Kapitola 1 Úvod 1.1 Základní vlastnosti plazmatu 1.1.1 Definice plazmatu plazma - makroskopicky neutrální, mnoho interagujících nabitých částic vykazujících kolektivní chování (Coulombovské sily). Ne vždy plazma pokud látka obsahuje nabité částice =^> kritéria existence plazmatu! Angl. plasma - z řečtiny, něco roztaveného. Tonks a Langmuir (1929) = vnitřní oblasti zářícího ionizovaného plynu v el. výbojové trubici. V češtině pojem zavedl J. E. Purkyně. Rozlišujeme ta plazma a to plazma. 1.1.2 Plazma jako čtvrté skupenství hmoty čtyř skupenství: pevné, kapalné, plynné a plazma. pevného x kapalné x plynné skupenství = rozdíl v síle vazeb, skupenství dáno vnitřní kinetickou energií (tepelnou energií) částic látky, tj. její teplotou. Zahříváním pevné nebo kapalné látky =^> fázový přechod při konstantní teplotě Dodání energii molekulárnímu plynu =>* disociace, pak ionizace. Nejde o termodynamický fázový přechod, děje se postupně 1.1.3 Vytváření plazmatu • dostatečné zvýšení teploty plynu, v termodynamické rovnováze je elektronová teplota a stupeň ionizace přímo svázány (Sahova rovnice). • ionizační procesy zvyšující mnohonásobně stupeň ionizace: fotoionizace a elektrický výboj v plynech. Pokud vypneme ionizující zdroj, ionizace klesá díky re-kombinaci =^> rovnovážná hodnota příslušná teplotě. 1.1.4 Interakce částic a kolektivní jevy Charakteristický rys plazmatu - kolektivní jevy Dynamika částic je dána vnitřními poli (výsledek existence a pohybu částic) a externě aplikovanými poli. Základní typy interakcí = elmag charakter. Rozlišujeme • interakci dvou nabitých částic • interakci mezi nabitou částic a neutralem Plazma dělíme dle vzájemných interakcí na slabě a silně ionizované. 1.2 Kritéria pro definici plazmatu 1.2.1 Kvazineutralita Pokud nejsou přítomy nějaké vnější poruchy je plazma makroskopicky neutrální, tzv. kvazineutrální. V opačném případě vznik velkých Coulombovských sil obnovujících kvazineutralitu. Musely by být vyvažovány enormně velkou kinetickou (tepelnou) energií částic. Přiklad: Plazma o hustotě 1020 m~3, hustota elektronů (ne) v kouli o poloměru 10 3 m se liší o 1 % od hustoty iontů (n^). Jaká by musela být teplota plazmatu, aby se tato el. potenciální energii udržela? Odchylky od kvazineutrality jen na vzdálenostech, na kterých je možné elstat. potenciální energii vyvážit tepelnou energií částic ~ charakteristická délková míra v plazmatu, tzv. Debyeovská délka. 1.2.2 Debyeovské stínění Debyeovská délka je důležitý fyzikální parametr popisující plazma: míra vzdálenosti, na kterou nabitá částice "pocítí" vliv jiné nabité částice nebo plochy s nenulovým potenciálem. Odstínění je důsledkem kolektivního chování částic. A0=(í^)"\ (1.1) V neez J Pokud je v plazmatu nějaká stěna, jím vytvořená perturbace se může šířit do vzdálenosti řádově \p od tohoto povrchu. Oblast v blízkosti stěny, která se nedá považovat za kvazineutrální se nazývá stěnová vrstva (angl. sheath' A d je velmi malé • výboje v plynech T = 104 K a ne = 1016 m~3 => \D = 10~4 m ionosféra T = 103 K a ne = 1012 m 3 =>* XD = 10" " m = 1(T3 mezihvězdné plazma =>* Debyeovská délka až několik metrů Definujeme Debyeovu kouli: koule uvnitř plazmatu o poloměru Xd- Elstat. pole mimo tuto kouli je odstíněno =^> každý náboj v plazmatu interaguje kolektivně pouze s nabitými částicemi v Debyeově kouli. Počet elektronů v Debyeově kouli je roven ND = -7r\sDne = -TT -4i^— . fl.2 3 u * 3 1/3 o Debyeovské stínění je charakteristické pro všechny typy plazmatu =^> první tři kritériím pro definici plazmatu: 1. V médium musí být dostatek prostoru pro kolektivní stínící efekt L > \D, (1.3 kde L jsou fyzikální rozměry plazmatu. 2. počet částic uvnitř Debyeovy koule dostatečně velký ne\% > 1. (1.4) Definujeme plazmový parametr 9 = Aš (1-5) neÁD a podmínka g . charakterizováno přirozenou frekvencí, tzv. plazmová frekvence. Perioda oscilací = přirozené časové měřitko pro srovnání s disipativními me- chanizmy potlačujícími kolektivní pohyby elektronů. Elektronová plazmová frekvence ^pe ( 2\1/2 i neez \ \me£o) 1.7 Čtvrtá podmínka pro existenci plazmatu: Srážky mezi elektrony a neutraly tlumí oscilace, ty nesmí být potlačovány příliš Vpe > veni (1.8 kde ven je srážková frekvence elektronů s neutraly, vve = ujpe/27r. Alternativně pe ^pet CJpeT > 1, (1.9 kde r = \jven vyjadřuje průměrnou dobu, kterou elektron putuje mezi dvěma srážkami s neutraly Čtvrtá podmínka pro existenci plazmatu také vyjadřuje, že průměrná doba mezi srážkami elektron-neutrál musí být velká ve srovnání s charakteristickou dobou, během níž se mění fyzikální parametry plazmatu. Kapitola 2 Základy kinetické teorie plazmatu 2.1 Úvod Plazma je systém obsahující velké množství interagujících částic, takže je vhodné využít pro jeho analýzu statistický přístup. 2.2 Fázový prostor V každém časovém okamžiku je částice plazmatu lokalizována pomocí polohového vektoru r r = xx + yý + zž, (2.1) kde x, ý a ž označuje jednotkové vektory ve směru os x, y a z. Rychlost těžiště částice je dána vektorem v = vx-k + vyý + vzž, (2.2) kde vx = dx/dt, vy = dy/dt &vz = dz/dt. Analogicky ke konfigurační prostoru definovaném souřadnicemi poloh (x,y,z) zavedeme rychlostní prostor (i?x, i?y, vz). 2.2.1 Jednočásticový fázový prostor Klasická mechanika - dynamický stav každé částice určen polohovým vektorem a vektorem rychlosti =^> zvádíme fázový prostor (x, y, z, vx, vyi vz) (/i-prostor). Dynamický stav každé částice reprezentován jedním bodem. Když se částice pohybuje, její reprezentativní bod opisuje trajektorii ve fázovém prostoru. Systém N částic je v každém okamžiku popsán N body fázového /i-prostoru. 2.2.2 Vícečásticový fázový prostor T-prostor: systém N částic bez vnitřních stupňů volnosti reprezentován jedním bodem v 67V-dim prostoru, 3N souřadnice poloh (1*1, r2,..., i*n) a 3N souřadnice rychlostí (ví, v2,..., vn). Jeden bod v T-prostoru koresponduje s mikroskopickým stavem celého systému částic. 2.3 Objemové elementy Malý objemový element v konfiguračním prostoru je dán jako d3r = dxdydz. Zde konečně velký objemový element obsahující dostatečné množství částic. Na druhou stranu dostatečně malý ve srovnání s charakteristickými rozměry prostorových změn fyzikálních veličin. Pokud v plynu obsahujícím 1018 molekul/m3 vezmeme v úvahu např. d3r = 10~12 m3 (bod), nachází se v objemu d3r stále ještě 106 molekul. Ve fázovém prostoru (/i-prostoru) je diferenciální objemový element zobrazen jako šestidimenzionální kostka: d r d v = dx dy dz dvx dvy dvZj (2.3) Počet bodů uvnitř objemového elementu d?r d?v je obecně funkcí času a polohy objemového elementu ve fázovém prostoru. Souřadnice r a v fázového prostoru jsou navzájem nezávislé, protože představují polohu individuálních objemových elementů ve fázovém prostoru. 2.4 Rozdělovači funkce d67Va(r,v,£) počet částic typu a uvnitř objemového elementu d?r d?v kolem souřadnic fázového prostoru (r,v) v čase t. Rozdělovači funkce ve fázovém prostoru je hustota bodů reprezentujících částice a M ' ' ] nehomogenní plazma. V rychlostním prostoru může být rozdělovači funkce anizotropní, pokud závisí na orientaci vektoru rychlosti v, nebo izotropní pokud nezávisí na orientaci v, ale pouze na jeho velikosti, tj. na rychlosti částice v =| v |. Plazma v termodynamické rovnováze je popsáno homogenní, izotropní a časově nezávislou rozdělovači funkcí. Jeden ze základních problémů kinetické teorie je určení rozdělovači funkce daného systému. 2.5 Hustota a průměrná rychlost na(r,t) = ^fv(ŕNa(r,v,t) (2.5 Hustota na(r,t nebo za použití definice (2.4 na(r,t) = fvfa(r,v,ť) (2.6 Průměrná (driftová) rychlost ua(r, ť) je definovaná jako makroskopická rychlost toku částic a v okolí bodu s polohým vektorem r v case t ua(T,t) = -^Jvv<ŕNa(r,v,t). (2.7 ax1-1 Použijeme-li definici rozdělovači funkce (2.4) dostáváme l Ua(r, ť) = , , i v/a(r, v, £)dV (2.8 Tento vztah reprezentuje obvyklý statistický postup pro vyjadřování průměrných hodnot veličin. na(r, ť) a ua(r, ť) jsou makroskopické proměnné, které závisí pouze na souřadnicích rat. 2.6 Boltzmannova kinetická rovnice Závislost rozdělovači funkce na nezávislých proměnných (r, v) a t se řídí tzv. Bolt-zmannovou kinetickou rovnicí (BKR). Zde odvodíme bezsrážkovou BKR i obecnou podobu BKR zahrnující vliv interakcí mezi částicemi, aniž bychom explicitně odvodili konkrétní výraz pro srážkový člen. 2.6.1 Bezsrážková BKR Připomeneme si, že d6Na(r, v, t) = /a(r, v, t)dsr dsv (2.9) Předpokládejme, že na každou částici působí vnější síla F. Bez interakcí bude částice za čas dt v bodě: v\t + dť) = v(ť) + vdt (2.10) v\t + dť) = v(ť) + ad£, (2.11) kde a = F/ma je zrychlení částice a ma její hmotnost. =^> částice a nacházející se v čase t v okolí (r, v) uvnitř d?r d?v budou za čas dt zaujímat objem d?r' d?vf v okolí bodu (r;, v;). Jde o stále stejné částice a neuvažujeme žádné srážky: f(1{v', v, t + dť)d3rf ďV = fair, v, t)dsr dsv. (2.12) /3^ j3 Objemový element d r d v může mít zdeformovaný tvar v důsledku pohybu částic: dVdV =1 J I d3rd3v, 2.13 kde J označuje Jakobián transformace z (r, v) na (r;, v'). Platí | J |= 1, takže dsr dsv = dsr dsv f2.14 a z rovnice f2.12) dostáváme 3„ j3. [/a(r', v', í + dí) - /a(r, v, í)]ďV dóv = 0 2.15 První člen na levé straně rovnice (2.15) rozvineme do Taylorovy řady okolo /^(r, v, t df df df fa(r + vdí, v + adí, t + dt) = /a(r, v, í) + [^ + (vx^ + t;v^ + (2.16 dt dx dy ^z^^j + («x^-----1- cty—-----h az——)\at, dz dvx ' y dvy z dv2 přičemž zanedbáváme členy řádu (dt)2 a vyšší. Použijeme-li operátor nabla r-, -> d ^d ^d V = x— + y— + z— ox oy oz 2.17 a podobně definujeme nabla operator v rychlostním prostoru r-, -> d ^ d _ d \7V = x------h y------h z dv x dvj ' dv. 2.18 dostáváme z f2.16 fa(r + vdí, v + adt, t+dt) = /a(r, v, £)+ Po dosazení do vztahu f2.15) máme dfa(r,v,t dt + v • V fair, v, t) + a • Vv/a(r, v, t dfg(r,v,t dt + v • V/a(r, v, t) + a • Vv/a(r, v, t) = 0, což je Boltzmannova kinetická rovnice v bezsražkovem případě. Tuto rovnici můžeme přepsat do tvaru Vt = 0. kde operátor V d Vt dt + v- V + a- V v 2.19 2.20 2.21 2.22 představuje úplnou derivaci vzhledem k času, ve fázovém prostoru. =^> zákon zachování hustoty bodů ve fázovém prostoru, tzv. Liouvillův teorém - srážky stejně jako radiační ztráty a procesy vzniku a zániku částic nepovažujeme za důležité. 2.6.2 Jakobián transformace ve fázovém prostoru 2.6.3 Vliv interakcí mezi částicemi Vliv interakcí mezi částicemi? =^> modifikace vztahu (2.20). Díky srážkám mohou během času dt některé částice a, které byly původně v d3rd3t;, z tohoto elementu zmizet a obráceně jiné částice, které byly mimo tento objemový element, se v něm mohou objevit. Čistý zisk nebo úbytek částic a z d3rd?v způsobený srážkami v průběhu časového intervalu dt označíme /(5/"(r'V'r)| cřrcřvdt, (2.23) V ÜL / srazk srazk představuje rychlost změny fa(v, v? ť) díky srážkám. Pokud tedy uvažujeme srážky, musíme vztah (??) přepsat jako [/a(r', v', t + dt) - /a(r, v, t)]dsr ofv = (^M^A) £r ofv dt (2.24 V Ui /srazk a Boltzmannova rovnice modifikována pro tento případ má tvar ------o:------+ v-V/a(r,v,í) + a-Vv/a(r,v,í) =-------------- . (2.25 °^ V Vt Israzk Za použití operátoru úplného diferenciálu podle času definovaného vztahem (2.22 můžeme tento vztah přepsat do kompaktní podoby P/g(r,v,<) = (Sfa(r,v,t)\ 26 ^ V ®ť Israzk Přesná podoba srážkového členu není známa. 