4 Body nespojitosti
1. odstrániteľný (lim = 0) 2. 2.druhu ( lim = oo) 3. 1.druhu (lim = 0, lim = 1)
x^O x^f--1 x ^ l + x ^ l _
4. 1.druhu (lim = 1, lim = -- 1)
v
x ^ 0 + x ^ 0 _ '
5 Bolzanova veta
1. x = 0 : x5
+ xA
+ x2,
+ x2
-- x -- 1 = -- 1, x = 1 : x5
+ xA
+ x2,
+ x2
-- x -- 1 =
2, --1 < 0 < 2 a polynom je spojitá funkcia, takže existencia koreňa vyplýva z
B.vety.
2. rr = 0 : x -- cosrr = --l,x = TT : x -- cosrr = 7r + 1, -- l < 0 < 7 r + laaľ -- cosrr
je spojitá, takže z B.vety vyplýva, že existuje x G (0,7r) také, že x -- cosrr = 0.
3. Nech f(Xí) < f(x2) < ... < /(a;n).Potom /(an) < (f(Xl) + ... + f(xn)) <
f{xn), takže z B. vety 3c G (rci, xn) : f (c) = \{f{x\) + ... + f{xn)).
6 Derivácia funkcie
1. (v^)' = lim ^ ^ = lim (f-vg)(y^+vy) = l i m
v V y / x ^ y x - y x ^ y (x-yXvx
+VŽŽ) x-->y
\r - HTM cosx-cosy _ K _ - 2 s i n ( ^ ) s i n ( ^ ) _ , . _ . (x+y , s i n ( ^ )
x ^ y x - y x ^ y (a;-y)(A/x+A /y) x ^ y A/^+A/ŽŽ 2,/y
2. (cos z)' = limcosx
-cos?/
= lim " 2 s i n (
^ ) s i n ( j ? )
= lim - s i n ( ^ ) ^ F = - s i n y
V ) x ^ y x-y x ^ y x - y x ^ y v
2 > --  - y2
n-tá derivácia:
1. (y/iý") = (-1)-' 1 3
-5
-2 f-3 )
x-^ 2. (jf )W
= 2 ^ 4 ^'(1-x)*
Rovnica dotyčnie a normály ku grafu funkcie:
1. Dotyčnica: y = x Normála: y = 2 -- x 2. Dotyčnica: y = 0 Normála: IE = 0
Derivovanie:
1. (I^iy = 1 pre x > 0, = -- 1 pre  < 0 a nie je definovaná pre x = 0
a r c t a l l
2 x + l Ď - 2 ^/a r c t a n -hJ__f l+(fti_)2
(2x+l)2 Z G
( 2'°)
3. (v/1+C
2S2x
)/ =
~~ s m a ľ
Pr e
^ také, že cos a: > 0,= sin a: pre x také, že cos a: < 0
a nie je definovaná ak cos x = 0
4. (ln(ex
+ y/l + e2x
))'
Hľadanie funkcie:
Vl+e2x
1. napr. Dirichletova funkcia 2. napr. /(x) = ax pre x > 0, /(x) = 6x pre x < 0