MASARYKOVA UNIVERZITA • PRÍRODOVEDECKÁ FAKULTA Jaroslav Michálek Zuzana Hrdličková David Hampel SBÍRKA ÚLOH Z PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY PRO DISTANČNÍ STUDIUM BRNO 2004 preprint Obsah 1 Kombinatorika 3 2 Klasická pravděpodobnost 8 3 Podmíněná pravděpodobnost a nezávislost 14 4 Geometrická pravděpodobnost 18 5 Náhodné veličiny 20 6 Číselné charakteristiky 28 7 Náhodné vektory 38 8 Marginální a podmíněná rozdělení 42 9 Charakteristická funkce 44 10 Zákon velkých čísel 46 11 Statistika 48 1 Označení Dále budeme značit N(/i, a2) normální rozdělení s parametry /j, a a Ro(a, b) rovnoměrné rozdělení na intervalu (a, b), tj. s parametry a, b Ex(A) exponenciální rozdělení s parametrem A X2(n) Pearsonovo x2 rozdělení o n stupních volnosti t(n) Studentovo t rozdělení o n stupních volnosti F(ni,n2) Fisher-Snedecorovo F rozdělení o n\ a n2 stupních volnosti A(9) alternativní rozdělení s parametrem 9 Bi(n, 6) binomické rozdělení s parametry na9 Po(A) Poissonovo rozdělení s parametrem A G(9) geometrické rozdělení s parametrem 9 Zb(n, 9) záporně binomické rozdělení s parametry na9 N = {1,2,...} množina všech přirozených čísel N0 = {0,1,2,...} množina všech přirozených čísel včetně nuly Z = {..., —2, —1,0,1, 2,...} množina všech celých čísel R = (—00,00) množina všech reálných čísel Ostatní značení odpovídají zápisům běžně užívaných v literatuře. 2 Kapitola 1 Kombinatorika Nejdříve připomeneme základní pojmy. Počet uspořádaných dvojic: Ze dvou konečných množin A = {ai}..., am}, B = {b\,..., bn} vybíráme uspořádané dvojice typu [ai, bk], kde ai E A,bi E B. Všechny možné dvojice sestavíme do tabulky tak, že dvojice [ai, bk] bude v /-tém řádku a fc-tém sloupci. Každá dvojice bude v tabulce zapsána právě jednou, tedy počet uspořádaných dvojic z m a n prvkových množin je mn. Počet uspořádaných fc-tic: Nyní přejděme ke k množinám A, B ..., X, jejich počet prvků bude po řadě ri\,..., nk. Z těchto množin vybíráme uspořádanou fc-tici prvků [clí, bj,..., x{\ tak, že a» E A, bj E B,... ,xi E X. Pokud bychom uvažovali pouze 3 množiny, vezmeme všechny uspořádané dvojice z prvních dvou množin za prvky nové množiny. Z předchozího víme, že má tato množina n\n2 prvků. Nyní tedy můžeme pohlížet na trojici [a,b, c] jako na dvojici [[a,6],c]. Zřejmě má nin2n3 prvků. Matematickou indukcí pak zjistíme, že z k množin, kde i-tk má rií prvků, i = 1,..., k, můžeme vytvořit ri\ x • • • x rik uspořádaných fc-tic. Variace: Je dán n prvkový základní soubor A = {ai}..., an}. Libovolnou uspořádanou fc-tici [ajl,..., ajk], ajľ E A,... ,ajk E A budeme nazývat uspořádaný výběr rozsahu k ze základního souboru. Počet všech takových výběrů bude zřejmě záležet na tom, zda se prvky v fc-tici mohou, nebo nemohou opakovat. Když se prvky v uspořádaném výběru nemohou opakovat, tvoří tento uspořádaný výběr variaci bez opakování k-té třídy z n prvků. Když se mohou opakovat, tvoří uspořádaný výběr variaci s opakováním k-té třídy z n prvků. Počet variací bez opakování: Předpokládejme, že n > k. Pak první prvek výběru může být vybrán z n možných prvků základního souboru, druhý už pouze z n — 1 prvků atd. Variace bez opakování tedy odpovídá uspořádané fc-tici vybrané postupně z množin rozsahu n\ = n, n2 = n—l,...,nk = n — k + 1. Tedy počet variací bez opakování je (n)k = n(n — 1) • • • (n — k + 1). Zřejmě (n)k = 0 pro k > n. Pro x E R klademe (x)k = x(x — 1) x • • • x (x — k + 1). 3 Počet permutací bez opakování Pokud n = k udávají variace bez opakování počet všech uspořádání n prvkové množiny a nazývají se permutace. Počet permutací je (n)n = n(n — 1) • • • 1 = n\. Klademe 0! = 1. Počet variací s opakováním: Jak bylo řečeno, pokud se prvky ze základního souboru mohou v uspořádaném výběru opakovat, mluvíme o variaci s opakováním (uspořádaném výběru s opakováním). Každý prvek výběru rozsahu k volíme z n prvků základního souboru. Variace s opakováním tedy odpovídá uspořádané k-tici, když ri\ = ... = rik = n. Proto je počet variací s opakováním k-té třídy z n prvků roven nk. Kombinace: Nyní budeme před předpokládat, ze z n prvkového základního souboru A = {ai}..., an} vybíráme fc-prvkový soubor, přičemž na uspořádání prvků ve výběru nezáleží. Libovolný takový vybraný soubor nazýváme kombinací k-té třídy z n prvků. Pokud se prvky v kombinaci nemohou opakovat, mluvíme o kombinaci bez opakování, v opačném případě o kombinaci s opakováním. Kombinace k-té třídy z n prvků tedy odpovídají neuspořádanému výběru rozsahu k z n prvkového základního souboru. Počet kombinací bez opakování: Předpokládejme nejdříve, že se prvky v neuspořádaném výběru nemohou opakovat. Prvky každého takového výběru mohou být uspořádány k\ způsoby. Z předchozího víme, že počet všech variací bez opakování je (n)k. Tedy pokud počet všech kombinací bez opakování rozsahu k z n prvků označíme x, pak xk\ = (n)k. Odtud x = ^f1 = ,n™Lm = (™) pro k < r. Klademe Q = 0 pro k > n a Q = ^proxGR. Počet kombinací s opakováním: Kombinací s opakováním rozumíme neuspořádaný výběr k prvků, které vybíráme z n-prvkové základní množiny tak, že se vybírané prvky mohou opakovat (a na pořadí vybraných prvků nezáleží). Jejich počet odpovídá počtu všech rozkladů čísla k na součet k\ + k2 + • • • + kn, kde ki > Oje počet výskytů i-tého prvku základního souboru ve vybraném souboru, i = 1,... ,n. Libovolnou kombinaci s opakováním můžeme zapsat pomocí posloupnosti „*" a „|". Např. kombinace s opakováním ze základní množiny M = {ai,a2, a3} může být tvořena prvky aí} a3, aí} a\. Tuto kombinaci z opakováním, kdy prvek a\ byl vybrán třikrát, prvek a2 nebyl vybrán a prvek a3 byl vybrán právě jednou, lze znázornit pomocí posloupnosti symbolů „*" a „|" typu | * * * || * |. Přičemž počet „*" mezi sousedními prvky typu „|" chápeme jako počet prvků v přihrádce, vymezené dvěma následnými symboly „|" (tzv. hranice přihrádek). Když v dané posloupnosti uvedených symbolů nepočítáme pevné krajní hranice přihrádek, je délka takové posloupnosti k + (n — 1) (k-krát je obsažena „*" a (n — l)-krát je obsažena hranice přihrádky „|"). Protože umístěním hranic přihrádek „|" na místa této posloupnosti jednoznačně určíme jednu z možných kombinací s opakováním, odpovídá počet kombinací s opakováním počtu všech rozmístění (n—1) hranic přihrádek „|" na vybraná místa po- 4 sloupnosti délky k+ (n—1). Rozmístění tedy můžeme popsat jako neuspořádaný výběr rozsahu n — 1 hranic přihrádek „|" z množiny n + k — 1 pozic. Tedy počet všech kombinací s opakováním je roven ^J^1). Počet permutací s opakováním: Nyní hledáme počet způsobů, jakými může být rozděleno n prvků základní množiny do k množin, kde první má rii, druhá n2 a poslední nk prvků. Předpokládáme, že má být rozděleno všech n prvků základní množiny, tj. n = ri\ + • • • + nk. Nejprve vybereme do první množiny ri\ prvků ze základní množiny, n2 prvků pro druhou množinu vybíráme už pouze ze zbylých n — ni prvků základní množiny, atd. Po výběru do (k — l)-vé množiny už zbývá pouze nk prvků pro výběr do k-té množiny. Tedy počet všech těchto rozmístění je n\ín- nA ín-nx- n2\ ín-nx- ■ ■ ■ - ri(k-i) ni) \ n2 J\ n3 J \ nk Po rozepsání kombinačních čísel a úpravě dostáváme, že počet těchto rozmístění je ni\n2\.. .nk\ Toto číslo udává počet uspořádání n prvkové množiny, kde je ri\ stejných prvků typu 1, ..., nk stejných prvků typu k. Taková uspořádání se nazývají permutace s opakováním. Příklad 1.1. Dokažte, že pro libovolné x E R a libovolné r G N platí x \ fx\ f x + r Příklad 1.2. Dokažte, že pro libovolné celé číslo a a libovolné t E (—1,1) platí (i+tr = i + Qí+Qí2 + Qí3 + .... (1.2) Příklad 1.3. Dokažte, že pro přirozené n > 2 platí :)+<;!)