2.7 Relaxační model pro srážkový člen Uvažujeme velmi jednoduché vyjádření srážkového členu, tzv. Krookův model nebo relaxační model. Existuje i mnohem propracovanější vyjádření, např. Boltzmannuv srážkový integrál nebo Fokker-Planckův srážkový člen. Předpokládá se, že srážky obnovují lokální rovnováhu (lokálně rovnovážná rozdělovači fee /o!o(r, v)). Pokud nepůsobí externí síly, systém, který původně není v rovnováze a je popsán rozdělovači funkcí /^(r, v, £), dosáhne v průběhu času díky srážkám lokální rovnováhy podle exponenciálního zákona. Doba charakteristická pro tento proces je tzv. relaxační doba r. Relaxační doba řádově odpovídá době mezi dvěma srážkami a může být rovněž vyjádřena jako z/-1, kde v je relaxační srážková frekvence. Model byl původně vyvinut Krookem: rÖfa(r,V,t)) _ (fa-faO) V ÜL J srazk r 2.27 Podle tohoto vztahu pro srážkový člen platí, že když fa = faQ máme (ôfa(r,v,t)/ôt)srazk = 0, takže ve stavu lokální rovnováhy se rozdělovači funkce díky srážkám nemění. Fyzikální smysl relaxačního modelu? Uvažujme BKR se srážkovým členem bez vnějších sil a prostorových gradientů, fao a r jsou na čase nezávislé: d fa = (fa - fgO dt T což můžeme přepsat jako OJa , Ja Ja" 2.28 + -=^. 2.29 Ot T T Řešení této jednoduché nehomogenní diferenciální rovnice dostaneme pomocí řešení příslušné homogenní rovnice, tj. C é'T (C je konstanta). Kompletní řešení rovnice je tedy /«(v, t) = /„o + [/„(v, 0) - fa0}e-t/T. (2.30 Tedy, rozdíl mezi fa a fao exponencielně klesá v čase rychlostí, která odpovídá relaxační srážkové frekvenci v = 1/r. Užitečný srážkový model, v mnoha případech vede k výsledků téměř identickým s těmi, které získáme pomocí Boltzmannova srážkového integrálu. Především vhodný pro slabě ionizované plazma (pouze srážky iontů s neutrály). Ale relaxační model se dá použít pouze pro srážky částic přibližně stejných hmotností. 2.8 Vlasovova rovnice Aproximace - pohyb částic plazmatu je řízen jednak vnějšími silovými poli a jednak makroskopicky vystředovanými Vlasovova rovnice je parciální diferenciální rovnice, která popisuje časový vývoj rozdělovači funkce ve fázovém prostoru a která přímo využívá makroskopicky vystředovaných elektromagnetických polí. Tuto rovnici můžeme získat z Boltzman-novy rovnice (2.20), když zahrneme do silového členu makroskopická pole df 1 ^ + v • V/a + — [Fext + qa(Emt + v x Bmt)} • Vvfa = 0. (2.31) ót ma Zde Fext představuje vnější síly včetně síly Lorentzovi odpovídající externě přiloženým elektrickým a magnetickým polím a E^, B^ jsou vystředované vnitřní elektrické a magnetické pole vznikající v důsledku přítomnosti a pohybu všech nabitých částic uvnitř plazmatu. Aby byly vnitřní makroskopické elmag pole E^ a T$int konzistentní s makroskopickým nábojem a proudy existující v plazmatu, musí splňovat Maxwellovy rovnice P V • Eiint — — (2.32 V • Bint = 0 (2.33 V x Emt = -^ (2.34 V x Bmt = //o (j + ^^f) , (2-35 kde hustota náboje v plazmatu p a hustota proudu v plazmatu J jsou dány výrazy p(r, ť) = E qana(r, t) =J2qa Jv /a(r, v, t)dsv (2.36 J(r, ť) = E qana(r, t)ua(r, ť) = Hqa Jv v/a(r, v, t)d3v, (2.37 a a kde sumace probíhá přes různé nabité částice v plazmatu aua(r, ť) je makroskopická průměrná rychlost pro částice typu a daná vztahem (2.8). Rovnice (2.31 až (2.35) představují kompletní soustavu self-konzistentních rovnic, které se musí řešit zároveň. Takže např. v iterativní postupu začneme s nějakými přibližnými hodnotami E^(r,£) a B^(r,£). Vyřešíme rovnici (2.31 a získáme /a(r, v, t) pro různé typy částic. Z rovnic (2.36) a (2.37) pak za použití vypočítaných rozdělovačích funkcí fa dostáváme hustotu náboje a proudu (p a J) v plazmatu. Jejich velikosti pak substitujeme do Maxwellových rovnic, které řešíme pro E^n^(r, t) a B^(r, ť). Nyní hodnoty vystředovaných makroskopických elmag polí opět dosadíme do Vlasovovy rovnice a pokračujeme v postupu znovu dokola, abychom získali self-konzistentní řešení pro rozdělovači funkce jednotlivých typů částic. Ačkoliv Vlasovova rovnice explicitně nezahrnuje srážkový člen na pravé straně, tj. nebere v úvahu krátko dosahove srážky, není až tak v tomto směru restriktivní, jak by se mohlo zdát, protože část efektů spojených s interakcí částic je už zahrnuta v Lorentzově síle přes vnitřní self-konzistetní vystředované elmag pole. Kapitola 3 Střední hodnoty a makroskopické veličiny 3.1 Střední hodnota fyzikální veličiny g Ke každé částici v plazmatu můžeme přiřadit nějakou její vlastnost x(r, v, £). Celková velikost veličiny x(r, v, ť) pro částice a uvnitř objemového elementu fázového prostoru d3r d?v je X(r, v, t)ďNa(r, v, t) = x(r, v, í)/a(r, v, t)dřr dsv. (3.1) Velikost této veličiny uvnitř objemového elementu d?r nezávisle na rychlosti d3r/tiX(r,v,í)/a(r,v,í)A. (3.2) Střední hodnota l < X(r, v, ť) >a= —r-rv Jv x(r, v, t)fa(r, v, t)d3v. (3.3) 3.2 Driftová a tepelná rychlost Nechť x(r, v,t) = v =>* střední neboli driftová (unášivou) rychlost ua(r,t) l Ua(r, ť) =< v >a= ——-- / v/a(r, v, t)d3v, (3.4) Pokud x(r, v, t) je nezávislá na rychlosti částic a=x(rt), (3.5) takže např. < ua >= ua. Rychlost tepelného neuspořádaného pohybu neboli náhodná (zvláštni) rychlost je definována vzhledem k ua(r, ť) takto Va = v - ua. (3.6) Následně vždy platí, že < Va >= 0, neboť < v >a= ua. 3.3 Tok Makroskopické veličiny hustota proudu částic (nebo tok částic), tenzor tlaku a vektor toku tepla (nebo tok tepelné energie) zahrnují vždy tok nějaké mikrosko- pické veličiny x(r, v, t). Tok x(r, v, t) je definován jako velikost veličiny x(r, v, t) přenesené skrze daný povrch na jednotku plochy a jednotku času. Uvažujme povrchový element dS = dSň, (3.7) kde n je normála povrchového elementu: otevřený povrch =^> dvě možnosti orientace normály, uzavřený povrch =^> kladná normála konvenčně ven. Částice v plazmatu se pohybují skrz povrchový element dS nesouce s sebou vlastnost x(r, v, ť). Počet těchto částic typu za čas dt? Částice mající rychlost < v, v + dv > a projdou skrze dS v časovém intervalu < t, t + dt > musí ležet v objemu hranolu o základně dS a stěně vdt. Objem hranolu: d3r = dS • vdt = n • vdS dt. (3.8) Počet těchto částic v tomto objemu: fa(r, v, t)d3r d3v = /a(r, v, ť)ň • vdS dt d3v, (3.9) =^> celkovou přenesená velikost x(r, v, £): fv x(r, v, í)/a(r, v, t)n • vd3t; dS dt. (3.10) Čistý zisk transportu (tok) veličiny x(r, v, t) ve směru n: v> *)/<*(*> v> l)ň •vd3y (3-n nebo za použití symbolů pro střední hodnotu ^anix) = ™a(r, t) < X(r, v, ť)ň • V >a= na < X^n >a, (3-12 kde t;n = n • v označuje komponentu v ve směru jednotkového vektoru n. • x(r,v,t) je skalární veličina =^> <&an(x) komponenta vektoru toku <$>an(x) ve směru n, tj. $an(x) = n.$an(x), (3.13 kde *a(x) = ™a < XV >a • (3.14 • x (r, v, t) je vektorová veličina, správně X (r, v, t) =^> tenzor (2. řádu) toku éft(x) = naa . (3.15 • x(r, v, ť) tenzor 2. řádu =^> tok ve tvaru tenzoru 3. řádu a tak dále. Můžeme oddělit příspěvek díky driftové rychlosti ua(r,t) a příspěvek související s náhodnou tepelnou rychlostí Va: ^crnix) = na< XV +™a < X^an >, (3-16) kde Van = ň-Va&uan = ň- ua. Je-li ua = 0 nebo zvolíme dS v souřadném systému, který se pohybuje driftovou rychlostí ua $an{x) = na< XYmi >, (3-17) 3.4 Tok částic Tok částic: počet částic, které projdou daným povrchem na jednotku plochy za jednotku času. Vezmeme-li x(r, v,t) = 1 ve vztahu (3.12): protože < Van >= 0. Jestliže ua = 0, můžeme uvažovat tok pouze z kladného směru místo celkového čistého toku rl(r, t) = X(+) n • Va/a(r, v, t) 0. Náhodný tok hmoty v kladném směru n je tedy dán vztahem maľ+n, kde ma je hmotnost částic a. 3.5 Tenzor toku hybnosti • • • celková hybnost přenesená skrze povrchový element ňdS na jednotku plochy a času. Xj=maV'l (3.20 kde j jednotkový vektor =^> složka najn(r, ť) tenzoru toku hybnosti Uajn(r, t) = na< ma(j • v)(n • v) >a= gma < VjVn >a, (3.21 kde gma = nama je hustota hmotnosti částic a. Platí (< UaVa >= Ua < \a >= 0 nebo v tenzorové podobě na(r, ť) = Qma < Va 0 Va > +QmaUa 0 ua. (3.23 V kartézských souřadnicích (x,y,z) můžeme tenzot toku hybnosti zapsat n a x 0 žuaxx + x 0 ýuaxy + x 0 žn + y + z xn xn axy ayx V(1XZ 3.24 žn ayz azrr ~r Z ýri™ + ž 0 žn azz' nebo podle pravidel maticového násobení n a x,y,z arrrr ^axy *-*-axz ±*-ayx *-*-ayy *-*-ayz \ *-*-azx *-*-azy *-*-azz ) \ í^\ y 3.25 Obvykle ovšem tenzor 2. řádu zapisujeme jen jako matici 3x3 obsahující prvky II mj n mj n a ji matice 3x3 je symetrická =^> pouze 6 prvků tenzoru toku hybnosti na sobě nezávislých. 3.6 Tenzor tlaku 3.6.1 Definice tlaku Tlak plynu - síla na jednotku plochy vytvářená molekulami plynu díky srážkám se stěnou nádoby obsahující plyn. Tato síla je rovna rychlosti přenosu hybnosti molekul na stěnu nádoby. Definici tlaku zobecníme na jakýkoliv bod uvnitř plynu (myšlený plošný element dS = ňdS pohybující se střední rychlostí toku uvnitř plynu). Tlak na dS - tok hybnosti na plochu dS díky náhodnému pohybu částic. Definujeme parciálni tlak každého druhu částic a. Vezmeme-li x(r?v? ť) = maVaj^ dostaneme prvek Pajn tenzoru tlaku ^ajn Qmct ^ VajVan > . (^o.zO Tenzor tlaku je tedy dán jako Va = Qma < VaVa > . (3.27 Z (3.25) získáme vztah mezi tenzorem tlaku Va a tenzorem toku hybnosti Ua 3.6.2 Síla na jednotku plochy Mějme malý objemový element ohraničený uzavřeným povrchem S a dS = ňdS jako element povrchu patřící k S1 jehož normála n směřuje ven. Předpokládejme na okamžik, že všechny částice a mají stejnou rychlost Va. • Va svírá úhel menší než 90° s n =>* na(Va • ň)dS je počet částic, které opouštějí objem =^> pokles hybnosti plazmatu uzavřeného povrchem S: —nama(Va • ň)dS^ protože (Va • ň) > 0 • Va svírá úhel větší než 90° s n =>* na(Va • ň)dS je počet částic, které přicházejí do objemu =^> vzrůst hybnosti plazmatu uzavřeného povrchem S: —nama(Va • ň)dS^ protože (Va • n) < 0 Zobecněním, rychlost změny hybnosti plazmatu v uzavřeném objemu S1 díky výměně částic a skrz povrchový element ňdS: -nama < Va(Va -ň)>dS = -Va • ňdS (3.29) Síla na jednotku plochy fa působící na plošný element ňdS jako výsledek náhodného pohybu částic je ía = Va - n = -Qma < Va(Va • n) > . (3.30) Jestliže vezmeme n = x, máme ' a ' H X-Laxx Y-Layx ^-^azxi [o.o L kde Paxx je normála k ploše =^> hydrostatický tlak, zatímco prvky Payx a Pazx jsou tlaky díky tangenciálním silám. 3.6.3 Síla na jednotku objemu Sílu na jednotku objemu uvnitř plazmatu způsobená náhodným pohybem získáme integrací (3.29) - lim d fs VaňdS] = -V • Va (3.32 a z Gaussova teorému V í3. - js Va.