LINEÁRNÍ ALGEBRA A GEOMETRIE III. Doc. RNDr. Martin Čadek, CSc. Obsah Úvod 1 Sylabus přednášky 2 1. Afinní a projektivní prostory 3 2. Nadkvadriky v afinním a projektivním prostoru 11 3. Metrické vlastnosti kvadrik 25 4. Multilineární algebra 34 5. Polynomiální matice a kanonické tvary 61 Rejstřík 76 Další literatura 77 Úvod Obsah skript je zřejmý z následujícího podrobného sylabu. Každá kapitola kromě teoretického výkladu obsahuje vyřešené příklady. Na jejím konci najde čtenář kontrolní otázky a úlohy k samostatnému procvičení. Rád bych poděkoval Richardu Lastoveckému, který celý text přepsal v LATEXu a opatřil úlohami k samostatnému řešení. Přesto, že jsme během psaní mnoho chyb opravili, jistě ještě nějaké v textu zůstaly. Prosím čtenáře, aby mě o chybách a nedostatcích informovali na e-mailové adrese cadek@math.muni.cz. Martin Čadek 1 Sylabus přednášky 1. Afinní a projektivní prostory: komplexifikace vektorového a afinního prostoru, projektivní prostor, projektivní rozšíření afinního prostoru, komplexifikace projektiv- ního prostoru. 2. Nadkvadriky v afinním a projektivním prostoru: definice nadkvadrik, nad- kvadriky a bilineární formy, klasifikace nadkvadrik v projektivním prostoru, polárně sdružené body vzhledem k nadkvadrice, tečné nadroviny, střed nadkvadriky, asymptoty, afinní klasifikace kuželoseček a kvadrik. 3. Metrické vlastnosti kvadrik: hlavní směry, hlavní nadroviny, metrická klasifikace kuželoseček a kvadrik. 4. Multilineární algebra: faktorový prostor, duální prostor, duální báze, multiline- ární zobrazení, definice tenzorového součinu, univerzální vlastnost tenzorového sou- činu, tenzorový součin lineárních zobrazení, tenzorová algebra vektorového prostoru, kontrakce, souřadnice tenzorů při změně báze, tenzory ve fyzice, povýšení a snížení tenzoru, symetrické tenzory, vnější algebra tenzorového prostoru, vnější formy. 5. Polynomiální matice a kanonické tvary: polynomiální matice a jejich ekviva- lence, kriterium podobnosti matic, kanonický tvar polynomiálních matic a jeho jedno- značnost, Jordanův kanonický tvar matice A a jeho vztak ke kanonickému tvaru matice A - E, algoritmus pro nalezení Jordanova kanonikcého tvaru, minimální polynom. 2 1. Afinní a projektivní prostory 1.1. Komplexifikace reálného vektorového prostoru. Nechť V je reálný vek- torový prostor. Jeho komplexním rozšířením (komplexifikací) je komplexní vektorový prostor V C určený množinou V × V , na které je definováno sčítání a násobení kom- plexním číslem takto: (u, v) + (u , v ) = (u + u , v + v ) (a + ib)(u, v) = (au - bv, bu + av) Není těžké dokázat, že jde skutečně o vektorový prostor nad C s nulovým prvkem (0, 0). Reálné vektory u R ztotožníme s prvky (u, 0) V C . Tedy V lze považovat za podmnožinu, nikoli však podprostor prostoru V C . Platí (u, v) = (u, 0) + i(v, 0) = u + iv Příklad. Ukážeme, že komplexní rozšíření vektorového prostoru Rn je izomorfní s Cn . Definujme : Rn × Rn Cn předpisem (x1, x2, . . . , xn), (y1, y2, . . . , yn) = (x1 + iy1, x2 + iy2, . . . , xn + iyn) To je bijekce, která zachovává sčítání vektorů a násobení komplexním číslem. Cvičení. Dokažte, že komplexní rozšíření prostoru polynomů s reálnými koeficienty R[x] je izomorfní s prostorem polynomů s komplexními koeficienty C[x]. Věta. Každá báze (u1, u2, . . . , un) prostoru V je bazí prostoru V C . Cvičení. Dokažte předchozí větu. Je-li U podprostor V , pak UC je podprostor V C . Podprostory prostoru V C tvaru UC , kde U je podprostor V , se nazývají reálné podprostory. Komplexně sdružený vektor k vektoru u + iv V je vektor u - iv V C . Je-li W V C podprostor, pak W = {w; w W} je rovněž podprostor. Věta. Podprostor W V C je reálný právě tehdy, když W = W. Důkaz. Je-li W = UC , pak W = {u + iv; u, v U} a W = {u - iv; u, v U} = W. Nechť W = W. Položme Re(u + iv) = u pro u, v V . Množina U = {Re w = (w + w)/2; w W} je uzavřená na sčítání a násobení reálným číslem. Dokážeme, že UC = W. Nechť w = u + iv W, potom Re w = u U, Re(-iw) = v U, tedy u + iv UC a W UC . Současně U W, tedy UC W. Definice. Nechť : U V je lineární zobrazení mezi reálnými vektorovými prostory. Komplexní rozšíření C : UC V C je zobrazení definované předpisem C (u + iv) = (u) + i(v). Toto zobrazení je opět lineární. Věta. Je-li matice lineárního zobrazení : U V v bazích a rovna reálné matici A, pak C : UC V C má v bazích a opět matici zobrazení A. 3 4 Lineární algebra a geometrie III. Důkaz. Nechť = (u1, . . . , un), = (v1, . . . , vk). Matice A = (aij) je definována takto: (ui) = k j=1 ajivj Pro C platí C (ui) = (ui) = l j=1 ajivj Tedy (C ), = A. 1.2. Afinní prostor a jeho komplexifikace. Připomeneme, že afinní prostor A se zaměřením V je množina A společně s vektorovým prostorem V a s operací - : A × A V , která má tyto dvě vlastnosti: (1) pro každé A A a v V existuje právě jedno B A tak, že - AB = v. Píšeme B = A + v. (2) pro všechna A, B, C A je - AB + -- BC = - AC. Báze afinního prostoru A je dána bodem O A a bazí (u1, u2 . . . , un) vektorového prostoru V . Souřadnice bodu X v této bázi je n-tice skalárů (x1, x2, . . . , xn) taková, že X = O + x1u1 + x2u2 + + xnun. Nechť A je afinní prostor, jehož zaměření V je reálný vektorový prostor. Komplexním rozšířením (komplexifikací) afinního prostoru A je množina AC = A × V s operací -C : AC × AC V C definovanou předpisem -------- (A, u)(B, v) C = - AB + i(v - u). Ověříme, že takto definovaná operace má vlastnosti (1) a (2) z definice afinního prostoru. (1) Nechť (A, u) AC a z + iw V C . Potom existuje právě jedno B A tak, že - AB = z a právě jedno v V tak, že v - u = w. Tedy -------- (A, u)(B, v) C = z + iw. (2) Platí -------- (A, u)(B, v) C + -------- (B, v)(C, z) C = - AB + i(v - u) + -- BC + i(z - v) = - AC + i(z - u) = -------- (A, u)(C, z) C Bod A A ztotožníme s bodem (A, 0) AC . Pro každý bod (A, v) AC pak platí -------- (A, 0)(A, v) C = - AA + iv = iv. Tedy (A, v) = A + iv. Afinní a projektivní prostory 5 Definice. Komplexně sdružený bod k bodu A + iv je bod A + iv = A - iv, A A, v V. Stejně jako pro vektorové prostory můžeme dokázat A. Je-li B A afinní podprostor, je BC AC afinní podprostor. BC se nazývá reálný afinní podprostor. B. Je-li B A afinní podprostor, je B = {A - iv; A + iv B} rovněž afinní podprostor. C. BC je reálný afinní podprostor v AC právě tehdy, když B = B. Příklad. Je-li B A afinní podprostor s parametrickým popisem {B + t1u1 + t2u2 + + tkuk}, pak BC je afinní podprostor v AC s parametrickým popisem {B + (t1 + i1)u1 + (t2 + i2)u2 + + (tk + ik)uk}. Cvičení. Je-li B afinní podprostor v Rn daný soustavou rovnic s reálnými koeficienty Ax = b, pak BC = {x Cn ; Ax = b}. Dokažte. Připomeneme, že zobrazení : A B mezi afinními prostory se nazývá afinní, jestliže existuje lineární zobrazení : U V tak, že (A + u) = (A) + (u) pro všechny body A A a všechny vektory u U. se nazývá indukované lineární zobrazení. Definice. Nechť : A B je afinní zobrazení mezi reálnými afinními prostory. Jeho komplexní rozšíření C : AC BC je definováno předpisem C (A + iu) = (A) + i(u), kde je indukované lineární zobrazení. Zobrazení C je opět afinní s indukovaným lineárním zobrazením C = C , neboť C (A + v + iu) = (A + v) + i(u) = (A) + (v) + i(u) = (A) + C (v + iu) 1.3. Projektivní prostor. Nechť Wn+1 je (n + 1)-rozměrný vektorový prostor nad tělesem K (obvykle K = R nebo C). Definice. Množinu Pn všech jednorozměrných podprostorů vektorového prostoru Wn+1 nazveme n-rozměrným projektivním prostorem nad K. Vektorový prostor Wn+1 se na- zývá aritmetickým základem projektivního prostoru Pn. Prvky projektivního prostoru se nazývají body. Každý vektor x Wn+1 - {0} ur- čuje jednorozměrný podprostor X = [x] = {ax Wn+1; a K} Pn a nazývá se aritmetickým základem bodu X. 6 Lineární algebra a geometrie III. Jedna z možných názorných představ o projektivním prostoru s aritmetickým zá- kladem Rn+1 je tato: Každá přímka v Rn+1 protne sféru Sn = {(x1, . . . , xn+1) Rn+1 ; x2 1 + + x2 n+1 = 1} právě ve dvou bodech. Tedy Pn je Sn , kde ztotožníme protilehlé body. 1.4. Báze a homogenní souřadnice. Body A1 = [u1], A2 = [u2], . . . , Ak = [uk] v Pn se nazývají lineárně nezávislé, jestliže jsou lineárně nezávislé vektory u1, u2, . . . , uk. Aritmetickou bazí prostoru Pn rozumíme libovolnou bázi (u1, u2, . . . , un+1) jeho aritmetického základu Wn+1. Geometrickou bazí prostoru Pn rozumíme uspořádanou (n+2)-tici bodů (O1, O2, . . . , On+1, E) takových, že libovolných n+1 z nich je lineárně nezávislých. Body O1, O2, . . . , On+1 nazýváme základní body, bod E jednotkový bod. Věta. Je-li (u1, u2, . . . , un+1) aritmetická báze prostoru Pn, pak ([u1], [u2], ..., [un+1], [u1 + u2 + + un+1]) je geometrická báze. Opačně, je-li (O1, O2, . . . , On+1, E) geometrická báze, pak existuje aritmetická báze (u1, u2, ..., un+1) taková, že O1 = [u1], O2 = [u2], ..., On+1 = [un+1], E = [u1 + u2 + + un+1]. Je-li (v1, v2, ..., vn+1) jiná aritmetická báze s touto vlastností, pak existuje 0 = K tak, že vi = ui pro všechna i. Důkaz prvé části. Je potřeba dokázat, že libovolných n + 1 vektorů z (n + 2)-tice u1, . . . , un+1, u1 + u2 + + un+1 je lineárně nezávislých. Ukažme to pro u2, . . . , un+1, u1 + u2 + + un+1. Nechť n+1 i=2 aiui + an+2(u1 + u2 + + un+1) = 0 Tedy an+2u1 + n+1 i=2 (ai + an+2)ui = 0 Protože u1, . . . , un+1 jsou linerárně nezávislé, je an+2 = 0, ai + an+2 = 0 pro i = 2, 3, . . . , n + 1 Odtud ai = 0 pro i = 2, 3, . . . , n + 2. Důkaz druhé části. Zvolme wi Wn+1 - {0}, i = 1, 2, . . . , n + 2 tak, aby Oi = [wi], E = [wn+2]. Protože w1,. . . ,wn+1 tvoří bázi Wn+1, existují jednoznačně určené skaláry a1, a2, . . . , an+1 K tak, že a1w1 + a2w2 + + an+1wn+1 = wn+2. Kdyby nějaké ai = 0, dostali bychom lineární závislost n+1 vektorů. Nyní stačí položit ui = aiwi, un+2 = wn+2. Potom (u1, . . . , un+1), je aritmetická báze, Oi = [ui], E = [un+2] a bude platit u1 + + un+1 = un+2. Nechť (v1, . . . , vn+1) je jiná aritmetická báze taková, že O1 = [v1], . . . , On+1 = [vn+1], E = [v1 + v2 + + vn+1]. Potom vn+2 = v1 + + vn+2 = un+2. Afinní a projektivní prostory 7 Protože rovnice x1u1 + + xn+1un+1 = un+2 má jediné řešení, a tím je x1 = x2 = = xn+1 = , vi = ui pro i = 1, 2, . . . , n + 1. Definice. Nechť (O1, O2, . . . , On+1, E) je nějaká geometrická báze v Pn s aritmetic- kými zástupci u1, u2, . . . , un+1, u1 +u2 + +un+1. Nechť X Pn a nechť u je nějaký jeho aritmetický zástupce. Potom souřadnice (x1, x2, . . . , xn+1) vektoru u v bázi (u1, u2, . . . , un+1 u = x1u1 + x2u2 + + xn+1un+1 se nazývají homogenní souřadnice bodu X. Vezmeme-li za aritmetického zástupce bodu X vektor u, = 0, jsou jeho souřadnice v bázi (u1, u2, . . . , un+1) rovny (x1, x2, . . . , xn+1). Tedy dva body X, Y Pn jsou totožné právě tehdy, když jejich souřadnice splňují (x1, x2, . . . , xn+1) = (y1, y2, . . . , yn+1) pro nějaké = 0. 