. Prima úloha v gravimetrii Zadání: Vypočtěte tíhový účinek koule podle vzorce pro vertikální složku pro hodnoty x z intervalu (-2500m? 2500m). Výsledek vyneste do grafu s lineární x-ovou a logaritmickou y-ovou osou. hloubka středu koule poloměr koule diferenční hustota h = 500 m R= 150m o = 500 kg/m-3 vzdálenost d = (h2+x2)m těleso ve tvaru koule o hustoti p, okolní horninové prostředí má hustotu pz diferenční hustota a = Základy Geofyziky: cvičení, Brno 20.10.2006 . ťrima úloha v gravimetru Pro gravitační zrychlení g obecně platí: kM g = Vzdálenost je ale: d = ^Jx2 +h2 2 , 2\l/2 vzdálenost d = (h^+x) těleso ve tvaru koule o hustoti p okolní horninové prostředí má hustotu p: diferenční hustota a = p, - p2 Základy Geofyziky: cvičení, Brno 20.10.2006 . ťrima úloha v gravimetru Gravitační zrychlení tedy je dáno: KM g = 2 , j: x + n Podle zadání nás ale zajímá pouze vertikální složka gravitačního zrychlení r g =gsma X gz 2 i Kl/2 vzdálenost d = (h^+x) těleso ve tvaru koule o hustoti p okolní horninové prostředí má hustotu p: diferenční hustota a = p, - p? Základy Geofyziky: cvičení, Brno 20.10.2006 . Prima úloha v gravimetrii Gravitační zrychlení tedy je dáno: Podle zadání nás ale zajímá pouze vertikální složka gravitačního zrychlení r g =gsma Současně ale vidíme, že siná si můžeme vyjádřit jako a V_____ vzdálenost d = (h2+x2)12 těleso ve tvaru koule o hustou p okolní horninové prostředí má hustotu p diferenční hustota a = p, - p? sma = h Základy Geofyziky: cvičení, Brno 20.10.2006 rima úloha v gravimetru rima úloha v gravimetrn Hmotnost M je v našem případě nutno chápat nikoli jako celou hmotnost koule, ale jako diferenční hmotnost (oč je hmotnost odlišná od hmotnosti okolního prostředí o stejném objemu). M tedy závisí na objemu a na diferenční hustotě a: M=-7TR3.CT 3 a V vzdálenost d = (h2+x2)] těleso ve tvaru koule o hustou p okolní horninové prostředí má hustotu p; diferenční hustota a = p, - p? Základy Geofyziky: cvičení, Brno 20.10.2006 . ťrima úloha v gravimetru Hmotnost M je v našem případě tedy: ■ M = -;rl503.500 = 7,068,583,47% 1. ťrima úloha v gravimetru Po dosazení za x (vzdálenost na profilu od bodu 0) můžeme doplnit tabulku hodnot vertikální složky gravitačního zrychlení v jednotlivých bodech profilu: x [m] Vz [m/s2] x [m] Vz [m/s2] -2500 1,42252 . 10"8 200 1,50949 . 10"6 -2250 1,92522 . ÍO-8 400 8,97951 . 10"7 -2000 2,69057 . 10"8 600 4,94804 . 10"7 -1750 3,91016 . 10"8 800 2,80765 . 10"7 -1500 5,96373 . 10"8 1000 1,6868 . 10"7 -1250 9,66076 . 10"8 1250 9,66076 . 10"8 -1000 1,6868 . 10"7 1500 5,96373 . 10"8 -800 2,80765 . 10"7 1750 3,91016 . 10"8 -600 4,94804 . 10"7 2000 2,69057 . 10"8 -400 8,97951 . 10"7 2250 1,92522 . 10"8 -200 1,50949 . 10"6 2500 1,42252 . 10"8 0 1,8859 . 10"6 Základy Geofyziky: cvičení, Brno 20.10.2( ^M . ťrima úloha v gravimetru . Frima úloha v gravimetru Při vynášení do grafu s logaritmickou škálou je zapotřebí vyvarovat se některých chyb, mezi nejčastější patří: - Spatná volba minimální a maximální hodnoty zobrazené na ose s logaritmickou škálou - obě meze je nutno určit s ohledem na zobrazované hodnoty - Zkombinování logaritmické a lineární škály (nelze rozdělit y-ovou osu na úseky podle logaritmické škály a v rámci úseků vynášet lineárně - vede to k zásadnímu zkreslení grafu) Základy Geofyziky: cvičení, Brno 20.10.2006 ona z magnetometrie Zadání: Na severojižním profilu byla zjištěna magnetická anomálie AT vyvolaná tenkou deskou. Určete hloubku horního okraje této desky ze vztahu: li = (x — X V min max \sin2In 2b vzdálenost d = (h2+x2)' těleso ve tvaru svislé deskyl souřadnice minima křivky AT(x) souřadnice maxima křivky AT(x) In ... inklinace normálního magnetického pole h ... hloubka horního okraje desky x ... souřadnice na profilu, kladná osa je orientovaná k severu ^HM^ÍJ^^SHS^^^^^Hi^^iiÄijAijijIJ ona z magnetometrie Zadání: Na severojižním profilu byla zjištěna magnetická anomálie AT vyvolaná tenkou deskou. Určete hloubku horního okraje této desky ze vztahu: li = (x — X V min max \sin2In vzdálenost d = (h2+x2)' těleso ve tvaru svislé deskyl X 0 1 2 3 4 5 6 7 10 15 20 AT 1.62 0.31 -0.84 -1.67 -2.18 -2.43 -2.53 -2.52 -2.27 -1.78 -1.43 X -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -10 -15 -20 AT 2.80 3.63 4.05 4.15 4.05 3.85 3.61 2.92 2.11 1.62 I„ = 52 ^HM^íj^^SHS^^^^^Hi^^iiÄijAijijIJ ona z magnetometne Postup: Vyneseme hodnoty z tabulky do grafu. Tyto hodnoty vychází ze vztahu pro magnetickou anomálii AT vyvolanou tenkou svislou deskou, který je v případě severojižního profilu: kT ?h AT(x) = - , ° , (h cos(2I„) + x sin(2In)) 2k{x +h J lx x ^ IV i . \a / i h ^/vzdálenost d = (h2+x2)n těleso ve tvaru svislé desky li' 2b i Základy Geofyziky: cvičení, Brno 20.10.2006 ona z magnetometrie V grafu pak nalezneme maximum a minimum funkce AT a odečteme x-ové souřadnice těchto bodů. Základy Geofyziky: cvičení, Brno 20.10.2006 ona z magnetometrie Odečtené souřadnice pak dosadíme do vzorce: h=( X„:_ "X min max ) sin 21 n h = (6—4) sin 104' -25 h = (10)* 0.485 = 4.85 = 5metrů 25 vzdálenost d = (h2+x2)" těleso ve tvaru svislé deskyl f m a etí rarriil MI kül*U m \\m\\ li Wkim iiMiiira ona z magnetometrie Všimněme si, že pro případy, kdy je hodnota inklinace In rovna 45°, přechází vztahy použité v tomto úkolu do jednodušších vztahů a graf funkce AT je středově symetrický: kT 2b AT(x) = - jy^2\ (h c°s(2In) + x sin(2In)) | AT(x) = - KT.2b KT.2b —j-7-----.r (h cos(90°)+x sin(90°)) =-----j-7-----n 2:i(x2+h2)v v J v JJ 2:i(x2+h2) X sin 21 x — X min max n h _ (Xmin Xmax ) sin 90° (x -x ) V min max / Základy Geofyziky: cvičení, Brno 20.10.2006 25 -20 -15 -10 -5 5 10 15 20 25 Zadání: Pro určení parametrů zvětralé vrstvy byla využita mělká varianta refrakční seismiky. V místě měření byl proveden odpal nálože z mělkého vývrtu. Vybuzený signál byl registrován geofony umístěnými na profilu ve vzdálenostech uvedených v tabulce. Na pořízeném seismickém záznamu pak byly odečteny časy prvního nasazení přímé vlny. Zadání: Určete mocnost první vrstvy, Ixfm] 2 5 10 15 20 25 40 80 120 150 | t [ms] 3.3 8.3 16.7 25.0 33.3 41.7 51.8 71.8 91.8 106.8 Postup: Vyneste do grafu hodochronu prvního nasazení. Naměřenými hodnotami proložte přímkové úseky hodochrony přímé vlny a hodochron lomených vln. Ixfm] 2 5 10 15 20 25 40 80 120 150 | t [ms] 3.3 8.3 16.7 25.0 33.3 41.7 51.8 71.8 91.8 106.8 Hodochrona je křivka popisující závislost mezi časem detekce a vzdáleností od hypocentra. V homogenním prostředí je tato závislost přímková: t... čas detekce d ... dráha v ... rychlost bod odpalu prima vlna \ lomena vlna w 1. vrstva 2. vrstva hodochrona přímé vlny hodochrona lomené vlny vzdálenost od bodu odpalu Základy Geofyziky: cvičení, Brno 20.10.2006 Z přímkových závislostí pak snadno můžeme odvodit rychlost: t... čas detekce d ... dráha v ... rychlost odpalu přímá vlna geofon \ / \ lomena vlna w 1. vrstva hodochrona přímé vlny 2. vrstva Základy Geofyziky: cvičení, Brno 20.10.2006 Pro odvození mocnosti první vrstvy h potřebujeme znát kritický úhel i a souřadnici t0 udávající bod, v němž přímková hodochrona lomené vlny teoreticky protíná svislou souřadnou osu. Icas odpalu přímá vlna geofon \ / \ lomena vlna w 1. vrstva hodochrona přímé vlny hodochrona lomené vlny 2. vrstva vzdálenost od bodu odpalu Základy Geofyziky: cvičení, Brno 20.10.2006 Willebrord van Roijen Snell (1580-1626) Základy Geofyziky: cvičení, Brno 20.10.2006 Z rychlostí seismických vln získáme tedy sinus úhlu i: Pro další výpočet však potřebujeme jeho cosinus: Buď si tedy musíme úhel i vyjádřit pomocí funkce arcsin, nebo si jeho cosinus odvodíme ze vztahu: Základy Geofyziky: cvičení, Brno 20.10.2006 Pak snadno dosadíme konkrétní hodnoty do vztahu: (např. odvodíme-li z grafu rychlosti v^óSOms"1, v2=2000ms~1? pak nám vyjde kritický úhel přibližně 19°. Odečteme-li dále hodnotu t0 jako 29 milisekund, dosadíme do vzorce: ona z radiometric Zadání: Uran E1SI se rozpadá na thorium rozpadu T=7.108 let. s poločasem Sestrojte graf vyjadřující úbytek atomů uranu v čase (tj. graf N/N0 ku času t)? délku osy pro čas t volte blízkou pětinásobku poločasu rozpadu. Vypočítejte dobu, za kterou se rozpadne 75% atomů uranu. Výpočet zkontrolujte v grafu. Základy Geofyziky: cvičení, Brno 20.10.2006 ona z radiometric Mezi počátečním počtem atomů uranu N0 a počtem zbývajících atomů Nt v čase t platí vztah: ona z radiometric Máme sestrojit graf vyjadřující úbytek atomů uranu v čase (tj. graf Nt/N0 ku času t)? vyjádříme si tedy vztah pro poměr Nt/N0: Vypočteme hodnoty poměru Nt/N0 pro vhodně zvolené časy t tak, abychom mohli sestrojit požadovaný graf (krok na časové ose tedy volíme s ohledem na velikost poločasu rozpadu). ona z radiometrie ona z radiometric vFl um i IR! ÍH«A?AfJ MM IBIW [ílofi sK^mii ííiwííMiíiť atomů uranu - tj. máme vypočítat dobu, za kterou v systému zůstane zachováno 25% původních atomů uranu (totiž 100% - 75%). Předpokládáme-li? že v čase t=0 je v systému množství atomů odpovídající 100% (tj. N0=100%)? pak v hledaném čase t=x? zůstane jen 25% původního množství atomů (tj. Nt=25%) a vzájemný poměr N/N0 je pak roven 25%/100%? což je 0.25. Dosazením do vztahu pro závislost poměru Nt/N0 na čase tak získáme vztah, ve kterém bude jedinou neznámou čas t. Základy Geofyziky: cvičení, Brno 20.10.2006 Získanou rovnici o jedné neznámé pak snadno vyřešíme Základy Geofyziky: cvičení, Brno 20.10.2006 ona z radiometric V grafu pak zkontrolujeme, zda poměr Nt/N0 odpovídající hodnotě 0.25 je skutečně dosažen při t=l,4 . 109 let: 0.25 = e-* <^> ln(0.25) = -Át <^> t = ln(0.25) -X N t _ N = e -Ät o u,« -n ~7 u,/ \ \ t -1,4.109 let U,D \ 0,4 - \ U,o N n o n -i ^\^_ U,1 o - i i i i i i i 0 5E+08 1E+09 1,5E+09 2E+09 2.5E+09 3E+09 3.5E+09 4E+09 ^^2E^^^E^S^^^^^^^BI^^^BbE^ä23