppclf fo gro^ aI6 AMQ, aifo 2AMQ = AMP, unb 3AM0 = AMP + AMO = APMO = xy; ba^cr AMO = unb AMP = jxy; b. p. ber g I ä cl) c n i n p a l f beS jroifcfien iwei jufammengifä bSrigen Koorbinaf en ei ngefc^Ioffencn ^at abe({tü(fe8 ifl glct^j be8 q)tobuftc6 au8 biefen Kombinaten. §. 289. 3. qjotargleic^nng bet ^atabel. gig. 317. ®8 fei C (gig. 317) ber ^ot unb CD bie yciatafe, fo ifl für ben ^unft M r = CM, v = MCD. 0oH M ein q)untt bet Parabel fein, fo tniiß bie @Ieid)ung CM = MO 0fatt finben. 9lun i|l CM = r , MO = DP = DC CP = p — r cos v , ba^er r = p — r cos v 275 c. ® «c^felfeilige ©^iie^lu ngen ber Ä«t»en iwciter Orbnung. §. 290. 1. ©leic^ungen für rc^tiDintligc Äoorbinoten. gig. 318. 3(1 C (5ig. 318) bet ^(nfangepunff bet Äoorbinaten, CX bie 216. fcijfenate, unb benft itinn (tc^ C oI8 (Snbpunff eines ÄreiSbure^melCerS, ober als ©Reitel einer GQipfe, 4)ppetbel ober 5)atabel, fo ifl bie @Iei(^unfl beS ÄreifeS . . . y* = 2ax — x®, ff ff ber (Sütpfe . . . y* = 2px — - , a ff ff ff ^pperbel. . . y® = 2px + — , ff ff „ ^arabet . . . y® = 2px, »0 a in 58ejug auf ben ÄteiS ben .^albmeffer, für bie gllipfe unb .^ppcr» bei aber bie palbe er(ie 2Ire unb p ben halben Parameter oorjlellt. aSergleicht man juer)! bie vi leitbung beSÄreifeS unb jene ber gttipfe, fo fiept man, bap bie lepfcre in bie erfiere ubcrgept, wenn p = a gefepf wirb. 3n bet Spat i)l ber ÄteiS eine gllipfe, beten ©rennpunfte in ben aSiftelpunft fallen; ber g)aramefer wirb unter biefer QSorauSfepung }u einem X>tircpmefer unb baper wirtticp p =a. 3)ie ©(eicpung bet gllipfe fann aucp in jene bet^atabel übergepen. Sj^t man nämlicp in ber ©leicpung bie ©töpe a opne gnbe junepmen, wäprenb p ungcänbert bleibt, was bei geporiget 3lnnapme oon b oermSge bet ©Teilung ^ = p immer mög. lidp ifl; fo wirb enblidp für a = oo ber Ouojient HL = o, unb bie ©leicpung bet gffipfe »crwanbclt fiep in jene ber Parabel y® =2px. 3)ie ^arabet fann bemnaep als eine gllipfe angefepen werben, beren erfle Hxt unenblicp grop ifl. 18* Digitized by Google 27G 0ämmfIic^c 8inien ber jnicifen Dv^nunä taffen fic^ bafier burd) bie einjigc ©(eid^iing y= = Px + Oxbarftetlcn, roorin P ben Parameter unb für ben Äveid ben ruv^mcffcr bebcufef, unb roobci für ben ÄrciS 0== — J» f“*' ®(tipfe 0 _ p aifo au^ negati» aber < i, für bie ijppetbel 0 =^ 2 a’ pofitir, unb für bie «parabel Q^o '|1- »§. 291. 2. ^ 0 1 a r 9 t e i 11 n 9 e n. gifl. 319. '^7/S' 4' -ff' (j/k\ g u s 'f A \ 'ff' für ben Ärciä „ bie Cüif'fc für bie ^arabet . . „ „ .^pperbet . . ©teilt A (Si9- 319) ben '^ol, AZ bie 'pelararc »or, fo bat man, mcnn p beim Sreife ben ijalbmeffcr, bei ben übri9en .«Urnen ben palben Parameter bebeiitef, fo(9enbe gjolarglei. d;un9en : . r = p . r = r = 1 -p t cos V l> 1 + cos V ' p . 1 + £ C03V wobei für bie Süfipfe t — aIfo e <; i , für bie .