1.5. Projektivní podprostory. Jednorozměrné podprostory v (k + 1)-rozměrném podprostoru W Wn+1 tvoří k-rozměrný projektivní podprostor P v projektivním prostoru Pn. Jednorozměrný projektivní podprostor v Pn se nazývá přímka. Příklad. Každé dvě přímky p, q v P2 mají společný bod. V aritmetickém základu W3 přímkám p a q odpovídají dva podprostory U a V dimenze 2. Protože dim U V = dim U + dim V - dim(U + V ) a dim(U + V ) 3, je dim U V 1. Tedy p q obsahuje alespoň jeden bod projektivního prostoru P2. Nechť P Pn je k-rozměrný projektivní podprostor, kterému odpovídá (k + 1)- rozměrný podprostor W Wn+1 popsaný v souřadnicích báze (u1, u2, . . . ,un+1) ho- mogenní soustavou rovnic a11x1 + . . . + a1,n+1 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . an-k,1x1 + . . . + an-k,n+1 = 0 Stejná soustava rovnic pak popisuje homogenní souřadnice bodů projektivního pro- storu P. 1.6. Kolineace. Nechť Pn a Pn jsou dva projektivní prostory dimenze n. Zobrazení : Pn Pn se nazývá kolineace, jestliže existuje lineární izomorfismus : Wn+1 Wn+1 tak, že ([u]) = [(u)] pro všechna u Wn+1. Kolineace Pn do Pn tvoří grupu, kterou budeme značit PGL(Pn). Věta. Pro každou dvojici geometrických bazí (O1, . . . , On+1, E) v Pn a (O1, . . . , On+1, E ) v Pn existuje právě jedna kolineace : Pn Pn taková, že (Oi) = Oi, (E) = E pro všechna i = 1, . . . , n + 1. 8 Lineární algebra a geometrie III. Důkaz. Nechť (u1, . . . , un+1) a (u1 , . . . , un+1 ) jsou báze aritmetických základů Wn+1 a Wn+1 prostorů Pn a Pn takové, že Oi = [ui], E = [u1 + + un+1], Oi = [ui], E = [u1 + + un+1] Pak existuje právě jeden izomorfismus : Wn+1 Wn+1 takový, že (ui) = ui. Platí (u1 + + un+1) = u1 + + un+1. Ten určuje kolineaci : Pn Pn s požadovanými vlastnostmi. Nechť : Wn+1 Wn+1 je jiný izomorfismus takový, že (ui) = iui, (u1 + + un+1) = (u1 + + un+1). Potom 1u1 + 2u2 + n+1un+1 = u1 + u2 + + un+1, odtud plyne = 1 = 2 = = n+1, neboť u1, u2, . . . , un+1 jsou lineárně nezávislé. 1.7. Afinní prostor jako podmnožina projektivního prostoru. Nechť Pn je n-rozměrný projektivní prostor s aritmetickým základem Wn+1. Nechť N Pn je projektivní nadrovina s aritmetickým základem Vn Wn+1. Ukážeme, že An = Pn-N je afinní prostor se zaměřením Vn. Nechť (e1, . . . , en) je báze prostoru Vn. Vektorem en+1 ji doplňme na bázi pro- storu Vn+1. Nadrovina N je v homogenních souřadnicích popsána rovnicí xn+1 = 0. Pro homogenní souřadnice bodů X An tedy platí xn+1 = 0. Speciálně, bod O = [en+1] An. Definujme nehomogenní souřadnice bodu X An jako (x1, x2, . . . , xn), kde xi = xi xn+1 . Tato volba souřadnic odpovídá parametricky tomu, že každou přímku p ve Wn+1 - Vn procházející počátkem (tedy bod Pn - N) reprezentujeme bodem X p o homogenních souřadnicích (x1, x2, . . . , xn, 1). An si lze tedy představovat jako nadrovinu určenou rovnicí xn+1 = 1. Operaci - : An × An Vn definujeme v nehomogenních souřadnicích takto: -- XY = (y1 - x1)e1 + (y2 - x2)e2 + + (yn - xn)en. Věta. Trojice (An, Vn, - ) je afinní prostor. Důkaz. Nechť bod X An má souřadnice (x1, x2, . . . , xn) a vektor v Vn má sou- řadnice (z1, z2, . . . , zn). Pak existuje právě jeden bod Y o nehomogenních souřadnicích (x1 + z1, x2 + z2, . . . , xn + zn) takový, že -- XY = v. Není těžké se přesvědčit, že i druhá vlastnost z definice afinního prostoru -- XY + - Y Z = -- XZ je splněna. 1.8. Projektivní rozšíření afinního prostoru. Nechť An je n-rozměrný afinní pro- stor se zaměřením Z(An). Projektivní (n - 1)-rozměrný prostor (An) sestrojený na aritmetickém základu Z(An) se nazývá nevlastní podprostor afinního prostoru An. Afinní a projektivní prostory 9 Nechť Wn+1 je (n + 1)-rozměrný vektorový prostor obsahující Z(An) jako svůj pod- prostor. An pak můžeme ztotožnit s nadrovinou ve Wn+1 rovnoběžnou, nikoli však totožnou, se Z(An). Sjednocení An = An (An) je potom totožné s n-rozměrným projektivním prostorem na aritmetickém základu Wn+1. Tento prostor nazýváme projektivním rozšířením afinního prostoru An. Zvolíme-li v An souřadnou soustavu (O, e1, e2 . . . , en) a označíme-li en+1 Wn+1 vektor určený bodem O, pak homogenní souřadnice bodu X = O + x1e1 + x2e2 + + xnen An v souřadné soustavě (e1, e2, . . . , en+1) jsou (x1, x2, . . . , xn, 1), = 0 a homogenní souřadnice bodů z (An) jsou (x1, x2, . . . , xn, 0), = 0. 1.9. Komplexní rozšíření projektivního prostoru. Nechť Pn je n-rozměrný pro- jektivní prostor s aritmetickým základem reálným vektorovým prostorem Wn+1. Kom- plexifikací projektivního prostoru Pn je prostor PC n s aritmetickým základem WC n+1. Komplexně sdružený bod v PC n k bodu X = [u + iv] je bod X = [u - iv]. Věta. Platí AC n = (An)C . Důkaz. Uvažujme afinní bázi (O, e1, e2, . . . , en) v An Wn+1. Buď en+1 Wn+1 vektor určený bodem O. Potom AC n WC n+1 a AC n je projektivní prostor sestrojený na WC n+1. An je projektivní prostor sestrojený na Wn+1. Tedy (An)C je projektivní prostor sestrojený na WC n+1. Odtud AC n = (An)C . Kontrolní otázky. (1) Nechť V je reálný vektorový prostor. Definujte jeho komplexifikaci V C . Ukažte na příkladu V = R2[x] reálných polynomů stupně nejvýše 2. Co je V C v tomto případě? (2) Vyslovte definici afinního prostoru a afinního zobrazení. Demonstrujte na ně- kolika příkladech. (3) Co jsou body projektivního prostoru Pn? Co jsou přímky v Pn? Mají každé dvě projektivní přímky v P3 neprázdný průnik? (4) Vysvětlete projektivní rozšíření afinní roviny A2 na projektivní prostor P2. Představujte si A2 jako rovinu v R3 zadanou v souřadnicích rovnicí x3 = 1. Co jsou v tomto případě nevlastní body? Příklady k procvičení. (1) Ke komplexnímu vektorovému prostoru V lze definovat konjugovaný prostor V takto: množinově V = V , sčítání vektorů je stejné jako ve V a násobení skalárem V definujeme předpisem (a + ib) V u = (a - ib) u. Dokažte, že V je komplexní vektorový prostor. 10 Lineární algebra a geometrie III. (2) Ke komplexnímu vektorovému prostoru V lze definovat jeho realifikaci V R takto: množinově V R = V , sčítání vektorů je stejné jako ve V a násobení reálným číslem je stejné. Nechť (u1, . . . , un) je báze V . Najděte nějakou bázi V R . [Řešení: Např. (u1, . . . , un, iu1, . . . , iun).] (3) Dokažte, že pro reálný vektorový prostor V platí (V C )R V V. (4) Dokažte, že pro komplexní vektorový prostor V platí (V R )C V V . (5) Nechť f : V U je lineární zobrazení mezi komplexními vektorovými prostory. Zobrazením f je indukováno zobrazení fR : V R UR . Dokažte, že fR je lineární zobrazení mezi reálnými vektorovými prostory. (6) Jsou-li v prostorech V a U z předchozího příkladu zvoleny báze = (v1, . . . , vn) a = (u1, . . . , vm), můžeme najít matice A a B takové, že matice zobrazení (f) = A + iB. Zvolme v prostoru V R bázi R = (v1, . . . , vn, iv1, . . . , ivn) a v prostoru UR bázi R = (u1, . . . , um, iu1, . . . , ium). Dokažte, že matice zobrazení fR v těchto bazích je (fR )RR = A -B B A . Uvědomte si, jaké jsou rozměry jednotlivých matic! (7) Lze definovat na jednotkové kružnici v R2 operaci - tak, že bude splňovat axiomy afinního prostoru? (8) Lze definovat realifikaci AR komplexního afinního prostoru A podobně jako pro komplexní vektorový prostor v příkladě (2)? Jakým způsobem? Lze definovat konjugovaný afinní prostor k prostoru A? (9) V prostoru AC 3 udejte příklady přímky p takové, že přímky p a p jsou rovno- běžné, různoběžné, mimoběžné. (10) Nechť (O1, . . . , On+1, E) je geometrická báze projektivního prostoru Pn. Po- pište, jak se změní homogenní souřadnice bodu X = [u1, . . . , un] při přechodu ke geometrické bázi (O1, . . . , On+1, E ). (11) V části 1.7 se definuje operace - pomocí souřadnic pevně zvolené báze za- měření afinního prostoru. Dokažte, že definice této operace na zvolené bázi nezávisí. 2. Nadkvadriky v afinním a projektivním prostoru 2.1. Definice nadkvadriky v reálném afinním prostoru. Uvažujme reálný afinní prostor An. Nechť (O, e1, . . . , en) je nějaká jeho báze. Nadkvadrikou v An rozumíme množinu Q An všech bodů, jejichž souřadnice v dané bázi splňují rovnici n i,j=1 aijxixj + 2 n i=1 ai,n+1xi + an+1,n+1 = 0, kde aij = aji R a aspoň jedno aij = 0 pro i, j {1, . . . , n}. Nadkvadriky v A2 se nazývají kuželosečky, nadkvadriky v A3 kvadriky. Mnohé rovnice výše uvedeného typu (např. x2 1 + x2 2 + 1 = 0) nemají v reálném oboru řešení. Proto je výhodné místo s nadkvadrikami v An pracovat s nadkvadrikami v komplexním rozšíření AC n. 2.2. Definice nakvadriky v komplexním rozšíření afinního prostoru. Uva- žujme komplexní rozšíření AC n reálného afinního prostoru. Nechť (O, e1, . . . , en) je nějaká jeho báze. Nadkvadrikou v AC n rozumíme množinu Q AC n všech bodů, jejichž souřadnice v dané bázi splňují rovnici n i,j=1 aijxixj + 2 n i=1 ai,n+1xi + an+1,n+1 = 0, kde aij = aji R a aspoň jedno aij = 0 pro i, j {1, . . . , n}. Pro nadkvadriky v afinním prostoru chceme definovat takové pojmy jako střed, tečná nadrovina, asymptotická nadrovina, a to nejlépe v řeči koeficientů aij, aby nalezení těchto objektů bylo početně co nejjednodušší. To se nám podaří celkem snadno, když od afinního prostoru přejdeme k jeho projektivnímu rozšíření a od kvadriky Q AC n AC n k jejímu rozšíření Q AC n. Je-li (O, e1, . . . , en) báze v AC n, pak geometrická báze v AC n je zadána body [e1], [e2], . . . , [en], [en+1 = - PO], [e1 + + en+1]. V této bázi mají body AC n homogenní souřadnice (x1, x2, . . . , xn, 1). Tedy homogenní souřadnice bodů nadkvadriky Q AC n splňují rovnici n i,j=1 aijxixj + 2 n i=1 ai,n+1xixn+1 + an+1,n+1x2 n+1 = 0. Množinu všech bodů AC n, jejichž homogenní souřadnice splňují výše uvedenou rov- nici, nazveme projektivním rozšířením nadkvadriky Q a budeme ji označovat Q. Mno- žina Q může obsahovat i nevlastní body z (AC n) o souřadnicích (x1, . . . , xn, 0). Položíme-li an+1,i = ai,n+1 a A = (aij)n+1 i,j=1, je A symetrická nenulová matice typu (n + 1) × (n + 1). Výše uvedenou rovnici můžeme psát ve tvaru n+1 i,j=1 aijxixj = x Ax = 0. 11 12 Lineární algebra a geometrie III. Symetrická matice A definuje reálnou bilineární formu f na aritmetickém základu projektivního prostoru An předpisem f(x, y) = n+1 i,j=1 aijxiyj = x Ay. 2.3. Definice nadkvadriky v projektivním prostoru. Nechť Pn je reálný projek- tivní prostor s aritmetickým základem Wn+1. Nechť f je reálná nenulová symetrická bilineární forma na Wn+1. Nadkvadrika Q v projektivním prostoru Pn je množina bodů [x] v PC n , pro které f(x, x) = 0. V souřadnicovém vyjádření v nějaké bázi PC n jde o řešení rovnice x Ax = n+1 i,j=1 aijxixj = 0, kde aij = aji R a aij = 0 pro nějaké i, j. Lemma. Nadkvadrika Qp v AC n je rozšířením nějaké kvadriky Q AC n právě tehdy, když existuje nějaký nevlastní bod X (AC n), který v Qp neleží. Důkaz. Nechť Qp = Q, potom matice A = (aij), pomocí které je definováno Q, má aij = 0 pro nějaké i, j {1, 2, . . . , n}. Tedy bod X o souřadnicích xi = xj = 1 a xk = 0 pro ostatní k neleží v Qp . Nechť X Qp . Potom pro jeho homogenní souřadnice (x1, . . . , xn, 0) a koeficienty matice A, pomocí které je Q definováno, platí n i,j=1 aijxixj = 0. Tedy nutně aij = 0 pro nějaké i, j {1, 2, . . . , n}. 