M7500 — zkoušková písemka 1. 2. 2005 (90 minut)
1.   Definujte pojem „stupeň rozšíření těles" a určete stupeň rozšíření Q[x]/(x2 — 2) nad Q.(lb.)
2.   Nechť (R, <) je lineárně uspořádaná množina a (S, :<) její normální obal.
(a)   Popište prvky množiny S, definici uspořádání ^ a kanonického vnoření rtp : R —► S. (2b.)
(b)   Popište skoky a mezery v lineárně uspořádané množině (S, :<).                                  (1b.)
3.   Definujte relaci < na množině Q tak, aby odpovídala běžnému uspořádání racionálních čísel „podle velikosti". Podrobně dokažte, že jde o uspořádání a že pro celá čísla splývá s uspořádáním definovaným na množině Z.                                                                                         (%b.)
4.   Zformulujte větu o jednoznačnosti přirozených čísel.                                                            (1b.)
5.   Definujte násobení reálných čísel a podrobně dokažte, že výsledkem je opět reálné číslo. (2b.)
(a)   Buď N <j G (tj. N normální podgrupa grupy G) konečného indexu n (tj. [G : N] = n < oo). Dokažte, že xn E N pro každé x E G.                                                                     (lb.)
(b)   S využitím předchozího výsledku najděte všechny podgrupy (E \ {0}, •) konečného indexu.                                                                                                                                  (1b.)
M7500 — zkoušková písemka 1. 2. 2005 (90 minut)
1.   Definujte pojem „stupeň rozšíření těles" a určete stupeň rozšíření Q[x]/(x2 — 2) nad Q.(lb.)
2.   Nechť (R, <) je lineárně uspořádaná množina a (S, ^) její normální obal.
(a)   Popište prvky množiny S, definici uspořádání ^ a kanonického vnoření rtp : R —► S. (2b.)
(b)   Popište skoky a mezery v lineárně uspořádané množině (S, ^).                                  (1b.)
3.   Definujte relaci < na množině Q tak, aby odpovídala běžnému uspořádání racionálních čísel „podle velikosti". Podrobně dokažte, že jde o uspořádání a že pro celá čísla splývá s uspořádáním definovaným na množině Z.                                                                                         (%b.)
4.   Zformulujte větu o jednoznačnosti přirozených čísel.                                                            (1b.)
5.   Definujte násobení reálných čísel a podrobně dokažte, že výsledkem je opět reálné číslo. (2b.)
(a)   Buď N <j G (tj. N normální podgrupa grupy G) konečného indexu n (tj. [G : N] = n < oo). Dokažte, že xn E N pro každé x E G.                                                                     (lb.)
(b)   S využitím předchozího výsledku najděte všechny podgrupy (E \ {0}, •) konečného indexu.                                                                                                                                  (1b.)
M7500 — zkoušková písemka 1. 2. 2005 (90 minut)
1.   Definujte pojem „stupeň rozšíření těles" a určete stupeň rozšíření Q[x]/(x2 — 2) nad Q.(lb.)
2.   Nechť (R, <) je lineárně uspořádaná množina a (S, :<) její normální obal.
(a)   Popište prvky množiny S, definici uspořádání ^ a kanonického vnoření rtp : R —► S. (2b.)
(b)   Popište skoky a mezery v lineárně uspořádané množině (S, :<).                                  (1b.)
3.   Definujte relaci < na množině Q tak, aby odpovídala běžnému uspořádání racionálních čísel „podle velikosti". Podrobně dokažte, že jde o uspořádání a že pro celá čísla splývá s uspořádáním definovaným na množině Z.                                                                                         (%b.)
4.   Zformulujte větu o jednoznačnosti přirozených čísel.                                                            (1b.)
5.   Definujte násobení reálných čísel a podrobně dokažte, že výsledkem je opět reálné číslo. (2b.)
(a)   Buď N <j G (tj. N normální podgrupa grupy G) konečného indexu n (tj. [G : N] = n < oo). Dokažte, že xn E N pro každé x E G.                                                                     (lb.)
(b)   S využitím předchozího výsledku najděte všechny podgrupy (E \ {0}, •) konečného indexu.                                                                                                                                  (1b.)
M7500 — zkoušková písemka 1. 2. 2005 (90 minut)
1.   Definujte pojem „stupeň rozšíření těles" a určete stupeň rozšíření Q[x]/(x2 — 2) nad Q.(lb.)
2.   Nechť (R, <) je lineárně uspořádaná množina a (S, ^) její normální obal.
(a)   Popište prvky množiny S, definici uspořádání ^ a kanonického vnoření rtp : R —► S. (2b.)