^pperbel ba= > V/a' + b’ gegen e , alfc£>- 1 ijt. 9Kan fann bemnad; orte »ier Äutnen bur^ folgenbe ntlgemeine 'po« largleicbung p barflegen, worin 1 + e cos V . . 1) für ben «reiS t == 0 „ bie ®(lipfe f < 1 „ „ qjarabet c = l „ „ .^pperbel £ > 1 i|l Digilized by Google 277 Senft man fic^ auö bemfelbcnSrennpuiihe A beiiÄreib, bieSIIipff, bie ^arabel uiib bie Jpppetbcl mit bemfelbcu 'Parameter AG = p befc^rie» ben, fo fol^t au6 ber alläcrneinrn @Ieid;iiiig l), bap ju bcmfelben po[arroitifcl v, fa (ange v <; 90" i|l, im Ärcife ein greperer fieitfirabi gc» pört, alb in ber (fitipfe, in biefer ein größerer aI8 in ber Parabel, in bie. l'er roieber ein größerer alb in ber ^pperbel ; b. p. ber Äreib meiept non A om jlärf|len ab, roeniger bie (f llipfe, noep meniger bie Parabel, om roc» nigjlen bie Jjpperbef. Jür v = 90" i|l ber l'eitfirapl bei allen »ier Äur» nen gleicp p; eb fepneiben fiep aifo biefelben in einem piinftc fenfreept über bem SQrennpunfte. äßirb v >> 90", fo i)l bann cos v negafi», bnper r be)lo großer, je grofter £ roirb ; naep bem eben erroapntenSiiircpfcpnittb» punfte inirb alfo ber Äreib »on bem 'Punfte A am roenigiicn binergiren, mepr bie Gdipfe, noep (iärfer bie Parabel, nnb am meifien bie Jppperbel. Sie »orliegenbe 5igut, '» roelcperOMQ' bic Äreiblinie, RM'R' bieGQipfe, S11"S' bie Parabel, unb TM"'T' bie Jppperbel »or)lelIt, macht biefebföers palten ber »ier frummen Sinien anfepauliep. f. iSerüpriingbs unb DlormaUinien ber turnen ji» eitet Drbnung. §. 292. •t? er erfepeint eb oor Willem notpmenbig , für bie ©erüprungblinic eine allgemeine, auf alle frummen Sinien paffenbe Grflärung, auf melcpe fiep bie SReepnung bequem anmenben Uipt, aufjupellen. Gb fei AR (gig, 320) irgenb eine frumme?inie, unb M, ber'Punft, in mel* epem fic »on ber ge. raben TT' berüprt »»erben folT. ÜRan beute fiep nun burep biefen IBeräprungbä punft M' unb burep einen benaepbarten Punft M« juerfl eine 0efante SS' gejegen, unb biefe bann um ben punft M' fo gebrept, baß ber punft M" fenem M' immer luipcrruett; fo n>irb fiep auh bie 0efante SS' ber SBerüprungblinic TT' immer mepr napern, unb enbliep mit ipr ju» fammenfallen , roenn ber punft M" über ben ©erüprungbpunft M' ju liegen fomrat. 5)fan fann baper bie Sangente alb eine 0efante b c t r a cp t e n, bie j u e r fi b u r ep j »» c i 'Punfte b e r Ä u r » e g e p t, unb fiep bann um einen biefer punfte, benSBerüprungb* punft, f 0 l a n g e b r e p e t , b i b b e r a n b e r e p u n 1 1 mit bie. fern j uf ammen f liil It. Gine im Söetüprungöpunftc M' auf ber Sangente fenfreepte ®erabe NN' peißt eine 5R erm all i nie ober iJ? or m a le ber Äur»e. S?ig. 320. /V' T' ü' ' . 