Link: OLE-Object-Data

   Řešení vzorové písemné zkoušky z předmětu Stochastické modely I, podzimní semestr 2005

   

   Příklad 1. Nechť Y, Z jsou náhodné veličiny, které mají střední hodnoty E(Y) = 1, E(Z) = -6 a
   rozptyly D(Y) = 4, D(Z) = 9. Koeficient korelace R(Y,Z) = 0,9. Zavedeme stochastický proces ,
   kde X[t] = 3tY + 2Z. Najděte

   a)      střední hodnotu,

   b)      rozptyl a směrodatnou odchylku

   c)      autokovarianční a autokorelační funkci

   tohoto stochastického procesu.

   

   Řešení:

   ad a) m(t) = 3(t -- 4)

   ad b) s^2(t) = 36(t^2 + 1,8t + 1), s(t) = 6

   ad c) g(t[1],t[2]) = 36(t[1]t[2] + 0,9t[1] + 0,9t[2] + 1),

   

   Příklad 2. Máme černou a bílou urnu a pět koulí. Na počátku pokusu jsou všechny koule v černé
   urně. V každém kroku pokusu náhodně vybereme kouli a přemístíme ji do druhé urny, přičemž
   předpokládáme, že výběr každé koule je stejně možný.

   a)      Modelujte tento pokus pomocí homogenního markovského řetězce, najděte matici přechodu
   .

   b)      Stanovte stacionární rozložení tohoto řetězce.

   c)      Vypočtěte střední hodnotu počtu koulí po stabilizaci pokusu.

   

   Řešení:

   ad a)

   Zavedeme homogenní markovský řetězec  s množinou stavů J = {0, ... ,5}, přičemž X[n] = j, když
   v n-tém kroku pokusu bude v černé urně právě j koulí.

   

   

   ad b) a = (1/32  5/32  10/32  10/32  5/32  1/32)

   

   ad c) 2,5

   

   Příklad 3a. Myš je vložena do bludiště tvaru:

   V každém okamžiku si myš vybere náhodně jedny z dveří přihrádky, v níž se právě nachází a
   přejde do příslušné přihrádky. Předpokládáme, že v přihrádce 3 je potrava a myš tuto přihrádku
   neopustí, jakmile do ní jednou vstoupí.

   a)      Modelujte proces pomocí homogenního markovského řetězce, najděte matici přechodu a
   nakreslete přechodový diagram.

   b)      Ukažte, že tento řetězec je absorpční.

   c)      Najděte matici přechodu do absorpčních stavů.

   

   Řešení:

   ad a) , X[n] = j, když v okamžiku n je myš v n-té přihrádce, j = 0, 1, 2, 3.

   Matice přechodu

   

   ad b) {0, 1, 2} jsou přechodné stavy, 3 je trvalý stav. Protože jediný trvalý stav je
   absorpční, jde o absorpční řetězec.

   

   Matice přechodu v kanonickém tvaru

   Fundamentální matice: M = (I -- Q)^-1 =

   Matice přechodu do absorpčních stavů: B = MR = .

   

   Příklad 3b. Homogenní markovský řetězec má množinou stavů J = {0, 1} a matici přechodu .
   Pomocí vytvořujících funkcí najděte matici přechodu po n krocích P^n.

   

   Řešení:

   Vytvořující funkce posloupnosti matic  má tvar: .

   det(I-zP) =

   .

    je vytvořující funkce posloupnosti a[n] = 1, n = 0, 1, 2, ...

    je vytvořující funkce posloupnosti a[n] = , n = 0, 1, 2, ...

   Matici P^n lze tedy psát ve tvaru: P^n = .