+<3')+■■■ = ■*"• 2'1|")+3'2(°)+4'3(4)+- = "(""D2""2- [V důkaze použijte rovnost 1.2.] 5 Příklad 1.4. Dokažte, že pro libovolná n E N, k E N platí n\ fn\ fn\fn — l\ fn\fn — 2\ , ^kfn\fn — k ... + (_1)M" " 'M =0. Tento vztah je zvláštním případem obecnejší rovnosti Š(:;)(i::)-(i)(i+ř)t Příklad 1.5. Pro libovolné a > 0 [Při důkazu využijte vlastnost geometrické řady: J2 xk = (1 — x) l, pro x E fc=0 (-1,1).] Příklad 1.6. Dokažte, že 2B>\2a, = (-l)"í~1/2 n J \ n Příklad 1.7. Dokažte, že pro nezáporná celá čísla nar a libovolné reálné číslo a platí Y^ fa — íA /a + 1\ /a — n L,{ r ) = {r + l)~{r+l [Při důkazu využijte rovnost (1.1). Dokazovaný vztah je často užíván při n = a.] Příklad 1.8. Dokažte, že pro libovolné a a přirozené n > 0 platí £(-!)"(<;) = (-ir(a;:). (u) [Při důkazu využijte rovnost 1.1.] Příklad 1.9. Pro přirozená čísla rak platí ^ fu + k-l\ _ fr + k ^ I k-l J V fc a) Dokažte toto tvrzení pomocí rovnosti 1.1. b) Dokažte, že toto tvrzení je zvláštním případem 1.3. Příklad 1.10. Matematickou indukcí dokažte, že pro přirozená čísla a,ban platí öo-o^o—ö(ö=(°r> ™ [Tvrzení nejprve dokažte pro a = 1 a b libovolné.] Příklad 1.11. Pomocí rovnosti (1.4) dokažte, že (ö,+ö,+(ö,+-+c),=ö- Příklad 1.12. Kolik iniciál je možno vytvořit, pokud každý člověk má jednu rodinu a a) právě dvě jména, b) ne více jak dvě jména, c) ne více jak tři jména? [Česká abeceda má 34 písmen.] Příklad 1.13. Kolika způsoby mohou být postaveny na šachovnici dvě věže různé barvy tak, aby jedna mohla vzít druhou? Příklad 1.14. V Morseove abecedě zastupují písmena posloupnosti symbolů čárek a teček s různým počtem opakování. Kolik takových písmen tvořených posloupností těchto dvou symbolů délky nejvýše 10 je možno vytvořit? Příklad 1.15. Každá kostka domina je označena dvěma čísly. Kostky jsou symetrické, tak že čísla ve dvojicích nejsou uspořádána. Kolik je možno vytvořit různých kostek používajících čísla 1, 2,..., ni 7 Kapitola 2 Klasická pravděpodobnost Příklad 2.1. Čísla 1,2,..., n jsou náhodně uspořádána. Určete pravděpodobnost toho, že čísla a) 1 a 2, b) 1, 2 a 3 jsou uspořádána hned vedle sebe v uvedeném pořádku. Příklad 2.2. Určete pravděpodobnost toho, že ve výběru s opakováním mezi třemi náhodně vybranými číslicemi a) všechny 3 číslice budou shodné, b) právě 2 číslice budou shodné, c) žádné 2 číslice nebudou shodné. Řešte podobnou úlohu pro výběr čtyř cifer. Příklad 2.3. Hráč A háže šesti hracími kostkami a vyhraje, pokud padne alespoň jedna jednička. Hráč B háže dvěmi hracími kostkami a vyhrává, pokud padnou alespoň dvě jedničky. Kdo má větší pravděpodobnost výhry? Příklad 2.4. Najděte pravděpodobnost toho, že mezi k náhodně vybranými číslicemi nebudou žádné dvě stejné. Příklad 2.5. Jaká je pravděpodobnost toho, že mezi k náhodně vybranými číslicemi a) se nevyskytne 0, b) se nevyskytne 1, c) se nevyskytne 0 ani 1, d) se nevyskytne jedna ze dvou číslic 0 a 1? Nechť Aa B značí jevy v a) a v b). Vyjádřete ostatní jevy pomocí A a B. 8 Příklad 2.6. Určete pravděpodobnost toho, že při náhodném rozmístění n koulí do n přihrádek bude právě jedna přihrádka prázdná. Příklad 2.7. Na parkovišti je vedle sebe v jedné řadě 12 míst. Někdo poznamenal, že na parkovišti se nachází osm automobilů a že čtyři volná místa jsou vedle sebe. Odpovídá takové rozdělení čtyř volných míst náhodnému obsazování míst? Příklad 2.8. Osoba dostala n klíčů, z nichž právě jeden patřil k jejím dveřím. Zkouší je postupně. Nalezněte pravděpodobnost, že správný klíč najde teprve při fc-tém pokusu, k = 1, 2,..., n. Ukažte, že tato pravděpodobnost nezávisí na k a je rovna -. n Příklad 2.9. Každá z n tyčí je rozlomena na dvě části - dlouhou a krátkou. Pak se 2n získaných dílů spojí v n párů tvořících nové „tyče". Jaká je pravděpodobnost, a) že se všechny díly spojí v počátečním pořádku, b) že všechny dlouhé díly se spojí s krátkými? Příklad 2.10. Jeden profesor Cornellovy univerzity dostal dvanáctkrát pokutu za nezákonné noční parkování auta, přičemž všechna pokutování proběhla buď v úterý nebo ve čtvrtek. Najděte pravděpodobnost tohoto jevu. Je předpoklad, že policie kontroluje parkování vždy jeden náhodně vybraný den v týdnu, reálný? Příklad 2.11. Pokračování příkladu 2.10. Ani jednu pokutu z dvanácti profesor nedostal v neděli. Odpovídá to hypotéze náhodnosti? Příklad 2.12. Bedna obsahuje 90 dobrých a 10 vadných součástek. Určete pravděpodobnost toho, že mezi 10 vybranými součástkami není žádná vadná. Příklad 2.13. Ze souboru pěti symbolů a, b, c, d, e se provede uspořádaný výběr s opakováním rozsahu 25. Stanovte pravděpodobnost toho, že tento výběru bude obsahovat pět symbolů každého druhu. Příklad 2.14. Ve výtahu, který zastavuje v n poschodích, n > k, je na začátku k osob. Jaká je pravděpodobnost p toho, že žádné dvě osoby nevystoupí ve stejném poschodí, když předpokládáme, že osoba volí poschodí, v němž vystoupí náhodně a nezávisle na ostatních osobách. Příklad 2.15. Narozeniny k lidí představují výběr s opakováním rozsahu k ze souboru všech dnů v roce. Roky nemají stejnou délku, a víme, že porodnost během roku nezůstává stálá. Nicméně v prvním přiblížení je možné předpokládat, že v roce je 365 dnů a uvažovat náhodný výběr lidí místo náhodného výběru dnů narozenin. Při těchto předpokladech určete pravděpodobnost toho, že všech k dnů narozenin je v různých dnech. 9 Příklad 2.16. Při bridži obdrží hráč 13, při pokru 5 z 52 hracích karet. Určete pravděpodobnost toho, že hráč a) bridže b) pokru dostane karty různých hodnot (barvy karet se mohou shodovat). Příklad 2.17. Uvažujme rozmístění k koulí do n osudí. Určete pravděpodobnost toho, že předem vybrané osudí obsahuje právě r koulí. Příklad 2.18. Při bridži je všech 52 hracích karet rozděleno čtyřem hráčům. Stanovte pravděpodobnost, že každý hráč dostane jedno eso. Příklad 2.19. (Odhad velikosti populace) Předpokládejme, že z rybníku bylo vyloveno tisíc ryb, které byly následně označeny barvou a vypuštěny zpět. Při dalším odlovu tisíce ryb se ukázalo, že sto z nich bylo označených. Z pozorovaného výsledku odhadněte nejpravděpodobnější velikost populace ryb v rybníku. Příklad 2.20. Z 52 hracích karet náhodně vybereme 13 karet. Stanovte pravděpodobnost, že mezi těmito kartami bude 5 4, 4 X, 3 0 a 1 9. Příklad 2.21. Z osudí obsahující koule s čísly 1, 2,..., N fc-krát vytáhneme kouli a pokaždé ji a) vrátíme zpět, b) nevrátíme zpět. Najděte pravděpodobnost toho, že čísla vytažených koulí tvoří rostoucí posloupnost. Příklad 2.22. Technická kontrola prověřuje výrobky ze sady skládající se z m výrobků prvního druhu a n výrobků druhého druhu. Zkouška prvních b výrobků (b < n) náhodně vybraných ze sady ukázala, že všechny byly druhého druhu. Určete pravděpodobnost toho, že mezi dalšími dvěma výrobky vybranými z dosud neprověřených nejvýše jeden výrobek bude druhého druhu. Příklad 2.23. Z balíčku 52 karet náhodně vybereme 6 karet. Určete pravděpodobnost toho, že mezi těmito kartami budou zástupci všech čtyřech barev. Příklad 2.24. Skupina se skládá z 5 mužů a 10 žen. Určete pravděpodobnost toho, že při jejich náhodném rozdělení do 5 skupin po třech lidech bude v každé skupině muž. Příklad 2.25. Je dána posloupnost čísel 1, 2,..., n a pevně dané číslo z množiny {1, 2,..., n). Určete pravděpodobnost toho, že mezi dvěma čísly vybranými náhodně z této posloupnosti bude jedno menší a druhé větší než k. 10 Příklad 2.26. Dvacet lidí, mezi kterými je 10 mužů a 10 žen, je náhodně seskupeno do dvojic. Určete pravděpodobnost toho, že každou z 10 dvojic tvoří osoby opačného pohlaví. Příklad 2.27. Házíme n hracích kostek. Určete pravděpodobnost toho, že padne ri\ jedniček, ..., n6 šestek, ri\ + n2 + ... + ne = n. Příklad 2.28. Devět cestujících náhodně nastoupí do tří vagónů. Každý cestující zvolí vagón náhodně a nezávisle na ostatních cestujících. Jaká j e pravděpodobnost toho, že a) v každém vagóně sedí 3 cestující, b) v jednom vagóně sedí 4, v druhém 3 a ve třetím 2 cestující? Příklad 2.29. Házíme n hracích kostek. Určete pravděpodobnost toho, že získaný součet ok je roven a) n, b) n + 1, c) danému číslu s. Příklad 2.30. Z posloupnosti čísel 1,2,... ,n náhodně vybereme k čísel. Určete pravděpodobnost, že a) všechna vybraná čísla budou dělitelná daným číslem q, b) každé z těchto čísel bude dělitelné právě jedním ze dvou nesoudělných čísel Příklad 2.31. Posloupnost čísel 1, 2,..., An náhodně rozdělíme na dvě stejné množiny. Určete pravděpodobnost toho, že a) v každé množině bude stejný počet sudých a lichých čísel, b) všechna čísla dělitelná n budou v jedné množině, c) čísla dělitelná n budou rovnoměrně rozdělena do obou skupin. Příklad 2.32. Co pravděpodobněji vybereme z osudí s n koulemi, sudý nebo lichý počet koulí, když každý výběr k koulí je stejně možný? Příklad 2.33. V nádobě je N lístků s různými čísly. Z nádoby vybereme m krát po n lístcích a pokaždé je vrátíme zpět. Určete pravděpodobnost toho, že a) k lístků se ve výběru nevyskytne, b) všechny lístky se ve výběru vyskytnou. Příklad 2.34. Z posloupnosti čísel 1, 2,..., n je náhodně vybráno k čísel: x\ < x2 < ■ ■ ■ < Xk. Jaká je pravděpodobnost, že xm = Ml 11 Příklad 2.35. Soubor se skládá z N výrobků, ze nichž n je podrobeno zkoušce kvality. Soubor je přijat, pokud mezi těmito n výrobky bude odhaleno méně než m vadných. Určete pravděpodobnost toho, že soubor bude přijat, pokud počet vadných výrobků v celém souboru je M. Příklad 2.36. Z osudí obsahujícího koule s čísly 1,2,..., N je postupně vytaženo n koulí. Po každém tahu je vybraná koule vrácena zpět. Čísla vybraných koulí jsou zapsána v neklesajícím pořadí. Určete pravděpodobnost toho, že číslo xm, které je na m-té vybrané kouli, je rovno číslu M. Příklad 2.37. Kolikrát musíme házet hrací kostkou, aby první padnutí „šestky" mělo pravděpodobnost a) větší než 0,5 b) větší než 0,8 c) větší než 0,9? Příklad 2.38. Pravděpodobnost zásahu terče při jednom výstřelu je rovna 0,7. Na terč vystřeleno 7-krát nezávisle. Jaká je pravděpodobnost, že terč bude právě jednou zasažen? Příklad 2.39. Kolikrát musíme házet dvěma hracími kostkami, abychom s pravděpodobností větší než 1/2 očekávali, že aspoň jednou padne součet ok rovný 12? Příklad 2.40. Hodíme zároveň dvěma kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že součin padlých ok bude sudé číslo? Příklad 2.41. Hodíme třikrát jednou mincí. Určete pravděpodobnost, že a) padne dvakrát líc a jednou rub, b) padne třikrát líc, c) padne třikrát rub, d) padne jednou líc a dvakrát rub. Příklad 2.42. V osudí je a koulí bílých a b koulí černých. Vytáhneme dvakrát po sobě vždy po jedné kouli, přičemž první kouli nevrátíme zpět. Určete pravděpodobnost, že a) obě vytažené koule j sou bílé, b) první kouleje bílá a druhá černá, c) první kouleje černá a druhá bílá, d) jedna koule bude černá a druhá bila, přičemž nezáleží na jejich pořadí, e) druhá vytažená koule je bílá. Příklad 2.43. V osudí je a koulí bílých a b koulí černých. Vytáhneme fc-krát po sobě vždy po jedné kouli, přičemž po žádném tahu kouli nevrátíme zpět. Určete pravděpodobnost, že poslední vytažená kouleje bílá. 12 Příklad 2.44. V osudí je a koulí bílých a b koulí černých. Jedním tahem vytáhneme (a + ß) koulí. Určete pravděpodobnost, že vytáhneme právě a bílých a ß černých koulí. Příklad 2.45. V osudí je n lístků očíslovaných čísly 1, 2,..., n. Vytáhneme najednou m lístků. Jaká j e pravděpodobnost, že mezi vytaženými lístky bude k lístků označeno předem danými čísly? Příklad 2.46. Hodíme n-krkt po sobě jednou hrací kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že alespoň v jednom hodu padne „šestka"? Příklad 2.47. V osudí je r koulí očíslovaných čísly 1, 2,..., r. Táhneme n-krkt po sobě po jedné kouli, přičemž každou vytaženou kouli vracíme zpět. Jaká je pravděpodobnost, že součet čísel, jimiž jsou vytažené koule očíslovány, je roven číslu s? (n < s < nr) [Spočtěte koeficient u mocniny xs v polynomu (x + x2 + ... + xr)n] Příklad 2.48. V osudí je n koulí očíslovaných čísly 1, 2,..., n. Vytáhneme n-krát po sobě po jedné kouli, přičemž vytažené koule nevracíme zpět. Osudí tedy vyprázdníme. Řekneme, že pro kouli s číslem i nastane setkání, pokud ji vytáhneme právě v i-tém tahu. Určete pravděpodobnost, že a) pro kouli s číslem i nenastane setkání, b) ani pro kouli s čísle i ani pro kouli s číslem k nenastane setkání, i =£ k. Příklad 2.49. V osudí je a koulí bílých a b koulí černých. Koule postupně vytahujeme z osudí, pnčemž vytažené koule nevracíme zpět. Jaká je pravděpodobnost toho, že poprvé vytáhneme černou kouli při fc-tém tahu? Příklad 2.50. V osudí je a koulí bílých a b koulí černých. Koule postupně vytahujeme z osudí, přičemž vytažené koule nevracíme zpět. Jaká je pravděpodobnost, že nastane okamžik, kdy počet dosud tažených bílých a černých koulí bude stejný? Příklad 2.51. Banach byl silný kuřák. Aby měl u sebe stále zápalky, nosil ve dvou kapsách po jedné krabičce zápalek. Zápalky si bral náhodně z jedné nebo druhé krabičky s pravděpodobností 1/2. Jednou si dal do každé kapsy novou krabičku; v každé z obou krabiček bylo n zápalek. Spočtěte pravděpodobnost, že v okamžiku, kdy jednu krabičku shledal prázdnou bylo v druhé krabičce právě k zápalek. Pro jaké k je sledovaná pravděpodobnost maximální? 13 Kapitola 3 Podmíněná pravděpodobnost a nezávislost Příklad 3.1. Kolikrát nezávisle musíme opakovat pokus, abychom s pravděpodobností alespoň r tvrdili, že právě jednou nastane jev A, jehož pravděpodobnost je v každém pokusu rovnap? Příklad 3.2. Střílíme opakovaně a nezávisle na balón. Abychom jej sestřelili, stačí se do balónu trefit právě jednou. Pravděpodobnost zásahu při jednom výstřelu je rovna 0,05. Kolikrát musíme vystřelit, abychom shodili balón s pravděpodobností větší než 0,8? Příklad 3.3. Jsou dána tři osudí s bílými a černými koulemi. Pravděpodobnost volby i-tého osudí jep», i = 1,2, 3. Pravděpodobnost vytažení bílé koule z i-tého osudí je qi} i = 1, 2, 3. Zvolíme náhodně jedno z daných osudí, vytáhneme z něj jednu kouli a zjistíme, že tato kouleje bílá. Jaká je pravděpodobnost, že tato vytažená koule pochází z prvního osudí? Příklad 3.4. Jsou dána tři osudí, pravděpodobnost volby každého osudí je stejná. První osudí obsahuje 1 bílou, 2 černé a 3 červené koule. Druhé osudí obsahuje 2 bílé koule, 1 černou a 1 červenou koulí. Třetí osudí obsahuje 4 bílé koule, 5 černých koulí a 3 červené. Náhodně zvolíme jedno osudí a vytáhneme z něj dvě koule a zjistíme, že jedna z těchto vytažených koulí je bila a druhá červená. Jaká je pravděpodobnost, že tyto koule pocházejí a) z prvního osudí, b) z druhého osudí, c) ze třetího osudí? 