1 /' ; R s \ ^ ;\ T (1 N Digitized by Google 278 btt SBeril^irung einer fruntmen Sinie mit einer ©eraben finb nac^)(te^enbe bier @ro§en, bie »on ber Soge be8 ©erüjirungStmnffeg M' objjöngen, unb über ben Souf ber Äurbe befonbern gcmö^ren, von großer fS3i^tigfeit: 1 ) ®ie Songenfe M'T, b. i. bo6 ®tüdC ber 93erü^rung6Iinie »om S8erübrung6}}unfte biS ium3)urd;fc^nitf8punffemif ber3tbfciflenaxe; 2) bie ®ubtongenteTP', b. i. boö ®tüd£ ber Ttbfciffenorc jroif^en ber Songente unb ber Drbinofe; 3) bie atormole M'N, b. i. bo8 0tüdE ber STtormottinie jwifdjen bem S8erüf)rung8punfte unb ber '^bfciffenore; unb 4) bie ©ubnormole NP', b. i. bo8 @tü(f bet Jlbfciffenore jmifc^cn bet JJtormole unb ber Orbinote. ÜSon biefen uier t8erü^rung§gr&^en finb bie Songente unb bie 9ior< mole roefenttid^ pofiti»; bie 0ubtongente unb bie ®ubnormote fünnen pofitie ober negofi» fein , je no^bem erflere »on T ou8 , leitete »on P' ou8, no^ ber pofitioen ober iiegotiren 3tbfciffenrict)tung ^in, fönt. I. iöeru^rung om Äreife. §. 293. a) @IeicJ)ungen berSerüfjtungS» unb berntormollinie. 66 feien X', j ' bieÄoorbinotenbe8SSeru^rung6punffe6M'(5ig. 821), unb X", y" jene eines benoc^borfen g)unfte6 M" ber ÄreiStinie. gifl. 321. 2Ron ^of nun für bie ®cfonte SS', we[d[)e burd^ bie fünfte x'y' unb X" y" ge^t , bie ©leie^ung y — y' = — X') ... 1). S)o M' unb M" fünfte be6 .RreifeS finb, fo müffen, wenn bet .^olbmeffet burcf) a ouSgebrüdtt toirb, bie S8ebingung8g(eid)ungen ~*x'* -fy'* = a*, X"* + y"* = a* Diqitized by Google 279 0tatt ftnben, butd) beten 0ubttofsion man (X»* — X'®) + (y"* — y'*) = 0, ober (x" + xO (x" - X') + (y" + yO (y" — y') == 0, unb ba^er lLzz' = _ ^+4 ... 2) X" — X' y + y befommf. 9Bivb bicferSCßert^ in 1) fubjlituirf, fo erhält man füt bie@tei: d?ung bet 0efanle SS' y - y' = - - XO . . . 3) eäff man nun bie Sefanfe SS' um ben ^untt M' bre^en, ^biS M" mit .M' jufammenfädt, fo mirb bie 0etante in bie Sage bet ©erü^rungStinie TT' tommen; unb man etbäit fut bicfe, roenn in 3) .x" =x', y" = y' gefegt mirb, bie @leid;ung y _ y/ = _ L (X — xO . . • 4), # J welche ftd> aud> fo bat)Men laßt yy' -f- XX' = x'^ -|- y'* ober, roeii x'* -fy'® = a* i|i, yy' xx' = a* . . . 5). 3n biefct lef'fern Sorm lapt ftc^ bie ©feic^ung bet Äangente unmit» tetbar auä jener beS Äreifeo yy + XX r= a® febr leid)t ableiten. 3bie ©rö^e — ^ in 4) i(l bie frigoncmetrifi^e Sangenfe beS 9Bins feltt, ben bie ©eriibtungSlinie mit bet ^tbfciffcnare bilbef. 5ur bie SHormale NN', alä eine buri^ ben ^unft x' y' ge^enbe ©e* rabe, fiat man erjUid> bie ©Ieid;ung y — y' = a' (X —xO • • 6). 25a bie Otormate auf bet Sangente fentrec^t fle^t, fo mu^ &< = L fein, unb bie gefuc^te ©leicfiung bet 0flotmaüinie ijl y — y' = ^, (X —xO ober meld)e ©lei^ung einer burc^ ben Urfprung, meieret fiiet bet ÜKittetpunft be6 Äreifed i)l, gc(;enbcu ©eraben angebort; >oa§ ganj natürlid) ijt, ba befanntlicb bie Sangente auf bemjum ©eriiljtungepuntte gejogenen^albmeffet fenfred?t jteben mup. Digitized by Googic 280 §. 