Úloha 1.1. Zvolte souřadnou soustavu tak, aby osa x byla paralelní s kartami v deformačním boxu, osa y kolmá ke kartám deformačního boxu a aby počátek souřadné soustavy byl v rohu soustavy karet. Pomocí modelové deformace v deformačním boxu ověřte přemístění libovolného původního bodu A(x,y) v průběhu střižné deformace y do konečného bodu A'(x'?y'). Odvoďte vztahy (transformační rovnice), které budou popisovat přemístění bodu A do bodu A'. Úloha 1.1. Úloha 1.1. Deformujte karty v deformačním boxu postupně střižnou deformací y a odečtěte nové souřadnice bodu A'(x'?y'). Spočtěte, jaké jsou posunutí u ve směru osy x (u=x'-x) a posunutí v ve směru osy y (v=y'-y). Aosa y y X y x-x' y-y' ľ ■ 0.2 |0.4 • • • A(x,y) (0,0) x x' A'íx'.y Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace I. Úloha 1.1. Nyní odvodíme transformační rovnice. Vidíme, že souřadnice y se v průběhu střižné deformace nemění (y'=y=>V=y'_y = 0). y X y x-x' y-y' ľ ■ 0.2 |0.4 • • • Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace I. Úloha 1.1. Transformační rovnice popisující zmenu souřadnice y má tedy tvar: y X y x-x' y-y' ľ ■ 0.2 |0.4 • • • Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace I. Úloha 1.1. Vidíme, že souřadnice x se v průběhu střižné deformace mění úměrně veliskosti střižné deformace y a úměrně velikosti souřadnice y (x' = fce(x?y?y)? u = fce(y?y)). y X y x-x' y-y' ľ ■ 0.2 |0.4 • • • Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace I. Úloha 1.1. Zvolíme-li bod B? který před deformací leží na ose y (tj. x=0)? vidíme, že body B? B' a počátek souřadné soustavy O(0?0) tvoří pravoúhlý trojúhelník. Strana BO má velikost y? strana BB' má velikost x\ strany BO a B'O svírají úhel \|/. Aosa y y X y x-x' y-y' ľ ■ 0.2 |0.4 • • • B(0,y) ^^*J x A(x,y) A'(x',y')\ B'(x',y) TT-t Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace I. Úloha 1.1. Z pravidel platících pro pravoúhlý trojúhelník lze v případě bodu B a B' odvodit: x'- |y.tg(i|/)| Pro posunutí u pak platí: u = x' - x = |y.tg(\|/)| - 0 = |y.tg(\|/)| vjvosa y \|/=20< y X y x-x' y-y' ľ ■ 0.2 |0.4 • • • B(0,y) ?B'(x',y) tg(\|/)=x7y x - y.tg(vjz) Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace I. Úloha 1.1. Pro body A a A' (x>0) pak platí > x" = x + |y.tg(\|/) y X y x-x' y-y' ľ ■ 0.2 |0.4 • • • Aosa y B(0,y) |y=-20°. 1 B'(x',y) TT-t Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace I. Úloha 1.1. Střižná deformace g je definovaná vztahem y = tg(\|/). V našem případě je ale úhel \|/ záporný (kvůli smyslu střihu) a jeho tangens má tedy zápornou hodnotu! V našem případě tedy y = tg(\|/) < 0. x' = x +| y.tg(\|/)| => x' = x - y.y Aosa y y X y x-x' y-y' ľ |0.2 |0.4 • • • B(0,y) |y=-20°. | B'(x',y) TT-t Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace I. Úloha 1.1. Transformační rovnice popisující zmenu souřadnice x má tedy tvar: x =x-y.y y X y x-x' y-y' ľ ■ 0.2 |0.4 • • • Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace I. Úloha 1.1. Transformační rovnice popisující přemístění bodu A do bodu A' tedy mají tvar: x =x-y.y ij.: x' = 1.x - y.y y' = 0.x + l.y ÍX1 ^^^_ í1 ~A íxl D = (l -i) W) i° l) [y) [P u Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace I. Úloha 1.2. Zvolte souřadnou soustavu tak, aby osa x byla paralelní s kartami v deformačním boxu, osa y kolmá ke kartám deformačního boxu a aby počátek souřadné soustavy byl v rohu soustavy karet. Pomocí modelové deformace v deformačním boxu ověřte, jak se bude v průběhu střižné deformace y měnit tvar původní kružnice (měřte elipticitu a orientaci vzniklé elipsy při různé míře deformace). Odvoďte z transformačních rovnice rovnici elipsy deformace a srovnejte teoretické charakteristiky elipsy deformace s charakteristikou pozorovanou při modelové deformaci v deformačním boxu. Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace I. Úloha 1.2. Úloha 1.2. Deformujte karty v deformačním boxu postupně střižnou deformací y a elipticitu R a orientaci dlouhé osy ty vzniklé elipsy. y a b R 4> ľ ■ 0.2 |0.4 • • • \|>=-20°, R=a/b b a 0 osa x Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace I. Úloha 1.2. Nyní odvodíme rovnici elipsy deformace. Pro zjednodušení umístíme střed elipsy do středu souřadné soustavy. Vyjdeme z transformačních rovnic: Lagrangeův popis Eulerův popis y a b R 4> 0 0.2 0.4 • • • Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace L Úloha 1.2. Vyjdeme z transformačních rovnic Lagrangeův popis Eulerův popis Rovnice jednotkové kružnice je: Vyjádříme-li x a y podle transformačních rovnic, dostaneme (x'+Yy)2 + y'2=i x'2+2Y.x'y'+Y2-y 2+y'2= x'2+2Y.x'y'+(l +Y2)y'2= 1 Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace L Úloha 1.2. Rovnice jednotkové kružnice je Vyjádříme-li x a y podle transformačních rovnic, dostaneme (x'+Y.y)2 + y'2=i x'2+2y.x'y'+Y2-y 2+y'2= x'2+2y.x'y'+(l +Y2)y'2= 1 Přitom rovnice elipsy má obecně tvar NÜ5 v|/=-2( A.x2+B.xy + C.y2=l tj. výsledná rovnice je rovnicí elipsy: x'2+2y.xy+(l + Y2)y2=l Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace L osax Úloha 1.2. Maticově má rovnice elipsy obecně tvar Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace L Úloha 1.2. Hlavní směry os elipsy vypočteme z maticového zápisu obecně tg2<>= 2a'2 an a22 osax a tg2^ = 27 27 1 -1 - 7 - 7 7 Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace L Úloha 1.2. Délky poloos elipsy nejlépe odvodíme z maticového zápisu pomocí metody charakteristických čísel: =1 (l-X).(l + y2 -X)-y.y = l + y2 -X-X-y2X + X2 -y2 =>s l-2X-y2X + X2 =X2 -X(2 + y2)+\ = 0 R=a/b osa x Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace L Úloha 1.2. Je třeba si uvědomit, jaký je význam charakteristických čísel matice elipsy. Vezměme pro jednoduchost matici elipsy s hlavními osami paralelními se souřadnou soustavou. Je-li elipsa pro jednoduchost jednotková, tj. platí-li a.b=l, a označíme-li poměr a/b=R, pak z řešení této soustavy dvou jednoduchých rovnic plyne: Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace I. Úloha 1.2. Je-li elipsa pro jednoduchost jednotková, tj. platí-h a.b=l? a označíme-li poměr a/b=R? pak z řešení této soustavy dvou jednoduchých rovnic plyne: X í V A — 0 R 0 R J ÍX1 = 1 Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace I. Úloha 1.2. A ted se podívejme na charakteristická čísla: Délky poloos odpovídají tedy odmocnině charakteristických čísel, Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace I. Úloha 1.2. Délky poloos elipsy nejlépe odvodíme z maticového zápisu pomocí metody charakteristických čísel: X2-X(2 + y2)+l = 0 osa x Charakteristická čísla tak tedy odpovídají nikoli přímo délkám poloos, ale jejich druhé mocnině. Nicméně v případě jednotkové elipsy by jedno z charakteristických čísel mělo přímo odpovídat elipticitě R. Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace L