1
Statistické metody a zpracování dat
V. Testování statistických hypotéz
Petr Dobrovolný
K čemu to je?
Ověřování předpokladů
Příklady:
Jak mnoho se liší průměrná míra nezaměstnanosti v
okrese X od celorepublikového průměru?
Jak mnoho se liší údaje naměřené dvěma různými
metodami?
Pochází výběr ze základního souboru, který má určité
teoretické rozdělení?
Základní pojmy
ˇ Hladina významnosti (p) ­ pravděpodobnost, že náhodná
odchylka překročí tzv. kritickou hodnotu. Volíme p co nejnižší
(p=0,05 či 0,01 tj. 5 % či 1 %).
ˇ Odchylky, které se vyskytují s menší pravděpodobností než p
jsou statisticky významné na zvolené hladině.
ˇ Statistická hypotéza ­ předpoklad o neznámé vlastnosti
základního souboru. Prověřujeme tzv. nulovou hypotézu (H0).
Např. průměry výběrových souborů se neliší (pocházejí z jednoho
základního souboru).
ˇ Platnost hypotézy se prověřuje testem významnosti.
ˇ Nulová hypotéza je obvykle opakem hypotézy pracovní (je
obvykle opakem toho, co chceme výzkumem prokázat, když
zahajujeme studii a začínáme sbírat data).
Základní pojmy
ˇ Proti nulové hypotéze stojí alternativní hypotéza H1
ˇ Hypotéza může být dvoustranná a test dvoustranným
ˇ Existují i jednostranné (pravostranné a levostranné) hypotézy
0 =
0 
0 >
0 <
H0
H1
Jednostranný test
H1
H1
Testovací kritérium
Obecný tvar
Testovou statistiku vyhodnotíme tak, že spočteme
pravděpodobnost, že bychom mohli pozorovat námi zjištěnou,
nebo ještě extrémnější (tj. méně pravděpodobnou) hodnotu, pokud
by byla nulová hypotéza pravdivá.
Testovací kritérium
ˇ Použité testovací kritérium musí odpovídat povaze problému.
ˇ Každé testovací kritérium má své teoretické rozdělení.
ˇ Ve statistických tabulkách jsou uvedeny kritické hodnoty
testovacích kritérií pro běžně používané hladiny významnosti a
běžné rozsahy výběrových souborů.
ˇ Tyto rozsahy jsou většinou tabelovány v tzv. stupních volnosti.
ˇ Pokud nejsou kritické hodnoty tabelovány (pro velká n) lze
vypočítat pomocí SW
2
Testovací kritérium
Výrok o platnosti či neplatnosti nulové hypotézy vyslovujeme na
základě porovnání vypočtené hodnoty testovacího kritéria s hodnotou
kritickou:
ˇ I. Vypočtené kritérium je větší než kritická hodnota
ˇ Jedná se o případ, který jsme očekávali s nepatrnou
pravděpodobností
ˇ Takový případ je téměř nemožný.
ˇ Testovaná odchylka tedy nemá náhodný charakter.
ˇ Nulovou hypotézu zamítáme a rozdíl mezi testovanými
charakteristikami je statisticky významný na zvolené hladině p.
Testovací kritérium
ˇ II. Vypočtené kritérium je menší než kritická hodnota
ˇ Jedná se o případ, který jsme očekávali s pravděpodobností 1-p ­
tedy velmi vysokou
ˇ Takový případ můžeme považovat za téměř jistý.
ˇ Mezi testovanými charakteristikami není rozdílu.
ˇ Nulovou hypotézu přijímáme a rozdíl mezi testovanými
charakteristikami není statisticky významný na zvolené hladině p.
Při testování se můžeme dopustit dvou
druhů chyb:
Chyba 1. druhu ­ zamítneme správnou hypotézu
Chyba 2. druhu ­ nezamítneme (přijmeme) nesprávnou
hypotézu
Chyba 1. druhu se omezuje volbou p. Čím menší hladinu
významnosti zvolíme, tím menší je pravděpodobnost chyby
1. druhu. Naopak však ale roste pravděpodobnost chyby 2.
druhu.
Vztahy mezi chybami I. a II. druhu:
 - pravděpodobnost chyby prvního druhu
 - pravděpodobnost chyby druhého druhu
Síla testu
ˇ Pravděpodobnost 1 ­  označujeme jako sílu testu.
ˇ Vyjadřujeme, s jakou pravděpodobností zamítneme nulovou
hypotézu, platí-li hypotéza alternativní
ˇ Udává pravděpodobnost, že se nedopustíme chyby II. druhu
Rozdělení testů
Testy parametrické ­ testy o charakteristikách základního
souboru, testy o parametrech rozdělení základního souboru (testy
o průměru, rozptylu, o shodě dvou průměrů, ...).
Předpokládá se, že rozdělení základního souboru z něhož pochází
výběr, je určité teoretické rozdělení (normální).
Neparametrické testy - nevíme nic o rozdělení základního
souboru. Například ověřujeme předpoklad o normalitě. Patří sem:
Testy dobré shody, testy nezávislosti v kombinační tabulce, testy
o shodě úrovně
Menší síla testů, Sociologie, psychologie, ...
3
Obecný postup testování
ˇ formulace nulové hypotézy
ˇ volba hladiny významnosti
ˇ volba vhodného testovacího kritéria
ˇ výpočet hodnoty testovacího kritéria z empirických dat
ˇ porovnání vypočtené hodnoty s hodnotou kritickou (z
tabulek)
ˇ vyslovení závěru o výsledku testu (přijetí či zamítnutí
nulové hypotézy)
Příklad Z-testu, oboustranná alternativa
Ve výběru 216 vzorků byl zjišťován obsah rozpuštěných látek:
Průměr: 34,46 g/l
Směrodatná chyba: 0,397 g/l
průměr se neliší od průměru základního souboru (33,5 g/l)
Protože měříme spojitou veličinu a rozsah výběru je velký ­
můžeme předpokládat normální rozdělení a použít tzv. Z-testu:
0 =
0 
H0
H1
Testová
charakteristika
n
s
sx =
Nalezneme kritickou hodnotu Z standardizovaného normálního
rozdělení odpovídající 95% koeficientu spolehlivosti ­ nebo­li 5%
hladině významnosti :
Z1-0,5
Z1-0,5 = 1,960
Protože Z > Z1-0,5 dostáváme na zvolené hladině významnosti
významný výsledek ­ zamítáme H0 ­ Průměr získaný ze vzorků se
liší od průměru populace
Příklad Z-testu, jednostranná alternativa
Ve výběru 216 vzorků byl zjišťován obsah rozpuštěných látek:
Průměr: 34,46 g/l
Směrodatná chyba: 0,397 g/l
průměr je stejný jako průměr základního souboru (33,5 g/l)
0 =
H0
H1
Testová charakteristika Z = 2,418
průměr je větší
0 >
Kritická hodnota Z pro  = 0,05, tedy Z1- = 1,645
Protože Z > Z1- zamítáme H0 ­ Průměr získaný ze vzorků je
významně větší od průměru populace na 5 % hladině významnosti
Příklad Z-testu s jednostrannou alternativou
Test H0 oproti H1: 0 > Test H0 oproti H1: 0 <
F - test
Používá se k testování významnosti rozdílu mezi dvěma rozptyly.
Testovací kritérium je definováno jako poměr odhadů dvou
rozptylů základních souborů
2
2
2
1
^
^