ňdS = -Jv VVaďr (3.33 3.6.4 Skalární tlak a absolutí teplota Důležitá makroskopická veličina je skalární tlak neboli střední hydrostatický tlak 1 11 Pa o ahj hj ~o ^cáJL ~^\^axx ~r ^ayy ~r ^azzji i^o.04 6 i J ó i ó kde öij je Kronekerovo delta. Ze vztahu (3.26) 9 9 9 / Pa = ^pma < Vax + Vay + Vaz > (3.35 Protože V^ = VaX + Vay + KL? dostaneme Pa = \p™ < v« > (3-36 Dalším důležitým makroskopickým parametrem je teplota. Absolutní teplota Ta pro částice a je mírou střední kinetické energie náhodného pohybu částic. Z termodynamiky: střední tepelná energie kTai/2 přísluší každému translačnímu stupni volnosti i = x,y,z] -2 1 1 -kTm = -ma < V^ > (3.37 Jestliže je rozdělení izotropní (např. Maxwell-Boltzmannovo 2 Pa ±axx ^otyy ±azz Pma ^ * ai -^ [ó.óo a tedy dostáváme stavovou rovnici pro ideální plyn Pa — nak-Lc 3.39 Pro Maxwell-Boltzmannovo rozdělelní Vt a xx + ýý + žž)pa = \p 'a-, kde 1 je jednotkový tenzor 1 = 1 0 0 0 1 o 0 0 1 V tomto případě V-V, a d d d ox oy oz V p (li 3.40 3.41 3.42 takže pro izotropní rozdělení rychlosti je síla na jednotkový objem způsobená náhodným pohybem dána gradientem skalárního tlaku. V některých praktických příkladech předpokládáme, že I a — ~X-~X-Laxx ~r YY^ayy ~r ZZ.r( azz 3.43 nebo ÍQtXX V V V, a 0 o P o 1 ayy u 0 p, 3.44 azz ) což vyjadřuje anizotropii náhodných rychlostí, ale nepřítomnost tangenciálních sil, tj. viskozity. V tomto případě máme rozdílnou absolutní teplotu Tai pro každý směr. 3.7 Vektor toku tepla Komponenta vektoru toku tepla qan je def. jako tok náhodné neboli tepelné energie skrz povrch s normálou n. Vezmeme x(r, v, t) = maV^/2 a dostaneme _ 1 Q< an q« n 2 P ma < K2V„.n > a v en- 3.45 Vektor toku tepla je tedy 1 Q« = ^Pma 3.46 3.8 Tenzor toku tepelné energie Standardně můžeme zavést tenzor 3. řádu toku tepelné energie Qa = Pma a jeho složky ^caijk Pma ^ ^ai * aj * ak ^ Za použití kartézských souřadnic ^da = ^dax^- ~r ^layY i ^~^dazz kde každý tenzor 2. řádu Qan (n = x, y, z] ^zĹ>ctri =&axxn =ďaxyn =ďaxzn =&ayxn =ďayyn =ďayzn =&azxn Plazmi ^z->c 3.47 3.48 3.49 3.50 \ =z,azxn =z,azyn =z,azzn / Abychom získali vztah mezi vektorem toku tepla qa a tenzorem toku tepelné energie <2a, přepišme vztah (3.45) jako 1 a tedy Qan c.Pmay^ CaxCan ^ ~r < CayCan ^ ~r < CftZCan > 1 Qan ~^y^caxxn ~r ^cayyn ~r ^cazzn 3.51 3.52 3.9 Tenzor toku celkové energie Analogicky jako při definici tenzoru toku tepelné energie Eaijk{r,t) = pma < ViVjVk >a, (3.53 což představuje jednu z 9 složek tenzoru toku celkové energie £a(r,ť). Tato složka je vlastně součtem tří výrazů < VjVjVfc >a = < VaiVajVak ^ UaiVajVak + UajVakVai (o.o4 ~r ^ak *ai *aj ~r ^ai^aj *ak ~r ^aj^ak *ai ~r ^ak^ai^aj ~r ^ai^aj^ak- Neboť < uai >= uai a < Vai >= 0 a za použití (3.48) a (3.26) kde jsme použili zápis \}^ai I ajijk ^ai-^ajk ~r ^aj-^aki ~r ^ak-^aij • [o.aü Takže vztah (3.53) můžeme zapsat ve tvaru tenzoru 3. řádu £a(r, ť) = pma < vvv >a= pmauauaua + (ua, Pa) + Qa (3.57 Tenzor celkového toku energie je tedy součtem toku energie přenesené konvektivním pohybem částic (1. dva členy) a toku tepelné energie Qa způsobeného náhodným tepelným pohybem částic. 3.10 Vyšší momenty rozdělovači funkce První čtyři momenty rozdělovači funkce jsou hustota na(r,£), driftová rychlost uai(r, t), tenzor 2. řádu toku hybnosti ľlaij(r, ť) a tenzor 3. řádu toku celkové energie na(r,t) = jja(r,v,t)d3v (3.58 l uai(r,t) = < ví >a= ———Jvvtfa(r,v,t)d3v (3.59 na{r,ťJV nmj(r,t) = pma < v%Vj >a= ma JvViVjfa(r,v,ť)(řv (3.60 Eaijk(r,ť) = pma < ViVjVk >a= ma J ViVjVkfa(r,v,t)(rv (3.61 Jestliže uai(r, t) = 0, máme v = Va =^> z tenzoru toku hybnosti IIaij(r, ť) se stane tenzor tlaku Pa az tenzoru toku celkové energie Eaijk(r,t) se stane tenzor toku tepelné energie Qa. Jako formální rozšíření výše uvedených definicí, můžeme, pokud je to nutné, zavést vyšší momenty rozdělovači funkce Mmj...k^^) = JvViVj...Vhfa{r,v,t)(řv, (3.62 kde složky rychlosti v i se v integrálu objeví 7V-krát. Kapitola 4 Rovnovážný stav 4.1 Rozdělovači funkce v rovnovážném stavu % Předpokládejme • pouze jeden druh částic • ~Fext = 0 • homogenní rozdělovači funkce • časově nezávislé řešení BKR Později odvodíme výraz pro rovnovážnou rozdělovači funkci pomocí Boltzmannova srážkového integrálu, ale nyní budeme jednoduše pracovat s obecným principem detailní rovnováhy tak, jak se používá ve statistické fyzice. 4.1.1 Obecný princip detailní rovnováhy a binární srážky Za rovnovážných podmínek je pravděpodobnost výskytu jakéhokoliv fyzikálního jevu rovna pravděpodobnosti jevu inverzního (kompenzace). fftďvcPv! = f'ficPv'crv1! (4.2) a protože můžeme dokázat, že o9vo9v\ = d?v'd3v[ dostaneme /(v)/i(Vl) = /'(v')/í(ví) (4-3) Předpoklad, že rychlosti částic nejsou korelované je tzv. předpoklad molekulárního chaosu. Dobře platí pokud hustota plynu je tak malá, že střední volná dráha je větší něž dosah charakteristických sil mezi částicemi. Ačkoliv toto obecně není případ plazmatu, experiment ukazuje, že Maxwell-Boltzmannova rozdělovači funkce je často použitelná. 4.1.2 Sumační invariant ./\ i - í-J X(v) + x(vi) = x(v') + x(vi) (4.4 Ze zákona zachování hmotnosti, hybnosti a energie =^> jsou to sumační invarianty: m + mi = m + mi (4.5 mv + mivi = mv' + miv^ (4.6 -mv2 + -vfi\v\ = -m{vf) + -mi(t/i)2 (4.7 (4.8 4.1.3 Maxwell-Boltzmannovská rozdělovači funkce Použijeme přirozený logaritmus na rovnici (4.3) In / + In h = In /' + In f[ (4.9 In / je sumační invariant srážkového procesu lineární kombinace sumačních invariantů m, mv a mv2/2: In / = m(a0 + ax • v - a2v2/2), (4.10 kde ao, ai = a^x + aiyý + a\yý a <22 jsou konstanty. In / = m[ao + (a\x + a\ + a^)/(2a2) 1 2 ma2 t; 2ľ aix/^f + (% - aiy/^)2 + (vz - alz/a2)2 = I = m[a0 + ai/(2a2)] - -raa2(v - ai/a2 a definujeme konstanty takže In C = m[ao + a1/(2a2 v0 = ai/a2, 1 / = Cexp[--ma2(v - v0 což je Maxwell-Boltzmannovo nebo Maxwellovo rozdělení. 4.11 4.12 4.13 4.14 4.15 4.16 4.1.4 Určení konstatních koeficientů Při určení pěti neznámých konstantních koeficientů v Maxwellově rozdělení vycházíme z n = l f of v u = < v >= 3 2 1 n v fvd3v nkT 1 1 -nm < V2 >= -m í fV2d3v. 2 2 JvJ Následně dostáváme ,,_., / m \3/2 / mV2\ Uvědomme si, že n a T jsou konstanty nezávislé na r at. 4.17 4.18 4.19 4.20 4.1.5 Lokální Maxwell-Boltzmannova rozdělovači funkce Často sice nejsme ve stavu termodynamické rovnováhy, ale velmi blízko. Dobrou aproximací je pak zavedení lokálni Maxwell-Boltzmannovy rozdělovači funkce ( m \ I ( m\v — ufr, t exp /(r,v,í) = n(r,t m V 27rkT(r,ť)) V 2kT(r,t 2\ 4.21 4.2 Vlastnosti Maxwell-Boltzmannovy rozdělovači funkce Předpokládáme, že u = 0 nebo se pozorovatel pohybuje střední rychlostí plynu v = V: *( \ 73 í m \ I i mv ) i, t(v)d v = n\—77= exp----—— a JK J \27rkTJ M 2kT v. 4.22 4.2.1 Rozdělení komponenty rychlosti g(vx)dvx = J J f(v)dvxdvydvz y z a dosazením M.-B. rozdělovači funkce / m \3/2 I mvl^ 9(vx)dvx = n{—) exp-— dv X + 00 1/2 -oo exp mv 2\ y 2kT dv, + 00 y j-oo exp Každý integrál je roven (2^kTjmyi\ takže / m \V2 g(vx)dvx = n —- exp mv 2\ X 2kT dv X 4.23 mv 2\ z 2kT dv z- 4.24 4.25 každá komponenta rychlosti ma Gaussovske rozdělení, které je symetrické kolem < Ví >= 0 pro i = x,y,z. Ale < vf > je kladné a vyjadřuje disperzi < vt > i- H-oo / \ 2 7 ^ -y-oo 9\Vi)Vidvi = —. 4.26 Tento výsledek je v souladu s ekvipartičním teorémem 1 1 -mv2 = -kT (4.27 4.2.2 Rozdělení rychlostí Protože M.-B. rozdělení je izotropní, můžeme definovat rozdělení rychlosti v = |v Přejdeme do sférických souřadnic (řv = v2 sin OdOdcj). (4.28 Rozdělovači funkce rychlostí F (v) F{v)dv = Je /0 f{v)v2 sin 6d6d(f)dv (4.29 a tedy / fji \ 3/2 F(v) = A7rn —— exvv2-^— (4.30 / m \3/2 2 / mv2^ .27r/cT/ eXpV \~kŤ) 4.2.3 Střední hodnoty související s rychlostí molekul Střední hodnota rychlosti 1 r * * l - v fvdsv = - n n =-Jv fvd3y = - /o°° F{v)vdv (4.31 V dv ) v=u a tedy 4.2.4 Náhodný tok částic Tok částic a po výpočtu < v >= (8/ir)1/2(kT/m)1/2. (4.32 Střední hodnota čtverce rychlosti = - j j f+™ fv2dvxdvydvz = — /0°° vAf(v)dv (4.33 a tedy < v2 >= 3/cT/m, (4.34 což odpovídá také vztahu v2 = v2 + v2 + v2 a < v2 >=< v2 >=< v2 >. Nejpravděpodobnější rychlost vp: ídF(v)\ = 0 (4.35 "p vp = {2kT/m)1/2. (4.36 Tn = n< vn >= Jv /v • ňd3v (4.37 je pro náhodný pohyb částic roven nule. Jaký je tok na jednu stranu myšlené plochy? / kT\1/2 _ 1 V27rmJ "~ 4 T = n\------ =-n (4.38 4.2.5 Kinetický tlak a tok tepla Z definice tenzoru kinetického tlaku V = pm=mfv W/A (4.39 a vektoru toku tepla q = \pm = l-m l V2Vfév (4.40 dostaneme za použití M.-B. rozdělení V = pm(< Vl > XX+ < Vy > ýý+ < V;2 > zz) = nkT(žx. + ýý + zz) (4.41 a q = 0, (4.42 protože integrály s lichými integrandy jsou rovny nule. Skalární tlak je tedy p = nkT. (4.43 4.3 Rovnováha za přítomnosti vnějších sil Plyn za rovnovážných podmínek vložený do pole konzervativních sil je popsán rozdělovači funkcí, která se liší od M.-B. rozdělovači funkce exponenciálním tzv. Bolt-zmannovým faktorem. Pole konzervativních sil popíšeme pomocí potenciální energie U(t): F(r) = -W(r). (4.44 Protože jde pouze o funkci r, předpokládáme, že řešení BKR je ve tvaru '4.45 f(r,v) = fo(v kde fo(v) je M.-B. rovnovážná rozděl, fee. Určíme neznámou funkci ^(r) z BKR za rovnovážných podmínek v přítomnosti konzervativních sil: -[Vt/(r)].V„[/o(í#(r)]=0. m v.V[/o(v)V(r Ze vztahu pro fo(v) můžeme ověřit takže rovnice (4.46) se zjednodušuje /o(v)v.[W(r) + 4.46 mv w fo(v), 4.47 1 kT r)VU(r 0 4.48 a odtud V^(r 1 Wir r) kT Protože dip = Vip • ár, můžeme vztah (4.49) přepsat jako dip (v) 1 4.49 kT dU t 4.50 a řešení této rovnice je kde Aq určíme z takže Aoexp U(t kT fvf(r,v)d3v = n(r n(r) = Aoexp U(r kT v fo(v)dsv. 4.51 4.52 4.53 Označíme no hustotu v oblasti, kde t/(r) = 0 za rovnovážných podmínek, takže n0 = i fo(v)d3v, (4.54 kde jsme museli zvolit Aq = 1. Za rovnovážných podmínek, pro u = 0 a v přítomnosti konzervativnívh sil máme tedy rozdělovači funkci ve tvaru /(r^) = fo(v)exp U(t kT n0 / m \3 r \2nkf) eXp[- \mv2 + t/V JkT 4.55 n{T) = no exp 4.56 Hustota částic v systému s touto rozdělovači funkcí je popsána vztahem: ř/(r ~kŤ Faktor exp[—í/r/fcT], který určuje nehomogenitu /(r, v) je Boltzmannův faktor. Důležitým případem v plazmatu je přítomnost elstat. pole E = -V<£(r), (4.57 kde (j)(r) je elstat. skalární potenciál. Potenciální energie je í/(r) = #(r) (4.58 a hustota částic s nábojem q v rovnovážném stavu č/(/)(r) n(r) = n0 exp[-----—- . (4.59 kl 4.4 Stupeň ionizace za rovnovážneho stavu a Sahova rovnice Ze statistické mechaniky můžeme určit stupeň ionizace plynu v termodynam. rovnováze za teploty T bez znalosti detailů ionizačního procesu. Pouze musíme rozumět pojmu ionizační energie (potenciál), který se udává v elektronyoltech. Hodnoty 1. ionizačního potenciálu některých atomů: Element U(eV) Helium (He) Argon (Ar) Nitrogen (N) Oxygen (0) Hydrogen (H) Mercury (Hg) Iron (Fe) Sodium (Na) Potassium (K) Cesium (Cs) 24.59 15.76 14.53 13.62 13.60 10.44 7.87 5.14 4.34 3.89 Tepelná energie kT velikosti 1 eV ~ 11600 K =^> pouze při velmi vysokých teplotách tepelná enrgie částice 3kT/2 dosáhne ionizační energie. Přesto můžeme dosáhnout značného stupně ionizace i při nižších teplotách <^> částice z ocasu Maxwellova rozdělení u vysokých energií mají dostatečnou energii! Použijeme vztah (4.56), ale musíme uvažovat kvantově-mechanicky: na 9a r {U a Ubj-, . — = —exp[--------—-----J, (4.60 nb gb kl kde ga a gb jsou statistické váhy stavů s energiemi Ua a Ub) tj. degenerace těchto stavů. Pro konkrétní příklad systému majícího pouze tyto dva stavy je část a všech částic s vyšší energií Ua: a= , Ua =n^{n^ + \\~l (4.61 na + nb) nb \nb nebo z (4.60) a pro U = Ua — Ub a = [9a/9b)exp(-U/kTy (4 62 'ga/gb)exp(-U/kT) + 1 Při řešení problému ionizace vezmeme stav a jako stav iont-elektronového páru a stav b jako stav neutrálního atomu =^> U = Ua — Ub je ionizační energie a a je stupeň ionizace. Teplota, při níž je a = 0.5 ^exp(--^) = l, (4.63 9b Kil/2 tj- TV2 = u^/ ■ i4-64 A; \n{ga/gb Procento částic v ionizovaném stavu se mění z téměř nuly na téměř jedničku v úzkém teplotním intervalu, který můžeme odhadnout Aproximujme ol{T) přímkou a hledejme interval AT, na němž a = 0 a a = 1: ída(T)\ 1 dT Jt 1/2 AT Ze vztahu (4.62) za předpokladu d{ga/g^)/dT = 0 ída(T)\ V dT JT1/2 Uoŕ T2(ga/gb)ew(-U/kT U T 1/2 ATI takže AT = 4Ti AU kln(ga/gb) [kln(ga/gb^2 odkud vidíme, že čím vyšší je ga/gb^ tím menší je AT stavu je mnohem vyšší) téměř skoková fee kolem T[/2. 