294. b. Se)limniiin 3 bet tier ©erü^tungegtöfen. O Um bie ©ubtangente TP' ju er{)a(ten, fu<^e man jucrjl bic 2(b-- fciffe CT beS 'J)unfte8 T bet ©erü^tungSIinie, alfo baS x, meld>e6 au6 bet ©leic^iung bet Songenfe 5) für y =o f'er»ct9ef)tt; man befommt Ä* CT = X = i. x' 9]un i)l TP' = CT — CP' = — — X' = baX' X' x' bet, menn man beocfjtet, ba^ x' negaticifl, bie 0ubfangente aber pofitib aiiSfallen mufi. Subtangente TP' = — . 2 ) 2 ) 3ur »efiimmung bet Songente M'T ^at man au6 bem ted)tit)tnf. ligen Srciecfc M'P'T M'T* M-P-* + TP'^ = y'* + + y'^) = ba(;er Sangente M'T = + . 9) wo ba6 SQotjeicbcn fo ju wiibten i)7, bag bie Sangente pofiti» wirb. 3) ijür bie Siibnormate t;at man Subnormale CP' = — x' ... 10) 4) Snblic^ anormale M'C = a . . .' il). 2. ©erübrung an bet eilipfe. §. 295. a) ®leid)ungcn bet ©erübningO, unb bet Snormal» I i n i e. Sig. 322. Digitized by Google S81 fnen x', y' bie Äoorbinafen bc6 q>untff6 M' (gifl. 322) einet Sflipfc, beten ISIeic^ung -1- a®y* =a* b® ijl, iinb ti foll bie ®leU c^ung bet biird) biefen ^iinft M' an bie Gttipfe gefiiprfen Sangenfe ge* funben rocrben. Stimmt man einen jmeiicn ^unft M" bet (SOipfe an, beffen Äeotbi« naft-n x“, y" finb, fo ijl bie ©(eic^ung bet bitrd^ M' iinb M'- gejienben 0efanfe SS' y — y' ” l. (X — X') ... 1). gilt bie fünfte M' unb M" bet GQipfc finben nun bie ©leic^ungen b*x'* -(- = a*b*, b*x"* + a*)"’ = a’^b* Statt, burc^) beten 0ubftafjion man b* (X"* — X'“) 4* (y"* — obet b® (x" -f- X') (X" —X') (y" + yO (y" ~ y') = ° unb ba^et yl- r ^ _ b’(x" + x‘) _ 2) x" — x' a’(y" + y') erpält. 0iibj)ituirf man biefen SCBettp in 1), fo nimmt bie ©leit^ung bet 0etante SS' bie gotm an ; y — y' b* (X" + X') a’ (y" + y') (X — xO ... 3) gäöt nun bet ^unft M" mit M' jufammen, roox" == x' y" *= y' roitb, fo fommf bie 0efante SS' in bie 8age bet Sangente TT'; fegt man affo in 3) X* = x', y" =y', fo erjtalt man alö bie gcfud/te @leic^)ung bet Sangente TT' , b* x' y — y' = — (.X — X') ... 4 ) a y b* x' wobei j—; bie trigonomeftifdje Sangenfe beS SBinfelö bejeicftnef, ben a y' bie ®eruf>rung6Iinie mit bet 2(bfciffenate bilbet. 0ie @Ieic^ung 4) (ä§t ftd) auc^ fo barfleKen a*yy' -|- b®xx' = a*y'® 4" b®x“ ober, Weil a*y'® -}" b®x‘® = a®b® ijl, n*yy'+ b®xx' = a® b® . . . 5), welche ©leici^ung bet Sangente fic^ unmittelbnt au8 jener bet Stlipfe a®yy -|- b‘ xx = a®b® fe^r Ici(bt Verleiten lä^t. gilt bie burd) ben 'J)unft M' gejogene 3]ormaIIinie NN', aI8 eine auf ber Sangeiite, ju we(d)er bie @Ieid)ung 4) geport, fentrecpte @erabe, ergibt fiep bie ©leicpung y — y' = (X — X') . . . 6) uigiiized by Google 282 §. 296. b) aseflimmung bet »icr ©erüprungagrö^en. 1 . Um bie ©ubJangenfe TP' ju ftnben, fudj)e maniucrjl bie ilbfciffe CTbc6 ^unfte8 T, inbem man in bet ©teic^iing bet SBetü^runsarinie y = 0 fc^t, man et^iälf CT = x = ; ba^et ifl TP' = CT — CP' = — X'. X Sa nun ^iet bie 0ubtangente pofUib fein mu^, bie ©töpe abet negatio i|l, fo {>at man ©ubfangente TP' = x' — . 