Výškové systémy, referenční 1 plochy a souřadnicové soustavy Matematická kartografie Osnova 1. Výškové systémy a referenční plochy - výškové systémy - referenční elipsoid - koule - rovina 2. Souřadnicové soustavy - souřadnicové soustavy na referenčním elipsoidu - souřadnicové soustavy na kouli - souřadnicové soustavy v zobrazovací rovině 3. Důležité křivky na referenční ploše - ortodroma - loxodroma 2 VÝŠKOVÉ SYSTÉMY A REFERENČNÍ PLOCHY 3 Matematický základ modelů terénu Úkoly matematické kartografie - proces transformace prostorových souřadnic objektů a jevů na referenčních plochách do roviny - zákonitosti, zkreslení - metodika výběru vhodných transformací pro modelovaná území Výsledek - kartografická zobrazení 4 Nadmořská výšk; výšková měření - geoid, kvazigeoid výškové systémy se liší jak se tedy měří nadmořská výška? Kde je "nula"? vertikální posuny výškových systémů [cm] VENEZUELA INDONESIA BRAZIL -t-43 4. n 47 TRIESTE 13 NAP AUD ARGENTINA + 32 ♦ 4 I I + 2 + 132 URUGUAY ■ 244 48 -56 GENOA ľ + 122 F.-62 636 856.0 m'» 45 i r CASCAIS -62 NAVD88 MARSEIILE ^ r 63 ALICANTE OOSTENDB ^ Nadmořská výšk; Liší se i úrovně hladiny, od které se měří. Stát Název výškového systému Zkratka Nulová plocha Druh výšek Austrálie Australian Height Datum AH D AUSGeoid09 elipsoidické Čína Hong Kong Chart Datum CD LAT - 1,38 m pod MSL-Hong Kong ortometrické Finsko Helsinky 1960 N60 MSL- Helsinki, rok 1960 ortometrické Francie Nivellement General de la France IGN69 MSL - Marseille normální ortometrické Irsko Malin Head MSL, 1960 - 1969 ortometrické Japonsko Japanese Standard Levelling Datum 1949 JSLD 24.4140 m pod MSL -TokyoBay ortometrické Jižní Afrika SouthAfrican Land Leveling SAGEOID1Q elipsoidické Kanada Canadian Geodetic Vertical Datum 1928 CGVD2S MSL - odvozeno z mnoha různých míst Helmert ovy ortometrické Ko rsika IGN78 Corsica Nivelačni bod MM3 -Ajaccio, výška 3.640 m pod MSL normální ortometrické Kuvajt Kuwait PWD MLLW - Kuwait City, 1.03m pod MSL ortometrické Nizozemí, Německo aj. Normaal Amsterdams Peil NAP MSL Amsterdams Peil, rok 1684 normální ortometrické Nová Kaledonie Nivellement General de Nouvelle Caledonie 1.885 m nad MSL ortometrické Nový Zéland New Zealand Vertical Datum 2009 NZVD2009 NZGeoid2009 normální ortometrické, elipsoidické Turecko Antalya MSL- Antalya, 1936-71 ortometrické Velká Británie Ordance Datum Newlyn ODN MSL - Newlyn ortometrické MSL- Mean Sea Level LAT - Lowest Astronomical Tide MLLW - Mean Low Low Water Nadmořská výšk; Jaké znáte výškové systémy na našem území? • Výškový systém baltský po vyrovnání (Bpv) - od roku 1957 • Výškový systém Jadranský (předtím) • Normall-Null (za války) Baltský systém má nulu výše nebo níže než Jadranský? Výše. výška v Jadranském = výška v Bpv + cca 0,38 až 0,42 m Nařízení 159/2023: 1. Evropský výškový referenční systém, zkratka názvu je EVRS, 2. Výškový systém baltský - po vyrovnání, zkratka názvu je Bpv, 3. Světový výškový referenční systém 1996, zkratka názvu je WGS84-EGM96, 4. Světový výškový referenční systém 2008, zkratka názvu je WGS84-EGM2008, • WGS 84 coby výškový systém 7 Nadmořská výš k Marigraf - „tide gauge", marigraph Terst Molo Sartorio, mareográf ('tengeríró') Sezione della cabina mareografica presso il Molo Sartorio Centralina di acquisizione e trasmissione dati via GPRS Piano del Molo Sartorio Nadmořská