Domácí úlohy ke cvičení č. 7
1. V každé z následujících úloh je dáno číselné těleso (T, +, ), množina V,
binární operace  : V × V  V a vnější operace : T × V  V.
Pokaždé rozhodněte, zda potom (V, , ) tvoří vektorový prostor nad
tělesem (T, +, ).
a) Je dáno těleso (Q, +, ) racionálních čísel, množina QN×N
všech
zobrazení  : N × N  Q, binární operace  je definována pro
libovolná zobrazení ,  : N × N  Q předpisem
(m, n  N) (  )(m, n) = (m, n) + (m, n)
a vnější operace je definována pro každé q  Q a pro každé
zobrazení  : N × N  Q předpisem
(m, n  N) (q )(m, n) = q(m, n) .
b) Je dáno těleso (Q, +, ) racionálních čísel, množina C všech kom-
plexních čísel, binární operace  je obvyklým sčítáním komplex-
ních čísel a vnější operace je definována pro každé q  Q
a každé z  C předpisem
q z =
0 pro q = 0,
q-1
z pro q = 0.
c) Je dáno těleso (R, +, ) reálných čísel, množina R+
všech kladných
reálných čísel, binární operace  je definována předpisem
(s, t  R+
)(s  t = st)
a vnější operace je definována předpisem
(r  R)(s  R+
)(r s = sr
).
d) Je dáno těleso (R, +, ) reálných čísel, množina RR
všech zobra-
zení  : R  R, binární operace  je definována pro libovolná
zobrazení ,  : R  R předpisem
(x  R) (  )(x) = (x) + (x)
a vnější operace je definována pro každé r  R a pro každé
zobrazení  : R  R předpisem
(x  R) (r )(x) = -r(x) .
1
e) Je dáno těleso (C, +, ) komplexních čísel, množina CC
všech zob-
razení  : C  C, binární operace  je definována pro libovolná
zobrazení ,  : C  C předpisem
(z  C) (  )(z) = (z) + (z)
a vnější operace je definována pro každé c  C a pro každé
zobrazení  : C  C předpisem
(z  C) (c )(z) = c(z) .
2. O každé z následujících podmnožin W  R 0,1
rozhodněte, zda se
jedná o podprostor vektorového prostoru (R 0,1
, +, ) nad tělesem reál-
ných čísel (R, +, ) definovaného na přednášce v kapitole o vektorových
prostorech.
a) W = f : 0, 1  R | (n  N) f( 1
2n ) = 0 .
b) W = f : 0, 1  R | f(0)  f(1
4
)  f(1
2
)  f(3
4
)  f(1) = 0 .
c) W = f : 0, 1  R | (r  R)(x  0, 1 )(f(x)  r) .
d) W = f : 0, 1  R | (n  N)(x  0, 1 )(|f(x)|  n) .
e) W = f : 0, 1  R | (x  0, 1
2
)(f(x)  f(1 - x)) .
f) W = f : 0, 1  R | (x  0, 1 )(f(x) = -f(1 - x)) .
g) W = f : 0, 1  R | {x  0, 1 | f(x) = 0} je nekonečná .
h) W = f : 0, 1  R | g  R[x] (x  0, 1 )(f(x) = g(x)) .
i) W = f : 0, 1  R | x  1
4
, 3
4
(f(x) = 0) .
j) W = f : 0, 1  R | (r  (0, 1))(x  r, 1 )(f(r)  f(x)) .
2