2.4. Vzájemná korespondence mezi nadkvadrikami a symetrickými biline- árními formami. Nechť Kn je množina všech nadkvadrik v PC n , nechť Bn je množina všech nenulových symetrických bilineárních forem na aritmetickém základě Wn+1. V Bn budeme psát f g právě tehdy, když existuje k R - {0} tak, že g = k f. Zobrazení : Bn Kn, definované předpisem (f) = {[x] PC n ; f(x, x) = 0}, indukuje zobrazení : (Bn/ ) Kn. Věta. Zobrazení : (Bn/ ) Kn je bijekce. Speciálně nadkvadriky v PC n tvoří projektivní prostor dimenze (n+1)(n+2) 2 - 1. Důkaz. Z definice existuje ke každé nadkvadrice příslušná bilineární symetrická forma, tedy je surjektivní zobrazení. Chceme dokázat, že je také injektivní, to znamená, že zadávají-li dvě bilineární symetrické formy f a g tutéž kvadriku, pak g = k f pro nějaké k R. Vezměme u Wn+1 takové, že f(u, u) = 0. Protože f a g zadávají tutéž kvadriku, je také g(u, u) = 0. Můžeme proto psát g(u, u) = kf(u, u) pro nějaké 0 = k R. Vezměme nyní libovolné v WC n+1. Potom výrazy f(tu + v, tu + v) = t2 f(u, u) + 2tf(u, v) + f(v, v) Nadkvadriky v afinním a projektivním prostoru 13 a g(tu + v, tu + v) = t2 g(u, u) + 2tg(u, v) + g(v, v) chápané jako polynomy druhého stupně v proměnné t mají podle předpokladů stejné kořeny t1, t2. Z algebry víme, že koeficienty polynomů se stejnými kořeny musí být úměrné, proto ze vztahu g(u, u) = kf(u, u) plyne g(u, v) = kf(u, v) a g(v, v) = kf(v, v). Protože vektor v byl volen libovolně, platí g = k f. Zbývá dokázat, že nadkvadriky v PC n tvoří projektivní prostor dimenze (n+1)(n+2) 2 - 1. Prostor bilineárních forem na Wn+1 je vektorový prostor izomorfní s vektorovým prostorem matic typu (n+1)×(n+1). Protože každá symetrická matice (n+1)×(n+1) je určena prvky na diagonále a nad diagonálou, jichž je (n+1)(n+2) 2 , je dimenze Bn/ chápaného jako projektivní prostor (n+1)(n+2) 2 - 1. 2.5. Klasifikace nadkvadrik v projektivním prostoru. Nechť Q PC n je nad- kvadrika. Potom v PC n existuje geometrická báze (O1,O2,. . . , On+1,E), tvořená body Pn, v níž je nadkvadrika popsána právě jednou z rovnic (a) pro n = 1 x2 1 + x2 2 = 0 dva imaginární body x2 1 - x2 2 = 0 dva reálné body x2 1 = 0 dvojný bod (b) pro n = 2 x2 1 + x2 2 + x2 3 = 0 imaginární regulární kuželosečka x2 1 + x2 2 - x2 3 = 0 reálná regulární kuželosečka x2 1 + x2 2 = 0 dvojice imaginárních přímek x2 1 - x2 2 = 0 dvojice reálných přímek x2 1 = 0 dvojnásobná přímka (c) pro n = 3 x2 1 + x2 2 + x2 3 + x2 4 = 0 imaginární regulární kvadrika x2 1 + x2 2 + x2 3 - x2 4 = 0 nepřímková regulární kvadrika x2 1 + x2 2 - x2 3 - x2 4 = 0 přímková regulární kvadrika x2 1 + x2 2 + x2 3 = 0 imaginární kuželová plocha x2 1 + x2 2 - x2 3 = 0 reálná kuželová plocha x2 1 + x2 2 = 0 imaginární dvojice rovin x2 1 - x2 2 = 0 reálná dvojice rovin x2 1 = 0 dvojnásobná rovina Důkaz. Každá nadkvadrika je určena nějakou reálnou symetrickou bilineární formou f na aritmetickém základu Wn+1. Pro tuto formu lze nalézt vhodnou bázi Wn+1, v níž má f diagonální tvar s koeficienty 1 nebo 0 na diagonále. Případným vynásobením 14 Lineární algebra a geometrie III. číslem -1 dostaneme rovnici tvaru x2 1 + x2 2 + + x2 p - x2 p+1 - - x2 p+q = 0, kde p q a p + q n + 1. 2.6. Průniky nadkvadrik v PC n s podprostory.Nechť Pk je k-rozměrný podprostor v Pn a nechť Q je nadkvadrika v PC n . Potom buď PC k Q nebo PC k Q je nadkvadrika v PC k . Důkaz. Nechť F(u) = f(u, u) je kvadratická forma definující Q. Potom buď F|PC k 0 a tudíž PC k Q nebo F|PC k není identicky rovno nule a tedy PC k Q = {[v] PC k ; F(v) = 0} je nadkvadrikou v PC k . Důsledek. Nechť p je přímka v Pn, Q nadkvadrika v PC n . Jestliže pC Q obsahuje tři body, pak pC Q. Důkaz. Podle klasifikační věty nadkvadriky v PC 1 obsahují nejvýše dva body. Příklad. Průnik kvadriky x2 1 + x2 2 - x2 3 - x2 4 = 0 s rovinou x3 = x4 je reálná regulární kuželosečka x2 1 + x2 2 - z2 = 0, kde z = 1 2 x3 = 1 2 x4. 2.7. Pojem polárně sdružených bodů. Začneme motivací. Nadkvadrika Q v PC n je v souřadnicích určena množinou M = {[x] Cn+1 ; x Ax = 0}. Tečný vektor k této množině v Cn+1 je derivací křivky x(t) ležící v M v bodě x = x(0). Derivováním v rovnici x(t) Ax(t) = 0 dostáváme (x (t)) Ax(t) + x(t) Ax (t) = 0. Vzhledem k tomu, že A je symetrická matice, platí (x(0)) Ax (0) = 0. Nechť y Cn+1 leží v tečné nadrovině, pak y = x + x (0) a platí x Ay = x A(x + x (0)) = x Ax + x Ax (0) = 0 + 0 = 0. Tedy pro [y] PC n v tečné nadrovině ke Q v bodě [x] PC n platí x Ay = 0. Definice. Nechť Q PC n je nadkvadrika definovaná pomocí bilineární symetrické formy f. Body [x], [y] PC n jsou polárně sdružené (konjugované) vzhledem ke Q právě tehdy, když f(x, y) = 0. Lemma. Množina polárně sdružených bodů k bodu [x] vzhledem k nadkvadrice Q je buď celé PC n nebo nadrovina v PC n . Nadkvadriky v afinním a projektivním prostoru 15 Důkaz. Množina polárně sdružených bodů k [x] je {[y] PC n ; y ker f(x, -)}. Protože f(x, -) : WC n+1 C je lineární zobrazení, je buď Im f(x, -) = 0 nebo C. Dále dim ker f(x, -) = n + 1 - dim Im f(x, -), což dává tvrzení lemmatu. Příklad (a). V PC 3 uvažujme kvadriku x2 1 + x2 2 - x2 3 - x2 4 = 0. Polárně sdružené body k bodu [(1, 1, 0, 2)] mají homogenní souřadnice (y1, y2, y3, y4) a tvoří rovinu 0 = f (1, 1, 0, 2), (y1, y2, y3, y4) = y1 + y2 - 2y4. Příklad (b). V PC 2 uvažujme kuželosečku x2 1 - x2 2 = 0. Polárně sdružené body k bodu [(0, 0, 1)] jsou všechny body PC 2 , neboť pro jejich ho- mogenní souřadnice (y1, y2, y3) platí 0 y1 + 0 y2 = 0. Definice. Bod [x] PC n se nazývá regulárním bodem nadkvadriky Q, jestliže množina polárně sdružených bodů k [x] je nadrovina v PC n . Tato nadrovina se nazývá polární nadrovina (v PC 2 stručně polára). Definice. Bod [x] PC n se nazývá singulárním bodem nadkvadriky Q, jestliže množina polárně sdružených bodů k [x] je celý prostor PC n . (Speciálně platí [x] Q.) Definice. Nadkvadrika Q v PC n se nazývá regulární, jsou-li všechny její body regulární. Nadkvadrika se nazývá singulární, obsahuje-li nějaký singulární bod. Lemma. Nadkvadrika Q PC n je regulární právě tehdy, když hodnost symetrické matice A, která ji definuje v souřadnicích, je rovna n + 1. Důkaz. Hodnost A je rovna n + 1 právě tehdy, když x A = 0 pro každé x = 0. Je-li x A = 0, pak soustava s neznámou y x Ay = 0 nemá za množinu řešení celé Cn+1 . Lemma. Nechť Q PC n je nadkvadrika se singulárním bodem X. Jestliže Y = X je dalším bodem nadkvadriky Q, pak v Q leží celá přímka - XY . Důkaz. Pro aritmetické zástupce x, y bodů X a Y a bilineární formu f, která definuje nadkvadriku Q, platí f(x, x) = 0 a f(x, y) = 0, neboť [x] = X je singulární bod, a f(y, y) = 0, neboť [y] = Y Q. Potom f(ax + by, ax + by) = a2 f(x, x) + 2abf(x, y) + b2 f(y, y) = 0. Tedy [ax + by] Q. 16 Lineární algebra a geometrie III. 2.8. Tečná nadrovina. Na základě motivace z předchozího paragrafu můžeme vy- slovit následující definici. Definice. Tečná nadrovina nadkvadriky Q PC n v regulárním bodě X Q je polární nadrovina k X. Věta. Nadrovina v PC n je tečnou nadrovinou k nadkvadrice Q v regulárním bodě X Q právě tehdy, když Q nebo Q je singulární kvadrika v se singulárním bodem X. Důkaz. (1) Nechť je tečná nadrovina v bodě X = [x], = {[y]; f(x, y) = 0}. Pokud Q, pak Q = {[y] ; f(y, y) = 0} má singulární bod X. (2) Nechť X je regulární bod nadkvadriky Q, X . Pokud [x] = X Q, pak f| 0 a tedy f(x, y) = 0 pro všechny [y] . Nechť f| 0 a X je singulární bod nadkvadriky Q = {[y] ; f(y, y) = 0}. To znamená, že f(x, y) = 0 pro všechna [y] , tedy je polární nadrovina bodu X. Důsledek. Přímka p je tečnou ke kuželosečce Q právě tehdy, když p Q nebo p Q je jednobodová množina. Příklad. Najděte tečnu kuželosečky Q v bodě X Q. Q : 8x2 1 + 4x1x2 + 5x2 2 + 16x1 + 4x2 - 28 = 0, X = [0; 2] Řešení: Daná kuželosečka je zadána v afinní rovině. Rozšíříme ji prvně na projektivní rovinu. V této rovině je bilineární forma kuželosečky Q f(x, y) = 8x1y1 + 2x1y2 + 2x2y1 + 5x2y2 + 8x1y3 + 8x3y1 + 2x2y3 + 2x3y2 - 28x3y3. Bod X má homogenní souřadnice x1 = 0, x2 = 2, x3 = 1. Jeho dosazením do f(x, y) získáme rovnici tečny v homogenních souřadnicích: 12y1 + 12y2 - 24y3 = 0. V afinní rovině je tečnou vedenou bodem X ke kuželosečce Q přímka y1 + y2 - 2 = 0. Příklad. Bodem X Q veďte tečnu ke kuželosečce Q. Q : 2x2 1 - 4x1x2 + x2 - 2x1 + 6x2 - 3 = 0, X = [3; 4] Řešení: Kuželosečku Q zadanou v afinní rovině rozšíříme na kuželosečku Q v projek- tivní rovině. Příslušná bilineární forma pro Q je f(x, y) = 2x1y1 - 2x1y2 - 2x2y1 + x2y2 - x1y3 - x3y1 + 3x2y3 + 3x3y2 - 3x3y3. Nechť T = (t1, t2, t3) je bodem dotyku hledané tečny. Tedy T Q a T a X jsou polárně sdružené. To vede na rovnice 2t2 1 - 4t1t2 + t2 2 - 2t1t3 + 6t2t3 - 3t2 3 = 0 -3t1 + t2 + 6t3 = 0 Dosazením t2 = (3t1 + 6t3) do první rovnice dostaneme -t2 1 - 3t2 3 + 4t1t3 = 0. Nadkvadriky v afinním a projektivním prostoru 17 Položíme t3 = 1 a řešíme rovnici -t2 1 + 4t1 - 3 = 0. Řešení t1 = 3 a 1 vede k bodům T1 = (3, 3, 1) a T2 = (1, -3, 1). Hledané tečny jsou potom x1 - 3x3 = 0 a 7x1 - 2x2 - 13x3 = 0. 2.9. Střed nadkvadriky v afinním prostoru. V tomto paragrafu budeme pracovat s nadkvadrikou Q v afinním prostoru AC n a s jejím projektivním rozšířením Q v AC n. Body z Q - Q nazýváme nevlastní body nadkvadriky Q. Definice. Bod S AC n se nazývá střed nadkvadriky Q, jestliže je polárně sdružen se všemi nevlastními body. Poznámka. Střed může být vlastní i nevlastní bod v AC n. Následující věta říká, že vlastní střed má právě ty vlastnosti, které po středu v geo- metrii požadujeme. Věta. Bod S AC n je středem nadkvadriky Q právě tehdy, když Q je středově souměrná podle S. Důkaz. Nechť Wn+1 je aritmetický základ AC n. Nechť s Wn+1 je aritmetický zástupce středu nadkvadriky S AC n AC n. Potom pro všechny vektory v ze zaměření afinního prostoru AC n platí f(s, v) = 0. Odtud dostáváme f(s+v, s+v) = f(s, s)+2f(s, v)+f(v, v) = f(s, s)-2f(s, v)+f(v, v) = f(s-v, s-v). Tedy [s+v] = S +v Q právě tehdy, když [s-v] = S -v Q, což je symetrie podle bodu S. Obráceně, nechť S + v Q právě tehdy, když S - v Q. Chceme dokázat, že f(s, v) = 0 pro všechna v (An). Potom bude S = [s] polárně sdružený se všemi nevlastními body. Prvně ukážeme, že existuje t C tak, že f(s + tv, s + tv) = 0. Řešíme rovnici t2 f(v, v)+2tf(s, v)+f(s, s) = 0. Tato rovnice má buď jen nulový kořen a pak f(s, v) = 0, nebo má řešení t = 0. Pak ale 0 = f(s + tv, s + tv) - f(s - tv, s - tv) = 4tf(s, v), tedy rovněž f(s, v) = 0. Výpočet středu. Chceme-li najít středy S nadkvadriky Q zadané v homogenních souřadnicích AC n bilineární symetrickou formou f(x, x) = x Ax, řešíme soustavu a11s1 + a12s2 + . . . + a1nsn + a1,n+1sn+1 = 0 ... ... ... ... ... an1s1 + an2s2 + . . . + annsn + an,n+1sn+1 = 0 Ta vznikne ze vztahu 0 = f(x, s) = x As postupným dosazením e1, e2, . . . , en za x. Chceme-li najít vlastní střed, pokládáme sn+1 = 1, pro nevlastní střed sn+1 = 0. Příklad. Najděte středy kuželosečky Q (vlastní i nevlastní). Q : 4x1x2 + 3x2 2 + 6x1 + 12x2 - 36 = 0 18 Lineární algebra a geometrie III. Řešení: Bilineární forma pro kuželosečku Q je f(x, y) = 2x1y2 + 2x2y1 + 3x2y2 + 3x1y3 + 3x3y1 + 6x2y3 + 6x3y2 - 36x3y3. Rovnice pro střed S = (y1, y2, y3) jsou 2y2 + 3y3 = 0 2y1 + 3y2 + 6y3 = 0 Pro y3 = 1 dostaneme jediné řešení S = (-3 4 , -3 2 , 1). Pro y3 = 0 dostame y1 = y2 = 0, což nedává v projektivní rovině žádný bod. Daná kuželosečka má tedy vlastní střed S = [-3 4 , -3 2 ] a nemá žádný nevlastní střed. Příklad. Najděte středy kvadriky Q (vlastní i nevlastní). Q : x2 1 + x1x2 + 2x2 2 - x3 - 2 = 0 Řešení: Bilineární forma pro kvadriku Q je 2f(x, y) = 2x1y1 + x1y2 + x2y1 + 4x2y2 - x3y4 - x4y3 - 4x4y4. Soustava rovnic pro střed S = (y1, y2, y3, y4) je 2y1 + y2 = 0 y1 + 4y2 = 0 -y4 = 0 Tato soustava nemá řešení pro y4 = 0. Pro y4 = 0 má řešení (0, 0, t, 0). Tedy daná kvadrika nemá vlastní střed a má jeden nevlastní střed o homogenních souřadnicích (0, 0, 1, 0). 