4.65 4.66 4.67 degenerace ionizovaného Degeneraci (váhy) ga a g^ stavů musíme určit kvantově-mechanicky. Zde jen výsledek pro zanedbání malé interakce mezi volným elektronem a iontem a zanedbání vnitřních stupňů volnosti všech částic: ga (27rmekT\3/2 1 l h2 i > v468 gb v hz l m kde h je Planckova konstanta a n^ je hustota iontů. Dosazením do (4.60) dostáváme Sahovu rovnici T3/2— expf-—). Í4.69 nn v h2 ) rti kT Nebo vyjádřením konstatních faktorů, teploty T v e V a n^ v m n' 3.00xl027T3/2-exp(-^). (4.70 Tin Til 1 Pokud je celková hustota n = ni + nn nízká, můžeme i při teplotách hodně pod ionizační energií dosáhnout značného stupně ionizace. Kapitola 5 Interakce částic v plazmatu 5.1 Úvod g Slova srážka a interakce mohou být používány v mikroskopickém světě jako synonyma. Srážky dělíme na • elastické, tj. pružné - platí zákon zachovaní hmotnosti, hybnosti a energie takovým způsobem, že nedochází ke změnám vnitřních stavů částic, vzniku ani zániku částic. • neelastické, tj. nepružné - změna vnitřního stavu několika nebo všech zúčastněných částic, možnost vzniku nebo zániku částic; rekombinace nabitých částic za vzniku částice neutrální; záchyt nabité částice částicí neutrální za vzniku větší nabité částice; energie elektronu atomu se může zvýšit =^> excitace elektronu do vyššího stavu nebo dokonce oddělení elektronu od atomu, tj. ionizace. V plazmatu musí především rozlišovat • interakce mezi nabitými částicemi: podle Coulombova zákona, tj. závislost 1/r2 =^> dalekodosáhové interakce =^> mnohonásobné interakce • interakce mezi nabitou částicí a neutralem nebo dvěma neutrály: silové pole neutrální částice dostatečně silné pouze v oblasti elektronového obalu =^> krátkodo sáhové interakce =^> neutrální částice neinteragují často s dalšími částicemi a naprosto zřídka s více částicemi zaráz =^> především binární srážky Mnoha-částicové Coloumbovske interakce může popsat také jako současné binární interakce, v praxi jako sérii následných binárních interakcí s malým úhlem. Tyto interakce jsou důležité pro chování plazmatu. Nicméně ve slabě ionizovaném plazmatu nehrají několikanásobné interakce velkou roli a jednoduché binární srážky adektavně popisují jevy v plazmatu. Největší roli v těchto typech plazmatu pak hrají elektrony, protože rychle reagují na el. a mg. pole. 5.2 Binární srážky Uvažujme pružnou srážku dvou částic o hmotnosti m a mi o rychlostech v a ví před srážkou av'a v;x po srážce. V následujícím textu budou veličiny s čárkou označovat veličiny po srážce. Můžeme pracovat v laboratorním systému souřadnic, ale konvečně spíše v systému, kde částice m je v klidu a částice mi se přibližuje relativní rychlostí g = vi-v. (5.1 Po srážce je relativní rychlost g' = vi - v'. (5.2 Záměrná vzdálenost b je definována jako definována jako minimální vzdálenost přiblížení, pokud by nedošlo k interakci. Uhel rozptylu je x a unel orientace orbitální roviny (nebo roviny srážky) vzhledem k nějakému danému směru kolmému na orbitální rovinu je e. Rychlost těžiště srážejících se částic před srážkou je mv + raivi c0 =--------■--------- (5.3 m + mi a po srazce , mv; + mi ví co =---------------- m + mi Počáteční rychlosti můžeme vyjádřit pomocí Co a g /i v = co------g m vi = Co + —g, mi kde \± označuje redukovanou hmotnost mm\ li =--------. m + mi Podobně obdržíme i rychlosti po srážce / / f^ / V =C°-mg v'i = c'0 + ^g'. mi Ze zákona zachování hybnosti během pružné srážky mv + raiVi = mv; + mív^ nebo ze vztahů Í5.3) a Í5.4 m + mijco = (ra + rai)c0 takže c0 = c o Ze zákona zachováni energie během pružné srážky máme 1 mv2 + m\v\ 1 2V iy 2 a přímou úpravou vztahů (5.5), (??), (5.8) a (5.9 / /\2 i / /\2 m(v) -\-mi(vi 1 2 mi;2 + mi^ -(m + mi)cl + -/V rm(t/)2 + rni{v[f] = -(m + mi)(c[)2)2 + ^Ms^2 2 Protože Cq = c0 dostáváme # = # 5.11 5.12 5.13 5.14 5.15 5.16 tedy velikost^ ale nikoliv směr, je zachována při binárních pružných srážkách. Uhel x mezi g a g' Je ^e^ rozptylu nebo také deflekční úhel. Abychom dostali vztah mezi vektory gag', zvolíme např. kartézké souřadnice s osou z ve směru g. Máme tedy #x = #y = 0 (5.17) 9z = g = g' (5.18) g'x = g sin x cos s (5.19) g' = g sin x sin e (5.20) #z = #C0SX, (5.21) kde £ určuje relativní orientaci roviny srážky. Pokud tedy známe počáteční rychlosti a úhel rozptylu x můžeme určit rychlosti po srážce. Opačně, pokud známe konečné rychlosti a Xi můžeme určit původní rychlosti. Tento fakt umožňuje jednoduše uvažovat o inverzní srážce^ protože x Je stejné jako pro přímou srážku (6, vzájemná síla a g jsou stejné). Uhel rozptylu je jediná veličina, která závisí na detailech srážkového procesu. V případě vzájemné síly, která závisí pouze na vzdálenosti mezi interagujícími částicemi, X závisí na následujících parametrech: 1. zákon vzájemného silového působení 2. velikost vzájemné rychlosti g 3. záměrná vzdálenost b. 5.3 Dynamika binární srážky Dynamika binární srážky je řízena zákonem vzájemného silového působení. Pro každé b existuje odpovídající x a jejich vztah je nezávislý na zákonu vzájemných sil. Tento vztah je obsažen v diferenciálním účinném průřezu definovaném v odstavci ??. Uvažujme srážku dvou částic m a mi v souřadném systému částice m. Polohový vektor částice mi bude r. Předpokl., že síla interakce je centrální síla, tj. F(r) = F(r)ř (5.22 a poteniální energii lze tedy vyjádřit takto dU(r F(r) = -W(r) =------^r. (5.23 or Pro centrální sílu je torze N = r x F (r) nulová, a protože jde o časovou změnu momentu hybnosti L = r x p N = §. (5.24) moment hybnosti je pohybová konstanta; r je stále kolmé na konstantní směr L pohyb leží v rovině. Použijeme polární souřadnice (r, 6) a uvědomíme si, že jednotkové vektory r a 9 závisí na 6: dr dr _ dr dr _ drdO dt dt dt dt dO dt Protože dr/d6 = 9 dr dr _ d6 -> r + r—9 (5.26 dt dt dt nebo jinak zapsáno ŕ = ŕŕ+ r66. (5.27 Trajektorii částice nalezneme ze zákona zachování energie a momentu hybnosti pomocí analogie s jednočasticovým problémem. Kinetická energie relativního pohybu je 1 1 Ek = -fjLT'T = -/i(ř2 + r202). (5.28 ZeZZE -/i(ř2 + r262) + U{r) = -fig2. (5.29 Moment hybnosti vzhledem k počátku je dán L = r x (/iŕ) = \ir 9. Původní hodnota momentu hybnosti je bfig, a tedy r 9 = bg. 5.30 5.31 Pomocí předchozích vztahů získáme diferenciální rovnici pro dráhu r (9). Napíšeme dr drd9 ~ďt~~d9~ďť ^ ' použijeme (5.31) a (5.29) k eliminaci dB jdi a dr/dt. Diferenciální rovnice trajektorie: dr\2 r4 A0. b2 1 2U(r ÍY* A m 5.33 což přeskupíme takto d0 = ±- ty* £ i 2U(r fY*£ m ■1/2 dr. 5.34 Výběr znaménka se musí udělat z fyzikálního náhledu. Kladné znaménko se použije pro 9 > 6m, záporné pro 9 < 6m, kde 9m je úhel v bodě největšího přiblížení (vertexa trajektorie). Polohový vektor v tomto bodě označíme rm. Vzdálenost největšího přiblížení rm dostaneme z (5.33), když si uvědomíme dr/d9 U ä f = f m- b2 2U(rm ,2 = 0 r m tedy ^m ^ 1- 2U(rm m 1/2 m Abychom určili úhel rozptylu x, uvědomme si, že X = TT-29. a integrujme vztah (5.34) od 9m po jiný úhel 9: b 0 — Um — Í b2 2U(x 1-----t,-------V X' m stejná konvence znamének). Pro r —>• oo máme ö( takže b2 2U(r 1-^-------V -1/2 ■> 0, zatímco ft öm ~ /rm r2 oo /v»^ w ■1/2 dr 5.35 5.36 5.37 5.38 > 20. m; 5.39 a úhel rozptylu je X(b,g) = «-2ř° T'm J>2 b2 2U(r 1 -^-------V ry*Á m ■1/2 dr. 5.40 Abychom mohli vypočítat x musíme znát záměrnou vzdálenost b1 počáteční rychlosti g a vzájemnou potenciální energii intergajících částic U(r] 5.4 Vyjádření úhlu rozptylu Ukážeme si dvě konkrétní použití vztahu (5.40) k určení úhlu rozptylu x pomocí záměrné vzdálenosti b a počáteční rychlosti g. 5.4.1 Dvě perfektně elastické tuhé koule Uvažujme srážku dvou perfektně elastických tuhých koulí o poloměru R\ a R2. Potenciální energie je dána U(r 0 pro r > R\ + R2 00 pro r < R\ + R2. 