Příklady z Fyziky plazmatu
1 Úvod
1.1 Příklad (2b.)
Uvažujme, že na počátku máme rovnoměrné plazma, ve kterém je hustota elektronů i iontů
stejná a rovna n0 (plasma je elektricky neutrální). Nyní předpokládejme, že se elektrony
na ploše y, z nějakým vnějším vlivem ze svých rovnovovážných poloh posunuly o malou
hodnotu s ve směru osy x.
(a) Použitím Gaussova zákona ukažte, že elektrické pole, které vznikne mezi náboji je dáno
vztahem
Ex =
n0e
0
s .
(b) Ukažte, že pohybová rovnice pro každý elektron pod vlivem tohoto elektrického pole je
d2
s
dt2
+
n0e2
me0
s = 0 .
Dokažte, že toto je rovnice harmonického oscilátoru s frekvencí
pe =
n0e2
me0
1/2
.
1.2 Příklad (2b.)
(a) Odhadněte teplotu plazmatu, v němž se v kouli o poloměru 1 mm liší hustota elek-
tronů od hustoty iontů o 1 %. Hustota nabitých částic je 1020
m-3
. (Vyjděte z předpokladu
rovnosti kinetické (tepelné) a potenciální energie, vyplívající z Coulombovských sil.)
(b) Dosad'te zadané hodnoty a vypočtenou teplotu do vzorce pro výpočet Debyeovy délky
D a ukažte, jaké musí být fyzikální rozměry plazmatu L.
1.3 Příklad (2b.)
Mějme raketu, která je mimo působení gravitačního pole Země.
Označme:
v. . . konstantní rychlost plynů vyfukovaných z rakety vzhledem k raketě
u(t). . . okamžitá rychlost rakety
M(t). . . okamžitá hmotnost celé rakety
-dM(t)/dt. . . konstantní časová změna hmotnosti rakety, daná hmotou plynů vyvrže-
ných z rakety
(a) Dokažte, že pohybová rovnice rakety je
d
dt
[M(t)u(t)] =
dM
dt
[u(t) - v] .
a ukažte, že okamžité zrychlení rakety je
du
dt
= -
v
M(t)
dM
dt
.
1
(b) Zintegrujte pohybovou rovnici a ukažte, že
u(t) = u(t0) + v ln[M(t0)/M(t)] .
(c) Pokud raketa hoří po časový interval t = t - t0 a pokud M(t)  M(t0), ukažte, že
počáteční zrychlení rakety je
du
dt t0
=
v
M(t0)
M(t0) - M(t)
t

v
t
.
(d) Dosad'te do vztahů pro (du/dt)t0 a u(t) pro chemickou raketu v = 103
m/s a t = 10 s;
a také pro plazmový pohon s v = 104
m/s a t = 100 dní. Pro spočítání u(t) uvažujte
ut0 = 0 a M(t0) = 10M(t).
1.4 Příklad (1b.)
Z Maxwellových rovnic odvod'te rovnici pro zachování náboje

t
+   J = 0 .
Tento výsledek ukazuje to, že zachování elektrického náboje přímo vyplývá z Maxwellových
rovnic.
1.5 Příklad (2b.)
Z Maxwellových rovnic odvod'te následující zákon zachování energie v elektromagnetických
polích, který je známý jako Poyntingův teorém:

t V
1
2
E2
+
1
2
H2
d3
r +
S
(E × H)  dS = -
V
(J  E)d3
r ,
pro lineární izotropické médium, pro které platí D = E a H = B/. Fyzikálně interpretujte
každý člen této rovnice. Jaký je fyzikální rozměr těchto členů?
2 Základy kinetické teorie plazmatu
2.1 Příklad (1b.)
Uvažujme systém částic rovnoměrně rozdělený v prostoru s konstantní hustotou částic n0
a charakterizován rozdělovací funkcí rychlostí f(v) definovanou takto:
f(v) = K0 pro |vi|  v0 (i = x, y, z) ,
f(v) = 0 jinak ,
kde K0 je nenulová kladná konstanta. Určete hodnotu K0 pomocí n0 a v0.
2.2 Příklad (1b.)
Uvažujme pohyb nabitých částic v jednom rozměru za přítomnosti elektrického potenciálu
V (x). Ukažte přímým dosazením, že rozdělovací funkce
f = fce(
1
2
mv2
+ qV ) ,
je řešením Boltzmannovy kinetické rovnice pro stacionární stav.
2
2.3 Příklad (2b.)
Předpokládejme, že na každou částici ve fázovém prostoru působí vnější síla F. Bez in-
terakcí bude částice typu  se souřadnicemi (r, v) v čase t za časový interval dt nalezena
v souřadnicích (r
, v
) podle
r
(t + dt) = r(t) + v dt ,
v
(t + dt) = v(t) + a dt ,
kde a = F/m je zrychlení částice a m je její hmotnost.
Mezi novým elementem fázového prostoru a tím původním je tento vztah
d3
r
d3
v
= |J|d3
rd3
v ,
kde J je Jakobiánem této transformace. Dokažte, že pro Jakobián této transformace platí
|J| = 1.
2.4 Příklad (1b.)
Odvod'te tvar časového vývoje rozdělovací funkce f pro Krookův srážkový člen
f
t coll
= -
(f - f0)

,
kde f0 je rozdělovaci funkce lokální rovnováhy,  je relaxační doba srážek částic. Předpoklá-
dejte Boltzmannovu kinetickou rovnici (BKR) bez působení vnějších sil a bez přítomnosti
prostorových gradientů, f0 a  jsou na čase nezávislé.
3 Střední hodnoty a makroskopické veličiny
3.1 Příklad (2b.)
Ukažte. že počet částic, které dopadají z plazmatu na jednotku povrchu tělesa vnořeného
do plazmatu za jednotku času (tok částic), je pro kulově symetrické rozdělení rychlostí f
roven
 =
1
4
n <v> ,
kde <v> je střední velikost rychlosti částic.
3.2 Příklad (3b.)
Uvažujme systém částic charakterizován stejnou rozdělovací funkcí jako v příkladu 2.1.
(a) Ukažte, že absolutní teplota systému je dána vztahem
T =
mv2
0
3k
,
kde m je hmotnost každé částice a k je Boltzmannova konstanta. (1b.)
(b) Spočtěte následující výraz pro tenzor tlaku
P =
1
3
mv2
0 1 ,
kde m = nm a 1 je jednotkový tenzor. (1b.)
(c) Dokaže, že pro vektor toku tepla platí q = 0. (1b.)
3
4 Rovnovážný stav
Pro výpočty různých integrálů je užitečné si zapamatovat následující relace:
(x) =

0
e-t
tx-1
dt pro x > 0 ,
(x + 1) = x! pro celočíselné x, (x) = (x - 1)(x - 1), (1/2) =

 .
4.1 Příklad (3b.)
Určete konstantní koeficienty C, a2 a v0 v Maxwellově rozdělovací funkci
f = C exp[-
1
2
ma2(v - v0)2
] . (1)
Tyto konstanty mohou být vyjádřeny pomocí pozorovatelných fyzikálních vlastností
systému, jako je hustota částic n, střední rychlost u a kinetická teplota T.
(a) Vyjděte z definice hustoty částic
n =
v
fd3
v ,
a ukažte, že
n = C
2
ma2
3/2
. (2)
(b) Vyjděte z definice střední rychlosti částic
u =<v>=
1
n v
fvd3
v ,
a ukažte, že
u = v0 . (3)
(Rychlost částice v se dá vyjádřit jako součet náhodné (tepelné) rychlosti V a střední
rychlosti u, tedy v = V + u)
(c) Vyjděte z termodynamické definice kinetické teploty T
3
2
nkT =
1
2
nm <V 2
>=
1
2
m
v
fV 2
d3
V ,
a ukažte, že
kT =
C
na2
2
ma2
3/2
. (4)
Vyjádřete z rovnic (2) a (4) konstanty C a a2. Ty dosad'te do vztahu (1) a dostaneme
Maxwellovo rozdělení náhodných rychlostí:
f(V) = n
m
2kT
3/2
exp -
mV2
2kT
. (5)
4.2 Příklad (1b.)
Pro Maxwellovo rozdělení rychlostí určete střední velikost rychlosti částic.
4
4.3 Příklad (1b.)
Pro Maxwellovo rozdělení rychlostí určete střední kvadratickou velikost rychlosti částic.
4.4 Příklad (1b.)
Pro Maxwellovo rozdělení rychlostí určete nejpravděpodobnější velikost rychlosti částic.
4.5 Příklad (1b.)
Rozdělovací funkce (tepelných) kinetických energií E pro plyn popsaný Maxwellovou roz-
dělovací funkcí je dána vztahem:
G(E) =
2nE
1
2