2.10. Asymptotické nadroviny nadkvadriky v afinním prostoru. Nechť Q je nadkvadrika v afinním prostoru AC n uvažovaná společně se svým rozšířením Q v AC n. Definice. Asymptotická nadrovina k nadkvadrice Q je tečná nadrovina v regulárním nevlastním bodě. Příklad. Najděte asymptoty kuželosečky x2 1 + 6x1x2 + 9x2 2 - 12x1 + 24x2 + 15 = 0. Řešení: Nevlastní body kuželosečky mají homogenní souřadnice a splňují rovnici x2 1 + 6x1x2 + 9x2 2 = 0 (x1 + 3x2)2 = 0 Tedy daná kuželosečka má jeden nevlastní bod o homogenních souřadnicích (3, -1, 0). Tento bod je regulární. Asymptota je polára k tomuto bodu. Ta má rovnici 3y1 + 9y2 - 3y1 - 9y2 - 18y3 - 12y3 = 0, tj. y3 = 0. To je však rovnice nevlastní přímky a tu za asymptotu nepovažujeme. 2.11. Afinní klasifikace kuželoseček. Kuželosečky v AC 2 rozdělujeme podle toho, jaký mají průnik svého rozšíření v AC 2 s nevlastní přímkou (AC 2 ). K tomu používáme klasifikaci nadkvadrik v projektivním prostoru PC 1 . Jsou-li průnikem dva imaginární body, pak jde o kuželosečku eliptického typu, jsou-li průnikem dva reálné body, jde o Nadkvadriky v afinním a projektivním prostoru 19 kuželosečku hyperbolického typu. V případě jednobodového průniku mluvíme o kuže- losečce parabolického typu. Je-li kuželosečka dána v souřadnicích rovnicí 2 i,j=1 aijxixj + 2 2 i=1 ai3xi + a33 = 0, položme A = (aij)3 i,j=1 a A = (aij)2 i,j=1. O tom, jakého je kuželosečka typu, rozho- duje matice A. Je-li A regulární a pozitivně nebo negativně definitní, je kuželosečka eliptického typu. Je-li A regulární a indefinitní, je kuželosečka hyperbolického typu. Singulární matice A zadává kuželosečku parabolického typu. Věta. Pro každou kuželosečku Q v AC 2 lze najít takovou bázi (O, e1, e2) v AC 2 , že v souřadnicích této báze je kuželosečka zadána jednou z rovnic x2 1 + x2 2 + 1 = 0 imaginární elipsa x2 1 + x2 2 - 1 = 0 reálná elipsa x2 1 - x2 2 - 1 = 0 hyperbola x2 1 + 2x2 = 0 parabola x2 1 + x2 2 = 0 dvě imaginární různoběžky x2 1 - x2 2 = 0 dvě reálné různoběžky x2 1 + 1 = 0 dvě imaginární rovnoběžky x2 1 - 1 = 0 dvě reálné rovnoběžky x2 1 = 0 dvojnásobná přímka Důkaz lze provádět tak, že v souřadnicích nějaké báze vezmeme rovnici kuželosečky a tu pomocí ,,úpravy na čtverce a dalších úprav převedeme na jednu z popsaných rovnic v nových souřadnicích. My však provedeme důkaz ,,geometricky na základě následujících tří lemmat. Lemma A. Nechť S je reálným vlastním středem kuželosečky Q. Potom v souřadnicích báze (S, e1, e2) je její rovnice tvaru a11x2 1 + 2a12x1x2 + a22x2 2 + a33 = 0. Důkaz. V homogenních souřadnicích (x1, x2, x3) je S = (0, 0, 1). S je polárně sdružený s nevlastními body o homogenních souřadnicích (1, 0, 0) a (0, 1, 0). Odtud plyne, že koeficienty symetrické bilineární formy f zadávající Q v daných souřadnicích jsou a13 = a31 = 0 a a23 = a32 = 0. Lemma B. Nechť e1, e2 jsou dva lineárně nezávislé vektory v zaměření A2, které určují dva nevlastní body v AC 2 polárně sdružené vzhledem ke kuželosečce Q. Potom v souřadnicích báze (O,e1,e2) má Q rovnici a11x2 1 + a22x2 2 + 2a13x1 + 2a23x2 + a33 = 0. Důkaz. Homogenní souřadnice bodu [e1] a [e2] jsou (1, 0, 0) a (0, 1, 0). Protože f(e1, e2) = 0, dostaneme a12 = a21 = 0. 20 Lineární algebra a geometrie III. Lemma C. Nechť kuželosečka Q nemá vlastní střed. Potom v souřadnicích báze (O,e1,e2), kde O Q je regulární, e1 je tečný vektor ke Q v bodě O a e2 je polárně sdružený k e1 má Q rovnici a11x2 1 + 2a23x2 = 0, kde a11 = 0, a23 = 0. Důkaz. O a e1 jsou polárně sdružené, jejich homogenní souřadnice jsou (0, 0, 1) a (1, 0, 0). Proto a13 = a31 = 0. Dále [e1] a [e2] jsou polárně sdružené, proto a12 = a21 = 0. Dále O Q, proto a33 = 0. Tedy Q má rovnici a11x2 1 + a22x2 2 + 2a23x2 = 0. Protože Q nemá vlastní střed, soustava a11x1 = 0 a22x2 + a23 = 0 nemá řešení, což je možné jedině pro a22 = 0 a a23 = 0. Důkaz klasifikační věty. Nechť Q je středová kuželosečka. Potom v bázi dané vlastním středem S a dvěma polárně sdruženými směry e1, e2 má rovnici a11x2 1 + a22x2 2 + a33 = 0. Můžeme předpokládat a11 > 0. Potom rozlišením případů, kdy a22 a a33 jsou kladná, nulová nebo záporná a jednoduchou transformací dostaneme některou z rovnic v tvr- zení s výjimkou paraboly. Jestliže Q není středová kuželosečka, zvolme O Q regulární, e1 tečný vektor k O a e2 polárně sdružený k e1. Podle lemmatu C je rovnice kuželosečky a11x2 1 + 2a23x2 = 0, a11 > 0, a23 = 0. Potom po transformaci y1 = a11x1, y2 = a23x2 dostaneme kanonic- kou rovnici paraboly. Příklad. Zjistěte, jakou kuželosečku popisuje 4x1x2 + 3x2 2 + 6x1 + 12x2 - 36 = 0. Řešení: Podle prvního příkladu z 2.9 se jedná o středovou kužeosečku se středem S = [-3 4 , -3 2 ]. V bázi (S, e1, e2) máme nové souřadnice y1, y2. Platí x1 = y1 - 3 4 x2 = y2 - 3 2 , neboť souřadnice středu S jsou y1 = 0, y2 = 0 a x1 = -3 4 , x2 = -3 2 . Dosazením do původní rovnice dostaneme 4y1y2 + 3y2 2 - 99 4 = 0. Úpravou na čtverce dostaneme 3(y2 + 2 3 y1)2 - 4 3 y2 1 - 99 4 = 0 Nadkvadriky v afinním a projektivním prostoru 21 a odtud je vidět, že daná kuželosečka je hyperbolou. 2.12. Afinní klasifikace kvadrik. Kvadriky v AC 3 opět rozdělujeme podle jejich průniku s nevlastní rovinou v (AC 3 ). Kvadriku, která má s nevlastní rovinou společ- nou imaginární regulární kuželosečku, nazýváme kvadrikou eliptického typu. Kvadrika, která má s nevlastní rovinou společnou reálnou regulární kuželosečku, je hyperbolic- kého typu. Kvadriku, jejíž průnik s nevlastní nadrovinou je singulární kuželosečka, nazýváme kvadrikou parabolického typu. Věta. Ke každé kvadrice Q v AC 3 existuje taková afinní báze (O, e1, e2, e3), že v sou- řadnicích této báze má Q jednu z následujících rovnic: (1) x2 1 + x2 2 + x2 3 + 1 = 0 imaginární elipsoid (2) x2 1 + x2 2 + x2 3 - 1 = 0 reálný elipsoid (3) x2 1 + x2 2 - x2 3 - 1 = 0 jednodílný (přímkový) hyperboloid (4) x2 1 + x2 2 - x2 3 + 1 = 0 dvoudílný (nepřímkový) hyperboloid (5) x2 1 + x2 2 + 2x3 = 0 eliptický paraboloid (6) x2 1 - x2 2 + 2x3 = 0 hyperbolický paraboloid (7) x2 1 + x2 2 + x2 3 = 0 imaginární kuželová plocha (8) x2 1 + x2 2 - x2 3 = 0 reálná kuželová plocha (9) x2 1 + x2 2 + 1 = 0 imaginární eliptická válcová plocha (10) x2 1 + x2 2 - 1 = 0 reálná eliptická válcová plocha (11) x2 1 - x2 2 - 1 = 0 hyperbolická válcová plocha (12) x2 1 + 2x3 = 0 parabolická válcová plocha (13) x2 1 + x2 2 = 0 dvě imaginární různoběžné roviny (14) x2 1 - x2 2 = 0 dvě reálné různoběžné roviny (15) x2 1 + 1 = 0 dvě imaginární rovnoběžné roviny (16) x2 1 - 1 = 0 dvě reálné rovnoběžné roviny (17) x2 1 = 0 dvojnásobná rovina Důkaz. Důkaz je obdobný důkazu pro kuželosečky. Nechť f je symetrická bilineární forma zadávající kvadriku Q a nechť A = (aij)4 i,j=1 je její matice v dané bázi. Je-li Q středová se středem S A3, zvolíme S za počátek souřadnic. Směry e1, e2, e3 zvolíme tak, aby byly po dvou polárně sdružené. Potom v této bázi je a12 = a13 = a23 = a14 = a24 = a34 = 0 a Q má rovnici a11x2 1 + a22x2 2 + a33x2 3 + a44 = 0. Nyní musíme rozlišit případy aii = 0, aii > 0, aii < 0 pro jednotlivé koeficienty i = 1, 2, 3, 4. Pokud je Q nestředová kvadrika, zvolíme O Q regulární bod, e1, e2 vektory tečné roviny v bodě O, které jsou navzájem polárně sdružené a e3 vektor polárně sdružený s e1 a e2. (Takový vždy existuje! Dokažte proč.) V této bázi je a12 = a13 = a23 = a14 = a24 = a44 = 0. Rovnice Q je tedy a11x2 1 + a22x2 2 + a33x2 3 + 2a34x3 = 0 22 Lineární algebra a geometrie III. Protože Q nemá vlastní střed, soustava a11x1 = 0 a22x2 = 0 a33x3 + a34 = 0 nemá řešení. To je možné pouze tehdy, když a33 = 0 a a34 = 0. Tím dostáváme rovnici a11x2 1 + a22x2 2 + 2a34x3 = 0, což po jednoduché úpravě vede k jedné z rovnic (5), (6) nebo (12). Příklad. Ukažte, že jednodílný hyperboloid je sjednocením jednoparametrického sys- tému přímek. Uvažujme kanonickou rovnici jednodílného hyperboloidu x2 1 + x2 2 - x2 3 - 1 = 0. Jednotlivé přímky budou procházet body v rovině x3 = 0 o souřadnicích (cos , sin , 0). Systém přímek zvolme tak, aby prvé dvě souřadnice směrového vektoru byly tečným vektorem ke kružnici v bodě (cos , sin ): (x1, x2, x3) = (cos , sin , 0) + t(sin , - cos , 1) Platí x2 1 + x2 2 - x2 3 - 1 = (cos + t sin )2 + (sin - t cos )2 - t2 - 1 = = cos2 + t2 sin2 + sin2 + t2 cos2 - t2 - 1 = = 1 + t2 - t2 - 1 = 0. Příklad. Zjistěte, jaká kvadrika je popsána rovnicí x2 1 + x1x2 + 2x2 2 - x3 - 2 = 0. Řešení: Podle druhého příkladu z 2.9 nemá tato kvadrika vlastní střed. Zvolme bod Q = [0, 0, -2], který leží na kvadrice, za počátek nových souřadnic y1, y2, y3. Platí x1 = y1 x2 = y2 x3 = y3 - 2 V nových souřadnicích bude mít kvadrika rovnici y2 1 + y1y2 + 2y2 2 - y3 = 0. Úpravou na čtverce dostaneme (y1 + 1 2 y2)2 + 7 4 y2 2 - y3 = 0. Daná kvadrika je tedy eliptickým paraboloidem. Nadkvadriky v afinním a projektivním prostoru 23 Kontrolní otázky. (1) Vysvětlete vzájemný vztah mezi kuželosečkami v komplexním rozšíření projek- tivního prostoru a reálnými bilineárními formami. (2) Co znamená, že dva body projektivního prostoru jsou polárně sdružené vzhle- dem k dané kuželosečce? Které geometrické pojmy se definují pomocí pojmu polárně sdružených bodů? (3) Které kvadriky v projektivní klasifikaci jsou regulární a které singulární? (4) Které kuželosečky a které kvadriky jsou v afinní klasifikaci středové? (5) Které kuželosečky v afinní rovině mají asymptoty? (6) Načrtněte podobu všech kvadrik z afinní klasifikace. Příklady k procvičení. (1) Určete polární nadrovinu k bodu X vzhledem k nadkvadrice Q (a) Q : 2x1 + 2x1x2 + x2 2 + x2 3 + 2x3 + 2 = 0, X = [3; 1; -1] (b) Q : 2x2 1 + 5x2 2 + 2x2 3 - 2x1x2 - 4x1x3 + 2x2x3 + 2x1 - 10x2 - 2x3 - 1 = 0, X = [2; -1; 3] (c) Q : 2x2 1 + 6x1x2 + x2 2 + 14x2 - 13 = 0, X = [-3; 2] [Řešení: (a) 7x1 + 4x2 = -1; (b) 3x2 + 4x3 = 1; (c) nevlastní přímka.] (2) Určete tečnou nadrovinu nadkvadriky Q v bodě X (a) Q : 3x2 1 + 2x1x2 - x2 2 + 6x1 + 4x2 - 3 = 0, X = [0; 1] (b) Q : x2 1 + 6x1x2 + 9x2 2 - 12x1 + 24x2 + 15 = 0, X = [0; -1] (c) Q : x2 1 - 2x1x2 + x1x3 + x2 2 + 5x2x3 - x1 + 3x2 - x3 = 0, X = [1; -1; -1] [Řešení: (a) 4x1 + x2 = 1; (b) 3x1 - x2 = 1; (c) 4x1 - 6x2 - 3x3 = 5.] (3) Rozhodněte, zda projektivní rozšíření následujících nadkvadrik jsou regulární nebo singulární a vypočtěte hodnost příslušné symetrické bilineární formy. Ur- čete dále singulární body nadkvadrik. (a) 5x2 1 - 2x1x2 + 5x2 2 - 4x1 + 20x2 + 20 = 0 v A2 (b) 4x1x2 + 3x2 2 + 16x1 + 12x2 - 36 = 0 v A2 (c) x2 1 + x2 2 + 4x2 3 - 2x1x2 + 4x1x3 - 4x2x3 - 2x1 + 2x2 - 4x3 + 1 = 0 v A3 (d) x2 1 + x2 2 + x2 3 + 2x1x3 + 2 = 0 v A3 [Řešení: (a) hodnost 2, singulární bod [0; -2]; (b) regulární kuželosečka ­ hodnost 3; (c) hodnost 1, singulární body [1 + t - 2s; t; s]; (d) hodnost 3, nevlastní singulární bod (1; 0; -1; 0). (4) Určete středy nadkvadrik z příkladu (3). [Řešení: (a) S = [0; -2]; (b) S = [3; -4]; (c) každý bod kvadriky je střed; (d) přímka středů S = [t; 0; -t].] 