M7500 — zkoušková písemka 16. 3. 2003 (90 minut)
1.   Buď dána grupa (G, o) nekonstantních lineárních zobrazení reálných čísel
G = {/ : E ->■ E I f (x) =ax + b,aeR*,beR}
s operací skládání zobrazení o. Uvažme v této grupě dvě podgrupy:
T = {/ : E -»■ E | f (x) = ax,ae E*}, S = {/ : E -»■ E | f (x) =x + b,beR}.
Která z nich je normálni podgrupou grupy (G, o)? Popište u obou pravý i levý rozklad. (3b.)
2.   Definujte násobení reálných čísel a podrobně dokažte, že výsledkem je opět reálné číslo. (2b.)
3.   Buď (R,+,-) libovolný netriviální komutativní okruh s 1. Dokažte, že v R platí omezené zákony o krácení, právě když je (R, +, •) obor integrity.                                                       (2b.)
4.   Zaveďte na množině Q běžné uspořádání „podle velikosti" a dokažte pomocí této definice, že pro libovolná a, ß, 7 G Q platí: a < ß =>- a + 7 < ß + 7.                                                      (2b.)
5.   Definujte množinu přirozených čísel a dokažte, že v grupoidu (ÁÍ, +) (s obvykle definovanou operací +) platí zákon o odečítání.                                                                                         (2b.)
M7500 — zkoušková písemka 16. 3. 2003 (90 minut)
1.   Buď dána grupa (G, o) nekonstantních lineárních zobrazení reálných čísel
G = {/ : E -»■ E I f (x) = ax + b, a G E*, b G E}
s operací skládání zobrazení o. Uvažme v této grupě dvě podgrupy:
T = {/ : E -»■ E I /(x) =ax,«G E*}, S = {/ : E -»■ E I /(x) = x + 6, 6 G E}.
Která z nich je normálni podgrupou grupy (G, o)? Popište u obou pravý i levý rozklad. (3b.)
2.   Definujte násobení reálných čísel a podrobně dokažte, že výsledkem je opět reálné číslo. (2b.)
3.   Buď (R,+,-) libovolný netriviální komutativní okruh s 1. Dokažte, že v R platí omezené zákony o krácení, právě když je (R, +, •) obor integrity.                                                       (2b.)
4.   Zaveďte na množině Q běžné uspořádání „podle velikosti" a dokažte pomocí této definice, že pro libovolná a, ß, 7 G Q platí: a < ß =^- a + 7 < ß + 7.                                                      (2b.)
5.   Definujte množinu přirozených čísel a dokažte, že v grupoidu (ÁÍ, +) (s obvykle definovanou operací +) platí zákon o odečítání.                                                                                         (2b.)