4. Úloha z radiometric
Zadání: Uran 23952u se rozpadá na thorium 239oTh s poločasem rozpadu T=7.108 let.
Sestrojte graf vyj adřuj ící úbytek atomů uranu v čase (tj. graf N/Nq ku času t), délku osy pro čas t volte blízkou pětinásobku poločasu rozpadu.
Vypočítejte dobu, za kterou se rozpadne 75% atomů uranu. Výpočet zkontrolujte v grafu.
Základy Geofyziky: cvičení, Brno 12.12.2005
4. Úloha z radiometric
Mezi počátečním počtem atomů uranu N0 a počtem zbývajících atomů Nt v čase t platí vztah:
vit
Nt=N0e
kde \ je rozpadová konstanta prvku, která souvisí s poločasem rozpadu T podle vztahu:
T_ ln2
/l
Základy Geofyziky: cvičení, Brno 12.12.2005
4. Úloha z radiometric
Máme sestrojit graf vyjadřující úbytek atomů uranu v čase (tj. graf Nt/N0 ku času t), vyjádříme si tedy vztah pro poměr Nt/N0:
Át                  -e
Nt=N0e-   N
0
Vypočteme hodnoty poměru Nt/N0 pro vhodně zvolené časy t tak, abychom mohli sestrojit požadovaný graf (krok na časové ose tedy volíme s ohledem na velikost poločasu rozpadu).
Základy Geofyziky: cvičení, Brno 12.12.2005
4. Úloha z radiometric
Pak sestrojíme graf:
0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0
0
N
N
t     n-& - = e
o
5E+08  1E+09 1.5E+09 2E+09 2.5E+09 3E+09 3.5E+09 4E+09
Základy Geofyziky: cvičení, Brno 12.12.2005
4. Úloha z radiometric
Dále máme vypočítat dobu, za kterou se rozpadne 75% atomů uranu - tj. máme vypočítat dobu, za kterou v systému zůstane zachováno 25% původních atomů uranu (totiž 100% - 75%). Předpokládáme-li, že v čase t=0 je v systému množství atomů odpovídající 100% (tj. N0=100%), pak v hledaném čase t=x, zůstane jen 25% původního množství atomů (tj. Nt=25%) a vzájemný poměr Nt/N0 je pak roven 25%/100%, což je 0.25. Dosazením do vztahu pro závislost poměru Nt/N0 na čase tak získáme vztah, ve kterém bude jedinou neznámou čas t.
-^ = e"At -^ = (1-0.75) = 0.25 = e"At N0             N0
Základy Geofyziky: cvičení, Brno 12.12.2005
4. Úloha z radiometric
Získanou rovnici o jedné neznámé pak snadno vyřešíme
N'=e-*    N
N
o
N
L = (1-0.75) = 0.25 = e
-M
0
0.25 = eÁt o ln(0.25) = -At o t =
ln(0.25)
-Á
t = 1.4.109/er
0    5E+08  1E+09 1.5E+09 2E+09 2.5E+09 3E+09 3.5E+09 4E+09
Základy Geofyziky: cvičení, Brno 12.12.2005
4. Úloha z radiometric
V grafu pak zkontrolujeme, zda poměr Nt/N0 odpovídající hodnotě 0.25 je skutečně dosažen při t=l,4 . 109 let:
0.25 = e"A ^> ln(0.25) = -fa ^> t =
N.
N
= e
-a
o
ln(0.25)
-Á
0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0
	
\	
\	t — 1 4 \09let
\	L            !•"• 1 v     l/iĹsl
\	
N	
	"*\^
I                                             I	i               i                i               i                i
0           5E+08      1E+09     1,5E+09    2E+09    2,5E+09    3E+09    3,5E+09    4E+09
Základy Geofyziky: cvičení, Brno 12.12.2005