M7500 -- zkoušková písemka
5. 1. 2005 (90 minut)
1. (a) Buď N <j G (tj. N normální podgrupa grupy G) konečného indexu n (tj. [G : N] = n <
oo). Dokažte, že xn
E N pro každé x E G. (lb.)
(b) S využitím předchozího výsledku najděte všechny podgrupy (E \ {0}, ˇ) konečného indexu.
(1b.)
2. Definujte pojmy prvoideál a maximálni ideál okruhu R a uveďte, jaký je mezi nimi vztah a
jaký je vztah těchto pojmů k pojmu faktorokruh. (2b.)
3. Definujte sčítání reálných čísel a podrobně dokažte, že výsledkem je opět reálné číslo. (2b.)
4. Na množině přirozených čísel definujte operaci sčítání a dokažte přímo z definice, že je komutativní.
(2b.)
5. Definujte pojem vytvořující rozklad na grupoidu a uveďte příklad rozkladu na (E,+), který
není vytvořující. (1b.)
6. Uveďte příklad:
* komutativního okruhu, který není možné vnořit do tělesa
* okruhu R a ideálu / C i ? , který není hlavní
* lineárně uspořádané množiny, kterou nelze vnořit do spojitě uspořádané množiny
* oboru integrity R, ve kterém neplatí omezené zákony o krácení (%b.)
M7500 -- zkoušková písemka
5. 1. 2005 (90 minut)
1. (a) Buď N <j G (tj. N normální podgrupa grupy G) konečného indexu n (tj. [G : N] = n <
oo). Dokažte, že xn
E N pro každé x E G. (lb.)
(b) S využitím předchozího výsledku najděte všechny podgrupy (E \ {0}, ˇ) konečného indexu.
(1b.)
2. Definujte pojmy prvoideál a maximálni ideál okruhu R a uveďte, jaký je mezi nimi vztah a
jaký je vztah těchto pojmů k pojmu faktorokruh. (2b.)
3. Definujte sčítání reálných čísel a podrobně dokažte, že výsledkem je opět reálné číslo. (2b.)
4. Na množině přirozených čísel definujte operaci sčítání a dokažte přímo z definice, že je komutativní.
(2b.)
5. Definujte pojem vytvořující rozklad na grupoidu a uveďte příklad rozkladu na (E,+), který
není vytvořující. (1b.)
6. Uveďte příklad:
* komutativního okruhu, který není možné vnořit do tělesa
* okruhu R a ideálu / C i ? , který není hlavní
* lineárně uspořádané množiny, kterou nelze vnořit do spojitě uspořádané množiny
* oboru integrity R, ve kterém neplatí omezené zákony o krácení (%b.)
M7500 -- zkoušková písemka
5. 1. 2005 (90 minut)
1. (a) Buď N <j G (tj. N normální podgrupa grupy G) konečného indexu n (tj. [G : N] = n <
oo). Dokažte, že xn
E N pro každé x E G. (lb.)
(b) S využitím předchozího výsledku najděte všechny podgrupy (E \ {0}, ˇ) konečného indexu.
(1b.)
2. Definujte pojmy prvoideál a maximálni ideál okruhu R a uveďte, jaký je mezi nimi vztah a
jaký je vztah těchto pojmů k pojmu faktorokruh. (2b.)
3. Definujte sčítání reálných čísel a podrobně dokažte, že výsledkem je opět reálné číslo. (2b.)
4. Na množině přirozených čísel definujte operaci sčítání a dokažte přímo z definice, že je komutativní.
(2b.)
5. Definujte pojem vytvořující rozklad na grupoidu a uveďte příklad rozkladu na (E,+), který
není vytvořující. (1b.)
6. Uveďte příklad:
* komutativního okruhu, který není možné vnořit do tělesa
* okruhu R a ideálu / C i ? , který není hlavní
* lineárně uspořádané množiny, kterou nelze vnořit do spojitě uspořádané množiny
* oboru integrity R, ve kterém neplatí omezené zákony o krácení (%b.)
M7500 -- zkoušková písemka
5. 1. 2005 (90 minut)
1. (a) Buď N <j G (tj. N normální podgrupa grupy G) konečného indexu n (tj. [G : N] = n <
oo). Dokažte, že xn
E N pro každé x E G. (lb.)
(b) S využitím předchozího výsledku najděte všechny podgrupy (E \ {0}, ˇ) konečného indexu.
(1b.)
2. Definujte pojmy prvoideál a maximálni ideál okruhu R a uveďte, jaký je mezi nimi vztah a
jaký je vztah těchto pojmů k pojmu faktorokruh. (2b.)
3. Definujte sčítání reálných čísel a podrobně dokažte, že výsledkem je opět reálné číslo. (2b.)
4. Na množině přirozených čísel definujte operaci sčítání a dokažte přímo z definice, že je komutativní.
(2b.)
5. Definujte pojem vytvořující rozklad na grupoidu a uveďte příklad rozkladu na (E,+), který
není vytvořující. (1b.)
6. Uveďte příklad:
* komutativního okruhu, který není možné vnořit do tělesa
* okruhu R a ideálu / C i ? , který není hlavní
* lineárně uspořádané množiny, kterou nelze vnořit do spojitě uspořádané množiny
* oboru integrity R, ve kterém neplatí omezené zákony o krácení (%b.)