=F
Odhady zjistíme z výběrových rozptylů ze vztahů:
2
1
1
12
1
1
^ s
n
n

-
= 2
2
2
22
2
1
^ s
n
n

-
=a
4
F - test
Do vzorce s testovacím kritériem F se dosazuje do čitatele
vždy větší hodnota.
Počty stupňů volnosti:
Kritické hodnoty veličiny F jsou tabelovány
Nulová hypotéza:
Předpokladem použití testu je alespoň přibližně normální
rozdělení základních souborů.
122 -= n111 -= n
2
2
2
1
^^  =
F ­ test: obecný postup testování
1. zvolíme hladinu významnosti p = 0,05 či p = 0,01
2. vypočteme odhady rozptylů základních souborů pomocí
rozptylů výběrových souborů
3. vypočítáme hodnotu testovacího kritéria F (F musí být
větší než 1)
4. určíme počty stupňů volnosti a pro daná a vyhledáme
kritickou hodnotu Fp/2
5. Porovnáme hodnotu F s kritickou hodnotou Fp/2 a
zhodnotíme výsledek
t - test
ˇ Je vhodný pro testování rozdílů dvou veličin (např. průměru
základního a výběrového souboru).
ˇ Lze ho použít i pro testování rozdílu dvou výběrových průměrů
jestliže F-testem ověříme významnost či nevýznamnost rozdílu
odpovídajících rozptylů.
ˇ Používá se i pro testování rozdílů párovaných hodnot.
ˇ Předpokladem použití testu je alespoň přibližně normální
rozdělení základního souboru a pro malé rozsahy souborů (n < 30)
Použití t - testu
1. Testování významnosti rozdílu výběrového průměru a
známého průměru základního souboru:
Testovací kritérium:
s
nx
t
1--
=

1-= n
Protože za oblasti zamítnutí považujeme obě strany křivky t-
rozdělení, je zapotřebí rozdělit zvolenou hladinu významnosti na
poloviny a v tabulkách vyhledat kritické hodnoty tp pro poloviční
hodnoty.
Jestliže t > tp zamítáme nulovou hypotézu ­ výběrový průměr se na
zvolené hladině p statisticky významně liší od průměru základního
souboru.
2. Testování významnosti rozdílu dvou průměrů pokud F-testem
nezamítneme hypotézu .
Použití t - testu
( )
21
2121
2
22
2
11
21 2
nn
nnnn
snsn
xx
t
+
-+