24 Lineární algebra a geometrie III. (5) Určete typ nadkvadrik z příkladu (3). [Řešení: (a) bod; (b) hyperbola; (c) dvojnásobná rovina; (d) imaginární elip- tická válcová plocha.] (6) Určete asymptoty kuželoseček (a) 2x2 1 - 3x1x2 - x1 + 3x2 + 4 = 0 (b) 2x2 1 - x1x2 - 3x2 2 - x1 - 6x2 - 15 = 0 (c) x2 1 - 2x1x2 + x2 2 + 6x1 - 14x2 + 29 = 0 (d) 8x2 1 + 4x1x2 + 5x2 2 + 16x1 + 4x2 - 28 = 0 [Řešení: (a) a1 : 2x1 - 3x2 = -1, a2 : x = 1; (b) a1 : x1 + x2 = -1, a2 : 2x1 - 3x2 = 3; (c) nevlastní asymptota; (d) a1 : 24ix1 + 6(3 + i)x2 = -24i, a2 : 24ix1 - 6(3 - i)x2 = -24i.] 3. Metrické vlastnosti kvadrik Zaměření afinního prostoru An budeme označovat Z(An). Projektivní prostor s arit- metickým základem Z(An) budeme označovat (An). n-rozměrný euklidovský prostor En je n-rozměrný afinní prostor, v jehož zaměření Z(En) je definován skalární součin : Z(En) × Z(En) R. V této části budeme nadkvadriky uvažovat v komplexním rozšíření EC n a v jeho projektivním rozšíření EC n . Tyto kvadriky budeme popisovat nyní pouze v souřadnicích reálných ortonormálních bazí (O, e1, . . . , en) v En. To znamená, že O En a (e1, . . . , en) tvoří ortonormální bázi v Z(En). Aritmetický základ projektivního rozšíření En budeme označovat Wn+1. Skalární součin je zadán pouze na jeho n-rozměrném podprostoru Z(En), který určuje nevlastní body v En. Tento skalární součin můžeme rozšířit na skalární součin na komplexním vektorovém prostoru Z(EC n ) = Z(En)C . Toto rozšíření budeme označovat opět . Nevlastní body projektivního rozšíření EC n budeme nazývat směry. Jsou určeny ne- nulovými vektory ze zaměření Z(EC n ). Říkáme, že směry [u] a [v] jsou kolmé právě tehdy, když u v. 3.1. Hlavní směry. Směr [u] zadaný reálným vektorem u Z(En) se nazývá hlavní směr nadkvadriky Q, jestliže všechny k němu kolmé směry v Z(EC n ) jsou s ním polárně sdružené. Jinými slovy: Je-li nadkvadrika Q popsána bilineární formou f, pak pro všechny v Z(EC n ), v u platí f(u, v) = 0. Nechť (O, e1, . . . , en) je nějaká ortonormální báze v En. V aritmetickém základu Wn+1 projektivního rozšíření uvažujme bázi (e1, . . . , en, en+1). Nechť A = (aij)n+1 i,j=1 je matice bilineární formy f na Wn+1. Nechť A je matice bilineární formy f zúžené na Z(En) v bázi (e1, . . . , en), tj. A = (aij)n i,j=1. Věta. Nenulový vektor u Z(En) určuje hlavní směr nadkvadriky Q právě tehdy, když je vlastním vektorem lineárního zobrazení zadaného maticí A. Důkaz. Lineární zobrazení Z(EC n ) Z(EC n ) zadané maticí A označme opět A. Nechť u = 0 určuje hlavní směr. Potom 0 = f(v, u) = v Au pro všechna v Z(EC n ), v u. Jestliže Au = u + v pro nějaké C, v u, pak v v = (v u) + v v = v (u + v) = v Au = 0, tedy v = 0, a proto Au = u. Nechť obráceně u = 0 je vlastním vektorem zobrazení A, tj. Au = u. Pro všechna v Z(En), v u pak platí f(u, v) = v Au = v (u) = (v u) = 0. Tedy u určuje hlavní směr. 25 26 Lineární algebra a geometrie III. Důsledek. Ke každé nadkvadrice Q v EC n existuje ortonormální báze v Z(En), jejíž vektory určují hlavní směry nadkvadriky Q. Důkaz. K symetrické reálné matici A existuje ortonormální báze tvořená reálnými vlastními vektory. Definice. Vlastní čísla matice A se nazývají hlavní čísla nadkvadriky Q. (Tato čísla jsou vždy reálná, neboť A je symetrická.) 3.2. Nadkvadriky a symetrie. Již dříve jsme podali definici středu nadkvadriky v afinním prostoru. K této definici jsme nepotřebovali skalární součin. O symetrii nadkvadriky vzhledem k nadrovině však můžeme mluvit pouze tehdy, když máme na zaměření afinního prostoru zadán skalární součin. Definice. Nadrovina v En se nazývá osovou nadrovinou nebo také hlavní nadrovinou nadkvadriky Q, jestliže je buď (a) polární nadrovinou k hlavnímu směru, který je regulárním bodem nadkvadriky Q EC n nebo (b) kolmou nadrovinou k hlavnímu směru, který je singulárním bodem nadkvadriky Q EC n . Osová nadrovina pro n = 2 se nazývá osová přímka. Příklad. Uvažujme parabolu x2 1 +2x2 = 0 ve standardní ortonormální bázi v R2 = E2. Matice A je A = 1 0 0 0 0 1 0 1 0 Matice A = 1 0 0 0 má vlastní čísla 1 a 0 s vlastními vektory (1, 0) a (0, 1). Ty určují hlavní směry a jsou regulárními nevlastními body o homogenních souřadnicích (1, 0, 0) a (0, 1, 0). Polára k (1, 0, 0) v EC 2 je dána rovnicí x1 = 0. Polára k (0, 1, 0) v EC 2 je dána rovnicí x3 = 0. Tedy v EC 2 má parabola pouze jedinou osovou přímku x1 = 0. Příklad. Uvažujme dvojici reálných rovnoběžek x2 1 - 1 = 0 ve standardní ortonormální bázi R = E2. Matice A = 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 , A = 1 0 0 0 Metrické vlastnosti kvadrik 27 Vlastní čísla matice A jsou 1 a 0 s vlastními vektory (1, 0) a (0, 1). Ty určují 2 hlavní směry o homogenních souřadnicích (1, 0, 0) a (0, 1, 0). (1, 0, 0) je regulární nevlastní bod. Polára k němu je x1 = 0. (0, 1, 0) je singulární nevlastní bod. Všechny přímky kolmé na (0, 1) v E2 jsou x2 = c, kde c je nějaká konstanta. Daná kuželosečka má tedy osové přímky x1 = 0 a x2 = c, c R. Věta. Nechť je nadrovina v En a C nechť je její komplexifikace. Nadkvadrika Q v EC n je symetrická podle nadroviny C právě tehdy, když je její osovou nadrovinou. Důkaz. Nechť je osová nadrovina v En k hlavnímu směru [u]. Její komplexifikaci pišme ve tvaru C = S + V C , kde S En a V je (n - 1)-rozměrný podprostor v (En) kolmý k u. Navíc podle definice (a) i (b) jsou všechny body C polárně sdružené s [u], tedy f(s + v, u) = 0, kde v V C a s Wn+1 - {0} je aritmetickým zástupcem bodu S. Každé dva body symetrické podle C mají vyjádření S + v + u a S + v - u pro nějaké v V C a C. Jestliže S + v + u Q, pak f(s + v - u, s + v - u) = f(s + v, s + v) - 2f(s + v, u) + 2 f(u, u) = = f(s + v, s + v) + 2f(s + v, u) + 2 f(u, u) = f(s + v + u, s + v + u) = 0, neboť f(s + v, u) = 0. Tedy S + v - u Q a C je nadrovinou symetrie nadkvadriky Q v EC n . Obráceně, předpokládejme, že Q je symetrická podle nadroviny C = S + V C , kde S En a V je (n - 1)-rozměrný podprostor (En). Nechť u (En) je vektor kolmý k V . Ukážeme, že f(s + v, u) = 0 pro všechna v V a s Wn+1 - {0} aritmetického zástupce bodu S. Pokud má rovnice v neznámé 0 = f(s + v + u, s + v + u) = f(s + v, s + v) + 2f(s + v, u) + 2 f(u, u) nenulové řešení C, pak ze symetrie QC podle C plyne, že rovněž - je řešením a tedy nutně f(s + v, u) = 0. Předpokládejme, že pro nějaké v0 je f(s + v0, u) = 0. Pak výše uvedená rovnice může mít pouze nulové řešení. Tedy musí mít koeficienty f(s + v0, s + v0) = f(u, u) = 0. Pokud f(s+v0, u) = 0, pak totéž musí platit pro všechna s+w z nějakého okolí bodu s + v0 v rovině . Tedy na tomto okolí je také f(s + w, s + w) = 0. To znamená, že pro každé v V má rovnice 0 = f(s + v0 + tv, s + v0 + tu) = f(s + v0, s + v0) + 2tf(s + v0, v) + t2 f(v, v) = 2tf(s + v0, v) + t2 f(v, v) nekonečně mnoho řešení. Tedy f(v, v) = 0. Proto V Q. Společně s u Q to implikuje, že (En) Q, což není možné (neboť A = 0). 28 Lineární algebra a geometrie III. Rovnice f(s + v, u) = 0 pro všechna v u nám říká, že je množina bodů polárně sdružených s [u]. Tedy je osová nadrovina. Definice. Průsečnice dvou osových rovin kvadriky Q se nazývá osová přímka kvadriky Q. Body průniku osové přímky s kvadrikou se nazývají vrcholy. 3.3. Metrická klasifikace kuželoseček a kvadrik. Důkazy dvou následujících kla- sifikačních vět jsou analogické, proto provedeme druhý z nich, který je obtížnější. Věta. Pro každou kuželosečku Q v EC 2 lze najít takovou ortonormální bázi (O, e1, e2), že v jejích souřadnicích má Q právě jednu z rovnic (1) x1 a1 2 + x2 a2 2 + 1 = 0 imaginární elipsa (2) x1 a1 2 + x2 a2 2 - 1 = 0 reálná elipsa (3) x1 a1 2 - x2 a2 2 - 1 = 0 hyperbola (4) x2 1 + 2px2 = 0 parabola (5) x1 a1 2 + x2 a2 2 = 0 imaginární různoběžky (6) x1 a1 2 - x2 a2 2 = 0 reálné různoběžky (7) x2 1 + p2 = 0 dvě imaginární rovnoběžky (8) x2 1 - p2 = 0 dvě reálné rovnoběžky (9) x2 1 = 0 dvojnásobná přímka Pro koeficienty platí a1 > 0, a2 > 0, p = 0. Věta. Pro každou kvadriku Q v EC 3 lze najít takovou ortonormální bázi (O, e1, e2, e3), že v jejích souřadnicích má Q právě jednu z rovnic (1) x1 a1 2 + x2 a2 2 + x3 a3 2 + 1 = 0 imaginární elipsoid (2) x1 a1 2 + x2 a2 2 + x3 a3 2 - 1 = 0 reálný elipsoid (3) x1 a1 2 + x2 a2 2 - x3 a3 2 - 1 = 0 jednodílný (přímkový) hyperboloid (4) x1 a1 2 + x2 a2 2 - x3 a3 2 + 1 = 0 dvoudílný (nepřímkový) hyperboloid (5) x1 a1 2 + x2 a2 2 + 2px3 = 0 eliptický paraboloid (6) x1 a1 2 - x2 a2 2 + 2px3 = 0 hyperbolický paraboloid Metrické vlastnosti kvadrik 29 (7) x1 a1 2 + x2 a2 2 + x3 a3 2 = 0 imaginární kuželová plocha (8) x1 a1 2 + x2 a2 2 - x3 a3 2 = 0 reálná kuželová plocha (9) x1 a1 2 + x2 a2 2 + 1 = 0 imaginární eliptická válcová plocha (10) x1 a1 2 + x2 a2 2 - 1 = 0 reálná eliptická válcová plocha (11) x1 a1 2 - x2 a2 2 - 1 = 0 hyperbolická válcová plocha (12) x2 1 + 2px3 = 0 parabolická válcová plocha (13) x1 a1 2 + x2 a2 2 = 0 dvě imaginární různoběžné roviny (14) x1 a1 2 - x2 a2 2 = 0 dvě reálné různoběžné roviny (15) x2 1 + p2 = 0 dvě imaginární rovnoběžné roviny (16) x2 1 - p2 = 0 dvě reálné rovnoběžné roviny (17) x2 1 = 0 dvojnásobná rovina Pro koeficienty platí a1 > 0, a2 > 0, a3 > 0, p = 0. Důkaz. Nechť Q je středová kvadrika s vlastním středem S. Zvolme ortonormální bázi (S, e1, e2,e3), kde e1, e2, e3, jsou jednotkové vektory zadávající hlavní směry (ty lze vždy vybrat na sebe kolmé a polárně sdružené). V této bázi má Q rovnici a11x2 1 + a22x2 2 + a33x2 3 + a44 = 0 (viz důkaz afinní klasifikace). Nyní rozlišíme případy a44 = 0 a a44 = 0 a jednoduchou úpravou získáme některou z rovnic s výjimkou (5), (6) a (12). Čísla a11, a22 a a33 jsou hlavní čísla kvadriky Q. Nechť Q není středová kvadrika. Nechť (e1, e2, e3) je ortonormální báze (E3) určující