14 Příklad 3.5. Osudí obsahuje celkem 10 koulí, z nichž některé jsou bílé a některé černé. Počet bílých koulí a černých koulí však není přesně znám. Víme jenom, že osudí bylo naplněno tímto způsobem: 10-krát po sobě bylo hozeno jednou mincí a pokud padl rub, byla do osudí vložena bílá koule, pokud padl líc, byla do osudí vložena černá koule. Z takto naplněného osudí bylo vytaženo m-krát po sobě po jedné kouli, přičemž po každém tahu byla vytažená koule vrácena zpět do osudí. Po provedení těchto m tahů bylo zjištěno, že všech m koulí bylo bílých. Stanovte pravděpodobnost, že a) dané osudí obsahovalo pouze bílé koule, tj. 10 bílých a žádné černé koule. b) dané osudí obsahovalo jednu bílou a devět černých koulí. Příklad 3.6. Z osudí, které obsahuje 5 bílých a 5 černých koulí, bylo vytaženo 5 koulí a vloženo do jiného prázdného osudí. Z tohoto osudí byly vytaženy 3 koule a vloženy do třetího prázdného osudí. Z tohoto třetího osudí byla vytažena jedna koule a bylo zjištěno, žeje bílá. Jaká je pravděpodobnost, že všech 5 koulí, vytažených z prvního osudí, bylo bílých? Příklad 3.7. Jsou dána tři osudí s bílými a černými koulemi. Pravděpodobnost volby i-tého osudí je pi} i = 1,2,3. Pravděpodobnost vytažení bílé koule z i-tého osudí je qi} i = 1,2, 3. Zvolíme náhodně jedno z daných osudí, vytáhneme z něj jednu kouli a zjistíme, že tato kouleje bílá. Aniž bychom tuto kouli vrátili zpět do osudí, vytáhneme ze stejného osudí ještě jednu kouli. Jaká je pravděpodobnost, že tato druhá vytažená kouleje bílá? Přitom nechť pravděpodobnost, že vytáhneme z i-tého osudí ve druhém tahu bílou kouli, za předpokladu, že j sme vytáhli v prvním tahu bílou kouli, je q'i} i = 1, 2, 3. Příklad 3.8. Jsou dána tři osudí, pravděpodobnost volby každého osudí je stejná. V prvním osudí je 1 bílá koule a 2 černé koule. Ve druhém osudí jsou 2 bílé koule a 1 černá koule. Třetí osudí obsahuje 2 bílé koule a 2 černé koule. Náhodně zvolímejedno osudí a vytáhneme z něj jednu kouli a zjistíme, že je bílá. Vytaženou kouli nevrátíme zpět do osudí a vytáhneme ze stejného osudí ještě jednu kouli. Jaká je pravděpodobnost, že i tato druhá kouleje bílá? Příklad 3.9. Dané osudí obsahuje 3 bílé a 5 černých koulí. Z tohoto osudí vybereme najednou 4 koule a vložíme je do jiného prázdného osudí. Z tohoto druhého osudí pak vytáhneme jedním tahem 2 koule a zjistíme, že obě jsou bílé. Dále pak z tohoto druhého osudí vytáhneme ještě jednu kouli. Jaká j e pravděpodobnost, že tato poslední vytažená kouleje bílá, jestliže jsme první dvojici vytažených koulí a) vrátili před dalším tahem zpět do osudí? b) zpět do osudí nevrátili? 15 Příklad 3.10. Osudí obsahuje 5 bílých a 5 černých koulí. Vytáhneme z něj 5 koulí a vložíme je do jiného prázdného osudí. Z tohoto druhého osudí vytáhneme jednu kouli a zjistíme, že je černá. Tuto kouli nevrátíme po tahu zpět do osudí a vytáhneme z tohoto osudí ještě jednu kouli. Jaká je pravděpodobnost, že tato druhá vytažená koule je bílá? Příklad 3.11. Hodíme dvěmi hracími kostkami. Jakáje pravděpodobnost, že padla alespoň jedna šestka, když víme, že součet ok padlých na 1. a 2. kostce je 8? Příklad 3.12. Z osudí, ve kterém je m bílých a n černých koulí, postupně bez vracení vytáhneme dvě koule. Zjistili jsme, že první vytažená kouleje bílá. Jaká je pravděpodobnost, že druhá vytažená koule bude také bílá? Příklad 3.13. Zjistili jsme, že při hodu deseti hracími kostkami padla aspoň jedna jednička. Jakáje pravděpodobnost, že padly 2 anebo více jedniček? Příklad 3.14. Dokažte, že jsou-li Aa B neslučitelné jevy aP(AU B) ^ 0, pak P(-4'-4Ufl)=P(.4)tW Příklad 3.15. Nechť P(A\B) = 0, 7, P(A\B) = 0, 3, P(B\A) = 0,6. Vypočtěte P(A). Příklad 3.16. Hodíme dvěmi hracími kostkami. Označme náhodné jevy A\ na první kostce padne sudé číslo, A2 na druhé kostce padne liché číslo, A3 součet ok, které padly na 1. a 2. kostce, je liché číslo. Dokažte, že každé dva zjevů Aí} A2, A3 jsou nezávislé, ale jevy Ai,A2, A3 nejsou nezávislé. Příklad 3.17. Nechť jevy A a Bx jsou nezávislé a také jevy A a B2 jsou nezávislé, přičemž Bx a B2 jsou neslučitelné. Dokažte, že jevy AaBx\J B2 jsou nezávislé. Příklad 3.18. Nechť P(A) > 0 a P(B\Ä) = P(B\A). Dokažte, že jevy AaB jsou nezávislé. Příklad 3.19. Osudí obsahuje n koulí. Všechny možné počty bílých koulí v osudí jsou stejně pravděpodobné. Zjistili jsme, že koule náhodně vybraná z osudí je bílá. Stanovte pravděpodobnost všech možných původních počtů bílých koulí v osudí. Jaký je nejpravděpodobnější původní počet bílých koulí v osudí? Příklad3.20. KaždézJV+1 osudí obsahuje N koulí. Osudí s číslem k obsahuje k červených a N — k bílých koulí, k = 0,1,..., N. Z náhodně zvoleného osudí n-krát vybereme kouli, přičemž vybranou kouli po tahu ihned vrátíme zpět. Stanovte a) pravděpodobnost, že jsou všechny vybrané koule červené. 16 b) podmíněnou pravděpodobnost, že rovněž (n + l)-ní koule bude červená, za podmínky, že všechny předchozí koule byly červené. Příklad 3.21. Tři myslivci současně vystřelili na medvěda. Medvěda zastřelili jednou kulí. Jaká je pravděpodobnost, že medvěda zastřelil první, resp. druhý, resp. třetí myslivec, když mají pravděpodobnost zásahu postupně p\ = 0, 2; p2 = 0,4;p3 = 0,6? Příklad 3.22. Z osudí, které obsahuje m bílých (m > 3) a n černých koulí, se ztratila jedna koule. Proto, abychom určili obsah osudí, vybereme z osudí dvě koule. Zjistili jsme, že jsou bílé. Jaká je pravděpodobnost, že ztracená koule je bílá? Příklad 3.23. Z osudí, které obsahuje 3 bílé a 2 černé koule, byly naráz vybrány dvě koule. Ty byly vloženy do druhého osudí, které předtím obsahovalo 4 bílé a 4 černé koule. Jaká je pravděpodobnost, že po tomto přemístění bude z druhého osudí vytažena bílá koule? Příklad 3.24. Hodíme 5-krát hrací kostkou. Určete pravděpodobnost, že právě dvakrát padne násobek 3. Příklad 3.25. 20-krát vystřelíme na cíl. Pravděpodobnost zásahu při jednom vystřeluje 0,7. Určete a) pravděpodobnost, že cíl bude alespoň jedenkrát zasažen, b) pravděpodobnost, že cíl nebude zasažen více než dvakrát, c) nepravděpodobnější počet zásahů. Příklad 3.26. Baterie 14-krát vystřelila na objekt. Pravděpodobnost zásahu při libovolném z vystřeluje rovna 0,2. Určete a) nejpravděpodobnější počet zásahů a jeho pravděpodobnost, b) pravděpodobnost zničení objektu, pokud pro je pro jeho zničení potřeba alespoň čtyř zásahů. Příklad 3.27. Určete pravděpodobnost a) padnutí alespoň jedné šestky při hodu 6 hracími kostkami, b) padnutí alespoň dvou šestek při hodu 12 hracími kostkami, c) padnutí alespoň tří šestek při hodu 18 hracími kostkami. Příklad 3.28. Co je pravděpodobnější vyhrát se stejně silným soupeřem 4 partie z 8 nebo 3 partie z 5? Příklad 3.29. Jaká je pravděpodobnost, že při hodu 12 hracími kostkami padne každá stěna dvakrát? 17 Kapitola 4 Geometrická pravděpodobnost Příklad 4.1. Najedné stopě magnetofonové pásky dlouhé 200 m je nahrána zpráva na intervalu délky 20m. Na druhé stopě je podobná zpráva. Určete pravděpodobnost toho, že v intervalu od 60 do 85 m nebude na pásce místo, které by neobsahovalo nahrávku, jestliže počátky obou nahrávek jsou stejně možné v každém bodu od Odo 180 m. Příklad 4.2. V každém okamžiku časového intervalu délky T je stejně možné, že přijímač přijme některý ze dvou signálů. Přijímač je zablokován, jestliže rozdíl mezi okamžiky příjmu signálu je menší než r. Určete pravděpodobnost toho, že přijímač bude zablokován. Příklad 4.3. Jaká je pravděpodobnost, že součet dvou náhodně zvolených kladných čísel, z nichž žádné není větší nezjedná, bude nejvýše roven jedné a jejich součin nebude větší než |? Příklad 4.4. V kruhu o poloměru r se v daném směru vedou tětivy. Všechny průsečíky tětiv s průměrem kolmým k danému směru jsou stejně možné. Jaká je pravděpodobnost, že délka náhodně zvolené tětivy je nejvýše r? Příklad 4.5. Na úsečce o délce / se náhodně zvolí dva body. Jaká je pravděpodobnost toho, že jejich vzdálenost bude menší než kl, kde 0 < k < 1. Příklad 4.6. Na úsečce AB o délce / jsou náhodně umístěny dva body L a M. Určete pravděpodobnost toho, že bod L je blíže k bodu M než k bodu A. Příklad 4.7. Na úsečce o délce / se náhodně umístí dva body tak, že se úsečka rozdělí na tři části. Určete pravděpodobnost toho, že z tří vzniklých úseček lze sestavit trojúhelník. Příklad 4.8. Na kružnici o poloměru r jsou náhodně umístěny tři body A, B, C. Jaká je pravděpodobnost toho, že trojúhelník ABC bude ostroúhlý? 