7) 2) gut bie Sangente M'T erhalt man M'T* = M'P» + TP" = y'* + = J-, (x'* + ba()et Sangenfe M'T = \/b*x'* +a*y'* ... 8) 3) Um bie ©ubnotmale P'N ju etbalfen, fu^e man bie 7tbfcifeCN be6 fünfte« N, inbem man in bet ©icidjung bet fHotmallinie y = o fe|f ; man befommt CN = x = ^ x'j fomit ijb a* — b* b*x* ^ CP' — CN == X' — ^ ;— X' = —a a Sa abet biet bie ©ubnatmale noftfit) ifi, fo folgt b* ©ubnotmale P'N = — — ~ ... 9) a 4) gut SBeflimmung bet Slormale M'N ^af man u* — b*x^* ft* M'N* = M'P'* + P'N* = y* + 14 . ^ ' ' a* a Snormale M'N = f 3. iöetö^tung an bet .^ppetbel. §. 297. a) ©leidjjungenbetSangenjial^ unbülotmallinie. 56 fei b*x* — a*y* = a*b* bie @fei(^ung einet .^pperbel; man finbe bie ©leic^ung bet Sangcnfe, melcpe burcf) ben ^unft M' gig 323), bi’ffen Äoocbinafen x', y' ftnb, an bie .^ppetbel gcjogen mirb. ©inb x", y" bie Äoorbinaten eine8 jroeiten ^unffe6 M" bet J?ps petbel, fo i)l bie @Ieicf>ungbet butc^ M' unb M" gepenben ©efantc SS' 'IV ’^joovle 283 »ifl. 323. tü^cr gevner i|l, ba M' unb M" q>unfte ber Jppperbel finb, b*x'* —a*y'* =a*b®, b*x"* — a*y"* =a*b*. y' X" — x' unb burcf) ©ubflitujion in l) , b’ (x" + X') y — y' = x'^ + x‘ a’ y" + y‘ 2 ) (X — X') . 3) a’ (y" + y') £aft man nun M" mit M' jufammcnfatlen, nlfo x" = x', y" =y< ftin, fo etf/ält man aia bie ©kicpung ber Sangenjiatlinie TT' . b’x' y — y' = py (X — X') . . 4) ober aucp b*xx' — a*yy' = a*b* . . . 5) 2(ua 4) folgt bie ©leic^ung ber burc^ M' gepenben STlormallinie NN' y-y'= — X') . . 6) §. 298. b) ©eflimmung ber bier ©erü^rungagto^en. 2(uf äpniicfje Tixt, mie bei ber (JUipfe, finbet man au^ für bie .^p» perbel 0ubfangente TP' = x' — p • • • Tangente M'T = \/b* x'* -}~ a* y'* • • • 8) Digitized by Google 284 ©ubiiormale Parabel ijl aber ./2 = motauS 2px', y"- = 2px", y'—y' 2p 2) x" — x' y" + y' folgt. ®ub|}itiiirt man biefen Sßertb in l), fo ^af man aI8 ®Ieid>ung bet ®efante SS' y - («-»').. s) Capt man nun ben ^untt M" mit M' jufammenfnaen , rcobur^ y" = y' roitb, fo erf»älf man au8 3) bie ©leic^ung bet S8erüf>rung6» linie TT' P y — y'== ; (X — x') . . y 4) ober yy'= P (x+x‘) ... 5) gilt bie burc^ M' gefjenbe SJtormallinie NN' finbet man au9 4) y — y' = — L(x — X') . . . 6) P 285 §. 300. b) SBcfiiinmung bcr »icrSBctiibrungSgto^cn. 1 ) 0ud)f man aud 5) bic Jlbfcijje bc8 ^unffcö T, inbem man y =r o fc^if, fo erhält man TO = x — — x'; ba^cr tjl TP' =: TO 4- AP' = X' + X' = 2x', aifo ©ubfangenfe TP = 2x' . . . 7) 2) gut bic Sangente M'T bat man M'T* = M'P'* + TP'* = y' * + 4x'* = 2px' + 4x'*, fomit Sangente M'T = v^2x' (p -|- 2x') ... 8; 3) 0c6t man in 6) y = o , fo erbätt man für bte 3tbfciffe beä fünftes N ON = X = X' 4* P . habet P'N = ON — OP' = p ; atfo 0ubnormale P'N = p . . . 