hlavní směry kvadriky Q. Potom v bázi (O, e1, e2, e3) s nějakým počátkem O Q má kvadrika rovnici a11x2 1 + a22x2 2 + a33x2 3 + 2a14x1 + 2a24x2 + 2a34x3 = 0 Protože není středová, musí být aii = 0 a ai4 = 0 pro nějaké i = 1, 2, 3. Nechť tedy a33 = 0 a a34 = 0. Pokud a11 = 0, a22 = 0, odpovídající hlavní směry e1 a e2 určují osové roviny a11x1 + a14 = 0 a a22x2 + a24 = 0, které se protínají v osové přímce. Ta protíná kvadriku Q v jediném vrcholu V (jeho souřadnice jsou určeny jednoznačně soustavou tří rovnic). Potom v bázi (V, e1, e2, e3) je kvadrika Q zadána rovnicí a11y2 1 + a22y2 2 + 2py3 = 0, 30 Lineární algebra a geometrie III. p = 0, a14 = a24 = 0, neboť e1, e2 jsou tečné vektory ke kvadrice v bodě V . Odtud úpravou dostaneme jednu z rovnic (5) nebo (6). Pokud a11 = 0 a a22 = a33 = 0, hlavní směr e1 určuje osovou rovinu a11x1 + a14 = 0. Průnikem této osové nadroviny s kvadrikou je přímka, jejíž jednotkový směrový vektor f2 je lineární kombinací vektorů e2 a e3. Zvolme bod V na této přímce a ortonormální bázi (V, e1, f2, f3). e1, f1, f2 jsou vektory hlavních směrů, e1 a f2 jsou tečné vektory kvadriky v bodě V . Lze ukázat, že V je opět vrchol kvadriky. Tedy rovnice kvadriky v souřadnicích této báze je (viz důkaz afinní klasifikace) a11x2 1 + 2px3 = 0, p = 0, a11 = 0. Vydělením číslem a2 11 dostaneme rovnici (12). Příklad. Najděte hlavní směry, osové rovin, osové přímky, vrcholy a kanonickou rov- nici ve vhodné bázi kvadriky x2 1 - 4x2 2 + 6x1x3 + x2 3 + 4x1 + 16x2 - 4x3 - 16 = 0. Matice A = 1 0 3 0 -4 0 3 0 1 Vlastní čísla 1, 2, 3 matice A jsou kořeny charakteristického polynomu det(A - E) = -3 - 22 + 16 + 32. Tyto kořeny, pokud jsou celočíselné, musí dělit absolutní člen 32. Tak zjistíme, že 1 = -2, 2 = 4, 3 = -4. Odpovídající vlastní vektory ui jsou řešeními soustavy (A - iE)ui = 0. Dostáváme u1 = (1, 0, -1), u2 = (1, 0, 1) a u3 = (0, 1, 0). Osové roviny má kvadrika 3 a jsou to roviny kolmé a současně polární k u1, u2 a u3. x1 - x3 - 2 = 0 x1 + x3 = 0 x2 - 2 = 0 Osové přímky jsou opět tři a jejich popis je dán výběrem 2 z předchozích 3 rovnic. Průnik všech tří osových rovin je jediný bod S = (1, 2, -1). Ten je středem kvadriky. Parametrické vyjádření os je potom následující: o1 : (1, 2, -1) + t(0, 1, 0) o2 : (1, 2, -1) + t(1, 0, 1) o3 : (1, 2, -1) + t(1, 0, -1) Z parametrického vyjádření osy o1 dosadíme do rovnice kvadriky a pro parametr t dostaneme kvadratickou rovnici t2 - 1 = 0. Vrcholy na ose t1 jsou tedy A = (1, 3, -1) a B = (1, 1, -1). Metrické vlastnosti kvadrik 31 Z parametrického vyjádření osy o2 dostaneme kvadratickou rovnici 2t2 + 1 = 0. Na o2 tedy leží dva komplexně sdružené vrcholy E = (1 + 2 2 i, 2, -1 + 2 i ), E = (1 - 2 2 i, 2, -1 - 2 i ). Konečně pro osu o3 dostaneme opět rovnici t2 - 1 = 0, která dává vrcholy C = (2, 2, -2) a D = (0, 2, 0). Z popisu os a reálných vrcholů vyplývá, že daná kvadrika je jednodílný hyperboloid. V bázi S, v1 = 1 2 (1, 0, -1), v2 = 1 2 (1, 0, 1), v3 = u3 budeme mít souřadnice y1, y2, y3, pro které platí x1 x2 x3 = 1 2 1 2 0 0 0 1 - 1 2 1 2 0 y1 y2 y3 + 1 2 -1 Tedy v homogenních souřadnicích x1 x2 x3 x4 = 1 2 1 2 0 1 0 0 1 2 - 1 2 1 2 0 -1 0 0 0 1 y1 y2 y3 y4 = P y1 y2 y3 y4 Tedy rovnice kvadriky v souřadnicích y je yP APy = 0, kde A = 1 0 3 2 0 -4 0 8 3 0 1 -2 2 8 -2 16 P AP = 2 0 0 0 0 -1 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 -1 Rovnice v nových souřadnicích je y2 1 2 - y2 2 1 2 + y2 3 - 1 = 0. Kontrolní otázky. (1) Podejte definici hlavních směrů a vysvětlete, kterou větu použijete k jejich výpočtu. (2) Jak se liší hlavní čísla regulárních kvadrik? (3) Kolik osových (hlavních) rovin mají jednotlivé kvadriky? (Použijte jejich met- rickou klasifikaci.) (4) Napište kanonické rovnice kvadrik s 1, 2, 4, 6 a nekonečně mnoha reálnými vrcholy. (5) Zvolte si nějakou kvadriku a popište všechny její symetrie. 32 Lineární algebra a geometrie III. Příklady k procvičení. (1) Určete hlavní čísla a hlavní směry nadkvadriky, její střed a její kanonickou rovnici v příslušné ortonormální bázi. (a) 3x2 1 + 10x1x2 + 3x2 2 - 2x1 - 14x2 - 13 = 0 v E2 [Řešení: 1 = 8, 2 = -2, u1 = ( 1 2 , 1 2 ), u2 = ( 1 2 , - 1 2 ), S = [2; -1], hyperbola x2 1 - x2 2 4 = 1] (b) 7x2 1 + 6x1x2 - x2 2 + 28x1 + 12x2 + 28 = 0 v E2 [Řešení: 1 = 8, 2 = -2, u1 = ( 3 10 , 1 10 ), u2 = ( 1 10 , - 3 10 ), S = [-2; 0], různoběžky x2 1 - x2 2 4 = 0] (c) 9x2 1 + 12x1x2 + 4x2 2 - 24x1 - 16x2 + 3 = 0 v E2 [Řešení: 1 = 13, 2 = 0, u1 = ( 3 13 , 2 13 ), u2 = ( 2 13 , - 3 13 ), S = [2t; 3 - 2t], rovnoběžky x2 1 = 1] (d) x2 1 + x2 2 + 5x2 3 - 6x1x2 - 2x1x3 + 2x2x3 - 6x1 + 6x2 - 6x3 + 9 = 0 v E3 [Řešení: 1 = 3, 2 = 6, 3 = -2, u1 = ( 1 3 , - 1 3 , 1 3 ), u2 = (- 1 6 , 1 6 , 2 6 ), u3 = ( 1 2 , 1 2 , 0), S = [1; -1; 1], reálná kuželová plocha x2 1 2 + x2 2 - x2 3 3 = 0] (e) 5x2 1 + 8x2 2 + 5x2 3 + 4x1x2 - 8x1x3 + 4x2x3 - 27 = 0 v E3 [Řešení: 1,2 = 9, 3 = 0, u1 = ( 1 2 , 0, - 1 2 ), u2 = ( 1 3 2 , 4 3 2 , 1 3 2 ), u3 = (-2 3 , 1 3 , -2 3 ), S = [0; 0; 0], reálná eliptická válcová plocha x2 1 3 + x2 2 3 = 1] (f) x2 1 - 2x2 2 + x2 3 + 4x1x2 - 8x1x3 - 4x2x3 - 14x1 - 4x2 + 14x3 + 16 = 0 v E3 [Řešení: 1,2 = -3, 3 = 6, u1 = ( 1 5 , - 2 5 , 0), u2 = ( 4 3 5 , 2 3 5 , 5 3 5 ), u3 = (2 3 , 1 3 , -2 3 ), S = [1; 1; -1], reálná kuželová plocha x2 1 2 + x2 2 2 - x2 3 = 0.] (g) 2x2 1 + 5x2 2 + 2x2 3 - 2x1x2 - 4x1x3 + 2x2x3 + 2x1 - 10x2 - 2x3 - 1 = 0 v E3 [Řešení: 1 = 6, 2 = 3, 3 = 0, u1 = ( 1 6 , - 2 6 , - 1 6 ), u2 = ( 1 3 , 1 3 , - 1 3 ), u3 = ( 1 2 , 0, 1 2 ), S = [t; 2; t], reálná eliptická válcová plocha x2 1 + x2 2 2 = 1.] (h) x2 1 + x2 2 - 2x1x2 + 2x1 + 2x2 - 2 2x3 - 8 = 0 v E3 [Řešení: 1 = 2, 2,3 = 0, u1 = ( 1 2 , - 1 2 , 0), u2 = ( 1 2 1 2 , 0), u3 = (0, 0, 1), nestředová, parabolická válcová plocha x2 1 + 2x3 = 0.] (2) Určete osové nadroviny a vrcholy nadkvadrik z příkladu (1). [Řešení: (a) Osy o1 : x1 + x2 = 1, o2 : x1 - x2 = 3, vrcholy V1,2 = [2 3 2 ; -1 3 2 ] příslušné k o1, V3,4 = [2 6 2 ; -1 6 2 ] příslušné k o2; (b) Osy x1 +x2 = -6, x1 -3x2 = -2, vrcholy V1 = [-5 2 , -7 2 ] k o1, V2 = [-2; 0] k o2; (c) Osa 3x1 + 2x2 = 4, nevlastní vrchol určený zaměřením osy (-2,3,0); Metrické vlastnosti kvadrik 33 (d) Osové roviny 1 : x1 -x2 +x3 = 3, 2 : x1 -x2 -2x3 = 0, 3 : x1 +x2 = 0, 6 os zadaných průniky vždy dvou rovin, vrchol V = [1; -1; 1]; (e) Osové roviny 2x1 -x2 -2x3 = p pro p R, dále všechny roviny obsahující osu o : x1 + 2x2 = 0, 4x1 - 2x2 - 5x3 = 0, další osy jsou přímky na tuto osu kolmé, vrcholy jsou všechny body kvadriky; (f) Osové roviny : 2x1 +x2 -2x3 = 5, dále všechny roviny procházející osou o : x1 - x2 = -3, 4x1 + 2x2 + 5x3 = 1, vrchol V = [1; -1; 1]; (g) Osové roviny 1 : x1 - 2x2 - x3 = -2, 2 : x1 + x2 - x3 = 1, osa daná průnikem rovin a nevlastní vrchol určený jejím zaměřením (1,0,1,0); (h) Osová rovina x1 = x2.] 4. Multilineární algebra V celé této kapitole budeme pracovat s vektorovými prostory nad pevným polem K. 4.1. Faktorový prostor. Nechť U je vektorový prostor, V jeho podprostor. Tento prostor definuje na U ekvivalenci u1 u2 právě tehdy, když u1 - u2 V . Třídu ekvivalence obsahující vektor u budeme značit [u]. Je to množina [u] = u + V = {u + v; v V }. Množinu všech tříd ekvivalence označujeme U/V . Na této množině můžeme definovat sčítání a násobení skalárem z K takto: [u] + [v] = [u + v] a[u] = [au] Tyto operace jsou nezávislé na výběru reprezentantů a není obtížné se přesvědčit, že z U/V vytvářejí vektorový prostor nad K. Je-li U konečněrozměrný prostor, pak dim U/V = dim U - dim V. Důkaz je jednoduchý: Zvolme bázi v1, . . . , vk prostoru V a doplňme ji na bázi v1, . . . , vk, vk+1, . . . , vn prostoru U. Stačí ukázat, že [vk+1], . . . , [vn] je báze prostoru U/V . Cvičení. Dokažte předchozí tvrzení. Označme p : U U/V surjektivní lineární zobrazení definované předpisem p(u) = [u]. Toto zobrazení se nazývá projekce. Nechť : U W je lineární zobrazení a nechť V ker . Potom existuje právě jedno lineární zobrazení : U/V W takové, že = p, tedy že následující diagram komutuje U // p W U/V < 2 nejsou prostory 2 2 (U) a 4 (U) izomorfní. (8) Dokažte, že tenzor tijk T3 0 (U) symetrický vzhledem k i, j a antisymetrický vzhledem k j, k je roven nule. 5. Polynomiální matice a kanonické tvary V této části se budeme hlouběji zabývat vztahem mezi polynomy a maticemi. Vý- sledkem našich úvah bude algoritmus pro nalezení Jordanova kanonického tvaru ma- tice. 5.1. Polynomy s koeficienty v poli. Nechť K je pole. Symbolem K[] označíme okruh polynomů nad K v proměnné . Polynom p() = ann + an-1n-1 + + a0, kde an = 0, má stupeň n (označení st p). U nulového polynomu stupeň neurčujeme (nebo ho pokládáme -). Stupeň součinu dvou nenulových polynomů je součet jejich stupňů. Věta o dělení polynomů říká, že ke každým dvěma polynomům f(), g() K[], g() = 0, existují jednoznačně určené polynomy q(), r() K[] takové, že f() = q()g() + r() a st r < st g nebo r() = 0. 5.2. Polynomy s koeficienty v maticích. Matice tvaru n × n s koeficienty v poli K tvoří okruh Matn(K). Okruh polynomů v proměnné s koeficienty v Matn(K) označíme Matn(K)[]. Každý prvek lze psát ve tvaru p() = Ann + An-1n-1 + + A0, Ai Matn(K). Pokud An = 0, pokládáme st p = n. Pro p() = 0 je st p = -. Součin polynomů je asociativní, nekomutativní a distributivní vzhledem ke sčítání. Obecně neplatí, že stupeň součinu dvou nenulových polynomů je součtem jejich stupňů. Toto tvrzení však platí, pokud jeden z polynomů má za vedoucí koeficient (to je koeficient u nejvyšší mocniny) regulární (tj. invertibilní) matici. Věta (o dělení polynomů). Pro každé dva polynomy f(), g() Matn(K)[], g() = Bkk +Bk-1k-1 + +B0, kde Bk je regulární, existují jednoznačně určené polynomy q1(), r1() a q2(), r2() tak, že platí f() = g()q1() + r1(), f() = q2()g() + r2(), kde st r1 < st g, st r2 < st g nebo r1 = 0, r2 = 0. Důkaz lze provést analogicky jako v případě polynomů nad polem. Je potřeba pouze dbát na to, že násobení není komutativní. Větu o dělení budeme v dalším obvykle aplikovat pro g() = A - E. To je možné, neboť -E je regulární. 