18 Příklad 4.9. Jaká je pravděpodobnost toho, že z tří náhodně zvolených úseček, dlouhých nejvýše /, bude možno sestrojit trojúhelník? Příklad 4.10. Na úsečce AB o délce / jsou náhodně umístěny dva body M a N. Určete pravděpodobnost toho, že délky tří vzniklých úseček nepřekročí danou hodnotu a (l > a > 1/3). Příklad 4.11. Na autobusovou stanici přijíždí každé čtyři minuty autobus linky A a každých šest minut autobus linky B. Délka časového intervalu mezi příjezdy autobusu linky A a nejbližšího následujícího autobusu linky B může být se stejnou pravděpodobností jakákoliv v mezích od 0 do 4 minut. Určete pravděpodobnost toho, že a) první autobus, který přijede, bude autobus linky A, b) během dvou minut přijede nějaký autobus. Příklad 4.12. Dva parníky musí přirazit k témuž přístavišti. Příjezdy obou parníků jsou nezávislé a stejně možné během celého dne. Určete pravděpodobnost toho, že jeden z parníků bude muset čekat na uvolnění přístaviště, jestliže první parník stojí v přístavišti jednu hodinu a druhý dvě hodiny. Příklad 4.13. Dvě osoby mají stejnou pravděpodobnost toho, že přijdou na dohodnuté místo v libovolném okamžiku časového intervalu délky T. Určete pravděpodobnost toho, že jeden člověk na druhého bude čekat nejvýše po dobu t. Příklad 4.14. (Buffonova úloha) V rovině jsou narýsovány rovnoběžky, jejichž vzdálenost je L. Určete pravděpodobnost, že náhodně vržená jehla délky l (l < L) protne kteroukoliv přímku. Příklad 4.15. Určete pravděpodobnost toho, že kořeny a) kvadratické rovnice x2 + 2ax + b = 0 jsou reálné, b) kvadratické rovnice x2 + 2ax + b = 0 jsou kladné, c) kubické rovnice x3 + 3ax + 26 = 0 jsou reálné, jsou-li stejně možné hodnoty koeficientů v obdélníku \a\ < n, \b\ < m. 19 Kapitola 5 Náhodné veličiny Příklad 5.1. Dvakrát házíme mincí. Popište prostor elementárních jevů íl Nechť náhodná veličina X udává počet padlých líců. Určete rozdělení náhodné veličiny X, její pravděpodobnostní a distribuční funkci. Nakreslete j ej ich grafy. Příklad 5.2. Dvakrát házíme hrací kostkou. Popište prostor elementárních jevů íl Nechť náhodná veličina X udává součet hodnot, které padnou v 1. a 2. hodu. Určete rozdělení náhodné veličiny X, její pravděpodobnostní a distribuční funkci. Nakreslete jejich grafy. Příklad 5.3. Házíme mincí, dokud nepadne líc. Popište prostor elementárních jevů íl Nechť náhodná veličina X udává počet provedených hodů. Určete rozdělení náhodné veličiny X, její pravděpodobnostní a distribuční funkci. Nakreslete jejich grafy. Příklad 5.4. Střílíme na cíl do prvního zásahu. Zásahy při různých výstřelech jsou nezávislé jevy, pravděpodobnost zásahu při každém výstřelu je p. Popište prostor elementárních jevů íl Nechť náhodná veličina X udává celkový počet výstřelů. Určete rozdělení náhodné veličiny X, její pravděpodobnostní a distribuční funkci. Nakreslete jejich grafy. Příklad 5.5. Která z dále uvedených funkcí je pravděpodobnostní funkce diskrétní náhodné veličiny a) pxq2, q= 1 — p, 0 < p < 1, x = 1, 2,..., b) px~nq2, q= 1 — p, 0 < p < 1, n > 0, x = n,n+ 1,..., C) x{x+l) ' X E R> IE+1 OO d) J f(t)dt, x = 0,1,..., kde J f(t)dt = 1, /je nezáporná funkce, x 0 20 e) f e"2, x = 0,1,...? Příklad 5.6. Náhodná veličina X má rozdělení x -1 0 1 1 1 1 p 3 3 3 Určete pravděpodobnostní a distribuční funkci a) náhodné veličiny Y = \X b) náhodné veličiny Y = X2. Nakreslete grafy těchto funkcí. Příklad 5.7. Náhodná veličina X má rozdělení X -1 0 1 2 p 0,2 0,1 0,3 0,4 Určete pravděpodobnostní a distribuční funkci náhodné veličiny Y = 2 . Nakreslete jejich grafy. Příklad 5.8. Nechť X je náhodná veličina s rozdělením X -1 1 p 1 2 1 2 Určete pravděpodobnostní a distribuční funkci náhodné veličiny Y = sin(X7r). Nakreslete jejich grafy. Příklad 5.9. Náhodná veličina X má rozdělení X -1 -0,5 -o,i 0 0,1 0,2 0,5 1 1,5 2 p 0,005 0,012 0,074 0,102 0,148 0,231 0,171 0,16 0,081 0,016 Vypočtěte P (|X| < \). Příklad 5.10. Házíme dvěma hracími kostkami. Popište prostor elementárních jevů íl Nechť náhodná veličina X udává počet šestek, které padly na první kostce, náhodná veličina Y udává počet šestek, které padly na druhé kostce. Určete simultánní rozdělení X aľ. Dokažte, že jsou veličiny X a Y nezávislé. Příklad 5.11. Házíme dvěma hracími kostkami. Popište prostor elementárních jevů íl Nechť náhodná veličina X je počet ok padlých na první kostce, náhodná veličina Y udává počet ok padlých na druhé kostce. Určete simultánní rozdělení X a Y. Dokažte, že jsou veličiny X a Y nezávislé. 21 Příklad 5.12. Házíme dvěma hracími kostkami. Nechť náhodná veličina X je počet ok, které padly na první kostce, náhodná veličina Y udává maximum z počtu ok na obou kostkách. Určete simultánní rozdělení X aY. Příklad 5.13. Náhodná veličina X má rozdělení X -1 0 1 2 p 0,2 0,1 0,3 0,4 Dokažte, že X a Y = 2X jsou nezávislé náhodné veličiny. Příklad 5.14. Nechť X nabývá hodnot ±1,±2, každou s pravděpodobností |, a Y = X2. a) Určete simultánní rozdělení X a Y. b) Dokažte, že jsou veličiny X a Y nezávislé. Příklad 5.15. n-krkt střílíme na cíl. Zásahy při jednotlivých výstřelech jsou nezávislé jevy. Pravděpodobnost zásahu při každém výstřelu je rovna p. Nechť X udává počet zásahů při n výstřelech. Určete pravděpodobnostní a distribuční funkci náhodné veličiny X a nakreslete jejich grafy. Příklad 5.16. Náhodné veličiny Xi a X2 jsou nezávislé a mají stejné geometrické rozdělení (qxp, x = 0,1,...). Dokažte, že P(Xi = x\Xi+X2 = n) =-------, x = 0, l,...n n + 1 Je opačné tvrzení pravdivé? Příklad 5.17. Náhodné veličiny Xi a X2 jsou nezávislé a mají stejné geometrické rozdělení (qxp,x = 0,1,...). Nechť Y = max(Xi,X2). Určete rozdělení náhodné veličiny Y a simultánní rozdělení veličin Y a Xi. Příklad 5.18. Nechť Xi a X2 jsou nezávislé náhodné veličiny a mají Poissonovo rozdělení Xi ~ Po(Ai) aX2 ~ Po(A2). a) Dokažte, že náhodná veličina Y = Xi + X2 má Poissonovo rozdělení s parametrem Ai + A2. b) Dokažte, že podmíněné rozdělení veličiny Xi za podmínky Xi + X2 = n je binomické rozdělení s parametry nap= x x^x , tj. p(Jfl=^I+^=B)=(5(^)-(1-^)'", prox = 0,1,... n. 22 Příklad 5.19. Nechť X je náhodná veličina na pravděpodobnostním prostoru (Q, A, P) a F(x) je distribuční funkce této náhodné veličiny. a) Dokažte, že množiny {oj : X(u) < x}, {oj : X(oj) = x}, {u:a< X(u) c} a {oj : X[oj) > c} j sou náhodnými j evy. b) Vyjádřete pravděpodobnosti těchto jevů pomocí distribuční funkce F(x). Příklad 5.21. Nechť A je náhodný jev. Dokažte, že funkce t í \ fl, veA, [0, oj f A je náhodná veličina. Příklad 5.22. Nechť X je náhodná veličina. Dokažte, že funkce a) Yi = aX, b) Y2 = |X|, c) y3 = X2 jsou také náhodné veličiny. Příklad 5.23. Nechť Y = X2 je náhodná veličina. Můžeme říci, že a) X je náhodná veličina, b) |X| je náhodná veličina? Příklad 5.24. Nechť Xí} X2,..., Xn jsou náhodné veličiny. Dokažte, že Yi = max{Xj, 1 < i < n}, Y2 = min{Xí, 1 < i < n} jsou náhodné veličiny a odvoďte jejich rozdělení. 