+
-
=
221 -+= nn
2
2
2
1
^^  =
3. Testování významnosti rozdílu dvou průměrů pokud F-testem
zjistíme, že mezi rozptyly je statisticky významný rozdíl
Použití t - testu
2
2
2
1
^^  
11
11
2
2
2
1
2
1
2
2
2''
1
2
1'
-
+
-
-
+
-
=+
n
s
n
s
n
s
t
n
s
t
t
pp
p
+
ptKritická hodnota
Testovací kritérium:
11
2
2
1
2
1
21
-
+
-
-
=
nn
s
n
s
xx
t
5
Použití t - testu
Hodnota značí kritickou hodnotu t-rozdělení pro
Hodnota kritickou hodnotu pro
Kritické hodnoty lze najít v tabulkách (Brázdil a kol. 1995, příl.
VII).
Postup testování je obdobný jako v případě výše uvedených
testů.
Je-li t > nulovou hypotézu zamítáme ­ na zvolené p je rozdíl
průměrů významný.
111 -= n
'
pt
''
pt 122 -= n
+
pt
Příklad t - test
Statistica ­
Základní statistiky
T- test, nezávislé,
dle proměnných
Zadání: Existuje statisticky
významný rozdíl mezi
průměrným obsahem Stroncia v
mléce změřeným na farmách v
blízkosti jaderné elektrárny
(XR) a farmách v horských
oblastech (XPG)
Výsledek: Průměry se významně liší na hladině
významnosti p=0,05
t - test pro párované hodnoty
Používá se v případě, že každý prvek jednoho výběru tvoří pár
s určitým prvkem druhého výběru (např. provádíme dvě měření na
stejném objektu za změněných podmínek).
Máme n párů na sobě závislých měření.
Postup testování: Vypočteme rozdíly di mezi oběma měřeními,
průměr těchto rozdílů a směrodatnou odchylku sd.
Předpokladem použití je opět normální rozdělení.
d
t - test pro párované hodnoty
Nulová hypotéza: 21  =
1-= n
ds
nd
t
1-
=
=
=
n
i
id
n
d
1
1
=
-=
n
i
id dd
n
s
1
21
Počet stupňů volnosti:
Testovací kritérium:
t - test pro párované hodnoty
V případě zamítnutí nulové hypotézy (t > tp) lze stanovit
100.(1-p)% interval spolehlivosti rozdílu :
11
21
-
+-
-
-
n
s
td
n
s
td d
p
d
p 
21  -
Pokud n >30, potom lze t-test nahradit tzv. z testem
Příklad t - test pro párované hodnoty
Statistica - Základní statistiky - T- test, závislé vzorky
Zadání: Existuje
statisticky významný
rozdíl v počtu
bezobratlých
živočichů zjištěných
nad a pod výpustí z
kanalizace (data
zjištěná pro dvojice
na 10 tocích)?
Výsledek:
Ano, na hladině
p=0,05
Pro p=0,01
nevýznamný
6
z - test
Pokud n >30, potom lze t-test nahradit tzv. z testem
2
2
2
1
2
1
21
n
s
n
s
xx
z
+
-
=testovací kritérium:
Výhody z-testu:
ˇ využití násobků směrodatné odchylky normovaného normálního
rozdělení jako kritických hodnot
ˇ kritické z hodnoty nemají stupně volnosti (normované rozdělení)
Tedy kritická hodnota 1,96 a menší indikuje pravděpodobnost větší
nebo rovnu 0,05 ­ tedy nevýznamný výsledek
kritická hodnota větší než 2,576 indikuje pravděpodobnost menší než
0,01 ­ tj. vysoce významný rozdíl mezi testovanými hodnotami
Mann- Whitney U - test
ˇ Neparametrický ekvivalent t-testu. Lze ho využít i pro nenormální, silně
asymetrická rozložení.
ˇ Jako míru centrální tendence využívá ne průměr ale medián a k
výpočtu testovacího kritéria využívá ne původních hodnot, ale
pořadových čísel.
ˇ Může být použit i pro data získaná na ordinální škále
Příklad: Porovnáváme zdravotní kondici stromů
rostoucích v městě (Z ­ znečištěné prostředí) a ve
volné krajině (Č ­ relativně čisté prostředí). Tuto
zdravotní kondici posuzujeme podle stavu (barvy)
olistění v šesti-stupňové škále
Mann- Whitney U test - příklad
6 ­ naprostá většina listů tmavě zelených
5 ­ ....
4 ­ ...
3 ­ některé listy mají světlé skvrny
2 ­ ....
1 ­ podstatná část listoví má nažloutlou barvu
Ordinální škála hodnocení zdravotní kondice stromů
Máme k dispozici deset různých vzorků obou lokalit
Č 4 5 4 4 5 6 6 6 6 3
Z 2 2 2 1 6 4 4 5 4 3
Prvním krokem je přiřazení pořadových čísel jednotlivým měřením.
Pro aplikaci uvedeného testu založeného na pořadí je vhodné, aby byla
data uspořádána do jednoho sloupce s indikací, ke které skupině patří.
Mann- Whitney U test - příklad
 =134Č
R = 76ZR
Mann- Whitney U test ­ testovací kritérium
Test je založen na výpočtu testovací statistiky U:
-
+
+= 1
11
211
2
)1(
R
nn
nnU
-
+
+= 2
22
212
2
)1(
R
nn
nnU
kde n1 a n2 jsou počty vzorků v jednotlivých výběrech
Výrazy a značí sumy pořadových čísel pro jednotlivé
výběry.
 1R  2R
Menší z hodnot U1 a U2 se bere jako testovací kritérium a
porovnává se s tabulkovou hodnotou.
Mann- Whitney U test ­ příklad (pokrač.)
V našem příkladě:  = 76ZR =134Č
R
a pro UČ tedy
21134
2
)110(10
1010
2
)1(
=-
+
+=-
+
+=  Č
ČČ
ZČČ
R
nn
nnU
a analogicky pro UZ:
7976
2
)110(10
1010
2
)1(
=-
+
+=-
+
+=  Z
ZZ
ZČZ R
nn
nnU
Menší z hodnot je tedy testovací kritérium U = 21
7
Mann- Whitney U test
Interpretace a vyslovení
závěru o testování:
Statistický program určí hodnotu
p, která přísluší vypočtené
hodnotě testovacího kritéria a
nebo se pro tuto hodnotu nalezne
kritická hodnota v tabulkách pro
zvolenou hladinu významnosti p
a pro parametry n1 a n2.
Horní čísla v tabulce odpovídají p=0,05, dolní potom p=0,01. V našem případě pro
n1=10 a n2=10
Pro U test platí, že čím menší hodnota U, tím menší pravděpodobnost ­
interpretace je tedy opačná jako např. u t-testu
Na hladině významnosti 5% jsme prokázali statisticky významný rozdíl
mezi zdravotní kondicí stromů rostoucích ve znečištěném a relativně
čistém prostředí.
Test
Jedná se o test shody.
Testujeme, do jaké míry se liší rozložení četností
empirického souboru od rozložení základního souboru.
2