9). 4) gut bie 5notmaIc M'N etball man M'N* = M'P * + P'N* = y'* + p’^ = 2px' 4- p*, aIfo fWotmale M'N = \/p (p + 2x') . . . lO) jr. Uebung§aufgaben. §. 301. 1. 0ic ©feii^iing beS Äreifes x* y* = i fo ju »etanbern, ba^ bet 2(nfang§punft bet Äoorbinaten a) X = 2, y = — 3; b) X = — I , y = o rcerbe. 2. Die ©leicfjung eineö ÄteifeS i|l a) X* 4" y* — 6x 8y = 24 ; b) -X' -|- y* = 8x -|- Cy “h '^5 5 man befiimme bie Äootbinaten be8 ÜJliftelpunfteS iinb bie Pange bed JjalbmefferS. 3. Die ©teidbung eineS Äreifeö i)T x* + y* = 100. 3Bie oiel fünfte bat bie ©crabe a) y = 6x — 12 ; b) 4y + 3x = 50 ; c) 4y = X 4- 40 mit biefem Greife gemein? 4. 3'uti *Punfte unb eine ©erabc finb gegeben; man foH einen , .Kreis finben, mcld;er but(^ jene jroei fünfte gebt unb bie ©erabe berübrt. 5. Die ©leicbung eines .KreifeS ju finben, a) roelcber biudi jiuei gegebene fünfte gebt, unb einen bet ©tobe unb Page nad; gegebenen KreiS berubtt; b) ii'el.dier but(^ einen gegebenen <3>unft gebt; unb jroci gegebene Ärcife berübrt ; c) melcber brei gegebene Äreife berührt. 6. 2tn jmei gegebene Äreife eine gemeinfcbaftlie^e Sangente ju jieben. 7. Die ©leicbung einer gOipfe ifi 9x* -|- lOy* — 144, bie ©leicbung ' einer ©craben Digitized by Google 28ß a) y = 3x + 5, j b) y = X -j- 5, I c) y = 2x — 9; man beflimme, wie eicle fünfte bie Sllipfc mit jebet biefet ®eta» i ben gemeinfc^aftlic^ ^abe. ; 8. $ie ©reic^ung einer (SHibfe ifl x* + 25y® = 25; man fut^e bie ' ©leic^ung bet Sangenfe für ben ®erübrunge})unft x'=3, y' = f. i 9. 93on einem fünfte außerhalb ber SOijjfe an biefe eine Sangenfe ju {ie^en. 10. SCBenn man burcf) bie gnbpunffe bet großen ober ffeinen 2Tbe ju einem fünfte bergtlipfe jmci ©c^nen jiebf, ben fffiinfel biefer@eb-- nen jU beflimmen. 11. 3)ic ©lei^ung einer ^pperbcl ijl 9y® — 4x* = 36; »ie »iele fünfte bat bie ©erabe a) y = y + 2, b) y = 2X — 8, c) y = X — 3 mit bet .^pperbel gemeinfi^affti^? 12. 93on einem fünfte auperbalb bet ^ppetbel an biefe eine Sangenfe §u iiebcn. 13. Die ©leicbung einer ^arabel ifl y® = 3x; man fuc^e bie ©leicfiung bet Sangenfe für ben iSerübtungSpunff x' = 3, y' = 3. 14. 93on einem fünfte aufierbalb bet Parabel an biefe eine Sangenfe JU jieben. 15. Die SBabn eines Äomefen fei eine Parabel, unb eS feien jwei gnt« fetnungen beöfelben »on ber0onne, b. i. jroeiüeitfirabicn r' unb r'', fo wie bet SBinfel a, ben fie einfcbliepen , gegeben; man fuc^e ben Ort beS ^eribeliumS, b. i. ben 9)aramefet p unb bie Sage ber Hxt ober ben Sßintel v jroifetjen bet 2ire unb bem Seitjlta^I r'. Google Digilized by Google -* f •• .wVü*.- ^ ft'K^-fe"^'-^:; s’. -- •’ { ‘T*- •'-•.?iü-< -s-:-;'-- -2 : A,,r " . •• >n . :’»i %adby Ctiö^k 1 b./ fr , ' ‘ ' . 9 . ^ t >. . ' '.•* n' Cf J. ? -£ '-'*A • • i. j '] V' / V, //"'SrV “ V ‘ 4"- .h ‘ V " V, V