Kmity, vlny, optika 2004/2005 - zápočtové příklady, I. část
1.   Sestavte program, který najde a ve vhodné podobě vypíše do souboru časovou závislost výchylky tlumených anharmonických kmitů. Závislost vratné síly na výchylce má tvar Fv (x) = —kx(\ + ax2), závislost tlumící síly na rychlosti má tvar F0(x) = —ßx. Silové konstanty, hmotnost systému m a počáteční podmínky budou volitelné. Vyšetřete závislost chování systému na volitelných parametrech, zejména pro harmonické netlumené kmity, harmonické slabě tlumené kmity, harmonické kriticky tlumené kmity a kladné a záporné hodnoty anhar-monického parametru a.
2.   Jednoduchý seismometr se skládá z hmoty pověšené na pružině, připevněné k pevné kostře která je upevněna k zemi. Pohyb hmoty je kriticky tlumený. Zaznamenává se svislá výchylka hmoty vůči kostře. Ukažte, že naměřená amplituda ustélených kmitů, které jsou vyvolány svislou výchylkou H cos tot zemského povrchu, je dána vztahem A/H = [to / 2loo)[R{lo)]1/2 , kde ujq je úhlová frekvence vlastních kmitů hmoty, R(u>) = 72uj2/'[(uj2 — uj2)2 + 72^2] je odezvová funkce a 7 je útlumová konstanta.
3.   Určete vlastní frekvence a kmitové módy příčných kmitů soustavy na obrázku. Všechny kuličky mají hmotnost m a všechny pružiny příčnou tuhost k.
4. Struna délky L je napjata mezi pevnými body a vychýlena ze své rovnovážné polohy tak, jak je znázorněno na obrázku. V čase t = 0 strunu uvolníme. Najděte funkci u(x,t) popisující časový vývoj tvaru struny. Fázová rychlost vlnění ve struně je c. u
h—                             ^^
0                                L/2                            L
5. Pro tzv. gravitační vlny na hluboké vodě má disperzní vztah tvar u> = \fgk~. Ve vzdálenosti L = 100 km od břehu vypukla v čase to bouře. Za jak dlouhou dobu At dorazí ke břehu vlny s vlnovou délkou A = 20 m? Jaký je interval T mezi příchody dvou po sobě následujících hřebenů vln?