5.3. Polynomiální matice. Matice n×n s prvky, které jsou polynomy z K[], budeme označovat Matn(K[]) a nazývat polynomiální matice nebo -matice. Tyto matice opět tvoří okruh. Následující tvrzení nám dává kriterium pro rozpoznání invertibilních polynomiálních matic: 61 62 Lineární algebra a geometrie III. Lemma. Matice A() Matn(K[]) je invertibilní právě tehdy, když det A() K - {0}. Důkaz. Má-li A() inverzní matici B(), pak 1 = det E = det A() B() = det A() det B(). Tedy det A() = 0 je polynom stupně 0, tj. det A() K - {0}. Obráceně, je-li det A() K - {0}, lze ukázat, že matice Aij() det A() , kde Aij() je algebraický doplněk ke členu aij() matice A(), je inverzní k A(). Důkaz je stejný jako v případě matic z Matn(K). S polynomiálními maticemi můžeme provádět následující elementární řádkové (sloup- cové) operace (1) Vynásobit vybraný řádek (sloupec) nenulovým prvkem a K. (2) Přičíst libovolný f()-násobek některého řádku (sloupce) k jinému řádku (sloup- ci), f() K[]. (3) Provést výměnu dvou řádků (sloupců). Řádkové úpravy matice A() lze realizovat násobením maticí P() zleva. Přitom det P() K-{0}, neboť toto platí pro matice realizující elementární řádkové úpravy. Tedy P() je invertibilní. Obdobně sloupcové úpravy lze realizovat násobením maticí Q() zprava. Tato ma- tice je rovněž invertibilní. Definice. Řekneme, že dvě matice A(), B() Matn(K[]) jsou ekvivalentní, jestliže matici A() lze elementárními řádkovými a sloupcovými operacemi převést na matici B(). Cvičení. Dokažte, že relace definovaná výše je skutečně ekvivalence, tj. je reflexivní, symetrická a tranzitivní. Každou matici, jejíž prvky jsou polynomy, tj. prvek Matn(K[]), lze chápat jako polynom s koeficienty v maticích, tj. prvek Matn(K)[]. Příklad. 2 - + 1 4 - 8 3 - = 0 0 0 1 3 + 1 0 0 0 2 + -1 -1 0 -1 + 1 4 8 0 5.4. Kriterium podobnosti matic. Zopakujme, že matice A, B Matn(K) jsou podobné, jestliže existuje invertibilní matice P tak, že B = PAP-1 . Mezi podobností matic A, B a ekvivalencí jejich charakteristických matic A-E, B -E je následující jednoduchý, ale přitom velice důležitý vztah: Věta (Kriterium podobnosti). Matice A, B Matn(K) jsou podobné právě tehdy, když jejich charakteristické matice A - E, B - E jsou ekvivalentní. Polynomiální matice a kanonické tvary 63 Důkaz. Nechť A a B jsou podobné. Potom B = PAP-1 a E = P(E)P-1 . Tedy B - E = P(A - E)P-1 . Protože každá regulární matice představuje posloupnost řádkových nebo sloupcových operací, je B - E ekvivalentní s A - E. Obráceně, nechť B - E a A - E jsou ekvivalentní. Potom existují invertibilní matice P() a Q() tak, že B - E = P()(A - E)Q(). Podle věty o dělení P() = (B - E)P1() + P0, Q() = Q1()(B - E) + Q0, kde P0 a Q0 nezávisejí na . Dokážeme, že P0(A-E)Q0 = B-E. S použitím předchozích tří rovnic dostaneme P0(A - E)Q0 = = P() - (B - E)P1() (A - E) Q() - Q1()(B - E) = P()(A - E)Q() - P()(A - E)Q1()(B - E) -(B - E)P1()(A - E)Q() + (B - E)P1()(A - E)Q1()(B - E) = (B - E) - (B - E)Q-1 ()Q1()(B - E) -(B - E)P1()P-1 ()(B - E) + (B - E)P1()(A - E)Q1()(B - E) = (B - E) E - Q-1 ()Q1() + P1()P-1 () - P1()(A - E)Q1() (B - E) . Kdyby výraz v hranaté závorce byl různý od nulové matice, byl by celý poslední výraz polynomem stupně aspoň 2, což ovšem není možné, neboť P0(A - E)Q0 je stupně 1. Tedy výraz v hranaté závorce je roven 0 a my dostáváme P0(A - E)Q0 = B - E. Porovnáním koeficientů u mocnin 0 a 1 dostaneme P0AQ0 = B, P0Q0 = E. Tedy P-1 0 = Q0 a P0AP-1 0 = B. 5.5. Kanonický tvar -matic. Řekneme, že matice A() je v kanonickém tvaru, jestliže A() = e1() 0 0 . . . 0 0 e2() 0 . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 . . . . . . . . 0 en() , kde polynom ei() dělí polynom ei+1() pro i = 1, 2, . . . , n - 1 a nenulové polynomy ei mají vedoucí koeficient 1. 64 Lineární algebra a geometrie III. Příklad. Příklady matic v kanonickém tvaru: 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ( - 1) 0 0 0 0 2 ( - 1) 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 Lemma. Každou čtvercovou -matici lze pomocí řádkových a sloupcových úprav pře- vést na matici v kanonickém tvaru. Důkaz. Postup nalezení kanonického tvaru je modifikací Gaussovy eliminační metody. Důkaz proveďme indukcí. Pro matici 1 × 1 je vše zřejmé. Nechť tvrzení platí pro matice (n - 1) × (n - 1). Uvažujme -matici A tvaru n×n, která je nenulová. Záměnou řádků a sloupců lze do- sáhnout toho, že polynom a11() je nenulový nejnižšího možného stupně mezi všemi ne- nulovými polynomy aij(). Kdyby polynom a11() nedělil některý z polynomů a1j(), pak ho můžeme nahradit zbytkem a11() při dělení polynomu a1j() polynomem a11() a1j() = q()a11() + a11(), st a11 < st a11, a to tak, že od j-tého sloupce odečteme q()-násobek 1.sloupce a pak sloupce 1 a j vyměníme. Takto snižujeme stupeň polynomu tak dlouho, až dělí polynom a1j(). Potom odečtením příslušného násobku 1.sloupce od j-tého sloupce dostaneme a1j() = 0. Opakováním tohoto postupu dostaneme v 1.řádku a1j() = 0 pro j = 2, 3, . . . , n a stejně tak v prvním sloupci ai1() = 0 pro i = 2, 3, . . . , n. Dostaneme tedy matici a11() 0 . . . 0 0 ... A() 0 Dokážeme, že stupeň a11() můžeme snižovat tak dlouho, až dělí všechny prvky aij() matice A(). Z předchozího postupu a počátečního výběru plyne, že aij() = 0 nebo st aij st a11. V druhém případě aij() = q()a11() + a11(). Pokud je a11() = 0, lze jej vhodnými úpravami dostat do levého horního rohu. V tomto případě musíme provést vynulování 1.řádku a 1.sloupce. Opakováním tohoto postupu musíme dosáhnout toho, že a11() dělí všechny aij() v matici A(). Důvodem je skutečnost, že při každém opakování tohoto postupu se stupeň polynomu a11() sníží aspoň o 1. Nyní použijeme indukční předpoklad na matici A(), tedy původní matice bude ekvivalentní s maticí e1() 0 0 . . . 0 0 e2() 0 . . . 0 ... 0 . . . . . . . . . . . . . en() , kde ei() dělí ei+1() pro i = 2, 3, . . . , n - 1. Protože e1() = a11() dělilo všechny prvky A(), musí je dělit i po provedených elementárních řádkových a sloupcových operacích. Tedy e1() dělí e2() a hledání kanonického tvaru je ukončeno. Polynomiální matice a kanonické tvary 65 Příklad. A() = 6 - 2 2 2 3 - -4 2 -4 3 - 1 -2 3- 2 2 3 - -4 6 - 2 2 1 0 0 0 7 - - 7 0 0 -2 + 5 + 14 1 0 0 0 - 7 0 0 0 ( + 2)( - 7) 5.6. Jednoznačnost kanonického tvaru. V tomto paragrafu ukážeme, že kanonický tvar dané matice je jednoznačný a nezávisí na postupu, kterým jsme jej dostali. To nám umožní dokázat důležité kriterium ekvivalence: dvě -matice jsou ekvivalentní, mají-li stejný kanonický tvar. Pro matici A() Matn(K[]) definujme dA k (), k = 1, 2, . . . , n, jako největší spo- lečný dělitel všech minorů stupně k v matici A() s vedoucím koeficientem 1, pokud tyto minory nejsou všechny nulové. V tomto případě dA k () = 0. Věta. Nechť A(), B() Matn(K[]). Platí (1) dA k () dělí dA k+1() pro k = 1, 2, . . . , n - 1. (2) Jsou-li matice A() a B() ekvivalentní, pak dA k () = dB k () pro všechna k (3) Je-li K() = diag(e1(), e2(), . . . , en()) kanonický tvar matice A(), pak e1() = dA 1 (), ek() = dA k () dA k-1() pro dA k-1() = 0 ek() = 0 právě tehdy, když dA k () = 0. Odtud okamžitě dostáváme Důsledek (Kriterium ekvivalence). Matice A(), B() Matn(K[]) jsou ekviva- lentní právě tehdy, když mají stejný kanonický tvar. Důkaz věty. (1) Provedeme-li rozvoj minoru stupně k + 1 podle některého řádku, do- staneme, že je dělitelný polynomem dA k (). Tedy dA k () dělí dA k+1(). (2) Stačí dokázat, že dA k () se nemění při ekvivalentních úpravách. Z tohoto hlediska jediná operace, kde to není zřejmé na první pohled, je přičtení q()-násobku některého jiného řádku. Tím dostaneme z matice A() matici A (). Každý minor stupně k v matici A () lze vyjádřit jako det M + q() det M . Zde det M a det M jsou minory stupně k v původní matici A(). Tedy dA k () dělí dA k (). Protože matici A() dostaneme z matice A () operací obdobného typu, dA k () dělí rovněž dA k (). Tedy dA k () = dA k (). (3) Poslední tvrzení je důsledkem předchozího. Nechť K() je kanonický tvar matice A(). Potom podle předchozího dA k () = dK k () = e1()e2() . . . ek(). 66 Lineární algebra a geometrie III. 5.7. Jordanův kanonický tvar. V tomto paragrafu ukážeme, jak lze Jordanův ka- nonický tvar matice A zrekonstruovat z kanonického tvaru charakteristické matice A - E. Připomeňme, že matice J je v Jordanově kanonickém tvaru, jestliže je blo- kově diagonální, tj. J = diag(Jk1 1 , Jk2 2 , . . . , Jkr r ) a Jki i jsou Jordanovy buňky Jki i = i 1 0 . . . 0 0 i 1 . . . 0 ... ... 0 . . . . . . i 1 0 . . . . . . . . . . . i tvaru ki × ki. Podle Jordanovy věty je každá matice A Matn(C) podobná matici v Jordanově kanonickém tvaru. Příklad. Najdeme kanonický tvar charakteristické matice J - E pro Jordanovu buňku k × k s vlastním číslem 0. Není těžké zjistit, že dJ-E 1 () = dJ-E 2 () = = dJ-E k-1 () = 1, dJ-E k () = ( - 0)k Tedy kanonický tvar J - E je diag(1, 1, . . . , 1, ( - 0)k ). Příklad. Najdeme kanonický tvar charakteristické matice J -E pro Jordanovu ma- tici J s dvěma buňkami Jk1 0 a Jk2 0 s k1 k2. Stejně jako v předchozím lze ukázat, že dJ-E 1 () = dJ-E 2 () = = dJ-E k1+k2-2() = 1, dJ-E k1+k2-1() = ( - 0)k2 , dJ-E k1+k2 () = ( - 0)k1+k2 . Tedy kanonický tvar J - E je diag(1, 1, . . . , 1, ( - 0)k2 , ( - 0)k1+k2 ). Příklad. Najdeme kanonický tvar charakteristické matice J -E pro Jordanovu ma- tici J s třemi buňkami J3 1 , J2 1 , J2 2 , 1 = 2. 1 1 0 . . . . . . . . . . 0 0 1 1 0 . . . . . . 0 0 0 1 0 . . . . . . 0 0 . . . 0 1 1 0 0 0 . . . . . . . 0 1 0 0 0 . . . . . . . . . . . 0 2 1 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 2 Platí d1() = d2() = d3() = d4() = 1. Dále d5() = 1, neboť některé minory řádu 5 jsou rovny (1 - )5 a (2 - )2 . Jejich největší společný dělitel je 1. d6() = ( - 1)2 , neboť nenulové minory řádu 6 jsou (1 - )5 , (1 - )5 (2 - ), (1 - )4 (2 - )2 , (1 - )3 (2 - )2 , (1 - )2 (2 - )2 . d7() = ( - 1)5 ( - 2)2 . Tedy kanonický tvar matice J -E je diag(1, 1, 1, 1, 1, (-1)2 , (-1)3 (-2)2 ). Polynomiální matice a kanonické tvary 67 Každý kořen polynomu ek() = 0 určuje jednu Jordanovu buňku, jejíž rozměry jsou dány algebraickou násobností tohoto kořenu. Předchozí příklady ukazují, že platí následující věta: Věta. Nechť A Matn(K) a nechť charakteristický polynom matice A má v K celkem n kořenů včetně násobností. Potom je A podobná matici J v Jordanově kanonickém tvaru, který určíme z kanonického tvaru charakteristické matice E - A takto: Je-li en() = ( - 1)k1 ( - 2)l1 . . . en-1() = ( - 1)k2 ( - 2)l2 . . . en-2() = ( - 1)k3 ( - 2)l3 . . . ... ... pak Jordanovy buňky příslušné vlastnímu číslu 1 mají rozměry k1 k2 . . . , Jorda- novy buňky příslušné vlastnímu číslu 2 mají rozměry l1 l2 . . . atd., pokud některá z mocnin není nulová. Důkaz. Matice A a J jsou podobné právě tehdy, když A-E a J-E jsou ekvivalentní. Ty jsou ekvivalentní právě tehdy, když mají stejný kanonický tvar, tj. stejné polynomy ei(). Z příkladů uvedených výše vyplývá, že J má stejné polynomy e1, e2, . . . , en jako A. 5.8. Algoritmus pro nalezení Jordanova kanonického tvaru. Předchozí věta nám umožňuje najít Jordanův kanonický tvar matice A, jestliže najdeme kanonický tvar K() charakteristické matice A - E. My však chceme rovněž najít matici po- dobnosti P, pro niž platí A = PJP-1 . Postupujeme takto: (1) Nejdříve upravíme A - E elementárními operacemi na kanonický tvar K(). A - E E E K() P() Q() Přitom K() = P()(A - E)Q(). (2) Kanonický tvar K() určuje Jordanovu matici J. Její charakteristickou matici převedeme elementárními operacemi na kanonický tvar K(). J - E E E K() P() Q() Platí K() = P()(J - E)Q(). Z předchozích dvou rovnic dostaneme J - E = P -1 P()(A - E)Q()Q -1 (). 