(b)   Popište skoky a mezery v lineárně uspořádané množině (S, ^).                                  (1b.)
3.   Definujte relaci < na množině Q tak, aby odpovídala běžnému uspořádání racionálních čísel „podle velikosti". Podrobně dokažte, že jde o uspořádání a že pro celá čísla splývá s uspořádáním definovaným na množině Z.                                                                                         (%b.)
4.   Zformulujte větu o jednoznačnosti přirozených čísel.                                                            (1b.)
5.   Definujte násobení reálných čísel a podrobně dokažte, že výsledkem je opět reálné číslo. (2b.)
(a)   Buď N <j G (tj. N normální podgrupa grupy G) konečného indexu n (tj. [G : N] = n < oo). Dokažte, že xn E N pro každé x E G.                                                                     (lb.)
(b)   S využitím předchozího výsledku najděte všechny podgrupy (E \ {0}, •) konečného indexu.                                                                                                                                  (1b.)
M7500 — zkoušková písemka 1. 2. 2005 (90 minut)
1.   Definujte pojem „stupeň rozšíření těles" a určete stupeň rozšíření Q[x]/(x2 — 2) nad Q.(lb.)
2.   Nechť (R, <) je lineárně uspořádaná množina a (S, :<) její normální obal.
(a)   Popište prvky množiny S, definici uspořádání ^ a kanonického vnoření rtp : R —► S. (2b.)
(b)   Popište skoky a mezery v lineárně uspořádané množině (S, :<).                                  (1b.)
3.   Definujte relaci < na množině Q tak, aby odpovídala běžnému uspořádání racionálních čísel „podle velikosti". Podrobně dokažte, že jde o uspořádání a že pro celá čísla splývá s uspořádáním definovaným na množině Z.                                                                                         (%b.)
4.   Zformulujte větu o jednoznačnosti přirozených čísel.                                                            (1b.)
5.   Definujte násobení reálných čísel a podrobně dokažte, že výsledkem je opět reálné číslo. (2b.)
(a)   Buď N <j G (tj. N normální podgrupa grupy G) konečného indexu n (tj. [G : N] = n < oo). Dokažte, že xn E N pro každé x E G.                                                                     (lb.)
(b)   S využitím předchozího výsledku najděte všechny podgrupy (E \ {0}, •) konečného indexu.                                                                                                                                  (1b.)
M7500 — zkoušková písemka 1. 2. 2005 (90 minut)
1.   Definujte pojem „stupeň rozšíření těles" a určete stupeň rozšíření Q[x]/(x2 — 2) nad Q.(lb.)
2.   Nechť (R, <) je lineárně uspořádaná množina a (S, ^) její normální obal.
(a)   Popište prvky množiny S, definici uspořádání ^ a kanonického vnoření rtp : R —► S. (2b.)
(b)   Popište skoky a mezery v lineárně uspořádané množině (S, ^).                                  (1b.)
3.   Definujte relaci < na množině Q tak, aby odpovídala běžnému uspořádání racionálních čísel „podle velikosti". Podrobně dokažte, že jde o uspořádání a že pro celá čísla splývá s uspořádáním definovaným na množině Z.                                                                                         (%b.)
4.   Zformulujte větu o jednoznačnosti přirozených čísel.                                                            (1b.)
5.   Definujte násobení reálných čísel a podrobně dokažte, že výsledkem je opět reálné číslo. (2b.)
(a)   Buď N <j G (tj. N normální podgrupa grupy G) konečného indexu n (tj. [G : N] = n < oo). Dokažte, že xn E N pro každé x E G.                                                                     (lb.)
(b)   S využitím předchozího výsledku najděte všechny podgrupy (E \ {0}, •) konečného indexu.                                                                                                                                  (1b.)
M7500 — zkoušková písemka 1. 2. 2005 (90 minut)
1.   Definujte pojem „stupeň rozšíření těles" a určete stupeň rozšíření Q[x]/(x2 — 2) nad Q.(lb.)
2.   Nechť (R, <) je lineárně uspořádaná množina a (S, :<) její normální obal.
(a)   Popište prvky množiny S, definici uspořádání ^ a kanonického vnoření rtp : R —► S. (2b.)
(b)   Popište skoky a mezery v lineárně uspořádané množině (S, :<).                                  (1b.)
3.   Definujte relaci < na množině Q tak, aby odpovídala běžnému uspořádání racionálních čísel „podle velikosti". Podrobně dokažte, že jde o uspořádání a že pro celá čísla splývá s uspořádáním definovaným na množině Z.                                                                                         (%b.)
4.   Zformulujte větu o jednoznačnosti přirozených čísel.                                                            (1b.)
