1 Infímum, suprémum
1. 1.vlastnosť je splnená, lebo: ^TTT = 1 + ^TT > 1 V I G i?
2.vlastnosť je: ak y splna 1. vlastnost, potom y < 1. Dokážeme sporom:
Nech y spĺňa 1.vlastnosť a y > 1. Potom
1 + -r-- >y^xeR
x2
+ 1
l-y>-^--VxeR
x2
+ 1
Předělíme 1 -- y a znamienko sa zmení na opačné, lebo y > 1:
x2
+ 1 < -- VIG R
-v
9 1
X2
< -IVxeR
Výraz napravo je kladný, môžeme odmocnit:
x < J IVxe R
V y - 1
Toto má platiť pre všetky x, dosaďme za x číslo 100 + J-zr -- 1:
100+
V^T- l ž
Í^T -l
100 < o
To je zjavný spor.
2 Limity
Limity funkcií:
i m
n
y-i
2
- m~n (Využijeme, žesm
-tm
= (s - t){sm
-1
+ sm
~H + ... +
sfm-2 _|_^m-l^ p r i č o m s = (]_ _|_ ax)TM,t = 1.)
Limity postupností:
1. - 1
2 !2v^
3. 2 (Použijeme vzorec pre súčet členov geometrickej postup­
nosti.)
4. 0 (Ohraničíme zhora postupnosťou napr. bn = 2(|)n
~2
,
ktorej limita je nula.)
Ďalšie limity:
1. 0 (0 < f ^ j < | pre x > 7 a (|)x
má limitu nula.)
2. oo (ffzj > | pre a: > --7 a (|)x
má limitu nekonečno.)
3. e3
2