68 Lineární algebra a geometrie III. Položme P() = P -1 ()P(), Q() = Q()Q -1 (). Nyní použijeme důkazu věty 4 a vydělíme P() a Q() maticí J - E: P() = (J - E)P1() + P0 Q() = Q1()(J - E) + Q0 Podle zmíněného důkazu je J - E = P0(A - E)Q0 a v důsledku toho P-1 0 = Q0, J = P0AP-1 0 . K získání matice P0 stačí do P() dosadit matici J za zleva. Q0 získáme dosazením matice J za v polynomu Q() zprava. Nyní si celý algoritmus ukážeme na jednoduchém příkladě. Příklad. Nalezněte Jordanův kanonický tvar J matice A = 0 1 0 -4 4 0 -2 1 2 a matici P0 takovou, že J = P0AP-1 0 . Provádíme elementární řádkové a sloupcové operace na matici A - E E E = - 1 0 1 0 0 -4 4 - 0 0 1 0 -2 1 2 - 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 vyměníme 1. a 2. sloupec 1 - 0 1 0 0 4 - -4 0 0 1 0 1 -2 2 - 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 - 0 1 0 0 0 -2 + 4 - 4 0 - 4 1 0 0 - 2 2 - -1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 -( - 2)2 0 - 4 1 0 0 - 2 2 - -1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 - 2 2 - -1 0 1 0 ( - 2)2 0 4 - -1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 Polynomiální matice a kanonické tvary 69 1 0 0 1 0 0 0 - 2 0 -1 0 1 0 ( - 2)2 ( - 2)2 4 - -1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 - 2 0 -1 0 1 0 0 ( - 2)2 4 - -1 0 0 0 1 1 0 0 -1 1 Tedy kanonický tvar matice A - E je K() = 1 0 0 0 - 2 0 0 0 ( - 2)2 = 1 0 0 -1 0 1 4 - -1 0 (A - E) 0 0 1 1 0 0 -1 1 = P()(A - E)Q() Jordanův kanonický tvar matice A je J = 2 0 0 0 2 1 0 0 2 Nyní provádíme elentární řádkové a sloupcové operace na matici J - E E E = 2 - 0 0 1 0 0 0 2 - 1 0 1 0 0 0 2 - 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 2 - 1 0 0 1 2 - 0 0 1 0 2 - 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 2 - 0 0 1 0 0 0 2 - 1 0 0 2 - 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 2 - 0 0 1 0 0 0 2 - 1 0 0 0 -(2 - )2 0 0 - 2 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 2 - 1 0 0 0 -(2 - )2 0 0 - 2 1 0 0 1 0 1 0 1 - 2 0 70 Lineární algebra a geometrie III. 1 0 0 0 1 0 0 - 2 0 1 0 0 0 0 ( - 2)2 0 - 2 1 0 -1 0 0 0 -1 1 0 2 - Tedy K() = 1 0 0 0 - 2 0 0 0 ( - 2)2 = 0 1 0 1 0 0 0 - 2 1 (J - E) 0 -1 0 0 0 -1 1 0 2 - = P()(J - E)Q() Z dvojího vyjádření K() spočítáme, že J - E = P -1 ()P()(A - E)Q()Q -1 () = P()(A - E)Q(). Přitom P -1 () = 0 1 0 1 0 0 2 - 0 1 P() = 0 1 0 1 0 0 2 - 0 1 1 0 0 -1 0 1 4 - -1 0 = -1 0 1 1 0 0 6 - 2 -1 0 Napišme P() jako polynom, jehož koeficienty jsou matice: P() = 0 0 0 0 0 0 -2 0 0 + -1 0 1 1 0 0 6 -1 0 K získání matice P0 takové, že P() = (J - E)P1() + P0 stačí do P() dosadit za zleva matici J P0 = J 0 0 0 0 0 0 -2 0 0 + -1 0 1 1 0 0 6 -1 0 = 0 0 0 -2 0 0 -4 0 0 + -1 0 1 1 0 0 6 -1 0 = -1 0 1 -1 0 0 2 -1 0 P-1 0 = 0 -1 0 0 -2 -1 1 -1 0 Výpočtem se lze přesvědčit, že platí J = P0AP-1 0 . Polynomiální matice a kanonické tvary 71 5.9. Minimální polynom matice. Nechť f() K[] je polynom f() = ann + an-1n-1 + + a0. Dosazením matice A Matn(K) do tohoto polynomu dostaneme matici f(A) = anAn + an-1An-1 + + a1A + a0E. Dosazení matice A do polynomu f() K[] je homomorfismus okruhů K[] Matn(K): f() f(A). Navíc pro A = PBP-1 je f(A) = Pf(B)P-1 . Důkaz je jednoduchý. Důsledkem je skutečnost, že pro každé dva polynomy f, g matice f(A) a g(A) komutují. Lemma. Pro každou matici A = 0 existuje nenulový polynom f() K[] takový, že f(A) = 0. Důkaz. Dimenze vektorového prostoru Matn(K) je n2 . Tedy matice An2 , An2-1 ,. . . , A, E jsou lineárně závislé. Existují an2 , an2-1,. . . , a1, a0 K, ne všechny rovny nule, tak, že an2 An2 + an2-1An2-1 + + a1A + a0E = 0. Tedy f() = an2 n2 + an2-1n2-1 + + a1 + a0 má požadované vlastnosti. Definice. Polynom m() K-{0} se nazývá minimálním polynomem matice A = 0, jestliže (a) vedoucí koeficient tohoto polynomu je 1, (b) m(A) = 0, (c) Jestliže f K[] - {0} je takový, že f(A) = 0, pak st f st m. Z předchozího lemmatu plyne, že každá nenulová matice má aspoň jeden minimální polynom. Věta (vlastnosti minimálního polynomu). Nechť m() K[] je minimální polynom nenulové matice A Matn(K). Platí (1) Každý polynom f() K[]-{0} takový, že f(A) = 0, je dělitelný polynomem m(). (2) m() je určen jednoznačně. (3) m() je roven invariantnímu faktoru en() v kanonické matici charakteristické matice A - E. Důkaz. (1) Vydělme polynom f() polynomem m(), f() = m()q() + r(). Předpokládejme, že r() = 0. Pak st r < st m, a protože f(A) = 0 = m(), je rovněž r(A) = 0. To je ovšem spor s tím, že m() je minimální polynom. (2) Jsou-li m() a m() dva minimální polynomy, pak podle předchozího tvrzení m() dělí m() a obráceně, m() dělí m(). Protože oba mají vedoucí koeficient 1, je m() = m(). (3) Prvně dokážeme, že en(A) = 0. Platí (-1)n det(A - E) = dA-E n () = (-1)n dA-E n-1 ()en() 72 Lineární algebra a geometrie III. Nechť B() = (A-E)ij , kde (A-E)ij je algebraický doplněk ke členu matice A - E v i-tém řádku a j-tém sloupci. Platí (A - E)B() = det(A - E) E dA-E n-1 () je největší společný dělitel všech minorů matice A - E řádu n - 1, platí proto B() = dA-E n-1 () C(), kde největší společný dělitel prvků C() je 1. Dostáváme tedy (-1)n dA-E n-1 ()en()E = (-1)n det(A - E)E = (-1)n (A - E)B() = (-1)n (A - E)dA-E n-1 ()C() Proto en()E = (A - E)C(). Dosazením matice A za dostaneme en(A) = 0. Odtud plyne, že en() = q()m(). Dokážeme, že q() = 1. Vydělme polynom m()E polynomem (A - E): m()E = (A - E)Q() + R, kde R Matn(K). Dosazením matice A za (ať zleva či zprava) dostaneme R = m(A) = 0. Tedy (A - E)C() = en()E = q()m()E = q()(A - E)Q() Proto (A - E) C() - q()Q() = 0 a nutně C() = q()Q(). Tedy každý prvek matice C() je dělitelný q(). Největší společný dělitel všech prvků C() je však 1, tedy q() = 1. Věta (Hamilton­Caleyova). Nechť c() = det(A - E) je charakteristický polynom matice A. Potom c(A) = 0. Důkaz. Nechť K() je kanonický tvar matice A - E. Potom c() = det(A - E) = (-1)n det K() = (-1)n e1()e2() . . . en() Protože en(A) = 0, je rovněž c(A) = 0. Kontrolní otázky. (1) Jak se mění determinant polynomiální matice při provádění jednotlivých ele- mentárních řádkových operací? (2) Napište dva maticové polynomy stupně 1, jejichž součin je polynom stupně 1. (3) Vysvětlete, jaký je vztah mezi podobností matic a ekvivalencí jejich charakte- ristických matic. (4) Vyslovte definici kanonického tvaru polynomiální matice. Proč je tento kano- nický tvar určen jednoznačně? Polynomiální matice a kanonické tvary 73 (5) Jaký je vztah mezi maticí J v Jordanově kanonickém tvaru a kanonickým tvarem její charakteristické matice J -E? Napište několik matic v Jordanově kanonickém tvaru s více buňkami různých velikostí a s několika vlastními čísly a k nim najděte příslušný kanonický tvar charakteristické matice. (6) Vyslovte definici minimálního polynomu matice A = 0. Jak najdeme mini- mální polynom matice pomocí kanonického tvaru její charakteristické matice? Najděte matice 4 × 4 s minimálním polynomem stupně 1, 2, 3 a 4. Příklady k procvičení. (1) Najděte Jordanův kanonický tvar následujících matic Ai a matice podobnosti Pi takové, že J = P-1 i Ai Pi. A1 = 3 2 -3 4 10 -12 3 6 -7 A2 = 0 1 -1 1 -1 2 -1 1 -1 1 1 0 -1 1 0 1 A3 = 9 -9 4 7 -7 4 3 -4 4 A4 = 7 1 -2 1 1 4 1 1 2 -1 5 2 2 -1 -1 8 Řešení: J1 = 2 1 0 0 2 0 0 0 2 P1 = 1 1 3 4 0 0 3 0 1 J2 = 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 P2 = 1 0 0 -1 1 0 0 0 0 -1 1 1 0 0 1 0 J3 = 2 1 0 0 2 1 0 0 2 P3 = 2 -1 0 2 -1 1 1 0 2 J4 = 6 1 0 0 0 6 1 0 0 0 6 0 0 0 0 6 P4 = 0 3 -2 -9 9 -3 -1 -9 9 0 -3 -9 9 0 0 0 (2) Které z následujících matic jsou navzájem podobné? B1 = -13 5 4 2 0 -1 0 0 -30 12 9 5 -12 6 4 1 B2 = 2 0 2 0 1 2 2 -2 0 0 2 0 0 0 1 2 74 Lineární algebra a geometrie III. B3 = -1 0 0 2 1 -1 -2 2 0 0 -1 1 0 0 0 -1 B4 = 2 0 0 2 1 2 -2 2 0 0 2 1 0 0 0 2 B5 = 2 0 0 1 3 0 3 1 0 0 -1 1 0 0 0 0 2 [Řešení: B1 je podobná B3, B2, B4 a B5 jsou si navzájem podobné.] (3) Určete kanonické tvary charakteristických matic příslušných maticím C1 = 1 -3 0 3 -2 -6 0 13 0 -3 1 3 -1 -4 0 8 C2 = 4 3 2 -3 6 9 4 -8 -3 -4 -1 4 9 9 6 -8 C3 = 2 0 0 0 1 2 0 0 1 1 2 3 0 0 0 -1 C4 = 0 -3 -2 -1 -2 -2 4 4 3 [Řešení: K1 = K2 = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 (1 - ) 0 0 0 0 ( - 1)3 K3 = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ( + 1) 0 0 0 0 ( + 1)( - 2)3 K4 = 1 0 0 0 ( + 1) 0 0 0 ( + 1)( - 1)2 (4) Určete minimální polynom následujících matic D1 = 3 0 0 1 3 0 0 0 4 D2 = 3 0 5 1 3 0 0 0 3 D3 = 3 0 0 1 3 0 0 1 3 Polynomiální matice a kanonické tvary 75 D4 = -1 4 0 0 0 0 3 0 0 0 0 -4 -1 0 0 3 -9 -4 2 -1 1 5 4 1 4 [Řešení: m1 = ( - 3)2 ( - 4); m2 = ( - 3)2 ; m3 = ( - 3)3 ; m4 = ( - 3)2 ( + 1).] (5) Najděte matici, jejíž minimální polynom je (a) polynom 2 a matice má rozměry 3 × 3 (b) polynom prvního řádu a matice má rozměry 2 × 2 [Řešení: např. (a) 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ; (b) 1 0 0 1 .] Rejstřík -matice, 61 Antisymetrizace, 51 Aritmetický základ bodu, 5 projektivního prostoru, 5 Báze aritmetická, 6 duální, 35 geometrická, 6 Bod jednotkový geometrické báze, 6 nevlastní, 17 polárně sdružený (konjugovaný), 14 projektivního prostoru, 5 regulární, 15 singulární, 15 základní geometrické báze, 6 Čísla hlavní, 26 Dosazení vektoru, 56 Dualita, 37 Duální lineární zobrazení, 37 Kanonický tvar -matice, 63 Kolineace, 7 Komplexně sdružený vektor, 3 Komplexní rozšíření (komplexifikace) afinního prostoru, 4 afinního zobrazení, 5 lineárního zobrazení, 3 projektivního prostoru, 9 vektorového prostoru, 3 Kuželosečka, 11 Kvadrika, 11 eliptického typu, 21 hyperbolického typu, 21 parabolického typu, 21 Lineární forma, 35 Minimální polynom matice, 71 Nadkvadrika, 11 eliptického typu, 18 hyperbolického typu, 19 parabolického typu, 19 regulární, 15 singulární, 15 Nadrovina asymptotická, 18 osová (hlavní), 26 polární, 15 tečná, 16 Podprostor nevlastní afinního prostoru, 9 projektivní, 7 reálný, 3 reálný afinní, 5 Polynomiální matice, 61 Polára, 15 Prostor duální, 35 projektivní, 5 Projektivní rozšíření afinního prostoru, 9 nadkvadriky, 11 Přímka osová, 26, 28 projektivní, 7 Realifikace, 10 Směr, 25 hlavní, 25 Směry kolmé, 25 Souřadnice homogenní, 7 nehomogenní, 8 Střed, 17 Symetrická algebra, 51 Symetrizace, 49 Tenzor antisymetrický, 51 symetrický, 49 Tenzorový součin, 38 Vnější forma, 56 Vrchol, 28 76 Další literatura [D] M. Doupovec, Diferenciální geometrie a tenzorový počet, VUT Brno, 1999. [JS] J. Janyška, A. Sekaninová, Analytická geometrie kuželoseček a kvadrik, MU Brno, 1996. [K] A. I. Kostrikin, Exercises in algebra: A collection of exercises in algebra, linear algebra and geometry, Gordon and Breach Publishers, 1996. [KM] A. I. Kostrikin, Yu. I. Manin, Linear algebra and geometry, Gordon and Breach Publishers, 1997. [S] J. Slovák, Lineární algebra, elektronický učební text, www.math.muni.cz/~slovak. Ke kapitolám 1, 2 a 3 lze doporučit [JS], [K] a [KM], ke kapitole 4 [D], [K], [KM] a [S] a ke kapitole 5 [S]. Mnohé příklady v tomto textu pocházejí z [JS] a [K]. 77