5.   Definujte násobení reálných čísel a podrobně dokažte, že výsledkem je opět reálné číslo. (2b.)
(a)   Buď N <j G (tj. N normální podgrupa grupy G) konečného indexu n (tj. [G : N] = n < oo). Dokažte, že xn E N pro každé x E G.                                                                     (lb.)
(b)   S využitím předchozího výsledku najděte všechny podgrupy (E \ {0}, •) konečného indexu.                                                                                                                                  (1b.)
M7500 — zkoušková písemka 1. 2. 2005 (90 minut)
1.   Definujte pojem „stupeň rozšíření těles" a určete stupeň rozšíření Q[x]/(x2 — 2) nad Q.(lb.)
2.   Nechť (R, <) je lineárně uspořádaná množina a (S, ^) její normální obal.
(a)   Popište prvky množiny S, definici uspořádání ^ a kanonického vnoření rtp : R —► S. (2b.)
(b)   Popište skoky a mezery v lineárně uspořádané množině (S, ^).                                  (1b.)
3.   Definujte relaci < na množině Q tak, aby odpovídala běžnému uspořádání racionálních čísel „podle velikosti". Podrobně dokažte, že jde o uspořádání a že pro celá čísla splývá s uspořádáním definovaným na množině Z.                                                                                         (%b.)
4.   Zformulujte větu o jednoznačnosti přirozených čísel.                                                            (1b.)
5.   Definujte násobení reálných čísel a podrobně dokažte, že výsledkem je opět reálné číslo. (2b.)
(a)   Buď N <j G (tj. N normální podgrupa grupy G) konečného indexu n (tj. [G : N] = n < oo). Dokažte, že xn E N pro každé x E G.                                                                     (lb.)
(b)   S využitím předchozího výsledku najděte všechny podgrupy (E \ {0}, •) konečného indexu.                                                                                                                                  (1b.)
M7500 — zkoušková písemka 1. 2. 2005 (90 minut)
1.   Definujte pojem „stupeň rozšíření těles" a určete stupeň rozšíření Q[x]/(x2 — 2) nad Q.(lb.)
2.   Nechť (R, <) je lineárně uspořádaná množina a (S, :<) její normální obal.
(a)   Popište prvky množiny S, definici uspořádání ^ a kanonického vnoření rtp : R —► S. (2b.)
(b)   Popište skoky a mezery v lineárně uspořádané množině (S, :<).                                  (1b.)
3.   Definujte relaci < na množině Q tak, aby odpovídala běžnému uspořádání racionálních čísel „podle velikosti". Podrobně dokažte, že jde o uspořádání a že pro celá čísla splývá s uspořádáním definovaným na množině Z.                                                                                         (%b.)
4.   Zformulujte větu o jednoznačnosti přirozených čísel.                                                            (1b.)
5.   Definujte násobení reálných čísel a podrobně dokažte, že výsledkem je opět reálné číslo. (2b.)
(a)   Buď N <j G (tj. N normální podgrupa grupy G) konečného indexu n (tj. [G : N] = n < oo). Dokažte, že xn E N pro každé x E G.                                                                     (lb.)
(b)   S využitím předchozího výsledku najděte všechny podgrupy (E \ {0}, •) konečného indexu.                                                                                                                                  (1b.)
M7500 — zkoušková písemka 1. 2. 2005 (90 minut)
1.   Definujte pojem „stupeň rozšíření těles" a určete stupeň rozšíření Q[x]/(x2 — 2) nad Q.(lb.)
2.   Nechť (R, <) je lineárně uspořádaná množina a (S, ^) její normální obal.
(a)   Popište prvky množiny S, definici uspořádání ^ a kanonického vnoření rtp : R —► S. (2b.)
(b)   Popište skoky a mezery v lineárně uspořádané množině (S, ^).                                  (1b.)
3.   Definujte relaci < na množině Q tak, aby odpovídala běžnému uspořádání racionálních čísel „podle velikosti". Podrobně dokažte, že jde o uspořádání a že pro celá čísla splývá s uspořádáním definovaným na množině Z.                                                                                         (%b.)
4.   Zformulujte větu o jednoznačnosti přirozených čísel.                                                            (1b.)
5.   Definujte násobení reálných čísel a podrobně dokažte, že výsledkem je opět reálné číslo. (2b.)
(a)   Buď N <j G (tj. N normální podgrupa grupy G) konečného indexu n (tj. [G : N] = n < oo). Dokažte, že xn E N pro každé x E G.                                                                     (lb.)
(b)   S využitím předchozího výsledku najděte všechny podgrupy (E \ {0}, •) konečného indexu.                                                                                                                                  (1b.)