Domácí úlohy ke cvičení č. 8
1. V každé z následujících úloh je dán vektorový prostor (V, +, ) nad
tělesem (T, +, ) a podprostory P, Q  V. Pokaždé potom rozhodněte,
zda součet P + Q těchto podprostorů je přímým součtem a zda platí,
že P + Q = V.
a) Je dán vektorový prostor (R2n+1
, +, ) nad tělesem (R, +, ), kde
n > 0, a jeho podprostory
P = {(r1, r2 . . . , r2n+1) | r1 = r3 =    = r2n-1 = r2n+1},
Q = {(r1, r2 . . . , r2n+1) | r1 = 0 = r2 = r4 =    = r2n-2 = r2n}.
b) Je dán vektorový prostor (Cn
, +, ) nad tělesem (R, +, ), kde n > 0,
a jeho podprostory
P = Rn
, Q = (iR)n
,
kde iR = {ir | r  R}.
c) Je dán vektorový prostor (R2n
, +, ) nad tělesem (R, +, ), kde
n > 1, a jeho podprostory
P = {(r1, r2 . . . , r2n) | r1 = r3 =    = r2n-1, r2 = r4 =    = r2n},
Q = {(r1, r2 . . . , r2n) | r1 = r2, r3 = r4, . . . , r2n-1 = r2n}.
d) Je dán vektorový prostor (R2n-1
, +, ) nad tělesem (R, +, ), kde
n > 1, a jeho podprostory
P = (1, 0, 1, 0, 1, . . . , 1, 0, 1), (0, 1, 0, 0, 0, . . . , 0, 0, 0),
(0, 0, 0, 1, 0, . . . , 0, 0, 0), . . . , (0, 0, 0, 0, 0 . . . , 0, 1, 0) ,
Q = (0, 1, 0, 1, 0, . . . , 0, 1, 0), (1, 0, 0, 0, 0, . . . , 0, 0, 0),
(0, 0, 1, 0, 0, . . . , 0, 0, 0), . . . , (0, 0, 0, 0, 0, . . . , 0, 0, 1) .
e) Je dán vektorový prostor (Cn
, +, ) nad tělesem (R, +, ), kde n > 0,
a jeho podprostory
P = (1 + i, 0, 0, . . . , 0), (0, 1 + i, 0, . . . , 0), . . .
. . . , (0, . . . , 0, 1 + i, 0), (0, . . . , 0, 0, 1 + i) ,
Q = (1 - i, 0, 0, . . . , 0), (0, 1 - i, 0, . . . , 0), . . .
. . . , (0, . . . , 0, 1 - i, 0), (0, . . . , 0, 0, 1 - i) .
f) Je dán vektorový prostor (R 0,1
, +, ) nad tělesem (R, +, ) a jeho
podprostory
P = {f : 0, 1  R | f(0) = f(1) = 0},
Q = {f : 0, 1  R | f je lineární funkce}.
1
g) Je dán vektorový prostor (R 0,1
, +, ) nad tělesem (R, +, ) a jeho
podprostory
P = {f : 0, 1  R | (x  0, 1 )(f(1 - x) = f(x))},
Q = {f : 0, 1  R | (x  0, 1 )(f(1 - x) = -f(x))}.
2. V každé z následujících úloh jsou dána tři zobrazení f, g, h : R  R.
Pokaždé rozhodněte, zda se jedná o lineárně nezávislé vektory ve vek-
torovém prostoru (RR
, +, ) nad tělesem (R, +, ).
a) f(x) = sin x, g(x) = cos x, h(x) = sin(x + 
4
).
b) f(x) = x, g(x) = x2
, h(x) = x3
.
c) f(x) = sin x, g(x) = cos x, h(x) = ex
.
d) f(x) = sin2 x
2
, g(x) = cos2 x
2
, h(x) = cos x.
e) f(x) =

1 + x2, g(x) = 1 + |x|
2
, h(x) = 1 + |x|.
f) f(x) = sin x, g(x) = cos x, h(x) = sin 2x.
g) f(x) = 1, g(x) = cos x, h(x) = sin2 x
2
.
h) f(x) = 1 + 2x + 3x2
, g(x) = 1 + 3x + 5x2
, h(x) = 1 + 5x + 9x2
.
i) f(x) =
3

x2, g(x) =
4

x2, h(x) =
6

x2.
j) f(x) = x2
- 3, g(x) = (x + 1)2
, h(x) = x2
- x - 5.
2