Četnosti zjištěné při statistickém šetření (empirické):
Četnosti získané z teoretického rozložení modelu (očekávané):
Smyslem testu je hodnocení rozdílů v četnostech, tedy:
,,...,, ,1,1, jeee nnn
,,...,, ,1,1, jttt nnn
jtje nn ,, -
Test
2

Nulová hypotéza H0: Četnosti ne,j a nt,j se liší pouze náhodně
Testovací kritérium:
( )
=
-
=
k
j jt
jtje
n
nn
1 ,
2
,,2

Ve výraze značí k počet skupin, do kterých je soubor tříděn.
Testovací kritérium má rozdělení s stupni
volnosti.
Kritické hodnoty uvádí tabulky. Velké rozdíly v četnostech
dávají velké hodnoty testovacího kritéria.
1-= k
2

Test - podmínky použití
2

Testu by se nemělo použít v případě, je-li a některá teoretická
četnost nt,j je menší než 5.
Při k > 2 nemá být více než 20 % teoretických četností
menších než 5 a žádná menší než 1.
Je možné sloučení některých četností ­ bez narušení smyslu
úlohy.
Kolmogorovův ­ Smirnovův test
Tento test lze použít pro testování významnosti shody
teoretického a empirického rozložení i v případech, kdy nelze
použít CHÍ-kvadrát testu.
K-S test: postup testování I.
1. zvolíme hladinu významnosti p
2. roztřídíme zpracovávaná data do skupin
3. stanovíme příslušné teoretické četnosti
4. vypočítáme kumulativní četnosti empirického rozdělení Ne,j
5. vypočítáme kumulativní četnosti teoretického rozdělení Nt,j
6. stanovíme absolutní hodnoty rozdílů kumulovaných četností
v odpovídajících skupinách
7. vypočteme hodnotu testovacího kritéria D
n
NN
D
jtje ,,max -
=
K-S test: postup testování II
8. Pro zvolenou hladinu významnosti p a dané n vyhledáme
v tabulkách kritickou hodnotu Dp
9. V případě, že D > Dp, potom zamítáme nulovou hypotézu a
tvrdíme, že empirické a teoretické rozdělení se statisticky
významně liší.
K-S test lze použít i pro srovnání dvou výběrových souborů.
Potom jako n bereme:
21
21
nn
nn
n
+

=
8
Statistica ­ Prokládání rozdělení
Zadání: Testujeme, zda lze
výběrový soubor proložit normálním
rozložením (Existuje shoda
empirických a teoretických
četností?)
Výsledek:
Hodnota p je vysoká ­ není důvod
zamítnout nulovou hypotézu.
Empirické a teoretické hodnoty se na
hladině p= 5 % významně neliší
Výběrový soubor má normální rozdělení
2
Příklad použití testu a K-S testu