výšk; Nadmořská výšk; Amsterodam Použit pro EVRS, dříve i pro Normall-Null 10 Nadmořská výšk; Figure 6: Differences between EVRF2000 zero level and the zero levels of national height systems in Europe (in cm) Obr. 8 Rozdíl výšek EVRS (EVRF2007) - Bpv na územiČR v milimetrech EVRS má svou nulu níže než Bpv. Výšky v EVRS jsou vyšší než v Bpv. 11 Nadmořská výšk; Každý stát má blízko jiné moře. Definuje se proto celosvětový systém. Ne na základě moře, ale jako jednotný tíhový potenciál. VENEZUELA Rozdíly [cm] jsou vztaženy k ploše se zvoleným tíhovým potenciálem W0 = 62 636 856,0 m2 s2 BRAZIL 43 47 AHD ARGENTINA A + 32 ♦ 4 INDONESIA l l + 2 ♦ 132 URUOUAT 13 NAP TRIESTE jr 244 i 48 -56 I + 122 62 636 856.0 nťi GENOA f 45 CASCAIS -62 1 f NAVD88 MARSnniE << r -63 ALICANTE OOSTENDE I ČĹ Referenční plochy Rozdíly jsou vztaženy k ploše se zvoleným tíhovým potenciálem = ke geoidu. fyzický povrch Země geoid, kvazigeoid elipsoid, koule, rovina Tíhová síla - co to je? Na rovníku je odstředivá síla, na pólu ne. Gravitační síla působí všude. Výslednice je tíhová síla. Geoid = ekvipotenciální plocha zemského tíhového pole odpovídající střední hladině hypotetického zemského oceánu (Terminologický slovník V Ú GTK) 13 Referenční plochy geoid = ekvipotenciální plocha zemského tíhového pole odpovídající střední hladině hypotetického zemského oceánu. Tížnice je na něj kolmá. • Geoid je zvlněný, protože pohoří ovlivňuje potenciál. Je zvlněný méně než povrch Země, ale je to až 100 metrů. kvazigeoid = referenční plocha blízká ploše geoidu (max. odchylka 2 m) • prochází body vzdálenými od zemského povrchu o jejich normální výšky (odpočítávají se podle siločar tíhového pole), • na oceánech se s geoidem ztotožňuje, • lze jej určit bez znalosti hustotního rozložení v zemské kůře, • lze definovat na základě gravimetrických a geodetických měření na zemském povrchu. elipsoid = těleso popsané matematickým vztahem • Na elipsoidu se řeší geodetické úlohy, protože nahrazuje ve výpočtech zemské těleso. • Elipsoid se od geoidu (kvazigeoidu) může lišit i o 50 metrů. Referenční plochy H = h + š Bod P leží na zemském povrchu. Promítnutím P podle normály k elipsoidu vznikne bod Po. Promítnutím P podle tížnice (kolmice ke geoidu) vznikne bod Pi a P'o. H - elipsoidická výška h - výška bodu od hladinové plochy (geoid nebo kvazigeoid) Š - převýšení elipsoidu vůči geoidu (kvazigeoidu) 0 - tížnicová odchylka [„dzéta"] P normála k elipsoidu x tížnice! zemský povrch geoid elipsoid Elipsoidická výška x výška od hladinové plochy. Tak co je tedy nadmorská výška? 15 Referenční plochy Takže kvazigeoid je to, od čeho se většinou počítá „nadmořská výška". Ale lze snad říci i „od geoidu". 16 Referenční plochy ^^^^^^ • Nadmořská výška = vzdálenost bodu od střední hladiny moře měřená podél tížnice (Terminologický slovník VÚGTK) • Nad geoidem (kvazigeoidem) zjistíme po tížnici, jaká je nadmořská výška určitého objektu. • V místě, kde se normála protne s elipsoidem - to je poloha objektu. • Budeme se učit, jak z elipsoidu dostaneme polohu do plochy mapy. • Na mapách je uvedena nadmořská výška nad kvazigeoidem. • GPS ale často měří „elipsoidickou výšku" nad WGS 84. • Může tam být tedy odchylka - převýšení kvazigeoidu nad elipsoidem. 