5.41 Protože koule nemohou do sebe pronikat je jejich vzdálenost r > R\ + R2 a tedy zjednodušíme vztah (5.40) jako r 00 'T TU J>2 ,2n-l/2 1 fY*Á dr. 5.42 X = 7T-2/f Použijeme substituci y = b/r: x = 7r-2j^(l-yy^dy, (5.43 což dává X = TT - 2 sin"1 (6/rm). (5.44 Pro b > R\ + R2 nedochází k žádné interakci =^> rm = b. Pro b < R\ + R2 se koule sráží =^ rm = R\ + R2. b X = 7T — 2 arcsin —-----— pro b < R\ + R2 \R\ + it2/ + #2< 0 pro 6 > Ri + iž2 5.45 5.4.2 Coulombovský interakční potenciál Uvažujme případ Coulombovskeho pole, jehož interakční potenciální energie je 1 qq1 U r) = Attso r 5.46 kde q a q\ jsou elektrické náboje částic o hmotnosti m a mi. Dosazenín do vztahu 5.40) dostaneme -1/2 x(b,g 7T 2/°° % >5-48 takže bo vyjadřuje vzdálenost, na které je el. potenciální energii interakce dvakrát větší než relativní kinetická energie nekonečnu. Substitucí proměnné y = l/r a použitím bo ve vztahu (5.47) dostaneme X(b, g) = n- 2b^/rm(-b2y2 - 2b0y + l)"1/2dy. (5.49 Použijeme standardní vztah pro integraci (Rektorys J(axz + ßx + 7) ' dx = 1 \/-^ arcsm —2ax — ß ß2 - 4a7)V2 5.50 kde v našem případě a je dáno vztahem (??): 62,/3 = — 2&o a 7 = 1. Použijeme meze integrálu, kde rm x(6, g) = 2 arcsin >o b2 + 62)V2 5.51 Tato rovnice se ekvivalentně dá přepsat jako f í1 \ 6° tanl2X) = j- •X = 7r=^^ = 0 • x = tt/2 => b = b0 • x = o=^^^°° • znaménko náboje částic stejné =^> &o a x Jsou kladné • znaménko náboje částic různé =^> &o a x jsou záporné 5.5 Účinný průřez Zatím interakce pouze dvou částic ALE účinný průřez definován ve smyslu svazku totožných částic dopadajících na terč =^> mějme svazek částic o hmotnosti mi rovnoměrně rozprostřených v prostoru dopadajících rychlostí g = vi — v na částici vrt. Částice se záměrnou vzdáleností b se rozptylují pod úhlem x, se vzdáleností b + db pod úhlem x + d\- Počet částic rozptýlených za ls do (x, X + ^x) závisí na toku částic r. (5.52) 5.5.1 Diferenciální účinný průřez Počet částic rozptýlených za jednotku času do prostorového úhlu dQ vyjádřeného pomocí úhlů x a s: d^ = a(x,e)rcM, (5.53) kde a(xi£) Je diferenciální účinný průřez nebo úhlová rozdělovači funkce. Stejný počet částic dopadá před srážkou z oblasti dané intervaly (6, b + db) a (s, e + de): dN dt Tb db de. 5.54 A tedy Protože dQ = sin xdxde: a dále e)d^ (5-61 a protože celkový tok hybnosti dopadajících částic je Tfig 0~m = /fi(1 - COS XMX> 6)d^- (5-62 V případě izotropní interakce a využitím dQ = sin x^X^8 am = 2tt £(1 - cos xMx)sin X^X- (5-63 Protože o~(x) můžeme chápat jako úhlovou rozdělovači funkci lze ji brát jako váhovou funkci pro výpočet střední hodnoty jakékoliv funkce F(x) závislé na úhlu rozptylu: / p/ nX fo F(x)o-(x)dtt , F(x) = —;—, wo , (5-64 což můžeme psát jako 2tt (F(x)) = — Jo F(x)o-(x) sin x^X (5-65 a podle definice střední hodnoty o-m = o-t(l - cosx). (5.66 5.6 Další srážkové parametry Uvažujme tok T = nv částic o hmotnosti m, hustotě n a konstantní rychlosti v dopadajících z jedné strany na terč složený z "nekonečně" hmotných částic o hustotě ng, které jsou v klidu. Pak g = v. Nechť dn je počet dopadajících částic na jednotku objemu ve vzdálenosti x, které interagují s částicemi terče na vzdálenosti dx a jsou tedy odstraněny ze svazku dopadajících částic (proto znaménko mínus): dn = —atnngdx, (5.67) kde konstanta úměrnosti at je celkový účinný průřez. Podobný vztah pro tok získáme vynásobením (5.67) rychlostí v dT = — atTngdx (5.68 neboli dr dn ^ — = — = —ngo~tdx (5.69 T n a po integraci r(x) = Toexp(—ngcrtx) = Toexp(—x/A), (5.70 kde A =------ (5.71 ngat je střední volná dráha úbytku částic v dopadajícím svazku. Střední doba mezi interakcemi je r = -. 5.72 v Její převrácená hodnota je interakční neboli srážková frekvence v = r~l = ngo~tv, (5.73 což je počet interakcí za jednu sekundu, které má dopadající částice, s částicemi terče. Můžeme také definovat srážkovou frekvenci na jednotku hustoty 5.7 Účinné průřezy pro srážku tuhých koulí 5.7.1 Diferenciální účinný průřez pro rozptyl Využijeme vztah (5.45) pro úhel rozptylu a b < R\ + R% 2 a tedy K = nedochází k interakcím pro částice ve vzdálenostech b > bc Rozptyl pro úhly (7r/l, irrangle^ tj. (0, bo) se obvykle nazývá rozptyl pod velkými úhly nebo těsné srážky. Pokud se budou brát v úvahu pouze těsné srážky, máme C^velke = TT^O 5 í71"/2 < X < *"), (5.95) kde bo = qqi/(A7T£ofig2). Víme, že v případě nabitých částic v plazmatu dojde k jejich stínění oblakem částic s opačným znaménkem. Míra efektivnosti tohoto stínění je Debyeova délka: eo/cT, i n0e Koule o poloměru \p je Debyeova koule. Vezmeme-li do úvahy toto stínění: U(r) = i^-— exp(-T^) (5.97 47T60 r \d tedy pro r \d je to téměř nula. Výpočet <7t za použití Debyovské potenciální energie je velmi komplikovaný a vyžaduje numerické řešení. Je ovšem možné použít alternativní zjednodušující \d = i^T2- (5-96 přístup, který vede k dobrému souhlasu s řešením numerickým: Coulombovský potenciál pro r < Xd a nula pro r > Xd =>■ bc = A^ - obecně totiž XD > 6o- (5-98 Rozptyl pro bo < b < Xp vedoucí k x < 7r/2 se nazývá rozptyl pod malými úhly a jeho příspěvek k celk. účinnému průřezu je ^,male = 2tT j^D b db = n{\% - 6§) ; (X < 7t/2). (5.99 Porovnáme-li °~t, velké důležité jsou srážky způsobující rozptyl pod malými úhly at = ttX2d (5.101 Zavedeme max. hodnotu bc = Xd i pro účinný průřez pro přenos hybnosti a ze vztahu (5.92) máme A2 am = 2^2ln(l + -f), (5.102 protože 1 - - &c\-l/2 2 &á Použijeme označení A = ^, (5.104 bo přičemž A ^> 1, takže crm = 47r6olnA (5.105 Funkce A se mění relativně pomalu, pro většinu laboratorních typů plazmatu je InA = 10-20. Abychom mohli vypočítat A uvažujme zjednodušeně: • q = -e,qi = e • no hustota elektronů a iontů • T teplota obou • Maxwell, rozdělení pro oba typy částic, žádná driftová rychlost (92) = \ Ĺ k /e/ii(vi - vfcŕvcŕv, = - i /e(— + v2)crv = ^ (5.106 ng l no rrii \i a tedy „2 JI >0 5.107 47reo/i(g2) 127reo/cT tj. A = —^£—XD = UnnoXl = 9NDj (5.108 CO ,_, ^ lO '—i o lO °° d 1—1 lO b- ^H 00 f^ co fM CO O TO TO ^H 0Ó i—i lO oo 1—1 1—1 lO 1^ oo ^ľ b- o O TO ^ fM ^ tv i—i lO TO i—1 1—1 1—1 fM co TO 00 co oo o i—1 i—i i—1 fM fM fM 00 CD g CÖ * > • l—\ 2 ^H ä >> >CD O > O >> CD -+-3 ^J CD O Q > < o 2 -M ?_| Ijj Cl) >o a CD >CD O _CD >> O ^ tí ^ o CD m ^3 ^ Kapitola 6 Makroskopické transportní rovnice 6.1 Momenty Boltzmannovy rovnice * Pokud známe rozdělovači fei =^> makroskopické veličiny jako hustota, střední rychlost, teplota apod. V termodynamické rovnováze =>* Maxwell-Boltzmannova rozd. fee. V jiném případě musíme řešit komplikovanější BKR. ALE rovnice pro časové a prostorové změny makroskopických proměnných mohou být odvozeny z BKR bez jejího řešení =^> makroskopické transportní rovnice Makroskopické veličiny souvisí s momenty rozdělovači fee a trasportní rovnice pro tyto proměnné získáme z momentů Boltzmannovy rovnice. První tři momenty: vynásobením rovnice výrazy ma, mav a mav2/2 a integrací přes rychlostní prostor =^> zákon zach. hmotnosti, hybnosti a energie. Vždy se nám ale objeví nějaká neznámá makrskop. veličina navíc, takže abychom mohli soustavu vyřešit, musíme udělat nějaké vhodné předpoklady o nejvyšším momentu rozděl, fee. Pro každý typ částic vlastní transportní rovnice. Existuje mnoho možností vytvoření soustavy transportních rovnic podle zjednodušujících předpokladů, např. model studeného nebo teplého plazmatu. 6.2 Obecná transportní rovnice Uvažujme fyzikální vlastnost částic v plazmatu x(v) a vezměme obecnou BKR: ^ + v.V/a + a.Vt,/a=ffif) • (6.1 ot V ot /sraz Každý člen BKR vynásobíme x(v) a z analogie výpočtu střední hodnoty x(v uděláme totéž s celou BKR i X^v + l xv ■ VfJ'v + jv XaV,/«d3t; = /„ x f^)^ dsv • (6.2 Dále upravíme každý člen rovnice zvlášť. První člen: U^v = §t(lxfarv)-Uaffiv (6.3 Poslední člen je nula a z definice střední hodnoty: Druhý člen: Jy XV • Vfad3v = V • (fv vXfad3v) - jv favVXd3v - jv faXV • vd3v Člen V • v a V x jsou nula: Jy XV • Vvadsv = V • (na(xv) Třetí člen: Jy Xa • Vyfadsv = jvVy- &xfadsv - jv /aa • Vyxdsv - jv faXVv ' &dsv Poslední integrál vymizí pokud 1 V„ • a = —V„ • F = 0, ma složka vektoru sily Fi nezávisí na příslušné složce rychlosti v^ kde i = x, y z omezení nevylučuje mg. silu Fa = qav x B: Fx = qa(vvBz - vzB První integrál na pravé straně rovnice (??) je součtem tří trojných integrálů: /„V„.(aX/a)^ = E///_r^ a,xfa)dvxdvydv y^uz. 6.10 Pro každý z těchto tří integrálů (i = x, y, z) máme d +00 -00 fo axxfa)dvxdvydvz = J J_™ dvydvz(axxf( +00 «1-00 o, 6.11 X protože /o;(r, v, ť) —>• O pro v i —>• ±00. Protože první a poslední integrál vztahu (6.7 je roven nule, máme Jv xa • Vvfad3v = -na(8L • V„x) a 6.12 Kombinací předchozích výsledků dostáváme obecnou transportní rovnici d dt na(x)a) + V • (na(xv)a) - na(a • V„x) a 5 Si na(x) a 6.13 sraz kde člen na pravé straně označuje rychlost změny veličiny x na jednotku objemu v důsledku srážek: 5 Jt na(x) a = !„ x sraz ■sjo 5t a (6.15 (xv)a = ma(-v)a = maua V^x = V„ma = 0 a dostaneme rovnici kontinuity dp "ma dt kde pma = nama a srážkový člen + V- (pmaUa) = Sa, (6.16 Sa = ma fv(—^)smz(ŕv = —--^ (6.17 OÍ V OÍ /sraz vyjadřuje rychlost produkce nebo ztráty částic a na jednotku objemu v důsledku interakcí. Pokud k nim nedochází O Pma neboli + V-(/wia) = 0 (6.18 dn a dt + V • (naua) = 0 (6.19 Rovnici zákona zachovaní náboje odtud dostaneme násobením nábojem qa\ ^ + V-J„ = 0, (6.20 kde pa = naqa je hustota náboje aJa = paW-a je hustota el. proudu. 6.3.2 Odvození pomoci dynamiky tekutin Uvažujme objem tekutiny V uzavřený plochou S s elementem plochy dS = ňdS Střední počet částic opouštějící objem V skrz dS za jednotku času je naua • dS (6.21 =^> počet částic opouštějící celý objem: fsna\ia-dS. (6.22 Celkový počet částic v objemu: lvnad?r. (6.23 Pokud nedochází k produkci nebo ztrátě částic v objemu, musí platit d dt a za použití Gaussova teorému divergence £ naua • dS = -^- Jy nad3r (6.24 2 naua • dS = jy V(naua)d r (6.25 dostaneme dn v dt a + V • (naua d3 r = 0, Í6.26 což musí platit pro libovolný objem V, takže dostáváme rovnici kontinuity (6.19). 6.3.3 Srážkový člen Procesy spojené se změnou počtu částic =^> obvykle nepružné srážky (ionizace, rekombinace, zachycení náboje). Jak je můžeme reprezentovat v rci kontinuity: • efekt ionizace - rychlostní koeficient pro ionizaci K\, tj. počet párů elektron/iont produkovaných za jednotku času je K[Ueng^ kde ng je hustota neutrálního plynu. Ve slabě ionizovaném plazmatu je možné považovat ng za konstantní a počet vzniklých párů zapsat pomocí srážkové frekvence iS[Ue • efekt rekombinace - rychlostní koeficient pro rekombinaci Kľ) tj. úbytek párů elektron/iont za jednotku času, za předpokl. jednoho druhu iontů (ni = ne) je Kľnl • efekt záchytu záporného náboje - rychlost úbytku elektronů Koneng neboli podobně jako pro ionizaci z/ane => Se = me(z/ine - Kľnl - z/ane) (6.27 6.4 Zákon zachovaní hybnosti 6.4.1 Odvození pohybové rovnice Nahradíme x(v) výrazem mav v (6.13). Vezmeme-li v úvahu, že v = Va + ua a Va) = 0, můžeme členy transportní rovnice upravit takto: í I \ \ ^ua ^Pma (r 00 W,{Pma{v)a) = Pma^r + ^"^y- ^28 V • (pma(vv)a) = V • [pma(uaUa + Ua(Va) + (Va)ua + (6.29 + (VaVa))] = V • (pmauaua + pniaCVaV, f) f) f) -na(F - Vvv)a = -na((Fx— + Fy— + F,— )v)a = (6.30 ovx yúVy dvz -na(Fxx. + Fyý + FzŽ)a = -na(F)a A dosadíme-li do (6.13), dostaneme rovnici zachovaní hybnosti d\i do kde Aa označuje srážkový člen A a m a v öf, St «x ^3 sraz (TV 6.32 sraz Výraz pma(VaVa) je tenzor kinetického tlaku Va'. Třetí člen na levé straně rovnice (6.31) můžeme rozepsat takto 6.33 d d d v ' yPmct^-ct^-ct) Qi yPma^ax^-a) ~r ^ [Pma^ay^-a) ~r q _ [Pma^az® J ^a A^^^í dx Pmcty-L du a jax dx + u du a ay dy + u du dy dz a az dz + u a ÖyPmctUctx) . ÖyPmctUcty) . ^{Pma^az + + a dx dy dz V)u„ + u„[V • ( Dosazením (6.33) a (6.34) do (6.31) a za použití rovnice kontinuity (6.16) dostáváme rdua P ma dt + (u„ • V)u„ + V • Vn - n„(F La a ax-*- a ±\-Q£ Wrv kD i a^a- 6.35 Člen v hranaté závorce můžeme zapsat pomocí totálního diferenciálu: D d _ + Un, • V, Dt dt 6.36 což odpovídá časové změně pozorované ze souřadného systému pohybujícího se střední rychlostí ua. Jestliže uvažujeme elektromg. Lorentzovu sílu a gravitační sílu, je poslední člen rce 6.35^ -na(F)a = -naqa(E + ua x B) - namag, (6.37 kde pole E a B představují vyhlazené makroskopické pole. Pohybová rovnice je tedy Pma-^r = naqa(E + ua x B) + pmag - V • Va + Aa - UaSa (6.38) Fyzikální význam: časová změna hybnosti v každém elementu kapaliny je způsobena externími silami, třením (viskozitou) a tlakovými silami samotné kapaliny a dále vnitřními silami, které odpovídají interakcím =^> z.z. hybnosti Často můžeme viskozitu zanedbat, tj. neuvažujeme nediagonální členy Va. Pokud je navíc rozdělovači funkce izotropní, jsou diagonální členy Va stejné a rovné skalárnímu kinetickému tlaku pa. Zanedbáme-li dále člen vedoucí k tvorbě nebo zániku částic, máme Pma-^r = naqa(E + ua x B) + pmag - Vpa + Aa (6.39 6.4.2 Srážkový člen Clen Aa označuje rychlost změny střední hodnoty hybnosti na jednotku objemu způsobenou srážkami. Důsledek zachování celkové hybnosti při elastických srážkách stejných částic =^> Aa = 0. ALE pro kapalinu složenou z různých částic Aa ^ 0. Často používaný vztah pro přenos hybnosti srážkami (nemusí platit vždy, předp. Maxwell, r. fee a relatině malý rozdíl středních rychlostí částic): Aa = -pmaE^(ua - U/?), (6.40) ß kde konstanta úměrnosti vaß je srážková frekvence pro přenos hybnosti mezi částicemi a a ß. Protože během srážky se musí zachovávat celková hybnost PmaVaß{Ua ~ Uß) + Pmß^ßai^ß ~ Ua) = 0. (6.41) Pma^aß = Pmß^ßa (6.42) 6.5 Zákon zachovaní energie 6.5.1 Odvození rovnice pro transport energie Nahradíme x(v) výrazem mav2/2 v (6.13). Platí / \ /t 7-9\ 9 / 9 V,, . I,„V..V.V, .