1
2 (kT)
3
2
exp -
E
kT
.
Spočtěte nejpravděpodobnější energii a ukažte, že velikost rychlosti částic, které mají tuto
energii, je rovna (kT/m)1/2
.
4.6 Příklad (1b.)
Máme plazma s jedním typem iontů v termodynamické rovnováze s neutrálním plynem.
Určete jeho teplotu, pokud z experimentu známe hustotu iontů (rovna hustotě elektronů) a
neutrálů. Ionty s hustotou ni = 1020
m-3
jsou v rovnováze s neutrály ve stavu s ionizačním
potenciálem 2 eV, jejichž populace je 1015
m-3
.
5 Interakce částic v plazmatu
5.1 Příklad (1b.)
Necht' je známa velikost vzájemné rychlosti g a úhel rozptylu  v souřadné soustavě spojené
s těžištěm. Vyjádřete velikost změny rychlosti molekuly A |vA
i | při srážce s molekulou B.
Napište složky vA
i v těžištové soustavě souřadnic.
5.2 Příklad (3b.)
Uvažujte srážku mezi molekulami A a B, kdy molekula B byla původně v klidu. Úhel
odchýlení (v systému spojeném s těžištěm) je .
(a) V laboratorním systému souřadnic (spojen s pozorovatelem v klidu) ukažte, že úhel L
udávající úhel, o který je molekula A odchýlena při pozorování pozorovatelem v klidu, je
dán vztahem
tan L =
sin 
cos  + mA/mB
.
(b) Ukažte, že vztah mezi diferenciálním účinným průřezem v laboratorním systému sou-
řadnic L(L) a v souřadné soustavě spojené s těžištem () je
L(L) = ()
[1 + 2(mA/mB) cos  + (mA/mB)2
)]
3/2
1 + (mA/mB) cos 
.
Všimněte si, že když je mB = , dostaneme L =  a L(L) = ().
(c) Dokažte, že když mA = mB, dostaneme L = /2 a L(L) = 4 cos(/2)().
5
5.3 Příklad (2b.)
Necht' se částice o hmotnosti mA
srazí z částicí s mB
, která byla původně v klidu. Jestliže
známe úhel , který svírá původní rychlost částice A, vA
, se směrem daným spojnicí částic,
kdy jsou si nejblíže, vyjádřete poměr kinetických energií částic po srážce. Dále vyjádřete
poměrnou ztrátu energie částice A.
5.4 Příklad (2b.)
Pro difernciální rozptylový srážkový průřez s úhlovou závislostí, který je dán vztahem:
() =
1
2
0(3 cos2
 + 1) ,
kde 0 je konstanta, spočítejte celkový účinný průřez a účinný průřez pro přenos hybnosti.
5.5 Příklad (4b.)
Mějme dvě částice, jejichž interakci lze popsat pomocí následující potenciálové jámy:
U(r) = -U0 pro r  a ,
U(r) = 0 pro r > a .
(a) Spočítejte diferenciální rozptylový účinný průřez () a ukažte, že za předpokladu b < a,
je dán vztahem:
() =
p2
a2
[p cos(/2) - 1] [p - cos(/2)]
4 cos(/2)[1 - 2p cos(/2) + p2]2
,
kde
p = 1 +
2U0
g2
.
(b) Ukažte, že pro celkový rozptylový účinný průřez platí vztah:
t = 2
a
0
bdb = a2
.
6 Makroskopické transportní rovnice
6.1 Příklad (2b.)
Prozkoumejme vliv srážkového členu v makroskopickém pohybu kapalin. Uvažujte rov-
noměrnou směs rozdílných kapalin, kde nepůsobí žádné vnější síly. Díky tomu se pohybová
rovnice pro částice druhu  redukuje na
du
dt
= -

(u - u) .
Určete z této rovnice u(t) pro směs dvou kapalin. Všimněte si, že v rovnováze (když du/dt =
0) musí být velikost rychlostí všech částic stejné.
6