23 Příklad 5.25. Která z dále uvedených funkcí je distribuční funkce a) F(x) = f + 2í arctanx, 'O, x < O, b) F(x) = {*y, 00? e) F(x) = ^ 1 ľ_e_x Příklad 5.26. Hustota náhodné veličiny X je rovna f(x) = ae~x^,x G R, (A > 0). Určete a) koeficient a, b) distribuční funkci náhodné veličiny X, c) nakreslete grafy hustoty a distribuční funkce. Příklad 5.27. Určete za jakých předpokladů jsou následující funkce hustotami (a, b, c, d, k, a, A jsou vhodná reálná čísla.). \ tf \ /c' x e ta'6]' ( / h\ a) f(x) = < (a < 6), [0, x^[a,6], ífc|x-a|, c0, a) f(x) = < I 0, ax"' + 6x + c < 0, . .. . í cxae~A:c, x < 0, e) /W = S \0, x<0, f) f(x) = ce"^"6)2, &/ J \ J a-\-bx-\-cx2 ' Příklad 5.28. Náhodná veličina X má hustotu /(x) = ^jt^i (Cauchyovo rozdělení). Určete pravděpodobnosti 24 a) P (X > 1), b) P(|X|>1). Příklad 5.29. Náhodná veličina X má exponenciální rozdělení s parametrem A = |. Určete pravděpodobnosti a) P (X > 3), b) P(X>6|X>3), c) P(X>ŕ + 3|X>ŕ). Příklad 5.30. Nechť F (x) je distribuční funkce náhodné veličiny X. Určete distribuční funkci a hustotu náhodné veličiny Y = ex. Příklad 5.31. Nechť F (x) je distribuční funkce náhodné veličiny X. Určete distribuční funkci Y = — X. Příklad 5.32. Náhodná veličina X se nazývá symetrická, pokud jsou distribuční funkce náhodných veličín X a —X totožné. Zformulujte podmínku symetričnosti náhodných veličin a) pomocí distribuční funkce, b) pomocí hustoty. Příklad 5.33. Nechť F(x) je distribuční funkce náhodné veličiny X. Určete distribuční funkci náhodné veličiny Y = sign(X). Příklad 5.34. Náhodná veličina X má distribuční funkci F(x). Určete distribuční funkci náhodné veličiny a) aX + 6, kde a a 6 j sou libovolná pevná čísla, b) X2, c) g(X), kde g(x) je monotónní funkce, d) |X|, e) sin(X), f) tan(X). Příklad 5.35. Hustota náhodné veličiny X je f(x). Určete hustotu náhodné veličiny a) aX + b,(a^ 0), b) |X|, c) X2, d) sin(X), e) g(X), kde g(x) je monotónní diferencovatelná funkce, f) g(X), kde g(x) je po částech monotónní diferencovatelná funkce. Příklad 5.36. Nechť náhodná veličina X má rovnoměrné rozdělení na [—1,1]. Určete rozdělení náhodné veličiny Y = \X\. 25 Příklad 5.37. Nechť náhodná veličina X má rovnoměrné rozdělení na intervalu [0,1]. Určete hustotu náhodné veličiny a) Y = X2, b) Y = j^, c) Y = e x Nakreslete jejich grafy. TT 1+IE2 ' Příklad 5.38. Náhodná veličina X má hustotu f (x) = -t-ts- Určete rozdělení J \ ' TT l+XA náhodné veličiny Y = arctan(X). Příklad 5.39. Náhodná veličina X má rovnoměrné rozdělení na intervalu [ 0, 2]. Určete distribuční funkci náhodné veličiny Y = \X — 1|. Příklad 5.40. Náhodná veličina X má rovnoměrné rozdělení na intervalu [ 0, 2]. Určete distribuční funkci náhodné veličiny Y = \X\. Příklad 5.41. Náhodná veličina X má exponenciální rozdělení s parametrem A. Určete hustotu náhodné veličiny Y = X2. Příklad 5.42. Náhodná veličina X má hustotu f(x) = -}=x-2e-1'2*, x^O. v Zít Určete hustotu náhodné veličiny Y = l/X. Příklad 5.43. Náhodná veličina X má hustotu 7T 1 + Xz Určete hustotu náhodné veličiny Y = X2. Příklad 5.44. Náhodná veličina X má rovnoměrné rozdělení na intervalu [ — f, f ] Určete hustotu náhodné veličiny Y = sin X. Příklad 5.45. Náhodná veličina X má rovnoměrné rozdělení na intervalu [ 0, iir]. Určete distribuční funkci a hustotu náhodné veličiny Y = sin X. Příklad 5.46. Náhodná veličina X má rovnoměrné rozdělení na intervalu [ — f, f ] Určete hustotu náhodné veličiny Y = | sinX|. Příklad 5.47. Náhodná veličina X má Cauchyovo rozdělení s hustotou n 1 + x2 Určete hustotu náhodné veličiny Y = l/X. Příklad 5.48. Nechť X je náhodná veličina se spojitou distribuční funkcí F (x) a Y = F (X). Určete distribuční funkci Y. 26 Příklad 5.49. Nechť F (x) je distribuční funkce, přičemž F(0) = 0. Dokažte, že funkce >0r)-F(i), x>i G(x) 1 0, x 12). d) Určete pravděpodobnost P (X = 11). e) Nakreslete pravděpodobnostní funkcí náhodné veličiny X a označte v něm hodnoty [i, [i — 2a a [i + 2a. Příklad 6.5. Náhodná veličina X má pravděpodobnostní funkci Í2xe~2/x\, a; = 0,1,... p(x) = < 10, jinak. a) Je X diskrétní nebo spojitá náhodná veličina? b) Jak se nazývá toto rozdělení? c) Nakreslete pravděpodobnostní funkci. d) Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku náhodné veličiny X. Příklad 6.6. Náhodná veličina X má Poissonovo rozdělení s parametrem 2. a) Nakreslete pravděpodobnostní funkci pro £ = 0,1,...,9. b) Určete střední hodnotu [i a směrodatnou odchylku a náhodné veličiny X a zakreslete interval [/j, — a, [i + a] do grafu. c) Jaká je pravděpodobnost, že X leží v intervalu [p, — a, \i + er]? Příklad 6.7. Náhodná veličina X má Poissonovo rozdělení se střední hodnotou 1,5. Vypočtěte pravděpodobnost a) P (X < 2), b) P (X > 2), c) P (X = 2), d) P (X = 0), e) P (X > 0), f) P (X > 5). 29 Příklad 6.8. Náhodná veličina X má binomické rozdělení s parametry n = 20 a p = 0, 7. a) Vypočtěte P (X = 14). b) Vypočtěte P (X < 10). c) Vypočtěte P (X > 10). d) Vypočtěte P (8 < X < 17). e) Vypočtěte P (8 < X < 17). f) Vypočtěte střední hodnotu p, rozptyl a2 a směrodatnou odchylku a náhodné veličiny X. g) Jaká je pravděpodobnost, že X padne do intervalu [p, — 2a, /j, + 2a]? Příklad 6.9. Náhodná veličina X má rovnoměrné rozdělení s parametry a = 20, 6 = 45. a) Určete hustotu f (x). b) Vypočtěte střední hodnotu \i a směrodatnou odchylku a náhodné veličiny X. c) Nakreslete graf hustoty f (x), vyznačte hodnotu \i spolu s intervalem [/j, — 2(7, fi + 2a]. Všimněte si, že náhodná veličina X leží v intervalu [/j, — 2a,p + 2a] s pravděpodobností 1. Vypočtěte: d) P (20 < X < 35), e) P (20 < X < 35). f) P (X > 35), g) P (X < 20), h) P (X < 25), i) P (10 36), k) P(X> 35,5), O P (20, 2 2, 78), e) P(2,4 25, 3), f) P (X < 25, 3). Příklad 6.12. Náhodná veličina X má normální rozdělení s parametry /j, = 30, (7 = 8. Určete konstantu x0 tak, aby a) P(X>xo) = 0,5, b) P(X x0) = 0,1, d) P (X > x0) = 0,95, 30 e) 10% hodnot X bylo menších než x0, f) 80% hodnot X bylo menších než x0, g) P/o hodnot X bylo větších než x0. Příklad 6.13. Náhodná veličina X má normální rozdělení se střední hodnotou 100 a směrodatnou odchylkou 8. Načrtněte graf hustoty náhodné veličiny X. Do grafu zakreslete hodnotu \i a interval \i ± 2a. Určete pravděpodobnost a) P {p - 2d < X < p + 2a) , b) P (X > p + 2a), c) P(X<92), d) P(92Y, d) puy,kdeU = 2X + Y,V = X-Y. Příklad 6.29. Nechť náhodné veličiny X a Y mají simultánní pravděpodobnostní funkci a) p(x,y) = |, (x,y) E {(0, 0), (1,1), (2, 2)}, jinakjep(x,y) = 0. b) p(x,y) = l (x,y)G{(0,2),(l,l),(2,0)},jinakjep(x,y) = 0. c) p(x,y) = l, (x,y) E {(0,0),(l,l),(2,0)},jinakjep(x,y) = 0. Vypočtěte korelační koeficient XaY. Dále ověřte, zda XaY jsou nezávislé náhodné veličiny. Příklad 6.30. Simultánní pravděpodobnostní funkce náhodných veličin X a y je zadána následující tabulkou. (x,y) 0,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) p(x,y) 2/15 4/15 3/15 1/15 1/15 4/15 Jinak je funkce p(x, y) = 0. Nalezněte korelační koeficient p. Ověřte, zda X aY jsou nezávislé. 33 Příklad 6.31. Nechť korelační koeficient p náhodných veličin XaY existuje. Ukažte, že — 1 < p < 1. [Vezměte v úvahu diskriminant nezáporné kvadratické funkce g (v) = E {[(X — pi) + v (Y — P2)]2}, kde reálné číslo v není funkcí X ani Y.] Příklad 6.32. Nechť Xi,X2 a X jsou nezávislé náhodné veličiny, pro které platí EXi = 1, EX2 = 2, EX = 3, DXi = 4, DX2 = 5, DX = 6. Položme Y = Xi + X, Z = X2 — X. Vypočtěte korelační koeficient pY,z, parciální korelační koeficient py,z.x a koeficient mnohonásobné korelace px,(Y,z)- Příklad 6.33. Nechť pro náhodné veličiny Y a Z platí P(Y = 0, Z = 0) = 0,1; P(Y = 0, Z = 1) = 0, 2; P(y = 1, Z = 0) = 0, 3; P(Y = 1,Z = 1) = 0,4. Vypočtěte korelační koeficient pY,z- Příklad 6.34. Nechť náhodné veličiny X a Y mají sdruženou hustotu íl, (x,y)G(0,|)x(i,l)U(|,l)x(0,|), f(x,y)=<2, (x,y)e(±,l)x&l), [0, jinak. Vypočtěte korelační koeficient pxy- (Doplňující úloha: takto zadanou hustotu načrtněte a ověřte, zda skutečně má vlastnosti, které má hustota mít. Ověřte tyto vlastnosti i u spočtených marginálních hustot.) Příklad 6.35. Nechť Xi,X2 a X3 j sou náhodné veličiny s konečnými druhými momenty a s kladnými rozptyly. Označme pý korelační koeficient mezi X» a Xj, (i,j=l,2,3). Dokažte, že platí P12P13 - [(1 - P?2)(l - PÍs))1/2 < P23 < P12P13 + [(1 - P?2)(l - PÍs))1/2- Příklad 6.36. Nechť náhodné veličiny X a Y mají sdruženou hustotu 10, jinak. Vypočtěte marginální hustoty veličin XaY, dále vypočtěte EX, EY, DX, ĽY apx,Y- Příklad 6.37. Dokažte, že pro koeficient mnohonásobné korelace platí 2 =det(var(y,X1,...,Xra)/) Pyx det(var(X1}...,Xny) ' za předpokladu, že varianční matice var(Y,X"i,... ,Xn)' je regulární, přičemž X = (Xi,... ,Xn)'. 