^v - V> = m„ Členy na pravé straně obecné transportní rovnice (6.13) jsou tedy d 3dpa , d 1 ßt^otä*) - 2 dt ' dtK2 + Pmci^ a 6.43 6.44 6.45 1 V • {na{xv)a) = V • [-pma{\y ' VjV/a 6.46 -na((F/ma) • V^x)a = -na(F • v/a Součtem těchto členů získáme rovnici zachováni energie 3dpa d ,1 2 dt ■ 9tv2^^) + V.[^((v.v)v) a n^(F • v 'a a M, Oil 6.47 6.48 kde Ma je rychlost změny hustoty energie v důsledku srážek -a 1 2 M„ = -ma í v2 5t sraz (TV ôUpma(v a 5t 6.49 sraz Alternativně se může rovnice také zapsat jinak, viz dále. Vezměme nejprve třetí člen 6.48) av = Va + ua: 6.50 Ua + Va) • (Ua + Va)](Ua + Va = ((^ + 2ua - va + v;2)(ua + Va)> = = u2aua + (v2)ua + 2(vava) • ua + (v;2va). Clen |9ma(Vft®Va) představuje tenzor kinetického tlaku Va a ^ma^Yd^a) je vektor toku tepla qa. Ukázali jsme, že ^pma (V2) = 3pa/2. Proto V- 2 /Wlv * vJv/a 6.51 1 1 V • [-pmau2aua + -(3pa)ua + Pa - ua + qa l V • (2^^ua) + 1 1 -(3pa)(V • U«) + "(Ua • V)(3pa) + V • (Pa • Ua) + V • qa Dosazením do (6.48) a za použití označení D j Dt pro úplný diferenciál, máme D ,3pa Dť 2 + 3pa 2 V-lu + d ,1 1 dť2 'Pma^aJ "•" * ' KoPmot^a^-ot) "•" 2' 6.52 V • (Pa • Ua) + V • qa - na(F • v)a = Ma Třetí a čtvrtý člen na levé straně můžeme psát jako d A 1 Pmay^-a ' Uq-JIIq, 1 2 vPma _^\_ 2rv / _■_ 1 2röP 6.53 La ua • V)ua Du a Za použití rovnice kontinuity (6.16) a pohybové rovnice (6.38) můžeme poslední vztah přepsat jako Dosazením zpět do (6.52 D ,3pa. , 3pa. 1 .2 Dť 2 , + -^V . ua + V • (Pa • iia) - ua - (V • Pa) - (6.55 na(F • v)a) + naua • (F)a + V • qa = — Ma ua • Aa + uaba. Třetí a čtvrtý člen můžeme kombinovat jako V • (Va • u«) - u« - (V - Va) = (Va • V) • ua (6.56 a podobně pátý a šestý: -na(F • v)« + naua • (F)a = -na(F • Va), (6.57 protože T - v)« = (F . (u« + Va)) = (F)a • ua + 7 DV 2 J 2 Dosazením (6.63) za V • ua pro 5« = 0 dává D ßPa, 5Pa Dp Dt 2 2pma Dt tedy Pa 3 Dt a po integraci Pa f P ma \ § PO PmO kde po a pmo jsou konstanty, takže ma = 0 Í6.68 Dpa 5DPma = 6.70 PaP ma = konst. (6.71 Toto je adiabatická rovnice energie pro plyn, v němž je specifické teplo při konst. tlaku a konst. objemu 7 = 5/3. Parametr 7 fcí počtu stupňů volnosti N 7 = (2 + N)/N. (6.72 Pro částice, které nemají vnitřní stupně volnosti (jednoatomový plyn), je N = 3 Adiabatická rovnice energie používaná v termodynamice je obecně ve tvaru PPmf = kernst- (6.73 Derivováním nebo kde jsme definovali Vt Pmdp — lPpSí+l^ dpm = 0 (6.74 dp = (—) dpm = V* dpm, (6.75 Pm a Vs = (-řP/pm)1/2 = (-íkT/mf2, (6.76 což je adiabatická rychlost zvuku kapaliny. ideální plyn; konstantní teplota kapalin =^> izotermální rovnice energie. Vezmeme stavovou rovnici pro ideální plyn p = nkT a pro T = konst dp = kT dn = (p/pm) dpm = V^ dpmi (6.77 kde izotermální rychlost zvuku je Vt = (p/pm)1/2 = (kT/m)1'2 (6.78 6.5.4 Model studeného plazmatu • 1. moment BKR =^> rce kontinuity =^> hustota částic na (nebo hustota hmotnosti pa) ve vztahu s driftovou rychlostí ua =^> 2 makroskopické veličiny =>* potřebujeme 2 makroskopické transportní rce • 2. moment BKR =^> pohybová rce (rce zachování hybnosti) =>* driftová rychlost ua ve vztahu s hustotou částic na a tenzorem kinetického tlaku Va =>■ 3 makroskopické veličiny =^> potřebujeme 3 makroskopické transportní rce • 3. moment BKR =^> rce energie =^> neznámé veličiny na, ua, Pa a vektoru toku tepla qa =>■ Žádný konečný systém transportních rovnic nemůže tvořit uzavřený systém. takže musíme zavést nějaké aproximace. Nejjednodušší model je model studeného plazmatu. Model používá pouze rovnici kontinuity a hybnosti. Tenzor tlaku se položí roven nule, tj. zanedbává se vliv tepelného pohybu částic a síla způsobená změnou tlaku. Máme tedy dvě transportní rce: dp "ma dt DU; + V • (pmaUa) = Sa (6.79 Pma-^r = naQaiE + ua x B) + pmag + Aa - UaSa (6.80 Pokud můžeme navíc zanedbat vznik a ztrátu částic a =^> Sa = 0. Vztah používaný pro srážkový člen pro přenos hybnosti Aa je dán vztahem (6.40). Model vlastně předpokládá, že teplota plazmatu je nulová, takže rozdělovači fee je Diracova delta fee fa(r,v,ť) = 5\v — u(r, ť)\. 6.5.5 Model teplého plazmatu Zde se uvažují tři transportní rovnice a ve třetí rci se zanedbává člen s vektorem toku tepla V • qa = 0. Tato aproximace se nazývá adiabaticka aproximace. Protože tepelná vodivost je nula, není plazma viskózni a nediagonální členy tenzoru tlaku jsou nula. Dále s předpokládá, že V • Va = V • pa. V modelu teplého plazmatu tedy máme tyto tři transportní rce dpma + V • (Pmaua) = Sa (6.81 dt Pma—řé- = naqa(E + ua x B) + pmag - VPa + Aa - uaSa (6.82 D ,opa bpa. 1 2 n ~jX\~2> ~Y^ ' U°^ = " ~Ua ~ a 2Ua "' Pokud navíc předpokládáme, že změna energie v důsledku srážek je zanedbatelná, redukuje se rovnice (6.83) na adiabatickou rovnici PoíPma = konst. (6.84 Kapitola 7 Makroskopické rovnice pro vodivou kapalinu 7.1 Makroskopické proměnné pro plazma jako vodivou kapalinu Uvažujme plazma jako celek a celkové makroskopické veličiny Hustota hmotnosti: Pm 1^ Pma l^riaľľlaj \'-^J a a hustota náboje: p = Y.naqa, (7.2) střední rychlost kapaliny u: PmU = E pútala- (7.3) Střední rychlost každého typu částic uvažovaná vzhledem k celkové střední rychlosti plazmatu u je difúzni rychlost wa 1 Wa = Ua - U = Ua--------E pmaUa (7.4) Pm a Hustota toku hmotnosti neboli hmotnostní tok Jm = E namaua = pmu (7.5) a hustota el. proudu neboli tok náboje J = E naqaua = (7.27) pu + E naqawa (7.6) Tenzor kinetického tlaku jednotlivých komponent plazmatu jsme definovali jako Va = pma(VaVa), (7.7) kde Va = v — ua je náhodná rychlost. Jde vlastně o přenos hybnosti částicemi skrze povrchový element pohybující se driftovou rychlostí. Pro celé plazma definujeme alternativní náhodnou rychlost Vao pro částice a vzhledem k celkové střední rychlosti plazmatu u Va0 = v - u. (7.8) Celkový tlak je tedy definován jako rychlost přenosu hybnosti všemi částicemi plazmatu skrze element povrchu pohybující se celkovou střední rychlostí u. Tenzor celkového kineticého tlaku V je tedy V = í2pma(VaoVao). (7.9) Platí Va0 = Va + wa (7.10) a tedy V = 12 Pma což roznásobíme jako V = Y. pma((VaVa) + (VaWa) + (waVa) + (waWa Z definice wa vidíme, že (wQ) = wQ) a proto V = 12Va + 12 pmawawa. Celkový skalární kinetický tlak p je 11 1 P = -12 Pii = -1212 Pma(VoíOiVoíOi) = ň 12 Pma(Vao) ô i ó i a ó a Pomocí f7.13 1 2 P — ^Pa ~r o ^ Pma^a a o a Definujeme vektor celkového toku tepla (7.27)q X /O \ a hustotu tepelné energie 3p _ 1 /T/2 Je užitečné najít vztah mezi q a 1 2 Pma\ * a * a a q. Takže pomocí Vao = Va + wa dostaneme 1 "2\.„ , 2 q = g E /W + 2((wQ • V«)Va> + + (^4)W« + WaWa + 2((Va) • WQ)Wa přičemž (Va) — 0, takže 1 q = 2 E^[(^V«) + 2wa - (V.)V«) + <^>wa + t = pE + J X B + Pmg ~ V ' V' 7.32 7.4 Rovnice energie Opět sumujeme rovnici energie pro jednotlivé typy částic: ' °V; i ^ v [-pma(v2v)a) -Ena(F- v)a = 0. E7TUaW«)+EV a at 2 kde srážkový člen Ma sumovaný přes všechny částice je nula. Nahradíme v a expandujeme každý člen rovnice. Pro první člen máme 7.33 d , 1 E-/WV- v/a <5> 1 ^ nPma dť^2rnu^ ,uy atL«2 9 1 9 1 ^(E-pma((v;20)) + — (-pmau2 (Vao) + ^2 + 2wa - U 9 3p d 1 7.34 atv2y + atl2pm"y' kde jsme použili vztah (7.17) a fakt, že za pmawa — 0 Před úpravou druhého členu si uvědomíme, že (v2v>« = ((V20 + u2 + 2Va0 • u)) (7.35 = <^5)Va)) + u2wa + 2(Va0Va0) • u + (Fa20)u + u2u + 2(w„ • u)u, protože V«o = V« + w« a (V«) = 0. Proto V • (E ^Pma(v\)a) = V • (E^m«(Vc20V«o» + (7.36 +V • (Epm«(Va0Va0) • u) + V • (E-pm«(V;2o)u) + l V • (E -/w^2u) a 2 Když použijeme definici celkového toku tepla q a tenzoru celkového kinetického tlaku P, můžeme toto dále upravit jako V • (E -pma(v\)a) = V • q + V • (V • u+) (7.37 +V.(—u) + V.(-pmau2u Pro třetí člen máme Ena(F • v)a = EnQ[ga(E • v)a + ga)(v x B) • v)a + ma(g • v)J, (7.38 kde jsme uvažovali elmag sílu a sílu gravitační. Protože (va) = ua a pro lib. vektor v platí (v x B) • v = 0, máme Ena(F.v)a = J.E + Jm.g, (7.39 kde E a g jsou vystředovaná makroskopická pole. Kombinováním předchozích výsledků dostaneme dt v 2 , + V • (yu) + Qj^pmu1) + V • (-pmuzu) + (7.40 V • q + V • (V • u) - J • E - Jm • g = 0. Třetí a čtvrtý člen zkombinujeme jako d (\ 2 1 2 1 2[dPm vr / m / ^U dť2PmU ^ + V ' ^^ U^ = 2^ f~äT + V ' (pmU^ + U ' ^Pm~Ďt)' (7Á1 což dále upravíme za použití rce kontinuity a pohybové rovnice: pu • E + u • (J x B) + Jm • g - u • (V • V). (7.42 Tento výsledek použijeme opět v rci energie a dostaneme tvar ' P^ + —V -u + V-q+(P-V)-u = J-E- u.(J x B) - pu • E. (7.43 DV 2' 2 • 1. člen - časová změna celk. hustoty tepelné energie vzhledem k referenčnímu systému pohybujícím se celkovou střední rychlostí u • 2. člen - přispívá ke změně celk. hustoty tepelné energie díky přenosu tepelné energie v objem, elementu v důsledku pohybu částic • 3. člen - tok tepla • 4. člen - práce vykonaná na objem, elementu tlakovými silami (normálovými i tečnými) • členy na pravé straně - práce vykonaná na objem, elementu el. silami existujícími v referenčním systému pohybujícím se celkovou střední rychlostí u. Tyto členy mohou být dále zkombinovány (viz níže). Před další úpravou si uvědomme, že hustota el. proudu se skládá ze dvou částí J = E naqaua = E naqa^a + E naqau = J' + pu, (7.44) a a a kde pu je hustota el. proudu konvekční, tj. tok prostorového náboje s rychlostí u a J; je hustota el. proudu vodivostní, tj. hustota el. proudu v systému pohybujícím se rychlostí u. Na druhé straně můžeme psát u • (J x B) = -J • (u x B) = -J' • (u x B). (7.45) Dosazením obou horních výrazů do rce energie dostaneme D ,3p, + 3pv . u + v . q + (p . V) . u = j/. E/^ (7>46 DV2J 2 kde E; = E + u x B je el. pole existující v souř. systému pohybujícím se rychlostí u. Clen J; • E; představuje tedy rychlost změny hustoty energie díky Joulovskemu ohřevu. 