17 zemský povrch geoid elipsoid Lišov V jižních Čechách. Jeden ze základních bodů nivelační sítě Rakousko-Uherska. "Locus perennis" = věčné místo Byla mu stanovena výška a od něj se pak měřily všechny další. Od Jadranu 565,1483 m. n. m. Od Baltu 564,760 m. n. m. Přístroje měří od geoidu, ale přepočítává se hodnota tak, jako by byla od Baltu, resp. od Lišova. 18 Želešice V údolí Bobravy. Základní nivelační bod pro Moravu a Slezsko. Od Baltu 210,552 m. n. m. Referenční elipsoid elipsoid = těleso popsané matematickým vztahem • Na elipsoidu se řeší geodetické úlohy, nahrazuje ve výpočtech zemské těleso. K definici potřebujeme: a, b - velikost hlavní a vedlejší poloosy (semimajor axis, semiminor axis), a, e - velikost hlavní poloosy a numerická výstřednost (excentricita, eccentricity), a, e - velikost hlavní poloosy a druhá excentricita, a, f - velikost hlavní poloosy a zploštění (flattening). 20 Referenční elipsoid c Číselná excentricita e je podíl délkové excentricity a hlavní poloosy. Neplést s délkovou excentricitou s! Taje někdy nazývaná taky jako lineární a je to vzdálenost středu a ohniska elipsy. e<1 Čím je elipsa protáhlejší, tím je e bližší k 1. Co by se stalo, kdyby e=1? Co by se stalo, kdyby e=0? Na délkovou excentricitu ani nesedí vzorec. e2 = '2 e = 2 t 2 a -b 2 a a2-b2 b2 a-b b 21 Referenční elipsoid Parametry používaných referenčních elipsoidů v ČR: Elipsoid Besselův Krasovského WGS 84 (GRS 80) Velká poloosa a [m] 6 377 397,1550 6 378 245,000 6 378 137,000 Malá poloosa b [m] 6 356 078,9629 6 356 863,0188 6 356 752,3142 Druhá mocnina excentricity e2 0,006 674 372 2 0,006 693 421 6 0,006 694 380 Druhá mocnina druhé excentricity e'2 0,006 719 218 8 0,006 738 525 4 0,006 739 496 7 Reciproká hodnota zploštění 1/f 299,152 812 853 298,300 003 2 298,257 223 6 (GRS 80:298,257 222 1) GRS80 je součástí souřadnicového systému ETRS-89. Krasovského a WGS84 se moc neliší, ale Besselův je dost odlišný. Proč? • Je starší. Besselův 1841, Krasovského 1940. A WGS? • Besselův byl definován tak, aby co nejlépe dosedl na Evropu, např. na východní Sibiři byl již dost nepřesný. • Novější elipsoidy jsou definovány pro celý svět. 22 Koule Kdy se používá koule coby referenční plocha? • při tvorbě map malých měřítek, při vizualizaci digitálních dat s menšími nároky na minimalizaci zkreslení a při řešení jednodušších navigačních úloh. • při tzv. dvojitém zobrazení, kdy je referenční elipsoid nejprve zobrazen na kouli, která se poté zobrazuje do roviny = Křovák • tedy se používá i naopak při velmi přesném zobrazení! 23 Koule Nejen elipsoidy, ale i referenční koule mohou být různé. Území podél rovnoběžky: poloměr koule rovný příčnému poloměru R = NQ křivosti elipsoidu. • zachována délka rovnoběžky Území kruhového tvaru: poloměr koule rovný střednímu poloměru ^ _ ^Jm0No křivosti rovnoběžky cp0 procházející jeho tezistem. • tělesa se těsně přimykají Poloměr koule, aby měla podobný objem jako elipsoid: R = 6371 km. Po yS* / \ R=No f \ \\ \\ rovník | \ Po /^^^^ ^^^\ S \ \ \ s \ / \ R=MoNo \ \ \ \ \ \ / cpo/ \ rovník \ ' 1 \ \ i\ \\ \ \ \ \ \ \ \ N. \ S ---- V ---- i 1 i i / ; / / / / / / / / / poloměr křivosti - viz např. http://old.gis.zcu .cz/studium/mk2/multimedialni_texty/m^ 24 Referenční rovina Při tvorbě map z velmi malého území o poloměru zhruba do 20 km je možné pro polohová data uvažovat zakřivený povrch Země jako rovinu a pro zobrazování používat referenční rovinu: • vodorovné úhly jsou téměř stejné jako v rovině, • zkreslení délek, ploch a úhlů je minimální a zanedbatelné. Pro výšková měření je ale nutné zakřivení Země uvažovat. 