34 Příklad 6.38. Nechť X a Y jsou náhodné vektory o rozměrech m x 1 anx 1, a a b jsou reálné vektory o rozměrech m x 1 an x 1. Dokažte, že pro kovarianční matici platí cov(X - a, Y - b) = cov(X, Y). Příklad 6.39. Dokažte, že cov(X, Y) = E(Iľ') - (EX)(EY)'. Příklad 6.40. Nechť X = (Xi,X2,... ,Xn)' je náhodný vektor a uvažujme náhodné veličiny Y\ = Xi, Yi = Xi — Xj_i, i = 2, 3,..., n. Najděte varianční matici var(X) = var(Xi, X2,..., Xn)' za předpokladu, že náhodné veličiny Yi jsou navzájem nezávislé a každá z nich má stejný rozptyl a2. Příklad 6.41. Nechť X = (Xi,X2,... ,Xn)' je náhodný vektor a uvažujme náhodné veličiny Y\ = Xi, Yi = Xi — Xj_i, i = 2, 3,..., n. Najděte varianční matici var(l^) = var(Yi,Y2,... ,Yn)' za předpokladu, že náhodné veličiny Xj jsou navzájem nezávislé a každá z nich má stejný rozptyl a2. Příklad 6.42. Nechť Xi, X2,..., Xn j sou náhodné veličiny, které mají stejný rozptyl a2. Položme Zx = Xxa Zi+Í = pZi + a pro i = 1, 2,..., n — 1, kde aap jsou reálná čísla. Najděte varianční matici var(Z) = var(Zi, Z2,..., Zra)'. Příklad 6.43. Nechť A je symetrická matice a X je náhodný vektor. Dokažte, že E(X'AX) = tr[AE(XX')], kde tr(A) značí stopu matice A. Příklad 6.44. Nechť Xi,X2,... ,Xn jsou nezávislé stejně rozdělené náhodné veličiny se stejnými středními hodnotami /j, a rozptyly a2, a\,..., a2, X je jejich průměr. Spočtěte D (X). Příklad 6.45. Nechť Xi,X2,... ,Xn jsou nezávislé stejně rozdělené náhodné veličiny se stejnými středními hodnotami /j, a rozptyly a2, of,..., a2. Dokažte, že J2"=1(Xi — X)2/[n(n — 1)] je nestranným odhadem D(X). Příklad 6.46. Nechť náhodné veličiny X!,X2,... ,Xn mají stejné střední hodnoty ß, stejné rozptyly a2 a korelace libovolného páru těchto různých náhodných veličin je rovna konstantě p. Najděte D(X) a ukažte odtud, že ^- < p < 1. Příklad 6.47. Nechť X0, X1; X2,..., Xn jsou nezávislé stejně rozdělené náhodné veličiny s rozdělením N(/i, a2). Položme n n — 1 -^—' i=i Dokažte, že S2 je nestranným odhadem a2. 35 Příklad 6.48. Nechť X0, Xí} X2,..., Xn jsou nezávislé stejně rozdělené náhodné veličiny s rozdělením N(/i, a2). Položme n -. TI—1 q = -,—r y^Ui-i - xtf. v 2n- 1 ^v ; a) Dokažte, že var(S2) = -^. b) Dokažte, že Q je nestranný odhad parametru a2. Příklad 6.49. Nechť náhodné veličiny X aY mají stejný rozptyl. Dokažte, že C(X + Y, X — Y) = 0. Najděte protipříklad, kterým ukážete, že z nulovosti této kovariance neplyne nezávislost těchto náhodných veličin. Příklad 6.50. Nechť každá z náhodných veličin X aY nabývá pouze hodnot 0 a 1, přičemž P(X = i, Y = j) = pij, i = 0,1, j = 0,1. Dokažte, že tyto veličiny jsou nezávislé právě tehdy, když C(X, Y) = 0. Příklad 6.51. Nechť náhodná veličina X má symetrickou hustotu (f(—x) = f(x)) a nulové střední hodnoty. Předpokládejme navíc, že existují její 3. momenty. Dokažte, že C(X,X2) = 0. Příklad 6.52. Nechť hustota náhodných veličin X, Y a Z má tvar f(x,y,z) = l(l+xyz), -1 0,y>0, j{x,y) = < 10, jinak, kde 0 < a < 1. Určete 38 a) marginální hustoty náhodných veličin X, Y. b) distribuční funkci (X, Y)'. c) střední hodnoty EX, EY, rozptyly DX, ĽY a kovarianci C(X, 1"). Příklad 7.5. Hustota náhodného vektoru (X, Y)' je tvaru ,, , Í24x2y(l-x), 0 0,y>0, j{x,y) = < 10, jinak. Najděte marginální hustoty náhodných veličin X a Y. Příklad 7.10. Hustota náhodného vektoru (X, Y)' je rovna r(p)r( 1, [xe x /z, x > 0. Dokažte, že náhodná veličina X7 má normální rozdělení. Příklad 7.15. Nechť Xx a X2 jsou nezávislé náhodné veličiny a Xj ~ N(0, 0 0, y < 0. Nalezněte hustotu y pro případ Ai = A2. Příklad 7.18. Nechť náhodný vektor (Xi, X2) má hustotu f{x1,x2){x, y). Vypočtěte hustotu součinu XiX2 a hustotu podílu Xi/X2. Příklad 7.19. Hustota náhodného vektoru (Xi, X2) je rovna ,, , \xi+x2, 0 < xi < 1,0 < x2 < 1, J{Xi,X2) = < I 0, jinak. Vypočtěte hustotu náhodné veličiny Y = Xi + X 2- 40 Příklad 7.20. Nechť (Xl,X2) ~ N2(0,0,a2,(72,p), o\ ± a\, Yx = XlCosa + X2 sin a, Y2 = —Xi sin a + X2 cos a, kde a je daná reálná konstanta. a) Nalezněte hustotu (Yi,y2)- b) Dokažte, že když tan2 a = 2p2aiai, jsou náhodné veličiny 1^ a Y"2 nezávislé. Příklad 7.21. Nechť (Xi,X2) ~ N2(0,0,<72, x0, kde x0 je dané reálné číslo, je definovaná jako f(x\ X > x0) = f(x)/[l — F(x0)],x0 < x a 0 jinak. Tato podmíněná hustota je často užívána pro popis času do úmrtí, pokud víme, že jedinec přežil až do času x0. a) Ukažte, že f(x\ X > x0) je hustota. b) Nechť f(x) = e~x, 0 < x < oo) a f(x) = 0 jinak. Vypočtěte pravděpodobnost P (X > 2\X > 1). Příklad 8.8. Nechť f(x,y) = 2, 0 < x < y,0 < y < 1 a f(x,y) = 0 jinak, je simultánní hustota náhodných veličin X a Y. a) Vypočtěte podmíněné střední hodnoty náhodných veličin X a Y b) Ukažte, že korelační koeficient X a Y je p = 1/2. c) Vypočtěte rozptyl podmíněného rozdělení Y za podmínky X = x a rozptyl podmíněného rozdělení X za podmínky Y = y. Příklad 8.9. Předpokládejme, že osoba odchází do práce ráno mezi 8:00 a 8:30 a do své kanceláře se z domu dopraví za 40 až 50 minut. Označme X dobu odchodu a Y dobu cesty. Předpokládejme, že jsou tyto náhodné veličiny nezávislé a mají rovnoměrné rozdělení. Určete pravděpodobnost, že osoba přijde do kanceláře před 9:00. 43 Kapitola 9 Charakteristická funkce Příklad 9.1. Nechť náhodná veličina X nabývá hodnot 1 a -1, každé s pravděpodobností 1/2. Určete charakteristickou funkci X. Příklad 9.2. Dokažte, že funkce ip(t) = cos2 ŕ je charakteristickou funkcí a určete příslušné rozdělení pravděpodobnosti. Příklad 9.3. Nechť náhodná veličina X nabývá hodnot -1,0, 1, každou s pravděpodobností 1/3. Určete charakteristickou funkci X. Příklad 9.4. Vypočtěte charakteristickou funkci rozdělení Ro(0,1), Ro(a,ß), N(0,1), NGu, a2), Ex(A), X2K A(0), Bi(ra, 6), Po(A). Příklad 9.5. Nechť Xi,..., Xra jsou nezávislé náhodné veličiny, přičemž každá z nich nabývá hodnot 1 a -1 s pravděpodobnostmi 1/2. Vypočtěte charakteristickou funkci náhodné veličiny Sn = Xi + ... + Xn. Příklad 9.6. Dokažte, že pro každé přirozené n je ip(t) = cosra t charakteristickou funkcí. Příklad 9.7. Nechť Xi a X2 jsou nezávislé stejně rozdělené náhodné veličiny s charakteristickou funkcí ip(t). Určete charakteristickou funkci náhodné veličiny Xi — X2. Příklad 9.8. Dokažte, že je-li ip(t) charakteristická funkce, pak ^(í)!2 je také charakteristickou funkcí. Příklad 9.9. Dokažte, že pokud je charakteristická funkce ip(t) náhodné veličiny X absolutně integrovatelná, tj. /oo |^(í)|dí < oo, ■oo 44 pak náhodná veličina X má hustotu f(x), přičemž 1 ľ°° fix) = —J e-^(í)dí. Příklad 9.10. Uveďte přiklad závislých náhodných veličin laľ, pro které je charakteristická funkce součtu X + Y shodná se součinem charakteristických funkcí veličin X a Y. 45 Kapitola 10 Zákon velkých čísel Příklad 10.1. Náhodná veličina X má střední hodnotu E(X) = 1 a směrodatnou odchylku a = 0, 2. Pomocí Cebyševovy nerovnosti odhadněte pravděpodobnost, žeO,5 a) < -*^-A pokud E(Xa) existuje. b) Rozšiřte předchozí zobecnění na libovolné spojité nezáporné náhodné veličiny. Příklad 10.9. Dokažte, že pokud je f(x) nezáporná funkce nabývající při x > a hodnot alespoň b > 0 a pokud existuje E(f(X)), pak p(i>«)<5p. b Příklad 10.10. Dokažte, že pokud existuje E(eaX), kde a je konstanta, pak P{Jf>ř)<^. v - ' - ea£ Příklad 10.11. Dokažte, že pro libovolnou náhodnou veličinu X při libovolném a > 0 platí následující odhady