7.5 Elektrodynamické rovnice pro vodivou kapalinu Makroskopické transportní rovnice pro vodivou kapalinu netvoří uzavřený systém (podobně jako u transportních rovnic pro jednotlivé typy částic). Navíc obsahují elektrodynamické veličiny E, B, J a p =>* kromě hydrodynamických transportních rovnic potřebujeme elektrodynamické rovnice. 7.5.1 Maxwellovské rovnice rotace V x E = -^ (7.47 dt v <9E V x B = /xo(J + e0—) (7.48 7.5.2 Zákon zachování el. náboje získáme z rovnice kontinuity pro jednotlivé typy částic vynásobení rovnice výrazem Qa/ma a sumací přes všechny částice: u o ^-(E naqa) + V • (E naqaua) = £(—)Sa, (7.49 ot a a a ma z čehož dp + V • J = 0 (7.50 dt Musíme si uvědomit, že tato rovnice se dá odvodit i z Maxwell, rce (7.47) a z Maxwell rovnice pro divergenci E V • E = A (7.51 Vezmeme divergenci (7.48" V • J + eo-(V • E) = 0, (7.52 ot zkombinujeme s (7.51) a dostáváme (7.50). =^> rovnice (7.51) tedy není nezávislá na rovnici (7.50). Dále si uvědomíme, že uděláme-li divergenci vztahu (7.47), dostaneme d _.V-B) = 0 (7.53 ot neboli V B = konst. (7.54 Takže Maxwellova rovnice V • B = 0 (7.55 je vlastně počáteční podmínkou rovnice (7.47 7.5.3 Zobecněný Ohmův zákon Postupujeme stejně jako u zákona zach. el. náboje - vezmeme pohybovou rovnici (zákon zach. hybnosti) pro jednotlivé typy částic, vynásobíme qa/ma a sumujeme přes všechny částice: a q _ j +J2naqa(ua • V)ua = J2na(- (jt a ® 171 a a ■V-ÍE 4 tt^/n 1 , ^/ ?« \ a Vn +Z » ma » ma a E U.rv^< a^a a Úprava druhého členu na pravé straně rovnice (7.56 Definujeme tenzor elektrokinetického tlaku VE pro částice a V. E a m V a = naqa{YaYa) a a pro plazma jako vodivou kapalinu máme analogicky a a Tedy ■V • M—)P, a m a >E a V -V + V • (E naqawawa a 7.56 7.57 7.58 7.59 7.60 Úprava čtvrtého členu na pravé straně rovnice (7.56): Použijeme rovnici kontinuity a ua = wa + u o d -J2(—)uaSa = -Ewa-(nay - EwjV • (naqawa)} - (7.61 a ma a dt a -EwjV- (naqau)] - u^ - u(V • J) (7.62 Podobně první a druhý členu na levé straně rovnice (7.56) upravíme jako: J2naqa^— + J2(naqawa • V)wa + J2(n aQa^- ' V) • Wq, + P^r- + (J.V)ll (7.63 a (j a a (jf Zjednodušení celé rovnice (7.56" Použijeme následující vztah pro dva vektory: V • (ab) = b(V • a) + (a • V)b, (7.64 využijeme vyjádření hustoty el. proudu (7.44) a předchozí zjednodušené výrazy: 93 + V • fuJ' + Ju) + V • VE = EnQ(—)i ™>i Wle Tento vztah dále zjednodušíme za použití následujících aproximací (nii ^> me, n( ni = n): 1 1 1 — — r^j m% Víle nie ne + — Víle r^> n nie n% ne + — r^> n me wii m 7.74 7.75 7.76 takže máme VE = —(e/me)Ve a z (7.73 Enaŕ)(F)£I = -(E + uxB)--JxB (7.77 a ma me me dt me ne2 ,„ „x e E + u x B)-------J x B - vej3 me me Srážkový člen v (7.65) napíšeme ve dříve uvedeném tvaru A = -pmeVei(Ue ~ Ui) (7.78 A = -pmiyie{w\- ue), (7.79 přičemž platí pmivie = pmeVei, takže qa 11 E(—)Aa = epmeisei(ue - uí)(— + —) = -*/eiJ, (7.80 kde jsem použili (7.66) pro J, ne = n^ = n a aproximaci rrij^> me. Nyní můžeme použít výsledky z (7.71), (7.77) a (7.80) a dosadit je do (7.65) 8J e + V • fuJ' + JU)-------V • V = (7.81 Protože jsme předpokládali ne = n^ musí p = 0aJ = J;.V určitých situacích se dá předpokládat, že J a u jsou malé perturbace, a proto je jejich součin zanedbatelný. Dále zavedeme označení 2 ne (Jo =-------, 7.82 mevei což představuje podélnou el. vodivost. Pak dostáváme z (7.81 mJJ--V^f = E + uxB--JxB--J. (7.83 ne2 dt ne ne <7o Tato rovnice se nazývá zobecněný Ohmův zákon. V magnetohydrodynamice se obvykle členy na levé straně zanedbávají, což ovšem není vždy dost dobře zdůvodnitelné. Pokud se J nemění v čase, tj. za ustálených podmínek, máme 83/dt = 0. Pokud dále předpokládáme, že jsou zanedbatelné prostorové změny tlaku, tj. V • Ve = 0, pak dostáváme zjednodušení J = cr0(E + u x B) - — J x B. (7.84) ne Poslední člen v této rovnici vyjadřuje Hallův jev. Tento člen je malý pokud <7o|B| 2 O wpe^ Lce Uppcj cj Vce — IUJ + fi2 ce J2 — j (vCj - iuf + Q2CJ üü pe Vce — IUJ + E uj pj j \yCj - iu 8.53 8.54 8.55 8.6 Plazma jako dielektrikum Až doposud jsme ale uvažovali o nabitých částicích pohybujících se ve vlastních vnitřních polích, takže jsme brali v úvahu tyto rovnice D = e0E (8.56) B = //0H, (8.57) které jsou používané pro volný prostor bez nábojů. Efekt existence plazmatu se pak projevoval pohybem a interakcí nabitých částic uvnitř plazmatu. Pokud neuvažujeme vnitřní pohyb částic, můžeme plazma popisovat jako dielektrikum charakterizované dielektrickým tenzorem. Pak nás zajímají pouze obecné makroskopické vlastnosti a nikoliv elementární pohyb částic. Místo Langevinovy rovnice vezměme Maxwellovu rovnici <9E V x B = Mo(J + eo^) (8.58) a zde zahrňme efekt plazmatu pomocí tenzoru vodivosti S definovaném vztahem J = S E. (8.59) Dosadíme do Maxwellovy rovnice a předpokládáme časově proměnné harmonické variace el. pole: V x B = muoS • E — zcj/i0eoE. (8.60) Pokud 1 označíme jednotkový tenzor V x B = — zcj/ioeo(l + iS UJCo E 8.61 nebo ekvivaletně kde V x B = —iüjfi0£ • E. £ = eo 1 + ÜJ60 8.62 8.63 se nazývá dielektrický tenzor plazmatu. Používání tohoto tenzoru představuje jiný přístup pro popisování plazmatu než jsme používali doposud: D = £ E 8.64 Poznamenejme, že £ závisí na frekvenci u a můžeme ho zapsat v maticové podobě ' ei e2 0 ^ £ = eo 62 €\ 0 , (8.65 v0 0 e3 kde ei = 1 + cje0 -0"_L 8.66 č2 = —(Jh (8.67 e3 = 1 + —cj0 (8.68 cje0 8.7 Difúze volných elektronů Přítomnost gradientů tlaku v transportní rovnici hybnosti představuje sílu, která vyrovnává jakékoliv nehomogenity hustoty plazmatu. Difúze částic je výsledkem této síly. Zde dovodíme difúzni koeficient pro elektrony v "teplém" slabě ionizavanem plazmatu. • trasportní pohybová rovnice pro elektrony s konstantní elektron-neutrál srážkovou frekvencí • odchylky od rovnováhy způsobené nehomogenitami v hustotě jsou velmi malé ne(r,í) = n0 + n/e(r,í), (8.69) kde \n'e\ * prostorová derivace je velikosti řádu L~l a časová derivace velikosti řádu r_1: dnfe nfe ------------ rsj ------- 8.78 dt r nř £>eVVe ~ Deji (8.79 1 d2n'e n'e vc dt2 VCT2 8.80 Porovnáme-li (8.78) a (8.80) vidíme, že je-li vvr ^> 1, tj. průměrný počet srážek elektronů s neutraly během časového intervalu r je dosti velký, můžeme poslední člen v (8.76) zanedbat a dostáváme difúzni rovnici ^ = A We. (8.81 Takže pokud je rychlost změny hustoty pomalá ve srovnání se srážkovou frekvencí, je hustota elektronů řízena difúzni rovnicí, v níž je difúzni koeficient dán vztahem (8.77). Podmínka vvr ^> 1 znamená zanedbání členu zrychlení v transportní pohybové rovnici, tj. zanedbání due/dt. Pokud zanedbáváme časové změny ue dostáváme z linearizované pohybové rovnice (8.73" kT noiscue =-------VnJ' (8.82 rrip což můžeme napsat jako re = -DeVríel (8.83 kde re = nolle je linearizovaný tok elektronů. Vztah (8.83) je analogický k jednoduchému Ohmovú zákonu J = ooE, takže tok elektronů způsobený gradientem hustoty je analogický k el. proudu způsobenému el. polem, pokud uvažujeme ustálený stav pro ue. 8.8 Difúze elektronů v mg. poli Uvažujme nyní konst. a homogenní pole Bq. Uděláme podobné zjednodušení jako v předchozím a zanedbáme due/dt. Z linearizované pohybové rovnice dostáváme re = -DeVn' - -^-(re x B0). (8.84 meve Uvažujeme kartézskou soustavu souřadnic, osa z ve směru Bq, tj. Bq = Bqz: a DPVní jce V, ľpXŽ 8.85 Tato rovnice je analogická k (8.28), kde Te nahradíme J, De nahradíme ae a — Vn'e nahradíme E. Dále í\ejvc = aoB()/(ene). Takže analogicky s výrazem J = S • E můžeme psát Te = -V- Vra'e, (8.86 kde V je tenzor difúze v mg. poli ( D± DH 0 \ V= -DH D± 0 , Í8.87 0 0 Dn pncemz D v ± c v? + níDe 8.88 ce Dh = ^§wDe (8'89 uc "r" ^ Lce hT D\\ = De = -^(8.90 mevc Podobně jako v předchozí kapitole můžeme odvodit difuzní rovnici pro n'e. Nejprve zapíšeme rovnici kontinuity (8.71) jako dní e + V • re = 0. (8.91 dt Dosadíme (8.86) za Te = V-CD-Vn'J. (8.92 dt Za použití matice (8.87) a výpočtu v kartézských souřadnicích dostaneme „ „ , „, ^ dn'„ ^ ôn'. V ■ Vn'e = x(£>i-^ + ^ff^) + (8-93 ^ , _ <9n' _ dní N ^ _ <9n' y(-DH1r + ^±^ + ž^e^. 8.94 ax ay az Tento výsledek dosadíme do (8.92 dní _ .<92nl <92nL _ <92n' e = £±í^ + -^r) + DP.-^-ž. (8.95 <9t <9x2 dy2 dz2 Protože D± < De a protože D± klesá s rostoucím í\Pjvc (podobně jako o\)^ je difúze částic ve směru kolmém na mg. pole vždy menší než ve směru rovnoběžném. Transportní pohybová rovnice pro elektronový plyn, pokud zanedbáme člen zrychlení ale vezmeme v úvahu elmag sílu, je obecně (konst. teplota} TPMP(nPE + rpxB)- DPVnP. (8.96 Vidíme, že tok elektronů je výsledkem obojího, elmag síly i gradientu tlaku. Podíl skalární pohyblivosti Á4P a difuzního koeficientu je znám jako Einsteinova relace MP e DP kTP 8.97 e De =------. Í8.99 8.9 Ambipolarní difúze Ukázali jsme si, že časově ustálená transportní rovnice hybnosti v případě nepřítomnosti elmag sil a konst. teplotě dává tuto difúzni rovnici pro elektrony: re = -DeVnel (8.98 kde difúzni koeficient volných elektronů je definován kTt mevce Pokud budeme uvažovat podobnou rovnici pro ionty ve slabě ionizovaném plazmatu máme Ti = -L>eVn-, (8.100 kde Di =------- 8.101 m%vcl označuje difúzni koeficient volných iontů. =^ neuvažovali jsme interakci mezi elektrony a ionty ALE elektrony difundují rychleji a zanechávají za sebou kladný náboj. Difúze, při které neuvažujeme prostorový náboj, se nazývá volná difúze. V mnoha případech ovšem nemůžeme zanedbat prostorový náboj, vzniklé el. pole ja dáno Maxwellovou rovnicí „ _ P eirij — ne, V-E = - = ^^------^. 