25 SOUŘADNICOVÉ SOUSTAVY 26 Souřadnicové soustav m VBSňS&tÉĚSBi Musí být určeno: -výchozí bod - počátek soustavy -jednotka měření -směr přírůstku a úbytku hodnot - osy Elipsoid -zeměpisné souřadnice -měřeny od rovníku a základního poledníku Zeměpisná šířka = úhel mezi rovinou rovníku a spojnicí daného bodu a středu elipsoidu. Je definice správně? Ne. Elipsoid není koule, spojnici nelze vést ze středu. Zeměpisná šířka = úhel mezi rovinou rovníku a normálou v daném bodě. Zeměpisná délka = úhel mezi rovinou základního poledníku a normálou v daném bodě. Normála - čára kolmá na povrch elipsoidu - neprochází středem elipsoidu! 27 Souřadnicové soustav m VBSňS&tÉĚSBi zeměpisné souřadnice (geographic coordinate system) - zeměpisná (geodetická) šířka 9 (latitude) - zeměpisná (geodetická) délka X (longitude) rovník (equator) základní poledník (prime meridian) - Greenwich, nultý - Ferro: 17°40' západně od Greenwich normála důležité parametry: - meridiánový poloměr křivosti - M - příčný poloměr křivosti - N M = a(l - e2) 2 • 2 x3/2 (l-e sin (p) N = a (l-e2sin>)1/2 28 Souřadnicové soustavy - elipsoid Poloměr křivosti: • Elipsoid je pravidelný - v každém bodě P nám stačí křivost ve dvou směrech. • V bodě P existují dva extrémní normálové řezy (řez rovinou procházející normálou v bodě a kolmou na povrch elipsoidu). • Křivost těchto řezů je zde minimální a maximální, jsou to tzv hlavní křivosti. • meridiánový poloměr křivosti M -poloměr křivosti v poledníku • příčný poloměr křivosti N - poloměr křivosti v rovině kolmé na poledník = v rovnoběžce • Dalších normálových řezů je nekonečně mnoho, jejich křivosti jsou různé. Souřadnicové soustav v* příčný poloměr křivosti N - všechny normály jedné rovnoběžky se protínají v bodě ležícím na ose rotace Ps / Ncoscp \ Pí /\ / \ Mdcp M / p / VN 1 (P/\ Pj Elementy poledníku dsP a rovnoběžky dsr rovnoběžka q> ds = Mdcp dsr = /V cos cpclX 30 Výpočet délky poledníko rovnoběžkového oblouki &&&& V některých aplikacích matematické kartografie je nutné znát délku poledníkového oblouku (například v Gaussově zobrazení), případně i délku oblouku rovnoběžky. Délka poledníkového oblouku: = JMdcp 0 Po úpravě a rozvinutí v řadu podle binomické věty: sp=a(l-e2) f (1 -e2 sin2 ^)"3/2 dep o (l- + Csin Acp-Dsm 6

) ) c ry ry (l-e sin (p) ) Izometrické souřadnice na elipsoid q = ln Ig í V ^ + 45° 2 J e, l + esin<2? — In-— 2 l-esin<^ g = ln ( tg ^ + 45° V v v 1 - ď sin

180°, musí se použít doplněk do 360°, který podmínku splní, a to s opačným znaménkem. - např. místo 290° se dosadí -70°, místo -190° dosadíme 170° tarii40 = 71 tan(^+45°) 180° ln{-čh-) taní—+45°) v 2 ' Vzorec pro elipsoid i kouli 63 Loxodroma tan^40 = n tan(^+45°) 180° ln(-, je nutné hodnotu Ao opravit podle vzájemné polohy bodů A a B (resp. podle toho jakým směrem loxodromu počítáme). 64 Loxodroma Korekce se provádí následovně (A je výsledný azimut, E a F jsou body): A = A0 A = A0+180° A = A0+180° A = A0+360° Ao = 40° A -40° A0 = -40° A -140° 4)-40° A =220° A -320° Pokud počítám loxodromu ve směru z JZ na SV, pakAo = A. Pokud je směr loxodromy ze SZ na JV, pak se k zjištěnému Ao přičte 180( 65 Loxodroma 2. Délka loxodromy se nakonec vypočítá dosazením A do vztah rz tt dAB = —T * (