shora i zdola pro P (\X\ > a). a) P (\X\ > a) < fh), pokud f(x) je nezáporná a pro a > 0 neklesající funkce. b) P (\X\ > a) > k ■> P°kud f(x) je sudá nezáporná a pro kladné x neklesající ohraničená funkce, f(x) < k. c) P (\X\ > a) > f(M) , pokud je podmínka ohraničenosti funkce f(x) nahrazena podmínkou ohraničenosti X, \X\ < M. 47 Kapitola 11 Statistika Příklad 11.1. Nechť Xí}..., Xn je náhodný výběr rozsahu n z rozdělení s hustotou f(x;9) = jje~x/e, 0 < x < oo, 0 < 9 < oo, 0 jinak. Ukažte, že X je nestranným odhadem 9 a má rozptyl 92/n. Příklad 11.2. Nechť Xi,..., Xn je náhodný výběr rozsahu n z normálního rozdělení N(0,9), 0 < 9 < oo. Ukažte, že YH=i \^Q Je nestranným odhadem 9 a má rozptyl 292/n. Příklad 11.3. Nechť Yi a Y2 jsou nezávislé nestranné odhady 9. Předpokládejme, že rozptyl Yi je dvojnásobkem rozptylu Y2. Stanovte konstanty k\ a k2 tak, aby k{Yi + fc2Y2 byl nestranným odhadem s nejmenším možným rozptylem. Příklad 11.4. Nechť Xí}..., Xn je náhodný výběr rozsahu n z rozdělení s hustotou a) f(x; 9) = 9xe~e/x\,x = 1, 2,..., 0 < 9 < oo, 0 jinak, přičemž /(0;0) = 1. b) f(x;9) = 9xe-1,0 < x < 1, 0<9 < oo, 0 jinak. c) f(x; 9) = (l/9)e-x/e, 0oo n—>oo Dokažte, že Yn je konzistentní odhad 0. Příklad 11.8. Pro každé rozdělení z příkladu 11.4 nalezněte metodou momentů odhad parametru 9 a ukažte, zeje konzistentní. Příklad 11.9. Nechť pozorování průměru X náhodného výběru rozsahu 20 z rozdělení N(/i, 80) je 81,2. Stanovte 95%-ní interval spolehlivosti pro \i. Příklad 11.10. Nechť X je aritmetický průměr náhodného výběru rozsahu n z rozdělení N(//, 9). Nalezněte n takové, aby přibližně platilo P(X- 1 <ß 1, z rozdělení N(/x, a2). Nechť X = \ ET=1 Xt a S2 = \ Eľ=i(^ " X)2. Určete konstantu c tak, aby měla statistika c(X — Xn+Í)/S Studentovo t rozdělení. Pro n = 8 určete k tak, aby P (X — k S < XQ < X + kS) =0,8. Pozorovaný interval (x — ks, x + ks) se často nazývá 80%-ní predikční interval pro XQ. Příklad 11.14. Nechť Y ~ Bi(300,p). Je-li y = 75 pozorovaní náhodné veličiny Y, stanovte přibližný 90%-ní interval spolehlivosti pro p. Příklad 11.15. Uvažujme dva nezávislé náhodné výběry rozsahu 10, z rozdělení postupně N(//!, a2) a N(//2, c2)- Z jejich realizací bylo vypočteno x = 4, 8, s2 = 8, 64, y = 5, 6, s2, = 7, 88. Stanovte 95%-ní interval spolehlivosti pro \i\ — ß2- 49 Příklad 11.16. Nechť Yu Y2 jsou nezávislé náhodné veličiny aľ~ Bi(100,pi), Y ~ Bi(100,p2)- Jejich pozorování j sou y\ = 50 a y2 = 40. Stanovte přibližný 90%-ní interval spolehlivosti propi — p2. Příklad 11.17. Nechť X a y jsou aritmetické průměry dvou nezávislých náhodných výběrů rozsahu n z rozdělení postupně N^, a2) a N(//2, c2), přičemž rozptyl a2 je známý. Nalezněte n takové, že P (X - Y - a/5 < ßi - ß2 < X - Y + a/5) = 0, 9. Příklad 11.18. Nechť 8,6; 7,9; 8,3; 6,4; 8,4; 9,8; 7,2; 7,8; 7,5 je realizace náhodného výběru rozsahu 9 z rozdělení N(8, a2). Stanovte 90%-ní interval spolehlivosti pro a2. Příklad 11.19. Nechť Xí}... ,Xn je náhodný výběr rozsahu n z normálního rozdělení N(//, a2). Nechť 0 < a < b. Ukažte, že střední hodnota délky náhodného intervalu (Ti Ti \ í=l í=l / je(6-a)^. Příklad 11.20. Z realizace náhodného výběru rozsahu 15 z rozdělení N(/í, 1? 50 Příklad 11.25. Nechť Xi,... ,XW je náhodný výběr rozsahu 10 z normálního rozdělení N(0i,02). Nalezněte nejlepší test jednoduché hypotézy H0: 9\ = 9[ = 0,02 = 9'2 = 1 proti jednoduché alternativě Hi: 9X = 9[ = 1,02 = 9'2 = 4. Příklad 11.26. Nechť Xí}..., Xn j e náhodný výběr z rozdělení N (9,100). Ukažte, že C = {(x\,..., xn) | c < x = ^ Yľi=i xi} Je nejlepší kritický obor pro testování H0: 9 = 75 proti H\\ 9 = 78. Stanovte na c tak, aby přibližně platilo P {(*!,..., Xn) G q Ho} = P {X > c\ Ho} = 0, 05, P {(*!,..., Xn) G C\ Hi} = P {X > c\ Hi} = 0, 9. Příklad 11.27. Uvažujme rozdělení N(6I,4). Jednoduchou hypotézu H0: 9 = 0 zamítáme a alternativu Hi: 9 > 0 nezamítáme právě tehdy, když pozorovaná hodnota výběrového průměru x výběru rozsahu 25 je větší nebo rovna 3/5. Stanovte silofunkci ß{9), 0 < 9, tohoto testu. Příklad 11.28. Uvažujme dvě nezávislá rozdělení N(//i,400), N(//2,225). Nechť 9 = \i\ — ß2. Nechť x a y značí pozorované hodnoty výběrových průměrů dvou nezávislých výběrů, rozsahu n z těchto dvou rozdělení. Hypotézu H0: 9 = 0 zamítáme a alternativu Hi: 9 > 0 nezamítáme právě tehdy, když x — y > c. Je-li ß{9) silofunkce tohoto testu, stanovte n a c tak, aby približne platilo ß{0) = 0,05 aß{l0) = 0,9. Příklad 11.29. Nechť Xi,... ,X25 je náhodný výběr rozsahu 25 z normálního rozdělení N(61,100). Nalezněte stejnoměrně nejsilnější kritický obor rozsahu a = 0,1 pro testování H0: 9 = 75 proti H^ 9 > 75. Příklad 11.30. Nechť Xi,... ,Xn je náhodný výběr z rozdělení N(61,16). Nalezněte rozsah výběru n a stejnoměrně nejsilnější test hypotézy H0: 9 = 25 proti alternativě H^ 9 < 25 se silofunkci ß{9) takovou, že přibližně platí /3(25) = 0,1 a/3(23) = 0,9. Příklad 11.31. Nechť Xí}... ,XnaYi,... ,Yn j sou náhodné výběry z nezávislých rozdělení N(0i, 03), resp. N(02,94). a) Ukažte, že věrohodnostní poměr pro testování H0: všem alternativám je tvaru 'i — h = 04 proti n ra/2 m m/2 J2(xí- - x)2/n J2(ví- - yf/m i=í .í=i Y^(xí-u)2 + E(?/í-w)s í=i í=i (m + n) (n-\-m)/2 ' kde u = (nx + my)/(n + m). 51 b) Ukažte, že test poměrem věrohodnosti pro testování H0: 9S = 04, bez podmínky pro Q\ a Q2, proti Hi: #3 ^ #4, bez podmínky pro 6\ a 02, může být založen na náhodné veličině n __ E(Xť-X)2/(n-l) TI ____ E(yť-y)2/(»n-i) í=i Příklad 11.32. V osudí se nachází velký počet černých a bílých kuliček, které jsou hmatem nerozlišitelné. Předpokládáme, že počet černých a bílých kuliček je stejný. Tuto hypotézu přijmeme, jestliže při vytáhnutí 80 kuliček mezi nimi bude 30-40 černých kuliček. Jaká j e pravděpodobnost chyby 1. druhu? Příklad 11.33. K ověření neutrální reakce vody bylo odebráno 9 vzorků. Na Ph-metru byly zjištěny hodnoty 7,2 7,09 6,92 7,18 6,79 6,98 6,86 7,18 7,16. Kolísání zjištěných hodnot můžeme vysvětlit jednak nehomogenitou vody, z níž bereme vzorky (jiných 9 vzorků by nejspíš dalo jiných 9 hodnot) a také nepřesností přístroje. Základní soubor představuje všechny možné vzorky vyšetřovaného vodního zdroje kombinované se všemi možnými náhodnými chybami měření. Testujte hypotézu, že střední hodnota měřené veličiny je rovna hodnotě /j,0 = 7 (reakce je skutečně neutrální a přístroj nemá systematickou chybu) proti oboustranné alternativě. Příklad 11.34. U 12 pacientů byl zjištěn krevní tlak vždy před podáním (Y) a dvě hodiny po podání (Z) farmaka. Zajímá nás, zda léčivo skutečně způsobuje snížení krevního tlaku. O veličině X = Y — Z můžeme předpokládat, že má normální rozdělení N(ß,a2). Získané výsledky pokusu jsou uvedeny dále. Užijte hladinu významnosti a = 0, 05 a testujte hypotézu H0: /j, < 0 proti alternativě Hi. [i > 0. Y 125 126 138 117 143 128 146 133 127 135 126 131 Z 120 124 130 118 140 128 140 135 126 130 126 127 X 5 2 8 -1 3 0 6 -2 1 5 0 4 Příklad 11.35. Sestrojte 95% oboustranný interval spolehlivosti pro rozptyl normálně rozdělené náhodné veličiny na základě údajů z náhodného výběru 42, 48, 60, 43, 36, 50, 52, 38, 56, 45. Příklad 11.36. Náhodný vektor X spojitých náhodných veličin Xu X2, X3 má simultánní hustotu pravděpodobnosti ,, N í ^x^ixi + x2) 0 < xi < 1, 0 < x2 < 2, 0 < x3 < 3, f(x) = < 10 jinak. Určete kovarianční matici cov(X). 52 Příklad 11.37. Velkoobchod dostává balíčky sušenek, o jejichž hmotnosti můžeme předpokládat, že má normální rozdělení s neznámou střední hodnotou a směrodatnou odchylkou a = 5[g]. Z velké dodávky, která má být kontrolována, bylo náhodně vybráno 30 balíčků, u nichž byla zjištěna průměrná hmotnost X = 150,4[