8.102 Odhadneme důležitost prostorového náboje pro difúzi =^> použijeme bezrozměrnou analýzu: L je char, délka, na které se podstatně mění hustota náboje. Ze vztahu (8.102) _ enL E ~-----, (8.103 takže el. síla na jednotk. hmotnost eE e2nL fE = —----------. (8.104 m meo v Difúzni síla" na jednotk. hmotnost z (8.98 fD = —|Vn| ~ kTn-. (8.105 mno mnoL El. pole prostorového náboje může být zanedbáno pokud f e «C /d, tj. L2 « ^ľ = xl, (8.106 noez kde \d je Debyeova délka. To je splněno zřídka a musíme uvažovat tzv. ambipolarni difúzi. Předp., že změny hustoty elektronů i iontů jsou prvního řádu "malosti" na(r,í) = n0 + <(r,í), (8.107) kde a = e, i a n!a 1, kde r je charakteristická doba difúze, můžeme členy na levé straně rovnic zanedbat. Jejich zkombinováním tedy dostáváme dn' dn'-, dt dt Pomocí další aproximace n'e = n[ = n' dn' ~ďt což můžeme přepsat jako ^ = L>aVV, (8.115 dt v kde k(Te + TA Da = —K—------^— 8.116 meuce + miVd je koeficient ambipolární difúze. k(Te + 7])VV - (meuce + rriiUci)^- = 0, (8.114 Kapitola 9 Boltzmannuv a Fokker-Planckův srážkový člen Odvodíme Boltzmannuv srážkový člen pro binárni srážky. Srážkový člen obsahuje integrály přes rychlosti částic, takže BKR je vlastně integro-diferenciální rovnice. Platnost omezená na slabě ionizované plazma. Coulombovske interakce můžeme ale započítat jako sérii po sobě následujících slabých binárních srážek a dostáváme Fokker-Planckův srážkový člen. 9.1 Boltzmannova rovnice 9.1.1 Odvození Boltzmannova srážkového integrálu Srážk. člen (ofa/ôt)^^ představuje změnu rozděl, fee v důsledku srážek. Jde o bilanci částic ANa uvnitř objemového elementu d?r d?v kolem (r, v) za cas dt ANa = f^) d3rd3vdt. (9.1 V dt /srazk Je výhodné separovat ANa do dvou částí ANa = A7V+ - AN-, (9.2 kde A7V+ označuje přírůstek částic ležících v d3r, které mají po srážce rychlost ležící v objemu d?v a AA^~ označuje úbytek částic ležících v d3r, které mají před srážkou rychlost ležící v intervalu d?v. Vyjádříme A7V~. Uvažujme částice ležící v d?r kolem r, které mají rychlost ležící v d3v kolem v. Tyto jsou rozptýleny srážkami s jinými částicemi (nemusí jít o částice a) ležícími ve stejném prostorovém elementu a majícími rychlost z d?V\ kolem ví. Uvažujme, že jde o částice ß a jejich tok dopadající na částice a je r> = /o(r,vi,í)d3i;i|vi - v| =//3(r,vbt)(i3^- (9-3 Průměrný počet interakcí jedné částice a v čas. intervalu dt je Tßbdbdedt = fß(r,vi,t)d3vigbdbdedt, (9.4 kde záměrná vzdálenost leží v intervalu b a b + db a rovina srážky mezi úhly e a e + de. Předpokládáme, že čas dt je velký ve srovnání s interakční dobou částic. Počet srážek částic ß se všemi částicemi a ležící v d3rd3v kolem (r, v) za cas dt je dán součinem /a(r, v, t)d3rd3vfß(r, vi, t)d3v\g b db de dt. (9.5) Zde jsme předpokládali, že počet srážek počet srážek těchto dvou druhů srážek je úměrný součinu a(r, v, ť) fß(r, vi, ť). Takže zanedbáváme jakoukoliv korelaci =^> molekulární chaos. Celkový počet částic, které jsou rozptýleny dostaneme integrací a sumací AN- = fair.v.^rd^vdt^lJJJßir.v^^d^gbdbde (9.6) ß Podobně vyjádříme A7V+. Uvažujeme inverzní srážku v prostorovém elementu d3r kolem r, v níž se částice a s původní rychlostí v d?vf kolem v; sráží s částicemi ß majícími původní rychlost z d3v[. Výsledek je rozptyl částic a do d3v kolem v. Průměrný počet srážek mezi jednou částicí a a částicemi ß je fßir.V^t^v^'bdbdedt. (9.7 Potom A7V+ = fa(r, v', t)d3rd3v'dt E /„, jb j( /g(r, vi, t)d3v'l9' b db de. (9.8 ß l Víme, že g' = g = |vi — v| a z teorie Jakobiánu d3vfd3v[ = | J\d3vd3v1. V následující podkapitole ukážeme, že | J\ = 1, takže d3vd3v[ = d3vd3vi. Vztah (9.11) můžeme tedy zapsat jako AÍV+ = fa(T,V,t)d3rd3vdtj:í fjjßiry^crvtfbdbde ß Nyní zkombinujeme výrazy pro A7Va a A7V+ a výraz b db de nahradíme cr(fí)dfí, takže dostáváme výraz pro Boltzmannův srážkový integrál srazk (AN+ - AN~\ a a V dsrdsvdt 9.9 9.10 9.11 výrazem 9.12 / kde jsme použili označení ^LJMafßl-fafßl)d3Viga(n)d^ fa = /«(r,v;,t f'ßi = /9(r,vi;,í fa = /a(r,V,í) //n = //Kr,vi,í 9.13 9.14 9.15 9.16 9.17 Explicitně tedy můžeme BKR zapsat jako ^ + v • Vfa + a • Vvfa = £ fvi Jn(fJ[n - fafßl)d\ga(ü)dQ, (9.18 takže jde o integro-diferenciální rovnici 9.1.2 Jakobián transformace Transformace použitá v předchozí podkapitole je d3vř d3v[ = \J\ d3vdvi kde j = d(v', vj) = d(v'x, v'y, v'z, v'lx, v'ly, v[ <9(v, ví) d(vx, vy, vz, vix, viy, ví z z což můžeme vyjádřit jako ( K H J Hz\ dvx dv'x dVy dvx dVy ^ dVy dvx dVy dv'x dVy . . Hz \ dviz dvh 9viz J 9.19 9.20 9.21 Pomocí vztahů zavedených v kapitole o interakcích částic můžeme d3v d?v\ vyjádřit pomocí tepelné Vo a vzájemné g rychlosti před srážkou ďWV = \Jc\dsVodsg, (9.22 kde Jc je Jakobián transformace. Uvažujme nejprve pouze x-komponentu v (9.22 dvxdv\x = | Xl—^r\dVoxdgx. (9.23 d(V0x,g: Vypočítáme determinant naznačené matice 2x2 dvx dvlx = (------1-----) dV0x dgx = dV0x dgx. (9.24 mi m Součin všech tří komponent odpovídajících x, y a z složkám dává ďWV = dsV0dsg. (9.25 Podobně (ŕv'(ŕv[ = (ŕVi(ŕg'. (9.26 Viděli jsme, že Vo = Vq . Vektory g a g; se liší pouze směrem, ale mají stejnou velikost takže d?g = d?gf. V důsledku tedy ďWV = (řv'd3v[ (9.27 9.1.3 Rychlost změny fyzikální veličiny v důsledku srážek Rychlost změny fyzikální veličiny x(v) na jednotkový objem v důsledku srážek vyjádříme jako ö(na(x) a st =. „ x srazk dfa dt srazk drv. 9.28 Za použití Boltzmannova srážk. integrálu dostáváme 'ö(na(x)< St = E Q Jv\ Jv fjßl - fafßl)X9<7(ty (KlďV! ďV. 9.29 srazk ß Uvědomíme si, že ke každé srážce existuje srážka inverzní se stejným účinným průřezem. Takže E ß Q Jv\ Jv E ß /3,,/ j3„,/ Q Jv\ Jv fafß1X9<7(tt)d£lcrv1cPv = fafßiX,9* jejich rozděl, fee není příliš prostorově nehomogenní a anizotropní • za rovnovážného stavu elektrony nevykazují žádnou driftovou rychlost a jejich rozděl, fee je homogenní a izotropní 9.2.1 Rozvoj rozdělovači funkce ve sférickou harmonickou řadu Označíme (v, , 9) sférické souřadnice v rychlostním prostoru. Podle předpokladů je závislost /(r, v,t) na (j) a 9 velmi malá, takže je možné rozvinout /(r, v,t) v řadu podle uhlových rychlostních souřadnic (j) a 9 a vzít pouze prvních pár členů tohoto rozvoje. Provedeme tedy rovoj do sférické harmonické řady pomocí Fourierovskeho rozvoje v (j) a asociovaných Legendrových polynomů P™(cos9) v 6: oo oo /(r,v,í)= E E P^(cosö) • [fmn(r,v,t)cos(m^)^gmn(r,v,t)sm(m^)], (9.32 m=0 n=0 kde funkce fmn a gmn jsou koeficienty rozvoje. • První člen v (9.32) odpovídá m = 0an = 0, a protože P0°(cosö) = 1, je roven /oo(r, v, ť). Toto je izotropní rozdělovači fee odpovídající rovnovážnému stavu. • Clen sm = lan = 0se rovná nule, protože Po(cos 6) = 0 • Další vyšší člen je pro m = 0 a n = 1, přičemž P-f^cosö) = cosö, takže je to /oi(r,i;,í)cos0 Vezmeme-li tedy do úvahy pouze první dva nenulové členy rozvoje /(r, v, ť) = /oo(r, v, t) + ^^/oi(r, v, t), (9.33) V kde jsme cosö nahradili výrazem (v -vz)/v 9.2.2 Aproximativní vyjádření Boltzmannova srážkového členu Boltzmannův srážkový člen je dán vztahem (9.12) a pro binární srážky elektronů s neutrály jej můžeme zapsat jako 5t ysrazk = Jb Je Jvl(f'efnl ~ f e f ni) 9 b db de d Vh (9.34 kde jsme a(Q)dQ nahradili b db de. Zde fe reprezentuje nerovnovážnou rozděl, fci elektronů a fn je izotropní rovnovážná rozděl, fee neutrálních částic. V první aproximaci předp., že neutrální částice jsou v klidu a nejsou ovlivněny srážkami s elektrony. Tedy vi = vi = O (9.35 fnl = fni (9-36 a rovnici (9.34) přepíšeme jako ^fe\ fr rf í2tt sraz St Protože hustota neutrálních částic je a po srazce v • vz k = fvl fnid vx /0 ^ def™(fe - fe) g b db. (9.37 nn = fvl fm (řvx (9.38 dále upravíme (^)srazk = nn /027r de J™(f'e - fe)gb db. (9.39 Rozdělovači fee pro elektrony před srážkou je U = /e(r, v, í) = /oo(r, v, t) + ^^/oi(r, v, t) (9.40 V f'e = /e(r, v', t) = /oo(r, v', t) + -^/oi(r, v', t) = (9.41 v • vz = /oo(r, v, ť) +--------/oi(r, v, t v V posledním vztahu jsme předpokládali, že v' = v, neboť elektrony neztrácejí energii, protože neutrály jsou mnohem těžší a jsou v klidu. Výsledně tedy píšeme v' — v) • vz f'e-fe =-------^^—^/oi(r, v, t). (9.42 Beze ztráty na obecnosti můžeme zvolit osu vz paralelně s původní vzájemnou rychlostí g elektronu, takže (v' - v) • vz = (g' - g) • vz = g(cosx~ 1) = ^(cosx - 1), (9.43 kde x Je rozptylový úhel (úhel mezi g a g;). Dosazením (9.43) do (9.42) dostáváme /é-/e = -(l-cosx)/oi(r)v)ť), (9.44 takže srážkový člen můžeme zapsat jako (-^)srazk = -nng f0i(r,v,ť) fi* de J™(1 -cosx) b db. (9.45 Protože účinný průřez pro přenos hybnosti mezi elektrony a neutrály je definován jako &m — /^(l — cosx)c(^) dQ = J^ de j™(l — cosx) b db (9.46 můžeme () psát takto H st e\.oii = -n„gamfoi{r,v,t). (9.47 Pokud substituujeme /oi(r? ^, ť) v () pomocí () a uvědomíme si, že v použité aproximaci stacionárních iontů (v • vz)/v = (g • vz)/g = 1, pak {-ř7-)coii = -nnvam(fe - feo) = -vr(v)(fe - /e0), (9.48) kde jsme zavedli rychlostně závislou srážkovou frekvenci pro přenos hybnosti vr(v) = / linnU(J jyi Cm /oo byla nahrazena symbolem /eo, tak jak jsme to používali dříve. Vyjádření srážkového členu (9.48) je podobné relaxačnímu Krookovu modelu až na fakt, že srážková frekvence je závislá na rychlosti. 9.2.3 Rychlost změny hybnosti v důsledku srážek Podle definice srážkového členu Ae v transportní pohybové rovnici máme Ae = [^^U = me i v(^)co„ dV (9.49 Dosadíme (9.48) a dostáváme Ae = -me l vr(v)vfed3v + me jv isr(v)vfe0dsv. (9.50 Pokud bychom předpokládali, že srážková frekvence vr nezávisí a rychlosti a pokud el. plyn nemá žádnou driftovou rychlost v rovnovážném stavu, tj. I ue0 = —Jvvfeod3v = 0, (9.51 ne mame Ae = -nemevrue = -pmevrue, (9.52 kde ue je průměrná rychlost elektronů v nerovnovážném stavu. Tato rovnice odpovídá vztahu, který jsme použili v Langevinově rovnici. 9.3 Fokker-Planckova rovnice Uvažujeme Coloumbovské interakce. Vychýlení nabitých částic s velkým deflekčním uhlem v důsledku Coulombovských interakcí nahradíme řadou po sobě následujících slabých binárních srážek, tj. srážek s malým uhlem rozptylu. Fokker-Planckův srážkový člen může být tedy přímo odvozen z Boltzmannova srážk. členu. Uvažujeme srážky mezi částicemi a a ß. 9.3.1 Odvození Fokker-Planckova srážkového členu Veličina x(v) Je libovolná funkce rychlosti asociovaná s částicemi a. Změna této veličiny na jednotkový objem v důsledku srážek je í X(v)(^)srazk dAv = /n fn jv(f'Jßl - faffn)X9^) dtt d\ dAv = (9.53 L k i fafßAx' - X)9*(n) dÜ d\ d3v , kde x! — x(v0 Je jediná funkce rychlosti po srážce. Pro slabé srážky můžeme psát v' = v + Av, (9.54 kde A v je malá veličina. Protože X' = x(v') = x(v + Av), (9.55 můžeme rozvinout x' do Taylorovy řady dy 1 d y X(v + Av) = x(v) + £ ^-Avi + - £ —^AvíAvj + ■■■ (9.56 Dosazením (9.56) do (9.53) dostáváme i x(^W dsv = /, jvi i fafßl£ ^Avt + (9.57 1Ľ d2X 2 i j d v id v j +- E Q * Av,Avj)g a(Q) dQ d3vi dsv, kde jsme zanedbali vyšší členy rozvoje. Nyní se musíme snažit vyloučit libovolnou fci X- Integrujeme jedenkrát per partes první skupinu integrálů obsahující dx/dvi a dvakrát per partes druhou skupinu obsahující d2x/(dvidvj). Pro x-komponentu první skupiny integrálů obsahujících dx/dvi máme L k L ^VAA^./a(v)//31(v1) g a(Ü) dÜ d% dAv = (9.58 dvadv dxiy Q Jv\ Uv y z dv dvx{vx - vx).fa(v)ga(Q) díí]/g(vi) d vx, x Ve členu v hranaté závorce můžeme substituovat dV = ^dv dv X 9.59 X a U = [v'x - vx)fa(v)ga(Q) dÜ a integrovat přes vx per partes, takže dostáváme 9.60 VX ßy dvx(vx - vx)fa(v)gcr(Q) dQ = 9.61 X vxW'dv d v'x - ux)/a(v)3Cr(Q) díl] dvx, X kde integrovaný člen je roven nule, protože / musí jít k nule pro zboo. Takže integrál 9.58)je <9x(v Ü Jvi Jv ßy AvxfaWfßiivugaiil) dttdóvx dóv 9.62 X Q Jv\ Jv d x(v)—[AüT/a(v)5cr(Q) dň]/g(vi) ďih dóv. dv X Podobným způsobem integrujeme per partes ostatní integrály v (9.57) a dostaneme srážkový člen v tomto tvaru v Xl^srazk d\ == - ^ Jn l, x E ^[Avifagaitt) dtt]fßl d% d6v + (9.63 dt 'l + 1 ;XE # n JV1 h 2 a - q dv. y^Vi/SvjfagGiß) dÜ\fßl (ŕvl(ŕv = d <%; 1 íQ2 + L xh S 7T^(/a LI AviAvjfagaiíí) dQfßl d3Vl)}d3v. 2 i j dvjdvj Definujeme veličiny (Avi)av = Jn Jn Aviga(Q) dÜfßl <ŕvi a (AviAvj)av = Jn jVi Av.Avjga(Ü) dÜfßl ďV 9.64 9.65 což jsou vlastně modifikované střední hodnoty přes uhel rozptylu a rozděl, fee narážejících částic. Pomocí těchto veličin dostáváme d v X a\mzkd3V = -lvX\£